Файл: Проектами.pdf

2.2. Механизмы стимулирования
Рассмотрим задачу оперативного управления продолжительно- стью проекта. Пусть проект состоит из двух участников – руково- дителя проекта (центра в терминологии теории активных систем
[22, 78]), осуществляющего управление проектом, и исполнителя
(активного элемента (АЭ) в терминологии теории активных сис- тем). Таким образом, проект рассматривается в виде активной системы (АС), имеющей следующую структуру.
Участники АС - менеджер проекта (центр) и исполнитель (АЭ).
Центр выполняет планирующие, управляющие и контролирующие функции и несет ответственность за завершение проекта в дирек- тивные сроки с требуемым качеством и запланированными затра- тами. Активный элемент является исполнителем работ по проекту,
то есть от его действий (и, быть может, от состояния природы – см.
первую главу) зависят качество, сроки и т.д.
В качестве основного выберем такой показатель как время за- вершения проекта (см. также обсуждение во введении к данной главе). Если в процессе реализации проекта оказывается, что про- гнозируемое время его завершения отличается от планового, то возникает необходимость в оперативном управлении – дополни- тельных мерах по сокращению продолжительности выполнения незавершенной части проекта. Реализация этих мер требует соот- ветствующих затрат, то есть возникает задача определения опти- мальных коррекционных воздействий, причем критерием эффек- тивности, как правило, выступают финансовые показатели,
зависящие как от продолжительности проекта (санкции и штрафы за задержку сроков завершения и т.д.), так и от затрат на выполне- ние проекта (см. примеры в первой главе).
При решении задачи управления центр должен учитывать ак- тивность АЭ, то есть вознаграждение исполнителя в зависимости от сокращения им сроков должно быть согласовано с его предпоч- тениями. В теории активных систем задачи согласования предпоч- тений и интересов изучаются при синтезе механизмов стимулиро- вания
[77, 79], поэтому рассмотрим постановку задачи стимулирования исполнителей, в которой критерием эффективно- сти являются финансовые показатели центра, зависящие в свою очередь от продолжительности проекта.

77
Последовательность изложения материала настоящего раздела следующая. Сначала рассматривается задача стимулирования в детерминированной АС, то есть в АС, функционирующей в усло- виях полной информированности о существенных внешних и внут- ренних параметрах. Затем исследуются более сложные модели,
учитывающие возможность наличия интервальной, вероятностной или нечеткой неопределенности. В качестве одного из способов снижения неопределенности предлагается также использовать механизмы с сообщением информации, которые подробно рассмат- риваются в следующем разделе.
2.2.1. Детерминированная АС (отсутствие неопределенности)
Будем считать, что известны плановое T
0
и прогнозируемое T
времена завершения проекта (ограничимся наиболее распростра- ненным на практике случаем T
≥ T
0
). Как отмечалось выше, рас- сматриваемая модель охватывает как задачи планирования (решае- мые до начала реализации проекта), так и задачи оперативного управления, которые могут последовательно решаться в ходе реа- лизации проекта по мере поступления новой информации – уточне- ния прогнозируемого времени завершения проекта и других пара- метров (см. модели в разделах 1.2. и 1.3, а также механизмы экспертного прогнозирования в разделе 2.1).
Предположим, что в случае задержки выполнения проекта центр выплачивает, например, заказчику или вышестоящей органи- зации, штрафы
χ(t), t ≥ T
0
(в частном случае, например, штрафы могут быть линейны:
χ(t) = χ
0
t). Исполнитель имеет возможность сократить срок реализации проекта (относительно прогнозируемо- го) или, что то же самое – сократить продолжительность одной или нескольких критических операций, что требует от него определен- ных затрат
1
c(y), где y
∈ A – время, на которое сокращается про- должительность проекта. Переменная y может интерпретироваться как действие АЭ – выбираемая им стратегия.
1
Следует подчеркнуть, что в настоящем и следующем разделе c(y) –
затраты исполнителя, но не затраты на проект (как это имело место
во введении и первой главе)!

