Файл: Проектами.pdf

Глава 2. Механизмы оперативного управления проектами
Во второй главе настоящей работы рассматриваются три об- ширных класса механизмов управления проектами, учитывающих активность как управляющего органа, так и управляемых субъек- тов, и нацеленных, в основном, на оптимизацию такой важнейшей характеристики проекта как фактическое время
1
его завершения.
Первым классом механизмов, рассматриваемым в разделе 2.1,
являются механизмы получения информации о возможной про- должительности проекта от лиц (экспертов), обладающих большей информацией по этому вопросу, чем руководитель проекта. Если эксперты заинтересованы в результатах экспертизы, то возникает проблема манипулируемости (целенаправленного искажения ими сообщаемой информации), решение которой для случая сообщения экспертами скалярных оценок описано в [15]. Однако, во многих случаях эксперту проще сформулировать свое мнение в нечетком виде, поэтому ниже рассматриваются нечеткие механизмы актив- ной экспертизы, оперирующие нечеткими мнениями экспертов.
Вторым классом механизмов, рассматриваемым в разделе 2.2,
являются механизмы стимулирования, в которых решается задача синтеза поощрений исполнителей, при которых они были бы готовы сократить продолжительность проекта на оптимальную с точки зрения проект-менеджера (с учетом затрат на стимулирова- ние исполнителей) величину. Помимо изучения детерминирован- ных моделей, то есть моделей проектов (рассматриваемых как активные системы), функционирующих в условиях полной инфор- мированности, ниже рассматриваются задачи управления продол-
1
В теории сетевого планирования и управления (СПУ) ключевым поня-
тием является понятие критического пути, поэтому когда речь идет о
сокращении продолжительности проекта, в первую очередь необходимо
сокращать критические операции, причем величина сокращения, очевид-
но, не должна превышать минимальный из резервов околокритических
операций. Следовательно, можно рассматривать по отдельности
задачи сокращения каждой из критических операций, то есть в рамках
методологии СПУ достаточно ограничиться рассмотрением набора
одноэлементных задач управления (в терминологии теории активных
систем [22]).

65
жительностью проекта за счет использования механизмов мотива- ции в условиях неопределенности.
Одним из способов снижения неопределенности является со- общение информации от более информированных участников системы менее информированным. На основании сообщенной исполнителями руководителю проекта информации последний определяет значения управляющих параметров, то есть использует механизмы планирования, рассматриваемые в разделе 2.3. Для механизмов планирования исследуется задача манипулируемости и показывается, что использование механизмов с сообщением информации, даже в условиях манипулирования со стороны ис- полнителей, не снижает эффективности управления.
2.1. Механизмы нечеткой активной экспертизы
Под механизмом активной экспертизы понимается следующая модель [15, 17, 21, 43, 76]. Пусть имеются n активных элементов
(АЭ) – экспертов [60, 61], каждый из которых имеет собственные представления r
i
∈ [d; D] ⊆ ℜ
1
(r
i
является точкой пика однопико- вой [22, 78] функций предпочтения i-го АЭ) об оцениваемой ска- лярной величине и сообщает центру информацию s
i
∈ [d; D],
i
∈ I = {1, 2, …, n} о своих предпочтениях. Результат экспертизы
(итоговое мнение, коллективное решение и т.д.) x
∈ [d; D] опреде- ляется в соответствии с процедурой планирования
π(s), то есть x =
π(s), где s = (s
1
, s
2
, …, s
n
) – вектор сообщений экспертов.
Относительно процедуры планирования предполагают:
А.2.1.
π(⋅) - непрерывна, строго монотонно возрастает по всем переменным и удовлетворяет условию единогласия:
∀ z ∈ [d; D]
π(z, z, ..., z) = z.
Без потери общности можно положить d = 0, D = 1.
Если предположить, что каждый из экспертов заинтересован в том, чтобы результат экспертизы был максимально близок к его мнению, то в общем случае он будет сообщать недостоверную информацию, стремясь повлиять на результат в требуемую с его точки зрения сторону. Следовательно, возникает проблема мани- пулируемости механизма активной экспертизы.
В работе [15] доказано, что для любого механизма экспертизы,
удовлетворяющего введенным выше предположениям, существует

