ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.01.2024
Просмотров: 148
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
(11.1)
100
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
него сила Лоренца F = qE + q[v
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
этому элементу поверхности выбирается совпадающим с положительным направлением нормали к поверхности, ограничиваемой замкнутым контуром.
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
B
0
⊥
=
B
⊥
+
h
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i p1 − β
2
,
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
B
0
k
=
B
0
,
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
E
0
,
-системе отсчета?
Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, коор- динаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями
Лоренца:
x
0
=
x − v
0
t q
1 −
v
0
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
xv
0
c
2
q
1 −
v
0
c
2
Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:
E
0
k
=
B
0
k
=
E
0
⊥
=
v
0
B
0
⊥
=
v
0
Здесь символами k и ⊥ отмечены продольные и поперечные (по отношению к век- тору
v
0
) составляющие электрического и магнитного полей, β = v
0
/c, c — скорость света в вакууме (c
2
= 1/ε
0
µ
0
).
Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:
E
0
x
= E
0
x
,
B
0
x
= B
0
x
,
E
0
y
=
E
y
− v
0
B
z p1 − β
2
,
B
0
y
=
B
y
+
v
0
E
z c
2
p
1 − β
2
(11.2)
E
0
z
=
E
z
+ v
0
B
y p1 − β
2
,
B
0
z
=
B
z
−
v
0
E
y c
2
p
1 − β
2
где предполагается, что оси координат X и X
0
направлены вдоль вектора v
0
, ось Y
0
па- раллельна оси Y , ось Z
0
— оси Z.
Из уравнений (11.1) и (11.2) видно, что каждый из векторов E
0
и B
0
выражается как через E, так и через B. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнит- ного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.
Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его пре- образования, являются локальными : значения E
0
и B
0
в некоторой пространственно- временной точке K
0
-cистемы отсчета однозначно определяются только через значения E
и B в той же пространственно-временной точке K-системы отсчета.
Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразова- ния полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и B, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяются — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.
2. Векторы E и B связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей сте- пени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (11.2)].
3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от K
0
к K), то достаточно в формулах (11.1) и (11.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные
(и наоборот), а также — знак перед v
0
Частный случай преобразования полей (v
0
c). Если K
0
-система движется отно- сительно K-системы со скоростью v
0
c, то корень в знаменателе формул (11.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
E
0
k
=
E
k
,
B
0
k
=
B
k
,
E
0
⊥
=
E
⊥
+
h
v
0
B
i
,
B
0
⊥
=
B
⊥
−
h
v
0
E
i c
2
(11.3)
Отсюда следует, что
E
0
=
E +
h
v
0
B
i
,
B
0
=
B −
h
v
0
E
i c
2
(11.4)
Заметим, что первую из формул (11.4) можно получить непосредственно и очень про- сто. Пусть в K-системе в некоторый момент t заряд q имеет скорость
v
0
. Действующая на
101
0
B]. Перейдем в инерциальную K
0
-систему, движущуюся относительно K-системы с той же скоростью, что и заряд q в момент t, т. е. со скоростью v
0
. В этот момент заряд q неподвижен в K
0
-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: F
0
= qE
0
. При v
0
c, как в нашем случае, сила инвариантна (F
0
= F), откуда и следует первая из формул (11.4).
Рис. 11.1
Формулу же для преобразования магнитного поля можно полу- чить только с помощью теории относительности в результате до- вольно громоздких выкладок.
Рассмотрим простой пример на применение формул (11.4).
Пример. Большая металлическая пластинка движется с посто- янной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном по- ле (рис. 11.1). Найдем поверхностную плотность зарядов, возника- ющих на плоскостях пластинки из-за ее движения.
Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (11.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
E
0
= [vB] .
Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.
Поверхностная плотность σ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле
0
ибо при равновесии резуль- тирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.38), получим
σ = ε
0
E
0
= ε
0
vB.
Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе от- счета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 11.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряжен- ной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Ло- ренца q[vB], откуда E = −[vB]. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой σ = ε
0
vB.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.
Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (11.1) и
(11.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости c равной скорости свете в вакууме.
Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рас- смотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существу- ет только электрическое поле. А это значит согласно (11.1), что в любой другой K
0
-системе отсчета, если бы c → ∞, никакого магнитного поля B
0
не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности c, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.
Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.
Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить ре- лятивистские эффекты (т.е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине
102
Ньютона не пришлось уточнять.
11.2
Следствия из законов преобразования полей
Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (11.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.
1. Если в K-системе имеется только электрическое поле E (а магнитное B = 0), то между полями E
0
и B
0
в K
0
-системе существует такая связь
B
0
= −
[
v
0
E
0
]
c
2
(11.5)
Действительно,
если
B
=
0,
то
E
0
⊥
=
E
⊥
p
1 − β
2
и
B
0
k
=
0,
B
0
⊥
= −
h
v
0
E
i c
2
p
1 − β
2
= −
h
v
0
E
0
i c
2
, где учтено, что в векторном произведении можно писать как
E, так и
E
⊥
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание,
что
B
0
=
B
0
k
+
B
0
⊥
=
B
0
⊥
, приходим к формуле (11.5).
2. Если в K-системе имеется только магнитное поле B (а электрическое E = 0), то в
K
0
-системе
E
0
= [
v
0
B
0
] .
(11.6)
В самом деле, если E = 0, то
B
0
⊥
=
B
⊥
p
1 − β
2
и
E
0
k
= 0,
E
0
⊥
=
[
v
0
B]
p
1 − β
2
. Заменив в последнем векторном произведении B на B
⊥
и затем B
0
⊥
на B
0
приходим к формуле
(11.6).
Из формул (11.5) и (11.6) вытекает следующий важный вывод:
если в K-системе имеется лишь одно из полей (E или B), то в K
0
-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E
0
⊥B
0
). Заметим,
что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнитель- ных ограничениях, накладываемых на модули векторов E и B.
И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (11.5) и (11.6) входят только ве- личины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.
Рис. 11.2
Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чи- сто практическом отношении, позволяя иногда проще решать неко- торые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобра- зования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу
8.10), что линии E поля свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 11.2, где v — скорость заряда. Изобра- женная здесь картина соответствует мгновенной “фотографии” кон- фигурации электрического поля. Вектор E в произвольной точке P
системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку P .
103
Модуль вектора E определяется формулой
E =
1 4πε
0
q r
2 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
,
(11.7)
где β =
v c
; ϑ — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.
Электрическое поле “сплющивается” в направлении движения заряда (см. рис. 11.2),
причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости c. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, “перемещается” вместе с зарядом,
вследствие чего поле E в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменя- ется со временем.
Зная поле E, можно найти и поле B в этой же системе отсчета:
B =
1
c
2
h
v
E
i
=
µ
0 4π
q [
v
r]
r
3 1 − β
2 1 − β
2
sin
2
ϑ
3 2
(11.8)
Эта формула является следствием соотношения (11.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на −v.
При v c (β 1) выражения (11.6) и (11.9) переходят соответственно в (?1.2) и (?6.3).
11.3
Инварианты электромагнитного поля
Поскольку векторы E и B, характеризующие электромагнитное поле, зависят от систе- мы отсчета (в той же самой пространственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характери- стиках электромагнитного поля.
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой ком- бинации векторов E и B, это
EB = inv ,
E
2
− c
2
B
2
= inv .
(11.9)
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является след- ствием формул преобразования полей (11.1) или (11.2). Более подробно этот вопрос рас- смотрен в задаче 8.9.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто нахо- дить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
104
Глава 12
Электромагнитная индукция
12.1
Электромагнитная индукция
12.1.1
Индукция токов в движущихся проводниках
Дается количественная формулировка индукции токов в движущихся проводниках. Опи- сываются физические процессы в генераторах переменного тока.
Возникновение э. д. с. в движущемся проводнике. При движении проводника в магнитном поле его свободные электроны под действием силы Лоренца приводятся в движение относительно проводника, т. е. в проводнике возникает электрический ток.
Это явление называется индукцией токов в движущихся проводниках.
Рассмотрим прямолинейный участок DG проводника (рис. 12.1), который, двигаясь со скоростью v, скользит по проводникам CK и AL как направляющим, постоянно сохраняя контур AGDCA замкнутым. Индукция внешнего однородного магнитного поля перпен- дикулярна плоскости, в которой лежит контур. На заряды в движущемся проводнике действует сила Лоренца
F = e
v ×
B,
(12.1)
коллинеарная DG. Силы, действующие на положительные и отрицательные заряды про- водника, показаны соответственно векторами F
(+)
и F
(−)
. Свободные электроны приходят в движение и образуют электрический ток. Его направление принимается за положитель- ный обход контура и, следовательно, положительной нормалью к поверхности, в которой лежит контур, является вектор n на этом рисунке.
Рис. 12.1
Наличие силы F [см. (12.1)] эквивалентно тому, что в про- воднике действует на заряды эффективное электрическое поле
E
эф
=
F
e
=
v ×
B
(12.2)
и поэтому э. д. с. индукции между некоторыми точками 1 и 2
проводника равна
(∆E
i
)
21
=
(2)
Z
(1)
E
эф
· d
` =
(2)
Z
(1)
v ×
B · d
` .
(12.3)
В рассматриваемом случае эта э. д. с. возникает между точками D и G:
(∆E
i
)
DG
=
(D)
Z
(G)
vBd` = vB` .
(12.4)
105
На неподвижных участках замкнутого контура электродвижущая сила не образуется. По- этому электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре AGDCA, вызванная дви- жением его части DG во внешнем поле, равна
E
i
=
Z
AGDCA
E
эф
· d
` = vBl .
(12.5)
Выразив скорость проводника DG в виде v =
dx dt
,
(12.6)
где x — координата его контактов в точках D и G с направляющими проводниками, за- пишем (12.5) в виде
E
i
=
dx`B
dt
(12.7)
Примем во внимание, что
Φ = −x`B .
(12.8)
— поток магнитной индукции сквозь поверхность, ограниченную контуром AGDCA. Знак минус в (12.8) показывает, что направления B и dS противоположны. Поэтому оконча- тельно (12.5) можно записать в форме
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.9)
т. е. при движении замкнутого проводника во внешнем магнитном поле в его контуре возникает электродвижущая сила индукции, равная скорости изменения потока индук- ции внешнего магнитного поля сквозь поверхность, натянутую на замкнутый контур.
Формула (12.9) выведена для частного случая, когда движется лишь часть проводни- ка в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. Если движется несколько участков проводника, то электродвижущая сила индукции в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. индукции, возникших на участках. Поэтому формула (12.9)
без всяких дальнейших вычислений обобщается на случай произвольного движения про- водника в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции магнитного поля.
При этом движении контур проводника может, конечно, произвольно деформироваться.
Рис. 12.2
Обобщение на произвольный случай.
Рассмотрим эле- мент длины проводника d
`, движущийся со скоростью v = dr/dt (рис. 12.2). На этой длине в соответствии с фор- мулой (12.3) создается электродвижущая сила dE
i
=
v ×
B · d
` =
d dt
d
r ×
B · d
`
(12.10)
Смешанное произведение в (12.10) преобразуется следую- щим образом:
d
r ×
B ·d
` = d
`×d
r ·
B = −d
r ×d
`·
B = −d
S ·
B = −δΦ , (12.11)
где δΦ — поток магнитной индукции сквозь элемент поверхности dS = dr × d`, образо- ванный элементом длины d` при его движении. Положительное направление нормали к
106
Подставляя (12.11) в (12.10), получаем dE
i
= −
d dt
δΦ.
(12.12)
Для нахождения полной электродвижущей силы индукции в замкнутом контуре надо просуммировать э. д. с. индукции от всех элементов d` этого контура:
E
i
=
I
dE
i
= −
d dt
I
δΦ = −
dΦ
dt
,
(12.13)
где
I
δΦ = Φ
(12.14)
— изменение потока индукции сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром.
Формула (12.13) совпадает с (12.9). Тем самым доказано, что (12.9) справедлива при произвольных движениях и деформациях замкнутого контура.
Генераторы переменного тока.
Если замкнутый проводник движется в магнитном поле так, что охватываемый им поток магнитной индукции непрерывно изменяется, то в нем непрерывно генерируются электродвижущая сила индукции и соответствующий пе- ременный ток, т. е. такой замкнутый контур является генератором переменного тока.
а)
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
б)
в)
Рис. 12.3. Схема генератора переменного тока.
Простейшая схема генератора переменного тока изображена на рис. 12.3,а. Если маг- нитное поле однородно, а рамка вращается в нем с постоянной угловой скоростью, то возникающая в рамке E
i является гармонической электродвижущей силой, частота кото- рой равна частоте вращения рамки в магнитном поле. В замкнутом контуре возникает переменный ток соответствующей частоты (рис. 12.3,б).
Если вместо одного витка в магнитном поле движутся два параллельных последова- тельно соединенных витка, то электродвижущая сила индукции возрастает в два раза.
Поэтому при практическом осуществлении генераторов используются намотки из многих витков. Вопросы о наиболее целесообразном осуществлении намоток, о создании магнит- ного поля, о снятии тока с движущихся обмоток и т. д. подробно рассматриваются в элек- тротехнике. Отметим лишь, что снятие тока с движущихся проводников при большой силе тока является не простой задачей. Поэтому часто вместо движения проводников с током осуществляют движение источников магнитного поля при неподвижных проводниках. В
простейшей схеме (рис. 12.3,в) это означает движение постоянных магнитов вокруг непо- движной рамки с током . В неподвижной рамке при этом возбуждается электродвижущая сила индукции. Количественно эта э. д. с. индукции при одинаковых относительных ско- ростях магнитов и рамки одна и та же. Однако физическая сущность происходящих при этом явлений в этих двух случаях различна (см. § 45).
Первыми генераторами были машины с постоянными магнитами, но уже в 1866 г. был сконструирован генератор, в котором магнитное поле создавалось электромагнитом. По- сле этого конструкция генераторов быстро совершенствовалась.
107
3акон сохранения энергии.
При прохождении тока по цепи с омическим сопротивле- нием выделяется джоулева теплота. Энергия, выделяемая в форме теплоты, получается в результате работы механических сил в генераторе электрического тока. При перехо- де энергии из одной формы в другую соблюдается, конечно, закон сохранения энергии.
Проследим за этим на простейшем примере (рис. 12.1).
Пусть R – сопротивление в контуре AGDCA, а I — сила тока в цепи. Следовательно,
в цепи током в форме теплоты выделяется энергия с мощностью
P
1
= I
2
R .
(12.15)
С другой стороны, при движении участка проводника DG с током силой I необходимо преодолевать силу Ампера
F = I`B .
(12.16)
Следовательно, силы, осуществляющие движение проводника, должны развивать мощ- ность
P
2
= F v = I`Bdx/dt = −IE
i
= −I
2
R ,
(12.17)
где учтена формула (12.9) и принято во внимание, что E
i
= IR. Знак минус в (12.17)
показывает, что работа производится над системой.
Сравнение (12.15) и (12.17) показывает, что P
1
+ P
2
= 0. Это означает, что энергия,
выделяемая в форме теплоты, в контуре равна работе сил, приводящих проводник в движение, т. е. сторонними электродвижущими силами в данном случае в конечном счете являются механические силы, осуществляющие движение проводника.
12.2
Закон электромагнитной индукции Фарадея
Обсуждаются физическая сущность и математическая формулировка закона электро- магнитной индукции Фарадея. Анализируется соотношение между электромагнитной индукцией Фарадея и индукцией тока в движущихся проводниках.
Определение.
В 1831 г. Фарадей экспериментально открыл явление электромагнитной индукции, состоящее в возникновении электрического тока в замкнутом проводнике при изменении потока магнитной индукции, охватываемого контуром. Фарадей обнаружил,
что индукционный ток можно вызвать двумя различными способами. Дальнейшее пояс- няет рис. 12.4,где изображены катушка K с током I (она создает магнитное поле) и рамка
P с гальванометром Γ — индикатором индукционного тока.
Рис. 12.4
Рис. 12.5 1-й способ — перемещение рамки P (или отдельных ее частей) в поле неподвижной катушки K.
2-й способ — рамка P неподвижна, но изменяется магнитное поле — или за счет дви- жения катушки K , или вследствие изменения силы тока I в ней, или в результате того
108
и другого вместе. Во всех этих случаях гальванометр Γ будет показывать наличие индук- ционного тока в рамке P . Правило, определяющее направление э. д. с. индукции, было сформулировано в 1833 г. Э.X. Ленцем (1804–1865): индукционный ток направлен так,
что создаваемое им поле препятствует изменению магнитного потока. Иначе говоря,
направление возникающего в контуре тока составляет с направлением изменения потока магнитной индукции левовинтовую систему (рис. 12.5). В 1845 г. Ф.Э. Нейман (1798–1895)
дал математическое определение закона электромагнитной индукции в современной форме:
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.18)
причем контур считается неподвижным.
Физическая сущность явления.
По внешнему виду формула (12.18) полностью сов- падает с (12.9), но физическое содержание ее совершенно иное. Возникновение э. д. с, учи- тываемое формулой (12.9), связано с действием силы Лоренца на движущиеся заряды. В
возникновении э. д. с., учитываемой формулой (12.18), никакая сила Лоренца не участ- вует, поскольку проводники неподвижны. Однако в проводнике возникает электрический ток, поэтому можно заключить, что в нем имеется электрическое поле. Следовательно,
закон Фарадея (12.18) выражает новое физическое явление: изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле. Таким образом, электрическое поле порождается не только электрическими зарядами, но и изменяющимся магнитным полем.
Строго говоря, наличие тока в замкнутом проводнике показывает, что электрическое поле имеется лишь внутри проводника. Однако проводник в данном случае играет роль устройства для обнаружения электрического поля. При отсутствии проводника изменя- ющееся магнитное поле также порождает электрическое поле. Это можно показать, на- пример, тем, что на заряд в изменяющемся магнитном поле действует электрическая сила
(см. § 56). Это доказывает, что электромагнитная индукция является всеобщим фундамен- тальным законом природы, устанавливающим связь между электрическими и магнитны- ми полями. Различное физическое содержание описываемых формулами (12.9) и (12.18)
явлений очевидно из такого примера. Предположим, что проводник DG на рис. 12.1 дви- жется со скоростью v, но одновременно магнитная индукция B уменьшается. Вследствие движения проводника в замкнутом контуре появляется э. д. с. индукции, которая вызыва- ет ток (рис. 12.1). Изменение B по закону электромагнитной индукции Фарадея вызывает в контуре также э. д. с. индукции, которая в данном случае направлена противоположно той, которая возникает в результате движения участка проводника DG. Можно подобрать такую скорость изменения B(∂
B/∂t), что эти две э. д. с. будут взаимно компенсировать- ся. В результате в замкнутом контуре не будет тока, потому что полная э. д. с. индукции равна нулю. Однако эта взаимная компенсация э. д. с. индукции происходит в замкну- том контуре в целом, а не в каждой точке контура. Э. д. с. индукции за счет движения проводника возникает только на участке DG, а э. д. с. индукции Фарадея возникает как на участке DG, так и на остальных участках проводника DC, CA и AG. В результате движения на элементе проводника d
` возникает э. д. с. индукции, зависящая только от B
и скорости v движения этого элемента, но не зависящая от ∂
B/∂t. В результате измене- ния индукции на элементе проводника d
` появляется э. д. с. индукции Фарадея, которая не зависит от индукции B и скорости v движения этого элемента, а зависит только от
∂
B/∂t. Это и доказывает, что физическая природа э. д. с. индукции в этих двух случаях различна.
109
12.2.1
Движущийся проводник в переменном магнитном поле
Рис. 12.6
Если замкнутый проводник движется в переменном магнитном поле, испытывая при этом произвольные деформации формы,
то э. д. с. индукции в нем возникает как за счет движения и де- формации, учитываемой формулой (12.9), так и в результате из- менения индукции магнитного поля, учитываемого аналогичной формулой (12.18). Поэтому можно сказать, что э. д. с. индук- ции в проводнике определяется формулой (12.18), причем под dΦ/dt понимается полная скорость изменения потока индукции,
охватываемого проводником, как за счет его движения и дефор- мации, так и в результате изменения магнитного поля. В связи с этим закон (12.18) можно представить в таком виде:
E
i
=
I
Ed
` = −
∂Φ
∂t
+
I
h
v
B
i d
` .
(12.19)
Применение электромагнитной индукции к генераторам переменного тока.
Те- перь ясно, почему электрический ток можно генерировать не только движением провод- ников в магнитном поле, но и движением магнитов при неподвижных проводниках. На рис. 12.6 изображена схема демонстрации электромагнитной индукции.
12.3
Дифференциальная формулировка закона электро- магнитной индукции
Дается дифференциальная формулировка закона электромагнитной индукции.
Формулировка. Запишем закон электромагнитной индукции Фарадея [см. (12.18)] в виде
I
L
E · dl = −
d dt
Z
S
B · d
S,
(12.20)
где L — контур, S — поверхность, натянутая на контур L. В (12.20) учтены определения:
E
i
=
Z
L
E · dl,
Φ =
Z
S
B · d
S .
(12.21)
Заметим, что между направлением обхода контура L вектором dS соблюдается правовин- товое соотношение. Необходимо также обратить внимание на то, что в определении потока индукции Φ [см. (12.21)] поверхность S, сквозь которую вычисляется поток, является про- извольной, натянутой на контур L поверхностью. Такое, определение предполагает, что этот интеграл не зависит от формы поверхности, важно лишь, чтобы поверхность была ограничена контуром L или, как говорят, натянута на контур L. Докажем это. Выберем две какие либо поверхности S
1
и S
2
, натянутые на контур L. Их совокупность составляет замкнутую поверхность S = S
1
+ S
2
, ограничивающую некоторый объем V между ними.
Поток вектора B сквозь замкнутую поверхность S равен нулю, поскольку по теореме Гаус- са – Остроградского он равен интегралу по объему V , ограниченному поверхностью S, от divB = 0. Из этого следует утверждение о равенстве потоков через S
1
и S
2
(знаки пото- ков одинаковы при одинаковой относительно направления обхода контура ориентировке положительных нормалей к этим поверхностям).
110
Преобразуем левую часть (12.20) по формуле Стокса:
Z
L
E · d
` =
Z
S
rot
E · d
S .
(12.22)
В результате получаем
Z
L
rot
E · d
S = −
Z
S
∂
B
∂t
· d
S ,
(12.23)
причем производная по t внесена под знак интеграла на том основании, что площадь интегрирования не зависит от времени. Так как S произвольна, то из (12.23) следует, что rot
E = −
∂
B
∂t
(12.24)
Уравнение (12.24) является дифференциальной записью закона электромагнитной индукции Фарадея. Оно описывает закон порождения электрического поля в некото- рой точке за счет изменения индукции магнитного поля в той же точке. Поле E часто называют индукционным.
12.3.1
Непотенциальность индукционного электрического поля
В переменном магнитном поле
∂
B
∂t
6= 0 и, следовательно, в соответствии с (12.24)
rot
E 6= 0.
(12.25)
Это означает, что индукционное электрическое поле в отличие от электростатического,
порождаемого неподвижными зарядами, не является потенциальным. Работа перемеще- ния заряда q в нем по замкнутому контуру, вообще говоря, не равна нулю:
A = qE
i
= q
Z
L
E · d
` .
(12.26)
Отсюда, в частности, следует, что это поле не может быть представлено в виде гради- ента от некоторой функции, т. е. не может быть представлено в виде (14.27). Необходимо использовать отличное от [(14.27), т.е.
E = −gradϕ] представление.
12.4
Самоиндукция. Индуктивность соленоида
Рассмотрим еще несколько примеров проявления электромагнитной индукции. Электри- ческий ток в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле. Магнитная индук- ция этого поля по закону Био-Савара-Лапласа пропорциональна силе тока. Следователь- но, создаваемый контуром и проходящий через контур магнитный поток, пропорциональ- ный магнитной индукции, также пропорционален силе тока:
Φ = LI,
(12.27)
где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура или коэффициентом самоиндукции.
111
При изменении силы тока в контуре будет изменяться и магнитный поток, поэтому в контуре будет индуцироваться ЭДС самоиндукции, обусловленная изменением собствен- ного магнитного поля:
E
s
= −
dΦ
dt
= −
d dt
(LI) .
(12.28)
Если при изменении тока индуктивность L остается постоянной (не меняется конфигура- ция контура и нет ферромагнетиков), то
E
s
= −L
dI
dt
(L = const).
(12.29)
Знак “минус” в соответствии с правилом Ленца показывает, что наличие индуктив- ности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем. Если ток в контуре возрастает, то ток самоиндукции тормозит это возрастание. Если ток в контуре убывает,
то ток самоиндукции замедляет это убывание. Таким образом, индуктивность придает электрической цепи электрическую инертность – по аналогии с тем, что масса придает телу механическую инертность.
Единица индуктивности в системе СИ – генри (Гн). 1 Гн = 1 Вб/А = 1 В · с/А.
В случаях, когда нужна катушка с весьма малой индуктивностью, применяют бифи- лярные обмотки. Чтобы получить бифилярную обмотку, проволоку складывают вдвое и наматывают на каркас катушки. При такой намотке ток в двух соседних витках имеет противоположные направления, и суммарный магнитный поток в катушке близок к нулю.
Рассмотрим катушку из N последовательных витков. Если в одном витке катушки наводится ЭДС самоиндукции E
s
, то наводимая во всей катушке ЭДС самоиндукции определяется правилом сложения ЭДС при последовательном соединении и будет в N раз больше:
E
N
= N E
s
= −N
dΦ
dt
= −
d (ΦN )
dt
= −
dψ
dt
(12.30)
Здесь введено понятие потокосцепления
ψ = ΦN .
(12.31)
Сопоставляя выражения (12.28) и (12.30), получим:
ψ = LI.
(12.32)
Рассчитаем для примера индуктивность соленоида с числом витков на единицу длины n = N/`. Потокосцепление соленоида с учетом формулы (22.22) для магнитной индукции внутри соленоида B = µ
0
µnI равно:
ψ = ΦN = µ
0
µn
2
IS` = µ
0
µn
2
V I = LI .
(12.33)
Из последнего равенства получаем индуктивность соленоида:
L = µ
0
µn
2
V .
(12.34)
Здесь V = S` – объем соленоида.
Семь записанных выше уравнений составляют основу электродинамики.
112
Глава 13
Электромагнитные волны
13.1
Уравнения Максвелла
13.1.1
Электромагнитное поле. Ток смещения. Уравнения Макс- велла в интегральной форме
Из опыта и частных законов видно, что магнитное поле связано с электрическим, элек- трическое поле — с магнитным, и оба они определяются расположением и перемещением зарядов. В результате вместо отдельных электрического и магнитного полей в электроди- намике принято говорить о едином электромагнитном поле. Наиболее полно и в обобщен- ном виде эти связи представлены в четырех уравнениях Максвелла, сформулированных в 1861–1865 годах. Теория Максвелла — макроскопическая теория, в которой рассмат- риваются макроскопические поля макроскопических зарядов и токов, пространственная протяженность которых много больше размеров молекул.
Выпишем сначала уравнения Максвелла в интегральной форме. Отметим, что порядок нумерации уравнений может быть произвольным.
Первое уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (1.32) для электрического поля:
I
D
n dS =
X
i q
i
Второе уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (9.15) для магнитного поля, опираю- щаяся на отсутствие магнитных зарядов:
I
B
n dS = 0 .
Третье уравнение следует из основного закона электромагнитной индукции (24.4):
E
i
= −
dΦ
dt
Максвелл предположил, что любое переменное магнитное поле возбуждает в пространстве электрическое поле, проявляющееся в индукционном токе в проводниках. При этом ЭДС
индукции E
i определяется циркуляцией вектора напряженности вихревого электрическо- го поля
H E
`
d`. Таким образом, окончательно с учетом определения магнитного потока третье уравнение Максвелла имеет вид:
I
E
`
d` = −
d dt
Z
B
n dS .
(13.1)
113
Четвертое уравнение Максвелла – это обобщение теоремы о циркуляции (9.16) вектора на- пряженности магнитного поля:
H H
`
d` =
P
i
I
i
. Максвелл предположил, что если перемен- ное магнитное поле возбуждает в пространстве вихревое электрическое поле, то должен существовать и аналогичный эффект для электрического поля: изменение электрическо- го поля должно вызывать вихревое магнитное поле. Для этого он ввел понятие тока смещения. В интеграле теоремы о циркуляции справа необходимо учесть помимо токов проводимости иные токи, приводящие к изменению напряженности магнитного поля.
Для примера применим теорему о циркуляции к магнитному полю, созданному пере- менным электрическим током, перезаряжающим конденсатор. По Максвеллу в непрово- дящем промежутке конденсатора протекает ток смещения. При этом переменное электри- ческое поле создает соответствующее току смещения магнитное поле. Найдем этот ток:
I
см
=
dQ
dt
=
d dt
Z
σdS =
Z
dσ
dt dS =
Z
dD
dt dS .
(13.2)
Здесь использовано, что вблизи проводника вектор электрического смещения в соответ- ствии с (18.2) равен: D = σ. Сравнивая (13.2) со связью плотности тока и силы тока
I
см
=
R j см dS, получим для плотности тока смещения:
j см
=
dD
dt
(13.3)
В общем случае, когда площадка не перпендикулярна вектору электрического смещения,
ток смещения определяется нормальной составляющей вектора электрического смещения,
и из (13.2) имеем:
I
см
=
Z
dD
n dt dS .
(13.4)
Добавив в обобщение теоремы о циркуляции к току проводимости
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
б)
в)
Рис. 12.3. Схема генератора переменного тока.
Простейшая схема генератора переменного тока изображена на рис. 12.3,а. Если маг- нитное поле однородно, а рамка вращается в нем с постоянной угловой скоростью, то возникающая в рамке E
i является гармонической электродвижущей силой, частота кото- рой равна частоте вращения рамки в магнитном поле. В замкнутом контуре возникает переменный ток соответствующей частоты (рис. 12.3,б).
Если вместо одного витка в магнитном поле движутся два параллельных последова- тельно соединенных витка, то электродвижущая сила индукции возрастает в два раза.
Поэтому при практическом осуществлении генераторов используются намотки из многих витков. Вопросы о наиболее целесообразном осуществлении намоток, о создании магнит- ного поля, о снятии тока с движущихся обмоток и т. д. подробно рассматриваются в элек- тротехнике. Отметим лишь, что снятие тока с движущихся проводников при большой силе тока является не простой задачей. Поэтому часто вместо движения проводников с током осуществляют движение источников магнитного поля при неподвижных проводниках. В
простейшей схеме (рис. 12.3,в) это означает движение постоянных магнитов вокруг непо- движной рамки с током . В неподвижной рамке при этом возбуждается электродвижущая сила индукции. Количественно эта э. д. с. индукции при одинаковых относительных ско- ростях магнитов и рамки одна и та же. Однако физическая сущность происходящих при этом явлений в этих двух случаях различна (см. § 45).
Первыми генераторами были машины с постоянными магнитами, но уже в 1866 г. был сконструирован генератор, в котором магнитное поле создавалось электромагнитом. По- сле этого конструкция генераторов быстро совершенствовалась.
107
3акон сохранения энергии.
При прохождении тока по цепи с омическим сопротивле- нием выделяется джоулева теплота. Энергия, выделяемая в форме теплоты, получается в результате работы механических сил в генераторе электрического тока. При перехо- де энергии из одной формы в другую соблюдается, конечно, закон сохранения энергии.
Проследим за этим на простейшем примере (рис. 12.1).
Пусть R – сопротивление в контуре AGDCA, а I — сила тока в цепи. Следовательно,
в цепи током в форме теплоты выделяется энергия с мощностью
P
1
= I
2
R .
(12.15)
С другой стороны, при движении участка проводника DG с током силой I необходимо преодолевать силу Ампера
F = I`B .
(12.16)
Следовательно, силы, осуществляющие движение проводника, должны развивать мощ- ность
P
2
= F v = I`Bdx/dt = −IE
i
= −I
2
R ,
(12.17)
где учтена формула (12.9) и принято во внимание, что E
i
= IR. Знак минус в (12.17)
показывает, что работа производится над системой.
Сравнение (12.15) и (12.17) показывает, что P
1
+ P
2
= 0. Это означает, что энергия,
выделяемая в форме теплоты, в контуре равна работе сил, приводящих проводник в движение, т. е. сторонними электродвижущими силами в данном случае в конечном счете являются механические силы, осуществляющие движение проводника.
12.2
Закон электромагнитной индукции Фарадея
Обсуждаются физическая сущность и математическая формулировка закона электро- магнитной индукции Фарадея. Анализируется соотношение между электромагнитной индукцией Фарадея и индукцией тока в движущихся проводниках.
Определение.
В 1831 г. Фарадей экспериментально открыл явление электромагнитной индукции, состоящее в возникновении электрического тока в замкнутом проводнике при изменении потока магнитной индукции, охватываемого контуром. Фарадей обнаружил,
что индукционный ток можно вызвать двумя различными способами. Дальнейшее пояс- няет рис. 12.4,где изображены катушка K с током I (она создает магнитное поле) и рамка
P с гальванометром Γ — индикатором индукционного тока.
Рис. 12.4
Рис. 12.5 1-й способ — перемещение рамки P (или отдельных ее частей) в поле неподвижной катушки K.
2-й способ — рамка P неподвижна, но изменяется магнитное поле — или за счет дви- жения катушки K , или вследствие изменения силы тока I в ней, или в результате того
108
и другого вместе. Во всех этих случаях гальванометр Γ будет показывать наличие индук- ционного тока в рамке P . Правило, определяющее направление э. д. с. индукции, было сформулировано в 1833 г. Э.X. Ленцем (1804–1865): индукционный ток направлен так,
что создаваемое им поле препятствует изменению магнитного потока. Иначе говоря,
направление возникающего в контуре тока составляет с направлением изменения потока магнитной индукции левовинтовую систему (рис. 12.5). В 1845 г. Ф.Э. Нейман (1798–1895)
дал математическое определение закона электромагнитной индукции в современной форме:
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.18)
причем контур считается неподвижным.
Физическая сущность явления.
По внешнему виду формула (12.18) полностью сов- падает с (12.9), но физическое содержание ее совершенно иное. Возникновение э. д. с, учи- тываемое формулой (12.9), связано с действием силы Лоренца на движущиеся заряды. В
возникновении э. д. с., учитываемой формулой (12.18), никакая сила Лоренца не участ- вует, поскольку проводники неподвижны. Однако в проводнике возникает электрический ток, поэтому можно заключить, что в нем имеется электрическое поле. Следовательно,
закон Фарадея (12.18) выражает новое физическое явление: изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле. Таким образом, электрическое поле порождается не только электрическими зарядами, но и изменяющимся магнитным полем.
Строго говоря, наличие тока в замкнутом проводнике показывает, что электрическое поле имеется лишь внутри проводника. Однако проводник в данном случае играет роль устройства для обнаружения электрического поля. При отсутствии проводника изменя- ющееся магнитное поле также порождает электрическое поле. Это можно показать, на- пример, тем, что на заряд в изменяющемся магнитном поле действует электрическая сила
(см. § 56). Это доказывает, что электромагнитная индукция является всеобщим фундамен- тальным законом природы, устанавливающим связь между электрическими и магнитны- ми полями. Различное физическое содержание описываемых формулами (12.9) и (12.18)
явлений очевидно из такого примера. Предположим, что проводник DG на рис. 12.1 дви- жется со скоростью v, но одновременно магнитная индукция B уменьшается. Вследствие движения проводника в замкнутом контуре появляется э. д. с. индукции, которая вызыва- ет ток (рис. 12.1). Изменение B по закону электромагнитной индукции Фарадея вызывает в контуре также э. д. с. индукции, которая в данном случае направлена противоположно той, которая возникает в результате движения участка проводника DG. Можно подобрать такую скорость изменения B(∂
B/∂t), что эти две э. д. с. будут взаимно компенсировать- ся. В результате в замкнутом контуре не будет тока, потому что полная э. д. с. индукции равна нулю. Однако эта взаимная компенсация э. д. с. индукции происходит в замкну- том контуре в целом, а не в каждой точке контура. Э. д. с. индукции за счет движения проводника возникает только на участке DG, а э. д. с. индукции Фарадея возникает как на участке DG, так и на остальных участках проводника DC, CA и AG. В результате движения на элементе проводника d
` возникает э. д. с. индукции, зависящая только от B
и скорости v движения этого элемента, но не зависящая от ∂
B/∂t. В результате измене- ния индукции на элементе проводника d
` появляется э. д. с. индукции Фарадея, которая не зависит от индукции B и скорости v движения этого элемента, а зависит только от
∂
B/∂t. Это и доказывает, что физическая природа э. д. с. индукции в этих двух случаях различна.
109
12.2.1
Движущийся проводник в переменном магнитном поле
Рис. 12.6
Если замкнутый проводник движется в переменном магнитном поле, испытывая при этом произвольные деформации формы,
то э. д. с. индукции в нем возникает как за счет движения и де- формации, учитываемой формулой (12.9), так и в результате из- менения индукции магнитного поля, учитываемого аналогичной формулой (12.18). Поэтому можно сказать, что э. д. с. индук- ции в проводнике определяется формулой (12.18), причем под dΦ/dt понимается полная скорость изменения потока индукции,
охватываемого проводником, как за счет его движения и дефор- мации, так и в результате изменения магнитного поля. В связи с этим закон (12.18) можно представить в таком виде:
E
i
=
I
Ed
` = −
∂Φ
∂t
+
I
h
v
B
i d
` .
(12.19)
Применение электромагнитной индукции к генераторам переменного тока.
Те- перь ясно, почему электрический ток можно генерировать не только движением провод- ников в магнитном поле, но и движением магнитов при неподвижных проводниках. На рис. 12.6 изображена схема демонстрации электромагнитной индукции.
12.3
Дифференциальная формулировка закона электро- магнитной индукции
Дается дифференциальная формулировка закона электромагнитной индукции.
Формулировка. Запишем закон электромагнитной индукции Фарадея [см. (12.18)] в виде
I
L
E · dl = −
d dt
Z
S
B · d
S,
(12.20)
где L — контур, S — поверхность, натянутая на контур L. В (12.20) учтены определения:
E
i
=
Z
L
E · dl,
Φ =
Z
S
B · d
S .
(12.21)
Заметим, что между направлением обхода контура L вектором dS соблюдается правовин- товое соотношение. Необходимо также обратить внимание на то, что в определении потока индукции Φ [см. (12.21)] поверхность S, сквозь которую вычисляется поток, является про- извольной, натянутой на контур L поверхностью. Такое, определение предполагает, что этот интеграл не зависит от формы поверхности, важно лишь, чтобы поверхность была ограничена контуром L или, как говорят, натянута на контур L. Докажем это. Выберем две какие либо поверхности S
1
и S
2
, натянутые на контур L. Их совокупность составляет замкнутую поверхность S = S
1
+ S
2
, ограничивающую некоторый объем V между ними.
Поток вектора B сквозь замкнутую поверхность S равен нулю, поскольку по теореме Гаус- са – Остроградского он равен интегралу по объему V , ограниченному поверхностью S, от divB = 0. Из этого следует утверждение о равенстве потоков через S
1
и S
2
(знаки пото- ков одинаковы при одинаковой относительно направления обхода контура ориентировке положительных нормалей к этим поверхностям).
110
Преобразуем левую часть (12.20) по формуле Стокса:
Z
L
E · d
` =
Z
S
rot
E · d
S .
(12.22)
В результате получаем
Z
L
rot
E · d
S = −
Z
S
∂
B
∂t
· d
S ,
(12.23)
причем производная по t внесена под знак интеграла на том основании, что площадь интегрирования не зависит от времени. Так как S произвольна, то из (12.23) следует, что rot
E = −
∂
B
∂t
(12.24)
Уравнение (12.24) является дифференциальной записью закона электромагнитной индукции Фарадея. Оно описывает закон порождения электрического поля в некото- рой точке за счет изменения индукции магнитного поля в той же точке. Поле E часто называют индукционным.
12.3.1
Непотенциальность индукционного электрического поля
В переменном магнитном поле
∂
B
∂t
6= 0 и, следовательно, в соответствии с (12.24)
rot
E 6= 0.
(12.25)
Это означает, что индукционное электрическое поле в отличие от электростатического,
порождаемого неподвижными зарядами, не является потенциальным. Работа перемеще- ния заряда q в нем по замкнутому контуру, вообще говоря, не равна нулю:
A = qE
i
= q
Z
L
E · d
` .
(12.26)
Отсюда, в частности, следует, что это поле не может быть представлено в виде гради- ента от некоторой функции, т. е. не может быть представлено в виде (14.27). Необходимо использовать отличное от [(14.27), т.е.
E = −gradϕ] представление.
12.4
Самоиндукция. Индуктивность соленоида
Рассмотрим еще несколько примеров проявления электромагнитной индукции. Электри- ческий ток в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле. Магнитная индук- ция этого поля по закону Био-Савара-Лапласа пропорциональна силе тока. Следователь- но, создаваемый контуром и проходящий через контур магнитный поток, пропорциональ- ный магнитной индукции, также пропорционален силе тока:
Φ = LI,
(12.27)
где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура или коэффициентом самоиндукции.
111
При изменении силы тока в контуре будет изменяться и магнитный поток, поэтому в контуре будет индуцироваться ЭДС самоиндукции, обусловленная изменением собствен- ного магнитного поля:
E
s
= −
dΦ
dt
= −
d dt
(LI) .
(12.28)
Если при изменении тока индуктивность L остается постоянной (не меняется конфигура- ция контура и нет ферромагнетиков), то
E
s
= −L
dI
dt
(L = const).
(12.29)
Знак “минус” в соответствии с правилом Ленца показывает, что наличие индуктив- ности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем. Если ток в контуре возрастает, то ток самоиндукции тормозит это возрастание. Если ток в контуре убывает,
то ток самоиндукции замедляет это убывание. Таким образом, индуктивность придает электрической цепи электрическую инертность – по аналогии с тем, что масса придает телу механическую инертность.