78
Для того, чтобы побудить АЭ к выбору некоторой стратегии центр должен использовать соответствующую систему стимулиро- вания, то есть назначить зависимость
σ(y) вознаграждения АЭ от выбираемых им действий. Эта зависимость
σ(⋅) ∈ M называется функцией стимулирования (M – множество допустимых функций стимулирования).
Интересы участников проекта (активной системы) выражены их целевыми функциями. Будем считать, что рациональность пове- дения участников проекта заключается в стремлении к максимиза- ции целевых функций. Более подробно, предположим, что центр заинтересован в том, чтобы минимизировать свои выплаты (сум- марные выплаты по штрафам и стимулированию АЭ), то есть целевая функция центра •(
σ(⋅), y) имеет вид:
(1)
Φ(σ(⋅), y) = σ(y) + χ(T – T
0
– y).
Целевая функция активного элемента f(
σ(⋅), y) представляет собой разность между стимулированием и затратами:
(2) f(
σ(⋅), y) = σ(y) – c(y).
Введем следующие предположения:
А.2.3. A = [0; T – T
0
].
А.2.4. M – множество кусочно-непрерывных положительно- значных функций.
А.2.5. c(y) – положительнозначная, монотонно возрастающая,
строго выпуклая, непрерывно дифференцируемая функция, такая,
что c(0) = 0.
В ходе всего изложения материала настоящего раздела, если не будет оговорено особо, будем предполагать, что выполнена гипоте- за благожелательности (ГБ) – из множества реализуемых действий
1
P(
σ) = Arg
A
y
∈
max
f(y,
σ)
активный элемент выбирает действия, наиболее благоприятные для центра.
Последовательность функционирования следующая: центр со- общает АЭ функцию стимулирования, после чего АЭ при извест- ной функции стимулирования выбирает свое действие. Следова-
1
Реализуемым некоторой системой стимулирования действием АЭ
называется такое его допустимое действие, на котором достигается
максимум его целевой функции [78, 79].

79
тельно, задача центра заключается в выборе такой допустимой системы стимулирования, которая минимизировала бы значение его целевой функции при условии, что АЭ выбирает допустимое действие, максимизирующее его собственную целевую функцию:
(3)





∈
→
Φ
∈
−
∈
∈
)
(
max min
)
),
(
(
*
]
;
0
[
,
*
*
0
*
y
f
Arg
y
y
y
A
y
T
T
y
M
σ
σ
Задача (3) является игрой типа Г
2
(в терминологии теории ие- рархических игр [38, 40, 56]) и может рассматриваться как детер- минированная задача стимулирования второго рода (в терминоло- гии теории активных систем [22, 78]). Ее решение дается следующей теоремой
1
Теорема 2.3. Оптимальное решение
σ
*
(y) задачи (3) имеет вид:
(4)
σ
*
(y) =



≠
=
*
*
*
,
0
),
(
y
y
y
y
y
c
,
где оптимальное действие АЭ y
*
определяется следующим выраже- нием:
(5) y
*
= arg
]
,
0
[
0
min
T
T
y
−
∈
Φ(y).
При использовании центром системы стимулирования (4) (на- зываемой в теории активных систем квазикомпенсаторной
[22, 78, 79]), максимальное значение целевой функции равно нулю и принимает это значение в двух точках, то есть P(
σ
*
) = {0}
∪ {y
*
}.
В [78, 79] доказано, что оптимальной является такая допусти- мая система стимулирования, на которой достигается минимум затрат центра на стимулирование по реализации действий АЭ.
Поэтому докажем, что система стимулирования (4)-(5) характери- зуется минимальными затратами центра на стимулирование. Пусть существует система стимулирования
σ
, такая, что
y
*
∈ P(
σ
),
σ
(y
*
) <
σ
*
(y
*
). Условие реализуемости имеет вид:
1
В теории активных систем существует семейство теорем, дающих
оптимальное решение задачи стимулирования в различных моделях АС
[22, 79]. Поэтому теорема 2.3 может рассматриваться как результат
применения этой общей методологии к конкретной модели оперативного
управления продолжительностью проекта.

80
∀ y ∈ A
σ
(y
*
) – c(y
*
)
≥
σ
(y) – c (y).
Подставим в это условие y = 0. Получим:
σ
(y
*
) – c(y
*
)
≥
σ
(0).
В силу введенных предположений
σ
<0, что противоречит А.2.4.
•
Пример 3. В частном случае, когда штрафы центра линейны:
χ(t) = χ
0
t, действие (5) единственно (так как штрафы линейны, а функция затрат АЭ строго выпукла), следовательно на отрезке
[0; T – T
0
] функция {c(y) -
χ
0
y)} достигает единственного максиму- ма. Более того, оптимальное решение оказывается устойчивым по параметрам модели в следующем смысле.
Обозначим
ξ = c
’ –1
(
χ
0
), где c
’ –1
(
⋅) – функция, обратная произ- водной функции затрат АЭ (она существует в силу А.2.5). Тогда оптимальное решение задачи (3) можно записать в виде:
(6) y
*
(
ξ) =



