ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.01.2024
Просмотров: 149
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
Плотные газы.
В этом случае в формуле (4.19) надо для ∗ использовать выражение для напряженности локального поля, действующего на молекулу внутри диэлектрика:
E
∗
=
E +
P / (3ε
0
) .
Тогда
P = αε
0
n h
E +
P / (3ε
0
)
i
,
(4.25)
откуда
P =
αε
0
n
1 − αn/3
E.
(4.26)
46
Подставляя (4.26) в выражение для вектора смещения, находим
D = ε
E = ε
0
E +
P = ε
0
E +
αε
0
n
1 − αn/3
E,
(4.27)
откуда
3 (ε
r
− 1)
ε
r
+ 2
= αn.
(4.28)
Эта формула называется формулой Клаузиуса — Моссотти. Ее с помощью (4.23)
можно представить в виде
3 (ε
r
− 1)
ε
r
+ 2
m
ρ
m
= αN
A
(4.29)
Левая часть равенства (4.29) не зависит от температуры и давления в тех преде- лах, в которых молекулярная восприимчивость остается постоянной. Для газов такие давления могут быть большими (порядка 100 МПа). В жидкостях и твердых телах при больших плотностях α зависит от давления. Формула (4.29) проверена эксперименталь- но в широком диапазоне давлений. Например, для углекислого газа CO
2
, являющегося неполярным, справедливость соотношения Клаузиуса-Моссотти (4.29) была проверена с большой точностью до давлений примерно 100 МПа при 100
◦
. Во всем интервале этих дав- лений относительное отклонение левой части (4.29) от постоянного значения не превышает нескольких сотых, причем до давлений примерно в 20 МПа наблюдается небольшой рост,
а выше — небольшое уменьшение значения левой части (4.29). Относительная диэлектри- ческая проницаемость ε
r при этом изменяется довольно значительно, примерно в полтора раза в интервале давлений от 1 МПа до 100 МПа.
Рис. 4.7
Пример.
Оценить атомную диэлектрическую восприимчи- вость α атома водорода. Напряженность электрического по- ля направлена перпендикулярно плоскости движения электрона
(рис. 4.7).
Запишем условие равновесия движущегося электрона при на- личии внешнего поля:
eE =
e
2 4πε
0
(x
2
+ r
2
)
cos β =
e
2 4πε
0
x
(x
2
+ r
2
)
3
/2
(4.30)
При x r получаем x/(x
2
+ r
2
)
3/2
= x/r
3
и поэтому [см. (4.30)]
ex = 4πε
0
r
3
E = p,
откуда
α = 4πr
3
≈ 1, 57 · 10
−30
м
3
,
что дает правильный порядок атомной диэлектрической восприимчивости атома водорода.
4.1.5
Полярные диэлектрики
Описываются основные свойства полярных диэлектриков.
Зависимость поляризованности от температуры. Постоянный дипольный момент у большинства молекул имеет порядок 10
−29
− 10
−30
Кл-м. Например, у он равен 0, 36 ·
10
−30
Кл · м, у SO
2
– 5.3 · 10
−30
Кл · м, у l – 3, 5 · 10
−29
Кл · м. Дипольные моменты большин- ства молекул измерены и имеются в таблицах.
Дипольный момент
p, находящийся в электрическом поле
E, обладает потенциальной энергией
W = −
p ·
E.
(4.31)
47
Эта величина достигает минимального значения, когда направление диполя совпадает с направлением напряженности электрического поля. Поскольку устойчивым является со- стояние системы с наименьшей энергией, моменты диполей полярных молекул стремятся повернуться до совпадения с направлением напряженности электрического поля. Этот поворот осуществляется парой сил, действующих на диполь (см. рис. 4.6). Однако тепло- вое движение расстраивает упорядочивающее действие электрического поля. В результате устанавливается некоторое равновесие.
Рис. 4.8
Совместим ось Z с направлением напряженности
E электриче- ского поля (рис. 4.8). Потенциальная энергия молекул (4.31) зави- сит от угла между направлениями их дипольного момента и напря- женности:
W = −pE cos Θ = −p z
E
(4.32)
и, следовательно, распределение Больцмана в данном случае ха- рактеризует распределение направлений дипольных моментов мо- лекул по углам. Число молекул dn, дипольные моменты которых расположены в телесном угле dΩ, равно dn = Ae pE cos Θ
kT
dΩ = Ae pE cos Θ
kT
dα sin Θ.