Единица индуктивности в системе СИ – генри (Гн). 1 Гн = 1 Вб/А = 1 В · с/А.
В случаях, когда нужна катушка с весьма малой индуктивностью, применяют бифи- лярные обмотки. Чтобы получить бифилярную обмотку, проволоку складывают вдвое и наматывают на каркас катушки. При такой намотке ток в двух соседних витках имеет противоположные направления, и суммарный магнитный поток в катушке близок к нулю.
Рассмотрим катушку из N последовательных витков. Если в одном витке катушки наводится ЭДС самоиндукции E
s
, то наводимая во всей катушке ЭДС самоиндукции определяется правилом сложения ЭДС при последовательном соединении и будет в N раз больше:
E
N
= N E
s
= −N
dΦ
dt
= −
d (ΦN )
dt
= −
dψ
dt
(12.30)
Здесь введено понятие потокосцепления
ψ = ΦN .
(12.31)
Сопоставляя выражения (12.28) и (12.30), получим:
ψ = LI.
(12.32)
Рассчитаем для примера индуктивность соленоида с числом витков на единицу длины n = N/`. Потокосцепление соленоида с учетом формулы (22.22) для магнитной индукции внутри соленоида B = µ
0
µnI равно:
ψ = ΦN = µ
0
µn
2
IS` = µ
0
µn
2
V I = LI .
(12.33)
Из последнего равенства получаем индуктивность соленоида:
L = µ
0
µn
2
V .
(12.34)
Здесь V = S` – объем соленоида.
Семь записанных выше уравнений составляют основу электродинамики.
112
Глава 13
Электромагнитные волны
13.1
Уравнения Максвелла
13.1.1
Электромагнитное поле. Ток смещения. Уравнения Макс- велла в интегральной форме
Из опыта и частных законов видно, что магнитное поле связано с электрическим, элек- трическое поле — с магнитным, и оба они определяются расположением и перемещением зарядов. В результате вместо отдельных электрического и магнитного полей в электроди- намике принято говорить о едином электромагнитном поле. Наиболее полно и в обобщен- ном виде эти связи представлены в четырех уравнениях Максвелла, сформулированных в 1861–1865 годах. Теория Максвелла — макроскопическая теория, в которой рассмат- риваются макроскопические поля макроскопических зарядов и токов, пространственная протяженность которых много больше размеров молекул.
Выпишем сначала уравнения Максвелла в интегральной форме. Отметим, что порядок нумерации уравнений может быть произвольным.
Первое уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (1.32) для электрического поля:
I
D
n dS =
X
i q
i
Второе уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (9.15) для магнитного поля, опираю- щаяся на отсутствие магнитных зарядов:
I
B
n dS = 0 .
Третье уравнение следует из основного закона электромагнитной индукции (24.4):
E
i
= −
dΦ
dt
Максвелл предположил, что любое переменное магнитное поле возбуждает в пространстве электрическое поле, проявляющееся в индукционном токе в проводниках. При этом ЭДС
индукции E
i определяется циркуляцией вектора напряженности вихревого электрическо- го поля
H E
`
d`. Таким образом, окончательно с учетом определения магнитного потока третье уравнение Максвелла имеет вид:
I
E
`
d` = −
d dt
Z
B
n dS .
(13.1)
113
Четвертое уравнение Максвелла – это обобщение теоремы о циркуляции (9.16) вектора на- пряженности магнитного поля:
H H
`
d` =
P
i
I
i
. Максвелл предположил, что если перемен- ное магнитное поле возбуждает в пространстве вихревое электрическое поле, то должен существовать и аналогичный эффект для электрического поля: изменение электрическо- го поля должно вызывать вихревое магнитное поле. Для этого он ввел понятие тока смещения. В интеграле теоремы о циркуляции справа необходимо учесть помимо токов проводимости иные токи, приводящие к изменению напряженности магнитного поля.
Для примера применим теорему о циркуляции к магнитному полю, созданному пере- менным электрическим током, перезаряжающим конденсатор. По Максвеллу в непрово- дящем промежутке конденсатора протекает ток смещения. При этом переменное электри- ческое поле создает соответствующее току смещения магнитное поле. Найдем этот ток:
I
см
=
dQ
dt
=
d dt
Z
σdS =
Z
dσ
dt dS =
Z
dD
dt dS .
(13.2)
Здесь использовано, что вблизи проводника вектор электрического смещения в соответ- ствии с (18.2) равен: D = σ. Сравнивая (13.2) со связью плотности тока и силы тока
I
см
=
R j см dS, получим для плотности тока смещения:
j см
=
dD
dt
(13.3)
В общем случае, когда площадка не перпендикулярна вектору электрического смещения,
ток смещения определяется нормальной составляющей вектора электрического смещения,
и из (13.2) имеем:
I
см
=
Z
dD
n dt dS .
(13.4)
Добавив в обобщение теоремы о циркуляции к току проводимости
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
б)
в)
Рис. 12.3. Схема генератора переменного тока.
Простейшая схема генератора переменного тока изображена на рис. 12.3,а. Если маг- нитное поле однородно, а рамка вращается в нем с постоянной угловой скоростью, то возникающая в рамке E
i является гармонической электродвижущей силой, частота кото- рой равна частоте вращения рамки в магнитном поле. В замкнутом контуре возникает переменный ток соответствующей частоты (рис. 12.3,б).
Если вместо одного витка в магнитном поле движутся два параллельных последова- тельно соединенных витка, то электродвижущая сила индукции возрастает в два раза.
Поэтому при практическом осуществлении генераторов используются намотки из многих витков. Вопросы о наиболее целесообразном осуществлении намоток, о создании магнит- ного поля, о снятии тока с движущихся обмоток и т. д. подробно рассматриваются в элек- тротехнике. Отметим лишь, что снятие тока с движущихся проводников при большой силе тока является не простой задачей. Поэтому часто вместо движения проводников с током осуществляют движение источников магнитного поля при неподвижных проводниках. В
простейшей схеме (рис. 12.3,в) это означает движение постоянных магнитов вокруг непо- движной рамки с током . В неподвижной рамке при этом возбуждается электродвижущая сила индукции. Количественно эта э. д. с. индукции при одинаковых относительных ско- ростях магнитов и рамки одна и та же. Однако физическая сущность происходящих при этом явлений в этих двух случаях различна (см. § 45).
Первыми генераторами были машины с постоянными магнитами, но уже в 1866 г. был сконструирован генератор, в котором магнитное поле создавалось электромагнитом. По- сле этого конструкция генераторов быстро совершенствовалась.
107
3акон сохранения энергии.
При прохождении тока по цепи с омическим сопротивле- нием выделяется джоулева теплота. Энергия, выделяемая в форме теплоты, получается в результате работы механических сил в генераторе электрического тока. При перехо- де энергии из одной формы в другую соблюдается, конечно, закон сохранения энергии.
Проследим за этим на простейшем примере (рис. 12.1).
Пусть R – сопротивление в контуре AGDCA, а I — сила тока в цепи. Следовательно,
в цепи током в форме теплоты выделяется энергия с мощностью
P
1
= I
2
R .
(12.15)
С другой стороны, при движении участка проводника DG с током силой I необходимо преодолевать силу Ампера
F = I`B .
(12.16)
Следовательно, силы, осуществляющие движение проводника, должны развивать мощ- ность
P
2
= F v = I`Bdx/dt = −IE
i
= −I
2
R ,
(12.17)
где учтена формула (12.9) и принято во внимание, что E
i
= IR. Знак минус в (12.17)
показывает, что работа производится над системой.
Сравнение (12.15) и (12.17) показывает, что P
1
+ P
2
= 0. Это означает, что энергия,
выделяемая в форме теплоты, в контуре равна работе сил, приводящих проводник в движение, т. е. сторонними электродвижущими силами в данном случае в конечном счете являются механические силы, осуществляющие движение проводника.
12.2
Закон электромагнитной индукции Фарадея
Обсуждаются физическая сущность и математическая формулировка закона электро- магнитной индукции Фарадея. Анализируется соотношение между электромагнитной индукцией Фарадея и индукцией тока в движущихся проводниках.
Определение.
В 1831 г. Фарадей экспериментально открыл явление электромагнитной индукции, состоящее в возникновении электрического тока в замкнутом проводнике при изменении потока магнитной индукции, охватываемого контуром. Фарадей обнаружил,
что индукционный ток можно вызвать двумя различными способами. Дальнейшее пояс- няет рис. 12.4,где изображены катушка K с током I (она создает магнитное поле) и рамка
P с гальванометром Γ — индикатором индукционного тока.
Рис. 12.4
Рис. 12.5 1-й способ — перемещение рамки P (или отдельных ее частей) в поле неподвижной катушки K.
2-й способ — рамка P неподвижна, но изменяется магнитное поле — или за счет дви- жения катушки K , или вследствие изменения силы тока I в ней, или в результате того
108
и другого вместе. Во всех этих случаях гальванометр Γ будет показывать наличие индук- ционного тока в рамке P . Правило, определяющее направление э. д. с. индукции, было сформулировано в 1833 г. Э.X. Ленцем (1804–1865): индукционный ток направлен так,
что создаваемое им поле препятствует изменению магнитного потока. Иначе говоря,
направление возникающего в контуре тока составляет с направлением изменения потока магнитной индукции левовинтовую систему (рис. 12.5). В 1845 г. Ф.Э. Нейман (1798–1895)
дал математическое определение закона электромагнитной индукции в современной форме:
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.18)
причем контур считается неподвижным.
Физическая сущность явления.
По внешнему виду формула (12.18) полностью сов- падает с (12.9), но физическое содержание ее совершенно иное. Возникновение э. д. с, учи- тываемое формулой (12.9), связано с действием силы Лоренца на движущиеся заряды. В
возникновении э. д. с., учитываемой формулой (12.18), никакая сила Лоренца не участ- вует, поскольку проводники неподвижны. Однако в проводнике возникает электрический ток, поэтому можно заключить, что в нем имеется электрическое поле. Следовательно,
закон Фарадея (12.18) выражает новое физическое явление: изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле. Таким образом, электрическое поле порождается не только электрическими зарядами, но и изменяющимся магнитным полем.
Строго говоря, наличие тока в замкнутом проводнике показывает, что электрическое поле имеется лишь внутри проводника. Однако проводник в данном случае играет роль устройства для обнаружения электрического поля. При отсутствии проводника изменя- ющееся магнитное поле также порождает электрическое поле. Это можно показать, на- пример, тем, что на заряд в изменяющемся магнитном поле действует электрическая сила
(см. § 56). Это доказывает, что электромагнитная индукция является всеобщим фундамен- тальным законом природы, устанавливающим связь между электрическими и магнитны- ми полями. Различное физическое содержание описываемых формулами (12.9) и (12.18)
явлений очевидно из такого примера. Предположим, что проводник DG на рис. 12.1 дви- жется со скоростью v, но одновременно магнитная индукция B уменьшается. Вследствие движения проводника в замкнутом контуре появляется э. д. с. индукции, которая вызыва- ет ток (рис. 12.1). Изменение B по закону электромагнитной индукции Фарадея вызывает в контуре также э. д. с. индукции, которая в данном случае направлена противоположно той, которая возникает в результате движения участка проводника DG. Можно подобрать такую скорость изменения B(∂
B/∂t), что эти две э. д. с. будут взаимно компенсировать- ся. В результате в замкнутом контуре не будет тока, потому что полная э. д. с. индукции равна нулю. Однако эта взаимная компенсация э. д. с. индукции происходит в замкну- том контуре в целом, а не в каждой точке контура. Э. д. с. индукции за счет движения проводника возникает только на участке DG, а э. д. с. индукции Фарадея возникает как на участке DG, так и на остальных участках проводника DC, CA и AG. В результате движения на элементе проводника d
` возникает э. д. с. индукции, зависящая только от B
и скорости v движения этого элемента, но не зависящая от ∂
B/∂t. В результате измене- ния индукции на элементе проводника d
` появляется э. д. с. индукции Фарадея, которая не зависит от индукции B и скорости v движения этого элемента, а зависит только от
∂
B/∂t. Это и доказывает, что физическая природа э. д. с. индукции в этих двух случаях различна.
109
12.2.1
Движущийся проводник в переменном магнитном поле
Рис. 12.6
Если замкнутый проводник движется в переменном магнитном поле, испытывая при этом произвольные деформации формы,
то э. д. с. индукции в нем возникает как за счет движения и де- формации, учитываемой формулой (12.9), так и в результате из- менения индукции магнитного поля, учитываемого аналогичной формулой (12.18). Поэтому можно сказать, что э. д. с. индук- ции в проводнике определяется формулой (12.18), причем под dΦ/dt понимается полная скорость изменения потока индукции,
охватываемого проводником, как за счет его движения и дефор- мации, так и в результате изменения магнитного поля. В связи с этим закон (12.18) можно представить в таком виде:
E
i
=
I
Ed
` = −
∂Φ
∂t
+
I
h
v
B
i d
` .
(12.19)
Применение электромагнитной индукции к генераторам переменного тока.
Те- перь ясно, почему электрический ток можно генерировать не только движением провод- ников в магнитном поле, но и движением магнитов при неподвижных проводниках. На рис. 12.6 изображена схема демонстрации электромагнитной индукции.
12.3
Дифференциальная формулировка закона электро- магнитной индукции
Дается дифференциальная формулировка закона электромагнитной индукции.
Формулировка. Запишем закон электромагнитной индукции Фарадея [см. (12.18)] в виде
I
L
E · dl = −
d dt
Z
S
B · d
S,
(12.20)
где L — контур, S — поверхность, натянутая на контур L. В (12.20) учтены определения:
E
i
=
Z
L
E · dl,
Φ =
Z
S
B · d
S .
(12.21)
Заметим, что между направлением обхода контура L вектором dS соблюдается правовин- товое соотношение. Необходимо также обратить внимание на то, что в определении потока индукции Φ [см. (12.21)] поверхность S, сквозь которую вычисляется поток, является про- извольной, натянутой на контур L поверхностью. Такое, определение предполагает, что этот интеграл не зависит от формы поверхности, важно лишь, чтобы поверхность была ограничена контуром L или, как говорят, натянута на контур L. Докажем это. Выберем две какие либо поверхности S
1
и S
2
, натянутые на контур L. Их совокупность составляет замкнутую поверхность S = S
1
+ S
2
, ограничивающую некоторый объем V между ними.
Поток вектора B сквозь замкнутую поверхность S равен нулю, поскольку по теореме Гаус- са – Остроградского он равен интегралу по объему V , ограниченному поверхностью S, от divB = 0. Из этого следует утверждение о равенстве потоков через S
1
и S
2
(знаки пото- ков одинаковы при одинаковой относительно направления обхода контура ориентировке положительных нормалей к этим поверхностям).
110
Преобразуем левую часть (12.20) по формуле Стокса:
Z
L
E · d
` =
Z
S
rot
E · d
S .
(12.22)
В результате получаем
Z
L
rot
E · d
S = −
Z
S
∂
B
∂t
· d
S ,
(12.23)
причем производная по t внесена под знак интеграла на том основании, что площадь интегрирования не зависит от времени. Так как S произвольна, то из (12.23) следует, что rot
E = −
∂
B
∂t
(12.24)
Уравнение (12.24) является дифференциальной записью закона электромагнитной индукции Фарадея. Оно описывает закон порождения электрического поля в некото- рой точке за счет изменения индукции магнитного поля в той же точке. Поле E часто называют индукционным.
12.3.1
Непотенциальность индукционного электрического поля
В переменном магнитном поле
∂
B
∂t
6= 0 и, следовательно, в соответствии с (12.24)
rot
E 6= 0.
(12.25)
Это означает, что индукционное электрическое поле в отличие от электростатического,
порождаемого неподвижными зарядами, не является потенциальным. Работа перемеще- ния заряда q в нем по замкнутому контуру, вообще говоря, не равна нулю:
A = qE
i
= q
Z
L
E · d
` .
(12.26)
Отсюда, в частности, следует, что это поле не может быть представлено в виде гради- ента от некоторой функции, т. е. не может быть представлено в виде (14.27). Необходимо использовать отличное от [(14.27), т.е.
E = −gradϕ] представление.
12.4
Самоиндукция. Индуктивность соленоида
Рассмотрим еще несколько примеров проявления электромагнитной индукции. Электри- ческий ток в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле. Магнитная индук- ция этого поля по закону Био-Савара-Лапласа пропорциональна силе тока. Следователь- но, создаваемый контуром и проходящий через контур магнитный поток, пропорциональ- ный магнитной индукции, также пропорционален силе тока:
Φ = LI,
(12.27)
где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура или коэффициентом самоиндукции.
111
При изменении силы тока в контуре будет изменяться и магнитный поток, поэтому в контуре будет индуцироваться ЭДС самоиндукции, обусловленная изменением собствен- ного магнитного поля:
E
s
= −
dΦ
dt
= −
d dt
(LI) .
(12.28)
Если при изменении тока индуктивность L остается постоянной (не меняется конфигура- ция контура и нет ферромагнетиков), то
E
s
= −L
dI
dt
(L = const).
(12.29)
Знак “минус” в соответствии с правилом Ленца показывает, что наличие индуктив- ности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем. Если ток в контуре возрастает, то ток самоиндукции тормозит это возрастание. Если ток в контуре убывает,
то ток самоиндукции замедляет это убывание. Таким образом, индуктивность придает электрической цепи электрическую инертность – по аналогии с тем, что масса придает телу механическую инертность.
Единица индуктивности в системе СИ – генри (Гн). 1 Гн = 1 Вб/А = 1 В · с/А.
В случаях, когда нужна катушка с весьма малой индуктивностью, применяют бифи- лярные обмотки. Чтобы получить бифилярную обмотку, проволоку складывают вдвое и наматывают на каркас катушки. При такой намотке ток в двух соседних витках имеет противоположные направления, и суммарный магнитный поток в катушке близок к нулю.
Рассмотрим катушку из N последовательных витков. Если в одном витке катушки наводится ЭДС самоиндукции E
s
, то наводимая во всей катушке ЭДС самоиндукции определяется правилом сложения ЭДС при последовательном соединении и будет в N раз больше:
E
N
= N E
s
= −N
dΦ
dt
= −
d (ΦN )
dt
= −
dψ
dt
(12.30)
Здесь введено понятие потокосцепления
ψ = ΦN .
(12.31)
Сопоставляя выражения (12.28) и (12.30), получим:
ψ = LI.
(12.32)
Рассчитаем для примера индуктивность соленоида с числом витков на единицу длины n = N/`. Потокосцепление соленоида с учетом формулы (22.22) для магнитной индукции внутри соленоида B = µ
0
µnI равно:
ψ = ΦN = µ
0
µn
2
IS` = µ
0
µn
2
V I = LI .
(12.33)
Из последнего равенства получаем индуктивность соленоида:
L = µ
0
µn
2
V .
(12.34)
Здесь V = S` – объем соленоида.
Семь записанных выше уравнений составляют основу электродинамики.
112
Глава 13
Электромагнитные волны
13.1
Уравнения Максвелла
13.1.1
Электромагнитное поле. Ток смещения. Уравнения Макс- велла в интегральной форме
Из опыта и частных законов видно, что магнитное поле связано с электрическим, элек- трическое поле — с магнитным, и оба они определяются расположением и перемещением зарядов. В результате вместо отдельных электрического и магнитного полей в электроди- намике принято говорить о едином электромагнитном поле. Наиболее полно и в обобщен- ном виде эти связи представлены в четырех уравнениях Максвелла, сформулированных в 1861–1865 годах. Теория Максвелла — макроскопическая теория, в которой рассмат- риваются макроскопические поля макроскопических зарядов и токов, пространственная протяженность которых много больше размеров молекул.
Выпишем сначала уравнения Максвелла в интегральной форме. Отметим, что порядок нумерации уравнений может быть произвольным.
Первое уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (1.32) для электрического поля:
I
D
n dS =
X
i q
i
Второе уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (9.15) для магнитного поля, опираю- щаяся на отсутствие магнитных зарядов:
I
B
n dS = 0 .
Третье уравнение следует из основного закона электромагнитной индукции (24.4):
E
i
= −
dΦ
dt
Максвелл предположил, что любое переменное магнитное поле возбуждает в пространстве электрическое поле, проявляющееся в индукционном токе в проводниках. При этом ЭДС
индукции E
i определяется циркуляцией вектора напряженности вихревого электрическо- го поля
H E
`
d`. Таким образом, окончательно с учетом определения магнитного потока третье уравнение Максвелла имеет вид:
I
E
`
d` = −
d dt
Z
B
n dS .
(13.1)
113
Четвертое уравнение Максвелла – это обобщение теоремы о циркуляции (9.16) вектора на- пряженности магнитного поля:
H H
`
d` =
P
i
I
i
. Максвелл предположил, что если перемен- ное магнитное поле возбуждает в пространстве вихревое электрическое поле, то должен существовать и аналогичный эффект для электрического поля: изменение электрическо- го поля должно вызывать вихревое магнитное поле. Для этого он ввел понятие тока смещения. В интеграле теоремы о циркуляции справа необходимо учесть помимо токов проводимости иные токи, приводящие к изменению напряженности магнитного поля.
Для примера применим теорему о циркуляции к магнитному полю, созданному пере- менным электрическим током, перезаряжающим конденсатор. По Максвеллу в непрово- дящем промежутке конденсатора протекает ток смещения. При этом переменное электри- ческое поле создает соответствующее току смещения магнитное поле. Найдем этот ток:
I
см
=
dQ
dt
=
d dt
Z
σdS =
Z
dσ
dt dS =
Z
dD
dt dS .
(13.2)
Здесь использовано, что вблизи проводника вектор электрического смещения в соответ- ствии с (18.2) равен: D = σ. Сравнивая (13.2) со связью плотности тока и силы тока
I
см
=
R j см dS, получим для плотности тока смещения:
j см
=
dD
dt
(13.3)
В общем случае, когда площадка не перпендикулярна вектору электрического смещения,
ток смещения определяется нормальной составляющей вектора электрического смещения,
и из (13.2) имеем:
I
см
=
Z
dD
n dt dS .
(13.4)
Добавив в обобщение теоремы о циркуляции к току проводимости
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
б)
в)
Рис. 12.3. Схема генератора переменного тока.
Простейшая схема генератора переменного тока изображена на рис. 12.3,а. Если маг- нитное поле однородно, а рамка вращается в нем с постоянной угловой скоростью, то возникающая в рамке E
i является гармонической электродвижущей силой, частота кото- рой равна частоте вращения рамки в магнитном поле. В замкнутом контуре возникает переменный ток соответствующей частоты (рис. 12.3,б).
Если вместо одного витка в магнитном поле движутся два параллельных последова- тельно соединенных витка, то электродвижущая сила индукции возрастает в два раза.
Поэтому при практическом осуществлении генераторов используются намотки из многих витков. Вопросы о наиболее целесообразном осуществлении намоток, о создании магнит- ного поля, о снятии тока с движущихся обмоток и т. д. подробно рассматриваются в элек- тротехнике. Отметим лишь, что снятие тока с движущихся проводников при большой силе тока является не простой задачей. Поэтому часто вместо движения проводников с током осуществляют движение источников магнитного поля при неподвижных проводниках. В
простейшей схеме (рис. 12.3,в) это означает движение постоянных магнитов вокруг непо- движной рамки с током . В неподвижной рамке при этом возбуждается электродвижущая сила индукции. Количественно эта э. д. с. индукции при одинаковых относительных ско- ростях магнитов и рамки одна и та же. Однако физическая сущность происходящих при этом явлений в этих двух случаях различна (см. § 45).
Первыми генераторами были машины с постоянными магнитами, но уже в 1866 г. был сконструирован генератор, в котором магнитное поле создавалось электромагнитом. По- сле этого конструкция генераторов быстро совершенствовалась.
107
3акон сохранения энергии.
При прохождении тока по цепи с омическим сопротивле- нием выделяется джоулева теплота. Энергия, выделяемая в форме теплоты, получается в результате работы механических сил в генераторе электрического тока. При перехо- де энергии из одной формы в другую соблюдается, конечно, закон сохранения энергии.
Проследим за этим на простейшем примере (рис. 12.1).
Пусть R – сопротивление в контуре AGDCA, а I — сила тока в цепи. Следовательно,
в цепи током в форме теплоты выделяется энергия с мощностью
P
1
= I
2
R .
(12.15)
С другой стороны, при движении участка проводника DG с током силой I необходимо преодолевать силу Ампера
F = I`B .
(12.16)
Следовательно, силы, осуществляющие движение проводника, должны развивать мощ- ность
P
2
= F v = I`Bdx/dt = −IE
i
= −I
2
R ,
(12.17)
где учтена формула (12.9) и принято во внимание, что E
i
= IR. Знак минус в (12.17)
показывает, что работа производится над системой.
Сравнение (12.15) и (12.17) показывает, что P
1
+ P
2
= 0. Это означает, что энергия,
выделяемая в форме теплоты, в контуре равна работе сил, приводящих проводник в движение, т. е. сторонними электродвижущими силами в данном случае в конечном счете являются механические силы, осуществляющие движение проводника.
12.2
Закон электромагнитной индукции Фарадея
Обсуждаются физическая сущность и математическая формулировка закона электро- магнитной индукции Фарадея. Анализируется соотношение между электромагнитной индукцией Фарадея и индукцией тока в движущихся проводниках.
Определение.
В 1831 г. Фарадей экспериментально открыл явление электромагнитной индукции, состоящее в возникновении электрического тока в замкнутом проводнике при изменении потока магнитной индукции, охватываемого контуром. Фарадей обнаружил,
что индукционный ток можно вызвать двумя различными способами. Дальнейшее пояс- няет рис. 12.4,где изображены катушка K с током I (она создает магнитное поле) и рамка
P с гальванометром Γ — индикатором индукционного тока.
Рис. 12.4
Рис. 12.5 1-й способ — перемещение рамки P (или отдельных ее частей) в поле неподвижной катушки K.
2-й способ — рамка P неподвижна, но изменяется магнитное поле — или за счет дви- жения катушки K , или вследствие изменения силы тока I в ней, или в результате того
108
и другого вместе. Во всех этих случаях гальванометр Γ будет показывать наличие индук- ционного тока в рамке P . Правило, определяющее направление э. д. с. индукции, было сформулировано в 1833 г. Э.X. Ленцем (1804–1865): индукционный ток направлен так,
что создаваемое им поле препятствует изменению магнитного потока. Иначе говоря,
направление возникающего в контуре тока составляет с направлением изменения потока магнитной индукции левовинтовую систему (рис. 12.5). В 1845 г. Ф.Э. Нейман (1798–1895)
дал математическое определение закона электромагнитной индукции в современной форме:
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.18)
причем контур считается неподвижным.
Физическая сущность явления.
По внешнему виду формула (12.18) полностью сов- падает с (12.9), но физическое содержание ее совершенно иное. Возникновение э. д. с, учи- тываемое формулой (12.9), связано с действием силы Лоренца на движущиеся заряды. В
возникновении э. д. с., учитываемой формулой (12.18), никакая сила Лоренца не участ- вует, поскольку проводники неподвижны. Однако в проводнике возникает электрический ток, поэтому можно заключить, что в нем имеется электрическое поле. Следовательно,
закон Фарадея (12.18) выражает новое физическое явление: изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле. Таким образом, электрическое поле порождается не только электрическими зарядами, но и изменяющимся магнитным полем.
Строго говоря, наличие тока в замкнутом проводнике показывает, что электрическое поле имеется лишь внутри проводника. Однако проводник в данном случае играет роль устройства для обнаружения электрического поля. При отсутствии проводника изменя- ющееся магнитное поле также порождает электрическое поле. Это можно показать, на- пример, тем, что на заряд в изменяющемся магнитном поле действует электрическая сила
(см. § 56). Это доказывает, что электромагнитная индукция является всеобщим фундамен- тальным законом природы, устанавливающим связь между электрическими и магнитны- ми полями. Различное физическое содержание описываемых формулами (12.9) и (12.18)
явлений очевидно из такого примера. Предположим, что проводник DG на рис. 12.1 дви- жется со скоростью v, но одновременно магнитная индукция B уменьшается. Вследствие движения проводника в замкнутом контуре появляется э. д. с. индукции, которая вызыва- ет ток (рис. 12.1). Изменение B по закону электромагнитной индукции Фарадея вызывает в контуре также э. д. с. индукции, которая в данном случае направлена противоположно той, которая возникает в результате движения участка проводника DG. Можно подобрать такую скорость изменения B(∂
B/∂t), что эти две э. д. с. будут взаимно компенсировать- ся. В результате в замкнутом контуре не будет тока, потому что полная э. д. с. индукции равна нулю. Однако эта взаимная компенсация э. д. с. индукции происходит в замкну- том контуре в целом, а не в каждой точке контура. Э. д. с. индукции за счет движения проводника возникает только на участке DG, а э. д. с. индукции Фарадея возникает как на участке DG, так и на остальных участках проводника DC, CA и AG. В результате движения на элементе проводника d
` возникает э. д. с. индукции, зависящая только от B
и скорости v движения этого элемента, но не зависящая от ∂
B/∂t. В результате измене- ния индукции на элементе проводника d
` появляется э. д. с. индукции Фарадея, которая не зависит от индукции B и скорости v движения этого элемента, а зависит только от
∂
B/∂t. Это и доказывает, что физическая природа э. д. с. индукции в этих двух случаях различна.
109
12.2.1
Движущийся проводник в переменном магнитном поле
Рис. 12.6
Если замкнутый проводник движется в переменном магнитном поле, испытывая при этом произвольные деформации формы,
то э. д. с. индукции в нем возникает как за счет движения и де- формации, учитываемой формулой (12.9), так и в результате из- менения индукции магнитного поля, учитываемого аналогичной формулой (12.18). Поэтому можно сказать, что э. д. с. индук- ции в проводнике определяется формулой (12.18), причем под dΦ/dt понимается полная скорость изменения потока индукции,
охватываемого проводником, как за счет его движения и дефор- мации, так и в результате изменения магнитного поля. В связи с этим закон (12.18) можно представить в таком виде:
E
i
=
I
Ed
` = −
∂Φ
∂t
+
I
h
v
B
i d
` .
(12.19)
Применение электромагнитной индукции к генераторам переменного тока.
Те- перь ясно, почему электрический ток можно генерировать не только движением провод- ников в магнитном поле, но и движением магнитов при неподвижных проводниках. На рис. 12.6 изображена схема демонстрации электромагнитной индукции.
12.3
Дифференциальная формулировка закона электро- магнитной индукции
Дается дифференциальная формулировка закона электромагнитной индукции.
Формулировка. Запишем закон электромагнитной индукции Фарадея [см. (12.18)] в виде
I
L
E · dl = −
d dt
Z
S
B · d
S,
(12.20)
где L — контур, S — поверхность, натянутая на контур L. В (12.20) учтены определения:
E
i
=
Z
L
E · dl,
Φ =
Z
S
B · d
S .
(12.21)
Заметим, что между направлением обхода контура L вектором dS соблюдается правовин- товое соотношение. Необходимо также обратить внимание на то, что в определении потока индукции Φ [см. (12.21)] поверхность S, сквозь которую вычисляется поток, является про- извольной, натянутой на контур L поверхностью. Такое, определение предполагает, что этот интеграл не зависит от формы поверхности, важно лишь, чтобы поверхность была ограничена контуром L или, как говорят, натянута на контур L. Докажем это. Выберем две какие либо поверхности S
1
и S
2
, натянутые на контур L. Их совокупность составляет замкнутую поверхность S = S
1
+ S
2
, ограничивающую некоторый объем V между ними.
Поток вектора B сквозь замкнутую поверхность S равен нулю, поскольку по теореме Гаус- са – Остроградского он равен интегралу по объему V , ограниченному поверхностью S, от divB = 0. Из этого следует утверждение о равенстве потоков через S
1
и S
2
(знаки пото- ков одинаковы при одинаковой относительно направления обхода контура ориентировке положительных нормалей к этим поверхностям).
110
Преобразуем левую часть (12.20) по формуле Стокса:
Z
L
E · d
` =
Z
S
rot
E · d
S .
(12.22)
В результате получаем
Z
L
rot
E · d
S = −
Z
S
∂
B
∂t
· d
S ,
(12.23)
причем производная по t внесена под знак интеграла на том основании, что площадь интегрирования не зависит от времени. Так как S произвольна, то из (12.23) следует, что rot
E = −
∂
B
∂t
(12.24)
Уравнение (12.24) является дифференциальной записью закона электромагнитной индукции Фарадея. Оно описывает закон порождения электрического поля в некото- рой точке за счет изменения индукции магнитного поля в той же точке. Поле E часто называют индукционным.
12.3.1
Непотенциальность индукционного электрического поля
В переменном магнитном поле
∂
B
∂t
6= 0 и, следовательно, в соответствии с (12.24)
rot
E 6= 0.
(12.25)
Это означает, что индукционное электрическое поле в отличие от электростатического,
порождаемого неподвижными зарядами, не является потенциальным. Работа перемеще- ния заряда q в нем по замкнутому контуру, вообще говоря, не равна нулю:
A = qE
i
= q
Z
L
E · d
` .
(12.26)
Отсюда, в частности, следует, что это поле не может быть представлено в виде гради- ента от некоторой функции, т. е. не может быть представлено в виде (14.27). Необходимо использовать отличное от [(14.27), т.е.
E = −gradϕ] представление.
12.4
Самоиндукция. Индуктивность соленоида
Рассмотрим еще несколько примеров проявления электромагнитной индукции. Электри- ческий ток в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле. Магнитная индук- ция этого поля по закону Био-Савара-Лапласа пропорциональна силе тока. Следователь- но, создаваемый контуром и проходящий через контур магнитный поток, пропорциональ- ный магнитной индукции, также пропорционален силе тока:
Φ = LI,
(12.27)
где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура или коэффициентом самоиндукции.
111
При изменении силы тока в контуре будет изменяться и магнитный поток, поэтому в контуре будет индуцироваться ЭДС самоиндукции, обусловленная изменением собствен- ного магнитного поля:
E
s
= −
dΦ
dt
= −
d dt
(LI) .
(12.28)
Если при изменении тока индуктивность L остается постоянной (не меняется конфигура- ция контура и нет ферромагнетиков), то
E
s
= −L
dI
dt
(L = const).
(12.29)
Знак “минус” в соответствии с правилом Ленца показывает, что наличие индуктив- ности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем. Если ток в контуре возрастает, то ток самоиндукции тормозит это возрастание. Если ток в контуре убывает,
то ток самоиндукции замедляет это убывание. Таким образом, индуктивность придает электрической цепи электрическую инертность – по аналогии с тем, что масса придает телу механическую инертность.
Единица индуктивности в системе СИ – генри (Гн). 1 Гн = 1 Вб/А = 1 В · с/А.
В случаях, когда нужна катушка с весьма малой индуктивностью, применяют бифи- лярные обмотки. Чтобы получить бифилярную обмотку, проволоку складывают вдвое и наматывают на каркас катушки. При такой намотке ток в двух соседних витках имеет противоположные направления, и суммарный магнитный поток в катушке близок к нулю.
Рассмотрим катушку из N последовательных витков. Если в одном витке катушки наводится ЭДС самоиндукции E
s
, то наводимая во всей катушке ЭДС самоиндукции определяется правилом сложения ЭДС при последовательном соединении и будет в N раз больше:
E
N
= N E
s
= −N
dΦ
dt
= −
d (ΦN )
dt
= −
dψ
dt
(12.30)
Здесь введено понятие потокосцепления
ψ = ΦN .
(12.31)
Сопоставляя выражения (12.28) и (12.30), получим:
ψ = LI.
(12.32)
Рассчитаем для примера индуктивность соленоида с числом витков на единицу длины n = N/`. Потокосцепление соленоида с учетом формулы (22.22) для магнитной индукции внутри соленоида B = µ
0
µnI равно:
ψ = ΦN = µ
0
µn
2
IS` = µ
0
µn
2
V I = LI .
(12.33)
Из последнего равенства получаем индуктивность соленоида:
L = µ
0
µn
2
V .
(12.34)
Здесь V = S` – объем соленоида.
Семь записанных выше уравнений составляют основу электродинамики.
112
Глава 13
Электромагнитные волны
13.1
Уравнения Максвелла
13.1.1
Электромагнитное поле. Ток смещения. Уравнения Макс- велла в интегральной форме
Из опыта и частных законов видно, что магнитное поле связано с электрическим, элек- трическое поле — с магнитным, и оба они определяются расположением и перемещением зарядов. В результате вместо отдельных электрического и магнитного полей в электроди- намике принято говорить о едином электромагнитном поле. Наиболее полно и в обобщен- ном виде эти связи представлены в четырех уравнениях Максвелла, сформулированных в 1861–1865 годах. Теория Максвелла — макроскопическая теория, в которой рассмат- риваются макроскопические поля макроскопических зарядов и токов, пространственная протяженность которых много больше размеров молекул.
Выпишем сначала уравнения Максвелла в интегральной форме. Отметим, что порядок нумерации уравнений может быть произвольным.
Первое уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (1.32) для электрического поля:
I
D
n dS =
X
i q
i
Второе уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (9.15) для магнитного поля, опираю- щаяся на отсутствие магнитных зарядов:
I
B
n dS = 0 .
Третье уравнение следует из основного закона электромагнитной индукции (24.4):
E
i
= −
dΦ
dt
Максвелл предположил, что любое переменное магнитное поле возбуждает в пространстве электрическое поле, проявляющееся в индукционном токе в проводниках. При этом ЭДС
индукции E
i определяется циркуляцией вектора напряженности вихревого электрическо- го поля
H E
`
d`. Таким образом, окончательно с учетом определения магнитного потока третье уравнение Максвелла имеет вид:
I
E
`
d` = −
d dt
Z
B
n dS .
(13.1)
113
Четвертое уравнение Максвелла – это обобщение теоремы о циркуляции (9.16) вектора на- пряженности магнитного поля:
H H
`
d` =
P
i
I
i
. Максвелл предположил, что если перемен- ное магнитное поле возбуждает в пространстве вихревое электрическое поле, то должен существовать и аналогичный эффект для электрического поля: изменение электрическо- го поля должно вызывать вихревое магнитное поле. Для этого он ввел понятие тока смещения. В интеграле теоремы о циркуляции справа необходимо учесть помимо токов проводимости иные токи, приводящие к изменению напряженности магнитного поля.
Для примера применим теорему о циркуляции к магнитному полю, созданному пере- менным электрическим током, перезаряжающим конденсатор. По Максвеллу в непрово- дящем промежутке конденсатора протекает ток смещения. При этом переменное электри- ческое поле создает соответствующее току смещения магнитное поле. Найдем этот ток:
I
см
=
dQ
dt
=
d dt
Z
σdS =
Z
dσ
dt dS =
Z
dD
dt dS .
(13.2)
Здесь использовано, что вблизи проводника вектор электрического смещения в соответ- ствии с (18.2) равен: D = σ. Сравнивая (13.2) со связью плотности тока и силы тока
I
см
=
R j см dS, получим для плотности тока смещения:
j см
=
dD
dt
(13.3)
В общем случае, когда площадка не перпендикулярна вектору электрического смещения,
ток смещения определяется нормальной составляющей вектора электрического смещения,
и из (13.2) имеем:
I
см
=
Z
dD
n dt dS .
(13.4)
Добавив в обобщение теоремы о циркуляции к току проводимости
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
б)
в)
Рис. 12.3. Схема генератора переменного тока.
Простейшая схема генератора переменного тока изображена на рис. 12.3,а. Если маг- нитное поле однородно, а рамка вращается в нем с постоянной угловой скоростью, то возникающая в рамке E
i является гармонической электродвижущей силой, частота кото- рой равна частоте вращения рамки в магнитном поле. В замкнутом контуре возникает переменный ток соответствующей частоты (рис. 12.3,б).
Если вместо одного витка в магнитном поле движутся два параллельных последова- тельно соединенных витка, то электродвижущая сила индукции возрастает в два раза.
Поэтому при практическом осуществлении генераторов используются намотки из многих витков. Вопросы о наиболее целесообразном осуществлении намоток, о создании магнит- ного поля, о снятии тока с движущихся обмоток и т. д. подробно рассматриваются в элек- тротехнике. Отметим лишь, что снятие тока с движущихся проводников при большой силе тока является не простой задачей. Поэтому часто вместо движения проводников с током осуществляют движение источников магнитного поля при неподвижных проводниках. В
простейшей схеме (рис. 12.3,в) это означает движение постоянных магнитов вокруг непо- движной рамки с током . В неподвижной рамке при этом возбуждается электродвижущая сила индукции. Количественно эта э. д. с. индукции при одинаковых относительных ско- ростях магнитов и рамки одна и та же. Однако физическая сущность происходящих при этом явлений в этих двух случаях различна (см. § 45).
Первыми генераторами были машины с постоянными магнитами, но уже в 1866 г. был сконструирован генератор, в котором магнитное поле создавалось электромагнитом. По- сле этого конструкция генераторов быстро совершенствовалась.
107
3акон сохранения энергии.
При прохождении тока по цепи с омическим сопротивле- нием выделяется джоулева теплота. Энергия, выделяемая в форме теплоты, получается в результате работы механических сил в генераторе электрического тока. При перехо- де энергии из одной формы в другую соблюдается, конечно, закон сохранения энергии.
Проследим за этим на простейшем примере (рис. 12.1).
Пусть R – сопротивление в контуре AGDCA, а I — сила тока в цепи. Следовательно,
в цепи током в форме теплоты выделяется энергия с мощностью
P
1
= I
2
R .
(12.15)
С другой стороны, при движении участка проводника DG с током силой I необходимо преодолевать силу Ампера
F = I`B .