+
≥
+
≤
−
ξ
ξ
ξ
0 0
0
,
,
T
T
T
T
T
T
Содержательно, в случае линейных штрафов центру не обяза- тельно знать «точную» оценку реального времени T завершения проекта (неизвестного и приближенно оцениваемого в ходе его реализации), если оптимистичная оценка задержки T – T
0
времени завершения проекта превышает величину
ξ, которая зависит от внешних штрафов и функции затрат АЭ, то оптимальное с точки зрения внешних выплат центра сокращение продолжительности проекта «не зависит» от оценки будущей его продолжительности.
•
Итак, мы рассмотрели задачу оптимизации продолжительности проекта за счет использования механизмов стимулирования в одноэлементной активной системе. Перейдем к описанию много- элементного случая.
Пусть имеется многоэлементная АС с n
≥ 1 активными элемен- тами, каждый из которых отвечает за соответствующую операцию
(комплекс которых и составляет проект) и может сокращать ее продолжительность, независимо от продолжительности других операций. Обозначим y
i
≥ 0 – время сокращения i-ой операции,
i
∈ I, где I = {1, 2, …, n} – множество АЭ.
Время сокращения продолжительности проекта
∆T зависит от порядка выполнения и технологической связи операций и является функцией от сокращений каждой из операций (как критических,
так и околокритических), то есть:
∆T = Y(y
1
, y
2
, …, y
n
). Получили

81
многоэлементную активную систему со слабо связанными элемен- тами [79].
Пусть центр решил n задач типа (3) – по одной для каждого
АЭ. Результатом является набор {
ϑ
i
(y
i
)} минимальных затрат цен- тра на стимулирование по реализации
1
соответствующего вектора y
действий АЭ: y = (y
1
, y
2
, ,…, y
n
). Целевая функция центра имеет при этом вид:
Φ(y) = χ(T – T
0
– Y(y)) -
∑
∈
I
i
ϑ
i
(y
i
).
Следовательно, задача стимулирования заключается в поиске такого допустимого (y
∈ A’ = ℜ
n
) вектора действий АЭ, который минимизировал бы целевую функцию центра
Φ(y). Задача
Φ(y) →
A
y
′
∈
min является стандартной задачей условной оптимизации.
В качестве ограничения множества допустимых действий АЭ
может выступать, например, бюджетное ограничение: если фонд оперативного управления центра ограничен величиной R, то, оче- видно, допустимыми будут такие действия, для которых имеет место: A’ = {y
∈
+
ℜ
n
|
∑
∈
I
i
ϑ
i
(y
i
)
≤ R}.
В зависимости от технологической взаимосвязи показателей операций (см. раздел 1.4, посвященный проблемам агрегирования показателей освоенного объема) возможны различные зависимости
Y(
⋅). Например, если операции выполняются последовательно, то
∆T =
∑
∈
I
i
y
i
, если параллельно, то
∆T =
I
i
∈
min
y
i
и т.д.
Проиллюстрируем использование предложенного похода к решению задач стимулирования в многоэлементных АС на сле- дующем примере.
Пример 4. Предположим, что штрафы линейны, а бюджетное ограничение отсутствует и
∆T =
∑
∈
I
i
y
i
, тогда получаем набор
1
В случае оптимальности компенсаторных функций стимулирования
минимальные затраты центра на стимулирование определяются затра-
тами АЭ, то есть имеет место:
ϑ
i
(y
i
) = c
i
(y
i
), i
∈ I.

82
одноэлементных задач, в каждой из которых оптимально решение типа (6) с соответствующей функцией
ξ
i
(
⋅) =
1
'
−
i
c
(
⋅), i ∈ I.
Если
∆T =
I
i
∈
min
y
i
, тогда, очевидно, что в оптимальном реше- нии все АЭ должны завершить свои операции одновременно, то есть
∃ v ≥ 0: ∀ i ∈ I y
i
= v. Следовательно, решение задачи стиму- лирования заключается в поиске такого значения скалярной вели- чины v, которое минимизировало бы целевую функцию центра, то есть:
χ(T – T
0
– v) -
∑
∈
I
i
ϑ
i
(v)
→
0
min
≥
v
. Получили стандартную зада- чу скалярной оптимизации. Если штрафы линейны, то оптималь- ным оказывается следующее сокращение продолжительности проекта: v
*
=
)
(
)
(
0 1
'
χ
−
∈