66
эквивалентный прямой (неманипулируемый) механизм, причем итоговое мнение в равновесии определяется совокупностью ис- тинных мнений (иногда называемых их идеальными точками)
экспертов r = {r
i
} и числами
ν(π) = {ν
i
(
π)}
N
i 0
=
, определяемыми следующим образом: если собственные представления всех экс- пертов различны и упорядочены в порядке возрастания, то
(1)
ν
k
(
π) = π (
3 2
1
k
0
,...,
0
,
0
,
3 2
1
k
n
−
1
,...
1
,
1
), k =
n
,
0
При этом равновесное итоговое мнение (коллективное реше- ние) x
*
определяется [15]:
(2) x
*
(r,
ν(π)) =
n
k
,
1
max
=
min (
ν
k-1
, r
k
).
Понятно, что последовательность
ν(π) зависит от упорядоче- ния идеальных точек экспертов. В общем случае существует 2
n
разбиений вида (1), однако, так как (2) является соответствующим механизму
π прямым механизмом, все рассуждения можно прово- дить для некоторого фиксированного упорядочения.
Кроме того, в настоящем разделе мы ограничимся анонимны- ми механизмами активной экспертизы, то есть механизмами,
симметричными относительно перестановок АЭ. Если механизм экспертизы является анонимным, то разбиение (1) единственно и не зависит от упорядочений истинных мнений экспертов.
Определим линейный механизм активной экспертизы [76]:
(3)
π
L
(s) =
∑
=
n
k
k
k
s
1
α
,
где
α
k
≥ 0,
∑
=
n
k
k
1
α
= 1. Последовательность (1) для линейного механизма имеет вид:
(4)
ν
k
(
π
L
) = 1 -
∑
=
k
i
i
1
α
, k =
n
,
1
,
ν
0
(
π
L
) = 1.
Очевидно, у любого анонимного механизма последователь- ность
ν(π) разбивает отрезок [0; 1] на N равных частей, в частности
- у анонимного линейного механизма экспертизы
α
i
= 1/N. В рабо- те [76] для анонимных механизмов экспертизы доказано, что в

67
многоуровневых АС они допускают произвольную децентрализа- цию. Кроме того, в упомянутой работе доказано, что для любого механизма экспертизы в двухуровневой АС существует эквива- лентный линейный механизм экспертизы, причем при доказатель- стве этого факта устанавливается следующая взаимосвязь между исходным (нелинейным) механизмом экспертизы и соответствую- щим ему линейным механизмом:
(5)
α
k
=
ν
k-1
-
ν
k
, k =
n
,
1
,
и любой механизм вида (3), являющийся механизмом экспертизы,
удовлетворяет
α
k
> 0, k =
n
,
1
, и для любого механизма экспертизы все элементы последовательности
ν(π), определяемой (1), различ- ны.
При нечетном числе экспертов анонимный механизм активной экспертизы является оптимальным (в смысле погрешности проце- дуры принятия решений в ситуации равновесия относительно базовой процедуры) в классе линейных механизмов [76], и, следо- вательно (см. выше), в классе произвольных механизмов эксперти- зы с соответствующим фиксированным упорядочением истинных мнений экспертов.
Таким образом, мы привели известные результаты исследова- ния механизмов активной экспертизы, позволяющие определять равновесие и описывающие свойства линейных механизмов (см.
(1)-(5)). Важным свойством анонимных механизмов экспертизы является то, что при их исследовании достаточно ограничиться изучением линейных механизмов экспертизы с одинаковыми весами всех экспертов.
Перейдем к рассмотрению нечетких механизмов активной экспертизы, то есть механизмов, в которых сообщения экспертов нечеткие. Для этого, в первую очередь, требуется определить, что понимается под равновесием Нэша в случае, когда стратегии игро- ков нечеткие. Напомним, что в четком случае s
*
∈ S – равновесие
Нэша, тогда и только тогда, когда выполнено:
(6)
∀ i ∈ I ∀ s
i
∈ S
i
f
i
(
*
i
s
,
*
i
s
−
)
≥ f
i
(s
i
,
*
i
s
−
),
где f
i
(s) – целевая функция i-го АЭ, s = (s
1
, s
2
, …, s
n
) – вектор сооб- щений, s
-i
= (s
1
, s
2
, …, s
i-1
, s
i+1
, …, s
n
) – обстановка игры для i-го АЭ.
Обозначим P(
π) – множество четких равновесий Нэша. В
[15, 76] доказано, что P(
π) ≠ ∅.

