Добавлен: 09.01.2024
Просмотров: 710
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
задач планирования.Пусть K(x0(⋅), c0(⋅), T0) - некоторый критерий эффективности2Тогда в общем случае задача планирования заключается в выборе допустимых с точки зрения (1)-(5) плановых значений{x0(⋅), c0(⋅), T0}, при которых эффективность K(x0(⋅), c0(⋅), T0) была бы максимальна:(6) K(x0(⋅), c0(⋅), T0)→ )5()1(max−Задача (6), несмотря на свою общность, на практике редко формулируется и решается именно в приведенном виде. Чаще возникает необходимость решать более частные задачи планирова- ния, описываемые ниже. Так как считается, что суммарный объем проекта фиксирован (задан извне), то возможна оптимизация таких характеристик как время выполнения проекта и финансовые пока- затели.Следует признать, что задача минимизации времени выполне- ния проекта может рассматриваться (с формальной точки зрения)как частный случай задачи оптимизации более общих, например,1 Самостоятельный интерес представляет задача определения опти-мальных моментов получения информации, если предположить, чтополучение информации связано с определенными затратами. Рассмотре-ние этой задачи выходит за рамки настоящей работы. Подходы к реше-нию близких задач обсуждаются в [59, 71, 79, 86, 99].2 Здесь и далее, если не оговорено особо, под эффективностью будемпонимать эффективность управления, а не эффективность проекта.
49
финансовых показателей. Тем не менее, ее выделение в качестве самостоятельной задачи оправданно с содержательной точки зре- ния, кроме того задача минимизации времени выполнения проекта является традиционной (даже хрестоматийной) задачей управления проектами.
1. Задача минимизации времени выполнения проекта. Рассмот- рим несколько случаев.
Случай 1.1. Задано бюджетное ограничение с
0
(t), требуется найти допустимую зависимость интенсивности w(
⋅) ∈ W от време- ни:
(7) T
→
W
w
∈
⋅
)
(
min
,
при ограничении
∫
T
d
u
w
0 0
))
(
(
τ
τ
= X
0
, u
0
(t) =
'
0
c
(t) или (2).
Введем следующее множество:
W
= {
w
(t) = w(u
0
(t)) | w(
⋅) ∈ W},
то есть множество таких зависимостей интенсивности от времени,
которые являются допустимыми при известных плановых затратах.
Задача: T
→
W
w
∈
min
, dx(t)/dt =
w
(t), x(0)= 0, x(T) = X
0
является хорошо известной задачей о быстродействии [12, 59, 71]. Из прин- ципа максимума следует, что оптимальным является следующая
(легко угадываемая даже интуитивно) зависимость интенсивности от времени:
w
*
(t) =
W
t
w
∈
)
(
max
w
(t). Содержательно, интенсивность должна быть максимально возможной при заданном количестве ресурса.
Более сложные оптимальные решения могут появляться в слу- чае, когда интенсивность зависит от освоенного объема: T
→
W
w
′
∈
min
,
)
),
(
),
(
(
)
(
0
t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
, x(0) = 0, x(T) = X
0
.
Случай 1.2. Задана интенсивность w
0
(t) и ограничения на за- траты, требуется найти допустимую зависимость ресурсов (и,
следовательно, затрат) от времени:
(8) T
→
U
u
∈
⋅
)
(
min
,
50
при ограничении dx(t)/dt = w
0
(u(t)), x(0)= 0, x(T) = X
0
или (2).
Задача (8) является канонической задачей о быстродействии
[12, 59, 71].
Возможно объединение случаев 1.1. и 1.2., то есть поиск одно- временно допустимых зависимостей и затрат, и интенсивностей,
минимизирующих время выполнения проекта. Получающаяся при этом задача решается следующим образом.
Рассмотрим исходную систему уравнений:
=
=
))
(
(
)
(
)
(
)
(
t
u
w
t
x
t
u
t
c
&
&
с ограничениями:
u
∈ U = {u(t) | ∀ t ≥ 0 0 ≤ u(t) ≤ u
max
(t)},
w
∈ W = {w(t) | ∀ u ∈U 0 ≤ w(t) ≤ w
max
(t)}, x(0) = 0, x(T) = X
0
Пусть имеются два управляющих воздействия – плановые за- траты (и, следовательно, ресурсы) и интенсивность.
Применим принцип максимума Понтрягина [12, 59] для опре- деления допустимой стратегии управления, обеспечивающей ми- нимум времени выполнения проекта.
Запишем гамильтониан: H =
Ψ
1
u(t) +
Ψ
2
w(u(t)). Для сопря- женных переменных имеем:
)
(
1
t
c
H
∂
∂
−
=
Ψ
&
= 0,
)
(
2
t
x
H
∂
∂
−
=
Ψ
&
= 0,
то есть
Ψ
1
(t) = Const,
Ψ
2
(t) = Const.