(12.16)
Следовательно, силы, осуществляющие движение проводника, должны развивать мощ- ность
P
2
= F v = I`Bdx/dt = −IE
i
= −I
2
R ,
(12.17)
где учтена формула (12.9) и принято во внимание, что E
i
= IR. Знак минус в (12.17)
показывает, что работа производится над системой.
Сравнение (12.15) и (12.17) показывает, что P
1
+ P
2
= 0. Это означает, что энергия,
выделяемая в форме теплоты, в контуре равна работе сил, приводящих проводник в движение, т. е. сторонними электродвижущими силами в данном случае в конечном счете являются механические силы, осуществляющие движение проводника.
12.2
Закон электромагнитной индукции Фарадея
Обсуждаются физическая сущность и математическая формулировка закона электро- магнитной индукции Фарадея. Анализируется соотношение между электромагнитной индукцией Фарадея и индукцией тока в движущихся проводниках.
Определение.
В 1831 г. Фарадей экспериментально открыл явление электромагнитной индукции, состоящее в возникновении электрического тока в замкнутом проводнике при изменении потока магнитной индукции, охватываемого контуром. Фарадей обнаружил,
что индукционный ток можно вызвать двумя различными способами. Дальнейшее пояс- няет рис. 12.4,где изображены катушка K с током I (она создает магнитное поле) и рамка
P с гальванометром Γ — индикатором индукционного тока.
Рис. 12.4
Рис. 12.5 1-й способ — перемещение рамки P (или отдельных ее частей) в поле неподвижной катушки K.
2-й способ — рамка P неподвижна, но изменяется магнитное поле — или за счет дви- жения катушки K , или вследствие изменения силы тока I в ней, или в результате того
108
и другого вместе. Во всех этих случаях гальванометр Γ будет показывать наличие индук- ционного тока в рамке P . Правило, определяющее направление э. д. с. индукции, было сформулировано в 1833 г. Э.X. Ленцем (1804–1865): индукционный ток направлен так,
что создаваемое им поле препятствует изменению магнитного потока. Иначе говоря,
направление возникающего в контуре тока составляет с направлением изменения потока магнитной индукции левовинтовую систему (рис. 12.5). В 1845 г. Ф.Э. Нейман (1798–1895)
дал математическое определение закона электромагнитной индукции в современной форме:
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.18)
причем контур считается неподвижным.
Физическая сущность явления.
По внешнему виду формула (12.18) полностью сов- падает с (12.9), но физическое содержание ее совершенно иное. Возникновение э. д. с, учи- тываемое формулой (12.9), связано с действием силы Лоренца на движущиеся заряды. В
возникновении э. д. с., учитываемой формулой (12.18), никакая сила Лоренца не участ- вует, поскольку проводники неподвижны. Однако в проводнике возникает электрический ток, поэтому можно заключить, что в нем имеется электрическое поле. Следовательно,
закон Фарадея (12.18) выражает новое физическое явление: изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле. Таким образом, электрическое поле порождается не только электрическими зарядами, но и изменяющимся магнитным полем.
Строго говоря, наличие тока в замкнутом проводнике показывает, что электрическое поле имеется лишь внутри проводника. Однако проводник в данном случае играет роль устройства для обнаружения электрического поля. При отсутствии проводника изменя- ющееся магнитное поле также порождает электрическое поле. Это можно показать, на- пример, тем, что на заряд в изменяющемся магнитном поле действует электрическая сила
(см. § 56). Это доказывает, что электромагнитная индукция является всеобщим фундамен- тальным законом природы, устанавливающим связь между электрическими и магнитны- ми полями. Различное физическое содержание описываемых формулами (12.9) и (12.18)
явлений очевидно из такого примера. Предположим, что проводник DG на рис. 12.1 дви- жется со скоростью v, но одновременно магнитная индукция B уменьшается. Вследствие движения проводника в замкнутом контуре появляется э. д. с. индукции, которая вызыва- ет ток (рис. 12.1). Изменение B по закону электромагнитной индукции Фарадея вызывает в контуре также э. д. с. индукции, которая в данном случае направлена противоположно той, которая возникает в результате движения участка проводника DG. Можно подобрать такую скорость изменения B(∂
B/∂t), что эти две э. д. с. будут взаимно компенсировать- ся. В результате в замкнутом контуре не будет тока, потому что полная э. д. с. индукции равна нулю. Однако эта взаимная компенсация э. д. с. индукции происходит в замкну- том контуре в целом, а не в каждой точке контура. Э. д. с. индукции за счет движения проводника возникает только на участке DG, а э. д. с. индукции Фарадея возникает как на участке DG, так и на остальных участках проводника DC, CA и AG. В результате движения на элементе проводника d
` возникает э. д. с. индукции, зависящая только от B
и скорости v движения этого элемента, но не зависящая от ∂
B/∂t. В результате измене- ния индукции на элементе проводника d
` появляется э. д. с. индукции Фарадея, которая не зависит от индукции B и скорости v движения этого элемента, а зависит только от
∂
B/∂t. Это и доказывает, что физическая природа э. д. с. индукции в этих двух случаях различна.
109
12.2.1
Движущийся проводник в переменном магнитном поле
Рис. 12.6
Если замкнутый проводник движется в переменном магнитном поле, испытывая при этом произвольные деформации формы,
то э. д. с. индукции в нем возникает как за счет движения и де- формации, учитываемой формулой (12.9), так и в результате из- менения индукции магнитного поля, учитываемого аналогичной формулой (12.18). Поэтому можно сказать, что э. д. с. индук- ции в проводнике определяется формулой (12.18), причем под dΦ/dt понимается полная скорость изменения потока индукции,
охватываемого проводником, как за счет его движения и дефор- мации, так и в результате изменения магнитного поля. В связи с этим закон (12.18) можно представить в таком виде:
E
i
=
I
Ed
` = −
∂Φ
∂t
+
I
h
v
B
i d
` .
(12.19)
Применение электромагнитной индукции к генераторам переменного тока.
Те- перь ясно, почему электрический ток можно генерировать не только движением провод- ников в магнитном поле, но и движением магнитов при неподвижных проводниках. На рис. 12.6 изображена схема демонстрации электромагнитной индукции.
12.3
Дифференциальная формулировка закона электро- магнитной индукции
Дается дифференциальная формулировка закона электромагнитной индукции.
Формулировка. Запишем закон электромагнитной индукции Фарадея [см. (12.18)] в виде
I
L
E · dl = −
d dt
Z
S
B · d
S,
(12.20)
где L — контур, S — поверхность, натянутая на контур L. В (12.20) учтены определения:
E
i
=
Z
L
E · dl,
Φ =
Z
S
B · d
S .
(12.21)
Заметим, что между направлением обхода контура L вектором dS соблюдается правовин- товое соотношение. Необходимо также обратить внимание на то, что в определении потока индукции Φ [см. (12.21)] поверхность S, сквозь которую вычисляется поток, является про- извольной, натянутой на контур L поверхностью. Такое, определение предполагает, что этот интеграл не зависит от формы поверхности, важно лишь, чтобы поверхность была ограничена контуром L или, как говорят, натянута на контур L. Докажем это. Выберем две какие либо поверхности S
1
и S
2
, натянутые на контур L. Их совокупность составляет замкнутую поверхность S = S
1
+ S
2
, ограничивающую некоторый объем V между ними.
Поток вектора B сквозь замкнутую поверхность S равен нулю, поскольку по теореме Гаус- са – Остроградского он равен интегралу по объему V , ограниченному поверхностью S, от divB = 0. Из этого следует утверждение о равенстве потоков через S
1
и S
2
(знаки пото- ков одинаковы при одинаковой относительно направления обхода контура ориентировке положительных нормалей к этим поверхностям).
110
Преобразуем левую часть (12.20) по формуле Стокса:
Z
L
E · d
` =
Z
S
rot
E · d
S .
(12.22)
В результате получаем
Z
L
rot
E · d
S = −
Z
S
∂
B
∂t
· d
S ,
(12.23)
причем производная по t внесена под знак интеграла на том основании, что площадь интегрирования не зависит от времени. Так как S произвольна, то из (12.23) следует, что rot
E = −
∂
B
∂t
(12.24)
Уравнение (12.24) является дифференциальной записью закона электромагнитной индукции Фарадея. Оно описывает закон порождения электрического поля в некото- рой точке за счет изменения индукции магнитного поля в той же точке. Поле E часто называют индукционным.
12.3.1
Непотенциальность индукционного электрического поля
В переменном магнитном поле
∂
B
∂t
6= 0 и, следовательно, в соответствии с (12.24)
rot
E 6= 0.
(12.25)
Это означает, что индукционное электрическое поле в отличие от электростатического,
порождаемого неподвижными зарядами, не является потенциальным. Работа перемеще- ния заряда q в нем по замкнутому контуру, вообще говоря, не равна нулю:
A = qE
i
= q
Z
L
E · d
` .
(12.26)
Отсюда, в частности, следует, что это поле не может быть представлено в виде гради- ента от некоторой функции, т. е. не может быть представлено в виде (14.27). Необходимо использовать отличное от [(14.27), т.е.
E = −gradϕ] представление.
12.4
Самоиндукция. Индуктивность соленоида
Рассмотрим еще несколько примеров проявления электромагнитной индукции. Электри- ческий ток в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле. Магнитная индук- ция этого поля по закону Био-Савара-Лапласа пропорциональна силе тока. Следователь- но, создаваемый контуром и проходящий через контур магнитный поток, пропорциональ- ный магнитной индукции, также пропорционален силе тока:
Φ = LI,
(12.27)
где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура или коэффициентом самоиндукции.
111
При изменении силы тока в контуре будет изменяться и магнитный поток, поэтому в контуре будет индуцироваться ЭДС самоиндукции, обусловленная изменением собствен- ного магнитного поля:
E
s
= −
dΦ
dt
= −
d dt
(LI) .
(12.28)
Если при изменении тока индуктивность L остается постоянной (не меняется конфигура- ция контура и нет ферромагнетиков), то
E
s
= −L
dI
dt
(L = const).
(12.29)
Знак “минус” в соответствии с правилом Ленца показывает, что наличие индуктив- ности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем. Если ток в контуре возрастает, то ток самоиндукции тормозит это возрастание. Если ток в контуре убывает,
то ток самоиндукции замедляет это убывание. Таким образом, индуктивность придает электрической цепи электрическую инертность – по аналогии с тем, что масса придает телу механическую инертность.
Единица индуктивности в системе СИ – генри (Гн). 1 Гн = 1 Вб/А = 1 В · с/А.
В случаях, когда нужна катушка с весьма малой индуктивностью, применяют бифи- лярные обмотки. Чтобы получить бифилярную обмотку, проволоку складывают вдвое и наматывают на каркас катушки. При такой намотке ток в двух соседних витках имеет противоположные направления, и суммарный магнитный поток в катушке близок к нулю.
Рассмотрим катушку из N последовательных витков. Если в одном витке катушки наводится ЭДС самоиндукции E
s
, то наводимая во всей катушке ЭДС самоиндукции определяется правилом сложения ЭДС при последовательном соединении и будет в N раз больше:
E
N
= N E
s
= −N
dΦ
dt
= −
d (ΦN )
dt
= −
dψ
dt
(12.30)
Здесь введено понятие потокосцепления
ψ = ΦN .
(12.31)
Сопоставляя выражения (12.28) и (12.30), получим:
ψ = LI.
(12.32)
Рассчитаем для примера индуктивность соленоида с числом витков на единицу длины n = N/`. Потокосцепление соленоида с учетом формулы (22.22) для магнитной индукции внутри соленоида B = µ
0
µnI равно:
ψ = ΦN = µ
0
µn
2
IS` = µ
0
µn
2
V I = LI .
(12.33)
Из последнего равенства получаем индуктивность соленоида:
L = µ
0
µn
2
V .
(12.34)
Здесь V = S` – объем соленоида.
Семь записанных выше уравнений составляют основу электродинамики.
112
Глава 13
Электромагнитные волны
13.1
Уравнения Максвелла
13.1.1
Электромагнитное поле. Ток смещения. Уравнения Макс- велла в интегральной форме
Из опыта и частных законов видно, что магнитное поле связано с электрическим, элек- трическое поле — с магнитным, и оба они определяются расположением и перемещением зарядов. В результате вместо отдельных электрического и магнитного полей в электроди- намике принято говорить о едином электромагнитном поле. Наиболее полно и в обобщен- ном виде эти связи представлены в четырех уравнениях Максвелла, сформулированных в 1861–1865 годах. Теория Максвелла — макроскопическая теория, в которой рассмат- риваются макроскопические поля макроскопических зарядов и токов, пространственная протяженность которых много больше размеров молекул.
Выпишем сначала уравнения Максвелла в интегральной форме. Отметим, что порядок нумерации уравнений может быть произвольным.
Первое уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (1.32) для электрического поля:
I
D
n dS =
X
i q
i
Второе уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (9.15) для магнитного поля, опираю- щаяся на отсутствие магнитных зарядов:
I
B
n dS = 0 .
Третье уравнение следует из основного закона электромагнитной индукции (24.4):
E
i
= −
dΦ
dt
Максвелл предположил, что любое переменное магнитное поле возбуждает в пространстве электрическое поле, проявляющееся в индукционном токе в проводниках. При этом ЭДС
индукции E
i определяется циркуляцией вектора напряженности вихревого электрическо- го поля
H E
`
d`. Таким образом, окончательно с учетом определения магнитного потока третье уравнение Максвелла имеет вид:
I
E
`
d` = −
d dt
Z
B
n dS .
(13.1)
113
Четвертое уравнение Максвелла – это обобщение теоремы о циркуляции (9.16) вектора на- пряженности магнитного поля:
H H
`
d` =
P
i
I
i
. Максвелл предположил, что если перемен- ное магнитное поле возбуждает в пространстве вихревое электрическое поле, то должен существовать и аналогичный эффект для электрического поля: изменение электрическо- го поля должно вызывать вихревое магнитное поле. Для этого он ввел понятие тока смещения. В интеграле теоремы о циркуляции справа необходимо учесть помимо токов проводимости иные токи, приводящие к изменению напряженности магнитного поля.
Для примера применим теорему о циркуляции к магнитному полю, созданному пере- менным электрическим током, перезаряжающим конденсатор. По Максвеллу в непрово- дящем промежутке конденсатора протекает ток смещения. При этом переменное электри- ческое поле создает соответствующее току смещения магнитное поле. Найдем этот ток:
I
см
=
dQ
dt
=
d dt
Z
σdS =
Z
dσ
dt dS =
Z
dD
dt dS .
(13.2)
Здесь использовано, что вблизи проводника вектор электрического смещения в соответ- ствии с (18.2) равен: D = σ. Сравнивая (13.2) со связью плотности тока и силы тока
I
см
=
R j см dS, получим для плотности тока смещения:
j см
=
dD
dt
(13.3)
В общем случае, когда площадка не перпендикулярна вектору электрического смещения,
ток смещения определяется нормальной составляющей вектора электрического смещения,
и из (13.2) имеем:
I
см
=
Z
dD
n dt dS .
(13.4)
Добавив в обобщение теоремы о циркуляции к току проводимости
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
б)
в)
Рис. 12.3. Схема генератора переменного тока.
Простейшая схема генератора переменного тока изображена на рис. 12.3,а. Если маг- нитное поле однородно, а рамка вращается в нем с постоянной угловой скоростью, то возникающая в рамке E
i является гармонической электродвижущей силой, частота кото- рой равна частоте вращения рамки в магнитном поле. В замкнутом контуре возникает переменный ток соответствующей частоты (рис. 12.3,б).
Если вместо одного витка в магнитном поле движутся два параллельных последова- тельно соединенных витка, то электродвижущая сила индукции возрастает в два раза.
Поэтому при практическом осуществлении генераторов используются намотки из многих витков. Вопросы о наиболее целесообразном осуществлении намоток, о создании магнит- ного поля, о снятии тока с движущихся обмоток и т. д. подробно рассматриваются в элек- тротехнике. Отметим лишь, что снятие тока с движущихся проводников при большой силе тока является не простой задачей. Поэтому часто вместо движения проводников с током осуществляют движение источников магнитного поля при неподвижных проводниках. В
простейшей схеме (рис. 12.3,в) это означает движение постоянных магнитов вокруг непо- движной рамки с током . В неподвижной рамке при этом возбуждается электродвижущая сила индукции. Количественно эта э. д. с. индукции при одинаковых относительных ско- ростях магнитов и рамки одна и та же. Однако физическая сущность происходящих при этом явлений в этих двух случаях различна (см. § 45).
Первыми генераторами были машины с постоянными магнитами, но уже в 1866 г. был сконструирован генератор, в котором магнитное поле создавалось электромагнитом. По- сле этого конструкция генераторов быстро совершенствовалась.
107
3акон сохранения энергии.
При прохождении тока по цепи с омическим сопротивле- нием выделяется джоулева теплота. Энергия, выделяемая в форме теплоты, получается в результате работы механических сил в генераторе электрического тока. При перехо- де энергии из одной формы в другую соблюдается, конечно, закон сохранения энергии.
Проследим за этим на простейшем примере (рис. 12.1).
Пусть R – сопротивление в контуре AGDCA, а I — сила тока в цепи. Следовательно,
в цепи током в форме теплоты выделяется энергия с мощностью
P
1
= I
2
R .
(12.15)
С другой стороны, при движении участка проводника DG с током силой I необходимо преодолевать силу Ампера
F = I`B .
(12.16)
Следовательно, силы, осуществляющие движение проводника, должны развивать мощ- ность
P
2
= F v = I`Bdx/dt = −IE
i
= −I
2
R ,
(12.17)
где учтена формула (12.9) и принято во внимание, что E
i
= IR. Знак минус в (12.17)
показывает, что работа производится над системой.
Сравнение (12.15) и (12.17) показывает, что P
1
+ P
2
= 0. Это означает, что энергия,
выделяемая в форме теплоты, в контуре равна работе сил, приводящих проводник в движение, т. е. сторонними электродвижущими силами в данном случае в конечном счете являются механические силы, осуществляющие движение проводника.
12.2
Закон электромагнитной индукции Фарадея
Обсуждаются физическая сущность и математическая формулировка закона электро- магнитной индукции Фарадея. Анализируется соотношение между электромагнитной индукцией Фарадея и индукцией тока в движущихся проводниках.
Определение.
В 1831 г. Фарадей экспериментально открыл явление электромагнитной индукции, состоящее в возникновении электрического тока в замкнутом проводнике при изменении потока магнитной индукции, охватываемого контуром. Фарадей обнаружил,
что индукционный ток можно вызвать двумя различными способами. Дальнейшее пояс- няет рис. 12.4,где изображены катушка K с током I (она создает магнитное поле) и рамка
P с гальванометром Γ — индикатором индукционного тока.
Рис. 12.4
Рис. 12.5 1-й способ — перемещение рамки P (или отдельных ее частей) в поле неподвижной катушки K.
2-й способ — рамка P неподвижна, но изменяется магнитное поле — или за счет дви- жения катушки K , или вследствие изменения силы тока I в ней, или в результате того
108
и другого вместе. Во всех этих случаях гальванометр Γ будет показывать наличие индук- ционного тока в рамке P . Правило, определяющее направление э. д. с. индукции, было сформулировано в 1833 г. Э.X. Ленцем (1804–1865): индукционный ток направлен так,
что создаваемое им поле препятствует изменению магнитного потока. Иначе говоря,
направление возникающего в контуре тока составляет с направлением изменения потока магнитной индукции левовинтовую систему (рис. 12.5). В 1845 г. Ф.Э. Нейман (1798–1895)
дал математическое определение закона электромагнитной индукции в современной форме:
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.18)
причем контур считается неподвижным.
Физическая сущность явления.
По внешнему виду формула (12.18) полностью сов- падает с (12.9), но физическое содержание ее совершенно иное. Возникновение э. д. с, учи- тываемое формулой (12.9), связано с действием силы Лоренца на движущиеся заряды. В
возникновении э. д. с., учитываемой формулой (12.18), никакая сила Лоренца не участ- вует, поскольку проводники неподвижны. Однако в проводнике возникает электрический ток, поэтому можно заключить, что в нем имеется электрическое поле. Следовательно,
закон Фарадея (12.18) выражает новое физическое явление: изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле. Таким образом, электрическое поле порождается не только электрическими зарядами, но и изменяющимся магнитным полем.
Строго говоря, наличие тока в замкнутом проводнике показывает, что электрическое поле имеется лишь внутри проводника. Однако проводник в данном случае играет роль устройства для обнаружения электрического поля. При отсутствии проводника изменя- ющееся магнитное поле также порождает электрическое поле. Это можно показать, на- пример, тем, что на заряд в изменяющемся магнитном поле действует электрическая сила
(см. § 56). Это доказывает, что электромагнитная индукция является всеобщим фундамен- тальным законом природы, устанавливающим связь между электрическими и магнитны- ми полями. Различное физическое содержание описываемых формулами (12.9) и (12.18)
явлений очевидно из такого примера. Предположим, что проводник DG на рис. 12.1 дви- жется со скоростью v, но одновременно магнитная индукция B уменьшается. Вследствие движения проводника в замкнутом контуре появляется э. д. с. индукции, которая вызыва- ет ток (рис. 12.1). Изменение B по закону электромагнитной индукции Фарадея вызывает в контуре также э. д. с. индукции, которая в данном случае направлена противоположно той, которая возникает в результате движения участка проводника DG. Можно подобрать такую скорость изменения B(∂
B/∂t), что эти две э. д. с. будут взаимно компенсировать- ся. В результате в замкнутом контуре не будет тока, потому что полная э. д. с. индукции равна нулю. Однако эта взаимная компенсация э. д. с. индукции происходит в замкну- том контуре в целом, а не в каждой точке контура. Э. д. с. индукции за счет движения проводника возникает только на участке DG, а э. д. с. индукции Фарадея возникает как на участке DG, так и на остальных участках проводника DC, CA и AG. В результате движения на элементе проводника d
` возникает э. д. с. индукции, зависящая только от B
и скорости v движения этого элемента, но не зависящая от ∂
B/∂t. В результате измене- ния индукции на элементе проводника d
` появляется э. д. с. индукции Фарадея, которая не зависит от индукции B и скорости v движения этого элемента, а зависит только от
∂
B/∂t. Это и доказывает, что физическая природа э. д. с. индукции в этих двух случаях различна.
109
12.2.1
Движущийся проводник в переменном магнитном поле
Рис. 12.6
Если замкнутый проводник движется в переменном магнитном поле, испытывая при этом произвольные деформации формы,
то э. д. с. индукции в нем возникает как за счет движения и де- формации, учитываемой формулой (12.9), так и в результате из- менения индукции магнитного поля, учитываемого аналогичной формулой (12.18). Поэтому можно сказать, что э. д. с. индук- ции в проводнике определяется формулой (12.18), причем под dΦ/dt понимается полная скорость изменения потока индукции,
охватываемого проводником, как за счет его движения и дефор- мации, так и в результате изменения магнитного поля. В связи с этим закон (12.18) можно представить в таком виде:
E
i
=
I
Ed
` = −
∂Φ
∂t
+
I
h
v
B
i d
` .
(12.19)
Применение электромагнитной индукции к генераторам переменного тока.
Те- перь ясно, почему электрический ток можно генерировать не только движением провод- ников в магнитном поле, но и движением магнитов при неподвижных проводниках. На рис. 12.6 изображена схема демонстрации электромагнитной индукции.
12.3
Дифференциальная формулировка закона электро- магнитной индукции
Дается дифференциальная формулировка закона электромагнитной индукции.
Формулировка. Запишем закон электромагнитной индукции Фарадея [см. (12.18)] в виде
I
L
E · dl = −
d dt
Z
S
B · d
S,
(12.20)
где L — контур, S — поверхность, натянутая на контур L. В (12.20) учтены определения:
E
i
=
Z
L
E · dl,
Φ =
Z
S
B · d
S .
(12.21)
Заметим, что между направлением обхода контура L вектором dS соблюдается правовин- товое соотношение. Необходимо также обратить внимание на то, что в определении потока индукции Φ [см. (12.21)] поверхность S, сквозь которую вычисляется поток, является про- извольной, натянутой на контур L поверхностью. Такое, определение предполагает, что этот интеграл не зависит от формы поверхности, важно лишь, чтобы поверхность была ограничена контуром L или, как говорят, натянута на контур L. Докажем это. Выберем две какие либо поверхности S
1
и S
2
, натянутые на контур L. Их совокупность составляет замкнутую поверхность S = S
1
+ S
2
, ограничивающую некоторый объем V между ними.
Поток вектора B сквозь замкнутую поверхность S равен нулю, поскольку по теореме Гаус- са – Остроградского он равен интегралу по объему V , ограниченному поверхностью S, от divB = 0. Из этого следует утверждение о равенстве потоков через S
1
и S
2
(знаки пото- ков одинаковы при одинаковой относительно направления обхода контура ориентировке положительных нормалей к этим поверхностям).
110
Преобразуем левую часть (12.20) по формуле Стокса:
Z
L
E · d
` =
Z
S
rot
E · d
S .
(12.22)
В результате получаем
Z
L
rot
E · d
S = −
Z
S
∂
B
∂t
· d
S ,
(12.23)
причем производная по t внесена под знак интеграла на том основании, что площадь интегрирования не зависит от времени. Так как S произвольна, то из (12.23) следует, что rot
E = −
∂
B
∂t
(12.24)
Уравнение (12.24) является дифференциальной записью закона электромагнитной индукции Фарадея. Оно описывает закон порождения электрического поля в некото- рой точке за счет изменения индукции магнитного поля в той же точке. Поле E часто называют индукционным.
12.3.1
Непотенциальность индукционного электрического поля
В переменном магнитном поле
∂
B
∂t
6= 0 и, следовательно, в соответствии с (12.24)
rot
E 6= 0.
(12.25)
Это означает, что индукционное электрическое поле в отличие от электростатического,
порождаемого неподвижными зарядами, не является потенциальным. Работа перемеще- ния заряда q в нем по замкнутому контуру, вообще говоря, не равна нулю:
A = qE
i
= q
Z
L
E · d
` .
(12.26)
Отсюда, в частности, следует, что это поле не может быть представлено в виде гради- ента от некоторой функции, т. е. не может быть представлено в виде (14.27). Необходимо использовать отличное от [(14.27), т.е.
E = −gradϕ] представление.
12.4
Самоиндукция. Индуктивность соленоида
Рассмотрим еще несколько примеров проявления электромагнитной индукции. Электри- ческий ток в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле. Магнитная индук- ция этого поля по закону Био-Савара-Лапласа пропорциональна силе тока. Следователь- но, создаваемый контуром и проходящий через контур магнитный поток, пропорциональ- ный магнитной индукции, также пропорционален силе тока:
Φ = LI,
(12.27)
где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура или коэффициентом самоиндукции.
111
При изменении силы тока в контуре будет изменяться и магнитный поток, поэтому в контуре будет индуцироваться ЭДС самоиндукции, обусловленная изменением собствен- ного магнитного поля:
E
s
= −
dΦ
dt
= −
d dt
(LI) .
(12.28)
Если при изменении тока индуктивность L остается постоянной (не меняется конфигура- ция контура и нет ферромагнетиков), то
E
s
= −L
dI
dt
(L = const).
(12.29)
Знак “минус” в соответствии с правилом Ленца показывает, что наличие индуктив- ности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем. Если ток в контуре возрастает, то ток самоиндукции тормозит это возрастание. Если ток в контуре убывает,
то ток самоиндукции замедляет это убывание. Таким образом, индуктивность придает электрической цепи электрическую инертность – по аналогии с тем, что масса придает телу механическую инертность.
Единица индуктивности в системе СИ – генри (Гн). 1 Гн = 1 Вб/А = 1 В · с/А.
В случаях, когда нужна катушка с весьма малой индуктивностью, применяют бифи- лярные обмотки. Чтобы получить бифилярную обмотку, проволоку складывают вдвое и наматывают на каркас катушки. При такой намотке ток в двух соседних витках имеет противоположные направления, и суммарный магнитный поток в катушке близок к нулю.
Рассмотрим катушку из N последовательных витков. Если в одном витке катушки наводится ЭДС самоиндукции E
s
, то наводимая во всей катушке ЭДС самоиндукции определяется правилом сложения ЭДС при последовательном соединении и будет в N раз больше:
E
N
= N E
s
= −N
dΦ
dt
= −
d (ΦN )
dt
= −
dψ
dt
(12.30)
Здесь введено понятие потокосцепления
ψ = ΦN .
(12.31)
Сопоставляя выражения (12.28) и (12.30), получим:
ψ = LI.
(12.32)
Рассчитаем для примера индуктивность соленоида с числом витков на единицу длины n = N/`. Потокосцепление соленоида с учетом формулы (22.22) для магнитной индукции внутри соленоида B = µ
0
µnI равно:
ψ = ΦN = µ
0
µn
2
IS` = µ
0
µn
2
V I = LI .
(12.33)
Из последнего равенства получаем индуктивность соленоида:
L = µ
0
µn
2
V .
(12.34)
Здесь V = S` – объем соленоида.
Семь записанных выше уравнений составляют основу электродинамики.
112
Глава 13
Электромагнитные волны
13.1
Уравнения Максвелла
13.1.1
Электромагнитное поле. Ток смещения. Уравнения Макс- велла в интегральной форме
Из опыта и частных законов видно, что магнитное поле связано с электрическим, элек- трическое поле — с магнитным, и оба они определяются расположением и перемещением зарядов. В результате вместо отдельных электрического и магнитного полей в электроди- намике принято говорить о едином электромагнитном поле. Наиболее полно и в обобщен- ном виде эти связи представлены в четырех уравнениях Максвелла, сформулированных в 1861–1865 годах. Теория Максвелла — макроскопическая теория, в которой рассмат- риваются макроскопические поля макроскопических зарядов и токов, пространственная протяженность которых много больше размеров молекул.
Выпишем сначала уравнения Максвелла в интегральной форме. Отметим, что порядок нумерации уравнений может быть произвольным.
Первое уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (1.32) для электрического поля:
I
D
n dS =
X
i q
i
Второе уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (9.15) для магнитного поля, опираю- щаяся на отсутствие магнитных зарядов:
I
B
n dS = 0 .
Третье уравнение следует из основного закона электромагнитной индукции (24.4):
E
i
= −
dΦ
dt
Максвелл предположил, что любое переменное магнитное поле возбуждает в пространстве электрическое поле, проявляющееся в индукционном токе в проводниках. При этом ЭДС
индукции E
i определяется циркуляцией вектора напряженности вихревого электрическо- го поля
H E
`
d`. Таким образом, окончательно с учетом определения магнитного потока третье уравнение Максвелла имеет вид:
I
E
`
d` = −
d dt
Z
B
n dS .
(13.1)
113
Четвертое уравнение Максвелла – это обобщение теоремы о циркуляции (9.16) вектора на- пряженности магнитного поля:
H H
`
d` =
P
i
I
i
. Максвелл предположил, что если перемен- ное магнитное поле возбуждает в пространстве вихревое электрическое поле, то должен существовать и аналогичный эффект для электрического поля: изменение электрическо- го поля должно вызывать вихревое магнитное поле. Для этого он ввел понятие тока смещения. В интеграле теоремы о циркуляции справа необходимо учесть помимо токов проводимости иные токи, приводящие к изменению напряженности магнитного поля.
Для примера применим теорему о циркуляции к магнитному полю, созданному пере- менным электрическим током, перезаряжающим конденсатор. По Максвеллу в непрово- дящем промежутке конденсатора протекает ток смещения. При этом переменное электри- ческое поле создает соответствующее току смещения магнитное поле. Найдем этот ток:
I
см
=
dQ
dt
=
d dt
Z
σdS =
Z
dσ
dt dS =
Z
dD
dt dS .
(13.2)
Здесь использовано, что вблизи проводника вектор электрического смещения в соответ- ствии с (18.2) равен: D = σ. Сравнивая (13.2) со связью плотности тока и силы тока
I
см
=
R j см dS, получим для плотности тока смещения:
j см
=
dD
dt
(13.3)
В общем случае, когда площадка не перпендикулярна вектору электрического смещения,
ток смещения определяется нормальной составляющей вектора электрического смещения,
и из (13.2) имеем:
I
см
=
Z
dD
n dt dS .
(13.4)
Добавив в обобщение теоремы о циркуляции к току проводимости
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
б)
в)
Рис. 12.3. Схема генератора переменного тока.
Простейшая схема генератора переменного тока изображена на рис. 12.3,а. Если маг- нитное поле однородно, а рамка вращается в нем с постоянной угловой скоростью, то возникающая в рамке E
i является гармонической электродвижущей силой, частота кото- рой равна частоте вращения рамки в магнитном поле. В замкнутом контуре возникает переменный ток соответствующей частоты (рис. 12.3,б).
Если вместо одного витка в магнитном поле движутся два параллельных последова- тельно соединенных витка, то электродвижущая сила индукции возрастает в два раза.
Поэтому при практическом осуществлении генераторов используются намотки из многих витков. Вопросы о наиболее целесообразном осуществлении намоток, о создании магнит- ного поля, о снятии тока с движущихся обмоток и т. д. подробно рассматриваются в элек- тротехнике. Отметим лишь, что снятие тока с движущихся проводников при большой силе тока является не простой задачей. Поэтому часто вместо движения проводников с током осуществляют движение источников магнитного поля при неподвижных проводниках. В
простейшей схеме (рис. 12.3,в) это означает движение постоянных магнитов вокруг непо- движной рамки с током . В неподвижной рамке при этом возбуждается электродвижущая сила индукции. Количественно эта э. д. с. индукции при одинаковых относительных ско- ростях магнитов и рамки одна и та же. Однако физическая сущность происходящих при этом явлений в этих двух случаях различна (см. § 45).
Первыми генераторами были машины с постоянными магнитами, но уже в 1866 г. был сконструирован генератор, в котором магнитное поле создавалось электромагнитом. По- сле этого конструкция генераторов быстро совершенствовалась.
107
3акон сохранения энергии.
При прохождении тока по цепи с омическим сопротивле- нием выделяется джоулева теплота. Энергия, выделяемая в форме теплоты, получается в результате работы механических сил в генераторе электрического тока. При перехо- де энергии из одной формы в другую соблюдается, конечно, закон сохранения энергии.
Проследим за этим на простейшем примере (рис. 12.1).
Пусть R – сопротивление в контуре AGDCA, а I — сила тока в цепи. Следовательно,
в цепи током в форме теплоты выделяется энергия с мощностью
P
1
= I
2
R .
(12.15)
С другой стороны, при движении участка проводника DG с током силой I необходимо преодолевать силу Ампера
F = I`B .
(12.16)
Следовательно, силы, осуществляющие движение проводника, должны развивать мощ- ность
P
2
= F v = I`Bdx/dt = −IE
i
= −I
2
R ,
(12.17)
где учтена формула (12.9) и принято во внимание, что E
i
= IR. Знак минус в (12.17)
показывает, что работа производится над системой.
Сравнение (12.15) и (12.17) показывает, что P
1
+ P
2
= 0. Это означает, что энергия,
выделяемая в форме теплоты, в контуре равна работе сил, приводящих проводник в движение, т. е. сторонними электродвижущими силами в данном случае в конечном счете являются механические силы, осуществляющие движение проводника.
12.2
Закон электромагнитной индукции Фарадея
Обсуждаются физическая сущность и математическая формулировка закона электро- магнитной индукции Фарадея. Анализируется соотношение между электромагнитной индукцией Фарадея и индукцией тока в движущихся проводниках.
Определение.
В 1831 г. Фарадей экспериментально открыл явление электромагнитной индукции, состоящее в возникновении электрического тока в замкнутом проводнике при изменении потока магнитной индукции, охватываемого контуром. Фарадей обнаружил,
что индукционный ток можно вызвать двумя различными способами. Дальнейшее пояс- няет рис. 12.4,где изображены катушка K с током I (она создает магнитное поле) и рамка
P с гальванометром Γ — индикатором индукционного тока.
Рис. 12.4
Рис. 12.5 1-й способ — перемещение рамки P (или отдельных ее частей) в поле неподвижной катушки K.
2-й способ — рамка P неподвижна, но изменяется магнитное поле — или за счет дви- жения катушки K , или вследствие изменения силы тока I в ней, или в результате того
108
и другого вместе. Во всех этих случаях гальванометр Γ будет показывать наличие индук- ционного тока в рамке P . Правило, определяющее направление э. д. с. индукции, было сформулировано в 1833 г. Э.X. Ленцем (1804–1865): индукционный ток направлен так,
что создаваемое им поле препятствует изменению магнитного потока. Иначе говоря,
направление возникающего в контуре тока составляет с направлением изменения потока магнитной индукции левовинтовую систему (рис. 12.5). В 1845 г. Ф.Э. Нейман (1798–1895)
дал математическое определение закона электромагнитной индукции в современной форме:
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.18)
причем контур считается неподвижным.
Физическая сущность явления.
По внешнему виду формула (12.18) полностью сов- падает с (12.9), но физическое содержание ее совершенно иное. Возникновение э. д. с, учи- тываемое формулой (12.9), связано с действием силы Лоренца на движущиеся заряды. В
возникновении э. д. с., учитываемой формулой (12.18), никакая сила Лоренца не участ- вует, поскольку проводники неподвижны. Однако в проводнике возникает электрический ток, поэтому можно заключить, что в нем имеется электрическое поле. Следовательно,
закон Фарадея (12.18) выражает новое физическое явление: изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле. Таким образом, электрическое поле порождается не только электрическими зарядами, но и изменяющимся магнитным полем.
Строго говоря, наличие тока в замкнутом проводнике показывает, что электрическое поле имеется лишь внутри проводника. Однако проводник в данном случае играет роль устройства для обнаружения электрического поля. При отсутствии проводника изменя- ющееся магнитное поле также порождает электрическое поле. Это можно показать, на- пример, тем, что на заряд в изменяющемся магнитном поле действует электрическая сила
(см. § 56). Это доказывает, что электромагнитная индукция является всеобщим фундамен- тальным законом природы, устанавливающим связь между электрическими и магнитны- ми полями. Различное физическое содержание описываемых формулами (12.9) и (12.18)
явлений очевидно из такого примера. Предположим, что проводник DG на рис. 12.1 дви- жется со скоростью v, но одновременно магнитная индукция B уменьшается. Вследствие движения проводника в замкнутом контуре появляется э. д. с. индукции, которая вызыва- ет ток (рис. 12.1). Изменение B по закону электромагнитной индукции Фарадея вызывает в контуре также э. д. с. индукции, которая в данном случае направлена противоположно той, которая возникает в результате движения участка проводника DG. Можно подобрать такую скорость изменения B(∂
B/∂t), что эти две э. д. с. будут взаимно компенсировать- ся. В результате в замкнутом контуре не будет тока, потому что полная э. д. с. индукции равна нулю. Однако эта взаимная компенсация э. д. с. индукции происходит в замкну- том контуре в целом, а не в каждой точке контура. Э. д. с. индукции за счет движения проводника возникает только на участке DG, а э. д. с. индукции Фарадея возникает как на участке DG, так и на остальных участках проводника DC, CA и AG. В результате движения на элементе проводника d
` возникает э. д. с. индукции, зависящая только от B
и скорости v движения этого элемента, но не зависящая от ∂
B/∂t. В результате измене- ния индукции на элементе проводника d
` появляется э. д. с. индукции Фарадея, которая не зависит от индукции B и скорости v движения этого элемента, а зависит только от
∂
B/∂t. Это и доказывает, что физическая природа э. д. с. индукции в этих двух случаях различна.
109
12.2.1
Движущийся проводник в переменном магнитном поле
Рис. 12.6
Если замкнутый проводник движется в переменном магнитном поле, испытывая при этом произвольные деформации формы,
то э. д. с. индукции в нем возникает как за счет движения и де- формации, учитываемой формулой (12.9), так и в результате из- менения индукции магнитного поля, учитываемого аналогичной формулой (12.18). Поэтому можно сказать, что э. д. с. индук- ции в проводнике определяется формулой (12.18), причем под dΦ/dt понимается полная скорость изменения потока индукции,
охватываемого проводником, как за счет его движения и дефор- мации, так и в результате изменения магнитного поля. В связи с этим закон (12.18) можно представить в таком виде:
E
i
=
I
Ed
` = −
∂Φ
∂t
+
I
h
v
B
i d
` .
(12.19)
Применение электромагнитной индукции к генераторам переменного тока.
Те- перь ясно, почему электрический ток можно генерировать не только движением провод- ников в магнитном поле, но и движением магнитов при неподвижных проводниках. На рис. 12.6 изображена схема демонстрации электромагнитной индукции.
12.3
Дифференциальная формулировка закона электро- магнитной индукции
Дается дифференциальная формулировка закона электромагнитной индукции.
Формулировка. Запишем закон электромагнитной индукции Фарадея [см. (12.18)] в виде
I
L
E · dl = −
d dt
Z
S
B · d
S,
(12.20)
где L — контур, S — поверхность, натянутая на контур L. В (12.20) учтены определения:
E
i
=
Z
L
E · dl,
Φ =
Z
S
B · d
S .
(12.21)
Заметим, что между направлением обхода контура L вектором dS соблюдается правовин- товое соотношение. Необходимо также обратить внимание на то, что в определении потока индукции Φ [см. (12.21)] поверхность S, сквозь которую вычисляется поток, является про- извольной, натянутой на контур L поверхностью. Такое, определение предполагает, что этот интеграл не зависит от формы поверхности, важно лишь, чтобы поверхность была ограничена контуром L или, как говорят, натянута на контур L. Докажем это. Выберем две какие либо поверхности S
1
и S
2
, натянутые на контур L. Их совокупность составляет замкнутую поверхность S = S
1
+ S
2
, ограничивающую некоторый объем V между ними.