⋅
∑
I
i
i
c
•
Итак, задача оперативного управления продолжительностью проекта в случае многоэлементной АС со слабо связанными АЭ
сводится к параметрическому набору одноэлементных задач сти- мулирования и задаче поиска оптимальных значений параметров.
Основную сложность при этом представляет решение одноэле- ментных задач
1
, так как второй этап сводится к стандартной задаче условной или безусловной оптимизации. Поэтому при изучении задач стимулирования в условиях неопределенности мы ограни- чимся рассмотрением, в основном, одноэлементных задач.
Рассмотрев детерминированные задачи стимулирования, пе- рейдем к рассмотрению задач оперативного управления продолжи- тельностью проекта в условиях неопределенности.
1
Для случая сильно связанных АЭ игра АЭ может быть декомпозирована.
При этом оптимальной является «компенсаторная» «одноэлементная»
система стимулирования, то есть сделанные качественные выводы,
относительно необходимости акцентирования основного внимания на
специфике одноэлементных задач, остаются в силе и в общем случае
многоэлементных АС, то есть при сильно связанных активных элемен-
тах.

83 2.2.2. Внешняя интервальная неопределенность относительно результатов деятельности АЭ
В рамках модели, рассмотренной в предыдущем подразделе,
предположим, что реальное сокращение z
∈ A
0
= A = [0; +
∞) про- должительности проекта зависит от действия АЭ и от состояния природы. Будем считать, что, выбирая свои стратегии, участники проекта имеют информацию лишь об интервале возможных значе- ний: z
∈ Z(y) = [Q
-
(y); Q
+
(y)]. Кроме того, предположим, что дейст- вия, выбираемые АЭ, не наблюдаются центром, которому стано- вится известен лишь результат деятельности.
Поэтому стимулирование АЭ центром уже не может (как в детерминирован- ном случае) основываться на действиях АЭ, а должно зависеть от неопределенной величины – результата деятельности.
Целевая функция АЭ равна: f(
σ, y, z) = σ(z) – c(y). Устраняя ин- тервальную неопределенность, то есть применяя метод максималь- ного гарантированного результата (МГР), получим, что гарантиро- ванное значение целевой функции АЭ равно:
(7) f
Г
(
σ, y) =
)
(
min
y
Z
z
∈
σ(z) – c(y).
Следовательно, в рассматриваемой модели множество реали- зуемых действий АЭ есть P(
σ) = Arg
A
y
∈
max
f
Г
(
σ, y).
Введем следующее предположение:

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

---

А.2.6.
∀ y ∈ A Q
-
(y)
≤ y, Q
+
(y)
≥ y; Q
-
(
⋅), Q
+
(
⋅) – строго возрас- тающие непрерывные функции.
Если целевая функция центра зависит от фактического сокра- щения продолжительности проекта z
∈ A
0
, то ее гарантированное значение равно:
(8)
Φ
Г
(
σ, y) =
)
(
max
y
Z
z
∈
Φ(z, σ).
Итак, задача стимулирования имеет вид:
(9)




∈
→
Φ
≥
−
∈
∈
)
,
(
max min
)
),
(
(
г
0
*
]
;
0
[
,
*
*
г
0
*
y
f
Arg
y
y
y
y
T
T
y
M
σ
σ
σ
Задача (9) является детерминированной задачей стимулирова- ния (см. задачу (3)).