(4.33)
Тогда среднее значение компоненты момента диполей по оси Z равно hp z
i =
R p z
dn
R dn
= =
Ap
2π
R
0
dα
π
R
0
e
β·cos θ
cos θ sin θdθ
A
2π
R
0
dα
π
R
0
e
β cos θ
sin θdθ
(4.34)
введено обозначение
β = pE/ (kT ) .
(4.35)
Прежде всего необходимо вычислить внутренний интеграл в знаменателе (4.34):
I =
π
Z
0
e
β cos θ
sin θdθ,
(4.36)
поскольку внутренний интеграл в числителе выражается формулой
Z
π
0
e
β cos θ
sin θdθ = ∂I/∂β
(4.37)
Интеграл (4.36) вычисляется легко:
I =
Z
π
0
e
β cos θ
sin θdθ = −
1
β
e
β cos θ
|
π
0
= −
1
β
e
β cos π
− e
β cos 0
=
−
1
β
e
−β
− e
β
=
1
β
e
β
− e
−β
=
2
β
·
e
β
− e
−β
2
=
2
β
· sh β , (4.38)
откуда
∂I
∂β
=
2
β
· chβ −
2
β
2
· shβ =
2
β
· shβ
cthβ −
1
β
(4.39)
Таким образом, формула (4.35) с учетом (4.37) и (4.39) принимает вид hp z
i = pL (β) ,
(4.40)
где L (β) = cthβ − 1/β — функция Ланжевена рис. 4.9.
48
1
L(β)
β
Рис. 4.9
При не очень больших напряженностях поля, когда pE kT , т. е. β 1 , разлагая гиперболический котангенс в ряд cth β = 1/β + β/3 − β
3
/45 + . . .
(4.41)
и ограничиваясь в выражении для L (β) линейным по β
членом
L (β) = β/3,
(4.42)
получаем hp z
i = p
2
E/ (3kT ) .
(4.43)
Поле насыщения.
С увеличением напряженности поля дипольные моменты все бо- лее интенсивно ориентируются в направлении напряженности и при pE kT , т. е. при
β 1, можно считать, что все дипольные моменты параллельны между собой и имеют направление напряженности поля. Следовательно,
hp z
i = p.
(4.44)
Соотношение (4.44) получается из (4.40), если учесть, что при β 1 функция L (β) близка к единице:
L (β → ∞) → 1.
(4.45)
При выполнении условия (4.44) достигается максимально возможная поляризованность и дальнейшее увеличение напряженности поля не приводит к ее увеличению. Напряжен- ность поля, при которой достигается максимально возможная поляризованность, назы- вается напряженностью поля насыщения. Считая порядок величины дипольных мо- ментов равным 10
−29
Кл· м, заключаем, что при = 300 К напряженность поля насыщения равна
E ≈ kT /p ' 4, 2 · 10 8
В/м.
(4.46)
Отсюда видно, что условие pE kT , при котором справедлива формула (4.43), выпол- няется вплоть до напряженностей полей, равных миллионам вольт на метр. Поэтому в большинстве практически важных случаев можно пользоваться формулой (4.43).
Разреженные газы.
В этом случае напряженность локального поля можно считать равной напряженности внешнего и представить поляризованность [см. (4.43)] в виде
P = np
2
E/ (3kT ) .
(4.47)
Далее, в полной аналогии с ходом вычислений по формулам (4.19)—(21.8), получаем, что относительная диэлектрическая восприимчивость равна
ε
r
= 1 + np
2
/ (3kT ε
0
) .
(4.48)
Наряду с поляризованностью из-за переориентировки постоянных дипольных моментов полярные диэлектрики обладают также поляризованностью, обусловленной индуцирован- ными дипольными моментами, которая описывается формулой (21.8). Поэтому с учетом обоих механизмов поляризации выражение для ε
r полярных газообразных диэлектриков при не слишком большом давлении имеет вид
ε
r
= 1 + n
α + p
2
/ (3kT ε
0
)
.