Поток вектора B сквозь замкнутую поверхность S равен нулю, поскольку по теореме Гаус- са – Остроградского он равен интегралу по объему V , ограниченному поверхностью S, от divB = 0. Из этого следует утверждение о равенстве потоков через S
1
и S
2
(знаки пото- ков одинаковы при одинаковой относительно направления обхода контура ориентировке положительных нормалей к этим поверхностям).
110
Преобразуем левую часть (12.20) по формуле Стокса:
Z
L
E · d
` =
Z
S
rot
E · d
S .
(12.22)
В результате получаем
Z
L
rot
E · d
S = −
Z
S
∂
B
∂t
· d
S ,
(12.23)
причем производная по t внесена под знак интеграла на том основании, что площадь интегрирования не зависит от времени. Так как S произвольна, то из (12.23) следует, что rot
E = −
∂
B
∂t
(12.24)
Уравнение (12.24) является дифференциальной записью закона электромагнитной индукции Фарадея. Оно описывает закон порождения электрического поля в некото- рой точке за счет изменения индукции магнитного поля в той же точке. Поле E часто называют индукционным.
12.3.1
Непотенциальность индукционного электрического поля
В переменном магнитном поле
∂
B
∂t
6= 0 и, следовательно, в соответствии с (12.24)
rot
E 6= 0.
(12.25)
Это означает, что индукционное электрическое поле в отличие от электростатического,
порождаемого неподвижными зарядами, не является потенциальным. Работа перемеще- ния заряда q в нем по замкнутому контуру, вообще говоря, не равна нулю:
A = qE
i
= q
Z
L
E · d
` .
(12.26)
Отсюда, в частности, следует, что это поле не может быть представлено в виде гради- ента от некоторой функции, т. е. не может быть представлено в виде (14.27). Необходимо использовать отличное от [(14.27), т.е.
E = −gradϕ] представление.
12.4
Самоиндукция. Индуктивность соленоида
Рассмотрим еще несколько примеров проявления электромагнитной индукции. Электри- ческий ток в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле. Магнитная индук- ция этого поля по закону Био-Савара-Лапласа пропорциональна силе тока. Следователь- но, создаваемый контуром и проходящий через контур магнитный поток, пропорциональ- ный магнитной индукции, также пропорционален силе тока:
Φ = LI,
(12.27)
где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура или коэффициентом самоиндукции.
111
При изменении силы тока в контуре будет изменяться и магнитный поток, поэтому в контуре будет индуцироваться ЭДС самоиндукции, обусловленная изменением собствен- ного магнитного поля:
E
s
= −
dΦ
dt
= −
d dt
(LI) .
(12.28)
Если при изменении тока индуктивность L остается постоянной (не меняется конфигура- ция контура и нет ферромагнетиков), то
E
s
= −L
dI
dt
(L = const).
(12.29)
Знак “минус” в соответствии с правилом Ленца показывает, что наличие индуктив- ности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем. Если ток в контуре возрастает, то ток самоиндукции тормозит это возрастание. Если ток в контуре убывает,
то ток самоиндукции замедляет это убывание. Таким образом, индуктивность придает электрической цепи электрическую инертность – по аналогии с тем, что масса придает телу механическую инертность.
Единица индуктивности в системе СИ – генри (Гн). 1 Гн = 1 Вб/А = 1 В · с/А.
В случаях, когда нужна катушка с весьма малой индуктивностью, применяют бифи- лярные обмотки. Чтобы получить бифилярную обмотку, проволоку складывают вдвое и наматывают на каркас катушки. При такой намотке ток в двух соседних витках имеет противоположные направления, и суммарный магнитный поток в катушке близок к нулю.
Рассмотрим катушку из N последовательных витков. Если в одном витке катушки наводится ЭДС самоиндукции E
s
, то наводимая во всей катушке ЭДС самоиндукции определяется правилом сложения ЭДС при последовательном соединении и будет в N раз больше:
E
N
= N E
s
= −N
dΦ
dt
= −
d (ΦN )
dt
= −
dψ
dt
(12.30)
Здесь введено понятие потокосцепления
ψ = ΦN .
(12.31)
Сопоставляя выражения (12.28) и (12.30), получим:
ψ = LI.
(12.32)
Рассчитаем для примера индуктивность соленоида с числом витков на единицу длины n = N/`. Потокосцепление соленоида с учетом формулы (22.22) для магнитной индукции внутри соленоида B = µ
0
µnI равно:
ψ = ΦN = µ
0
µn
2
IS` = µ
0
µn
2
V I = LI .
(12.33)
Из последнего равенства получаем индуктивность соленоида:
L = µ
0
µn
2
V .
(12.34)
Здесь V = S` – объем соленоида.
Семь записанных выше уравнений составляют основу электродинамики.
112
Глава 13
Электромагнитные волны
13.1
Уравнения Максвелла
13.1.1
Электромагнитное поле. Ток смещения. Уравнения Макс- велла в интегральной форме
Из опыта и частных законов видно, что магнитное поле связано с электрическим, элек- трическое поле — с магнитным, и оба они определяются расположением и перемещением зарядов. В результате вместо отдельных электрического и магнитного полей в электроди- намике принято говорить о едином электромагнитном поле. Наиболее полно и в обобщен- ном виде эти связи представлены в четырех уравнениях Максвелла, сформулированных в 1861–1865 годах. Теория Максвелла — макроскопическая теория, в которой рассмат- риваются макроскопические поля макроскопических зарядов и токов, пространственная протяженность которых много больше размеров молекул.
Выпишем сначала уравнения Максвелла в интегральной форме. Отметим, что порядок нумерации уравнений может быть произвольным.
Первое уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (1.32) для электрического поля:
I
D
n dS =
X
i q
i
Второе уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (9.15) для магнитного поля, опираю- щаяся на отсутствие магнитных зарядов:
I
B
n dS = 0 .
Третье уравнение следует из основного закона электромагнитной индукции (24.4):
E
i
= −
dΦ
dt
Максвелл предположил, что любое переменное магнитное поле возбуждает в пространстве электрическое поле, проявляющееся в индукционном токе в проводниках. При этом ЭДС
индукции E
i определяется циркуляцией вектора напряженности вихревого электрическо- го поля
H E
`
d`. Таким образом, окончательно с учетом определения магнитного потока третье уравнение Максвелла имеет вид:
I
E
`
d` = −
d dt
Z
B
n dS .
(13.1)
113
Четвертое уравнение Максвелла – это обобщение теоремы о циркуляции (9.16) вектора на- пряженности магнитного поля:
H H
`
d` =
P
i
I
i
. Максвелл предположил, что если перемен- ное магнитное поле возбуждает в пространстве вихревое электрическое поле, то должен существовать и аналогичный эффект для электрического поля: изменение электрическо- го поля должно вызывать вихревое магнитное поле. Для этого он ввел понятие тока смещения. В интеграле теоремы о циркуляции справа необходимо учесть помимо токов проводимости иные токи, приводящие к изменению напряженности магнитного поля.
Для примера применим теорему о циркуляции к магнитному полю, созданному пере- менным электрическим током, перезаряжающим конденсатор. По Максвеллу в непрово- дящем промежутке конденсатора протекает ток смещения. При этом переменное электри- ческое поле создает соответствующее току смещения магнитное поле. Найдем этот ток:
I
см
=
dQ
dt
=
d dt
Z
σdS =
Z
dσ
dt dS =
Z
dD
dt dS .
(13.2)
Здесь использовано, что вблизи проводника вектор электрического смещения в соответ- ствии с (18.2) равен: D = σ. Сравнивая (13.2) со связью плотности тока и силы тока
I
см
=
R j см dS, получим для плотности тока смещения:
j см
=
dD
dt
(13.3)
В общем случае, когда площадка не перпендикулярна вектору электрического смещения,
ток смещения определяется нормальной составляющей вектора электрического смещения,
и из (13.2) имеем:
I
см
=
Z
dD
n dt dS .
(13.4)
Добавив в обобщение теоремы о циркуляции к току проводимости
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
б)
в)
Рис. 12.3. Схема генератора переменного тока.
Простейшая схема генератора переменного тока изображена на рис. 12.3,а. Если маг- нитное поле однородно, а рамка вращается в нем с постоянной угловой скоростью, то возникающая в рамке E
i является гармонической электродвижущей силой, частота кото- рой равна частоте вращения рамки в магнитном поле. В замкнутом контуре возникает переменный ток соответствующей частоты (рис. 12.3,б).
Если вместо одного витка в магнитном поле движутся два параллельных последова- тельно соединенных витка, то электродвижущая сила индукции возрастает в два раза.
Поэтому при практическом осуществлении генераторов используются намотки из многих витков. Вопросы о наиболее целесообразном осуществлении намоток, о создании магнит- ного поля, о снятии тока с движущихся обмоток и т. д. подробно рассматриваются в элек- тротехнике. Отметим лишь, что снятие тока с движущихся проводников при большой силе тока является не простой задачей. Поэтому часто вместо движения проводников с током осуществляют движение источников магнитного поля при неподвижных проводниках. В
простейшей схеме (рис. 12.3,в) это означает движение постоянных магнитов вокруг непо- движной рамки с током . В неподвижной рамке при этом возбуждается электродвижущая сила индукции. Количественно эта э. д. с. индукции при одинаковых относительных ско- ростях магнитов и рамки одна и та же. Однако физическая сущность происходящих при этом явлений в этих двух случаях различна (см. § 45).
Первыми генераторами были машины с постоянными магнитами, но уже в 1866 г. был сконструирован генератор, в котором магнитное поле создавалось электромагнитом. По- сле этого конструкция генераторов быстро совершенствовалась.
107
3акон сохранения энергии.
При прохождении тока по цепи с омическим сопротивле- нием выделяется джоулева теплота. Энергия, выделяемая в форме теплоты, получается в результате работы механических сил в генераторе электрического тока. При перехо- де энергии из одной формы в другую соблюдается, конечно, закон сохранения энергии.
Проследим за этим на простейшем примере (рис. 12.1).
Пусть R – сопротивление в контуре AGDCA, а I — сила тока в цепи. Следовательно,
в цепи током в форме теплоты выделяется энергия с мощностью
P
1
= I
2
R .
(12.15)
С другой стороны, при движении участка проводника DG с током силой I необходимо преодолевать силу Ампера
F = I`B .
(12.16)
Следовательно, силы, осуществляющие движение проводника, должны развивать мощ- ность
P
2
= F v = I`Bdx/dt = −IE
i
= −I
2
R ,
(12.17)
где учтена формула (12.9) и принято во внимание, что E
i
= IR. Знак минус в (12.17)
показывает, что работа производится над системой.
Сравнение (12.15) и (12.17) показывает, что P
1
+ P
2
= 0. Это означает, что энергия,
выделяемая в форме теплоты, в контуре равна работе сил, приводящих проводник в движение, т. е. сторонними электродвижущими силами в данном случае в конечном счете являются механические силы, осуществляющие движение проводника.
12.2
Закон электромагнитной индукции Фарадея
Обсуждаются физическая сущность и математическая формулировка закона электро- магнитной индукции Фарадея. Анализируется соотношение между электромагнитной индукцией Фарадея и индукцией тока в движущихся проводниках.
Определение.
В 1831 г. Фарадей экспериментально открыл явление электромагнитной индукции, состоящее в возникновении электрического тока в замкнутом проводнике при изменении потока магнитной индукции, охватываемого контуром. Фарадей обнаружил,
что индукционный ток можно вызвать двумя различными способами. Дальнейшее пояс- няет рис. 12.4,где изображены катушка K с током I (она создает магнитное поле) и рамка
P с гальванометром Γ — индикатором индукционного тока.
Рис. 12.4
Рис. 12.5 1-й способ — перемещение рамки P (или отдельных ее частей) в поле неподвижной катушки K.
2-й способ — рамка P неподвижна, но изменяется магнитное поле — или за счет дви- жения катушки K , или вследствие изменения силы тока I в ней, или в результате того
108
и другого вместе. Во всех этих случаях гальванометр Γ будет показывать наличие индук- ционного тока в рамке P . Правило, определяющее направление э. д. с. индукции, было сформулировано в 1833 г. Э.X. Ленцем (1804–1865): индукционный ток направлен так,
что создаваемое им поле препятствует изменению магнитного потока. Иначе говоря,
направление возникающего в контуре тока составляет с направлением изменения потока магнитной индукции левовинтовую систему (рис. 12.5). В 1845 г. Ф.Э. Нейман (1798–1895)
дал математическое определение закона электромагнитной индукции в современной форме:
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.18)
причем контур считается неподвижным.
Физическая сущность явления.
По внешнему виду формула (12.18) полностью сов- падает с (12.9), но физическое содержание ее совершенно иное. Возникновение э. д. с, учи- тываемое формулой (12.9), связано с действием силы Лоренца на движущиеся заряды. В
возникновении э. д. с., учитываемой формулой (12.18), никакая сила Лоренца не участ- вует, поскольку проводники неподвижны. Однако в проводнике возникает электрический ток, поэтому можно заключить, что в нем имеется электрическое поле. Следовательно,
закон Фарадея (12.18) выражает новое физическое явление: изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле. Таким образом, электрическое поле порождается не только электрическими зарядами, но и изменяющимся магнитным полем.
Строго говоря, наличие тока в замкнутом проводнике показывает, что электрическое поле имеется лишь внутри проводника. Однако проводник в данном случае играет роль устройства для обнаружения электрического поля. При отсутствии проводника изменя- ющееся магнитное поле также порождает электрическое поле. Это можно показать, на- пример, тем, что на заряд в изменяющемся магнитном поле действует электрическая сила
(см. § 56). Это доказывает, что электромагнитная индукция является всеобщим фундамен- тальным законом природы, устанавливающим связь между электрическими и магнитны- ми полями. Различное физическое содержание описываемых формулами (12.9) и (12.18)
явлений очевидно из такого примера. Предположим, что проводник DG на рис. 12.1 дви- жется со скоростью v, но одновременно магнитная индукция B уменьшается. Вследствие движения проводника в замкнутом контуре появляется э. д. с. индукции, которая вызыва- ет ток (рис. 12.1). Изменение B по закону электромагнитной индукции Фарадея вызывает в контуре также э. д. с. индукции, которая в данном случае направлена противоположно той, которая возникает в результате движения участка проводника DG. Можно подобрать такую скорость изменения B(∂
B/∂t), что эти две э. д. с. будут взаимно компенсировать- ся. В результате в замкнутом контуре не будет тока, потому что полная э. д. с. индукции равна нулю. Однако эта взаимная компенсация э. д. с. индукции происходит в замкну- том контуре в целом, а не в каждой точке контура. Э. д. с. индукции за счет движения проводника возникает только на участке DG, а э. д. с. индукции Фарадея возникает как на участке DG, так и на остальных участках проводника DC, CA и AG. В результате движения на элементе проводника d
` возникает э. д. с. индукции, зависящая только от B
и скорости v движения этого элемента, но не зависящая от ∂
B/∂t. В результате измене- ния индукции на элементе проводника d
` появляется э. д. с. индукции Фарадея, которая не зависит от индукции B и скорости v движения этого элемента, а зависит только от
∂
B/∂t. Это и доказывает, что физическая природа э. д. с. индукции в этих двух случаях различна.
109
12.2.1
Движущийся проводник в переменном магнитном поле
Рис. 12.6
Если замкнутый проводник движется в переменном магнитном поле, испытывая при этом произвольные деформации формы,
то э. д. с. индукции в нем возникает как за счет движения и де- формации, учитываемой формулой (12.9), так и в результате из- менения индукции магнитного поля, учитываемого аналогичной формулой (12.18). Поэтому можно сказать, что э. д. с. индук- ции в проводнике определяется формулой (12.18), причем под dΦ/dt понимается полная скорость изменения потока индукции,
охватываемого проводником, как за счет его движения и дефор- мации, так и в результате изменения магнитного поля. В связи с этим закон (12.18) можно представить в таком виде:
E
i
=
I
Ed
` = −
∂Φ
∂t
+
I
h
v
B
i d
` .
(12.19)
Применение электромагнитной индукции к генераторам переменного тока.
Те- перь ясно, почему электрический ток можно генерировать не только движением провод- ников в магнитном поле, но и движением магнитов при неподвижных проводниках. На рис. 12.6 изображена схема демонстрации электромагнитной индукции.
12.3
Дифференциальная формулировка закона электро- магнитной индукции
Дается дифференциальная формулировка закона электромагнитной индукции.
Формулировка. Запишем закон электромагнитной индукции Фарадея [см. (12.18)] в виде
I
L
E · dl = −
d dt
Z
S
B · d
S,
(12.20)
где L — контур, S — поверхность, натянутая на контур L. В (12.20) учтены определения:
E
i
=
Z
L
E · dl,
Φ =
Z
S
B · d
S .
(12.21)
Заметим, что между направлением обхода контура L вектором dS соблюдается правовин- товое соотношение. Необходимо также обратить внимание на то, что в определении потока индукции Φ [см. (12.21)] поверхность S, сквозь которую вычисляется поток, является про- извольной, натянутой на контур L поверхностью. Такое, определение предполагает, что этот интеграл не зависит от формы поверхности, важно лишь, чтобы поверхность была ограничена контуром L или, как говорят, натянута на контур L. Докажем это. Выберем две какие либо поверхности S
1
и S
2
, натянутые на контур L. Их совокупность составляет замкнутую поверхность S = S
1
+ S
2
, ограничивающую некоторый объем V между ними.
Поток вектора B сквозь замкнутую поверхность S равен нулю, поскольку по теореме Гаус- са – Остроградского он равен интегралу по объему V , ограниченному поверхностью S, от divB = 0. Из этого следует утверждение о равенстве потоков через S
1
и S
2
(знаки пото- ков одинаковы при одинаковой относительно направления обхода контура ориентировке положительных нормалей к этим поверхностям).
110
Преобразуем левую часть (12.20) по формуле Стокса:
Z
L
E · d
` =
Z
S
rot
E · d
S .
(12.22)
В результате получаем
Z
L
rot
E · d
S = −
Z
S
∂
B
∂t
· d
S ,
(12.23)
причем производная по t внесена под знак интеграла на том основании, что площадь интегрирования не зависит от времени. Так как S произвольна, то из (12.23) следует, что rot
E = −
∂
B
∂t
(12.24)
Уравнение (12.24) является дифференциальной записью закона электромагнитной индукции Фарадея. Оно описывает закон порождения электрического поля в некото- рой точке за счет изменения индукции магнитного поля в той же точке. Поле E часто называют индукционным.
12.3.1
Непотенциальность индукционного электрического поля
В переменном магнитном поле
∂
B
∂t
6= 0 и, следовательно, в соответствии с (12.24)
rot
E 6= 0.
(12.25)
Это означает, что индукционное электрическое поле в отличие от электростатического,
порождаемого неподвижными зарядами, не является потенциальным. Работа перемеще- ния заряда q в нем по замкнутому контуру, вообще говоря, не равна нулю:
A = qE
i
= q
Z
L
E · d
` .
(12.26)
Отсюда, в частности, следует, что это поле не может быть представлено в виде гради- ента от некоторой функции, т. е. не может быть представлено в виде (14.27). Необходимо использовать отличное от [(14.27), т.е.
E = −gradϕ] представление.
12.4
Самоиндукция. Индуктивность соленоида
Рассмотрим еще несколько примеров проявления электромагнитной индукции. Электри- ческий ток в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле. Магнитная индук- ция этого поля по закону Био-Савара-Лапласа пропорциональна силе тока. Следователь- но, создаваемый контуром и проходящий через контур магнитный поток, пропорциональ- ный магнитной индукции, также пропорционален силе тока:
Φ = LI,
(12.27)
где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура или коэффициентом самоиндукции.
111
При изменении силы тока в контуре будет изменяться и магнитный поток, поэтому в контуре будет индуцироваться ЭДС самоиндукции, обусловленная изменением собствен- ного магнитного поля:
E
s
= −
dΦ
dt
= −
d dt
(LI) .
(12.28)
Если при изменении тока индуктивность L остается постоянной (не меняется конфигура- ция контура и нет ферромагнетиков), то
E
s
= −L
dI
dt
(L = const).
(12.29)
Знак “минус” в соответствии с правилом Ленца показывает, что наличие индуктив- ности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем. Если ток в контуре возрастает, то ток самоиндукции тормозит это возрастание. Если ток в контуре убывает,
то ток самоиндукции замедляет это убывание. Таким образом, индуктивность придает электрической цепи электрическую инертность – по аналогии с тем, что масса придает телу механическую инертность.
Единица индуктивности в системе СИ – генри (Гн). 1 Гн = 1 Вб/А = 1 В · с/А.
В случаях, когда нужна катушка с весьма малой индуктивностью, применяют бифи- лярные обмотки. Чтобы получить бифилярную обмотку, проволоку складывают вдвое и наматывают на каркас катушки. При такой намотке ток в двух соседних витках имеет противоположные направления, и суммарный магнитный поток в катушке близок к нулю.
Рассмотрим катушку из N последовательных витков. Если в одном витке катушки наводится ЭДС самоиндукции E
s
, то наводимая во всей катушке ЭДС самоиндукции определяется правилом сложения ЭДС при последовательном соединении и будет в N раз больше:
E
N
= N E
s
= −N
dΦ
dt
= −
d (ΦN )
dt
= −
dψ
dt
(12.30)
Здесь введено понятие потокосцепления
ψ = ΦN .
(12.31)
Сопоставляя выражения (12.28) и (12.30), получим:
ψ = LI.
(12.32)
Рассчитаем для примера индуктивность соленоида с числом витков на единицу длины n = N/`. Потокосцепление соленоида с учетом формулы (22.22) для магнитной индукции внутри соленоида B = µ
0
µnI равно:
ψ = ΦN = µ
0
µn
2
IS` = µ
0
µn
2
V I = LI .
(12.33)
Из последнего равенства получаем индуктивность соленоида:
L = µ
0
µn
2
V .
(12.34)
Здесь V = S` – объем соленоида.
Семь записанных выше уравнений составляют основу электродинамики.
112
Глава 13
Электромагнитные волны
13.1
Уравнения Максвелла
13.1.1
Электромагнитное поле. Ток смещения. Уравнения Макс- велла в интегральной форме
Из опыта и частных законов видно, что магнитное поле связано с электрическим, элек- трическое поле — с магнитным, и оба они определяются расположением и перемещением зарядов. В результате вместо отдельных электрического и магнитного полей в электроди- намике принято говорить о едином электромагнитном поле. Наиболее полно и в обобщен- ном виде эти связи представлены в четырех уравнениях Максвелла, сформулированных в 1861–1865 годах. Теория Максвелла — макроскопическая теория, в которой рассмат- риваются макроскопические поля макроскопических зарядов и токов, пространственная протяженность которых много больше размеров молекул.
Выпишем сначала уравнения Максвелла в интегральной форме. Отметим, что порядок нумерации уравнений может быть произвольным.
Первое уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (1.32) для электрического поля:
I
D
n dS =
X
i q
i
Второе уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (9.15) для магнитного поля, опираю- щаяся на отсутствие магнитных зарядов:
I
B
n dS = 0 .
Третье уравнение следует из основного закона электромагнитной индукции (24.4):
E
i
= −
dΦ
dt
Максвелл предположил, что любое переменное магнитное поле возбуждает в пространстве электрическое поле, проявляющееся в индукционном токе в проводниках. При этом ЭДС
индукции E
i определяется циркуляцией вектора напряженности вихревого электрическо- го поля
H E
`
d`. Таким образом, окончательно с учетом определения магнитного потока третье уравнение Максвелла имеет вид:
I
E
`
d` = −
d dt
Z
B
n dS .
(13.1)
113
Четвертое уравнение Максвелла – это обобщение теоремы о циркуляции (9.16) вектора на- пряженности магнитного поля:
H H
`
d` =
P
i
I
i
. Максвелл предположил, что если перемен- ное магнитное поле возбуждает в пространстве вихревое электрическое поле, то должен существовать и аналогичный эффект для электрического поля: изменение электрическо- го поля должно вызывать вихревое магнитное поле. Для этого он ввел понятие тока смещения. В интеграле теоремы о циркуляции справа необходимо учесть помимо токов проводимости иные токи, приводящие к изменению напряженности магнитного поля.
Для примера применим теорему о циркуляции к магнитному полю, созданному пере- менным электрическим током, перезаряжающим конденсатор. По Максвеллу в непрово- дящем промежутке конденсатора протекает ток смещения. При этом переменное электри- ческое поле создает соответствующее току смещения магнитное поле. Найдем этот ток:
I
см
=
dQ
dt
=
d dt
Z
σdS =
Z
dσ
dt dS =
Z
dD
dt dS .
(13.2)
Здесь использовано, что вблизи проводника вектор электрического смещения в соответ- ствии с (18.2) равен: D = σ. Сравнивая (13.2) со связью плотности тока и силы тока
I
см
=
R j см dS, получим для плотности тока смещения:
j см
=
dD
dt
(13.3)
В общем случае, когда площадка не перпендикулярна вектору электрического смещения,
ток смещения определяется нормальной составляющей вектора электрического смещения,
и из (13.2) имеем:
I
см
=
Z
dD
n dt dS .
(13.4)
Добавив в обобщение теоремы о циркуляции к току проводимости
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
б)
в)
Рис. 12.3. Схема генератора переменного тока.
Простейшая схема генератора переменного тока изображена на рис. 12.3,а. Если маг- нитное поле однородно, а рамка вращается в нем с постоянной угловой скоростью, то возникающая в рамке E
i является гармонической электродвижущей силой, частота кото- рой равна частоте вращения рамки в магнитном поле. В замкнутом контуре возникает переменный ток соответствующей частоты (рис. 12.3,б).
Если вместо одного витка в магнитном поле движутся два параллельных последова- тельно соединенных витка, то электродвижущая сила индукции возрастает в два раза.
Поэтому при практическом осуществлении генераторов используются намотки из многих витков. Вопросы о наиболее целесообразном осуществлении намоток, о создании магнит- ного поля, о снятии тока с движущихся обмоток и т. д. подробно рассматриваются в элек- тротехнике. Отметим лишь, что снятие тока с движущихся проводников при большой силе тока является не простой задачей. Поэтому часто вместо движения проводников с током осуществляют движение источников магнитного поля при неподвижных проводниках. В
простейшей схеме (рис. 12.3,в) это означает движение постоянных магнитов вокруг непо- движной рамки с током . В неподвижной рамке при этом возбуждается электродвижущая сила индукции. Количественно эта э. д. с. индукции при одинаковых относительных ско- ростях магнитов и рамки одна и та же. Однако физическая сущность происходящих при этом явлений в этих двух случаях различна (см. § 45).
Первыми генераторами были машины с постоянными магнитами, но уже в 1866 г. был сконструирован генератор, в котором магнитное поле создавалось электромагнитом. По- сле этого конструкция генераторов быстро совершенствовалась.
107
3акон сохранения энергии.
При прохождении тока по цепи с омическим сопротивле- нием выделяется джоулева теплота. Энергия, выделяемая в форме теплоты, получается в результате работы механических сил в генераторе электрического тока. При перехо- де энергии из одной формы в другую соблюдается, конечно, закон сохранения энергии.
Проследим за этим на простейшем примере (рис. 12.1).
Пусть R – сопротивление в контуре AGDCA, а I — сила тока в цепи. Следовательно,
в цепи током в форме теплоты выделяется энергия с мощностью
P
1
= I
2
R .
(12.15)
С другой стороны, при движении участка проводника DG с током силой I необходимо преодолевать силу Ампера
F = I`B .
(12.16)
Следовательно, силы, осуществляющие движение проводника, должны развивать мощ- ность
P
2
= F v = I`Bdx/dt = −IE
i
= −I
2
R ,
(12.17)
где учтена формула (12.9) и принято во внимание, что E
i
= IR. Знак минус в (12.17)
показывает, что работа производится над системой.
Сравнение (12.15) и (12.17) показывает, что P
1
+ P
2
= 0. Это означает, что энергия,
выделяемая в форме теплоты, в контуре равна работе сил, приводящих проводник в движение, т. е. сторонними электродвижущими силами в данном случае в конечном счете являются механические силы, осуществляющие движение проводника.
12.2
Закон электромагнитной индукции Фарадея
Обсуждаются физическая сущность и математическая формулировка закона электро- магнитной индукции Фарадея. Анализируется соотношение между электромагнитной индукцией Фарадея и индукцией тока в движущихся проводниках.
Определение.
В 1831 г. Фарадей экспериментально открыл явление электромагнитной индукции, состоящее в возникновении электрического тока в замкнутом проводнике при изменении потока магнитной индукции, охватываемого контуром. Фарадей обнаружил,
что индукционный ток можно вызвать двумя различными способами. Дальнейшее пояс- няет рис. 12.4,где изображены катушка K с током I (она создает магнитное поле) и рамка
P с гальванометром Γ — индикатором индукционного тока.
Рис. 12.4
Рис. 12.5 1-й способ — перемещение рамки P (или отдельных ее частей) в поле неподвижной катушки K.
2-й способ — рамка P неподвижна, но изменяется магнитное поле — или за счет дви- жения катушки K , или вследствие изменения силы тока I в ней, или в результате того
108
и другого вместе. Во всех этих случаях гальванометр Γ будет показывать наличие индук- ционного тока в рамке P . Правило, определяющее направление э. д. с. индукции, было сформулировано в 1833 г. Э.X. Ленцем (1804–1865): индукционный ток направлен так,
что создаваемое им поле препятствует изменению магнитного потока. Иначе говоря,
направление возникающего в контуре тока составляет с направлением изменения потока магнитной индукции левовинтовую систему (рис. 12.5). В 1845 г. Ф.Э. Нейман (1798–1895)
дал математическое определение закона электромагнитной индукции в современной форме:
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.18)
причем контур считается неподвижным.
Физическая сущность явления.
По внешнему виду формула (12.18) полностью сов- падает с (12.9), но физическое содержание ее совершенно иное. Возникновение э. д. с, учи- тываемое формулой (12.9), связано с действием силы Лоренца на движущиеся заряды. В
возникновении э. д. с., учитываемой формулой (12.18), никакая сила Лоренца не участ- вует, поскольку проводники неподвижны. Однако в проводнике возникает электрический ток, поэтому можно заключить, что в нем имеется электрическое поле. Следовательно,
закон Фарадея (12.18) выражает новое физическое явление: изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле. Таким образом, электрическое поле порождается не только электрическими зарядами, но и изменяющимся магнитным полем.
Строго говоря, наличие тока в замкнутом проводнике показывает, что электрическое поле имеется лишь внутри проводника. Однако проводник в данном случае играет роль устройства для обнаружения электрического поля. При отсутствии проводника изменя- ющееся магнитное поле также порождает электрическое поле. Это можно показать, на- пример, тем, что на заряд в изменяющемся магнитном поле действует электрическая сила
(см. § 56). Это доказывает, что электромагнитная индукция является всеобщим фундамен- тальным законом природы, устанавливающим связь между электрическими и магнитны- ми полями. Различное физическое содержание описываемых формулами (12.9) и (12.18)
явлений очевидно из такого примера. Предположим, что проводник DG на рис. 12.1 дви- жется со скоростью v, но одновременно магнитная индукция B уменьшается. Вследствие движения проводника в замкнутом контуре появляется э. д. с. индукции, которая вызыва- ет ток (рис. 12.1). Изменение B по закону электромагнитной индукции Фарадея вызывает в контуре также э. д. с. индукции, которая в данном случае направлена противоположно той, которая возникает в результате движения участка проводника DG. Можно подобрать такую скорость изменения B(∂
B/∂t), что эти две э. д. с. будут взаимно компенсировать- ся. В результате в замкнутом контуре не будет тока, потому что полная э. д. с. индукции равна нулю. Однако эта взаимная компенсация э. д. с. индукции происходит в замкну- том контуре в целом, а не в каждой точке контура. Э. д. с. индукции за счет движения проводника возникает только на участке DG, а э. д. с. индукции Фарадея возникает как на участке DG, так и на остальных участках проводника DC, CA и AG. В результате движения на элементе проводника d
` возникает э. д. с. индукции, зависящая только от B
и скорости v движения этого элемента, но не зависящая от ∂
B/∂t. В результате измене- ния индукции на элементе проводника d
` появляется э. д. с. индукции Фарадея, которая не зависит от индукции B и скорости v движения этого элемента, а зависит только от
∂
B/∂t. Это и доказывает, что физическая природа э. д. с. индукции в этих двух случаях различна.
109
12.2.1
Движущийся проводник в переменном магнитном поле
Рис. 12.6
Если замкнутый проводник движется в переменном магнитном поле, испытывая при этом произвольные деформации формы,
то э. д. с. индукции в нем возникает как за счет движения и де- формации, учитываемой формулой (12.9), так и в результате из- менения индукции магнитного поля, учитываемого аналогичной формулой (12.18). Поэтому можно сказать, что э. д. с. индук- ции в проводнике определяется формулой (12.18), причем под dΦ/dt понимается полная скорость изменения потока индукции,
охватываемого проводником, как за счет его движения и дефор- мации, так и в результате изменения магнитного поля. В связи с этим закон (12.18) можно представить в таком виде:
E
i
=
I
Ed
` = −
∂Φ
∂t
+
I
h
v
B
i d
` .
(12.19)
Применение электромагнитной индукции к генераторам переменного тока.
Те- перь ясно, почему электрический ток можно генерировать не только движением провод- ников в магнитном поле, но и движением магнитов при неподвижных проводниках. На рис. 12.6 изображена схема демонстрации электромагнитной индукции.
12.3
Дифференциальная формулировка закона электро- магнитной индукции
Дается дифференциальная формулировка закона электромагнитной индукции.
Формулировка. Запишем закон электромагнитной индукции Фарадея [см. (12.18)] в виде
I
L
E · dl = −
d dt
Z
S
B · d
S,
(12.20)
где L — контур, S — поверхность, натянутая на контур L. В (12.20) учтены определения:
E
i
=
Z
L
E · dl,
Φ =
Z
S
B · d
S .
(12.21)
Заметим, что между направлением обхода контура L вектором dS соблюдается правовин- товое соотношение. Необходимо также обратить внимание на то, что в определении потока индукции Φ [см. (12.21)] поверхность S, сквозь которую вычисляется поток, является про- извольной, натянутой на контур L поверхностью. Такое, определение предполагает, что этот интеграл не зависит от формы поверхности, важно лишь, чтобы поверхность была ограничена контуром L или, как говорят, натянута на контур L. Докажем это. Выберем две какие либо поверхности S
1
и S
2
, натянутые на контур L. Их совокупность составляет замкнутую поверхность S = S
1
+ S
2
, ограничивающую некоторый объем V между ними.
Поток вектора B сквозь замкнутую поверхность S равен нулю, поскольку по теореме Гаус- са – Остроградского он равен интегралу по объему V , ограниченному поверхностью S, от divB = 0. Из этого следует утверждение о равенстве потоков через S
1
и S
2
(знаки пото- ков одинаковы при одинаковой относительно направления обхода контура ориентировке положительных нормалей к этим поверхностям).
110
Преобразуем левую часть (12.20) по формуле Стокса:
Z
L
E · d
` =
Z
S
rot
E · d
S .
(12.22)
В результате получаем
Z
L
rot
E · d
S = −
Z
S
∂
B
∂t
· d
S ,
(12.23)
причем производная по t внесена под знак интеграла на том основании, что площадь интегрирования не зависит от времени. Так как S произвольна, то из (12.23) следует, что rot
E = −
∂
B
∂t
(12.24)
Уравнение (12.24) является дифференциальной записью закона электромагнитной индукции Фарадея. Оно описывает закон порождения электрического поля в некото- рой точке за счет изменения индукции магнитного поля в той же точке. Поле E часто называют индукционным.
12.3.1
Непотенциальность индукционного электрического поля
В переменном магнитном поле
∂
B
∂t
6= 0 и, следовательно, в соответствии с (12.24)
rot
E 6= 0.
(12.25)
Это означает, что индукционное электрическое поле в отличие от электростатического,
порождаемого неподвижными зарядами, не является потенциальным. Работа перемеще- ния заряда q в нем по замкнутому контуру, вообще говоря, не равна нулю:
A = qE
i
= q
Z
L
E · d
` .
(12.26)
Отсюда, в частности, следует, что это поле не может быть представлено в виде гради- ента от некоторой функции, т. е. не может быть представлено в виде (14.27). Необходимо использовать отличное от [(14.27), т.е.
E = −gradϕ] представление.
12.4
Самоиндукция. Индуктивность соленоида
Рассмотрим еще несколько примеров проявления электромагнитной индукции. Электри- ческий ток в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле. Магнитная индук- ция этого поля по закону Био-Савара-Лапласа пропорциональна силе тока. Следователь- но, создаваемый контуром и проходящий через контур магнитный поток, пропорциональ- ный магнитной индукции, также пропорционален силе тока:
Φ = LI,
(12.27)
где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура или коэффициентом самоиндукции.
111
При изменении силы тока в контуре будет изменяться и магнитный поток, поэтому в контуре будет индуцироваться ЭДС самоиндукции, обусловленная изменением собствен- ного магнитного поля:
E
s
= −
dΦ
dt
= −
d dt
(LI) .
(12.28)
Если при изменении тока индуктивность L остается постоянной (не меняется конфигура- ция контура и нет ферромагнетиков), то
E
s
= −L
dI
dt
(L = const).
(12.29)
Знак “минус” в соответствии с правилом Ленца показывает, что наличие индуктив- ности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем. Если ток в контуре возрастает, то ток самоиндукции тормозит это возрастание. Если ток в контуре убывает,
то ток самоиндукции замедляет это убывание. Таким образом, индуктивность придает электрической цепи электрическую инертность – по аналогии с тем, что масса придает телу механическую инертность.
Единица индуктивности в системе СИ – генри (Гн). 1 Гн = 1 Вб/А = 1 В · с/А.
В случаях, когда нужна катушка с весьма малой индуктивностью, применяют бифи- лярные обмотки. Чтобы получить бифилярную обмотку, проволоку складывают вдвое и наматывают на каркас катушки. При такой намотке ток в двух соседних витках имеет противоположные направления, и суммарный магнитный поток в катушке близок к нулю.
Рассмотрим катушку из N последовательных витков. Если в одном витке катушки наводится ЭДС самоиндукции E
s
, то наводимая во всей катушке ЭДС самоиндукции определяется правилом сложения ЭДС при последовательном соединении и будет в N раз больше:
E
N
= N E
s
= −N
dΦ
dt
= −
d (ΦN )
dt
= −
dψ
dt
(12.30)
Здесь введено понятие потокосцепления
ψ = ΦN .
(12.31)
Сопоставляя выражения (12.28) и (12.30), получим:
ψ = LI.
(12.32)
Рассчитаем для примера индуктивность соленоида с числом витков на единицу длины n = N/`. Потокосцепление соленоида с учетом формулы (22.22) для магнитной индукции внутри соленоида B = µ
0
µnI равно:
ψ = ΦN = µ
0
µn
2
IS` = µ
0
µn
2
V I = LI .
(12.33)
Из последнего равенства получаем индуктивность соленоида:
L = µ
0
µn
2
V .
(12.34)
Здесь V = S` – объем соленоида.
Семь записанных выше уравнений составляют основу электродинамики.
112
Глава 13
Электромагнитные волны
13.1
Уравнения Максвелла
13.1.1
Электромагнитное поле. Ток смещения. Уравнения Макс- велла в интегральной форме
Из опыта и частных законов видно, что магнитное поле связано с электрическим, элек- трическое поле — с магнитным, и оба они определяются расположением и перемещением зарядов. В результате вместо отдельных электрического и магнитного полей в электроди- намике принято говорить о едином электромагнитном поле. Наиболее полно и в обобщен- ном виде эти связи представлены в четырех уравнениях Максвелла, сформулированных в 1861–1865 годах. Теория Максвелла — макроскопическая теория, в которой рассмат- риваются макроскопические поля макроскопических зарядов и токов, пространственная протяженность которых много больше размеров молекул.
Выпишем сначала уравнения Максвелла в интегральной форме. Отметим, что порядок нумерации уравнений может быть произвольным.
Первое уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (1.32) для электрического поля:
I
D
n dS =
X
i q
i
Второе уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (9.15) для магнитного поля, опираю- щаяся на отсутствие магнитных зарядов:
I
B
n dS = 0 .
Третье уравнение следует из основного закона электромагнитной индукции (24.4):
E
i
= −
dΦ
dt
Максвелл предположил, что любое переменное магнитное поле возбуждает в пространстве электрическое поле, проявляющееся в индукционном токе в проводниках. При этом ЭДС
индукции E
i определяется циркуляцией вектора напряженности вихревого электрическо- го поля
H E
`
d`. Таким образом, окончательно с учетом определения магнитного потока третье уравнение Максвелла имеет вид:
I
E
`
d` = −
d dt
Z
B
n dS .
(13.1)
113
Четвертое уравнение Максвелла – это обобщение теоремы о циркуляции (9.16) вектора на- пряженности магнитного поля:
H H
`
d` =
P
i
I
i
. Максвелл предположил, что если перемен- ное магнитное поле возбуждает в пространстве вихревое электрическое поле, то должен существовать и аналогичный эффект для электрического поля: изменение электрическо- го поля должно вызывать вихревое магнитное поле. Для этого он ввел понятие тока смещения. В интеграле теоремы о циркуляции справа необходимо учесть помимо токов проводимости иные токи, приводящие к изменению напряженности магнитного поля.
Для примера применим теорему о циркуляции к магнитному полю, созданному пере- менным электрическим током, перезаряжающим конденсатор. По Максвеллу в непрово- дящем промежутке конденсатора протекает ток смещения. При этом переменное электри- ческое поле создает соответствующее току смещения магнитное поле. Найдем этот ток:
I
см
=
dQ
dt
=
d dt
Z
σdS =
Z
dσ
dt dS =
Z
dD
dt dS .