68
Пусть функции выигрыша игроков f
i
: X
→ ℜ
1
и механизм планирования
π : S → X четкие, а сообщения АЭ нечеткие. Обо- значим
1
i
S

- множество всех нечетких подмножеств множества S
i
,
i
∈ I,
S

- множество всех нечетких подмножеств множества S.
Стратегией i-го АЭ является нечеткое сообщение
i
s
∈
i
S

с функцией принадлежности
)
(

i
s
s
i
µ
. Построим функцию принад- лежности
)
(

s
s
µ
вектора
s
∈
S

[81, 82]:
(7)
)
(

s
s
µ
=
I
i
∈
min
{
)
(

i
s
s
i
µ
}.
Обозначим S(x) = {s
∈ S | π(s) = x},
X

- множество всех не- четких подмножеств множества X. Тогда в соответствии с принци- пом обобщения [82] при нечетких сообщениях АЭ и четкой проце- дуре планирования коллективное решение
x

будет нечетким подмножеством множества [0; 1] с функцией принадлежности
)
(

x
x
µ
, определяемой следующим образом:
(8)
)
(

x
x
µ
=
)
(
sup
x
S
s
∈
)
(

s
s
µ
.
Определим предпочтения экспертов на множестве
X

нечет- ких коллективных решений. Образом нечеткого множества
)
(

x
x
µ
при четком отображении f
i
: X
→ ℜ
1
будет нечеткое множество
i
f

с функцией принадлежности
)
(

i
f
f
i
µ
, которая в силу принципа обобщения удовлетворяет:
(9)
)
(

i
f
f
i
µ
=
)
(
sup
i
i
f
X
x
∈
)
(

x
x
µ
,
где X
i
(z) = {x
∈ X | f
i
(x) = z}. Подставляя (7) и (8) в (9), получим:
(10)
)
(

i
f
f
i
µ
=
)
(
sup
i
i
f
X
x
∈
)
(
sup
x
S
s
∈
I
i
∈
min
{
)
(

i
s
s
i
µ
}.
Выражение (10) есть функция принадлежности нечеткого вы- игрыша АЭ в ситуации игры
s
= (
1

s
,
2

s
, …,
n
s
).
1
Здесь и далее тильда обозначает нечеткость соответствующей
переменной.

69
В общем случае, когда предпочтения АЭ на множестве кол- лективных решений нечеткие, то есть заданы нечеткими отноше- ниям предпочтения (НОП)
i
R

с функциями принадлежности
)
,
(

y
x
i
R
µ
, x, y
∈ X, i ∈ I. Фиксируем для i-го АЭ нечеткую обста- новку
i
s
−

, тогда (8) можно записать как
)

,

,
(

i
i
x
s
s
x
−
µ
. Анало- гично можно записать (10) как:
)

,

,
(

i
i
i
f
s
s
f
i
−
µ
. Тогда обобщенное
НОП i-го АЭ на множестве
i
S

есть [75, 82]:
(11)
)

,

,

(
2 1
i
i
i
i
s
s
s
−
η
=
X
x
x
∈
2 1
,
sup min{
)

,

,
(
1 1

i
i
x
s
s
x
−
µ
,
)

,

,
(
2 1

i
i
x
s
s
x
−
µ
,
)
,
(
2 1

x
x
i
R
µ
}.
Имея НОП (11) можно по аналогии с тем как это делается в
[82] построить для каждого АЭ множество максимально недоми- нируемых при данной обстановке альтернатив, а затем воспользо- ваться (6) для определения нечеткого равновесия Нэша. Такой путь возможен, но трудоемок, поэтому вспомним, что в рассматривае- мой модели предпочтения АЭ четкие, и вернемся к выражению
(10).
Введем на множестве
i
S

отношение «
i
s
−

f
» доминирования стратегий: при фиксированной остановке
i
s
−

игры
2

i
s
i
s
−

f
1

i
s
тогда и только тогда, когда:
(12)
∀
1
i
f
∃
2
i
f
:
2
i
f
≥
1
i
f
и
)