84
Теорема 2.4а. Система стимулирования
(10)
σ(y
*
, z) =



∉
∈
+
−
+
−
)]
(
);
(
[
,
0
)]
(
);
(
[
),
(
*
*
*
*
*
y
Q
y
Q
z
y
Q
y
Q
z
y
c
,
реализует действие АЭ y
*
. Оптимальное значение реализуемого действия АЭ определяется следующим выражением:
(11) y
*
= arg
]
,
0
[
0
min
T
T
y
−
∈
)
(
max
y
Z
z
∈
Φ(z, σ(z)).
При этом гарантированное значение целевой функции АЭ рав- но нулю.
Реализуемость действия y
*
∈ A системой стимулирования (10)
следует из определения гарантированной реализуемости и предпо- ложения А.2.6. Справедливость остальных утверждений теорема
2.4а очевидна.
•
Отметим, что в условиях теоремы 2.4а не фигурирует правая граница Q
+
(y) диапазона возможных значений результата деятель- ности при заданном действии. Это объясняется тем, что при вычис- лении МГР в (7) и (8) используется минимум (соответственно,
максимум) про множеству Z(y) (см. также [79]).
Содержательно, для того, чтобы побудить АЭ выбрать дейст- вие y
*
∈ A центр вынужден компенсировать ему затраты в размере
c(y
*
) во всем множестве Z(y).
Предположим, что функция штрафов центра монотонна, тогда целевая функция центра имеет вид:
Φ(y) =
)
(
max
y
Z
z
∈
{
χ(T – T
0
– z) +
σ(y, z)}.
Так как функция штрафов монотонна, а система стимулирова- ния (10) кусочно-постоянна, то
Φ(y) = χ(T – T
0
–Q
-
(y)) + c(y). Задача
Φ(y) →
0
min
≥
y
является скалярной оптимизационной задачей.
Пример 5. Пусть левая граница множества возможных резуль- татов деятельности имеет следующий вид: Q
-
(y) = (1-
∆
-
)y, где вы- полнено:
∆
-
∈ [0; 1], а функция штрафов линейна. Тогда получаем,
что оптимальное решение y
*
= arg
0
min
≥
y
Φ(y) имеет вид (3), где
ξ(⋅) = c
’-1
((1 –
∆
-
)
χ
0
).
Легко проверить, что с ростом неопределенности (увеличением
∆
-
∈ [0; 1]) эффективность стимулирования не возрастает. В пре-

85
дельном случае (при
∆
-
= 0) решение задачи в условиях неопреде- ленности переходит в решение соответствующей детерминирован- ной задачи, что вполне согласуется с общими принципами, изло- женными в [79].
•
Рассмотрим теперь случай, когда на момент принятия решений участники АС информированы асимметрично (данная модель близка к задачам стимулирования, рассмотренным в [79]): АЭ знает достоверно каким будет результат деятельности z
∈ A
0
в зависимо- сти от выбираемого им действия: z = z(y), а центр имеет информа- цию об интервале возможных значений: z(y)
∈ Z(y). Для простоты можно положить
∀ y ∈ A z(y) = y.
Целевая функция АЭ равна: f(
σ, y) = σ(z(y)) – c(y). Следова- тельно, в рассматриваемой модели множество реализуемых дейст- вий АЭ есть P(
σ) = Arg
A
y
∈
max
{
σ(z(y)) – c(y)}.
Если целевая функция центра зависит от фактического сокра- щения продолжительности проекта z
∈ A
0
, то ее гарантированное значение равно:
(12)
Φ
Г
(
σ, y) =
)
(
max
y
Z
z
∈
Φ(z, σ).
Итак, задача стимулирования имеет вид:
(13)




−
∈
→
Φ
≥
−
∈
∈
)}
(
))
(
(
{
max min
)
),
(
(
0
*
]
;
0
[
,
*
*
г
0
*
y
c
y
z
Arg
y
y
y
y
T
T
y
M
σ
σ
σ
Задача (13) является детерминированной задачей стимулиро- вания (см. задачу (3)).
Теорема 2.4б. Система стимулирования
(14)
σ(y
*
, z) =



∉
∈
+
−
+
−
)]
(
);
(
[
,
0
)]
(
);
(
[
),
(
*
*
*
*
*
y
Q
y
Q
z
y
Q
y
Q
z
y
c
,
реализует действие АЭ y
*
. Оптимальное с точки зрения центра значение реализуемого действия АЭ определяется следующим выражением:
(15) y
*
= arg
]
,
0
[
0
min
T
T
y
−
∈
)
(
max
y
Z
z
∈
Φ(z, σ(z)).
При этом гарантированное значение целевой функции АЭ равно:
f
Г
(y
*
) = c(y
*
) – c(Q
-
(y
*
))
≥ 0.

