Файл: Как нок и нод чисел помогает решать интересные и разнообразные задачи.doc

0

НОД(30n+2; 12n+1)=НОД(1 ;6n)= 1

Т.е. дробь несократима.

ч.т.д

Задачи на нахождение НОД

№1

Найдите НОД(2¹⁰⁰-1;2¹²⁰-1) Решение:

2¹²⁰-1=2¹²⁰2²⁰-2²⁰+2²⁰-1=2²⁰(2¹⁰⁰-1)+(2²⁰-1).

Обозначим п=2¹⁰⁰-1

Имеем НОД(п;2²⁰п+2²⁰-1)=НОД(п;2²⁰-1).

В этом случае найдем п

2¹⁰⁰-1=(2²⁰)⁵-1⁵=(2²⁰-1)(...)т.е. НОД(2¹⁰⁰-1;2¹²⁰-1)=2²⁰-1

Ответ:d=2²⁰-1

№2

Найти НОД(11..11;11...1)(100 и 60 единиц)

1 способ.

Решение.

Соответственно на эти числа может делиться а=11 ...1( п - единиц) И с помощью чисел 100 и 60 найдем НОД(100;60)=п

100=2*2*5*5; 60=2*2*5*3;НОД(100;60)=20.Т.е.п=20.Т.е. d=11…11 (20 единиц)

2 способ.
Решение.


100

40

60
11…11=1..1·100…0+11…11


40


600

600
и НОД(1…1;1…1)= НОД(1…1;1…1)= НОД(1…1;1…1)


100

400

400

200

1…1=1…1·100…0+1…1


400

200

200

200

НОД(1…1;1…1)= НОД(1…1;1…1)=1…1


200

400

200

200

200



О твет:d=1…1(20 единиц)
№3

Найдите наибольший общий делитель чисел 12п +13 и n+7

Решение.

НОД (2n+13;n +7)= НОД (n+7;n+6)=НОД(n+6;1)=1.

Ответ: 1.
Задачи на доказательство утверждений.

№1

Докажите, что при любом nЄN числа п⁵+4п^З+Зп и п⁴+Зп²+1 взаимно просты

		п5+4п3+3п				п4+Зп2+1
					п5+3п3+п
			п4+Зп2+1		п3+2п
			п4+2п2		n
	-	п3+2п	п2+1
		n3+n	n
	п2+1	n
	п2	n
п	1
п	п
0

d=1

т.е. НОД(п⁵+4п^З+Зп; п⁴+Зп²+1)=1
№2

Числа k и b -взаимно просты, а их НОК равен 48.Найдите эти числа.

Решение:

Раскладываем 48 на множители: 1*48;2*24;3*16;4*12;6*8 (затем повторение)

Найдем из них взаимно простые: НОД(1 ;48)=1 ,НОД(3; 16)=1

Ответ: k=1, b=48(b=1, k=48)

Или k=3, b=16(b=3, k=16)
№3

Доказать, что п-1 и п и любые 2 последовательных натуральных числа взаимно просты.

Доказательство.

Пусть НОД(п-1;п)=d, тогда их разность делится на dп-(п-1)=1,а это лишь возможно при d=1т.е. эти числа взаимно просты.

№4

Доказать утверждение: «Если пЄNи имеет нечетное количество делителей, то п=q²,qЄN

Доказательство.

Выпишем делители парами:

1 2:1,12,2,6,3,4., А у квадратов есть и повторная пара:
36=1,36,18,2,12,3,6 (6- повторная пара).

Значит у квадратов нечётное кол-во делителей.

ч.т.д

№4

Докажите, что если а-b=2 и числа а и b не являются взаимно простыми, то НОД (а;b)=2

Решение

Пусть НОД (а;b)=x, тогда разность (а-b):x т.е. x=1 или x=2. Но т.к а и b взаимно простые, то x=2

ч.т.д

Разные задачи.
№1

Н айдите количество всех натуральных делителей числа 10⁹⁹⁹, которые не являются делителями числа 10⁹⁹⁸.

