МИНОБРНАУКИ РОССИИФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего образования«Тульский государственный университет»Интернет-институтКОНТРОЛЬНАЯ РАБОТАпо дисциплине«Математика»Семестр 1Вариант 1Выполнил: студент гр. ИБ360821Волкова Евгения АлександровнаПроверил: д.ф.-м.н., проф. Христич Д.В.Тула 2022Задание 1.Для определителя найти дополнительный минор элемента a₃₄.Решение:а₃₄ = (-1)³⁺⁴·М₃₄= -1·87 = -87Ответ: -87.Задание 2.Найти матрицы [AB], [BA], [A^-1], если [A]= , [B]= .Решение:а) [AB] = == .б) [BA]== .в) Для нахождения обратной матрицы используем метод присоединенной матрицы в соответствии с формулой: =-48+154+36=141 ; . ; . ; . ; . =2;

---

.

; .

; .

; .

; .

Запишем присоединенную матрицу:



Транспонируем присоединенную матрицу:



Запишем обратную матрицу:



Ответ: а) ; б) ; в) .
Задание 3.

Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее по правилу Крамера.

3х₁ – 2х₂ + 4х₃ = 21

3х₁ + 4х₂ – 2х₃ = 9

2х₁ – х₂ – х₃ = 10

Решение:

Запишем матрицу системы и найдем ее ранг:



Найдем минор второго порядка:



Так как М₂≠0, то [А] имеет ранг не менее 2.

Найдем определитель матрицы [А]:





Так как , то ранг [А] = 3.

Запишем расширенную матрицу:



Найдем минор второго порядка:



Так как , то [А^*] имеет ранг не менее 2.

Найдем минор третьего порядка:

---

Так как , то ранг [А^*] равен 3.RgA = RgA^* = 3, значит, по теореме по теореме Кронекера-Капелли система совместна.Решим систему по правилу Крамера: , значит система имеет единственное решение.Ответ: x₁=5; x₂= -1; x₃=1.Задание 4.Доказать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе:  5,3,1,  1,2,3,  3,4,2,   9,34,20.Решение:Вычислим определитель, составленный из координат векторов : , значит, векторы линейно независимы и образуют базис.Представим вектор в виде линейной комбинации базисных векторов: , Или покоординатно:5х₁ – х₂ + 3х₃= - 93х₁

---

+ 2х₂ – 4х₃= 34

х₁ – 3х₂ + 2х₃= - 20

Решим систему по правилу Крамера:   63  0, значит, система имеет единственное решение.



















Ответ: векторы образуют базис, .
Задание 5.

Вершины пирамиды находятся в точках А(3,−5,−2), В(−4,2,3), С(1,5,7), D(−2,−4,5). Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной из вершины В.

Решение:

a) Объем пирамиды равен:













б) Объем пирамиды также равен





Найдем векторное произведение векторов:





Найдем модуль вектора :





Найдем высоту:

---

Ответ: ед.³; .Задание 6.Найти расстояние от точки M₀ до плоскости, проходящей через точки M₁, M₂, M₃, если М₁(1,3,6), М₂(2,2,1), М₃(-1,0,1), М₀(5,-4,5).Решение:Запишем уравнение плоскости: =0Найдем расстояние d от точки М₀(5,-4,5) до плоскости 2х-3у+z+1=0 по формуле:Ответ: Задание 7.Написать канонические уравнения прямой 4x+y+z+2=0, 2x-y-3z-8=0Решение:Прямая задана в виде пересечения двух плоскостей. Нормальные вектора плоскостей:Прямая лежит в обеих плоскостях, следовательно перпендикулярна векторам .То есть, вектор является направляющим вектором прямой. Найдём направляющий вектор: Выберем какую-нибудь точку на искомой прямой. Для этого найдём одно из решений системы уравнений:4x+y+z+2=02x-y-3z-8=0 Примем z=0, 4х+у+2=0 у=-4х-22х-у-8=0 2х-(-4х-2)-8=0 (1)

1. 
   2х+4х+2-8=0
   

---

Смотрите также файлы

• Биография Игоря Чапурина 1шдд21, Пирожков Даниил.pptx

• Правила являются обязательными для исполнения. Основные правила.doc

• оршаан орта Малімні атыжні.doc

• Перечень вопросов для подготовки к экзамену по дисциплине Основы молекулярной биомедицины.pdf

• 1 билет 1 Геоэкологияны рылымы мен ылыми мазмны.docx