(13.2)
Здесь использовано, что вблизи проводника вектор электрического смещения в соответ- ствии с (18.2) равен: D = σ. Сравнивая (13.2) со связью плотности тока и силы тока
I
см
=
R j см dS, получим для плотности тока смещения:
j см
=
dD
dt
(13.3)
В общем случае, когда площадка не перпендикулярна вектору электрического смещения,
ток смещения определяется нормальной составляющей вектора электрического смещения,
и из (13.2) имеем:
I
см
=
Z
dD
n dt dS .
(13.4)
Добавив в обобщение теоремы о циркуляции к току проводимости
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
б)
в)
Рис. 12.3. Схема генератора переменного тока.
Простейшая схема генератора переменного тока изображена на рис. 12.3,а. Если маг- нитное поле однородно, а рамка вращается в нем с постоянной угловой скоростью, то возникающая в рамке E
i является гармонической электродвижущей силой, частота кото- рой равна частоте вращения рамки в магнитном поле. В замкнутом контуре возникает переменный ток соответствующей частоты (рис. 12.3,б).
Если вместо одного витка в магнитном поле движутся два параллельных последова- тельно соединенных витка, то электродвижущая сила индукции возрастает в два раза.
Поэтому при практическом осуществлении генераторов используются намотки из многих витков. Вопросы о наиболее целесообразном осуществлении намоток, о создании магнит- ного поля, о снятии тока с движущихся обмоток и т. д. подробно рассматриваются в элек- тротехнике. Отметим лишь, что снятие тока с движущихся проводников при большой силе тока является не простой задачей. Поэтому часто вместо движения проводников с током осуществляют движение источников магнитного поля при неподвижных проводниках. В
простейшей схеме (рис. 12.3,в) это означает движение постоянных магнитов вокруг непо- движной рамки с током . В неподвижной рамке при этом возбуждается электродвижущая сила индукции. Количественно эта э. д. с. индукции при одинаковых относительных ско- ростях магнитов и рамки одна и та же. Однако физическая сущность происходящих при этом явлений в этих двух случаях различна (см. § 45).
Первыми генераторами были машины с постоянными магнитами, но уже в 1866 г. был сконструирован генератор, в котором магнитное поле создавалось электромагнитом. По- сле этого конструкция генераторов быстро совершенствовалась.
107
3акон сохранения энергии.
При прохождении тока по цепи с омическим сопротивле- нием выделяется джоулева теплота. Энергия, выделяемая в форме теплоты, получается в результате работы механических сил в генераторе электрического тока. При перехо- де энергии из одной формы в другую соблюдается, конечно, закон сохранения энергии.
Проследим за этим на простейшем примере (рис. 12.1).
Пусть R – сопротивление в контуре AGDCA, а I — сила тока в цепи. Следовательно,
в цепи током в форме теплоты выделяется энергия с мощностью
P
1
= I
2
R .
(12.15)
С другой стороны, при движении участка проводника DG с током силой I необходимо преодолевать силу Ампера
F = I`B .
(12.16)
Следовательно, силы, осуществляющие движение проводника, должны развивать мощ- ность
P
2
= F v = I`Bdx/dt = −IE
i
= −I
2
R ,
(12.17)
где учтена формула (12.9) и принято во внимание, что E
i
= IR. Знак минус в (12.17)
показывает, что работа производится над системой.
Сравнение (12.15) и (12.17) показывает, что P
1
+ P
2
= 0. Это означает, что энергия,
выделяемая в форме теплоты, в контуре равна работе сил, приводящих проводник в движение, т. е. сторонними электродвижущими силами в данном случае в конечном счете являются механические силы, осуществляющие движение проводника.
12.2
Закон электромагнитной индукции Фарадея
Обсуждаются физическая сущность и математическая формулировка закона электро- магнитной индукции Фарадея. Анализируется соотношение между электромагнитной индукцией Фарадея и индукцией тока в движущихся проводниках.
Определение.
В 1831 г. Фарадей экспериментально открыл явление электромагнитной индукции, состоящее в возникновении электрического тока в замкнутом проводнике при изменении потока магнитной индукции, охватываемого контуром. Фарадей обнаружил,
что индукционный ток можно вызвать двумя различными способами. Дальнейшее пояс- няет рис. 12.4,где изображены катушка K с током I (она создает магнитное поле) и рамка
P с гальванометром Γ — индикатором индукционного тока.
Рис. 12.4
Рис. 12.5 1-й способ — перемещение рамки P (или отдельных ее частей) в поле неподвижной катушки K.
2-й способ — рамка P неподвижна, но изменяется магнитное поле — или за счет дви- жения катушки K , или вследствие изменения силы тока I в ней, или в результате того
108
и другого вместе. Во всех этих случаях гальванометр Γ будет показывать наличие индук- ционного тока в рамке P . Правило, определяющее направление э. д. с. индукции, было сформулировано в 1833 г. Э.X. Ленцем (1804–1865): индукционный ток направлен так,
что создаваемое им поле препятствует изменению магнитного потока. Иначе говоря,
направление возникающего в контуре тока составляет с направлением изменения потока магнитной индукции левовинтовую систему (рис. 12.5). В 1845 г. Ф.Э. Нейман (1798–1895)
дал математическое определение закона электромагнитной индукции в современной форме:
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.18)
причем контур считается неподвижным.
Физическая сущность явления.
По внешнему виду формула (12.18) полностью сов- падает с (12.9), но физическое содержание ее совершенно иное. Возникновение э. д. с, учи- тываемое формулой (12.9), связано с действием силы Лоренца на движущиеся заряды. В
возникновении э. д. с., учитываемой формулой (12.18), никакая сила Лоренца не участ- вует, поскольку проводники неподвижны. Однако в проводнике возникает электрический ток, поэтому можно заключить, что в нем имеется электрическое поле. Следовательно,
закон Фарадея (12.18) выражает новое физическое явление: изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле. Таким образом, электрическое поле порождается не только электрическими зарядами, но и изменяющимся магнитным полем.
Строго говоря, наличие тока в замкнутом проводнике показывает, что электрическое поле имеется лишь внутри проводника. Однако проводник в данном случае играет роль устройства для обнаружения электрического поля. При отсутствии проводника изменя- ющееся магнитное поле также порождает электрическое поле. Это можно показать, на- пример, тем, что на заряд в изменяющемся магнитном поле действует электрическая сила
(см. § 56). Это доказывает, что электромагнитная индукция является всеобщим фундамен- тальным законом природы, устанавливающим связь между электрическими и магнитны- ми полями. Различное физическое содержание описываемых формулами (12.9) и (12.18)
явлений очевидно из такого примера. Предположим, что проводник DG на рис. 12.1 дви- жется со скоростью v, но одновременно магнитная индукция B уменьшается. Вследствие движения проводника в замкнутом контуре появляется э. д. с. индукции, которая вызыва- ет ток (рис. 12.1). Изменение B по закону электромагнитной индукции Фарадея вызывает в контуре также э. д. с. индукции, которая в данном случае направлена противоположно той, которая возникает в результате движения участка проводника DG. Можно подобрать такую скорость изменения B(∂
B/∂t), что эти две э. д. с. будут взаимно компенсировать- ся. В результате в замкнутом контуре не будет тока, потому что полная э. д. с. индукции равна нулю. Однако эта взаимная компенсация э. д. с. индукции происходит в замкну- том контуре в целом, а не в каждой точке контура. Э. д. с. индукции за счет движения проводника возникает только на участке DG, а э. д. с. индукции Фарадея возникает как на участке DG, так и на остальных участках проводника DC, CA и AG. В результате движения на элементе проводника d
` возникает э. д. с. индукции, зависящая только от B
и скорости v движения этого элемента, но не зависящая от ∂
B/∂t. В результате измене- ния индукции на элементе проводника d
` появляется э. д. с. индукции Фарадея, которая не зависит от индукции B и скорости v движения этого элемента, а зависит только от
∂
B/∂t. Это и доказывает, что физическая природа э. д. с. индукции в этих двух случаях различна.
109
12.2.1
Движущийся проводник в переменном магнитном поле
Рис. 12.6
Если замкнутый проводник движется в переменном магнитном поле, испытывая при этом произвольные деформации формы,
то э. д. с. индукции в нем возникает как за счет движения и де- формации, учитываемой формулой (12.9), так и в результате из- менения индукции магнитного поля, учитываемого аналогичной формулой (12.18). Поэтому можно сказать, что э. д. с. индук- ции в проводнике определяется формулой (12.18), причем под dΦ/dt понимается полная скорость изменения потока индукции,
охватываемого проводником, как за счет его движения и дефор- мации, так и в результате изменения магнитного поля. В связи с этим закон (12.18) можно представить в таком виде:
E
i
=
I
Ed
` = −
∂Φ
∂t
+
I
h
v
B
i d
` .
(12.19)
Применение электромагнитной индукции к генераторам переменного тока.
Те- перь ясно, почему электрический ток можно генерировать не только движением провод- ников в магнитном поле, но и движением магнитов при неподвижных проводниках. На рис. 12.6 изображена схема демонстрации электромагнитной индукции.
12.3
Дифференциальная формулировка закона электро- магнитной индукции
Дается дифференциальная формулировка закона электромагнитной индукции.
Формулировка. Запишем закон электромагнитной индукции Фарадея [см. (12.18)] в виде
I
L
E · dl = −
d dt
Z
S
B · d
S,
(12.20)
где L — контур, S — поверхность, натянутая на контур L. В (12.20) учтены определения:
E
i
=
Z
L
E · dl,
Φ =
Z
S
B · d
S .
(12.21)
Заметим, что между направлением обхода контура L вектором dS соблюдается правовин- товое соотношение. Необходимо также обратить внимание на то, что в определении потока индукции Φ [см. (12.21)] поверхность S, сквозь которую вычисляется поток, является про- извольной, натянутой на контур L поверхностью. Такое, определение предполагает, что этот интеграл не зависит от формы поверхности, важно лишь, чтобы поверхность была ограничена контуром L или, как говорят, натянута на контур L. Докажем это. Выберем две какие либо поверхности S
1
и S
2
, натянутые на контур L. Их совокупность составляет замкнутую поверхность S = S
1
+ S
2
, ограничивающую некоторый объем V между ними.
Поток вектора B сквозь замкнутую поверхность S равен нулю, поскольку по теореме Гаус- са – Остроградского он равен интегралу по объему V , ограниченному поверхностью S, от divB = 0. Из этого следует утверждение о равенстве потоков через S
1
и S
2
(знаки пото- ков одинаковы при одинаковой относительно направления обхода контура ориентировке положительных нормалей к этим поверхностям).
110
Преобразуем левую часть (12.20) по формуле Стокса:
Z
L
E · d
` =
Z
S
rot
E · d
S .
(12.22)
В результате получаем
Z
L
rot
E · d
S = −
Z
S
∂
B
∂t
· d
S ,
(12.23)
причем производная по t внесена под знак интеграла на том основании, что площадь интегрирования не зависит от времени. Так как S произвольна, то из (12.23) следует, что rot
E = −
∂
B
∂t
(12.24)
Уравнение (12.24) является дифференциальной записью закона электромагнитной индукции Фарадея. Оно описывает закон порождения электрического поля в некото- рой точке за счет изменения индукции магнитного поля в той же точке. Поле E часто называют индукционным.
12.3.1
Непотенциальность индукционного электрического поля
В переменном магнитном поле
∂
B
∂t
6= 0 и, следовательно, в соответствии с (12.24)
rot
E 6= 0.
(12.25)
Это означает, что индукционное электрическое поле в отличие от электростатического,
порождаемого неподвижными зарядами, не является потенциальным. Работа перемеще- ния заряда q в нем по замкнутому контуру, вообще говоря, не равна нулю:
A = qE
i
= q
Z
L
E · d
` .
(12.26)
Отсюда, в частности, следует, что это поле не может быть представлено в виде гради- ента от некоторой функции, т. е. не может быть представлено в виде (14.27). Необходимо использовать отличное от [(14.27), т.е.
E = −gradϕ] представление.
12.4
Самоиндукция. Индуктивность соленоида
Рассмотрим еще несколько примеров проявления электромагнитной индукции. Электри- ческий ток в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле. Магнитная индук- ция этого поля по закону Био-Савара-Лапласа пропорциональна силе тока. Следователь- но, создаваемый контуром и проходящий через контур магнитный поток, пропорциональ- ный магнитной индукции, также пропорционален силе тока:
Φ = LI,
(12.27)
где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура или коэффициентом самоиндукции.
111
При изменении силы тока в контуре будет изменяться и магнитный поток, поэтому в контуре будет индуцироваться ЭДС самоиндукции, обусловленная изменением собствен- ного магнитного поля:
E
s
= −
dΦ
dt
= −
d dt
(LI) .
(12.28)
Если при изменении тока индуктивность L остается постоянной (не меняется конфигура- ция контура и нет ферромагнетиков), то
E
s
= −L
dI
dt
(L = const).
(12.29)
Знак “минус” в соответствии с правилом Ленца показывает, что наличие индуктив- ности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем. Если ток в контуре возрастает, то ток самоиндукции тормозит это возрастание. Если ток в контуре убывает,
то ток самоиндукции замедляет это убывание. Таким образом, индуктивность придает электрической цепи электрическую инертность – по аналогии с тем, что масса придает телу механическую инертность.
Единица индуктивности в системе СИ – генри (Гн). 1 Гн = 1 Вб/А = 1 В · с/А.
В случаях, когда нужна катушка с весьма малой индуктивностью, применяют бифи- лярные обмотки. Чтобы получить бифилярную обмотку, проволоку складывают вдвое и наматывают на каркас катушки. При такой намотке ток в двух соседних витках имеет противоположные направления, и суммарный магнитный поток в катушке близок к нулю.
Рассмотрим катушку из N последовательных витков. Если в одном витке катушки наводится ЭДС самоиндукции E
s
, то наводимая во всей катушке ЭДС самоиндукции определяется правилом сложения ЭДС при последовательном соединении и будет в N раз больше:
E
N
= N E
s
= −N
dΦ
dt
= −
d (ΦN )
dt
= −
dψ
dt
(12.30)
Здесь введено понятие потокосцепления
ψ = ΦN .
(12.31)
Сопоставляя выражения (12.28) и (12.30), получим:
ψ = LI.
(12.32)
Рассчитаем для примера индуктивность соленоида с числом витков на единицу длины n = N/`. Потокосцепление соленоида с учетом формулы (22.22) для магнитной индукции внутри соленоида B = µ
0
µnI равно:
ψ = ΦN = µ
0
µn
2
IS` = µ
0
µn
2
V I = LI .
(12.33)
Из последнего равенства получаем индуктивность соленоида:
L = µ
0
µn
2
V .
(12.34)
Здесь V = S` – объем соленоида.
Семь записанных выше уравнений составляют основу электродинамики.
112
Глава 13
Электромагнитные волны
13.1
Уравнения Максвелла
13.1.1
Электромагнитное поле. Ток смещения. Уравнения Макс- велла в интегральной форме
Из опыта и частных законов видно, что магнитное поле связано с электрическим, элек- трическое поле — с магнитным, и оба они определяются расположением и перемещением зарядов. В результате вместо отдельных электрического и магнитного полей в электроди- намике принято говорить о едином электромагнитном поле. Наиболее полно и в обобщен- ном виде эти связи представлены в четырех уравнениях Максвелла, сформулированных в 1861–1865 годах. Теория Максвелла — макроскопическая теория, в которой рассмат- риваются макроскопические поля макроскопических зарядов и токов, пространственная протяженность которых много больше размеров молекул.
Выпишем сначала уравнения Максвелла в интегральной форме. Отметим, что порядок нумерации уравнений может быть произвольным.
Первое уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (1.32) для электрического поля:
I
D
n dS =
X
i q
i
Второе уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (9.15) для магнитного поля, опираю- щаяся на отсутствие магнитных зарядов:
I
B
n dS = 0 .
Третье уравнение следует из основного закона электромагнитной индукции (24.4):
E
i
= −
dΦ
dt
Максвелл предположил, что любое переменное магнитное поле возбуждает в пространстве электрическое поле, проявляющееся в индукционном токе в проводниках. При этом ЭДС
индукции E
i определяется циркуляцией вектора напряженности вихревого электрическо- го поля
H E
`
d`. Таким образом, окончательно с учетом определения магнитного потока третье уравнение Максвелла имеет вид:
I
E
`
d` = −
d dt
Z
B
n dS .
(13.1)
113
Четвертое уравнение Максвелла – это обобщение теоремы о циркуляции (9.16) вектора на- пряженности магнитного поля:
H H
`
d` =
P
i
I
i
. Максвелл предположил, что если перемен- ное магнитное поле возбуждает в пространстве вихревое электрическое поле, то должен существовать и аналогичный эффект для электрического поля: изменение электрическо- го поля должно вызывать вихревое магнитное поле. Для этого он ввел понятие тока смещения. В интеграле теоремы о циркуляции справа необходимо учесть помимо токов проводимости иные токи, приводящие к изменению напряженности магнитного поля.
Для примера применим теорему о циркуляции к магнитному полю, созданному пере- менным электрическим током, перезаряжающим конденсатор. По Максвеллу в непрово- дящем промежутке конденсатора протекает ток смещения. При этом переменное электри- ческое поле создает соответствующее току смещения магнитное поле. Найдем этот ток:
I
см
=
dQ
dt
=
d dt
Z
σdS =
Z
dσ
dt dS =
Z
dD
dt dS .
(13.2)
Здесь использовано, что вблизи проводника вектор электрического смещения в соответ- ствии с (18.2) равен: D = σ. Сравнивая (13.2) со связью плотности тока и силы тока
I
см
=
R j см dS, получим для плотности тока смещения:
j см
=
dD
dt
(13.3)
В общем случае, когда площадка не перпендикулярна вектору электрического смещения,
ток смещения определяется нормальной составляющей вектора электрического смещения,
и из (13.2) имеем:
I
см
=
Z
dD
n dt dS .
(13.4)
Добавив в обобщение теоремы о циркуляции к току проводимости
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
б)
в)
Рис. 12.3. Схема генератора переменного тока.
Простейшая схема генератора переменного тока изображена на рис. 12.3,а. Если маг- нитное поле однородно, а рамка вращается в нем с постоянной угловой скоростью, то возникающая в рамке E
i является гармонической электродвижущей силой, частота кото- рой равна частоте вращения рамки в магнитном поле. В замкнутом контуре возникает переменный ток соответствующей частоты (рис. 12.3,б).
Если вместо одного витка в магнитном поле движутся два параллельных последова- тельно соединенных витка, то электродвижущая сила индукции возрастает в два раза.
Поэтому при практическом осуществлении генераторов используются намотки из многих витков. Вопросы о наиболее целесообразном осуществлении намоток, о создании магнит- ного поля, о снятии тока с движущихся обмоток и т. д. подробно рассматриваются в элек- тротехнике. Отметим лишь, что снятие тока с движущихся проводников при большой силе тока является не простой задачей. Поэтому часто вместо движения проводников с током осуществляют движение источников магнитного поля при неподвижных проводниках. В
простейшей схеме (рис. 12.3,в) это означает движение постоянных магнитов вокруг непо- движной рамки с током . В неподвижной рамке при этом возбуждается электродвижущая сила индукции. Количественно эта э. д. с. индукции при одинаковых относительных ско- ростях магнитов и рамки одна и та же. Однако физическая сущность происходящих при этом явлений в этих двух случаях различна (см. § 45).
Первыми генераторами были машины с постоянными магнитами, но уже в 1866 г. был сконструирован генератор, в котором магнитное поле создавалось электромагнитом. По- сле этого конструкция генераторов быстро совершенствовалась.
107
3акон сохранения энергии.
При прохождении тока по цепи с омическим сопротивле- нием выделяется джоулева теплота. Энергия, выделяемая в форме теплоты, получается в результате работы механических сил в генераторе электрического тока. При перехо- де энергии из одной формы в другую соблюдается, конечно, закон сохранения энергии.
Проследим за этим на простейшем примере (рис. 12.1).
Пусть R – сопротивление в контуре AGDCA, а I — сила тока в цепи. Следовательно,
в цепи током в форме теплоты выделяется энергия с мощностью
P
1
= I
2
R .
(12.15)
С другой стороны, при движении участка проводника DG с током силой I необходимо преодолевать силу Ампера
F = I`B .
(12.16)
Следовательно, силы, осуществляющие движение проводника, должны развивать мощ- ность
P
2
= F v = I`Bdx/dt = −IE
i
= −I
2
R ,
(12.17)
где учтена формула (12.9) и принято во внимание, что E
i
= IR. Знак минус в (12.17)
показывает, что работа производится над системой.
Сравнение (12.15) и (12.17) показывает, что P
1
+ P
2
= 0. Это означает, что энергия,
выделяемая в форме теплоты, в контуре равна работе сил, приводящих проводник в движение, т. е. сторонними электродвижущими силами в данном случае в конечном счете являются механические силы, осуществляющие движение проводника.
12.2
Закон электромагнитной индукции Фарадея
Обсуждаются физическая сущность и математическая формулировка закона электро- магнитной индукции Фарадея. Анализируется соотношение между электромагнитной индукцией Фарадея и индукцией тока в движущихся проводниках.
Определение.
В 1831 г. Фарадей экспериментально открыл явление электромагнитной индукции, состоящее в возникновении электрического тока в замкнутом проводнике при изменении потока магнитной индукции, охватываемого контуром. Фарадей обнаружил,
что индукционный ток можно вызвать двумя различными способами. Дальнейшее пояс- няет рис. 12.4,где изображены катушка K с током I (она создает магнитное поле) и рамка
P с гальванометром Γ — индикатором индукционного тока.
Рис. 12.4
Рис. 12.5 1-й способ — перемещение рамки P (или отдельных ее частей) в поле неподвижной катушки K.
2-й способ — рамка P неподвижна, но изменяется магнитное поле — или за счет дви- жения катушки K , или вследствие изменения силы тока I в ней, или в результате того
108
и другого вместе. Во всех этих случаях гальванометр Γ будет показывать наличие индук- ционного тока в рамке P . Правило, определяющее направление э. д. с. индукции, было сформулировано в 1833 г. Э.X. Ленцем (1804–1865): индукционный ток направлен так,
что создаваемое им поле препятствует изменению магнитного потока. Иначе говоря,
направление возникающего в контуре тока составляет с направлением изменения потока магнитной индукции левовинтовую систему (рис. 12.5). В 1845 г. Ф.Э. Нейман (1798–1895)
дал математическое определение закона электромагнитной индукции в современной форме:
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.18)
причем контур считается неподвижным.
Физическая сущность явления.
По внешнему виду формула (12.18) полностью сов- падает с (12.9), но физическое содержание ее совершенно иное. Возникновение э. д. с, учи- тываемое формулой (12.9), связано с действием силы Лоренца на движущиеся заряды. В
возникновении э. д. с., учитываемой формулой (12.18), никакая сила Лоренца не участ- вует, поскольку проводники неподвижны. Однако в проводнике возникает электрический ток, поэтому можно заключить, что в нем имеется электрическое поле. Следовательно,
закон Фарадея (12.18) выражает новое физическое явление: изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле. Таким образом, электрическое поле порождается не только электрическими зарядами, но и изменяющимся магнитным полем.
Строго говоря, наличие тока в замкнутом проводнике показывает, что электрическое поле имеется лишь внутри проводника. Однако проводник в данном случае играет роль устройства для обнаружения электрического поля. При отсутствии проводника изменя- ющееся магнитное поле также порождает электрическое поле. Это можно показать, на- пример, тем, что на заряд в изменяющемся магнитном поле действует электрическая сила
(см. § 56). Это доказывает, что электромагнитная индукция является всеобщим фундамен- тальным законом природы, устанавливающим связь между электрическими и магнитны- ми полями. Различное физическое содержание описываемых формулами (12.9) и (12.18)
явлений очевидно из такого примера. Предположим, что проводник DG на рис. 12.1 дви- жется со скоростью v, но одновременно магнитная индукция B уменьшается. Вследствие движения проводника в замкнутом контуре появляется э. д. с. индукции, которая вызыва- ет ток (рис. 12.1). Изменение B по закону электромагнитной индукции Фарадея вызывает в контуре также э. д. с. индукции, которая в данном случае направлена противоположно той, которая возникает в результате движения участка проводника DG. Можно подобрать такую скорость изменения B(∂
B/∂t), что эти две э. д. с. будут взаимно компенсировать- ся. В результате в замкнутом контуре не будет тока, потому что полная э. д. с. индукции равна нулю. Однако эта взаимная компенсация э. д. с. индукции происходит в замкну- том контуре в целом, а не в каждой точке контура. Э. д. с. индукции за счет движения проводника возникает только на участке DG, а э. д. с. индукции Фарадея возникает как на участке DG, так и на остальных участках проводника DC, CA и AG. В результате движения на элементе проводника d
` возникает э. д. с. индукции, зависящая только от B
и скорости v движения этого элемента, но не зависящая от ∂
B/∂t. В результате измене- ния индукции на элементе проводника d
` появляется э. д. с. индукции Фарадея, которая не зависит от индукции B и скорости v движения этого элемента, а зависит только от
∂
B/∂t. Это и доказывает, что физическая природа э. д. с. индукции в этих двух случаях различна.
109
12.2.1
Движущийся проводник в переменном магнитном поле
Рис. 12.6
Если замкнутый проводник движется в переменном магнитном поле, испытывая при этом произвольные деформации формы,
то э. д. с. индукции в нем возникает как за счет движения и де- формации, учитываемой формулой (12.9), так и в результате из- менения индукции магнитного поля, учитываемого аналогичной формулой (12.18). Поэтому можно сказать, что э. д. с. индук- ции в проводнике определяется формулой (12.18), причем под dΦ/dt понимается полная скорость изменения потока индукции,
охватываемого проводником, как за счет его движения и дефор- мации, так и в результате изменения магнитного поля. В связи с этим закон (12.18) можно представить в таком виде:
E
i
=
I
Ed
` = −
∂Φ
∂t
+
I
h
v
B
i d
` .
(12.19)
Применение электромагнитной индукции к генераторам переменного тока.
Те- перь ясно, почему электрический ток можно генерировать не только движением провод- ников в магнитном поле, но и движением магнитов при неподвижных проводниках. На рис. 12.6 изображена схема демонстрации электромагнитной индукции.
12.3
Дифференциальная формулировка закона электро- магнитной индукции
Дается дифференциальная формулировка закона электромагнитной индукции.
Формулировка. Запишем закон электромагнитной индукции Фарадея [см. (12.18)] в виде
I
L
E · dl = −
d dt
Z
S
B · d
S,
(12.20)
где L — контур, S — поверхность, натянутая на контур L. В (12.20) учтены определения:
E
i
=
Z
L
E · dl,
Φ =
Z
S
B · d
S .
(12.21)
Заметим, что между направлением обхода контура L вектором dS соблюдается правовин- товое соотношение. Необходимо также обратить внимание на то, что в определении потока индукции Φ [см. (12.21)] поверхность S, сквозь которую вычисляется поток, является про- извольной, натянутой на контур L поверхностью. Такое, определение предполагает, что этот интеграл не зависит от формы поверхности, важно лишь, чтобы поверхность была ограничена контуром L или, как говорят, натянута на контур L. Докажем это. Выберем две какие либо поверхности S
1
и S
2
, натянутые на контур L. Их совокупность составляет замкнутую поверхность S = S
1
+ S
2
, ограничивающую некоторый объем V между ними.
Поток вектора B сквозь замкнутую поверхность S равен нулю, поскольку по теореме Гаус- са – Остроградского он равен интегралу по объему V , ограниченному поверхностью S, от divB = 0. Из этого следует утверждение о равенстве потоков через S
1
и S
2
(знаки пото- ков одинаковы при одинаковой относительно направления обхода контура ориентировке положительных нормалей к этим поверхностям).
110
Преобразуем левую часть (12.20) по формуле Стокса:
Z
L
E · d
` =
Z
S
rot
E · d
S .
(12.22)
В результате получаем
Z
L
rot
E · d
S = −
Z
S
∂
B
∂t
· d
S ,
(12.23)
причем производная по t внесена под знак интеграла на том основании, что площадь интегрирования не зависит от времени. Так как S произвольна, то из (12.23) следует, что rot
E = −
∂
B
∂t
(12.24)
Уравнение (12.24) является дифференциальной записью закона электромагнитной индукции Фарадея. Оно описывает закон порождения электрического поля в некото- рой точке за счет изменения индукции магнитного поля в той же точке. Поле E часто называют индукционным.
12.3.1
Непотенциальность индукционного электрического поля
В переменном магнитном поле
∂
B
∂t
6= 0 и, следовательно, в соответствии с (12.24)
rot
E 6= 0.
(12.25)
Это означает, что индукционное электрическое поле в отличие от электростатического,
порождаемого неподвижными зарядами, не является потенциальным. Работа перемеще- ния заряда q в нем по замкнутому контуру, вообще говоря, не равна нулю:
A = qE
i
= q
Z
L
E · d
` .
(12.26)
Отсюда, в частности, следует, что это поле не может быть представлено в виде гради- ента от некоторой функции, т. е. не может быть представлено в виде (14.27). Необходимо использовать отличное от [(14.27), т.е.
E = −gradϕ] представление.
12.4
Самоиндукция. Индуктивность соленоида
Рассмотрим еще несколько примеров проявления электромагнитной индукции. Электри- ческий ток в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле. Магнитная индук- ция этого поля по закону Био-Савара-Лапласа пропорциональна силе тока. Следователь- но, создаваемый контуром и проходящий через контур магнитный поток, пропорциональ- ный магнитной индукции, также пропорционален силе тока:
Φ = LI,
(12.27)
где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура или коэффициентом самоиндукции.
111
При изменении силы тока в контуре будет изменяться и магнитный поток, поэтому в контуре будет индуцироваться ЭДС самоиндукции, обусловленная изменением собствен- ного магнитного поля:
E
s
= −
dΦ
dt
= −
d dt
(LI) .
(12.28)
Если при изменении тока индуктивность L остается постоянной (не меняется конфигура- ция контура и нет ферромагнетиков), то
E
s
= −L
dI
dt
(L = const).
(12.29)
Знак “минус” в соответствии с правилом Ленца показывает, что наличие индуктив- ности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем. Если ток в контуре возрастает, то ток самоиндукции тормозит это возрастание. Если ток в контуре убывает,
то ток самоиндукции замедляет это убывание. Таким образом, индуктивность придает электрической цепи электрическую инертность – по аналогии с тем, что масса придает телу механическую инертность.
Единица индуктивности в системе СИ – генри (Гн). 1 Гн = 1 Вб/А = 1 В · с/А.
В случаях, когда нужна катушка с весьма малой индуктивностью, применяют бифи- лярные обмотки. Чтобы получить бифилярную обмотку, проволоку складывают вдвое и наматывают на каркас катушки. При такой намотке ток в двух соседних витках имеет противоположные направления, и суммарный магнитный поток в катушке близок к нулю.
Рассмотрим катушку из N последовательных витков. Если в одном витке катушки наводится ЭДС самоиндукции E
s
, то наводимая во всей катушке ЭДС самоиндукции определяется правилом сложения ЭДС при последовательном соединении и будет в N раз больше:
E
N
= N E
s
= −N
dΦ
dt
= −
d (ΦN )
dt
= −
dψ
dt
(12.30)
Здесь введено понятие потокосцепления
ψ = ΦN .
(12.31)
Сопоставляя выражения (12.28) и (12.30), получим:
ψ = LI.
(12.32)
Рассчитаем для примера индуктивность соленоида с числом витков на единицу длины n = N/`. Потокосцепление соленоида с учетом формулы (22.22) для магнитной индукции внутри соленоида B = µ
0
µnI равно:
ψ = ΦN = µ
0
µn
2
IS` = µ
0
µn
2
V I = LI .
(12.33)
Из последнего равенства получаем индуктивность соленоида:
L = µ
0
µn
2
V .
(12.34)
Здесь V = S` – объем соленоида.
Семь записанных выше уравнений составляют основу электродинамики.
112
Глава 13
Электромагнитные волны
13.1
Уравнения Максвелла
13.1.1
Электромагнитное поле. Ток смещения. Уравнения Макс- велла в интегральной форме
Из опыта и частных законов видно, что магнитное поле связано с электрическим, элек- трическое поле — с магнитным, и оба они определяются расположением и перемещением зарядов. В результате вместо отдельных электрического и магнитного полей в электроди- намике принято говорить о едином электромагнитном поле. Наиболее полно и в обобщен- ном виде эти связи представлены в четырех уравнениях Максвелла, сформулированных в 1861–1865 годах. Теория Максвелла — макроскопическая теория, в которой рассмат- риваются макроскопические поля макроскопических зарядов и токов, пространственная протяженность которых много больше размеров молекул.
Выпишем сначала уравнения Максвелла в интегральной форме. Отметим, что порядок нумерации уравнений может быть произвольным.
Первое уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (1.32) для электрического поля:
I
D
n dS =
X
i q
i
Второе уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (9.15) для магнитного поля, опираю- щаяся на отсутствие магнитных зарядов:
I
B
n dS = 0 .
Третье уравнение следует из основного закона электромагнитной индукции (24.4):
E
i
= −
dΦ
dt
Максвелл предположил, что любое переменное магнитное поле возбуждает в пространстве электрическое поле, проявляющееся в индукционном токе в проводниках. При этом ЭДС
индукции E
i определяется циркуляцией вектора напряженности вихревого электрическо- го поля
H E
`
d`. Таким образом, окончательно с учетом определения магнитного потока третье уравнение Максвелла имеет вид:
I
E
`
d` = −
d dt
Z
B
n dS .
(13.1)
113
Четвертое уравнение Максвелла – это обобщение теоремы о циркуляции (9.16) вектора на- пряженности магнитного поля:
H H
`
d` =
P
i
I
i
. Максвелл предположил, что если перемен- ное магнитное поле возбуждает в пространстве вихревое электрическое поле, то должен существовать и аналогичный эффект для электрического поля: изменение электрическо- го поля должно вызывать вихревое магнитное поле. Для этого он ввел понятие тока смещения. В интеграле теоремы о циркуляции справа необходимо учесть помимо токов проводимости иные токи, приводящие к изменению напряженности магнитного поля.
Для примера применим теорему о циркуляции к магнитному полю, созданному пере- менным электрическим током, перезаряжающим конденсатор. По Максвеллу в непрово- дящем промежутке конденсатора протекает ток смещения. При этом переменное электри- ческое поле создает соответствующее току смещения магнитное поле. Найдем этот ток:
I
см
=
dQ
dt
=
d dt
Z
σdS =
Z
dσ
dt dS =
Z
dD
dt dS .
(13.2)
Здесь использовано, что вблизи проводника вектор электрического смещения в соответ- ствии с (18.2) равен: D = σ. Сравнивая (13.2) со связью плотности тока и силы тока
I
см
=
R j см dS, получим для плотности тока смещения:
j см
=
dD
dt
(13.3)
В общем случае, когда площадка не перпендикулярна вектору электрического смещения,
ток смещения определяется нормальной составляющей вектора электрического смещения,
и из (13.2) имеем:
I
см
=
Z
dD
n dt dS .
(13.4)
Добавив в обобщение теоремы о циркуляции к току проводимости
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
б)
в)
Рис. 12.3. Схема генератора переменного тока.
Простейшая схема генератора переменного тока изображена на рис. 12.3,а. Если маг- нитное поле однородно, а рамка вращается в нем с постоянной угловой скоростью, то возникающая в рамке E
i является гармонической электродвижущей силой, частота кото- рой равна частоте вращения рамки в магнитном поле. В замкнутом контуре возникает переменный ток соответствующей частоты (рис. 12.3,б).
Если вместо одного витка в магнитном поле движутся два параллельных последова- тельно соединенных витка, то электродвижущая сила индукции возрастает в два раза.
Поэтому при практическом осуществлении генераторов используются намотки из многих витков. Вопросы о наиболее целесообразном осуществлении намоток, о создании магнит- ного поля, о снятии тока с движущихся обмоток и т. д. подробно рассматриваются в элек- тротехнике. Отметим лишь, что снятие тока с движущихся проводников при большой силе тока является не простой задачей. Поэтому часто вместо движения проводников с током осуществляют движение источников магнитного поля при неподвижных проводниках. В
простейшей схеме (рис. 12.3,в) это означает движение постоянных магнитов вокруг непо- движной рамки с током . В неподвижной рамке при этом возбуждается электродвижущая сила индукции. Количественно эта э. д. с. индукции при одинаковых относительных ско- ростях магнитов и рамки одна и та же. Однако физическая сущность происходящих при этом явлений в этих двух случаях различна (см. § 45).
Первыми генераторами были машины с постоянными магнитами, но уже в 1866 г. был сконструирован генератор, в котором магнитное поле создавалось электромагнитом. По- сле этого конструкция генераторов быстро совершенствовалась.
107
3акон сохранения энергии.
При прохождении тока по цепи с омическим сопротивле- нием выделяется джоулева теплота. Энергия, выделяемая в форме теплоты, получается в результате работы механических сил в генераторе электрического тока. При перехо- де энергии из одной формы в другую соблюдается, конечно, закон сохранения энергии.
Проследим за этим на простейшем примере (рис. 12.1).
Пусть R – сопротивление в контуре AGDCA, а I — сила тока в цепи. Следовательно,
в цепи током в форме теплоты выделяется энергия с мощностью
P
1
= I
2
R .
(12.15)
С другой стороны, при движении участка проводника DG с током силой I необходимо преодолевать силу Ампера
F = I`B .
(12.16)
Следовательно, силы, осуществляющие движение проводника, должны развивать мощ- ность
P
2
= F v = I`Bdx/dt = −IE
i
= −I
2
R ,
(12.17)
где учтена формула (12.9) и принято во внимание, что E
i
= IR. Знак минус в (12.17)
показывает, что работа производится над системой.
Сравнение (12.15) и (12.17) показывает, что P
1
+ P
2
= 0. Это означает, что энергия,
выделяемая в форме теплоты, в контуре равна работе сил, приводящих проводник в движение, т. е. сторонними электродвижущими силами в данном случае в конечном счете являются механические силы, осуществляющие движение проводника.
12.2
Закон электромагнитной индукции Фарадея
Обсуждаются физическая сущность и математическая формулировка закона электро- магнитной индукции Фарадея. Анализируется соотношение между электромагнитной индукцией Фарадея и индукцией тока в движущихся проводниках.
Определение.
В 1831 г. Фарадей экспериментально открыл явление электромагнитной индукции, состоящее в возникновении электрического тока в замкнутом проводнике при изменении потока магнитной индукции, охватываемого контуром. Фарадей обнаружил,
что индукционный ток можно вызвать двумя различными способами. Дальнейшее пояс- няет рис. 12.4,где изображены катушка K с током I (она создает магнитное поле) и рамка
P с гальванометром Γ — индикатором индукционного тока.
Рис. 12.4
Рис. 12.5 1-й способ — перемещение рамки P (или отдельных ее частей) в поле неподвижной катушки K.
2-й способ — рамка P неподвижна, но изменяется магнитное поле — или за счет дви- жения катушки K , или вследствие изменения силы тока I в ней, или в результате того
108
и другого вместе. Во всех этих случаях гальванометр Γ будет показывать наличие индук- ционного тока в рамке P . Правило, определяющее направление э. д. с. индукции, было сформулировано в 1833 г. Э.X. Ленцем (1804–1865): индукционный ток направлен так,
что создаваемое им поле препятствует изменению магнитного потока. Иначе говоря,
направление возникающего в контуре тока составляет с направлением изменения потока магнитной индукции левовинтовую систему (рис. 12.5). В 1845 г. Ф.Э. Нейман (1798–1895)
дал математическое определение закона электромагнитной индукции в современной форме:
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.18)
причем контур считается неподвижным.
Физическая сущность явления.
По внешнему виду формула (12.18) полностью сов- падает с (12.9), но физическое содержание ее совершенно иное. Возникновение э. д. с, учи- тываемое формулой (12.9), связано с действием силы Лоренца на движущиеся заряды. В
возникновении э. д. с., учитываемой формулой (12.18), никакая сила Лоренца не участ- вует, поскольку проводники неподвижны. Однако в проводнике возникает электрический ток, поэтому можно заключить, что в нем имеется электрическое поле. Следовательно,
закон Фарадея (12.18) выражает новое физическое явление: изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле. Таким образом, электрическое поле порождается не только электрическими зарядами, но и изменяющимся магнитным полем.
Строго говоря, наличие тока в замкнутом проводнике показывает, что электрическое поле имеется лишь внутри проводника. Однако проводник в данном случае играет роль устройства для обнаружения электрического поля. При отсутствии проводника изменя- ющееся магнитное поле также порождает электрическое поле. Это можно показать, на- пример, тем, что на заряд в изменяющемся магнитном поле действует электрическая сила
(см. § 56). Это доказывает, что электромагнитная индукция является всеобщим фундамен- тальным законом природы, устанавливающим связь между электрическими и магнитны- ми полями. Различное физическое содержание описываемых формулами (12.9) и (12.18)
явлений очевидно из такого примера. Предположим, что проводник DG на рис. 12.1 дви- жется со скоростью v, но одновременно магнитная индукция B уменьшается. Вследствие движения проводника в замкнутом контуре появляется э. д. с. индукции, которая вызыва- ет ток (рис. 12.1). Изменение B по закону электромагнитной индукции Фарадея вызывает в контуре также э. д. с. индукции, которая в данном случае направлена противоположно той, которая возникает в результате движения участка проводника DG. Можно подобрать такую скорость изменения B(∂
B/∂t), что эти две э. д. с. будут взаимно компенсировать- ся. В результате в замкнутом контуре не будет тока, потому что полная э. д. с. индукции равна нулю. Однако эта взаимная компенсация э. д. с. индукции происходит в замкну- том контуре в целом, а не в каждой точке контура. Э. д. с. индукции за счет движения проводника возникает только на участке DG, а э. д. с. индукции Фарадея возникает как на участке DG, так и на остальных участках проводника DC, CA и AG. В результате движения на элементе проводника d
` возникает э. д. с. индукции, зависящая только от B
и скорости v движения этого элемента, но не зависящая от ∂
B/∂t. В результате измене- ния индукции на элементе проводника d
` появляется э. д. с. индукции Фарадея, которая не зависит от индукции B и скорости v движения этого элемента, а зависит только от
∂
B/∂t. Это и доказывает, что физическая природа э. д. с. индукции в этих двух случаях различна.