Условие максимума гамильтониана имеет вид:
u
*
(t) = u
max
(t) Sign
Ψ
1
(t), w
*
(t) = w
max
(t) Sign
Ψ
2
(t),
то есть оптимальной является следующая стратегия: независимо от объема проекта, все время следует использовать максимально возможное количество ресурса с максимально возможной интен- сивностью. Содержательные интерпретации такого решения оче- видны.
2. Задача максимизации финансовой эффективности. Под фи- нансовой эффективностью проекта (при фиксированном его объе- ме) будем понимать либо суммарные затраты на проект (быть может, приведенные к текущему или некоторому будущему) мо- менту времени), либо упущенную выгоду, то есть финансовый показатель зависящий от суммарных затрат на проект, времени его окончания, штрафов за задержку времени выполнения проекта и
51
т.д. В общем случае минимизируемой величиной является некото- рый функционал K
C
= K
C
(c
0
(t), T) (который может задаваться как интеграл от плановой траектории затрат и, быть может, освоенного объема) от плановой динамики затрат или функционал
K
U
= K
U
(u
0
(t), T) от плановой динамики потребления финансовых ресурсов.
Как и при минимизации времени выполнения проекта возмож- ны несколько случаев.
Случай 2.1. Задано (плановое) бюджетное ограничение с
0
(t),
требуется найти допустимую зависимость интенсивности от време- ни, такую, что:
(9) K
C
(c
0
(t), T)
→
0
,
)
(
min
≥
∈
⋅
T
W
w
,
при ограничении
∫
T
d
u
w
0 0
))
(
(
τ
τ
=X
0
, u
0
(t)=
'
0
c
(t) или (2).
Задача (9) является задачей терминального управления
[12, 59, 71] (метод ее сведения к каноническому виду аналогичен использованному при рассмотрении случая 1.1).
Случай 2.2. Задана интенсивность w
0
(t) и ограничение на за- траты, требуется найти допустимую зависимость ресурсов (и,
следовательно, затрат) от времени:
(10) K
C
(c(t), T)
→
0
,
)
(
min
≥
Ξ
∈
⋅
T
c
,
при ограничении
∫
T
d
u
w
0 0
))
(
(
τ
τ
= X
0
, u(t) = c’(t) или (2).
Задача (10) может также интерпретироваться, например, как следующая задача финансового планирования. Пусть проект вы- полняется за счет заемных средств (кредита) с процентной ставкой
δ, причем выплаты по кредиту производятся сразу по завершении проекта, то есть в момент времени T. Тогда задача финансового планирования заключается в определении допустимого графика заимствования средств u(t) с учетом процентов по кредиту (отра- жаемых дисконтирующим множителем
δ):
K
C
(u(t), T) =
∫
−
T
t
T
dt
t
u
e
0
)
(
)
(
δ
→
0
,
)
(
min
≥
∈
⋅
T
U
u
,
dx(t)/dt = w
0
(u(t)), x(0) = 0, x(T) = X
0
52
Сформулированная задача финансового планирования являет- ся задачей терминального управления [12, 59, 71].
Таким образом, в условиях полной информированности при рассмотрении проекта как единого целого задача планирования
(определения оптимальных плановых значений переменных, кото- рые можно в рамках рассматриваемой модели или задачи отнести к управляющим) сводится к известным оптимизационным задачам
(задачам оптимального управления). Проведенное в настоящем разделе рассмотрение позволяет сделать несколько важных мето- дологических выводов.
Во-первых, задача планирования рассматривалась в предполо- жении, что плановые значения всех показателей определяются до момента начала реализации проекта. В то же время, если в ходе реализации проекта обнаруживается отклонение фактических значений показателей освоенного объема от плановых или измене- ние суммарного объема и т.д., то задачи (7)-(10) могут решаться
«заново» с учетом имеющейся информации. При этом техника решения останется без изменений, изменятся лишь «начальное»
значение времени (оно будет равно не нулевому, а текущему),
«начальное» значение освоенного объема (оно также будет равно не нулевому, а текущему) и т.д. Другими словами, задачи оптими- зации параметров проекта (задачи оптимального планирования),
рассмотренные в настоящем разделе, без значительных модифика- ций могут решаться в ходе реализации проекта (как задачи опера- тивного управления) с учетом накопленной информации.
