Файл: Контрольная работа по дисциплине Математика Семестр 1 Вариант 1 студент гр. Иб360821.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.01.2024
Просмотров: 85
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Тульский государственный университет»
Интернет-институт
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине
«Математика»
Семестр 1
Вариант 1
Выполнил: студент гр. ИБ360821
Волкова Евгения Александровна
Проверил: д.ф.-м.н., проф. Христич Д.В.
Тула 2022
Задание 1.
Для определителя
найти дополнительный минор элемента a34.Решение:
а34 = (-1)3+4·М34= -1·87 = -87
Ответ: -87.
Задание 2.
Найти матрицы [AB], [BA], [A-1], если [A]=
, [B]=
.Решение:
а) [AB] =
==
.б) [BA]=
=
.в) Для нахождения обратной матрицы используем метод присоединенной матрицы в соответствии с формулой:
=-48+154+36=141
; 
.
; 
.
; 
.
; 
.
=2; 
.
; 
.
; 
.
; 
.
; 
.Запишем присоединенную матрицу:
Транспонируем присоединенную матрицу:
Запишем обратную матрицу:
Ответ: а)
; б) 
; в) 
.Задание 3.
Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее по правилу Крамера.
3х1 – 2х2 + 4х3 = 213х1 + 4х2 – 2х3 = 9
2х1 – х2 – х3 = 10
Решение:
Запишем матрицу системы и найдем ее ранг:
Найдем минор второго порядка:
Так как М2≠0, то [А] имеет ранг не менее 2.
Найдем определитель матрицы [А]:
Так как
, то ранг [А] = 3.Запишем расширенную матрицу:
Найдем минор второго порядка:
Так как
, то [А*] имеет ранг не менее 2.Найдем минор третьего порядка:
Так как
, то ранг [А*] равен 3.RgA = RgA* = 3, значит, по теореме по теореме Кронекера-Капелли система совместна.
Решим систему по правилу Крамера:
, значит система имеет единственное решение.
Ответ: x1=5; x2= -1; x3=1.
Задание 4.
Доказать, что векторы
образуют базис, и найти координаты вектора 
в этом базисе: 
5,3,1, 
1,2,3, 
3,4,2, 9,34,20.Решение:
Вычислим определитель, составленный из координат векторов
:
, значит, векторы линейно независимы и образуют базис.Представим вектор
в виде линейной комбинации базисных векторов:
, 
Или покоординатно:5х1 – х2 + 3х3= - 9
3х1
+ 2х2 – 4х3= 34
х1 – 3х2 + 2х3= - 20
Решим систему по правилу Крамера: 63 0, значит, система имеет единственное решение.
Ответ: векторы
образуют базис, 
.Задание 5.
Вершины пирамиды находятся в точках А(3,−5,−2), В(−4,2,3), С(1,5,7), D(−2,−4,5). Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной из вершины В.
Решение:
a) Объем пирамиды равен:
б) Объем пирамиды также равен
Найдем векторное произведение векторов:
Найдем модуль вектора
:
Найдем высоту:
Ответ:
ед.3; 
.Задание 6.
Найти расстояние от точки M0 до плоскости, проходящей через точки M1, M2, M3, если М1(1,3,6), М2(2,2,1), М3(-1,0,1), М0(5,-4,5).
Решение:
Запишем уравнение плоскости:
=0
Найдем расстояние d от точки М0(5,-4,5) до плоскости 2х-3у+z+1=0 по формуле:
Ответ:
Задание 7.
Написать канонические уравнения прямой 4x+y+z+2=0, 2x-y-3z-8=0
Решение:
Прямая задана в виде пересечения двух плоскостей. Нормальные вектора плоскостей:
Прямая лежит в обеих плоскостях, следовательно перпендикулярна векторам
.То есть, вектор 
является направляющим вектором прямой. Найдём направляющий вектор:
Выберем какую-нибудь точку на искомой прямой. Для этого найдём одно из решений системы уравнений:4x+y+z+2=0
2x-y-3z-8=0
Примем z=0,
4х+у+2=0 у=-4х-22х-у-8=0 2х-(-4х-2)-8=0 (1)
-
2х+4х+2-8=0