Решение.

Любой делитель числа 10⁹⁹⁹ имеет вид с1=2^р*5^q 0 <р<999. При этом делитель не делит 10 ⁹⁹⁸, если р или qравны 999. Подсчитаем. 1000 штук
2⁹⁹⁹, 2⁹⁹⁹ *5^,… , 2⁹⁹⁹*5⁹⁹⁹

5^{999 ,} 5⁹⁹⁹ *2,…, 5⁹⁹⁹ *2⁹⁹⁹

Но можно заметить, что d=2⁹⁹⁹5⁹⁹⁹ повторяется 2 раза, то всего делителей будет: 1000+1000-1-1999 (шт)

Ответ: 1999.

№2

Существуют ли такие два натуральных числа а и b,у которых НОД(а;b)=110, а НОК(а;b)=2000;

Решение.

Не существует, так как для любых натуральных чисел а и b НОД(а;b) является делителем НОК(а;b) Но 110 не является делителем 2000.

Ответ: нет

№3

Число р-простое. Сколько существует натуральных чисел:

1. 
   Меньших р и взаимно простых с ним.
   
2. 
   Меньших р² и взаимно простых с ним.
   

Решение

1) используя, свойство 5 имеем (р-1).

2) Числа р,2р,3р...(р-1)р и р² не взаимно просты их всего (р-1) шт.

А меньших р² чисел (р²-1). Теперь из р²-1 вычитаем р-1, имеем: р²-1-р+1=р²-р.

Ответ: 1) р-1

2) p²-p



№4

Доказать, что п-1 и п и любые 2 последовательных натуральных числа взаимно просты.

Доказательство:

Пусть Н0Д(n-1 ;n)=d, тогда их разность делится на dn-(n-1)=1,а это лишь возможно при d=1,т.е. эти числа взаимно просты.

Уравнения, содержащие НОК и НОД некоторых чисел.

Решить уравнение:

1/x+1/y+1/НОД (х; у)+1/НОК(х; у)=1

Решение:

Пусть НОД (х; у)=d, x=d a, y=db

НОК(x; y)=d a*db/d=dab

НОД (а;b)=1 .

Имеем 1/da+1/db+1/d+1/dab=1 | *dab

a+b+1+ab=dab

а(b+1)+(b+1)=dab

(b+1)(a+1)=dab

Предположим а≤b:

(b+1)(а+1) кратно b (т.к. dab кратно d),а НОД(b+1;b)=1,

то (а+1) кратно и а+1=b t

Имеем : а+1≤b+1

bt≤b+1

1. 
   Пусть t= 1, значит а+1=b
   

b+1=da, a+2=da

2=a(d-1)

а=1, то d=3 и b=2, х=3,y=6

Одно решение (3;6)

Если а=2, то d=2 и b=3

x=4,у=6 другое решение (4;6)

2)Пустьt=2,b=1

а+1=2, а=1, d=4( из уравнения), х=у=4

Другое решение (4;4)

t≠3, т.к. bt≤b+1

Зb≤b+1

t<3

2b≤1 (ноbЄN)

Других решений нет.

Ответ: (3;6);(6;3);(4;6);(6;4);(4;4)
№2

Решить уравнение. НОК(а;6)=18

Решение.

Соответственно, число а имеет вид: а=2*3*3=18; НОД(а;6)=18=2*3*3=18 или следующий: а=3*3=9.

Ответ: а=18 или а=9
№3

Решить уравнение.

НОД (а;8)=4

Решение.

Число а имеет вид: а=2*2*n (n-нечётное) Соответственно отсюда можно найти т.к дополняя множителями делящимися на 2 мы увеличиваем НОД, т.е. значения а-бесконечно.