(4.49)
Как видно из (4.17), α = 10
−29
м
3
. С другой стороны, при комнатной температуре kT ≈
4 · 10
−21
Дж и поэтому при p ≈ 10
−29
Кл · мp
2
/ (3kT ε
0
) ∼ 10
−27
м
3
, т. е. вклад в поляри- зованностъ от индуцированных дипольных моментов примерно в сто раз меньше, чем
49
от постоянных, и им можно пренебречь. Однако в принципе современная точность из- мерений такова, что позволяет разделить вклад в поляризованностъ от постоянных и индуцированных дипольных моментов. Для этого измеряют ε
r в широком интервале температур и пользуются формулой (4.49). Зависимость ε
r от 1/T на графике является прямой линией. Ее пересечение с осью ординат при 1/T = 0 дает ε
r
= 1 + αn. Отсюда по формуле (4.49) вычисляется α = (ε
r
− 1) /n. После этого по результатам измерения при других значениях 1/T с помощью формулы (4.49) можно вычислить постоянный диполь- ный момент, поскольку все остальные величины в этом уравнении известны.
4.1.6
Сегнетоэлектрики, пьезоэлектрики, электреты. Явления на разломах
До сих пор обсуждались типичные физические параметры однородных и изотропных ди- электриков. В дополнение кратко опишем необычные электрические свойства некоторых диэлектриков, связанные, в первую очередь, со структурными особенностями и анизотро- пией вещества.
Сегнетоэлектрики – вещества, обладающие в отсутствие электрического поля в неко- тором диапазоне температур электрической поляризацией, зависящей от внешних усло- вий. Они являются электрическим аналогом ферромагнетиков. Известно несколько сот сегнетоэлектриков, в том числе сегнетокерамика, жидкие кристаллы и полимерные мате- риалы. К сегнетоэлектрикам относятся сегнетова соль (NaKCl
4
H
4
O
6 4H
2
O), титанат бария
(BaTiO
3
), ниобат лития (LiNbO
3
).
Рис. 4.10
Сегнетоэлектрики характеризуются наличием доменов – областей с мононаправленной поляризацией в пределах одного домена. Диэлек- трическая проницаемость этих материалов достигает нескольких ты- сяч, и зависит от предыстории. В сегнетоэлектрических диэлектри- ках, помещенных в электрическое поле, возникает остаточная элек- трическая поляризация (эффект памяти). Петля гистерезиса, пред- ставленная на рис. 4.10, характеризуется двумя величинами: остаточ- ной поляризацией P
r
, имеющейся даже при нулевом поле E, и коэрци- тивным полем E
c
, при котором вектор поляризации изменяет направ- ление на обратное. Пьезоэлектрики – анизотропные кристаллические материалы (диэлек- трики и полупроводники), в которых при механических деформациях возникает электри- ческая поляризация (пьезоэффект). Они также деформируются под влиянием внешнего электрического поля (обратныйпьезоэффект). Типичным примером пьезоэлектрика яв- ляется кварц SiO
2
в некоторых модификациях. Эффект возникает благодаря тому, что при деформации происходит смещение ионов в кристаллической решетке и деформация электронных орбит. Это приводит к возникновению ненулевого вектора поляризации в некоторых кристаллических решетках.
Электреты – материалы, длительно сохраняющие поляризованное состояние после снятия внешнего поля. Являются электрическим аналогом магнитов. Так некоторые ор- ганические смолы,застывая в сильном электрическом поле, сохраняют застывшей поля- ризацию молекул.
Рассмотренные материалы и их свойства широко применяются в технике. Однако при использовании сегнетоэлектриков и электретов может возникнуть проблема экранировки.
В воздухе или другой окружающей среде могут найтись свободные ионы, которые перерас- пределяются так, что нейтрализуют их вектор поляризации. В таких случаях необходима специальная очистка материала.
В заключение несколько слов о явлениях на разломах — о свойстве свежеобразованной поверхности испускать электроны и фотоны высокой энергии. В научных экспериментах удалось зарегистрировать при разломах горных пород электроны, вылетающие со скоро-
50
стями, близкими к скорости света. Подобные явления, даже не разбивая гранитных глыб,
может наблюдать каждый. Например, в темноте нетрудно заметить свечение при разла- мывании кусочков сахара, при растирании в ступе сахарного песка, при разрыве бумаги,
при быстром разматывании рулона липкой ленты и даже при сходе ночных лавин в горах.