Второй вывод заключается в следующем. Если на этапе плани- рования имелась неопределенность относительно состояния приро- ды, то в ходе реализации проекта при решении задач оперативного управления эта неопределенность может снижаться за счет имею- щейся информации об истории реализации проекта. Для этого при решении соответствующих оптимизационных задач может исполь- зоваться хорошо развитая техника идентификации [62, 99], в част- ности – методы стохастической аппроксимации, дифференциаль- ных и повторяющихся игр и т.д. [73, 83, 97, 98, 143] (см. также раздел 1.2).
И, наконец, в третьих, в качестве гипотезы можно предполо- жить, что при представлении проекта в виде комплекса зависимых операций оптимизационные задачи для показателей освоенного
53
объема операций могут формулироваться и решаться по аналогии с рассмотренными выше задачами. В пользу этой гипотезы, в частно- сти, говорит тот факт, что в теории сетевого планирования и управ- ления на сегодняшний день накоплен богатый опыт теоретического решения и практической реализации (в виде прикладных компью- терных программ) подобного рода задач. Более подробно задачи агрегирования (при представлении проекта в виде комплекса взаи- мосвязанных операций) показателей освоенного объема рассматри- ваются в разделе 1.4.
Поэтому можно считать, что в рамках рассматриваемой модели для задач планирования и оперативного управления проектом в условиях полной информированности существуют эффективные методы решения
1
1.4. Методы агрегирования показателей освоенного объема
В разделах 1.1–1.3 рассматривалось описание проекта в целом в терминах показателей освоенного объема. Агрегированное опи- сание проекта в виде одной операции является первым шагом в создании практически любой [8, 9, 13, 14, 18, 20, 23, 35, 44, 57 и др.] модели управления проектом. Однако большинство реальных проектов имеют сложную структуру и включают множество опера- ций, зависимости между которыми могут иметь достаточно слож- ный вид. Различные представления сложных проектов в виде ком- плексов зависимых операций можно найти в [14, 37, 39 и др.].
Более того, появление и интенсивное развитие сетевого планирова- ния и управления (СПУ) обусловлено именно необходимостью учета зависимостей между операциями.
На сегодняшний день в теории СПУ накоплен богатый опыт анализа и синтеза сетевых моделей проектов (начиная от простей- ших, учитывающих технологические связи при оптимизации вре- мени выполнения проекта [20, 25 и др.], и заканчивая обобщенны- ми сетевыми моделями, представляющими мощный и гибко настраиваемый инструмент анализа, позволяющий учитывать
1
Отдельный вопрос заключается в том, насколько полно на сегодняшний
день эти методы реализованы в существующих методических и про-
граммных средствах управления проектами, однако исследование этого
вопроса выходит за рамки настоящей работы (см. также раздел 3.1).
54
множество типов зависимостей, учитывать неопределенность и решать широкий спектр оптимизационных задач [33, 34]), которые реализованы в виде пакетов прикладных программ.
Одной из основных задач, решаемых при построении модели проекта является задача агрегирования, то есть задача представле- ния комплекса операций в виде комплекса с меньшим числом операций. Необходимость агрегирования очевидна – в крупных проектах менеджеры высшего звена не имеют возможности обра- батывать (даже в условиях автоматизации) информацию о всех деталях выполнения отдельных операций нижнего уровня. Однако агрегирование (как любое сжатие информации [8, 32, 65, 76]) при- водит к потерям, которые отрицательно сказываются на эффектив- ности управления. Поэтому задачу агрегирования качественно можно сформулировать как задачу поиска оптимального (или рационального) компромисса между уменьшением информацион- ной нагрузки на управляющие органы и снижением эффективности управления, вызванным недостаточностью информации. Общие подходы к решению проблем агрегирования при решении задач управления иерархическими системами рассмотрены в [76]. В
настоящем разделе рассматриваются детальное и агрегированное описание комплекса операций в терминах показателей освоенного объема, формулируется проблема агрегирования и предлагаются подходы к ее решению для ряда частных случаев.
Так как и проект в целом, и каждая из составляющих его опе- раций могут быть описаны основными и производными показате- лями освоенного объема (см. раздел 1.2), то основной акцент сле- дует сделать на установление взаимосвязи между этими показателями. Поэтому предположим, что проект состоит из n
операций (см. рисунок 11), каждая из которых характеризуется следующими основными показателями освоенного объема:
X
0i
– суммарный объем i-ой операции, i
∈ I = {1, 2, …, n};
C
0i
– планируемые суммарные затраты на операцию;
Н
0i
T
– планируемое время начала операции;
К
0i
T
– планируемое время окончания операции;
T
0i
=
К
0i
T
-
Н
0i
T
- планируемая продолжительность операции;
x
0i
(t) – планируемая динамика объемов работ по операции;
55
c
0i
(t) – планируемая динамика затрат на операцию;
Н
i
T
– фактическое время начала операции;
К
i
T
– фактическое время окончания операции;
x
i
(t) - освоенный объем операции;
c
i
(t) – фактическая динамика затрат на операцию;
T
i
=
К
i
T
-
Н
i
T
- фактическая продолжительность операции;
C
i
– фактические суммарные затраты на операцию.