а=2*2*1=4,

а=2*2*3=12,

а=2*2*5=20 и.т.д

Т.е n=2k-1 (k-натуральное)
№4

Решить уравнение НОД (а;8)=а-10

Решение:

Имеем: аЄN, а>10

НОД (а;8) может быть равен 1,2,4,8

Подставим в уравнение.

1=а-10, а=11

2=а-10, а=12

4=а-10, а=14

8=а-10, а=18,Из них удовлетворяют только а=11

Ответ: а=11



№5

Решить уравнение НОК (а;8)=9а-9

Решение.

НОК (а;8) может быть а,2а,4а,8а.

Подставим:

1)а=9а-9, а=1,125

2)2а=9а-9, а=9/7

3)4а=9а-9,а=1,8

4) 8а=9а-9, а=9

1),2),3) случаи не удовлетворяют а ЄN

Ответ: а=9
№6
Сколько пар натуральных чисел (а;b), где а меньше или равно b удовлетворяет равенству НОК(а;b)=НОД(а;b)+10?
Решение.

Пусть d=НОД(а;b) dделит и а и b следовательно делит и любое кратное чисел аиb ,таким образом из равенства НОК(а;b)=d+10 следует, что d делит 10. Но у числа 10 ровно четыре делителя: 1,2,5,10,следовательно ,никаких других значений d принимать не может. НОК(а;b)=аb\d. Сделаем перебор возможных значений:

1. 
   если d=1 ,то аb= 11 и получаем пару( 1; 11)
   
2. 
   если d=2,то аb=2(2+10)=24, получаем еще две пары (4;6)и (2;12)
   
3. 
   если d=5,то аb=5(5+10)=75,получаем пару (5; 15)
   
4. 
   если d=10,то аb=10(10+10)=200, получаем пару (10;20).
   

Ответ: 5 пар.


Решение систем уравнений

№1

Решить систему:

а +b=288

НОД(а;b)=З6

Решение:

а=36k,b=36п.

Н0Д(k;п)=1, тогда

a+b=288, 36k+36п=288, k+п=8

Подберем все k и n, чтоб k+п=8, Н0Д(k;п)=1

Пары: 7 и 1, 5 и 3.

Отсюда находим а и b: 252,36; 180,108.

Ответ: 252,36; 180,108.

№2

Решить систему:

а :b=5:7

НОК(а;b)=140

Решение:

Выразим: а=5d, Ь=7d

Выразим: НОК(а;b) =аb/d=5d* 7d/d=35d

35d=140

d=4 Отсюда а=20,b=28.

Ответ:(20;28)
№3

Решить систему:

а b=40

НО К(а;b)=20

Решение:

НОД(а;b) =аb:НОК (а;b) =2

а=2k, b=2п;Н0Д(k;п)=1

НОК (а;b)=(2k+2п):2=2kп

2kп=20 ,kп=10 ,Н0Д(k;п)=1

Подберем значения k,п: 1,10;2,5.

Отсюда а и b: 2,20; 4,10.

Ответ: 2,20;4,10.
№4

Решить систему:

а -b=60

НОД(а;b)=288

Решение:

а=288k, Ь=288п ,Н0Д(k; п)=1,

288k-288п=60 \:12, 24k-24п=5, k-п=5:24

Что означает: Нет решений

Т.к. kЄN, п ЄN,(k-n)ЄNk>п т.к. а>b

Ответ: Нет решений


№5

Решить систему.

НОК(a; b)=1989;

НОД(a ;b)=13,
Р ешение.

НОК(a;b)=1989;

НОД(a;b)=13,

НОК(a; b)=a b/НОД(a; b)=13xy

a =13х

b=13y

НОД(x;y)=1

13ху=1989
a =13х

b=13y

x y =153
153=153*1(отсюда a=13 , b=1989 или a=1989,b=13)

153=9*17( отсюда a=117,b=221или a=221,b=117)

153=3*51,не подходит т.к. НОД(x;y)≠1

Ответ: (13;1989);(1989;13);(117;221);(221;117).
№6

Решите систему:

Н ОД(a;b)=17;

НОК(a;b)=204,

Решение.

