Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Уфимский государственный нефтяной технический университет»

Кафедра «Технологические машины и оборудование»

Отчет

о практической работе

«Математическая обработка результатов наблюдений

при экспоненциальном законе распределения»
Студент гр. БМР 19-01 А.А. Петров
Доцент каф. ТМО А.Х. Габбасова
Уфа 2021

Цель. Для возможности прогнозирования надежности объекта выбрать закон распределения при заданных значениях наработки до отказа ряда аналогичных объектов.
Покажем обработку результатов наблюдений для определения оценок числовых характеристик и вида закона распределения случайных величин х_i на примере наработки на отказ насоса, перекачивающего горячую кислоту.

В результате наблюдений получено сто случайных значений (n = 100) времени безотказной работы насоса х_i = t_i(ч), которые приведены таблице 1.
Таблица 1 - Случайные значения времени безотказной работы насоса t, ч

314	8	77	133	35	31	68	32	25	169
249	216	16	17	367	48	18	62	54	49
145	б	95	29	224	6	47	70	16	105
107	26	12	15	128	108	7	125	7	78
85	8	107	19	206	27	8	144	12	101
56	6	225	18	146	43	209	55	70	18
34	49	16	64	79	38	46	4	187	25
22	165	28	294	17	61	5	14	78	27
17	9	32	21	41	4	18	34	154	6
8	370	1	21	63	28	149	368	189	25

---

Приведенный в таблице 1 экспериментальный статистический материал для придания ему наглядности и компактности целесообразно представить в виде статистического (вариационного) ряда – по возрастанию.

В множестве данных находится минимальный член ряда - 1 ч и максимальный - 370 ч.

Размах ряда составляет, ч
t_max - t_min = 370 – 1 = 369.
Весь диапазон значений случайной величины t_i (n = 100) разбивается на интервалы.

Для удобства расчетов интервалы целесообразно принимать равными.

Примерная величина интервала tопределяется по формуле
t = . (1)

.

Если при выбранных по формуле (1) равных интервалах количество значений случайной величины в интервале оказывается меньше 10 (таблица 2, столбец 4), то принимаются интервалы различной длины (таблица 2, столбец 2, столбец 3).

Количество интервалов рекомендуется брать от 7 до 15. Большое число интервалов принимается для весьма обширного и довольно однородного статистического материала.

Число интервалов статистического распределения в примереk = 10. Для каждого интервала проведем подсчеты и представим их в таблице 2.
Таблица 2 - Обработка статистического ряда

№	Интервал	Размах ti	ni	Рi = пi/п	ti (серед.)	Pi ti	F*(t)= (пi/п)	ƒ*(t)= ni /(nt)	Pi[ti – M(t)]2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0-10	10	15	0,15	5	0,75	0,15	0,0150	735,00
2	10-20	10	14	0,14	15	2,10	0,29	0,0140	504,00
3	20-30	10	11	0,11	25	2,75	0,40	0,0110	275,00
4	30-50	20	15	0,15	40	6,00	0,55	0,0075	183,75
5	50-80	30	14	0,14	65	9,10	0,69	0,0047	14,00
6	80-110	30	7	0,07	95	6,65	0,76	0,0023	28,00
7	110-150	40	8	0,08	130	10,40	0,84	0,0020	242,00
8	150-190	40	5	0,05	170	8,50	0,89	0,0013	451,25
9	190-250	60	6	0,06	220	13,20	0,95	0,0010	1261,50
10	250-370	120	5	0,05	310	15,50	1,00	0,0004	2761,25
	-	-	100	1,00	-	М(t) = = 75 ч	-	-	D(t) = = 6456 ч2

---

В таблице 2 приведены следующие результаты расчетов:

В колонке 1 даны номера разрядов разбивки интервала варьирования.

В колонке 2 - границы каждого интервала, причем условимся, что каждый предыдущий интервал содержит конечную точку, а каждый последующий не содержит точки начала.

В колонке 3 показана числовая величина размаха интервала t.

В колонке 4 - количество значений случайной величины (из таблицы 1), попавших в интервал, т. е. абсолютная частота n_i .

В колонке 5 подсчитана относительная частота (частность), или эмпирическая вероятность
Р_i = n_i / n, (2)
где n_i / n - накопленная относительная частота всех интервалов должна быть равна единице, что служит проверкой правильности вычисления частоты для каждого интервала. В примере n = 100.

В колонке 6 отмечены координаты t_{i (серед.)} - середины каждого интервала из колонки 2.

В колонке 7 приведены произведения значений из колонок 5 и 6 (P_i · t_i), которые в сумме дают координату центра распределения, т.е. статистическое среднее (математическое ожидание) M(t)
 (P_i · t_i) = M(t) = 75 (ч).
В колонке 8 дана накопленная частота (n_i / n), или функция распределенияF*(t). Определяется по данным колонки 5 (складываются значения текущего и предыдущих интервалов).