109
12.2.1
Движущийся проводник в переменном магнитном поле
Рис. 12.6
Если замкнутый проводник движется в переменном магнитном поле, испытывая при этом произвольные деформации формы,
то э. д. с. индукции в нем возникает как за счет движения и де- формации, учитываемой формулой (12.9), так и в результате из- менения индукции магнитного поля, учитываемого аналогичной формулой (12.18). Поэтому можно сказать, что э. д. с. индук- ции в проводнике определяется формулой (12.18), причем под dΦ/dt понимается полная скорость изменения потока индукции,
охватываемого проводником, как за счет его движения и дефор- мации, так и в результате изменения магнитного поля. В связи с этим закон (12.18) можно представить в таком виде:
E
i
=
I
Ed
` = −
∂Φ
∂t
+
I
h
v
B
i d
` .
(12.19)
Применение электромагнитной индукции к генераторам переменного тока.
Те- перь ясно, почему электрический ток можно генерировать не только движением провод- ников в магнитном поле, но и движением магнитов при неподвижных проводниках. На рис. 12.6 изображена схема демонстрации электромагнитной индукции.
12.3
Дифференциальная формулировка закона электро- магнитной индукции
Дается дифференциальная формулировка закона электромагнитной индукции.
Формулировка. Запишем закон электромагнитной индукции Фарадея [см. (12.18)] в виде
I
L
E · dl = −
d dt
Z
S
B · d
S,
(12.20)
где L — контур, S — поверхность, натянутая на контур L. В (12.20) учтены определения:
E
i
=
Z
L
E · dl,
Φ =
Z
S
B · d
S .
(12.21)
Заметим, что между направлением обхода контура L вектором dS соблюдается правовин- товое соотношение. Необходимо также обратить внимание на то, что в определении потока индукции Φ [см. (12.21)] поверхность S, сквозь которую вычисляется поток, является про- извольной, натянутой на контур L поверхностью. Такое, определение предполагает, что этот интеграл не зависит от формы поверхности, важно лишь, чтобы поверхность была ограничена контуром L или, как говорят, натянута на контур L. Докажем это. Выберем две какие либо поверхности S
1
и S
2
, натянутые на контур L. Их совокупность составляет замкнутую поверхность S = S
1
+ S
2
, ограничивающую некоторый объем V между ними.
Поток вектора B сквозь замкнутую поверхность S равен нулю, поскольку по теореме Гаус- са – Остроградского он равен интегралу по объему V , ограниченному поверхностью S, от divB = 0. Из этого следует утверждение о равенстве потоков через S
1
и S
2
(знаки пото- ков одинаковы при одинаковой относительно направления обхода контура ориентировке положительных нормалей к этим поверхностям).
110
Преобразуем левую часть (12.20) по формуле Стокса:
Z
L
E · d
` =
Z
S
rot
E · d
S .
(12.22)
В результате получаем
Z
L
rot
E · d
S = −
Z
S
∂
B
∂t
· d
S ,
(12.23)
причем производная по t внесена под знак интеграла на том основании, что площадь интегрирования не зависит от времени. Так как S произвольна, то из (12.23) следует, что rot
E = −
∂
B
∂t
(12.24)
Уравнение (12.24) является дифференциальной записью закона электромагнитной индукции Фарадея. Оно описывает закон порождения электрического поля в некото- рой точке за счет изменения индукции магнитного поля в той же точке. Поле E часто называют индукционным.
12.3.1
Непотенциальность индукционного электрического поля
В переменном магнитном поле
∂
B
∂t
6= 0 и, следовательно, в соответствии с (12.24)
rot
E 6= 0.
(12.25)
Это означает, что индукционное электрическое поле в отличие от электростатического,
порождаемого неподвижными зарядами, не является потенциальным. Работа перемеще- ния заряда q в нем по замкнутому контуру, вообще говоря, не равна нулю:
A = qE
i
= q
Z
L
E · d
` .
(12.26)
Отсюда, в частности, следует, что это поле не может быть представлено в виде гради- ента от некоторой функции, т. е. не может быть представлено в виде (14.27). Необходимо использовать отличное от [(14.27), т.е.
E = −gradϕ] представление.
12.4
Самоиндукция. Индуктивность соленоида
Рассмотрим еще несколько примеров проявления электромагнитной индукции. Электри- ческий ток в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле. Магнитная индук- ция этого поля по закону Био-Савара-Лапласа пропорциональна силе тока. Следователь- но, создаваемый контуром и проходящий через контур магнитный поток, пропорциональ- ный магнитной индукции, также пропорционален силе тока:
Φ = LI,
(12.27)
где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура или коэффициентом самоиндукции.
111
При изменении силы тока в контуре будет изменяться и магнитный поток, поэтому в контуре будет индуцироваться ЭДС самоиндукции, обусловленная изменением собствен- ного магнитного поля:
E
s
= −
dΦ
dt
= −
d dt
(LI) .
(12.28)
Если при изменении тока индуктивность L остается постоянной (не меняется конфигура- ция контура и нет ферромагнетиков), то
E
s
= −L
dI
dt
(L = const).
(12.29)
Знак “минус” в соответствии с правилом Ленца показывает, что наличие индуктив- ности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем. Если ток в контуре возрастает, то ток самоиндукции тормозит это возрастание. Если ток в контуре убывает,
то ток самоиндукции замедляет это убывание. Таким образом, индуктивность придает электрической цепи электрическую инертность – по аналогии с тем, что масса придает телу механическую инертность.
Единица индуктивности в системе СИ – генри (Гн). 1 Гн = 1 Вб/А = 1 В · с/А.
В случаях, когда нужна катушка с весьма малой индуктивностью, применяют бифи- лярные обмотки. Чтобы получить бифилярную обмотку, проволоку складывают вдвое и наматывают на каркас катушки. При такой намотке ток в двух соседних витках имеет противоположные направления, и суммарный магнитный поток в катушке близок к нулю.
Рассмотрим катушку из N последовательных витков. Если в одном витке катушки наводится ЭДС самоиндукции E
s
, то наводимая во всей катушке ЭДС самоиндукции определяется правилом сложения ЭДС при последовательном соединении и будет в N раз больше:
E
N
= N E
s
= −N
dΦ
dt
= −
d (ΦN )
dt
= −
dψ
dt
(12.30)
Здесь введено понятие потокосцепления
ψ = ΦN .
(12.31)
Сопоставляя выражения (12.28) и (12.30), получим:
ψ = LI.
(12.32)
Рассчитаем для примера индуктивность соленоида с числом витков на единицу длины n = N/`. Потокосцепление соленоида с учетом формулы (22.22) для магнитной индукции внутри соленоида B = µ
0
µnI равно:
ψ = ΦN = µ
0
µn
2
IS` = µ
0
µn
2
V I = LI .
(12.33)
Из последнего равенства получаем индуктивность соленоида:
L = µ
0
µn
2
V .
(12.34)
Здесь V = S` – объем соленоида.
Семь записанных выше уравнений составляют основу электродинамики.
112
Глава 13
Электромагнитные волны
13.1
Уравнения Максвелла
13.1.1
Электромагнитное поле. Ток смещения. Уравнения Макс- велла в интегральной форме
Из опыта и частных законов видно, что магнитное поле связано с электрическим, элек- трическое поле — с магнитным, и оба они определяются расположением и перемещением зарядов. В результате вместо отдельных электрического и магнитного полей в электроди- намике принято говорить о едином электромагнитном поле. Наиболее полно и в обобщен- ном виде эти связи представлены в четырех уравнениях Максвелла, сформулированных в 1861–1865 годах. Теория Максвелла — макроскопическая теория, в которой рассмат- риваются макроскопические поля макроскопических зарядов и токов, пространственная протяженность которых много больше размеров молекул.
Выпишем сначала уравнения Максвелла в интегральной форме. Отметим, что порядок нумерации уравнений может быть произвольным.
Первое уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (1.32) для электрического поля:
I
D
n dS =
X
i q
i
Второе уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (9.15) для магнитного поля, опираю- щаяся на отсутствие магнитных зарядов:
I
B
n dS = 0 .
Третье уравнение следует из основного закона электромагнитной индукции (24.4):
E
i
= −
dΦ
dt
Максвелл предположил, что любое переменное магнитное поле возбуждает в пространстве электрическое поле, проявляющееся в индукционном токе в проводниках. При этом ЭДС
индукции E
i определяется циркуляцией вектора напряженности вихревого электрическо- го поля
H E
`
d`. Таким образом, окончательно с учетом определения магнитного потока третье уравнение Максвелла имеет вид:
I
E
`
d` = −
d dt
Z
B
n dS .
(13.1)
113
Четвертое уравнение Максвелла – это обобщение теоремы о циркуляции (9.16) вектора на- пряженности магнитного поля:
H H
`
d` =
P
i
I
i
. Максвелл предположил, что если перемен- ное магнитное поле возбуждает в пространстве вихревое электрическое поле, то должен существовать и аналогичный эффект для электрического поля: изменение электрическо- го поля должно вызывать вихревое магнитное поле. Для этого он ввел понятие тока смещения. В интеграле теоремы о циркуляции справа необходимо учесть помимо токов проводимости иные токи, приводящие к изменению напряженности магнитного поля.
Для примера применим теорему о циркуляции к магнитному полю, созданному пере- менным электрическим током, перезаряжающим конденсатор. По Максвеллу в непрово- дящем промежутке конденсатора протекает ток смещения. При этом переменное электри- ческое поле создает соответствующее току смещения магнитное поле. Найдем этот ток:
I
см
=
dQ
dt
=
d dt
Z
σdS =
Z
dσ
dt dS =
Z
dD
dt dS .
(13.2)
Здесь использовано, что вблизи проводника вектор электрического смещения в соответ- ствии с (18.2) равен: D = σ. Сравнивая (13.2) со связью плотности тока и силы тока
I
см
=
R j см dS, получим для плотности тока смещения:
j см
=
dD
dt
(13.3)
В общем случае, когда площадка не перпендикулярна вектору электрического смещения,
ток смещения определяется нормальной составляющей вектора электрического смещения,
и из (13.2) имеем:
I
см
=
Z
dD
n dt dS .
(13.4)
Добавив в обобщение теоремы о циркуляции к току проводимости
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
б)
в)
Рис. 12.3. Схема генератора переменного тока.
Простейшая схема генератора переменного тока изображена на рис. 12.3,а. Если маг- нитное поле однородно, а рамка вращается в нем с постоянной угловой скоростью, то возникающая в рамке E
i является гармонической электродвижущей силой, частота кото- рой равна частоте вращения рамки в магнитном поле. В замкнутом контуре возникает переменный ток соответствующей частоты (рис. 12.3,б).
Если вместо одного витка в магнитном поле движутся два параллельных последова- тельно соединенных витка, то электродвижущая сила индукции возрастает в два раза.
Поэтому при практическом осуществлении генераторов используются намотки из многих витков. Вопросы о наиболее целесообразном осуществлении намоток, о создании магнит- ного поля, о снятии тока с движущихся обмоток и т. д. подробно рассматриваются в элек- тротехнике. Отметим лишь, что снятие тока с движущихся проводников при большой силе тока является не простой задачей. Поэтому часто вместо движения проводников с током осуществляют движение источников магнитного поля при неподвижных проводниках. В
простейшей схеме (рис. 12.3,в) это означает движение постоянных магнитов вокруг непо- движной рамки с током . В неподвижной рамке при этом возбуждается электродвижущая сила индукции. Количественно эта э. д. с. индукции при одинаковых относительных ско- ростях магнитов и рамки одна и та же. Однако физическая сущность происходящих при этом явлений в этих двух случаях различна (см. § 45).
Первыми генераторами были машины с постоянными магнитами, но уже в 1866 г. был сконструирован генератор, в котором магнитное поле создавалось электромагнитом. По- сле этого конструкция генераторов быстро совершенствовалась.
107
3акон сохранения энергии.
При прохождении тока по цепи с омическим сопротивле- нием выделяется джоулева теплота. Энергия, выделяемая в форме теплоты, получается в результате работы механических сил в генераторе электрического тока. При перехо- де энергии из одной формы в другую соблюдается, конечно, закон сохранения энергии.
Проследим за этим на простейшем примере (рис. 12.1).
Пусть R – сопротивление в контуре AGDCA, а I — сила тока в цепи. Следовательно,
в цепи током в форме теплоты выделяется энергия с мощностью
P
1
= I
2
R .
(12.15)
С другой стороны, при движении участка проводника DG с током силой I необходимо преодолевать силу Ампера
F = I`B .
(12.16)
Следовательно, силы, осуществляющие движение проводника, должны развивать мощ- ность
P
2
= F v = I`Bdx/dt = −IE
i
= −I
2
R ,
(12.17)
где учтена формула (12.9) и принято во внимание, что E
i
= IR. Знак минус в (12.17)
показывает, что работа производится над системой.
Сравнение (12.15) и (12.17) показывает, что P
1
+ P
2
= 0. Это означает, что энергия,
выделяемая в форме теплоты, в контуре равна работе сил, приводящих проводник в движение, т. е. сторонними электродвижущими силами в данном случае в конечном счете являются механические силы, осуществляющие движение проводника.
12.2
Закон электромагнитной индукции Фарадея
Обсуждаются физическая сущность и математическая формулировка закона электро- магнитной индукции Фарадея. Анализируется соотношение между электромагнитной индукцией Фарадея и индукцией тока в движущихся проводниках.
Определение.
В 1831 г. Фарадей экспериментально открыл явление электромагнитной индукции, состоящее в возникновении электрического тока в замкнутом проводнике при изменении потока магнитной индукции, охватываемого контуром. Фарадей обнаружил,
что индукционный ток можно вызвать двумя различными способами. Дальнейшее пояс- няет рис. 12.4,где изображены катушка K с током I (она создает магнитное поле) и рамка
P с гальванометром Γ — индикатором индукционного тока.
Рис. 12.4
Рис. 12.5 1-й способ — перемещение рамки P (или отдельных ее частей) в поле неподвижной катушки K.
2-й способ — рамка P неподвижна, но изменяется магнитное поле — или за счет дви- жения катушки K , или вследствие изменения силы тока I в ней, или в результате того
108
и другого вместе. Во всех этих случаях гальванометр Γ будет показывать наличие индук- ционного тока в рамке P . Правило, определяющее направление э. д. с. индукции, было сформулировано в 1833 г. Э.X. Ленцем (1804–1865): индукционный ток направлен так,
что создаваемое им поле препятствует изменению магнитного потока. Иначе говоря,
направление возникающего в контуре тока составляет с направлением изменения потока магнитной индукции левовинтовую систему (рис. 12.5). В 1845 г. Ф.Э. Нейман (1798–1895)
дал математическое определение закона электромагнитной индукции в современной форме:
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.18)
причем контур считается неподвижным.
Физическая сущность явления.
По внешнему виду формула (12.18) полностью сов- падает с (12.9), но физическое содержание ее совершенно иное. Возникновение э. д. с, учи- тываемое формулой (12.9), связано с действием силы Лоренца на движущиеся заряды. В
возникновении э. д. с., учитываемой формулой (12.18), никакая сила Лоренца не участ- вует, поскольку проводники неподвижны. Однако в проводнике возникает электрический ток, поэтому можно заключить, что в нем имеется электрическое поле. Следовательно,
закон Фарадея (12.18) выражает новое физическое явление: изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле. Таким образом, электрическое поле порождается не только электрическими зарядами, но и изменяющимся магнитным полем.
Строго говоря, наличие тока в замкнутом проводнике показывает, что электрическое поле имеется лишь внутри проводника. Однако проводник в данном случае играет роль устройства для обнаружения электрического поля. При отсутствии проводника изменя- ющееся магнитное поле также порождает электрическое поле. Это можно показать, на- пример, тем, что на заряд в изменяющемся магнитном поле действует электрическая сила
(см. § 56). Это доказывает, что электромагнитная индукция является всеобщим фундамен- тальным законом природы, устанавливающим связь между электрическими и магнитны- ми полями. Различное физическое содержание описываемых формулами (12.9) и (12.18)
явлений очевидно из такого примера. Предположим, что проводник DG на рис. 12.1 дви- жется со скоростью v, но одновременно магнитная индукция B уменьшается. Вследствие движения проводника в замкнутом контуре появляется э. д. с. индукции, которая вызыва- ет ток (рис. 12.1). Изменение B по закону электромагнитной индукции Фарадея вызывает в контуре также э. д. с. индукции, которая в данном случае направлена противоположно той, которая возникает в результате движения участка проводника DG. Можно подобрать такую скорость изменения B(∂
B/∂t), что эти две э. д. с. будут взаимно компенсировать- ся. В результате в замкнутом контуре не будет тока, потому что полная э. д. с. индукции равна нулю. Однако эта взаимная компенсация э. д. с. индукции происходит в замкну- том контуре в целом, а не в каждой точке контура. Э. д. с. индукции за счет движения проводника возникает только на участке DG, а э. д. с. индукции Фарадея возникает как на участке DG, так и на остальных участках проводника DC, CA и AG. В результате движения на элементе проводника d
` возникает э. д. с. индукции, зависящая только от B
и скорости v движения этого элемента, но не зависящая от ∂
B/∂t. В результате измене- ния индукции на элементе проводника d
` появляется э. д. с. индукции Фарадея, которая не зависит от индукции B и скорости v движения этого элемента, а зависит только от
∂
B/∂t. Это и доказывает, что физическая природа э. д. с. индукции в этих двух случаях различна.
109
12.2.1
Движущийся проводник в переменном магнитном поле
Рис. 12.6
Если замкнутый проводник движется в переменном магнитном поле, испытывая при этом произвольные деформации формы,
то э. д. с. индукции в нем возникает как за счет движения и де- формации, учитываемой формулой (12.9), так и в результате из- менения индукции магнитного поля, учитываемого аналогичной формулой (12.18). Поэтому можно сказать, что э. д. с. индук- ции в проводнике определяется формулой (12.18), причем под dΦ/dt понимается полная скорость изменения потока индукции,
охватываемого проводником, как за счет его движения и дефор- мации, так и в результате изменения магнитного поля. В связи с этим закон (12.18) можно представить в таком виде:
E
i
=
I
Ed
` = −
∂Φ
∂t
+
I
h
v
B
i d
` .
(12.19)
Применение электромагнитной индукции к генераторам переменного тока.
Те- перь ясно, почему электрический ток можно генерировать не только движением провод- ников в магнитном поле, но и движением магнитов при неподвижных проводниках. На рис. 12.6 изображена схема демонстрации электромагнитной индукции.
12.3
Дифференциальная формулировка закона электро- магнитной индукции
Дается дифференциальная формулировка закона электромагнитной индукции.
Формулировка. Запишем закон электромагнитной индукции Фарадея [см. (12.18)] в виде
I
L
E · dl = −
d dt
Z
S
B · d
S,
(12.20)
где L — контур, S — поверхность, натянутая на контур L. В (12.20) учтены определения:
E
i
=
Z
L
E · dl,
Φ =
Z
S
B · d
S .
(12.21)
Заметим, что между направлением обхода контура L вектором dS соблюдается правовин- товое соотношение. Необходимо также обратить внимание на то, что в определении потока индукции Φ [см. (12.21)] поверхность S, сквозь которую вычисляется поток, является про- извольной, натянутой на контур L поверхностью. Такое, определение предполагает, что этот интеграл не зависит от формы поверхности, важно лишь, чтобы поверхность была ограничена контуром L или, как говорят, натянута на контур L. Докажем это. Выберем две какие либо поверхности S
1
и S
2
, натянутые на контур L. Их совокупность составляет замкнутую поверхность S = S
1
+ S
2
, ограничивающую некоторый объем V между ними.
Поток вектора B сквозь замкнутую поверхность S равен нулю, поскольку по теореме Гаус- са – Остроградского он равен интегралу по объему V , ограниченному поверхностью S, от divB = 0. Из этого следует утверждение о равенстве потоков через S
1
и S
2
(знаки пото- ков одинаковы при одинаковой относительно направления обхода контура ориентировке положительных нормалей к этим поверхностям).
110
Преобразуем левую часть (12.20) по формуле Стокса:
Z
L
E · d
` =
Z
S
rot
E · d
S .
(12.22)
В результате получаем
Z
L
rot
E · d
S = −
Z
S
∂
B
∂t
· d
S ,
(12.23)
причем производная по t внесена под знак интеграла на том основании, что площадь интегрирования не зависит от времени. Так как S произвольна, то из (12.23) следует, что rot
E = −
∂
B
∂t
(12.24)
Уравнение (12.24) является дифференциальной записью закона электромагнитной индукции Фарадея. Оно описывает закон порождения электрического поля в некото- рой точке за счет изменения индукции магнитного поля в той же точке. Поле E часто называют индукционным.
12.3.1
Непотенциальность индукционного электрического поля
В переменном магнитном поле
∂
B
∂t
6= 0 и, следовательно, в соответствии с (12.24)
rot
E 6= 0.
(12.25)
Это означает, что индукционное электрическое поле в отличие от электростатического,
порождаемого неподвижными зарядами, не является потенциальным. Работа перемеще- ния заряда q в нем по замкнутому контуру, вообще говоря, не равна нулю:
A = qE
i
= q
Z
L
E · d
` .
(12.26)
Отсюда, в частности, следует, что это поле не может быть представлено в виде гради- ента от некоторой функции, т. е. не может быть представлено в виде (14.27). Необходимо использовать отличное от [(14.27), т.е.
E = −gradϕ] представление.
12.4
Самоиндукция. Индуктивность соленоида
Рассмотрим еще несколько примеров проявления электромагнитной индукции. Электри- ческий ток в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле. Магнитная индук- ция этого поля по закону Био-Савара-Лапласа пропорциональна силе тока. Следователь- но, создаваемый контуром и проходящий через контур магнитный поток, пропорциональ- ный магнитной индукции, также пропорционален силе тока:
Φ = LI,
(12.27)
где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура или коэффициентом самоиндукции.
111
При изменении силы тока в контуре будет изменяться и магнитный поток, поэтому в контуре будет индуцироваться ЭДС самоиндукции, обусловленная изменением собствен- ного магнитного поля:
E
s
= −
dΦ
dt
= −
d dt
(LI) .
(12.28)
Если при изменении тока индуктивность L остается постоянной (не меняется конфигура- ция контура и нет ферромагнетиков), то
E
s
= −L
dI
dt
(L = const).
(12.29)
Знак “минус” в соответствии с правилом Ленца показывает, что наличие индуктив- ности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем. Если ток в контуре возрастает, то ток самоиндукции тормозит это возрастание. Если ток в контуре убывает,
то ток самоиндукции замедляет это убывание. Таким образом, индуктивность придает электрической цепи электрическую инертность – по аналогии с тем, что масса придает телу механическую инертность.
Единица индуктивности в системе СИ – генри (Гн). 1 Гн = 1 Вб/А = 1 В · с/А.
В случаях, когда нужна катушка с весьма малой индуктивностью, применяют бифи- лярные обмотки. Чтобы получить бифилярную обмотку, проволоку складывают вдвое и наматывают на каркас катушки. При такой намотке ток в двух соседних витках имеет противоположные направления, и суммарный магнитный поток в катушке близок к нулю.
Рассмотрим катушку из N последовательных витков. Если в одном витке катушки наводится ЭДС самоиндукции E
s
, то наводимая во всей катушке ЭДС самоиндукции определяется правилом сложения ЭДС при последовательном соединении и будет в N раз больше:
E
N
= N E
s
= −N
dΦ
dt
= −
d (ΦN )
dt
= −
dψ
dt
(12.30)
Здесь введено понятие потокосцепления
ψ = ΦN .
(12.31)
Сопоставляя выражения (12.28) и (12.30), получим:
ψ = LI.
(12.32)
Рассчитаем для примера индуктивность соленоида с числом витков на единицу длины n = N/`. Потокосцепление соленоида с учетом формулы (22.22) для магнитной индукции внутри соленоида B = µ
0
µnI равно:
ψ = ΦN = µ
0
µn
2
IS` = µ
0
µn
2
V I = LI .
(12.33)
Из последнего равенства получаем индуктивность соленоида:
L = µ
0
µn
2
V .
(12.34)
Здесь V = S` – объем соленоида.
Семь записанных выше уравнений составляют основу электродинамики.
112
Глава 13
Электромагнитные волны
13.1
Уравнения Максвелла
13.1.1
Электромагнитное поле. Ток смещения. Уравнения Макс- велла в интегральной форме
Из опыта и частных законов видно, что магнитное поле связано с электрическим, элек- трическое поле — с магнитным, и оба они определяются расположением и перемещением зарядов. В результате вместо отдельных электрического и магнитного полей в электроди- намике принято говорить о едином электромагнитном поле. Наиболее полно и в обобщен- ном виде эти связи представлены в четырех уравнениях Максвелла, сформулированных в 1861–1865 годах. Теория Максвелла — макроскопическая теория, в которой рассмат- риваются макроскопические поля макроскопических зарядов и токов, пространственная протяженность которых много больше размеров молекул.
Выпишем сначала уравнения Максвелла в интегральной форме. Отметим, что порядок нумерации уравнений может быть произвольным.
Первое уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (1.32) для электрического поля:
I
D
n dS =
X
i q
i
Второе уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (9.15) для магнитного поля, опираю- щаяся на отсутствие магнитных зарядов:
I
B
n dS = 0 .
Третье уравнение следует из основного закона электромагнитной индукции (24.4):
E
i
= −
dΦ
dt
Максвелл предположил, что любое переменное магнитное поле возбуждает в пространстве электрическое поле, проявляющееся в индукционном токе в проводниках. При этом ЭДС
индукции E
i определяется циркуляцией вектора напряженности вихревого электрическо- го поля
H E
`
d`. Таким образом, окончательно с учетом определения магнитного потока третье уравнение Максвелла имеет вид:
I
E
`
d` = −
d dt
Z
B
n dS .
(13.1)
113
Четвертое уравнение Максвелла – это обобщение теоремы о циркуляции (9.16) вектора на- пряженности магнитного поля:
H H
`
d` =
P
i
I
i
. Максвелл предположил, что если перемен- ное магнитное поле возбуждает в пространстве вихревое электрическое поле, то должен существовать и аналогичный эффект для электрического поля: изменение электрическо- го поля должно вызывать вихревое магнитное поле. Для этого он ввел понятие тока смещения. В интеграле теоремы о циркуляции справа необходимо учесть помимо токов проводимости иные токи, приводящие к изменению напряженности магнитного поля.
Для примера применим теорему о циркуляции к магнитному полю, созданному пере- менным электрическим током, перезаряжающим конденсатор. По Максвеллу в непрово- дящем промежутке конденсатора протекает ток смещения. При этом переменное электри- ческое поле создает соответствующее току смещения магнитное поле. Найдем этот ток:
I
см
=
dQ
dt
=
d dt
Z
σdS =
Z
dσ
dt dS =
Z
dD
dt dS .
(13.2)
Здесь использовано, что вблизи проводника вектор электрического смещения в соответ- ствии с (18.2) равен: D = σ. Сравнивая (13.2) со связью плотности тока и силы тока
I
см
=
R j см dS, получим для плотности тока смещения:
j см
=
dD
dt
(13.3)
В общем случае, когда площадка не перпендикулярна вектору электрического смещения,
ток смещения определяется нормальной составляющей вектора электрического смещения,
и из (13.2) имеем:
I
см
=
Z
dD
n dt dS .
(13.4)
Добавив в обобщение теоремы о циркуляции к току проводимости
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
б)
в)
Рис. 12.3. Схема генератора переменного тока.
Простейшая схема генератора переменного тока изображена на рис. 12.3,а. Если маг- нитное поле однородно, а рамка вращается в нем с постоянной угловой скоростью, то возникающая в рамке E
i является гармонической электродвижущей силой, частота кото- рой равна частоте вращения рамки в магнитном поле. В замкнутом контуре возникает переменный ток соответствующей частоты (рис. 12.3,б).
Если вместо одного витка в магнитном поле движутся два параллельных последова- тельно соединенных витка, то электродвижущая сила индукции возрастает в два раза.
Поэтому при практическом осуществлении генераторов используются намотки из многих витков. Вопросы о наиболее целесообразном осуществлении намоток, о создании магнит- ного поля, о снятии тока с движущихся обмоток и т. д. подробно рассматриваются в элек- тротехнике. Отметим лишь, что снятие тока с движущихся проводников при большой силе тока является не простой задачей. Поэтому часто вместо движения проводников с током осуществляют движение источников магнитного поля при неподвижных проводниках. В
простейшей схеме (рис. 12.3,в) это означает движение постоянных магнитов вокруг непо- движной рамки с током . В неподвижной рамке при этом возбуждается электродвижущая сила индукции. Количественно эта э. д. с. индукции при одинаковых относительных ско- ростях магнитов и рамки одна и та же. Однако физическая сущность происходящих при этом явлений в этих двух случаях различна (см. § 45).
Первыми генераторами были машины с постоянными магнитами, но уже в 1866 г. был сконструирован генератор, в котором магнитное поле создавалось электромагнитом. По- сле этого конструкция генераторов быстро совершенствовалась.
107
3акон сохранения энергии.
При прохождении тока по цепи с омическим сопротивле- нием выделяется джоулева теплота. Энергия, выделяемая в форме теплоты, получается в результате работы механических сил в генераторе электрического тока. При перехо- де энергии из одной формы в другую соблюдается, конечно, закон сохранения энергии.
Проследим за этим на простейшем примере (рис. 12.1).
Пусть R – сопротивление в контуре AGDCA, а I — сила тока в цепи. Следовательно,
в цепи током в форме теплоты выделяется энергия с мощностью
P
1
= I
2
R .
(12.15)
С другой стороны, при движении участка проводника DG с током силой I необходимо преодолевать силу Ампера
F = I`B .
(12.16)
Следовательно, силы, осуществляющие движение проводника, должны развивать мощ- ность
P
2
= F v = I`Bdx/dt = −IE
i
= −I
2
R ,
(12.17)
где учтена формула (12.9) и принято во внимание, что E
i
= IR. Знак минус в (12.17)
показывает, что работа производится над системой.
Сравнение (12.15) и (12.17) показывает, что P
1
+ P
2
= 0. Это означает, что энергия,
выделяемая в форме теплоты, в контуре равна работе сил, приводящих проводник в движение, т. е. сторонними электродвижущими силами в данном случае в конечном счете являются механические силы, осуществляющие движение проводника.
12.2
Закон электромагнитной индукции Фарадея
Обсуждаются физическая сущность и математическая формулировка закона электро- магнитной индукции Фарадея. Анализируется соотношение между электромагнитной индукцией Фарадея и индукцией тока в движущихся проводниках.
Определение.
В 1831 г. Фарадей экспериментально открыл явление электромагнитной индукции, состоящее в возникновении электрического тока в замкнутом проводнике при изменении потока магнитной индукции, охватываемого контуром. Фарадей обнаружил,
что индукционный ток можно вызвать двумя различными способами. Дальнейшее пояс- няет рис. 12.4,где изображены катушка K с током I (она создает магнитное поле) и рамка
P с гальванометром Γ — индикатором индукционного тока.
Рис. 12.4
Рис. 12.5 1-й способ — перемещение рамки P (или отдельных ее частей) в поле неподвижной катушки K.
2-й способ — рамка P неподвижна, но изменяется магнитное поле — или за счет дви- жения катушки K , или вследствие изменения силы тока I в ней, или в результате того
108
и другого вместе. Во всех этих случаях гальванометр Γ будет показывать наличие индук- ционного тока в рамке P . Правило, определяющее направление э. д. с. индукции, было сформулировано в 1833 г. Э.X. Ленцем (1804–1865): индукционный ток направлен так,
что создаваемое им поле препятствует изменению магнитного потока. Иначе говоря,
направление возникающего в контуре тока составляет с направлением изменения потока магнитной индукции левовинтовую систему (рис. 12.5). В 1845 г. Ф.Э. Нейман (1798–1895)
дал математическое определение закона электромагнитной индукции в современной форме:
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.18)
причем контур считается неподвижным.
Физическая сущность явления.
По внешнему виду формула (12.18) полностью сов- падает с (12.9), но физическое содержание ее совершенно иное. Возникновение э. д. с, учи- тываемое формулой (12.9), связано с действием силы Лоренца на движущиеся заряды. В
возникновении э. д. с., учитываемой формулой (12.18), никакая сила Лоренца не участ- вует, поскольку проводники неподвижны. Однако в проводнике возникает электрический ток, поэтому можно заключить, что в нем имеется электрическое поле. Следовательно,
закон Фарадея (12.18) выражает новое физическое явление: изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле. Таким образом, электрическое поле порождается не только электрическими зарядами, но и изменяющимся магнитным полем.
Строго говоря, наличие тока в замкнутом проводнике показывает, что электрическое поле имеется лишь внутри проводника. Однако проводник в данном случае играет роль устройства для обнаружения электрического поля. При отсутствии проводника изменя- ющееся магнитное поле также порождает электрическое поле. Это можно показать, на- пример, тем, что на заряд в изменяющемся магнитном поле действует электрическая сила
(см. § 56). Это доказывает, что электромагнитная индукция является всеобщим фундамен- тальным законом природы, устанавливающим связь между электрическими и магнитны- ми полями. Различное физическое содержание описываемых формулами (12.9) и (12.18)
явлений очевидно из такого примера. Предположим, что проводник DG на рис. 12.1 дви- жется со скоростью v, но одновременно магнитная индукция B уменьшается. Вследствие движения проводника в замкнутом контуре появляется э. д. с. индукции, которая вызыва- ет ток (рис. 12.1). Изменение B по закону электромагнитной индукции Фарадея вызывает в контуре также э. д. с. индукции, которая в данном случае направлена противоположно той, которая возникает в результате движения участка проводника DG. Можно подобрать такую скорость изменения B(∂
B/∂t), что эти две э. д. с. будут взаимно компенсировать- ся. В результате в замкнутом контуре не будет тока, потому что полная э. д. с. индукции равна нулю. Однако эта взаимная компенсация э. д. с. индукции происходит в замкну- том контуре в целом, а не в каждой точке контура. Э. д. с. индукции за счет движения проводника возникает только на участке DG, а э. д. с. индукции Фарадея возникает как на участке DG, так и на остальных участках проводника DC, CA и AG. В результате движения на элементе проводника d
` возникает э. д. с. индукции, зависящая только от B
и скорости v движения этого элемента, но не зависящая от ∂
B/∂t. В результате измене- ния индукции на элементе проводника d
` появляется э. д. с. индукции Фарадея, которая не зависит от индукции B и скорости v движения этого элемента, а зависит только от
∂
B/∂t. Это и доказывает, что физическая природа э. д. с. индукции в этих двух случаях различна.
109
12.2.1
Движущийся проводник в переменном магнитном поле
Рис. 12.6
Если замкнутый проводник движется в переменном магнитном поле, испытывая при этом произвольные деформации формы,
то э. д. с. индукции в нем возникает как за счет движения и де- формации, учитываемой формулой (12.9), так и в результате из- менения индукции магнитного поля, учитываемого аналогичной формулой (12.18). Поэтому можно сказать, что э. д. с. индук- ции в проводнике определяется формулой (12.18), причем под dΦ/dt понимается полная скорость изменения потока индукции,
охватываемого проводником, как за счет его движения и дефор- мации, так и в результате изменения магнитного поля. В связи с этим закон (12.18) можно представить в таком виде:
E
i
=
I
Ed
` = −
∂Φ
∂t
+
I
h
v
B
i d
` .
(12.19)
Применение электромагнитной индукции к генераторам переменного тока.
Те- перь ясно, почему электрический ток можно генерировать не только движением провод- ников в магнитном поле, но и движением магнитов при неподвижных проводниках. На рис. 12.6 изображена схема демонстрации электромагнитной индукции.
12.3
Дифференциальная формулировка закона электро- магнитной индукции
Дается дифференциальная формулировка закона электромагнитной индукции.
Формулировка. Запишем закон электромагнитной индукции Фарадея [см. (12.18)] в виде
I
L
E · dl = −
d dt
Z
S
B · d
S,
(12.20)
где L — контур, S — поверхность, натянутая на контур L. В (12.20) учтены определения:
E
i
=
Z
L
E · dl,
Φ =
Z
S
B · d
S .
(12.21)
Заметим, что между направлением обхода контура L вектором dS соблюдается правовин- товое соотношение. Необходимо также обратить внимание на то, что в определении потока индукции Φ [см. (12.21)] поверхность S, сквозь которую вычисляется поток, является про- извольной, натянутой на контур L поверхностью. Такое, определение предполагает, что этот интеграл не зависит от формы поверхности, важно лишь, чтобы поверхность была ограничена контуром L или, как говорят, натянута на контур L. Докажем это. Выберем две какие либо поверхности S
1
и S
2
, натянутые на контур L. Их совокупность составляет замкнутую поверхность S = S
1
+ S
2
, ограничивающую некоторый объем V между ними.
Поток вектора B сквозь замкнутую поверхность S равен нулю, поскольку по теореме Гаус- са – Остроградского он равен интегралу по объему V , ограниченному поверхностью S, от divB = 0. Из этого следует утверждение о равенстве потоков через S
1
и S
2
(знаки пото- ков одинаковы при одинаковой относительно направления обхода контура ориентировке положительных нормалей к этим поверхностям).
110
Преобразуем левую часть (12.20) по формуле Стокса:
Z
L
E · d
` =
Z
S
rot
E · d
S .
(12.22)
В результате получаем
Z
L
rot
E · d
S = −
Z
S
∂
B
∂t
· d
S ,
(12.23)
причем производная по t внесена под знак интеграла на том основании, что площадь интегрирования не зависит от времени. Так как S произвольна, то из (12.23) следует, что rot
E = −
∂
B
∂t
(12.24)
Уравнение (12.24) является дифференциальной записью закона электромагнитной индукции Фарадея. Оно описывает закон порождения электрического поля в некото- рой точке за счет изменения индукции магнитного поля в той же точке. Поле E часто называют индукционным.
12.3.1
Непотенциальность индукционного электрического поля
В переменном магнитном поле
∂
B
∂t
6= 0 и, следовательно, в соответствии с (12.24)
rot
E 6= 0.
(12.25)
Это означает, что индукционное электрическое поле в отличие от электростатического,
порождаемого неподвижными зарядами, не является потенциальным. Работа перемеще- ния заряда q в нем по замкнутому контуру, вообще говоря, не равна нулю:
A = qE
i
= q
Z
L
E · d
` .
(12.26)
Отсюда, в частности, следует, что это поле не может быть представлено в виде гради- ента от некоторой функции, т. е. не может быть представлено в виде (14.27). Необходимо использовать отличное от [(14.27), т.е.
E = −gradϕ] представление.
12.4
Самоиндукция. Индуктивность соленоида
Рассмотрим еще несколько примеров проявления электромагнитной индукции. Электри- ческий ток в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле. Магнитная индук- ция этого поля по закону Био-Савара-Лапласа пропорциональна силе тока. Следователь- но, создаваемый контуром и проходящий через контур магнитный поток, пропорциональ- ный магнитной индукции, также пропорционален силе тока:
Φ = LI,
(12.27)
где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура или коэффициентом самоиндукции.
111
При изменении силы тока в контуре будет изменяться и магнитный поток, поэтому в контуре будет индуцироваться ЭДС самоиндукции, обусловленная изменением собствен- ного магнитного поля:
E
s
= −
dΦ
dt
= −
d dt
(LI) .
(12.28)
Если при изменении тока индуктивность L остается постоянной (не меняется конфигура- ция контура и нет ферромагнетиков), то
E
s
= −L
dI
dt
(L = const).
(12.29)
Знак “минус” в соответствии с правилом Ленца показывает, что наличие индуктив- ности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем. Если ток в контуре возрастает, то ток самоиндукции тормозит это возрастание. Если ток в контуре убывает,
то ток самоиндукции замедляет это убывание. Таким образом, индуктивность придает электрической цепи электрическую инертность – по аналогии с тем, что масса придает телу механическую инертность.
Единица индуктивности в системе СИ – генри (Гн). 1 Гн = 1 Вб/А = 1 В · с/А.
В случаях, когда нужна катушка с весьма малой индуктивностью, применяют бифи- лярные обмотки. Чтобы получить бифилярную обмотку, проволоку складывают вдвое и наматывают на каркас катушки. При такой намотке ток в двух соседних витках имеет противоположные направления, и суммарный магнитный поток в катушке близок к нулю.
Рассмотрим катушку из N последовательных витков. Если в одном витке катушки наводится ЭДС самоиндукции E
s
, то наводимая во всей катушке ЭДС самоиндукции определяется правилом сложения ЭДС при последовательном соединении и будет в N раз больше:
E
N
= N E
s
= −N
dΦ
dt
= −
d (ΦN )
dt
= −
dψ
dt
(12.30)
Здесь введено понятие потокосцепления
ψ = ΦN .
(12.31)
Сопоставляя выражения (12.28) и (12.30), получим:
ψ = LI.
(12.32)
Рассчитаем для примера индуктивность соленоида с числом витков на единицу длины n = N/`. Потокосцепление соленоида с учетом формулы (22.22) для магнитной индукции внутри соленоида B = µ
0
µnI равно:
ψ = ΦN = µ
0
µn
2
IS` = µ
0
µn
2
V I = LI .
(12.33)
Из последнего равенства получаем индуктивность соленоида:
L = µ
0
µn
2
V .