НОК(a;b)=аb/НОД(а;b)=17xy

Н ОД(a;b)=17;

НОК(a;b)=204,
a =17x

b=17y

204=17хy




a=17x

b=17y

12=хy
Раскладываем:12:1*12,2*6,3*4 (затем повторение)

НОД(1;12)=1;Тогда a=17,b=204илиb=17,a=204.

НОД(3;4)=1;Тогда a=51,b=68 или a=68,b=51.

Ответ: (17;204);(204;17);(51;68);(68;51).


Графики функций с НОД и НОК.
Рассмотрим простейшую функциюy=НОД(х;1); после нескольких преобразований получим 1= НОД(х;1)

Рассмотрим систему координат с осями на которых отмечены действительные числа. Тогда график будет выглядеть в виде точек. Рассмотрим систему координат с осями в натуральных числах, то график исходной функции выложится в прямую.



у

1 . . . . . . . .

Примечание: для построения графиков

1 2 3 4 5 6 7 8 х функций можно указать 2 рассмотренных

случая, но обязательно во втором указать, что оси содержат только натуральные числа.

Пример 1: Построим график функции у = НОД (х;4)

Эту функцию можно выложить в три случая:

1. 
   х=2k-1, y=1
   
2. 
   x=2(2m-1)=4m-2, y=2
   
3. 
   x=4n, y=4
   

Расставим соответствующим образом точки в системе координат.
у
4 .

3

2 . .
1 . . .

х

1 2 3 4 5 6

Примечание: нужно заметить, что в большинстве случаев графики функций с НОД и НОК получаются периодические.

Правило построения графиков функций с НОК и НОД—это аналитическое рассмотрение случаев и отображение на осях системы координат.

Примечание: конечно перебор случаев для построения сложных графиков очень громоздкое дело, но для простых это срабатывает.
Пример 2:Распишем функцию у = НОК (х;8) на несколько случаев:

1. 
   х=2k-1 у=8х (kЄN)
   
2. 
   x=2(2m-1)=4m-2, у=4х (mЄN)
   
3. 
   х=4(2p-1)=8p-4, y=2x (pЄN)
   
4. 
   x=8n, y=x (nЄN)
   

Пример 3: Построим график функции у = НОД(х;8)+НОД(х;2)

Распишем функцию у = НОД (х;8)+НОД(х;2) на несколько случаев:

1. 
   х=2k-1 у=2 (kЄN)
   
2. 
   x=2(2m-1)=4m-2, у=4 (mЄN)
   
3. 
   х=4(2p-1)=8p-4, y=6 (pЄN)
   
4. 
   x=8n, y=10 (nЄN)
   

у
10 .

9

8

7

6 .

5

4 . .

3

2 . . . .

1




1 2 3 4 5 6 7 8


Функция у = НОД(х;8)+НОД(х;2)― периодические, поэтому

график построен на отрезке [1;8]

Используемая литература:

1.Н.Я.Виленкин. Алгебра8.(углубленное изучение) М.:Просвещение,1995.

2.В.В.Кривоногов. Нестандартные задания по математике.5-11кл.М: «Первое сентября»,2002.

З.Т.П. Пахтина. Раз задачка, два задачка. М.:Просвещение,2002.

4.А.Р.Рязановский. Дополнительные материалы по курсу математики. М.:Просвещение,2002.

5.М.Я.Выготский. Справочник по элементарной математике.

6. Олимпиадные задачи. Математика в школе . №8,2000.

7 Олимпиадные задачи Газета «Математика»№10,№7,2000.

8.В.Н.Березин. Сборник задач для факультативных занятий по математике.

М.: Просвещение, 1985.

9Л.И.Звавич. Задания для проведения письменного экзамена по

математике.9кл.М.:Просвещение1995.

10.С.М.Никольский. Алгебра 8.М.:Просвещение,2000.