план
К
0i
T
Н
0i
T
X
0i
,C
0i
К
i
T
Н
i
T
X
0i
,C
i
факт ан план
К
0n
T
Н
0n
T
X
0n
,C
0n
К
n
T
Н
n
T
X
0n
,C
n
факт ан план
К
01
T
Н
01
T
X
01
,C
01
К
1
T
Н
1
T
X
01
,C
1
факт ан
1-я операция
i-я операция
n-я операция
ПРОЕКТ
Рис. 11. Представление проекта в виде комплекса операций
Параметр операции (интенсивность): w
i
(u
i
), или в более общем случае –
)
),
(
),
(
(
t
t
u
t
x
w
i
i
i
, определяет скорость изменения объема:
))
(
(
)
(
t
u
w
dt
t
dx
i
i
i
=
или в более общем случае
)
),
(
),
(
(
)
(
t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
i
i
i
i
=
, x
i
(
Н
i
T
) = 0, x
i
(
К
i
T
) = X
0i
.
56
Все производные показатели освоенного объема для операций вводятся по аналогии с производными показателями проекта в целом (см. раздел 1.2):
∆с
i
(t) = c
0i
(t) – c
i
(t) - разность между плановыми и фактически- ми затратами на операцию;
∆x
i
(t) = x
0i
(t) – x
i
(t) - разность между плановым и освоенным объемом операции;
α
i
(t) = x
i
(t) / x
0i
(t) – показатель освоенного объема, характери- зует выполнение плана по объему;
β
i
(t) = c
i
(t) / c
0i
(t) – показатель динамики затрат, характеризует соответствие поступления средств директивному графику;
γ
i
(t) = x
i
(t) / c
i
(t) – эффективность использования средств;
τ
сi
(t) = t -
1 0
−
i
c
(c
i
(t)) – текущая задержка по затратам;
τ
xi
(t) = t -
1 0
−
i
x
(x
i
(t)) – текущая задержка по объему;
e
0i
= X
0i
/ C
0i
– плановая эффективность операции;
e
0i
(t) = x
0i
(t) / c
0i
(t) =
β
i
(t)
γ
i
(t) /
α
i
(t) – плановая эффективность использования средств;
e
i
= X
i
/ C
i
– фактическая эффективность операции.
Агрегирование показателей освоенного объема.
При агрегировании временных (t – «физическое» время) и фи- нансовых показателей проблем, как правило, не возникает:
Н
0
T
=
n
i
,
1
min
=
Н
0i
T
- планируемое время начала проекта (в агре- гированном описании проекта, как правило, считается, что
Н
0
T
=
0);
К
0
T
=
n
i
,
1
max
=
К
0i
T
- планируемое время окончания проекта;
Н
T
=
n
i
,
1
min
=
Н
i
T
- фактическое время начала проекта;
К
T
=
n
i
,
1
max
=
К
i
T
- фактическое время окончания проекта;
C
0
=
∑
=
n
i 1
C
0i
– планируемые суммарные затраты на проект;
57
C =
∑
=
n
i 1
C
i
– фактические суммарные затраты на проект;
c
0
(t) =
∑
=
n
i 1
c
0i
(t) – планируемая динамика затрат на проект;
u
0
(t) =
'
0
c
(t) =
∑
=
n
i 1
'
0
i
c
(t) =
∑
=
n
i 1
u
0i
(t) – плановая динамика по- требления ресурсов;
c(t) =
∑
=
n
i 1
c
i
(t) – фактическая динамика затрат на проект
u(t) = c’(t) =
∑
=
n
i 1
'
i
c
(t) =
∑
=
n
i 1
u
i
(t) – фактическая динамика по- требления ресурсов.
Рассмотрим агрегирование показателей освоенного объема.
Введем оператор агрегирования Q(
⋅):
n
+
ℜ
→
1
+
ℜ
освоенного объе- ма, то есть будем считать что освоенный объем проекта в целом определяется
1
по освоенным объемам операций следующим обра- зом: x(t) = Q(x
1
(t), x
2
(t), …, x
n
(t)).
Предположим, что оператор агрегирования Q(
⋅
) обладает сле- дующими свойствами (их содержательные интерпретации очевид- ны):
1. Непрерывность по всем переменным.
2. Монотонность по всем переменным.