Такие эффекты могут быть связаны с электроотрицательностью атомов на одной из границ разлома, приводящей к захвату электронов от атомов другой границы, а также с пьезоэффектом. Явления на разломах имеют большое практическое значение. В частно- сти, оптические и электрические эффекты вблизи геологических разломов в ряде случаев позволяют заблаговременно предсказывать землетрясения и другие стихийные бедствия.
51
Глава 5
Постоянный электрический ток
5.1
Постоянный ток. Законы Ома и Джоуля-Ленца
5.1.1
Постоянный ток. Виды тока. Сила тока. Плотность тока
Направленное движение электрических зарядов называют электрическим током. Пере- нос электрического тока чаще осуществляется электронами. Однако в жидкостях, газах и плазме носителями тока нередко являются ионы – как положительные, так и отрица- тельные. В полупроводниках часто удобно рассматривать перенос тока так называемыми "дырками". сечение проводника в единицу времени:
I =
dq dt
(5.1)
Ток является постоянным, если сила тока не зависит от времени. Для постоянного тока уравнение (5.1) можно проинтегрировать и получить
I =
q t
(5.2)
Локальной характеристикой тока в данной точке проводника является плотность тока:
j =
dI
dS
,
(5.3)
где dS – элемент сечения проводника. Плотность тока особенно важна в случае, когда плотность тока в разных точках проводника различна.
Рис. 5.1
Плотность тока и силу тока можно рассматривать как вектор,
направленный по линии движения зарядов в данной точке провод- ника. Направление тока совпадает с направлением движения поло- жительных носителей тока и противоположно направлению дви- жения отрицательных носителей тока. Плотность тока несложно связать со скоростью направленного движения υ и концентраци- ей носителей заряда n. Из рис. 5.1 видно, что в единицу времени единицу площади сечения проводника пересекут nυ носителей за- ряда – все частицы из объема длиной υ, но не больше. Приняв для определенности, что заряд каждого носителя равен элементарному заряду e, получим по определению плотности тока:
j = enυ.
(5.4)
Отметим, что при обычных температурах скорость направленного движения носителей заряда на порядки меньше скорости хаотического движения.
Единица измерения силы тока – ампер (А). 1 A = 1 Кл/с. Иногда силу тока называют просто током. Плотность тока измеряется в амперах на квадратный метр (A/м
2
) .
52
5.1.2
Закон Ома в дифференциальной форме
В каждой точке проводника плотность тока является функцией напряженности поля. По- лучим вид этой функции. Для определенности будем считать носителями тока электроны.
Под действием поля электрон приобретает некоторую скорость в направлении, противопо- ложном вектору напряженности E. Однако время от времени он теряет эту направленную скорость, например, в результате столкновений с атомами среды. Ускорение электрона массы m (по модулю) в поле по второму закону Ньютона равно:
a =
eE
m
(5.5)
С другой стороны, ускорение можно выразить через среднюю скорость направленного движения υ и среднее время между столкновениями τ :
a =
ν
макс
τ
=
2ν
τ
(5.6)
Здесь учтено, что при равноускоренном движении средняя скорость равна половине мак- симальной. Приравнивая выражения, получим, что скорость направленного движения но- сителей заряда пропорциональна напряженности поля:
ν =
eτ E
2m
= χE.
(5.7)
Здесь выделен коэффициент пропорциональности
χ =
eτ
2m между скоростью направленного (дрейфового) движения электрона и напряженностью поля, называемый подвижностью электрона. Так как обычно скорость направленного движения носителей заряда намного меньше скорости хаотического движения, то время столкновения τ определяется средней скоростью хаотического (а не направленного) дви- жения электронов u:
τ = λ/u.
(5.8)
υ =
λeE
2mu
= χE.
