Как НОК и НОД чисел помогает решать интересные и

разнообразные задачи
На одном из занятий малой математической академии нам были предложены две необычные задачи одна на решение уравнения, другая на решение системы уравнений, содержащих НОК и НОД чисел.

Меня заинтересовали эти задачи, и я решил поподробнее изучить использование НОК и НОД чисел при решении разнообразных задач.

Оказывается, есть задачи_, в которых, на первый взгляд, эти понятия и не используются, а на самом деле с их помощью легко решаются.

При исследовании вопроса об использовании НОК и НОД чисел я распределил все задачи на следующие группы:

-решение текстовых задач;

-задачи на сократимость дробей;

-задачи на вычисление НОК и НОД чисел;

-задачи на доказательство утверждений;

-решение уравнений;

-решение систем уравнений;

-построение графиков функций (придумал сам).

Коротко опишу, на чем основано решение каждого вида задач.

Текстовые задачи решаются на основе определения понятий и их свойств. Какой либо алгоритм решения трудно предложить, но в основном нужно опираться на логику вопроса.

Задачи на сократимость дробей можно решить несколькими способами:

1. 
   Разложением на множители числителя и знаменателя;
   
2. 
   Применение алгоритма Евклида:
   
3. 
   На основе свойств НОК и НОД чисел;
   
4. 
   Выделение целой части непосредственным делением числителя на
   знаменатель дроби.
   

Вычисление НОК и НОД чисел осуществляется на основе разложения чисел на простые множители и использовании свойств НОК и НОД. НОД чисел можно найти, используя алгоритм Евклида.

При доказательстве большинства утверждений можно использовать единый подход, а именно:

1. 
   Непосредственное использование алгоритма Евклида;
   
2. 
   Перебор возможных случаев.
   

Например, доказать что НОД(а;b) меньше или равен НОК(а:b).Рассмотрим несколько случаев:

А) а больше b:

---

Б) а = b;

В) а меньше b и делаем соответствующие выводы на основе свойств рассматриваемых понятий.

При решении уравнений нужно постараться применить метод разложения на множители, и сделать перебор возможных случаев.

При решении систем уравнений постараться, как и в уравнениях осуществить разложение на множители в виде произведения двух натуральных чисел вида dn и dm , где а =dn , b= dm , где d-делитель чисел aиb, m и n -взаимно простые числа и, используя общие методы решения систем, а также свойства НОК и НОД чисел найти соответствующие пары решений системы.

Напомню определение понятий и некоторые свойства.



Определение.

Число с называется наибольшим общим делителем для чисел а и b, если оно является наибольшим делителем и для числа а, и для b.

НОК (а;b)=с, а,b, с ЄN

Число c называется наименьшим общим кратным чисел а и b если оно является наименьшим из чисел, кратных как для а, так и для b.

НОК (а;b)=с; а,b, с Є N

Пример 1: Найдем НОД (16;24) Раскладываем числа 16 и 24 на простые множители

16=2⁴ 24=2³*3

16=2*2*2*2 24=2*2*2*3 НОД(16;24)=8

Пример 2: Найдем НОК (63; 18).Раскладываем числа 63 и 18 на простые множители.
63=7*3*3 18=2*3*3

Возьмем любое из чисел и умножим на число недостающее этому числу.
63=3*3*7 18=3*3*2 НОК(63;18)=3*3*7*2=9*7*2=63*2=126

Для НОД и НОК чисел соответствуют некоторые утверждения:

1. 
   Если а и bЄN, причем а: b, то НОД (а: b)= b,а НОК (а; b)=а
   
2. 
   Если а и bЄN такие, что а>b,то НОД (а; b)= НОД (а- b; b).
   
3. 
   НОД (а; b)НОК(a;b)=ab.
   

На первых двух утверждениях основывается алгоритм Евклида.

---

Некоторые свойства НОД и НОК чисел.

1) Любое общее кратное чисел (ЄN) делится на НОК чисел.

1. 
   Если НОК (а; b)=k и mЄN, то НОК (аm;bm)=bm.
   
2. 
   Если НОД (а; b)=d то НОК (а/d;b/d)= k/d.
   

4) Если а:с и b:с, то аb/c - общее кратное чисел а и b.

5. 
   Для любых а и bЄN выполняется равенство НОД (а; b) НОК (а; b) =аb.
   
6. 
   Любой общий делитель чисел а и b является делителем НОД (а;b).
   
7. 
   Утверждения 1-3.
   
8. 
   Если числа а и b разделить на НОД (а; b) то они будут взаимно просты.
   9)Если НОД (а; b)=1,то НОД (ас; b)=НОД(с; b),с- натуральное.
   10)Справедливо НОД (а; b)=НОД (а +mb, b),где m-целое число.
   

11)Чтобы найти НОК(а. b, с.. .k) можно: обозначить НОК(а;b)=М₁НОК(М, с)=M_2….НОК(М ;k)=М_n-1 ,то НОК(а, b, с,...k)=М_n-1
Простые и составные числа

Определение

Число а, которое имеет только 2 делителя: 1, а (не больше) называетсяпростым.Число а, которое имеет 3 делителя и более называется составным.

Например, 3-простое т.к. имеет 2 делителя: 1,3.

А число 18-составное т.к. имеет 6 делителей: 1,2,3,6,9,18

Свойства:

1) Пусть а и b взаимно просты, то НОД(а;b)=1

2) Пусть а и b взаимно просты, то НОК(а;b)=аb

3) Два простых числа взаимно просты.