3. Q(0, 0, …, 0) = 0, Q(X
01
, X
02
, …, X
0n
) = X
0
Введенные предположения о свойствах оператора агрегирова- ния необременительны и им удовлетворяет множество различных операторов. Примером может служить вычисление среднего ариф- метического
2
агрегируемых переменных и т.д.
1
Следует отметить, что выбор того или иного оператора Q(
⋅) должен
быть обусловлен спецификой рассматриваемого проекта и, в первую
очередь, учитывать именно ее. Другими словами, можно условно счи-
тать, что в каждом конкретном случае вид оператора агрегирования
задан «объективно».
2
Использование в качестве операторов агрегирования взвешенных сумм
показателей освоенного объема операций оправданно в случае, когда
49
финансовых показателей. Тем не менее, ее выделение в качестве самостоятельной задачи оправданно с содержательной точки зре- ния, кроме того задача минимизации времени выполнения проекта является традиционной (даже хрестоматийной) задачей управления проектами.
1. Задача минимизации времени выполнения проекта. Рассмот- рим несколько случаев.
Случай 1.1. Задано бюджетное ограничение с
0
(t), требуется найти допустимую зависимость интенсивности w(
⋅) ∈ W от време- ни:
(7) T
→
W
w
∈
⋅
)
(
min
,
при ограничении
∫
T
d
u
w
0 0
))
(
(
τ
τ
= X
0
, u
0
(t) =
'
0
c
(t) или (2).
Введем следующее множество:
W
= {
w
(t) = w(u
0
(t)) | w(
⋅) ∈ W},
то есть множество таких зависимостей интенсивности от времени,
которые являются допустимыми при известных плановых затратах.
Задача: T
→
W
w
∈
min
, dx(t)/dt =
w
(t), x(0)= 0, x(T) = X
0
является хорошо известной задачей о быстродействии [12, 59, 71]. Из прин- ципа максимума следует, что оптимальным является следующая
(легко угадываемая даже интуитивно) зависимость интенсивности от времени:
w
*
(t) =
W
t
w
∈
)
(
max
w
(t). Содержательно, интенсивность должна быть максимально возможной при заданном количестве ресурса.
Более сложные оптимальные решения могут появляться в слу- чае, когда интенсивность зависит от освоенного объема: T
→
W
w
′
∈
min
,
)
),
(
),
(
(
)
(
0
t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
=
, x(0) = 0, x(T) = X
0
.
Случай 1.2. Задана интенсивность w
0
(t) и ограничения на за- траты, требуется найти допустимую зависимость ресурсов (и,
следовательно, затрат) от времени:
(8) T
→
U
u
∈
⋅
)
(
min
,
50
при ограничении dx(t)/dt = w
0
(u(t)), x(0)= 0, x(T) = X
0
или (2).
Задача (8) является канонической задачей о быстродействии
[12, 59, 71].
Возможно объединение случаев 1.1. и 1.2., то есть поиск одно- временно допустимых зависимостей и затрат, и интенсивностей,
минимизирующих время выполнения проекта. Получающаяся при этом задача решается следующим образом.
Рассмотрим исходную систему уравнений:
=
=
))
(
(
)
(
)
(
)
(
t
u
w
t
x
t
u
t
c
&
&
с ограничениями:
u
∈ U = {u(t) | ∀ t ≥ 0 0 ≤ u(t) ≤ u
max
(t)},
w
∈ W = {w(t) | ∀ u ∈U 0 ≤ w(t) ≤ w
max
(t)}, x(0) = 0, x(T) = X
0
Пусть имеются два управляющих воздействия – плановые за- траты (и, следовательно, ресурсы) и интенсивность.
Применим принцип максимума Понтрягина [12, 59] для опре- деления допустимой стратегии управления, обеспечивающей ми- нимум времени выполнения проекта.
Запишем гамильтониан: H =
Ψ
1
u(t) +
Ψ
2
w(u(t)). Для сопря- женных переменных имеем:
)
(
1
t
c
H
∂
∂
−
=
Ψ
&
= 0,
)
(
2
t
x
H
∂
∂
−
=
Ψ
&
= 0,
то есть
Ψ
1
(t) = Const,
Ψ
2
(t) = Const.
Условие максимума гамильтониана имеет вид:
u
*
(t) = u
max
(t) Sign
Ψ
1
(t), w
*
(t) = w
max
(t) Sign
Ψ
2
(t),
то есть оптимальной является следующая стратегия: независимо от объема проекта, все время следует использовать максимально возможное количество ресурса с максимально возможной интен- сивностью. Содержательные интерпретации такого решения оче- видны.