В колонке 9 - эмпирическая плотность вероятности n_i / (nt), или ƒ*(t). Определяется по данным колонки 3 и колонки 5.

В колонке 10 указано произведение P_i [t_i – M(t)]², служащее для определения статистической дисперсии D(t)
D(t) =  (P_i[t_i – M(t)]²) =  (P_i[t_i – 75]²) = 6456 (ч²).
Среднеквадратическим отклонением (t) будет положительное значение корня квадратного из дисперсии
(t) = =

---

= 80 (ч). (3)
Коэффициент вариации определяется как
V (t) = . (4)
Часто в статистических исследованиях используют следующие характеристики:

- среднеквадратическая ошибка определения среднего арифметического (среднеквадратическая ошибка определения математического ожидания)
M(t) = ; (5)
- среднеквадратическая ошибка определения среднеквадратического отклонения
(t) = (6)
Тогда, округляя значения отклонений, получим
M(t) = 75 ± 8 (ч).
На рисунке 1 для построения гистограммы по оси абсцисс t откладываются интервалы t_i (см. таблицу 2, колонка 2) случайной величины t_i и на каждом из интервалов строится прямоугольник с площадью, равной частоте появления случайной величины в данном интервале.

Высоты прямоугольников пропорциональны соответствующим частотам и равны эмпирической плотности вероятности [n_i/ (nt_i)] (см. таблицу 2, данные колонки 9) для каждого интервала. На рисунке 1 представлена точечная гистограмма распределения, где значения статистической вероятности отложены от середины каждого интервала.

Исходя из характера гистограммы, можно предположить, что исследуемая случайная величина распределена по экспоненциальному закону. Об этом свидетельствует также почти полное совпадение по величине математического ожидания M(t) = 75 ч и среднеквадратического отклонения (t) = 80 ч случайной величины t(коэффициент вариации V  1).

Выравнивающий график функции ƒ(t) строим по данным таблицы 3 (колонка 5).


Рисунок 1 – Гистограмма наработки на отказ и выравнивающая кривая
Приняв в качестве математического ожидания наработки на отказ его оценку (статистическое среднее) M(t) = 75 ч, можно записать
ƒ(t) = · , или ƒ(t) = ·exp(-·t_i). (7)
Поскольку при экспоненциальном законе распределения

---

 = 1 / M(t) = const, то
ƒ(t) = ·exp(-·t_i) = 0,013·е^-0,013·t , (8)
где  = 1 / M(t) = 1 / 75 = 0,013.

В таблице 3 приведены следующие результаты расчетов:

В колонке 2 значение t_{i (гран.)}границы интервалов из колонки 2 таблицы 2.

В колонке 3 значения ·t_i .

В колонке 4 функции (е ^{- · t}) можно определить, используя таблицу е ^-х приложения А.
Та6лица 3 - Теоретические значения вероятностей

№	ti (гран.)	 · ti	е-0,013·t	ƒ(t)		n·	ni		F(t)
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0	0	1	0,0130	-	-	-	-	0
2	10	0,13	0,878	0,0114	0,122	12,2	15	0,643	0,122
3	20	0,26	0,770	0,0100	0,108	10,8	14	0,948	0,230
4	30	0,39	0,677	0,0088	0,093	9,3	11	0,311	0,323
5	50	0,65	0,522	0,0068	0,155	15,5	15	0,016	0,478
6	80	1,04	0,353	0,0046	0,169	16,9	14	0,500	0,647
7	110	1,43	0,239	0,0031	0,114	11,4	7	1,700	0,761
8	150	1,95	0,142	0,0018	0,097	9,7	8	0,298	0,858
9	190	2,47	0,085	0,0011	0,037	3,7	5	0,457	0,915
10	250	3,25	0,039	0,0005	0,046	4,6	6	0,426	0,961
11	370	4,81	0,008	0,0001	0,031	3,1	5	1,160	0,992
							100	 = 6,463

---

Смотрите также файлы

• Лекция 1. Введение в курс История медицины План История медицины как наука и предмет преподавания.doc

• Тест Нормативное и методическое обеспечение внедрения обновленных фгос.docx

• Реферат по дисциплине Межкультурные коммуникации в профессиональной деятельности Выполнил Качан Яромир Сергеевич.docx

• Отчет по производственной практике пм. 01 Обеспечение реализации прав граждан в сфере пенсионного обеспечения и социальной защиты.docx

• Самостоятельная работа по теме 3 Задание Заполните таблицу Налоги образовательных организаций.docx