86
Доказательство теоремы 2.4б аналогично доказательству тео- ремы 2.4а и опускается. Обсудим качественное различие результа- тов.
Отличие моделей заключается в том, что в задаче (13), по сравнению с задачей (10), АЭ достоверно знает зависимость между своим действием и результатом деятельности, а центру по- прежнему известен лишь интервал возможных значений. Следова- тельно, имеет место асимметричная информированность участни- ков. Так как в обоих случаях информированность центра одинако- ва, то одинакова в обоих случаях и максимальная гарантированная эффективность управления (максимальное гарантированное значе- ние целевой функции центра на множестве гарантированно реали- зуемых действий АЭ). Отличие в информированности АЭ приводит к тому, что увеличивается гарантированное значение его целевой функции. Системы стимулирования (11) и (14) одинаковы, однако
АЭ имеет возможность «обмануть центр», то есть выбрать действие
Q
-
(y
*
) (обеспечив тем самым z = Q
-
(y
*
)) и получить при этом возна- граждение c(y
*
) превышающее его реальные затраты c(Q
-
(y
*
)).
В предельном случае, то есть при увеличении информирован- ности участников АС, задачи (10) и (13) и их решения переходят,
соответственно, в детерминированную задачу (3) и ее решение (5),
то есть принцип соответствия [79] имеет место.
2.2.3. Внешняя вероятностная неопределенность относительно результатов деятельности АЭ
В рамках модели, рассмотренной в предыдущем подразделе,
предположим, что реальное сокращение z
∈ A
0
= [0; +
∞) продол- жительности проекта зависит от действия АЭ, но является случай- ной величиной с интегральной функцией условного распределения
F(z, y) – модель теории контрактов [79, 105, 107, 133-136, 144].
Будем считать, что, выбирая свои стратегии, участники проекта имеют информацию лишь об этом распределении. Кроме того,
предположим, что действия, выбираемые АЭ, не наблюдаются центром, которому становится известен лишь результат деятельно- сти. Поэтому стимулирование АЭ центром уже не может (как в детерминированном случае) основываться на действиях АЭ, а

87
должно зависеть от случайной величины – результата деятельно- сти.
Дополнительно к предположениям А.2.4 и А.2.5 введем сле- дующее предположение относительно свойств функции распреде- ления (модель простого активного элемента [22, 79, 42]):
А.2.7. F(z, y) =



≥
<
y
z
y
z
z
F
,
1
),
(
, F(T - T
0
) < 1.
Содержательно предположение А.2.7 означает, что реальное сокращение продолжительности проекта оказывается не большим,
чем действие АЭ. Кроме того, считается, что, даже если АЭ ориен- тируется (выбирает действие) на такое сокращение длительности,
что продолжительность проекта в детерминированном случае оказалась бы меньшей, чем плановая, то существует ненулевая вероятность того, что фактическая продолжительность проекта превысит плановую.
Так как функции полезности (не путать с целевыми функция- ми! [78]) участников проекта:
(16)
Φ(σ(z), z) = σ(z) + χ(z),
(17) f(
σ(z), z) = σ(z) – c(z)
зависят от случайных величин, распределения которых им известны, будем считать, что они выбирают свои стратегии, стре- мясь максимизировать ожидаемую полезность. Таким образом,
целевые функции участников определяются их ожидаемой полез- ностью, то есть имеет место
1
:
Φ(σ, y) = E Φ(σ, z) = E {σ(z) + χ(T –
T
0
– z)}, f(
σ, y) = E f(σ, z) = E {σ(z) – c(z)}, а задача управления имеет вид:
(18)





∈
→
Φ
∫
∫
≥
−
∈
∈
0 0
*
0
)
,
(
)
),
(
(
max min
)
,
(
)
),
(
(
0
*
]
;
0
[
,
*
A
y
T
T
y
M
A
dz
y
z
p
z
z
f
Arg
y
dz
y
z
p
z
z
σ
σ
σ
.
1
Символ «E» обозначает оператор вычисления математического ожи-
дания.

88
Теорема 2.5а. Оптимальное решение
σ
*
(z) задачи (18) имеет вид:
(19)
σ
*
(z
*
, z) =



>
≤
*
*
,
0
),
(
z
z
z
z
z
c
,
где оптимальное значение результата деятельности АЭ z
*
определя- ется следующим выражением:
(20) z
*
= arg
]
,
0
[
0
min
T
T
y
−
∈
Φ(σ
*
, y).
Доказательство теоремы 2.5а использует тот факт, что в моде- ли простого АЭ стационарные точки функции полезности и целе- вой функции совпадают, то есть, практически, повторяет доказа- тельство утверждения 3.1.15, приведенного в работе [79], и по этой причине опускается.
Если затраты АЭ зависят не от результата его деятельности, а непосредственно (и только!) от его действия, то есть c = c(y), то дело обстоит несколько более сложным образом. Для этого случая оптимальное решение задачи оперативного управления дается следующей теоремой.
Теорема 2.5б. Если затраты АЭ зависят от его действия, то оп- тимальное решение
σ
*
(z) задачи (18) имеет вид:
(21)
σ
*
(y
*
, z) =





≠
=
−
*
*
*
*
,
0
,
)
(
1
)
(
y
z
y
z
y
F
y
c
,
где оптимальное значение результата деятельности АЭ z
*
определя- ется следующим выражением
1
:
(22) z
*
= arg
A
y
∈
max
{с(y) + E
χ(T – T
0
– z)}.
Докажем, что система стимулирования (21)
2
реализует дейст- вие y
*
∈ A. Ожидаемая полезность АЭ равна:
1
Символ «E» обозначает оператор математического ожидания.
2
Отметим, что в работе [42] для близкой к рассматриваемой задачи
(также в модели простого АЭ) была доказана оптимальность следующей
системы стимулирования:
∫
−
=
z
dx
x
F
x
c
z
w
0 0
)
(
1
)
(
'
)
(
.