2. Задача максимизации финансовой эффективности. Под фи- нансовой эффективностью проекта (при фиксированном его объе- ме) будем понимать либо суммарные затраты на проект (быть может, приведенные к текущему или некоторому будущему) мо- менту времени), либо упущенную выгоду, то есть финансовый показатель зависящий от суммарных затрат на проект, времени его окончания, штрафов за задержку времени выполнения проекта и
51
т.д. В общем случае минимизируемой величиной является некото- рый функционал K
C
= K
C
(c
0
(t), T) (который может задаваться как интеграл от плановой траектории затрат и, быть может, освоенного объема) от плановой динамики затрат или функционал
K
U
= K
U
(u
0
(t), T) от плановой динамики потребления финансовых ресурсов.
Как и при минимизации времени выполнения проекта возмож- ны несколько случаев.
Случай 2.1. Задано (плановое) бюджетное ограничение с
0
(t),
требуется найти допустимую зависимость интенсивности от време- ни, такую, что:
(9) K
C
(c
0
(t), T)
→
0
,
)
(
min
≥
∈
⋅
T
W
w
,
при ограничении
∫
T
d
u
w
0 0
))
(
(
τ
τ
=X
0
, u
0
(t)=
'
0
c
(t) или (2).
Задача (9) является задачей терминального управления
[12, 59, 71] (метод ее сведения к каноническому виду аналогичен использованному при рассмотрении случая 1.1).
Случай 2.2. Задана интенсивность w
0
(t) и ограничение на за- траты, требуется найти допустимую зависимость ресурсов (и,
следовательно, затрат) от времени:
(10) K
C
(c(t), T)
→
0
,
)
(
min
≥
Ξ
∈
⋅
T
c
,
при ограничении
∫
T
d
u
w
0 0
))
(
(
τ
τ
= X
0
, u(t) = c’(t) или (2).
Задача (10) может также интерпретироваться, например, как следующая задача финансового планирования. Пусть проект вы- полняется за счет заемных средств (кредита) с процентной ставкой
δ, причем выплаты по кредиту производятся сразу по завершении проекта, то есть в момент времени T. Тогда задача финансового планирования заключается в определении допустимого графика заимствования средств u(t) с учетом процентов по кредиту (отра- жаемых дисконтирующим множителем
δ):
K
C
(u(t), T) =
∫
−
T
t
T
dt
t
u
e
0
)
(
)
(
δ
→
0
,
)
(
min
≥
∈
⋅
T
U
u
,
dx(t)/dt = w
0
(u(t)), x(0) = 0, x(T) = X
0
52
Сформулированная задача финансового планирования являет- ся задачей терминального управления [12, 59, 71].
Таким образом, в условиях полной информированности при рассмотрении проекта как единого целого задача планирования
(определения оптимальных плановых значений переменных, кото- рые можно в рамках рассматриваемой модели или задачи отнести к управляющим) сводится к известным оптимизационным задачам
(задачам оптимального управления). Проведенное в настоящем разделе рассмотрение позволяет сделать несколько важных мето- дологических выводов.
Во-первых, задача планирования рассматривалась в предполо- жении, что плановые значения всех показателей определяются до момента начала реализации проекта. В то же время, если в ходе реализации проекта обнаруживается отклонение фактических значений показателей освоенного объема от плановых или измене- ние суммарного объема и т.д., то задачи (7)-(10) могут решаться
«заново» с учетом имеющейся информации. При этом техника решения останется без изменений, изменятся лишь «начальное»
значение времени (оно будет равно не нулевому, а текущему),
«начальное» значение освоенного объема (оно также будет равно не нулевому, а текущему) и т.д. Другими словами, задачи оптими- зации параметров проекта (задачи оптимального планирования),
рассмотренные в настоящем разделе, без значительных модифика- ций могут решаться в ходе реализации проекта (как задачи опера- тивного управления) с учетом накопленной информации.
Второй вывод заключается в следующем. Если на этапе плани- рования имелась неопределенность относительно состояния приро- ды, то в ходе реализации проекта при решении задач оперативного управления эта неопределенность может снижаться за счет имею- щейся информации об истории реализации проекта. Для этого при решении соответствующих оптимизационных задач может исполь- зоваться хорошо развитая техника идентификации [62, 99], в част- ности – методы стохастической аппроксимации, дифференциаль- ных и повторяющихся игр и т.д. [73, 83, 97, 98, 143] (см. также раздел 1.2).
И, наконец, в третьих, в качестве гипотезы можно предполо- жить, что при представлении проекта в виде комплекса зависимых операций оптимизационные задачи для показателей освоенного
53
объема операций могут формулироваться и решаться по аналогии с рассмотренными выше задачами. В пользу этой гипотезы, в частно- сти, говорит тот факт, что в теории сетевого планирования и управ- ления на сегодняшний день накоплен богатый опыт теоретического решения и практической реализации (в виде прикладных компью- терных программ) подобного рода задач. Более подробно задачи агрегирования (при представлении проекта в виде комплекса взаи- мосвязанных операций) показателей освоенного объема рассматри- ваются в разделе 1.4.