(12.34)
Здесь V = S` – объем соленоида.
Семь записанных выше уравнений составляют основу электродинамики.
112
Глава 13
Электромагнитные волны
13.1
Уравнения Максвелла
13.1.1
Электромагнитное поле. Ток смещения. Уравнения Макс- велла в интегральной форме
Из опыта и частных законов видно, что магнитное поле связано с электрическим, элек- трическое поле — с магнитным, и оба они определяются расположением и перемещением зарядов. В результате вместо отдельных электрического и магнитного полей в электроди- намике принято говорить о едином электромагнитном поле. Наиболее полно и в обобщен- ном виде эти связи представлены в четырех уравнениях Максвелла, сформулированных в 1861–1865 годах. Теория Максвелла — макроскопическая теория, в которой рассмат- риваются макроскопические поля макроскопических зарядов и токов, пространственная протяженность которых много больше размеров молекул.
Выпишем сначала уравнения Максвелла в интегральной форме. Отметим, что порядок нумерации уравнений может быть произвольным.
Первое уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (1.32) для электрического поля:
I
D
n dS =
X
i q
i
Второе уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (9.15) для магнитного поля, опираю- щаяся на отсутствие магнитных зарядов:
I
B
n dS = 0 .
Третье уравнение следует из основного закона электромагнитной индукции (24.4):
E
i
= −
dΦ
dt
Максвелл предположил, что любое переменное магнитное поле возбуждает в пространстве электрическое поле, проявляющееся в индукционном токе в проводниках. При этом ЭДС
индукции E
i определяется циркуляцией вектора напряженности вихревого электрическо- го поля
H E
`
d`. Таким образом, окончательно с учетом определения магнитного потока третье уравнение Максвелла имеет вид:
I
E
`
d` = −
d dt
Z
B
n dS .
(13.1)
113
Четвертое уравнение Максвелла – это обобщение теоремы о циркуляции (9.16) вектора на- пряженности магнитного поля:
H H
`
d` =
P
i
I
i
. Максвелл предположил, что если перемен- ное магнитное поле возбуждает в пространстве вихревое электрическое поле, то должен существовать и аналогичный эффект для электрического поля: изменение электрическо- го поля должно вызывать вихревое магнитное поле. Для этого он ввел понятие тока смещения. В интеграле теоремы о циркуляции справа необходимо учесть помимо токов проводимости иные токи, приводящие к изменению напряженности магнитного поля.
Для примера применим теорему о циркуляции к магнитному полю, созданному пере- менным электрическим током, перезаряжающим конденсатор. По Максвеллу в непрово- дящем промежутке конденсатора протекает ток смещения. При этом переменное электри- ческое поле создает соответствующее току смещения магнитное поле. Найдем этот ток:
I
см
=
dQ
dt
=
d dt
Z
σdS =
Z
dσ
dt dS =
Z
dD
dt dS .
(13.2)
Здесь использовано, что вблизи проводника вектор электрического смещения в соответ- ствии с (18.2) равен: D = σ. Сравнивая (13.2) со связью плотности тока и силы тока
I
см
=
R j см dS, получим для плотности тока смещения:
j см
=
dD
dt
(13.3)
В общем случае, когда площадка не перпендикулярна вектору электрического смещения,
ток смещения определяется нормальной составляющей вектора электрического смещения,
и из (13.2) имеем:
I
см
=
Z
dD
n dt dS .
(13.4)
Добавив в обобщение теоремы о циркуляции к току проводимости
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
б)
в)
Рис. 12.3. Схема генератора переменного тока.
Простейшая схема генератора переменного тока изображена на рис. 12.3,а. Если маг- нитное поле однородно, а рамка вращается в нем с постоянной угловой скоростью, то возникающая в рамке E
i является гармонической электродвижущей силой, частота кото- рой равна частоте вращения рамки в магнитном поле. В замкнутом контуре возникает переменный ток соответствующей частоты (рис. 12.3,б).
Если вместо одного витка в магнитном поле движутся два параллельных последова- тельно соединенных витка, то электродвижущая сила индукции возрастает в два раза.
Поэтому при практическом осуществлении генераторов используются намотки из многих витков. Вопросы о наиболее целесообразном осуществлении намоток, о создании магнит- ного поля, о снятии тока с движущихся обмоток и т. д. подробно рассматриваются в элек- тротехнике. Отметим лишь, что снятие тока с движущихся проводников при большой силе тока является не простой задачей. Поэтому часто вместо движения проводников с током осуществляют движение источников магнитного поля при неподвижных проводниках. В
простейшей схеме (рис. 12.3,в) это означает движение постоянных магнитов вокруг непо- движной рамки с током . В неподвижной рамке при этом возбуждается электродвижущая сила индукции. Количественно эта э. д. с. индукции при одинаковых относительных ско- ростях магнитов и рамки одна и та же. Однако физическая сущность происходящих при этом явлений в этих двух случаях различна (см. § 45).
Первыми генераторами были машины с постоянными магнитами, но уже в 1866 г. был сконструирован генератор, в котором магнитное поле создавалось электромагнитом. По- сле этого конструкция генераторов быстро совершенствовалась.
107
3акон сохранения энергии.
При прохождении тока по цепи с омическим сопротивле- нием выделяется джоулева теплота. Энергия, выделяемая в форме теплоты, получается в результате работы механических сил в генераторе электрического тока. При перехо- де энергии из одной формы в другую соблюдается, конечно, закон сохранения энергии.
Проследим за этим на простейшем примере (рис. 12.1).
Пусть R – сопротивление в контуре AGDCA, а I — сила тока в цепи. Следовательно,
в цепи током в форме теплоты выделяется энергия с мощностью
P
1
= I
2
R .
(12.15)
С другой стороны, при движении участка проводника DG с током силой I необходимо преодолевать силу Ампера
F = I`B .
(12.16)
Следовательно, силы, осуществляющие движение проводника, должны развивать мощ- ность
P
2
= F v = I`Bdx/dt = −IE
i
= −I
2
R ,
(12.17)
где учтена формула (12.9) и принято во внимание, что E
i
= IR. Знак минус в (12.17)
показывает, что работа производится над системой.
Сравнение (12.15) и (12.17) показывает, что P
1
+ P
2
= 0. Это означает, что энергия,
выделяемая в форме теплоты, в контуре равна работе сил, приводящих проводник в движение, т. е. сторонними электродвижущими силами в данном случае в конечном счете являются механические силы, осуществляющие движение проводника.
12.2
Закон электромагнитной индукции Фарадея
Обсуждаются физическая сущность и математическая формулировка закона электро- магнитной индукции Фарадея. Анализируется соотношение между электромагнитной индукцией Фарадея и индукцией тока в движущихся проводниках.
Определение.
В 1831 г. Фарадей экспериментально открыл явление электромагнитной индукции, состоящее в возникновении электрического тока в замкнутом проводнике при изменении потока магнитной индукции, охватываемого контуром. Фарадей обнаружил,
что индукционный ток можно вызвать двумя различными способами. Дальнейшее пояс- няет рис. 12.4,где изображены катушка K с током I (она создает магнитное поле) и рамка
P с гальванометром Γ — индикатором индукционного тока.
Рис. 12.4
Рис. 12.5 1-й способ — перемещение рамки P (или отдельных ее частей) в поле неподвижной катушки K.
2-й способ — рамка P неподвижна, но изменяется магнитное поле — или за счет дви- жения катушки K , или вследствие изменения силы тока I в ней, или в результате того
108
и другого вместе. Во всех этих случаях гальванометр Γ будет показывать наличие индук- ционного тока в рамке P . Правило, определяющее направление э. д. с. индукции, было сформулировано в 1833 г. Э.X. Ленцем (1804–1865): индукционный ток направлен так,
что создаваемое им поле препятствует изменению магнитного потока. Иначе говоря,
направление возникающего в контуре тока составляет с направлением изменения потока магнитной индукции левовинтовую систему (рис. 12.5). В 1845 г. Ф.Э. Нейман (1798–1895)
дал математическое определение закона электромагнитной индукции в современной форме:
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.18)
причем контур считается неподвижным.
Физическая сущность явления.
По внешнему виду формула (12.18) полностью сов- падает с (12.9), но физическое содержание ее совершенно иное. Возникновение э. д. с, учи- тываемое формулой (12.9), связано с действием силы Лоренца на движущиеся заряды. В
возникновении э. д. с., учитываемой формулой (12.18), никакая сила Лоренца не участ- вует, поскольку проводники неподвижны. Однако в проводнике возникает электрический ток, поэтому можно заключить, что в нем имеется электрическое поле. Следовательно,
закон Фарадея (12.18) выражает новое физическое явление: изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле. Таким образом, электрическое поле порождается не только электрическими зарядами, но и изменяющимся магнитным полем.
Строго говоря, наличие тока в замкнутом проводнике показывает, что электрическое поле имеется лишь внутри проводника. Однако проводник в данном случае играет роль устройства для обнаружения электрического поля. При отсутствии проводника изменя- ющееся магнитное поле также порождает электрическое поле. Это можно показать, на- пример, тем, что на заряд в изменяющемся магнитном поле действует электрическая сила
(см. § 56). Это доказывает, что электромагнитная индукция является всеобщим фундамен- тальным законом природы, устанавливающим связь между электрическими и магнитны- ми полями. Различное физическое содержание описываемых формулами (12.9) и (12.18)
явлений очевидно из такого примера. Предположим, что проводник DG на рис. 12.1 дви- жется со скоростью v, но одновременно магнитная индукция B уменьшается. Вследствие движения проводника в замкнутом контуре появляется э. д. с. индукции, которая вызыва- ет ток (рис. 12.1). Изменение B по закону электромагнитной индукции Фарадея вызывает в контуре также э. д. с. индукции, которая в данном случае направлена противоположно той, которая возникает в результате движения участка проводника DG. Можно подобрать такую скорость изменения B(∂
B/∂t), что эти две э. д. с. будут взаимно компенсировать- ся. В результате в замкнутом контуре не будет тока, потому что полная э. д. с. индукции равна нулю. Однако эта взаимная компенсация э. д. с. индукции происходит в замкну- том контуре в целом, а не в каждой точке контура. Э. д. с. индукции за счет движения проводника возникает только на участке DG, а э. д. с. индукции Фарадея возникает как на участке DG, так и на остальных участках проводника DC, CA и AG. В результате движения на элементе проводника d
` возникает э. д. с. индукции, зависящая только от B
и скорости v движения этого элемента, но не зависящая от ∂
B/∂t. В результате измене- ния индукции на элементе проводника d
` появляется э. д. с. индукции Фарадея, которая не зависит от индукции B и скорости v движения этого элемента, а зависит только от
∂
B/∂t. Это и доказывает, что физическая природа э. д. с. индукции в этих двух случаях различна.
109
12.2.1
Движущийся проводник в переменном магнитном поле
Рис. 12.6
Если замкнутый проводник движется в переменном магнитном поле, испытывая при этом произвольные деформации формы,
то э. д. с. индукции в нем возникает как за счет движения и де- формации, учитываемой формулой (12.9), так и в результате из- менения индукции магнитного поля, учитываемого аналогичной формулой (12.18). Поэтому можно сказать, что э. д. с. индук- ции в проводнике определяется формулой (12.18), причем под dΦ/dt понимается полная скорость изменения потока индукции,
охватываемого проводником, как за счет его движения и дефор- мации, так и в результате изменения магнитного поля. В связи с этим закон (12.18) можно представить в таком виде:
E
i
=
I
Ed
` = −
∂Φ
∂t
+
I
h
v
B
i d
` .
(12.19)
Применение электромагнитной индукции к генераторам переменного тока.
Те- перь ясно, почему электрический ток можно генерировать не только движением провод- ников в магнитном поле, но и движением магнитов при неподвижных проводниках. На рис. 12.6 изображена схема демонстрации электромагнитной индукции.
12.3
Дифференциальная формулировка закона электро- магнитной индукции
Дается дифференциальная формулировка закона электромагнитной индукции.
Формулировка. Запишем закон электромагнитной индукции Фарадея [см. (12.18)] в виде
I
L
E · dl = −
d dt
Z
S
B · d
S,
(12.20)
где L — контур, S — поверхность, натянутая на контур L. В (12.20) учтены определения:
E
i
=
Z
L
E · dl,
Φ =
Z
S
B · d
S .
(12.21)
Заметим, что между направлением обхода контура L вектором dS соблюдается правовин- товое соотношение. Необходимо также обратить внимание на то, что в определении потока индукции Φ [см. (12.21)] поверхность S, сквозь которую вычисляется поток, является про- извольной, натянутой на контур L поверхностью. Такое, определение предполагает, что этот интеграл не зависит от формы поверхности, важно лишь, чтобы поверхность была ограничена контуром L или, как говорят, натянута на контур L. Докажем это. Выберем две какие либо поверхности S
1
и S
2
, натянутые на контур L. Их совокупность составляет замкнутую поверхность S = S
1
+ S
2
, ограничивающую некоторый объем V между ними.
Поток вектора B сквозь замкнутую поверхность S равен нулю, поскольку по теореме Гаус- са – Остроградского он равен интегралу по объему V , ограниченному поверхностью S, от divB = 0. Из этого следует утверждение о равенстве потоков через S
1
и S
2
(знаки пото- ков одинаковы при одинаковой относительно направления обхода контура ориентировке положительных нормалей к этим поверхностям).
110
Преобразуем левую часть (12.20) по формуле Стокса:
Z
L
E · d
` =
Z
S
rot
E · d
S .
(12.22)
В результате получаем
Z
L
rot
E · d
S = −
Z
S
∂
B
∂t
· d
S ,
(12.23)
причем производная по t внесена под знак интеграла на том основании, что площадь интегрирования не зависит от времени. Так как S произвольна, то из (12.23) следует, что rot
E = −
∂
B
∂t
(12.24)
Уравнение (12.24) является дифференциальной записью закона электромагнитной индукции Фарадея. Оно описывает закон порождения электрического поля в некото- рой точке за счет изменения индукции магнитного поля в той же точке. Поле E часто называют индукционным.
12.3.1
Непотенциальность индукционного электрического поля
В переменном магнитном поле
∂
B
∂t
6= 0 и, следовательно, в соответствии с (12.24)
rot
E 6= 0.
(12.25)
Это означает, что индукционное электрическое поле в отличие от электростатического,
порождаемого неподвижными зарядами, не является потенциальным. Работа перемеще- ния заряда q в нем по замкнутому контуру, вообще говоря, не равна нулю:
A = qE
i
= q
Z
L
E · d
` .
(12.26)
Отсюда, в частности, следует, что это поле не может быть представлено в виде гради- ента от некоторой функции, т. е. не может быть представлено в виде (14.27). Необходимо использовать отличное от [(14.27), т.е.
E = −gradϕ] представление.
12.4
Самоиндукция. Индуктивность соленоида
Рассмотрим еще несколько примеров проявления электромагнитной индукции. Электри- ческий ток в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле. Магнитная индук- ция этого поля по закону Био-Савара-Лапласа пропорциональна силе тока. Следователь- но, создаваемый контуром и проходящий через контур магнитный поток, пропорциональ- ный магнитной индукции, также пропорционален силе тока:
Φ = LI,
(12.27)
где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура или коэффициентом самоиндукции.
111
При изменении силы тока в контуре будет изменяться и магнитный поток, поэтому в контуре будет индуцироваться ЭДС самоиндукции, обусловленная изменением собствен- ного магнитного поля:
E
s
= −
dΦ
dt
= −
d dt
(LI) .
(12.28)
Если при изменении тока индуктивность L остается постоянной (не меняется конфигура- ция контура и нет ферромагнетиков), то
E
s
= −L
dI
dt
(L = const).
(12.29)
Знак “минус” в соответствии с правилом Ленца показывает, что наличие индуктив- ности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем. Если ток в контуре возрастает, то ток самоиндукции тормозит это возрастание. Если ток в контуре убывает,
то ток самоиндукции замедляет это убывание. Таким образом, индуктивность придает электрической цепи электрическую инертность – по аналогии с тем, что масса придает телу механическую инертность.
Единица индуктивности в системе СИ – генри (Гн). 1 Гн = 1 Вб/А = 1 В · с/А.
В случаях, когда нужна катушка с весьма малой индуктивностью, применяют бифи- лярные обмотки. Чтобы получить бифилярную обмотку, проволоку складывают вдвое и наматывают на каркас катушки. При такой намотке ток в двух соседних витках имеет противоположные направления, и суммарный магнитный поток в катушке близок к нулю.
Рассмотрим катушку из N последовательных витков. Если в одном витке катушки наводится ЭДС самоиндукции E
s
, то наводимая во всей катушке ЭДС самоиндукции определяется правилом сложения ЭДС при последовательном соединении и будет в N раз больше:
E
N
= N E
s
= −N
dΦ
dt
= −
d (ΦN )
dt
= −
dψ
dt
(12.30)
Здесь введено понятие потокосцепления
ψ = ΦN .
(12.31)
Сопоставляя выражения (12.28) и (12.30), получим:
ψ = LI.
(12.32)
Рассчитаем для примера индуктивность соленоида с числом витков на единицу длины n = N/`. Потокосцепление соленоида с учетом формулы (22.22) для магнитной индукции внутри соленоида B = µ
0
µnI равно:
ψ = ΦN = µ
0
µn
2
IS` = µ
0
µn
2
V I = LI .
(12.33)
Из последнего равенства получаем индуктивность соленоида:
L = µ
0
µn
2
V .
(12.34)
Здесь V = S` – объем соленоида.
Семь записанных выше уравнений составляют основу электродинамики.
112
Глава 13
Электромагнитные волны
13.1
Уравнения Максвелла
13.1.1
Электромагнитное поле. Ток смещения. Уравнения Макс- велла в интегральной форме
Из опыта и частных законов видно, что магнитное поле связано с электрическим, элек- трическое поле — с магнитным, и оба они определяются расположением и перемещением зарядов. В результате вместо отдельных электрического и магнитного полей в электроди- намике принято говорить о едином электромагнитном поле. Наиболее полно и в обобщен- ном виде эти связи представлены в четырех уравнениях Максвелла, сформулированных в 1861–1865 годах. Теория Максвелла — макроскопическая теория, в которой рассмат- риваются макроскопические поля макроскопических зарядов и токов, пространственная протяженность которых много больше размеров молекул.
Выпишем сначала уравнения Максвелла в интегральной форме. Отметим, что порядок нумерации уравнений может быть произвольным.
Первое уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (1.32) для электрического поля:
I
D
n dS =
X
i q
i
Второе уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (9.15) для магнитного поля, опираю- щаяся на отсутствие магнитных зарядов:
I
B
n dS = 0 .
Третье уравнение следует из основного закона электромагнитной индукции (24.4):
E
i
= −
dΦ
dt
Максвелл предположил, что любое переменное магнитное поле возбуждает в пространстве электрическое поле, проявляющееся в индукционном токе в проводниках. При этом ЭДС
индукции E
i определяется циркуляцией вектора напряженности вихревого электрическо- го поля
H E
`
d`. Таким образом, окончательно с учетом определения магнитного потока третье уравнение Максвелла имеет вид:
I
E
`
d` = −
d dt
Z
B
n dS .
(13.1)
113
Четвертое уравнение Максвелла – это обобщение теоремы о циркуляции (9.16) вектора на- пряженности магнитного поля:
H H
`
d` =
P
i
I
i
. Максвелл предположил, что если перемен- ное магнитное поле возбуждает в пространстве вихревое электрическое поле, то должен существовать и аналогичный эффект для электрического поля: изменение электрическо- го поля должно вызывать вихревое магнитное поле. Для этого он ввел понятие тока смещения. В интеграле теоремы о циркуляции справа необходимо учесть помимо токов проводимости иные токи, приводящие к изменению напряженности магнитного поля.
Для примера применим теорему о циркуляции к магнитному полю, созданному пере- менным электрическим током, перезаряжающим конденсатор. По Максвеллу в непрово- дящем промежутке конденсатора протекает ток смещения. При этом переменное электри- ческое поле создает соответствующее току смещения магнитное поле. Найдем этот ток:
I
см
=
dQ
dt
=
d dt
Z
σdS =
Z
dσ
dt dS =
Z
dD
dt dS .
(13.2)
Здесь использовано, что вблизи проводника вектор электрического смещения в соответ- ствии с (18.2) равен: D = σ. Сравнивая (13.2) со связью плотности тока и силы тока
I
см
=
R j см dS, получим для плотности тока смещения:
j см
=
dD
dt
(13.3)
В общем случае, когда площадка не перпендикулярна вектору электрического смещения,
ток смещения определяется нормальной составляющей вектора электрического смещения,
и из (13.2) имеем:
I
см
=
Z
dD
n dt dS .
(13.4)
Добавив в обобщение теоремы о циркуляции к току проводимости
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
б)
в)
Рис. 12.3. Схема генератора переменного тока.
Простейшая схема генератора переменного тока изображена на рис. 12.3,а. Если маг- нитное поле однородно, а рамка вращается в нем с постоянной угловой скоростью, то возникающая в рамке E
i является гармонической электродвижущей силой, частота кото- рой равна частоте вращения рамки в магнитном поле. В замкнутом контуре возникает переменный ток соответствующей частоты (рис. 12.3,б).
Если вместо одного витка в магнитном поле движутся два параллельных последова- тельно соединенных витка, то электродвижущая сила индукции возрастает в два раза.
Поэтому при практическом осуществлении генераторов используются намотки из многих витков. Вопросы о наиболее целесообразном осуществлении намоток, о создании магнит- ного поля, о снятии тока с движущихся обмоток и т. д. подробно рассматриваются в элек- тротехнике. Отметим лишь, что снятие тока с движущихся проводников при большой силе тока является не простой задачей. Поэтому часто вместо движения проводников с током осуществляют движение источников магнитного поля при неподвижных проводниках. В
простейшей схеме (рис. 12.3,в) это означает движение постоянных магнитов вокруг непо- движной рамки с током . В неподвижной рамке при этом возбуждается электродвижущая сила индукции. Количественно эта э. д. с. индукции при одинаковых относительных ско- ростях магнитов и рамки одна и та же. Однако физическая сущность происходящих при этом явлений в этих двух случаях различна (см. § 45).
Первыми генераторами были машины с постоянными магнитами, но уже в 1866 г. был сконструирован генератор, в котором магнитное поле создавалось электромагнитом. По- сле этого конструкция генераторов быстро совершенствовалась.
107
3акон сохранения энергии.
При прохождении тока по цепи с омическим сопротивле- нием выделяется джоулева теплота. Энергия, выделяемая в форме теплоты, получается в результате работы механических сил в генераторе электрического тока. При перехо- де энергии из одной формы в другую соблюдается, конечно, закон сохранения энергии.
Проследим за этим на простейшем примере (рис. 12.1).
Пусть R – сопротивление в контуре AGDCA, а I — сила тока в цепи. Следовательно,
в цепи током в форме теплоты выделяется энергия с мощностью
P
1
= I
2
R .
(12.15)
С другой стороны, при движении участка проводника DG с током силой I необходимо преодолевать силу Ампера
F = I`B .
(12.16)
Следовательно, силы, осуществляющие движение проводника, должны развивать мощ- ность
P
2
= F v = I`Bdx/dt = −IE
i
= −I
2
R ,
(12.17)
где учтена формула (12.9) и принято во внимание, что E
i
= IR. Знак минус в (12.17)
показывает, что работа производится над системой.
Сравнение (12.15) и (12.17) показывает, что P
1
+ P
2
= 0. Это означает, что энергия,
выделяемая в форме теплоты, в контуре равна работе сил, приводящих проводник в движение, т. е. сторонними электродвижущими силами в данном случае в конечном счете являются механические силы, осуществляющие движение проводника.
12.2
Закон электромагнитной индукции Фарадея
Обсуждаются физическая сущность и математическая формулировка закона электро- магнитной индукции Фарадея. Анализируется соотношение между электромагнитной индукцией Фарадея и индукцией тока в движущихся проводниках.
Определение.
В 1831 г. Фарадей экспериментально открыл явление электромагнитной индукции, состоящее в возникновении электрического тока в замкнутом проводнике при изменении потока магнитной индукции, охватываемого контуром. Фарадей обнаружил,
что индукционный ток можно вызвать двумя различными способами. Дальнейшее пояс- няет рис. 12.4,где изображены катушка K с током I (она создает магнитное поле) и рамка
P с гальванометром Γ — индикатором индукционного тока.
Рис. 12.4
Рис. 12.5 1-й способ — перемещение рамки P (или отдельных ее частей) в поле неподвижной катушки K.
2-й способ — рамка P неподвижна, но изменяется магнитное поле — или за счет дви- жения катушки K , или вследствие изменения силы тока I в ней, или в результате того
108
и другого вместе. Во всех этих случаях гальванометр Γ будет показывать наличие индук- ционного тока в рамке P . Правило, определяющее направление э. д. с. индукции, было сформулировано в 1833 г. Э.X. Ленцем (1804–1865): индукционный ток направлен так,
что создаваемое им поле препятствует изменению магнитного потока. Иначе говоря,
направление возникающего в контуре тока составляет с направлением изменения потока магнитной индукции левовинтовую систему (рис. 12.5). В 1845 г. Ф.Э. Нейман (1798–1895)
дал математическое определение закона электромагнитной индукции в современной форме:
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.18)
причем контур считается неподвижным.
Физическая сущность явления.
По внешнему виду формула (12.18) полностью сов- падает с (12.9), но физическое содержание ее совершенно иное. Возникновение э. д. с, учи- тываемое формулой (12.9), связано с действием силы Лоренца на движущиеся заряды. В
возникновении э. д. с., учитываемой формулой (12.18), никакая сила Лоренца не участ- вует, поскольку проводники неподвижны. Однако в проводнике возникает электрический ток, поэтому можно заключить, что в нем имеется электрическое поле. Следовательно,
закон Фарадея (12.18) выражает новое физическое явление: изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле. Таким образом, электрическое поле порождается не только электрическими зарядами, но и изменяющимся магнитным полем.
Строго говоря, наличие тока в замкнутом проводнике показывает, что электрическое поле имеется лишь внутри проводника. Однако проводник в данном случае играет роль устройства для обнаружения электрического поля. При отсутствии проводника изменя- ющееся магнитное поле также порождает электрическое поле. Это можно показать, на- пример, тем, что на заряд в изменяющемся магнитном поле действует электрическая сила
(см. § 56). Это доказывает, что электромагнитная индукция является всеобщим фундамен- тальным законом природы, устанавливающим связь между электрическими и магнитны- ми полями. Различное физическое содержание описываемых формулами (12.9) и (12.18)
явлений очевидно из такого примера. Предположим, что проводник DG на рис. 12.1 дви- жется со скоростью v, но одновременно магнитная индукция B уменьшается. Вследствие движения проводника в замкнутом контуре появляется э. д. с. индукции, которая вызыва- ет ток (рис. 12.1). Изменение B по закону электромагнитной индукции Фарадея вызывает в контуре также э. д. с. индукции, которая в данном случае направлена противоположно той, которая возникает в результате движения участка проводника DG. Можно подобрать такую скорость изменения B(∂
B/∂t), что эти две э. д. с. будут взаимно компенсировать- ся. В результате в замкнутом контуре не будет тока, потому что полная э. д. с. индукции равна нулю. Однако эта взаимная компенсация э. д. с. индукции происходит в замкну- том контуре в целом, а не в каждой точке контура. Э. д. с. индукции за счет движения проводника возникает только на участке DG, а э. д. с. индукции Фарадея возникает как на участке DG, так и на остальных участках проводника DC, CA и AG. В результате движения на элементе проводника d
` возникает э. д. с. индукции, зависящая только от B
и скорости v движения этого элемента, но не зависящая от ∂
B/∂t. В результате измене- ния индукции на элементе проводника d
` появляется э. д. с. индукции Фарадея, которая не зависит от индукции B и скорости v движения этого элемента, а зависит только от
∂
B/∂t. Это и доказывает, что физическая природа э. д. с. индукции в этих двух случаях различна.
109
12.2.1
Движущийся проводник в переменном магнитном поле
Рис. 12.6
Если замкнутый проводник движется в переменном магнитном поле, испытывая при этом произвольные деформации формы,
то э. д. с. индукции в нем возникает как за счет движения и де- формации, учитываемой формулой (12.9), так и в результате из- менения индукции магнитного поля, учитываемого аналогичной формулой (12.18). Поэтому можно сказать, что э. д. с. индук- ции в проводнике определяется формулой (12.18), причем под dΦ/dt понимается полная скорость изменения потока индукции,
охватываемого проводником, как за счет его движения и дефор- мации, так и в результате изменения магнитного поля. В связи с этим закон (12.18) можно представить в таком виде:
E
i
=
I
Ed
` = −
∂Φ
∂t
+
I
h
v
B
i d
` .
(12.19)
Применение электромагнитной индукции к генераторам переменного тока.
Те- перь ясно, почему электрический ток можно генерировать не только движением провод- ников в магнитном поле, но и движением магнитов при неподвижных проводниках. На рис. 12.6 изображена схема демонстрации электромагнитной индукции.
12.3
Дифференциальная формулировка закона электро- магнитной индукции
Дается дифференциальная формулировка закона электромагнитной индукции.
Формулировка. Запишем закон электромагнитной индукции Фарадея [см. (12.18)] в виде
I
L
E · dl = −
d dt
Z
S
B · d
S,
(12.20)
где L — контур, S — поверхность, натянутая на контур L. В (12.20) учтены определения:
E
i
=
Z
L
E · dl,
Φ =
Z
S
B · d
S .
(12.21)
Заметим, что между направлением обхода контура L вектором dS соблюдается правовин- товое соотношение. Необходимо также обратить внимание на то, что в определении потока индукции Φ [см. (12.21)] поверхность S, сквозь которую вычисляется поток, является про- извольной, натянутой на контур L поверхностью. Такое, определение предполагает, что этот интеграл не зависит от формы поверхности, важно лишь, чтобы поверхность была ограничена контуром L или, как говорят, натянута на контур L. Докажем это. Выберем две какие либо поверхности S
1
и S
2
, натянутые на контур L. Их совокупность составляет замкнутую поверхность S = S
1
+ S
2
, ограничивающую некоторый объем V между ними.
Поток вектора B сквозь замкнутую поверхность S равен нулю, поскольку по теореме Гаус- са – Остроградского он равен интегралу по объему V , ограниченному поверхностью S, от divB = 0. Из этого следует утверждение о равенстве потоков через S
1
и S
2
(знаки пото- ков одинаковы при одинаковой относительно направления обхода контура ориентировке положительных нормалей к этим поверхностям).
110
Преобразуем левую часть (12.20) по формуле Стокса:
Z
L
E · d
` =
Z
S
rot
E · d
S .
(12.22)
В результате получаем
Z
L
rot
E · d
S = −
Z
S
∂
B
∂t
· d
S ,
(12.23)
причем производная по t внесена под знак интеграла на том основании, что площадь интегрирования не зависит от времени. Так как S произвольна, то из (12.23) следует, что rot
E = −
∂
B
∂t
(12.24)
Уравнение (12.24) является дифференциальной записью закона электромагнитной индукции Фарадея. Оно описывает закон порождения электрического поля в некото- рой точке за счет изменения индукции магнитного поля в той же точке. Поле E часто называют индукционным.
12.3.1
Непотенциальность индукционного электрического поля
В переменном магнитном поле
∂
B
∂t
6= 0 и, следовательно, в соответствии с (12.24)
rot
E 6= 0.
(12.25)
Это означает, что индукционное электрическое поле в отличие от электростатического,
порождаемого неподвижными зарядами, не является потенциальным. Работа перемеще- ния заряда q в нем по замкнутому контуру, вообще говоря, не равна нулю:
A = qE
i
= q
Z
L
E · d
` .
(12.26)
Отсюда, в частности, следует, что это поле не может быть представлено в виде гради- ента от некоторой функции, т. е. не может быть представлено в виде (14.27). Необходимо использовать отличное от [(14.27), т.е.
E = −gradϕ] представление.
12.4
Самоиндукция. Индуктивность соленоида
Рассмотрим еще несколько примеров проявления электромагнитной индукции. Электри- ческий ток в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле. Магнитная индук- ция этого поля по закону Био-Савара-Лапласа пропорциональна силе тока. Следователь- но, создаваемый контуром и проходящий через контур магнитный поток, пропорциональ- ный магнитной индукции, также пропорционален силе тока:
Φ = LI,
(12.27)
где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура или коэффициентом самоиндукции.
111
При изменении силы тока в контуре будет изменяться и магнитный поток, поэтому в контуре будет индуцироваться ЭДС самоиндукции, обусловленная изменением собствен- ного магнитного поля:
E
s
= −
dΦ
dt
= −
d dt
(LI) .
(12.28)
Если при изменении тока индуктивность L остается постоянной (не меняется конфигура- ция контура и нет ферромагнетиков), то
E
s
= −L
dI
dt
(L = const).
(12.29)
Знак “минус” в соответствии с правилом Ленца показывает, что наличие индуктив- ности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем. Если ток в контуре возрастает, то ток самоиндукции тормозит это возрастание. Если ток в контуре убывает,
то ток самоиндукции замедляет это убывание. Таким образом, индуктивность придает электрической цепи электрическую инертность – по аналогии с тем, что масса придает телу механическую инертность.
Единица индуктивности в системе СИ – генри (Гн). 1 Гн = 1 Вб/А = 1 В · с/А.
В случаях, когда нужна катушка с весьма малой индуктивностью, применяют бифи- лярные обмотки. Чтобы получить бифилярную обмотку, проволоку складывают вдвое и наматывают на каркас катушки. При такой намотке ток в двух соседних витках имеет противоположные направления, и суммарный магнитный поток в катушке близок к нулю.
Рассмотрим катушку из N последовательных витков. Если в одном витке катушки наводится ЭДС самоиндукции E
s
, то наводимая во всей катушке ЭДС самоиндукции определяется правилом сложения ЭДС при последовательном соединении и будет в N раз больше:
E
N
= N E
s
= −N
dΦ
dt
= −
d (ΦN )
dt
= −
dψ
dt
(12.30)
Здесь введено понятие потокосцепления
ψ = ΦN .
(12.31)
Сопоставляя выражения (12.28) и (12.30), получим:
ψ = LI.
(12.32)
Рассчитаем для примера индуктивность соленоида с числом витков на единицу длины n = N/`. Потокосцепление соленоида с учетом формулы (22.22) для магнитной индукции внутри соленоида B = µ
0
µnI равно:
ψ = ΦN = µ
0
µn
2
IS` = µ
0
µn
2
V I = LI .
(12.33)
Из последнего равенства получаем индуктивность соленоида:
L = µ
0
µn
2
V .
(12.34)
Здесь V = S` – объем соленоида.
Семь записанных выше уравнений составляют основу электродинамики.
112
Глава 13
Электромагнитные волны
13.1
Уравнения Максвелла
13.1.1
Электромагнитное поле. Ток смещения. Уравнения Макс- велла в интегральной форме
Из опыта и частных законов видно, что магнитное поле связано с электрическим, элек- трическое поле — с магнитным, и оба они определяются расположением и перемещением зарядов. В результате вместо отдельных электрического и магнитного полей в электроди- намике принято говорить о едином электромагнитном поле. Наиболее полно и в обобщен- ном виде эти связи представлены в четырех уравнениях Максвелла, сформулированных в 1861–1865 годах. Теория Максвелла — макроскопическая теория, в которой рассмат- риваются макроскопические поля макроскопических зарядов и токов, пространственная протяженность которых много больше размеров молекул.
Выпишем сначала уравнения Максвелла в интегральной форме. Отметим, что порядок нумерации уравнений может быть произвольным.
Первое уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (1.32) для электрического поля:
I
D
n dS =
X
i q
i
Второе уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (9.15) для магнитного поля, опираю- щаяся на отсутствие магнитных зарядов:
I
B
n dS = 0 .
Третье уравнение следует из основного закона электромагнитной индукции (24.4):
E
i
= −
dΦ
dt
Максвелл предположил, что любое переменное магнитное поле возбуждает в пространстве электрическое поле, проявляющееся в индукционном токе в проводниках. При этом ЭДС
индукции E
i определяется циркуляцией вектора напряженности вихревого электрическо- го поля
H E
`
d`. Таким образом, окончательно с учетом определения магнитного потока третье уравнение Максвелла имеет вид:
I
E
`
d` = −
d dt
Z
B
n dS .
(13.1)
113
Четвертое уравнение Максвелла – это обобщение теоремы о циркуляции (9.16) вектора на- пряженности магнитного поля:
H H
`
d` =
P
i
I
i
. Максвелл предположил, что если перемен- ное магнитное поле возбуждает в пространстве вихревое электрическое поле, то должен существовать и аналогичный эффект для электрического поля: изменение электрическо- го поля должно вызывать вихревое магнитное поле. Для этого он ввел понятие тока смещения. В интеграле теоремы о циркуляции справа необходимо учесть помимо токов проводимости иные токи, приводящие к изменению напряженности магнитного поля.
Для примера применим теорему о циркуляции к магнитному полю, созданному пере- менным электрическим током, перезаряжающим конденсатор. По Максвеллу в непрово- дящем промежутке конденсатора протекает ток смещения. При этом переменное электри- ческое поле создает соответствующее току смещения магнитное поле. Найдем этот ток:
I
см
=
dQ
dt
=
d dt
Z
σdS =
Z
dσ
dt dS =
Z
dD
dt dS .
(13.2)
Здесь использовано, что вблизи проводника вектор электрического смещения в соответ- ствии с (18.2) равен: D = σ. Сравнивая (13.2) со связью плотности тока и силы тока
I
см
=
R j см dS, получим для плотности тока смещения:
j см
=
dD
dt
(13.3)
В общем случае, когда площадка не перпендикулярна вектору электрического смещения,
ток смещения определяется нормальной составляющей вектора электрического смещения,
и из (13.2) имеем:
I
см
=
Z
dD
n dt dS .
(13.4)
Добавив в обобщение теоремы о циркуляции к току проводимости
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
б)
в)
Рис. 12.3. Схема генератора переменного тока.
Простейшая схема генератора переменного тока изображена на рис. 12.3,а. Если маг- нитное поле однородно, а рамка вращается в нем с постоянной угловой скоростью, то возникающая в рамке E
i является гармонической электродвижущей силой, частота кото- рой равна частоте вращения рамки в магнитном поле. В замкнутом контуре возникает переменный ток соответствующей частоты (рис. 12.3,б).
Если вместо одного витка в магнитном поле движутся два параллельных последова- тельно соединенных витка, то электродвижущая сила индукции возрастает в два раза.
Поэтому при практическом осуществлении генераторов используются намотки из многих витков. Вопросы о наиболее целесообразном осуществлении намоток, о создании магнит- ного поля, о снятии тока с движущихся обмоток и т. д. подробно рассматриваются в элек- тротехнике. Отметим лишь, что снятие тока с движущихся проводников при большой силе тока является не простой задачей. Поэтому часто вместо движения проводников с током осуществляют движение источников магнитного поля при неподвижных проводниках. В
простейшей схеме (рис. 12.3,в) это означает движение постоянных магнитов вокруг непо- движной рамки с током . В неподвижной рамке при этом возбуждается электродвижущая сила индукции. Количественно эта э. д. с. индукции при одинаковых относительных ско- ростях магнитов и рамки одна и та же. Однако физическая сущность происходящих при этом явлений в этих двух случаях различна (см. § 45).
Первыми генераторами были машины с постоянными магнитами, но уже в 1866 г. был сконструирован генератор, в котором магнитное поле создавалось электромагнитом. По- сле этого конструкция генераторов быстро совершенствовалась.
107
3акон сохранения энергии.
При прохождении тока по цепи с омическим сопротивле- нием выделяется джоулева теплота. Энергия, выделяемая в форме теплоты, получается в результате работы механических сил в генераторе электрического тока. При перехо- де энергии из одной формы в другую соблюдается, конечно, закон сохранения энергии.
Проследим за этим на простейшем примере (рис. 12.1).
Пусть R – сопротивление в контуре AGDCA, а I — сила тока в цепи. Следовательно,
в цепи током в форме теплоты выделяется энергия с мощностью
P
1
= I
2
R .
(12.15)
С другой стороны, при движении участка проводника DG с током силой I необходимо преодолевать силу Ампера
F = I`B .
(12.16)
Следовательно, силы, осуществляющие движение проводника, должны развивать мощ- ность
P
2
= F v = I`Bdx/dt = −IE
i
= −I
2
R ,
(12.17)
где учтена формула (12.9) и принято во внимание, что E
i
= IR. Знак минус в (12.17)
показывает, что работа производится над системой.
Сравнение (12.15) и (12.17) показывает, что P
1
+ P
2
= 0. Это означает, что энергия,
выделяемая в форме теплоты, в контуре равна работе сил, приводящих проводник в движение, т. е. сторонними электродвижущими силами в данном случае в конечном счете являются механические силы, осуществляющие движение проводника.
12.2
Закон электромагнитной индукции Фарадея
Обсуждаются физическая сущность и математическая формулировка закона электро- магнитной индукции Фарадея. Анализируется соотношение между электромагнитной индукцией Фарадея и индукцией тока в движущихся проводниках.
Определение.
В 1831 г. Фарадей экспериментально открыл явление электромагнитной индукции, состоящее в возникновении электрического тока в замкнутом проводнике при изменении потока магнитной индукции, охватываемого контуром. Фарадей обнаружил,
что индукционный ток можно вызвать двумя различными способами. Дальнейшее пояс- няет рис. 12.4,где изображены катушка K с током I (она создает магнитное поле) и рамка
P с гальванометром Γ — индикатором индукционного тока.
Рис. 12.4
Рис. 12.5 1-й способ — перемещение рамки P (или отдельных ее частей) в поле неподвижной катушки K.