,

,
(
1 1

i
i
i
f
s
s
f
i
−
µ
≤
)

,

,
(
2 2

i
i
i
f
s
s
f
i
−
µ
Рациональным будем считать выбор активным элементом не- доминируемой стратегии. Вектор недоминируемых стратегий назовем нечетким равновесием Нэша. Отметим, что в предельном случае – при переходе к четким стратегиям – введенное нечеткое равновесие Нэша совпадает с (6).
Обозначим
)
(
π
P
– множество нечетких равновесий Нэша.
Очевидно, что выполнено P(
π)
⊆
)
(
π
P
, то есть
)
(
π
P
≠ ∅.
Введем следующее предположение:

70
A.2.2. Функции выигрыша АЭ строго однопиковые с точками пика r
i
; нечеткие множества
i
s
, i
∈ I, нормальны
1
Теорема 2.1. В нечетком анонимном механизме активной экс- пертизы для любого АЭ и для любого равновесного по Нэшу его сообщения существует недоминируемое равновесное по Нэшу четкое сообщение.
Доказательство. В силу предположения А.2.2 множество X
i
(f
i
)
состоит не более чем из двух точек (и не менее, чем одной точки),
которые мы обозначим
)
(
i
i
f
x
−
и
)
(
i
i
f
x
+
,
)
(
i
i
f
x
−
≤
)
(
i
i
f
x
+
Очевидно, что при этом выполнено:
∀
1
i
f
>
2
i
f
)
(
2
i
i
f
x
−
≤
)
(
1
i
i
f
x
−
≤ r
i
≤
)
(
1
i
i
f
x
+
≤
)
(
2
i
i
f
x
+
Выражение (9) при этом упрощается и принимает вид:
(13)
)
(

i
f
f
i
µ
= max {
(

x
µ
)
(
i
i
f
x
−
),
(

x
µ
)
(
i
i
f
x
+
)}.
Пусть при нечеткой обстановке
i
s
−

для i-го АЭ существует нечеткая недоминируемая стратегия
*

i
s
. Сделаем ее четкой (про- изведем «дефаззификацию»), положив соответствующую функцию принадлежности
)
(
*

i
s
s
i
µ
равной нулю всюду, за исключением точки, на которой достигается максимум в (12)-(13).
Получим четкую недоминируемую стратегию i-го АЭ. Анало- гичным образом можно поступить по одиночке и для других АЭ,
получив в итоге четкое равновесие Нэша типа (6), эквивалентное исходному.
•
Следствием утверждения теоремы 2.1 является тот факт, что для любого АЭ и для любой его нечеткой стратегии всегда сущест- вует не худшая для него четкая стратегия. Поэтому, с одной сторо- ны, можно утверждать, что допущение возможности сообщения экспертами нечеткой информации качественно не изменяет
2
струк- туру и свойства равновесных стратегий.
1
Нормальным называется нечеткое множество, максимальное значение
функции принадлежности которого равно единице [82].
2
С содержательной точки зрения нечеткое коллективное решение
может давать лицу, принимающему решение (ЛПР), большую информа-
цию, нежели чем четкое коллективное решение экспертов.