89
f(y,
σ) =
∫
y
0
σ(z) p(z) dz + σ(y)[1 – F(y)] – c(y).
Подставляя систему стимулирования (21), легко видеть, что выполнено условие реализуемости:
∀ y ∈ A f(y
*
,
σ
*
)
≥ f(y, σ
*
).
Докажем, что (21) минимизирует затраты центра на стимули- рование. Предположим противное, то есть пусть существует
σ
∈ M, такое, что выполнено:
(23)
∫
*
0
y
σ
(z) p(z) dz +
σ
(y
*
)[1 – F(y
*
)] < E
σ
*
(y
*
, z) = c(y
*
).
Подставляя в условие реализуемости действия y
*
системой стимулирования
σ
конкретное значение действия АЭ: y = 0, полу- чим (первое неравенство следует из (23)):
0 >
∫
0
A
σ
(z)p(z, y
*
) dz – c(y
*
)
≥
σ
(0) – c(0),
что противоречит А.2.4.
•
Сравним эффективность стимулирования в двух случаях. Пер- вый случай - когда функция затрат АЭ зависит от результата его деятельности, второй случай когда функция затрат АЭ зависит от его действия. Так как множества A и A
0
совпадают, то будем рас- сматривать одну и ту же функцию затрат c(
⋅).
Следствие. Эффективность стимулирования в случае, когда за- траты АЭ зависят от ненаблюдаемого центром действия АЭ, не выше, чем в случае, когда затраты АЭ зависят от его результата деятельности, наблюдаемого центром.
Вычислим ожидаемое значение функции стимулирования (19):
E
σ
*
(z
*
, z) =
∫
*
0
z
c(z) p(z) dz + c(z
*
)[1 – F(z
*
)]
≤ c(z
*
).
Последнее неравенство получено оценкой интеграла сверху в силу монотонности и неотрицательности затрат АЭ.
В ходе доказательства теоремы 2.5б было установлено, что ожидаемое значение функции стимулирования (21) равно следую- щей величине : E
σ
*
(y
*
, z) = c(y
*
).

90
Если приравнять действия y
*
и z
*
, реализуемые, соответствен- но, системами стимулирования (21) и (19), то получим:
E
σ
*
(y
*
, z)
≥ E σ
*
(z
*
, z).
Так как минимальные затраты на стимулирование по реализа- ции любого действия системой стимулирования (21) выше, чем системой стимулирования (19), то по теореме о минимальных затратах на стимулирование [78] получаем утверждение следст- вия.
•
Итак, теоремы 2.5а и 2.5б дают решение задачи синтеза опти- мальной функции стимулирования, побуждающей простой актив- ный элемент к сокращению времени выполнения проекта.
Проверим выполнение принципа соответствия – при «предель- ном переходе» от вероятностной АС (рассматриваемой модели простого АЭ) к соответствующей детерминированной АС опти- мальные решения должны совпадать. Действительно, система стимулирования (19) переходит в оптимальную в детерминирован- ной модели компенсаторную систему стимулирования [79], а (21) в точности совпадает с оптимальной квазикомпенсаторной системой стимулирования (4).
2.2.4. Внешняя нечеткая неопределенность относительно результатов деятельности АЭ
В рамках модели, рассмотренной в предыдущем подразделе,
предположим, что реальное сокращение z
∈ A
0
= [0; +
∞) продол- жительности проекта зависит от действия АЭ, но, выбирая свои стратегии, участники проекта имеют о нем нечеткую информацию
P

(z, y),
P

: A
× A
0
→ [0; 1]. По-прежнему будем считать, что дей- ствия, выбираемые АЭ, не наблюдаются центром, а стимулирова- ние зависит от результата деятельности, в то время как целевая функция центра зависит от действия АЭ (если в рассматриваемой модели с нечеткой неопределенностью целевая функция центра зависит от результата деятельности АЭ, то в рамках вводимых ниже предположений задача управления сводится [79] к детерми- нированной, то есть описанной выше).
Дополнительно к предположениям А.2.4 и А.2.5 введем сле- дующее предположение относительно свойств нечеткой информа- ционной функции:

91

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

---

А.2.8. Нечеткая информационная функция
P

(z, y) 1- нормальна [82], то есть:
∀ y ∈ A
0
sup
A
z
∈
P

(z, y) = 1 и
∀ z ∈ A
0
∃ y ∈ A:
P

(z, y) = 1.
Так как функции полезности участников проекта (центра и
АЭ):
Φ(σ(z), z) и f(σ(z), z) = σ(z) – c(z) зависят от неопределенных величин, то будем считать, что они выбирают свои стратегии,
недоминируемые по индуцированному нечеткому отношению предпочтения (НОП) [82]. Множество максимально недоминируе- мых (по НОП, индуцированному на множестве A функцией полез- ности АЭ f(z) и нечеткой информационной функцией
P

(z, y))
обозначим
)
),
(

(
0
A
R
P
A
σ
. Алгоритм построения этого множества описан в [75, 82]. Таким образом, задача управления имеет вид:
(24)




∈
→
Φ
−
∈
∈
)
),
(

(
min
)
),
(
(
0 0
*
*
]
;
0
[
,
*
*
A
R
P
y
y
y
A
T
T
y
M
σ
σ
σ
Обозначим Q(z) = {y
∈ A |
P

(z, y) = 1}. Решение задачи (24)
дается следующей теоремой.
Теорема 2.6. Оптимальное решение
σ
*
(z) задачи (24) имеет вид:
(25)
σ
*
(z) =



≠
=
*
*
*
,
0
),
(
z
z
z
z
z
c
,
где оптимальное значение результата деятельности АЭ z
*
в рамках гипотезы благожелательности определяется следующим выражени- ем:
(26) z
*
= arg
0
min
A
z
∈
{
)
(
min
z
Q
y
∈
[c(z) +
χ(T – T
0
– y)]}.
Если гипотеза благожелательности не выполнена, то опти- мальное значение результата деятельности АЭ z
*
определяется следующим выражением:
(27) z
*
= arg
0
min
A
z
∈
{
)
(
max
z
Q
y
∈
[c(z) +
χ(T – T
0
– y)]}.
Множество максимально недоминируемых (по НОП, индуци- рованному на множестве A целевой функцией АЭ f(
σ, z) и нечеткой информационной функцией
P

(z, y)) действий АЭ описывается

---

Глава 3. Прикладная методика освоенного объемаНастоящая глава преследует следующие цели: во-первых, по- казать связь теоретических результатов первых двух глав с практи- ческими задачами управления проектами, и, во-вторых, продемон- стрировать возможность их практического использования в рамках существующих программных средств по управлению проектами.Как отмечалось выше, методика освоенного объема предпола- гает составление полного описания проекта и детального графика его реализации еще на начальной стадии. Это позволяет произво- дить оценки фактических данных и контролировать проект с начала и до полного завершения работ. Преимущество этого инструмента состоит в том, что он позволяет получать надежные данные о ходе выполнения проекта уже на стадии 15-20%-ного его выполнения.Руководитель проекта может использовать эти данные для прогноза затрат, требующихся для завершения всех работ по проекту (см.введение и разделы 1.1 и 1.3). Если на ранней стадии выполнения проекта руководитель получает данные по фактическому выполне- нию проекта, неприемлемые по ряду показателей, это может по- служить для него предупредительным сигналом и позволит пред- принять своевременные шаги для предотвращения нежелательных последствий.Последовательность этапов, составляющих прикладную ме-тодику освоенного объема, приведена на рисунке 15.Рассмотрим подробно этапы, изображенные на рисунке 15.I. ПланированиеКак показано на рисунке 15, фаза планирования состоит из че- тырех основных этапов: (1.1) определение полного объема работ по проекту, (1.2) разработка структуры затрат по проекту (CAP), (1.3)разработка детального графика проекта и (1.4) оптимизация и согласование графика проекта. Рассмотрим подробно эти этапы.1.1. Определение полного объема работ по проекту. Данный этап обычно является наиболее трудным в применении методики освоенного объема. Однако, если не определить на первом этапе полного объема работ (100% объема работ), необходимых для завершения проекта, оценивать ход выполнения проекта становится затруднительным. Без понимания того, что есть 100% работ, прак-

---

---