2-й способ — рамка P неподвижна, но изменяется магнитное поле — или за счет дви- жения катушки K , или вследствие изменения силы тока I в ней, или в результате того
108
и другого вместе. Во всех этих случаях гальванометр Γ будет показывать наличие индук- ционного тока в рамке P . Правило, определяющее направление э. д. с. индукции, было сформулировано в 1833 г. Э.X. Ленцем (1804–1865): индукционный ток направлен так,
что создаваемое им поле препятствует изменению магнитного потока. Иначе говоря,
направление возникающего в контуре тока составляет с направлением изменения потока магнитной индукции левовинтовую систему (рис. 12.5). В 1845 г. Ф.Э. Нейман (1798–1895)
дал математическое определение закона электромагнитной индукции в современной форме:
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.18)
причем контур считается неподвижным.
Физическая сущность явления.
По внешнему виду формула (12.18) полностью сов- падает с (12.9), но физическое содержание ее совершенно иное. Возникновение э. д. с, учи- тываемое формулой (12.9), связано с действием силы Лоренца на движущиеся заряды. В
возникновении э. д. с., учитываемой формулой (12.18), никакая сила Лоренца не участ- вует, поскольку проводники неподвижны. Однако в проводнике возникает электрический ток, поэтому можно заключить, что в нем имеется электрическое поле. Следовательно,
закон Фарадея (12.18) выражает новое физическое явление: изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле. Таким образом, электрическое поле порождается не только электрическими зарядами, но и изменяющимся магнитным полем.
Строго говоря, наличие тока в замкнутом проводнике показывает, что электрическое поле имеется лишь внутри проводника. Однако проводник в данном случае играет роль устройства для обнаружения электрического поля. При отсутствии проводника изменя- ющееся магнитное поле также порождает электрическое поле. Это можно показать, на- пример, тем, что на заряд в изменяющемся магнитном поле действует электрическая сила
(см. § 56). Это доказывает, что электромагнитная индукция является всеобщим фундамен- тальным законом природы, устанавливающим связь между электрическими и магнитны- ми полями. Различное физическое содержание описываемых формулами (12.9) и (12.18)
явлений очевидно из такого примера. Предположим, что проводник DG на рис. 12.1 дви- жется со скоростью v, но одновременно магнитная индукция B уменьшается. Вследствие движения проводника в замкнутом контуре появляется э. д. с. индукции, которая вызыва- ет ток (рис. 12.1). Изменение B по закону электромагнитной индукции Фарадея вызывает в контуре также э. д. с. индукции, которая в данном случае направлена противоположно той, которая возникает в результате движения участка проводника DG. Можно подобрать такую скорость изменения B(∂
B/∂t), что эти две э. д. с. будут взаимно компенсировать- ся. В результате в замкнутом контуре не будет тока, потому что полная э. д. с. индукции равна нулю. Однако эта взаимная компенсация э. д. с. индукции происходит в замкну- том контуре в целом, а не в каждой точке контура. Э. д. с. индукции за счет движения проводника возникает только на участке DG, а э. д. с. индукции Фарадея возникает как на участке DG, так и на остальных участках проводника DC, CA и AG. В результате движения на элементе проводника d
` возникает э. д. с. индукции, зависящая только от B
и скорости v движения этого элемента, но не зависящая от ∂
B/∂t. В результате измене- ния индукции на элементе проводника d
` появляется э. д. с. индукции Фарадея, которая не зависит от индукции B и скорости v движения этого элемента, а зависит только от
∂
B/∂t. Это и доказывает, что физическая природа э. д. с. индукции в этих двух случаях различна.
109
12.2.1
Движущийся проводник в переменном магнитном поле
Рис. 12.6
Если замкнутый проводник движется в переменном магнитном поле, испытывая при этом произвольные деформации формы,
то э. д. с. индукции в нем возникает как за счет движения и де- формации, учитываемой формулой (12.9), так и в результате из- менения индукции магнитного поля, учитываемого аналогичной формулой (12.18). Поэтому можно сказать, что э. д. с. индук- ции в проводнике определяется формулой (12.18), причем под dΦ/dt понимается полная скорость изменения потока индукции,
охватываемого проводником, как за счет его движения и дефор- мации, так и в результате изменения магнитного поля. В связи с этим закон (12.18) можно представить в таком виде:
E
i
=
I
Ed
` = −
∂Φ
∂t
+
I
h
v
B
i d
` .
(12.19)
Применение электромагнитной индукции к генераторам переменного тока.
Те- перь ясно, почему электрический ток можно генерировать не только движением провод- ников в магнитном поле, но и движением магнитов при неподвижных проводниках. На рис. 12.6 изображена схема демонстрации электромагнитной индукции.
12.3
Дифференциальная формулировка закона электро- магнитной индукции
Дается дифференциальная формулировка закона электромагнитной индукции.
Формулировка. Запишем закон электромагнитной индукции Фарадея [см. (12.18)] в виде
I
L
E · dl = −
d dt
Z
S
B · d
S,
(12.20)
где L — контур, S — поверхность, натянутая на контур L. В (12.20) учтены определения:
E
i
=
Z
L
E · dl,
Φ =
Z
S
B · d
S .
(12.21)
Заметим, что между направлением обхода контура L вектором dS соблюдается правовин- товое соотношение. Необходимо также обратить внимание на то, что в определении потока индукции Φ [см. (12.21)] поверхность S, сквозь которую вычисляется поток, является про- извольной, натянутой на контур L поверхностью. Такое, определение предполагает, что этот интеграл не зависит от формы поверхности, важно лишь, чтобы поверхность была ограничена контуром L или, как говорят, натянута на контур L. Докажем это. Выберем две какие либо поверхности S
1
и S
2
, натянутые на контур L. Их совокупность составляет замкнутую поверхность S = S
1
+ S
2
, ограничивающую некоторый объем V между ними.
Поток вектора B сквозь замкнутую поверхность S равен нулю, поскольку по теореме Гаус- са – Остроградского он равен интегралу по объему V , ограниченному поверхностью S, от divB = 0. Из этого следует утверждение о равенстве потоков через S
1
и S
2
(знаки пото- ков одинаковы при одинаковой относительно направления обхода контура ориентировке положительных нормалей к этим поверхностям).
110
Преобразуем левую часть (12.20) по формуле Стокса:
Z
L
E · d
` =
Z
S
rot
E · d
S .
(12.22)
В результате получаем
Z
L
rot
E · d
S = −
Z
S
∂
B
∂t
· d
S ,
(12.23)
причем производная по t внесена под знак интеграла на том основании, что площадь интегрирования не зависит от времени. Так как S произвольна, то из (12.23) следует, что rot
E = −
∂
B
∂t
(12.24)
Уравнение (12.24) является дифференциальной записью закона электромагнитной индукции Фарадея. Оно описывает закон порождения электрического поля в некото- рой точке за счет изменения индукции магнитного поля в той же точке. Поле E часто называют индукционным.
12.3.1
Непотенциальность индукционного электрического поля
В переменном магнитном поле
∂
B
∂t
6= 0 и, следовательно, в соответствии с (12.24)
rot
E 6= 0.
(12.25)
Это означает, что индукционное электрическое поле в отличие от электростатического,
порождаемого неподвижными зарядами, не является потенциальным. Работа перемеще- ния заряда q в нем по замкнутому контуру, вообще говоря, не равна нулю:
A = qE
i
= q
Z
L
E · d
` .
(12.26)
Отсюда, в частности, следует, что это поле не может быть представлено в виде гради- ента от некоторой функции, т. е. не может быть представлено в виде (14.27). Необходимо использовать отличное от [(14.27), т.е.
E = −gradϕ] представление.
12.4
Самоиндукция. Индуктивность соленоида
Рассмотрим еще несколько примеров проявления электромагнитной индукции. Электри- ческий ток в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле. Магнитная индук- ция этого поля по закону Био-Савара-Лапласа пропорциональна силе тока. Следователь- но, создаваемый контуром и проходящий через контур магнитный поток, пропорциональ- ный магнитной индукции, также пропорционален силе тока:
Φ = LI,
(12.27)
где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура или коэффициентом самоиндукции.
111
При изменении силы тока в контуре будет изменяться и магнитный поток, поэтому в контуре будет индуцироваться ЭДС самоиндукции, обусловленная изменением собствен- ного магнитного поля:
E
s
= −
dΦ
dt
= −
d dt
(LI) .
(12.28)
Если при изменении тока индуктивность L остается постоянной (не меняется конфигура- ция контура и нет ферромагнетиков), то
E
s
= −L
dI
dt
(L = const).
(12.29)
Знак “минус” в соответствии с правилом Ленца показывает, что наличие индуктив- ности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем. Если ток в контуре возрастает, то ток самоиндукции тормозит это возрастание. Если ток в контуре убывает,
то ток самоиндукции замедляет это убывание. Таким образом, индуктивность придает электрической цепи электрическую инертность – по аналогии с тем, что масса придает телу механическую инертность.
Единица индуктивности в системе СИ – генри (Гн). 1 Гн = 1 Вб/А = 1 В · с/А.
В случаях, когда нужна катушка с весьма малой индуктивностью, применяют бифи- лярные обмотки. Чтобы получить бифилярную обмотку, проволоку складывают вдвое и наматывают на каркас катушки. При такой намотке ток в двух соседних витках имеет противоположные направления, и суммарный магнитный поток в катушке близок к нулю.
Рассмотрим катушку из N последовательных витков. Если в одном витке катушки наводится ЭДС самоиндукции E
s
, то наводимая во всей катушке ЭДС самоиндукции определяется правилом сложения ЭДС при последовательном соединении и будет в N раз больше:
E
N
= N E
s
= −N
dΦ
dt
= −
d (ΦN )
dt
= −
dψ
dt
(12.30)
Здесь введено понятие потокосцепления
ψ = ΦN .
(12.31)
Сопоставляя выражения (12.28) и (12.30), получим:
ψ = LI.
(12.32)
Рассчитаем для примера индуктивность соленоида с числом витков на единицу длины n = N/`. Потокосцепление соленоида с учетом формулы (22.22) для магнитной индукции внутри соленоида B = µ
0
µnI равно:
ψ = ΦN = µ
0
µn
2
IS` = µ
0
µn
2
V I = LI .
(12.33)
Из последнего равенства получаем индуктивность соленоида:
L = µ
0
µn
2
V .
(12.34)
Здесь V = S` – объем соленоида.
Семь записанных выше уравнений составляют основу электродинамики.
112
Глава 13
Электромагнитные волны
13.1
Уравнения Максвелла
13.1.1
Электромагнитное поле. Ток смещения. Уравнения Макс- велла в интегральной форме
Из опыта и частных законов видно, что магнитное поле связано с электрическим, элек- трическое поле — с магнитным, и оба они определяются расположением и перемещением зарядов. В результате вместо отдельных электрического и магнитного полей в электроди- намике принято говорить о едином электромагнитном поле. Наиболее полно и в обобщен- ном виде эти связи представлены в четырех уравнениях Максвелла, сформулированных в 1861–1865 годах. Теория Максвелла — макроскопическая теория, в которой рассмат- риваются макроскопические поля макроскопических зарядов и токов, пространственная протяженность которых много больше размеров молекул.
Выпишем сначала уравнения Максвелла в интегральной форме. Отметим, что порядок нумерации уравнений может быть произвольным.
Первое уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (1.32) для электрического поля:
I
D
n dS =
X
i q
i
Второе уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (9.15) для магнитного поля, опираю- щаяся на отсутствие магнитных зарядов:
I
B
n dS = 0 .
Третье уравнение следует из основного закона электромагнитной индукции (24.4):
E
i
= −
dΦ
dt
Максвелл предположил, что любое переменное магнитное поле возбуждает в пространстве электрическое поле, проявляющееся в индукционном токе в проводниках. При этом ЭДС
индукции E
i определяется циркуляцией вектора напряженности вихревого электрическо- го поля
H E
`
d`. Таким образом, окончательно с учетом определения магнитного потока третье уравнение Максвелла имеет вид:
I
E
`
d` = −
d dt
Z
B
n dS .
(13.1)
113
Четвертое уравнение Максвелла – это обобщение теоремы о циркуляции (9.16) вектора на- пряженности магнитного поля:
H H
`
d` =
P
i
I
i
. Максвелл предположил, что если перемен- ное магнитное поле возбуждает в пространстве вихревое электрическое поле, то должен существовать и аналогичный эффект для электрического поля: изменение электрическо- го поля должно вызывать вихревое магнитное поле. Для этого он ввел понятие тока смещения. В интеграле теоремы о циркуляции справа необходимо учесть помимо токов проводимости иные токи, приводящие к изменению напряженности магнитного поля.
Для примера применим теорему о циркуляции к магнитному полю, созданному пере- менным электрическим током, перезаряжающим конденсатор. По Максвеллу в непрово- дящем промежутке конденсатора протекает ток смещения. При этом переменное электри- ческое поле создает соответствующее току смещения магнитное поле. Найдем этот ток:
I
см
=
dQ
dt
=
d dt
Z
σdS =
Z
dσ
dt dS =
Z
dD
dt dS .
(13.2)
Здесь использовано, что вблизи проводника вектор электрического смещения в соответ- ствии с (18.2) равен: D = σ. Сравнивая (13.2) со связью плотности тока и силы тока
I
см
=
R j см dS, получим для плотности тока смещения:
j см
=
dD
dt
(13.3)
В общем случае, когда площадка не перпендикулярна вектору электрического смещения,
ток смещения определяется нормальной составляющей вектора электрического смещения,
и из (13.2) имеем:
I
см
=
Z
dD
n dt dS .
(13.4)
Добавив в обобщение теоремы о циркуляции к току проводимости
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
3акон сохранения энергии.
При прохождении тока по цепи с омическим сопротивле- нием выделяется джоулева теплота. Энергия, выделяемая в форме теплоты, получается в результате работы механических сил в генераторе электрического тока. При перехо- де энергии из одной формы в другую соблюдается, конечно, закон сохранения энергии.
Проследим за этим на простейшем примере (рис. 12.1).
Пусть R – сопротивление в контуре AGDCA, а I — сила тока в цепи. Следовательно,
в цепи током в форме теплоты выделяется энергия с мощностью
P
1
= I
2
R .
(12.15)
С другой стороны, при движении участка проводника DG с током силой I необходимо преодолевать силу Ампера
F = I`B .
(12.16)
Следовательно, силы, осуществляющие движение проводника, должны развивать мощ- ность
P
2
= F v = I`Bdx/dt = −IE
i
= −I
2
R ,
(12.17)
где учтена формула (12.9) и принято во внимание, что E
i
= IR. Знак минус в (12.17)
показывает, что работа производится над системой.
Сравнение (12.15) и (12.17) показывает, что P
1
+ P
2
= 0. Это означает, что энергия,
выделяемая в форме теплоты, в контуре равна работе сил, приводящих проводник в движение, т. е. сторонними электродвижущими силами в данном случае в конечном счете являются механические силы, осуществляющие движение проводника.
12.2
Закон электромагнитной индукции Фарадея
Обсуждаются физическая сущность и математическая формулировка закона электро- магнитной индукции Фарадея. Анализируется соотношение между электромагнитной индукцией Фарадея и индукцией тока в движущихся проводниках.
Определение.
В 1831 г. Фарадей экспериментально открыл явление электромагнитной индукции, состоящее в возникновении электрического тока в замкнутом проводнике при изменении потока магнитной индукции, охватываемого контуром. Фарадей обнаружил,
что индукционный ток можно вызвать двумя различными способами. Дальнейшее пояс- няет рис. 12.4,где изображены катушка K с током I (она создает магнитное поле) и рамка
P с гальванометром Γ — индикатором индукционного тока.
Рис. 12.4
Рис. 12.5 1-й способ — перемещение рамки P (или отдельных ее частей) в поле неподвижной катушки K.
2-й способ — рамка P неподвижна, но изменяется магнитное поле — или за счет дви- жения катушки K , или вследствие изменения силы тока I в ней, или в результате того
108
что создаваемое им поле препятствует изменению магнитного потока. Иначе говоря,
направление возникающего в контуре тока составляет с направлением изменения потока магнитной индукции левовинтовую систему (рис. 12.5). В 1845 г. Ф.Э. Нейман (1798–1895)
дал математическое определение закона электромагнитной индукции в современной форме:
E
i
= −
dΦ
dt
,
(12.18)
причем контур считается неподвижным.
Физическая сущность явления.
По внешнему виду формула (12.18) полностью сов- падает с (12.9), но физическое содержание ее совершенно иное. Возникновение э. д. с, учи- тываемое формулой (12.9), связано с действием силы Лоренца на движущиеся заряды. В
возникновении э. д. с., учитываемой формулой (12.18), никакая сила Лоренца не участ- вует, поскольку проводники неподвижны. Однако в проводнике возникает электрический ток, поэтому можно заключить, что в нем имеется электрическое поле. Следовательно,
закон Фарадея (12.18) выражает новое физическое явление: изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле. Таким образом, электрическое поле порождается не только электрическими зарядами, но и изменяющимся магнитным полем.
Строго говоря, наличие тока в замкнутом проводнике показывает, что электрическое поле имеется лишь внутри проводника. Однако проводник в данном случае играет роль устройства для обнаружения электрического поля. При отсутствии проводника изменя- ющееся магнитное поле также порождает электрическое поле. Это можно показать, на- пример, тем, что на заряд в изменяющемся магнитном поле действует электрическая сила
(см. § 56). Это доказывает, что электромагнитная индукция является всеобщим фундамен- тальным законом природы, устанавливающим связь между электрическими и магнитны- ми полями. Различное физическое содержание описываемых формулами (12.9) и (12.18)
явлений очевидно из такого примера. Предположим, что проводник DG на рис. 12.1 дви- жется со скоростью v, но одновременно магнитная индукция B уменьшается. Вследствие движения проводника в замкнутом контуре появляется э. д. с. индукции, которая вызыва- ет ток (рис. 12.1). Изменение B по закону электромагнитной индукции Фарадея вызывает в контуре также э. д. с. индукции, которая в данном случае направлена противоположно той, которая возникает в результате движения участка проводника DG. Можно подобрать такую скорость изменения B(∂
B/∂t), что эти две э. д. с. будут взаимно компенсировать- ся. В результате в замкнутом контуре не будет тока, потому что полная э. д. с. индукции равна нулю. Однако эта взаимная компенсация э. д. с. индукции происходит в замкну- том контуре в целом, а не в каждой точке контура. Э. д. с. индукции за счет движения проводника возникает только на участке DG, а э. д. с. индукции Фарадея возникает как на участке DG, так и на остальных участках проводника DC, CA и AG. В результате движения на элементе проводника d
` возникает э. д. с. индукции, зависящая только от B
и скорости v движения этого элемента, но не зависящая от ∂
B/∂t. В результате измене- ния индукции на элементе проводника d
` появляется э. д. с. индукции Фарадея, которая не зависит от индукции B и скорости v движения этого элемента, а зависит только от
∂
B/∂t. Это и доказывает, что физическая природа э. д. с. индукции в этих двух случаях различна.
109
12.2.1
Движущийся проводник в переменном магнитном поле
Рис. 12.6
Если замкнутый проводник движется в переменном магнитном поле, испытывая при этом произвольные деформации формы,
то э. д. с. индукции в нем возникает как за счет движения и де- формации, учитываемой формулой (12.9), так и в результате из- менения индукции магнитного поля, учитываемого аналогичной формулой (12.18). Поэтому можно сказать, что э. д. с. индук- ции в проводнике определяется формулой (12.18), причем под dΦ/dt понимается полная скорость изменения потока индукции,
охватываемого проводником, как за счет его движения и дефор- мации, так и в результате изменения магнитного поля. В связи с этим закон (12.18) можно представить в таком виде:
E
i
=
I
Ed
` = −
∂Φ
∂t
+
I
h
v
B
i d
` .
(12.19)
Применение электромагнитной индукции к генераторам переменного тока.
Те- перь ясно, почему электрический ток можно генерировать не только движением провод- ников в магнитном поле, но и движением магнитов при неподвижных проводниках. На рис. 12.6 изображена схема демонстрации электромагнитной индукции.
12.3
Дифференциальная формулировка закона электро- магнитной индукции
Дается дифференциальная формулировка закона электромагнитной индукции.
Формулировка. Запишем закон электромагнитной индукции Фарадея [см. (12.18)] в виде
I
L
E · dl = −
d dt
Z
S
B · d
S,
(12.20)
где L — контур, S — поверхность, натянутая на контур L. В (12.20) учтены определения:
E
i
=
Z
L
E · dl,
Φ =
Z
S
B · d
S .
(12.21)
Заметим, что между направлением обхода контура L вектором dS соблюдается правовин- товое соотношение. Необходимо также обратить внимание на то, что в определении потока индукции Φ [см. (12.21)] поверхность S, сквозь которую вычисляется поток, является про- извольной, натянутой на контур L поверхностью. Такое, определение предполагает, что этот интеграл не зависит от формы поверхности, важно лишь, чтобы поверхность была ограничена контуром L или, как говорят, натянута на контур L. Докажем это. Выберем две какие либо поверхности S
1
и S
2
, натянутые на контур L. Их совокупность составляет замкнутую поверхность S = S
1
+ S
2
, ограничивающую некоторый объем V между ними.
Поток вектора B сквозь замкнутую поверхность S равен нулю, поскольку по теореме Гаус- са – Остроградского он равен интегралу по объему V , ограниченному поверхностью S, от divB = 0. Из этого следует утверждение о равенстве потоков через S
1
и S
2
(знаки пото- ков одинаковы при одинаковой относительно направления обхода контура ориентировке положительных нормалей к этим поверхностям).
110
Преобразуем левую часть (12.20) по формуле Стокса:
Z
L
E · d
` =
Z
S
rot
E · d
S .
(12.22)
В результате получаем
Z
L
rot
E · d
S = −
Z
S
∂
B
∂t
· d
S ,
(12.23)
причем производная по t внесена под знак интеграла на том основании, что площадь интегрирования не зависит от времени. Так как S произвольна, то из (12.23) следует, что rot
E = −
∂
B
∂t
(12.24)
Уравнение (12.24) является дифференциальной записью закона электромагнитной индукции Фарадея. Оно описывает закон порождения электрического поля в некото- рой точке за счет изменения индукции магнитного поля в той же точке. Поле E часто называют индукционным.
12.3.1
Непотенциальность индукционного электрического поля
В переменном магнитном поле
∂
B
∂t
6= 0 и, следовательно, в соответствии с (12.24)
rot
E 6= 0.
(12.25)
Это означает, что индукционное электрическое поле в отличие от электростатического,
порождаемого неподвижными зарядами, не является потенциальным. Работа перемеще- ния заряда q в нем по замкнутому контуру, вообще говоря, не равна нулю:
A = qE
i
= q
Z
L
E · d
` .
(12.26)
Отсюда, в частности, следует, что это поле не может быть представлено в виде гради- ента от некоторой функции, т. е. не может быть представлено в виде (14.27). Необходимо использовать отличное от [(14.27), т.е.
E = −gradϕ] представление.
12.4
Самоиндукция. Индуктивность соленоида
Рассмотрим еще несколько примеров проявления электромагнитной индукции. Электри- ческий ток в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле. Магнитная индук- ция этого поля по закону Био-Савара-Лапласа пропорциональна силе тока. Следователь- но, создаваемый контуром и проходящий через контур магнитный поток, пропорциональ- ный магнитной индукции, также пропорционален силе тока:
Φ = LI,
(12.27)
где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура или коэффициентом самоиндукции.
111
При изменении силы тока в контуре будет изменяться и магнитный поток, поэтому в контуре будет индуцироваться ЭДС самоиндукции, обусловленная изменением собствен- ного магнитного поля:
E
s
= −
dΦ
dt
= −
d dt
(LI) .
(12.28)
Если при изменении тока индуктивность L остается постоянной (не меняется конфигура- ция контура и нет ферромагнетиков), то
E
s
= −L
dI
dt
(L = const).
(12.29)
Знак “минус” в соответствии с правилом Ленца показывает, что наличие индуктив- ности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем. Если ток в контуре возрастает, то ток самоиндукции тормозит это возрастание. Если ток в контуре убывает,
то ток самоиндукции замедляет это убывание. Таким образом, индуктивность придает электрической цепи электрическую инертность – по аналогии с тем, что масса придает телу механическую инертность.
Единица индуктивности в системе СИ – генри (Гн). 1 Гн = 1 Вб/А = 1 В · с/А.
В случаях, когда нужна катушка с весьма малой индуктивностью, применяют бифи- лярные обмотки. Чтобы получить бифилярную обмотку, проволоку складывают вдвое и наматывают на каркас катушки. При такой намотке ток в двух соседних витках имеет противоположные направления, и суммарный магнитный поток в катушке близок к нулю.
Рассмотрим катушку из N последовательных витков. Если в одном витке катушки наводится ЭДС самоиндукции E
s
, то наводимая во всей катушке ЭДС самоиндукции определяется правилом сложения ЭДС при последовательном соединении и будет в N раз больше:
E
N
= N E
s
= −N
dΦ
dt
= −
d (ΦN )
dt
= −
dψ
dt
(12.30)
Здесь введено понятие потокосцепления
ψ = ΦN .
(12.31)
Сопоставляя выражения (12.28) и (12.30), получим:
ψ = LI.
(12.32)
Рассчитаем для примера индуктивность соленоида с числом витков на единицу длины n = N/`. Потокосцепление соленоида с учетом формулы (22.22) для магнитной индукции внутри соленоида B = µ
0
µnI равно:
ψ = ΦN = µ
0
µn
2
IS` = µ
0
µn
2
V I = LI .
(12.33)
Из последнего равенства получаем индуктивность соленоида:
L = µ
0
µn
2
V .
(12.34)
Здесь V = S` – объем соленоида.
Семь записанных выше уравнений составляют основу электродинамики.
112
Глава 13
Электромагнитные волны
13.1
Уравнения Максвелла
13.1.1
Электромагнитное поле. Ток смещения. Уравнения Макс- велла в интегральной форме
Из опыта и частных законов видно, что магнитное поле связано с электрическим, элек- трическое поле — с магнитным, и оба они определяются расположением и перемещением зарядов. В результате вместо отдельных электрического и магнитного полей в электроди- намике принято говорить о едином электромагнитном поле. Наиболее полно и в обобщен- ном виде эти связи представлены в четырех уравнениях Максвелла, сформулированных в 1861–1865 годах. Теория Максвелла — макроскопическая теория, в которой рассмат- риваются макроскопические поля макроскопических зарядов и токов, пространственная протяженность которых много больше размеров молекул.
Выпишем сначала уравнения Максвелла в интегральной форме. Отметим, что порядок нумерации уравнений может быть произвольным.
Первое уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (1.32) для электрического поля:
I
D
n dS =
X
i q
i
Второе уравнение Максвелла — это теорема Гаусса (9.15) для магнитного поля, опираю- щаяся на отсутствие магнитных зарядов:
I
B
n dS = 0 .
Третье уравнение следует из основного закона электромагнитной индукции (24.4):
E
i
= −
dΦ
dt
Максвелл предположил, что любое переменное магнитное поле возбуждает в пространстве электрическое поле, проявляющееся в индукционном токе в проводниках. При этом ЭДС
индукции E
i определяется циркуляцией вектора напряженности вихревого электрическо- го поля
H E
`
d`. Таким образом, окончательно с учетом определения магнитного потока третье уравнение Максвелла имеет вид:
I
E
`
d` = −
d dt
Z
B
n dS .
(13.1)
113
Четвертое уравнение Максвелла – это обобщение теоремы о циркуляции (9.16) вектора на- пряженности магнитного поля:
H H
`
d` =
P
i
I
i
. Максвелл предположил, что если перемен- ное магнитное поле возбуждает в пространстве вихревое электрическое поле, то должен существовать и аналогичный эффект для электрического поля: изменение электрическо- го поля должно вызывать вихревое магнитное поле. Для этого он ввел понятие тока смещения. В интеграле теоремы о циркуляции справа необходимо учесть помимо токов проводимости иные токи, приводящие к изменению напряженности магнитного поля.
Для примера применим теорему о циркуляции к магнитному полю, созданному пере- менным электрическим током, перезаряжающим конденсатор. По Максвеллу в непрово- дящем промежутке конденсатора протекает ток смещения. При этом переменное электри- ческое поле создает соответствующее току смещения магнитное поле. Найдем этот ток:
I
см
=
dQ
dt
=
d dt
Z
σdS =
Z
dσ
dt dS =
Z
dD
dt dS .
(13.2)
Здесь использовано, что вблизи проводника вектор электрического смещения в соответ- ствии с (18.2) равен: D = σ. Сравнивая (13.2) со связью плотности тока и силы тока
I
см
=
R j см dS, получим для плотности тока смещения:
j см
=
dD
dt
(13.3)
В общем случае, когда площадка не перпендикулярна вектору электрического смещения,
ток смещения определяется нормальной составляющей вектора электрического смещения,
и из (13.2) имеем:
I
см
=
Z
dD
n dt dS .
(13.4)
Добавив в обобщение теоремы о циркуляции к току проводимости
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
H
)
(13.7)
114
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
E
B = µ
0
µ
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
D = ε
0
ε
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
∂
D
∂t
d
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
Hd
` =
R
S
j +
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
Bd
S ;
H
L
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
Ed
` = −
d dt
R
S
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
Bd
S = 0 ;
H
L
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
S =
P
i q
i
=
R
V
ρdV ;
H
S
R jdS ток смещения d
dt
R D
n dS, получим четвертое уравнение Максвелла:
I
H
`
d` =
Z
jdS +
d dt
Z
D
n dS .
(13.5)
Следовательно, в векторном виде окончательно система уравнений Максвелла в инте- гральной форме может быть записана таким образом:
H
S
Dd
Bd
Ed
Bd
Hd
∂
S .
(13.6)
Полученная система представляет собой основные уравнения электродинамики и позволя- ет решать самые разные и сложные задачи. Электрические и магнитные свойства среды в ней характеризуются тремя параметрами: диэлектрической проницаемостью ε, магнитной проницаемостью µ и проводимостью γ. Эти параметры среды учитывают реакцию среды на электромагнитное поле. Предполагается, что они известны из опыта. Диэлектриче- ская и магнитная проницаемости входят в уравнения связи электрического смещения с напряженностью электрического поля и магнитной индукции. Для изотропной (не сегне- тоэлектрической и не ферромагнитной) среды эти уравнения связи имеют вид:
E
H
)
(13.7)
114
В свою очередь проводимость дает связь плотности тока с напряженностью поля с помо- щью закона Ома в дифференциальной форме (5.11):
j = γ
E.
(13.8)
Семь записанных выше уравнений составляют основу электродинамики.
13.1.2
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме
Перейдем теперь к уравнениям Максвелла в дифференциальной форме, которые могут быть получены из уравнений Максвелла в интегральной форме с помощью двух известных математических теорем. Теорема Остроградского – Гаусса
I
S
Ed
S =
Z
V
div
EdV ,
(13.9)
позволяет преобразовать интеграл по замкнутой поверхности S в интеграл по объему V ,
ограниченному этой поверхностью.
А теорема Стокса
I
L
Ed
` =
Z
S
rot
Ed
S
(13.10)
дает возможность преобразовать интеграл по замкнутому контуру L в интеграл по по- верхности S, натянутой на этот контур. Сформулированные теоремы можно применять не только для вектора, но и для любого другого вектора.
Преобразуем с помощью (13.9) первые два уравнения системы (25.6), а с помощью
(13.10) два вторых. Поскольку интегралы равны для произвольных объемов и поверхно- стей, то равны и подынтегральные выражения. Таким образом, получим систему уравне- ний Максвелла в дифференциальной форме:
div
D = ρ;
div
B = 0;
rot
E = − ∂
B
∂t
;
rot
H = j + ∂
D
∂t
(13.11)
I
Hd
` =
Z
jd
S +
d dt
Z
Dd
S
(13.12)
D = E
0
EE;
B = µ
0
µH .
(13.13)
Для решения конкретных задач к этим уравнениям по-прежнему надо добавить урав- нения связи (13.12) — (13.13). Но теперь этого недостаточно. При переходе от интеграль- ного вида к дифференциальному в уравнениях Максвелла потерялись граничные усло- вия – примерно так же, как при дифференцировании уравнения теряются константы. На границе раздела сред производные, входящие в уравнения Максвелла, вообще говоря, не определены. Поэтому необходимо дополнительно пользоваться граничными условиями для электромагнитного поля, вытекающими из уравнений Максвелла в интегральной форме
(4.12), (4.14), (4.13), (4.14):
D
n1
= D
n2
E
τ 2
= E
τ 1
B
n1
= B
n2
H
τ 2
= H
τ 1
(13.14)
115
Напомним, что эти граничные условия получены для случая, если на границе раздела отсутствуют свободные заряды и токи проводимости.
Если электрическое и магнитное поля стационарны
∂
B
∂t
=
∂
D
∂t
= 0
, то, как следует из системы (13.11), эти поля существуют независимо друг от друга. В этом случае электри- ческое поле описывается двумя основными уравнениями электростатики:
div
D = ρ ;
rot
E = 0 .
(13.15)
Соответственно магнитное поле описывается двумя основными уравнениями магнитоста- тики:
div
B = 0;
rot
H = j.
(13.16)
Рассмотрим теперь следствия из уравнений Максвелла. К этим следствиям, в первую очередь, можно отнести закон сохранения электрического заряда, закон сохранения элек- тромагнитной энергии (теорема Пойтинга) и волновое уравнение.
13.1.3
Закон сохранения заряда. Теорема Пойнтинга. Энергия элек- тромагнитного поля. Вектор Умова-Пойнтинга
В системе уравнений Максвелла в неявном виде содержится закон сохранения электри- ческого заряда. Действительно, найдем дивергенцию от правой и левой частей четвертого уравнения Максвелла :
div rot
H = divj + div
∂
D
∂t
(13.17)
Воспользуемся известным математическим тождеством (его можно проверить непосред- ственным вычислением), справедливым для любого вектора:
div rot
H = 0.
(13.18)
Поскольку операция вычисления дивергенции сводится к дифференцированию по про- странственным координатам, то порядок вычисления производной по времени и вычисле- ния дивергенции в (13.17) можно поменять местами:
0 = divj +
∂
div
D
∂t
(13.19)
Далее воспользуемся уравнением Максвелла div
D = ρ и получим закон сохранения элек- трического заряда в дифференциальной форме:
∂ρ
∂t
= −divj.
(13.20)
Смысл полученного уравнения в том, что увеличение плотности заряда в точке обеспечи- вается притоком заряда из соседних точек пространства (по физическому смыслу дивер- генции как потока вектора из точки). При этом закон сохранения электрического заряда не содержит источников заряда. Отсюда следует, что электрический заряд не может воз- никнуть и не может исчезнуть.
Возьмем теперь интеграл от
(13.20)
по объему,
воспользовавшись при этом для плотности тока
j теоремой
Остроградского-Гаусса
(13.9)
H
jd
S =
R divjdV :
∂
∂t
Z
ρdV = −
I
jd
S .
(13.21)
116
Переписав это уравнение в более привычной форме, получим уравнение непрерывности:
I
jd
S = −
∂q
∂t
(13.22)
Физический смысл полученного интегрального выражения прост: ток , вытекающий из объема V через замкнутую поверхность S, равен убыли заряда в единицу времени внутри этого объема V
Выведем теперь теорему Пойнтинга, определяющую баланс энергии электромагнит- ного поля в пространстве и времени. Если уравнение Максвелла rot
E = −
∂
B
∂t скалярно умножить на вектор
H, а уравнение Максвелла rot
H = j +
∂
D
∂t скалярно умножить на вектор
E и из первого уравнения вычесть второе, получим:
Hrot
E −
Erot
H = −
H
∂
B
∂t
−
E
∂
D
∂t
− j
E .
(13.23)
Непосредственным вычислением можно проверить, что левую часть уравнения можно выразить через дивергенцию от векторного произведения:
Hrot
E −
Erot
H = div h
E
H
i
(13.24)
Кроме того, удобно сгруппировать два первых члена правой части с помощью очевидного соотношения:
H
∂
B
∂t
+
E
∂
D
∂t
=
∂
∂t
E
D
2
+
H
B
2
!
(13.25)
Заметим, что в скобках представлена сумма объемных плотностей энергии электрического поля
E
D
2
и магнитного поля
H
B
2
. Эта сумма дает объемную плотность энергии электро- магнитного поля:
w =
E
D
2
+
H
B
2
(13.26)
После таких преобразований получим из (13.23) теорему Пойнтинга:
∂w
∂t
= −div h
E
H
i
− j
E .
(13.27)
Суть ее сводится к закону сохранения энергии для электромагнитного поля. Первый член в правой части теоремы (по физическому смыслу дивергенции как потока вектора из точки) определяет приток энергии поля в точку извне. При этом вектор потока электро- магнитной энергии
P =
h
E
H
i
(13.28)
называют вектором Умова-Пойнтинга. Если проинтегрировать (13.27) по некоему объе- му, воспользовавшись для преобразования дивергенции теоремой Остроградского-Гаусса
(13.9)
R div
P dV =
H
P d
S, то получим еще одно наглядное интегральное соотношение:
∂W
∂t
= −
I
P d
S −
Z
j
EdV .
(13.29)
Изменение энергии электромагнитного поля в объеме определяется балансом притока энергии извне и диссипации энергии внутри объема.
117
13.1.4
Волновое уравнение. Решения волнового уравнения. Ин- тенсивность электромагнитной волны
Запишем систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме (13.11) в отсутствие электрических зарядов и токов:
div
D = 0 ;
div
B = 0 ;
rot
E = − ∂
B
∂t
;
rot
H = ∂
D
∂t
(13.30)
Эта система допускает существование электромагнитного поля в виде электромагнитной волны. Покажем это. Сначала вычислим, например, ротор от обеих частей третьего урав- нения Максвелла:
rot rot
E = −µ
0
µ
∂
rot
H
∂t
(13.31)
Из математики известно, что rot rot
E = grad div
E − ∇
2
E,
(13.32)
где оператор Лапласа ∇
2
дается выражением
∇
2
E =
∂
2
E
∂x
2
+
∂
2
E
∂y
2
+
∂
2
E
∂z
2
(13.33)
Из первого уравнения Максвелла следует:
grad div
E = 0 .
(13.34)
Подставив все это в (13.31) с учетом четвертого уравнения Максвелла, получим:
∇
2
E = µ
0
µε
0
ε
∂
2
E
∂t
2
(13.35)
Такое уравнение называется волновым, и может описывать плоскую бегущую волну, рас- пространяющуюся в произвольном направлении в трехмерном пространстве и похожую на упругую волну в упругой среде:
∇
2
s =
1
v
2
∂
2
s
∂t
2
(13.36)
Здесь v – фазовая скорость волны.
Сравнение последних уравнений позволяет сразу определить фазовую скорость волны:
v =
1
√
µ
0
µε
0
ε
(13.37)
Можно показать, что решение волнового уравнения для плоской волны в трехмерном про- странстве имеет вид:
E (r, t) =
E
0
cos
ωt − k
r + α
,
(13.38)
причем v =
ω
k
(13.39)
118
Заметим, что фазовая скорость определяет лишь скорость перемещения косинусоиды
(13.38). Можно показать, что скорость переноса энергии и информации волной опреде- ляется групповой скоростью, которая равна:
v гр
=
dω
dk
(13.40)
Подчеркнем, что каждая из компонент вектора
E описывается волновым уравнением
(13.35). В одномерном случае волновое уравнение (13.35) сводится к виду:
∂
2
E
∂x
2
= µ
0
µε
0
ε
∂
2
E
∂t
2
(13.41)
Несложно убедиться, что решением его является выражение
E (x, t) =
E
0
cos (ωt − kx + α) ,
(13.42)
Это решение представляет собой волну, бегущую вдоль оси x. Заметим, что фазовая ско- рость электромагнитной волны в вакууме равна скорости света c. Поэтому из формулы для фазовой скорости (13.37) следует связь трех физических констант:
c =
1
√
µ
0
ε
0
(13.43)
Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме (13.30) в отсутствие электри- ческих зарядов и токов симметрична относительно электрического и магнитного полей.
Поэтому, очевидно, что вычисление ротора от обеих частей четвертого уравнения Макс- велла и последующие преобразования дадут для магнитного поля уравнение, аналогичное
(13.35):
∇
2
B = µ
0
µε
0
ε
∂
2
B
∂t
2
(13.44)
Оно имеет решением по аналогии с (13.38)
B (
r, t) =
B
0
cos
ωt − k
r + α
,
(13.45)
Оказывается, что и магнитное поле волны имеет волновой характер, причем фазовая ско- рость волны магнитного поля совпадает с фазовой скоростью волны электрического по- ля. Если исследовать решения уравнений непосредственно, то оказывается, что плоские волны электрического и магнитного полей специальным образом ориентированы друг от- носительно друга, имеют одинаковую начальную фазу колебаний и согласованные между собой амплитуды. Частоты и волновые векторы у этих волн тоже одинаковы. Электромаг- нитные волны поперечны: вектора
E и
H лежат в плоскости, перпендикулярной вектору скорости распространения волны. При этом и вектора
E и
H взаимно перпендикулярны.
Из уравнений Максвелла следует, что электрическое и магнитное поле в любой момент времени в любой точке связаны соотношением:
√
ε
0
εE =
√
µ
0
µH .
(13.46)
Вычислим теперь интенсивность электромагнитной волны I
в
— усредненную за период энергию, переносимую волной в единицу времени через единичную площадку, перпенди- кулярную направлению распространения волны. Эта важная энергетическая характери- стика волны, которую можно получить с учетом (13.28) и (13.42) усреднением модуля вектора Умова-Пойнтинга:
I
в
=
E
0
H
0
cos
2
(ωt − kx + α)
= E
0
H
0
cos
2
(ωt − kx + α)
=
E
0
H
0 2
(13.47)
Здесь используется, что среднее значение квадрата косинуса по периоду равно 1/2.
119