71
С другой стороны, при нечетких сообщениях АЭ расширяется множество равновесных по Нэшу стратегий (P(
π)
⊆
)
(
π
P
), что порождает определенные трудности при построении соответст- вующего прямого механизма (см. также модель интервальной экспертизы ниже). Поясним последнее утверждение более подроб- но. Соответствующим исходному механизму
π(s), π: S → X, пря- мым механизмов h(r), h:
ℜ
n
→ X, называется механизм [17, 78, 85],
в котором АЭ сообщают центру информацию о своих точках пика,
после чего центр вычисляет равновесные s
*
(r) в исходном меха- низме при данных точках пика заявки, то есть h(r) =
π(s
*
(r). Если соответствующий прямой механизм неманипулируем, то есть в нем сообщение достоверной информации является равновесной стратегией каждого АЭ, то он называется эквивалентным прямым механизмом [78, 85].
Если для каждого профиля предпочтений (профилем предпоч- тений в случае однопиковых целевых функций называется вектор точек пика) в исходном (непрямом) механизме существует единст- венное равновесие Нэша (вектор равновесных по Нэшу сообщений
АЭ), то это равновесие подставляется в соответствующий прямой механизм. Именно так дело обстоит в четком механизме активной экспертизы, в котором существует единственное равновесие Нэша и для которого можно построить эквивалентный прямой механизм.
Сложнее дело обстоит, когда существует несколько равнове- сий Нэша. В этом случае для задания соответствующего прямого механизма используют соответствие отбора равновесий, опреде- ляющее единственное для каждого профиля предпочтений равно- весие в непрямом механизме. При этом возникают следующие трудности. Основная проблема заключается в том, что при практи- ческом использовании соответствия отбора равновесий нет ника- кой гарантии, что АЭ выберут равновесие, отбираемое применяе- мым соответствием. Выходов из этой ситуации несколько: либо использование максимального гарантированного (по множеству равновесий при каждом профиле) результата, либо введение до- полнительных гипотез о поведении АЭ (см. интервальные модели экспертизы ниже). В первом случае уменьшается эффективность управления, во втором требуется обоснование вводимых гипотез.
Таким образом, можно сделать следующий качественный вы- вод – при использовании механизмов нечеткой активной эксперти-

72
зы увеличивается информация, поступающая к ЛПР, но, в то же время, возникает неопределенность относительно равновесных стратегий экспертов, снятие которой либо приводит к снижению эффективности данного механизма, либо требует дополнительной информации для введения обоснованных предположений о пове- дении экспертов. И тот и другой способ применимы далеко не во всех ситуациях, встречающихся на практике, поэтому наиболее прямолинейным способом решения проблемы множественности равновесий является отказ от нечеткости, то есть переход к четким механизмам экспертизы, в которых равновесие единственно.
Частным случаем механизмов нечеткой активной экспертизы является класс механизмов интервальной активной экспертизы, к описанию которых мы и переходим. Пусть каждый эксперт (ак- тивный элемент) сообщает центру отрезок
i
s
= [
−
i
s
;
+
i
s
], где
0
≤
−
i
s
≤
+
i
s
≤
1, i
∈ I. Механизм интервальной экспертизы являет- ся частным случаем механизма нечеткой экспертизы, так как первому соответствует конкретная функция принадлежности:
(14)
)
(

i
s
s
i
µ
=



∉
∈
+
−
+
−
]
;
[
,
0
]
;
[
,
1
i
i
i
i
i
i
s
s
s
s
s
s
, i
∈ I.
При использовании анонимного механизма множество S(x)
имеет вид:
S(x) = {s
∈ S |
∑
=
n
i
i
s
1
= nx}.
Коллективное решение является интервалом с функцией при- надлежности:
(15)
)
(

x
x
µ
=






∉
∈
∑
∑
∑
∑
=
+
=
−
=
+
=
−
]
;
[
,
0
]
;
[
,
1 1
1 1
1
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
s
s
nx
s
s
nx

73
Интервальный выигрыш i-го АЭ имеет функцию принадлеж- ности
)
(

i
f
f
i
µ
, определяемую следующим образом
(16)
i
f

µ
=






∉
∉
∈
∈
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
+
=
−
+
=
+
=
−
−
=
+
=
−
+
=
+
=
−
−
]
;
[
)
(
и
]
;
[
)
(
,
0
]
;
[
)
(
или
]
;
[
)
(
,
1 1
1 1
1 1
1 1
1
n
i
i
n
i
i
i
i
n
i
i
n
i
i
i
i
n
i
i
n
i
i
i
i
n
i
i
n
i
i
i
i
s
s
f
nx
s
s
f
nx
s
s
f
nx
s
s
f
nx
.
Построим равновесие Нэша. Пусть АЭ упорядочены в порядке возрастания их точек пика: r
1
≤ r
2
≤ …≤ r
n
. Построим разбиение отрезка [0; 1]:
Ω
i
= [
n
i
n
−
;
n
i
n
1
+
−
], i
∈ I. По аналогии с четким случаем [15] можно утверждать, что если существует (а он если существует, то единственен) АЭ с номером k таким, что r
k
∈ Ω
k
, то он является диктатором, то есть его тока пика будет принадлежать интервальному коллективному решению.
Обозначим
−
Σ
i
=
∑
≠
−
i
j
j
s
,
+
Σ
i
=
∑
≠
+
i
j
j
s
. Структура равновесия
Нэша
*