Поэтому можно считать, что в рамках рассматриваемой модели для задач планирования и оперативного управления проектом в условиях полной информированности существуют эффективные методы решения
1
1.4. Методы агрегирования показателей освоенного объема
В разделах 1.1–1.3 рассматривалось описание проекта в целом в терминах показателей освоенного объема. Агрегированное опи- сание проекта в виде одной операции является первым шагом в создании практически любой [8, 9, 13, 14, 18, 20, 23, 35, 44, 57 и др.] модели управления проектом. Однако большинство реальных проектов имеют сложную структуру и включают множество опера- ций, зависимости между которыми могут иметь достаточно слож- ный вид. Различные представления сложных проектов в виде ком- плексов зависимых операций можно найти в [14, 37, 39 и др.].
Более того, появление и интенсивное развитие сетевого планирова- ния и управления (СПУ) обусловлено именно необходимостью учета зависимостей между операциями.
На сегодняшний день в теории СПУ накоплен богатый опыт анализа и синтеза сетевых моделей проектов (начиная от простей- ших, учитывающих технологические связи при оптимизации вре- мени выполнения проекта [20, 25 и др.], и заканчивая обобщенны- ми сетевыми моделями, представляющими мощный и гибко настраиваемый инструмент анализа, позволяющий учитывать
1
Отдельный вопрос заключается в том, насколько полно на сегодняшний
день эти методы реализованы в существующих методических и про-
граммных средствах управления проектами, однако исследование этого
вопроса выходит за рамки настоящей работы (см. также раздел 3.1).
54
множество типов зависимостей, учитывать неопределенность и решать широкий спектр оптимизационных задач [33, 34]), которые реализованы в виде пакетов прикладных программ.
Одной из основных задач, решаемых при построении модели проекта является задача агрегирования, то есть задача представле- ния комплекса операций в виде комплекса с меньшим числом операций. Необходимость агрегирования очевидна – в крупных проектах менеджеры высшего звена не имеют возможности обра- батывать (даже в условиях автоматизации) информацию о всех деталях выполнения отдельных операций нижнего уровня. Однако агрегирование (как любое сжатие информации [8, 32, 65, 76]) при- водит к потерям, которые отрицательно сказываются на эффектив- ности управления. Поэтому задачу агрегирования качественно можно сформулировать как задачу поиска оптимального (или рационального) компромисса между уменьшением информацион- ной нагрузки на управляющие органы и снижением эффективности управления, вызванным недостаточностью информации. Общие подходы к решению проблем агрегирования при решении задач управления иерархическими системами рассмотрены в [76]. В
настоящем разделе рассматриваются детальное и агрегированное описание комплекса операций в терминах показателей освоенного объема, формулируется проблема агрегирования и предлагаются подходы к ее решению для ряда частных случаев.
Так как и проект в целом, и каждая из составляющих его опе- раций могут быть описаны основными и производными показате- лями освоенного объема (см. раздел 1.2), то основной акцент сле- дует сделать на установление взаимосвязи между этими показателями. Поэтому предположим, что проект состоит из n
операций (см. рисунок 11), каждая из которых характеризуется следующими основными показателями освоенного объема:
X
0i
– суммарный объем i-ой операции, i
∈ I = {1, 2, …, n};
C
0i
– планируемые суммарные затраты на операцию;
Н
0i
T
– планируемое время начала операции;
К
0i
T
– планируемое время окончания операции;
T
0i
=
К
0i
T
-
Н
0i
T
- планируемая продолжительность операции;
x
0i
(t) – планируемая динамика объемов работ по операции;
55
c
0i
(t) – планируемая динамика затрат на операцию;
Н
i
T
– фактическое время начала операции;
К
i
T
– фактическое время окончания операции;
x
i
(t) - освоенный объем операции;
c
i
(t) – фактическая динамика затрат на операцию;
T
i
=
К
i
T
-
Н
i
T
- фактическая продолжительность операции;
C
i
– фактические суммарные затраты на операцию.