4) Пусть а-простое, b-составное и b не кратно а, то НОД (а;b)=1, НОК(а;b)=аb

5) Пусть а-простое, b-составное b<а, то НОД(а;b)=1,НОК(а;b)=аb

Любые 2 последовательных числа взаимно просты.

Алгоритм Евклида.

В общем виде алгоритм Евклида выглядит так:

НОД (а; b

---

)= НОД (b;r)=НОД (г₁;г₂)=…=НОД(r_n;r_n+1)

a=bq₁+r₁

b=r₁q₂+r₂

r₁=r₂q₃+r₃

r_n =r_k+1*q_k+2+r_k+2

r_m=r_p+1*q_p+2+0

НОД(а;b)=г_m,

Например, вычислим НОД (7975;2585) с помощью алгоритма Евклида.

7975=2585*3+220 ; 2585=220*11+165;

220=165*1+55; 165=55*3

НОД (7975;2585)=55, где 55 последний остаток от деления 7975 на 2585.

Решение текстовых задач с помощью НОК и НОД чисел.

№1

Туристы проехали за 1 день 56 км, а за 2-72км, причем их скорость была одинаковой и выражалась целым числом км/ч, и каждый день они были в пути целое число часов. Найдите скорость, с которой ехали туристы, если она была наибольшей из удовлетворяющих условию задачи.

Решение.

Очевидно, нужно найти НОД (56;72)
56=2*2*2*7; 72=3*3*2*2*2

НОД(56;72)=8

Скорость равна 8 км/ч

Ответ: 8 км/ч.
№2

На столе лежат книги, число которых меньше, чем 100. Сколько лежит книг, если известно, что их можно связывать пачки по 3, по 4, и по 5 штук?

Решение.

Очевидно, нужно найти НОК (5;4;3) НОК (5;4;3)=3*4*5=3*20=60.

Ответ: 60 штук.
№3

Теплоход «Суворов» свой рейс туда и обратно совершает за 8 дней, теплоход «Горький» за 12 дней, а теплоход «Киров» за 18 дней. Через сколько дней теплоходы снова встретятся в порту, если они ушли в рейс одновременно?

Решение.

Найдем НОК(8;12;18), для этого разложим на множители числа 24=2x2x2x2x3, 18=2x3x3.Имеем: НОК(8;12)=24,а НОК(8;12;18)=НОК(24;18)=24хЗ=72(дня).

Ответ: теплоходы встретятся через 72 дня.
№4

В детском велосипеде шестерня заднего колеса имеет 21 зубец, а шестерня педали 44 зубца. Какое наименьшее число оборотов должна сделать педаль, чтобы шестерни вернулись в свое первоначальное положение?

Решение:

Очевидно, нужно найти НОК(21;44).

---

21=3*7; 44=2*2*11. НОК(21;44)=924.

Так как задача указывает на обороты педали, а не шестерни колеса, то 924:44=21 (оборот).

Ответ: наименьшее число оборотов равно 21.

№5

Два автобуса одновременно отправляются от одной площади по разным маршрутам. У одного рейс туда и обратно длится 48 минут, а у другого 1 час 12 минут. Через сколько времени автобусы снова встретятся на этой площади?

Решение.

Найдем НОК(48;72).

48=2*2*2*2*3, 72=2*2*2*3*3, НОК(48;72)=2*2*2*2*З*З=144(минуты).

144 минуты =2часа24 минуты.

Ответ: автобусы снова встретятся на этой площади через 2 часа 24 минуты.

№6.

Саша ходит в бассейн один раз в три дня, а Вася один раз в четыре дня, Ваня-в5 дней. Они встретились в бассейне в этот понедельник. Через сколько дней и в какой день недели они встретятся снова?

Решение:

Чтобы узнать через сколько дней они встретятся нужно найти НОК(3;4;5). Так как числа имеют только один общий делитель равный 1, то наименьшее общее кратное равно их произведению, есть НОК(3;4;5)=60(дней). Так как они встретятся только в один день. А именно , в понедельник, то найдем остаток от деления периода их встречи на количество дней в неделю, то есть 60:7=8(ост.4).

Понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье

О 1 2 3 4

Ответ: ребята встретятся через 60 дней, в пятницу.
№7

Если участники демонстрации построятся по 10 человек в ряд, то 1 человек останется лишним. Если они построятся по 9 человек в ряд, то опять один человек останется лишним. То же самое произойдет, если они построятся по 8,7,6,5,4,3 и, наконец, по 2 человека в ряд. Всего их меньше 5 тысяч. Сколько их?

Решение:

Пусть х-число демонстрантов. Число (х-1) делится на 2,3,4,5,6,7,8,9.

Поэтому (х-1) кратно НОК чисел 2,3,4,5,6,7,8,9. НОК(2,3,4,5,6,7,8,9)=2³-3²-5-7=2520. Тогда x-1=2521; x=2521.Больше решений нет т.к число демонстрантов меньше 5000.

Ответ:2521 человек.

Задачи на сократимость дробей.

Задачи на сократимость дробей можно решать несколькими способами, но очень удобно

---

Смотрите также файлы

• Кіріспе ысаша теориялы сраы.docx

• Типовая задача 3 Анализ рынка труда.docx

• Практические задания 16.docx

• Архимедова сила.docx

• Дорожная карта руководителя. Дорожная карта руководителя Школы Минпросвещения России (горизонт планирования 3 года).docx