s
и его свойства в рамках предположений А.2.1-А.2.2
даются следующей теоремой.
Теорема 2.2. 1) Если
−
Σ
i
> nr
i
, то
*

i
s
= [0; a], где a – произ- вольное число из отрезка [0; 1];
Если
+
Σ
i
+ 1 < nr
i
, то
*

i
s
= [a; 1], где a – произвольное число из отрезка [0; 1];
Если nr
i
∈ [
−
Σ
i
;
+
Σ
i
+ 1], то
*

i
s
= [a; b], где a
≤ b и
a
∈ [0; min{nr
i
-
−
Σ
i
; 1}].
Доказательство теоремы 2.2 тривиально, так как заключается в проверке того, что построенные сообщения при фиксированной обстановке являются недоминируемыми, и опускается.
Следствие. В интервальном механизме активной экспертизы диктатором является АЭ с номером k (см. определение выше).
Равновесные сообщения имеют следующий вид:
(17)
∀ i < k
*

i
s
= [0; a],
∀ i > k
*

i
s
= [b; 1],
а сообщение диктатора таково, что r
k
∈ π(
*

s
).

74
Отметим, что в соответствии с результатом теоремы 2.2 одним из равновесий Нэша является сообщение всеми экспертами одина- ковых сообщений, совпадающих с отрезком [0; 1] (см. выражение
(17)), то есть всем интервалом возможных значений оцениваемой величины. Понятно, что подобные сообщения (являющиеся равно- весными!) не несут для ЛПР никакой информации.
Основной качественный результат теоремы 2.2 заключается в том, что в интервальных механизмах активной экспертизы сущест- вует множество равновесий Нэша. Для уменьшения их числа необходимо вводить те или иные гипотезы о поведении АЭ или модифицировать механизм, например, ограничивать «ширину»
отрезков, сообщаемых АЭ, и т.д.
Выше мы рассмотрели модель нечеткой активной экспертизы,
в которой механизм планирования и целевые функции АЭ были четкими, а нечеткими могли быть сообщения АЭ. «Фаззифициро- вать» можно и другие параметры, например, механизм планирова- ния и др. В качестве иллюстрации в заключение настоящего разде- ла кратко рассмотрим модель экспертизы, в которой все параметры за исключением предпочтений АЭ четкие.
Пусть
i
R

– НОП i-го АЭ, i
∈ I, на множестве X = [0; 1],
имеющее функцию принадлежности
)
,
(

y
x
i
R
µ
, i
∈ I. Если страте- гии АЭ и механизм планирования четкие, то четким является и результат экспертизы – коллективное решение.
Механизм планирования
π(⋅) и НОП АЭ
i
R

индуцируют на множестве S
i
= [0; 1] НОП
i
Q

с функцией принадлежности
i
i
i
Q
s
s
s
i
−
,
,
(
2 1

µ
). При фиксированной обстановке игры s
-i
, в част- ном случае, функцию принадлежности НОП
i
Q

можно записать в виде:
)
,
,
(
2 1

i
i
i
Q
s
s
s
i
−
µ
=
))
,
(
),
,
(
(
2 1

i
i
i
i
R
s
s
s
s
i
−
−
π
π
µ
. Значит НОП
i
Q

является прообразом НОП
i
R

при отображении
π(⋅), то есть объединением всех нечетких множеств в S
i
× S
i
, образы которых при этом отображении лежат в нечетком множестве
i
Q

µ
(опреде-

75
ление прообраза нечеткого множества для общего случая приведе- но в [82]).
Построим в S
i
нечеткое подмножество недоминируемых аль- тернатив с функцией принадлежности
(18)
η
i
(s
i
, s
-i
) = 1 -
i
S
z
∈
sup
[
)
,
,
(

i
i
Q
s
s
z
i
−
µ
-
)
,
,
(

i
i
Q
s
z
s
i
−
µ
].
Функцию (18) можно рассматривать как функцию выигрыша
i-го АЭ и определять по ней нечеткое равновесие Нэша. В пре- дельном случае (при переходе к четким предпочтениям АЭ) нечет- кое равновесие Нэша переходит в четкое (см. выражение (6)).

76

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11