план
К
0i
T
Н
0i
T
X
0i
,C
0i
К
i
T
Н
i
T
X
0i
,C
i
факт ан план
К
0n
T
Н
0n
T
X
0n
,C
0n
К
n
T
Н
n
T
X
0n
,C
n
факт ан план
К
01
T
Н
01
T
X
01
,C
01
К
1
T
Н
1
T
X
01
,C
1
факт ан
1-я операция
i-я операция
n-я операция
ПРОЕКТ
Рис. 11. Представление проекта в виде комплекса операций
Параметр операции (интенсивность): w
i
(u
i
), или в более общем случае –
)
),
(
),
(
(
t
t
u
t
x
w
i
i
i
, определяет скорость изменения объема:
))
(
(
)
(
t
u
w
dt
t
dx
i
i
i
=
или в более общем случае
)
),
(
),
(
(
)
(
t
t
u
t
x
w
dt
t
dx
i
i
i
i
=
, x
i
(
Н
i
T
) = 0, x
i
(
К
i
T
) = X
0i
.
56
Все производные показатели освоенного объема для операций вводятся по аналогии с производными показателями проекта в целом (см. раздел 1.2):
∆с
i
(t) = c
0i
(t) – c
i
(t) - разность между плановыми и фактически- ми затратами на операцию;
∆x
i
(t) = x
0i
(t) – x
i
(t) - разность между плановым и освоенным объемом операции;
α
i
(t) = x
i
(t) / x
0i
(t) – показатель освоенного объема, характери- зует выполнение плана по объему;
β
i
(t) = c
i
(t) / c
0i
(t) – показатель динамики затрат, характеризует соответствие поступления средств директивному графику;
γ
i
(t) = x
i
(t) / c
i
(t) – эффективность использования средств;
τ
сi
(t) = t -
1 0
−
i
c
(c
i
(t)) – текущая задержка по затратам;
τ
xi
(t) = t -
1 0
−
i
x
(x
i
(t)) – текущая задержка по объему;
e
0i
= X
0i
/ C
0i
– плановая эффективность операции;
e
0i
(t) = x
0i
(t) / c
0i
(t) =
β
i
(t)
γ
i
(t) /
α
i
(t) – плановая эффективность использования средств;
e
i
= X
i
/ C
i
– фактическая эффективность операции.
Агрегирование показателей освоенного объема.
При агрегировании временных (t – «физическое» время) и фи- нансовых показателей проблем, как правило, не возникает:
Н
0
T
=
n
i
,
1
min
=
Н
0i
T
- планируемое время начала проекта (в агре- гированном описании проекта, как правило, считается, что
Н
0
T
=
0);
К
0
T
=
n
i
,
1
max
=
К
0i
T
- планируемое время окончания проекта;
Н
T
=
n
i
,
1
min
=
Н
i
T
- фактическое время начала проекта;
К
T
=
n
i
,
1
max
=
К
i
T
- фактическое время окончания проекта;
C
0
=
∑
=
n
i 1
C
0i
– планируемые суммарные затраты на проект;
57
C =
∑
=
n
i 1
C
i
– фактические суммарные затраты на проект;
c
0
(t) =
∑
=
n
i 1
c
0i
(t) – планируемая динамика затрат на проект;
u
0
(t) =
'
0
c
(t) =
∑
=
n
i 1
'
0
i
c
(t) =
∑
=
n
i 1
u
0i
(t) – плановая динамика по- требления ресурсов;
c(t) =
∑
=
n
i 1
c
i
(t) – фактическая динамика затрат на проект
u(t) = c’(t) =
∑
=
n
i 1
'
i
c
(t) =
∑
=
n
i 1
u
i
(t) – фактическая динамика по- требления ресурсов.
Рассмотрим агрегирование показателей освоенного объема.
Введем оператор агрегирования Q(
⋅):
n
+
ℜ
→
1
+
ℜ
освоенного объе- ма, то есть будем считать что освоенный объем проекта в целом определяется
1
по освоенным объемам операций следующим обра- зом: x(t) = Q(x
1
(t), x
2
(t), …, x
n
(t)).
Предположим, что оператор агрегирования Q(
⋅
) обладает сле- дующими свойствами (их содержательные интерпретации очевид- ны):
1. Непрерывность по всем переменным.
2. Монотонность по всем переменным.
3. Q(0, 0, …, 0) = 0, Q(X
01
, X
02
, …, X
0n
) = X
0
Введенные предположения о свойствах оператора агрегирова- ния необременительны и им удовлетворяет множество различных операторов. Примером может служить вычисление среднего ариф- метического
2
агрегируемых переменных и т.д.
1
Следует отметить, что выбор того или иного оператора Q(
⋅) должен
быть обусловлен спецификой рассматриваемого проекта и, в первую
очередь, учитывать именно ее. Другими словами, можно условно счи-
тать, что в каждом конкретном случае вид оператора агрегирования
задан «объективно».
2
Использование в качестве операторов агрегирования взвешенных сумм
показателей освоенного объема операций оправданно в случае, когда