(5.9)
При этом подвижность электрона определяется выражением
χ =
λe
2mu
(5.10)
С учетом (5.4) получим связь плотности тока с напряженностью поля –
закон Ома в локальной (дифференциальной) форме:
j = γE = E/ρ,
(5.11)
где введены понятия удельной электропроводности (или проводимости) γ и удельного сопротивления ρ проводника:
γ = enχ =
ne
2
λ
2mu
=
1
ρ
(5.12)
53
5.1.3
Закон Ома в интегральной форме. Сопротивление
S
l
1 2
R
U
3 4
I
Рис. 5.2
Выведем теперь закон Ома в интегральной форме для участка цепи, не со- держащего источник тока. Пусть ток течет по проводнику сечением S и длиной l (рис. 5.2). Умножим обе части уравнения j = E/ρ на площадь S,
перейдя от плотности тока к току. Получим выражение для напряженности и свяжем ее в одномерном случае с потенциалом:
E =
Iρ
S
= −
dϕ
dl
(5.13)
Получим для потенциала −dϕ =
Iρ
S
dl откуда, интегрируя в пределах границ проводника,
имеем:
∆ϕ
12
= I
ρl
S
= IR,
(5.14)
где R =
ρl
S
– сопротивление участка цепи.
Чаще полученный закон Ома для участка цепи в интегральной форме формулируют следующим образом: сила тока в цепи прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению (разность потенциалов на участке цепи при постоянном токе называют напряжением U ):
I =
U
R
(5.15)
5.1.4
Сторонние силы. Электродвижущая сила. Обобщенный за- кон Ома
Чтобы постоянный ток протекал по проводнику, необходимо на его концах поддерживать разность потенциалов. Это можно осуществить с помощью источника тока. Рассмотрим электрическую цепь рис. 5.2 Пренебрежем сопротивлением подводящих проводников, так что потенциалы точек 1 и 3 а также точек 2 и 4 попарно равны. На участке 1 − 2 работает закон Ома для участка цепи в интегральной форме ϕ
1
− ϕ
2
= IR. Напряженность элек- трического поля на этом участке отлична от нуля, и оно придает зарядам на этом участке в соответствии с формулой (5.6) направленное движение.
На участке 4 − 3, в источнике тока, положительные заряды вопреки законам электро- статики переходят от меньшего потенциала к большему. Такое перемещение проходит под действием , называемых сторонними (неэлектростатическими). Эти силы могут иметь,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 13
Плотные газы.
В этом случае в формуле (4.19) надо для ∗ использовать выражение для напряженности локального поля, действующего на молекулу внутри диэлектрика:
E
∗
=
E +
P / (3ε
0
) .
Тогда
P = αε
0
n h
E +
P / (3ε
0
)
i
,
(4.25)
откуда
P =
αε
0
n
1 − αn/3
E.
(4.26)
46
Подставляя (4.26) в выражение для вектора смещения, находим
D = ε
E = ε
0
E +
P = ε
0
E +
αε
0
n
1 − αn/3
E,
(4.27)
откуда
3 (ε
r
− 1)
ε
r
+ 2
= αn.
(4.28)
Эта формула называется формулой Клаузиуса — Моссотти. Ее с помощью (4.23)
можно представить в виде
3 (ε
r
− 1)
ε
r
+ 2
m
ρ
m
= αN
A
(4.29)
Левая часть равенства (4.29) не зависит от температуры и давления в тех преде- лах, в которых молекулярная восприимчивость остается постоянной. Для газов такие давления могут быть большими (порядка 100 МПа). В жидкостях и твердых телах при больших плотностях α зависит от давления. Формула (4.29) проверена эксперименталь- но в широком диапазоне давлений. Например, для углекислого газа CO
2
, являющегося неполярным, справедливость соотношения Клаузиуса-Моссотти (4.29) была проверена с большой точностью до давлений примерно 100 МПа при 100
◦
. Во всем интервале этих дав- лений относительное отклонение левой части (4.29) от постоянного значения не превышает нескольких сотых, причем до давлений примерно в 20 МПа наблюдается небольшой рост,
а выше — небольшое уменьшение значения левой части (4.29). Относительная диэлектри- ческая проницаемость ε
r при этом изменяется довольно значительно, примерно в полтора раза в интервале давлений от 1 МПа до 100 МПа.
Рис. 4.7
Пример.
Оценить атомную диэлектрическую восприимчи- вость α атома водорода. Напряженность электрического по- ля направлена перпендикулярно плоскости движения электрона
(рис. 4.7).
Запишем условие равновесия движущегося электрона при на- личии внешнего поля:
eE =
e
2 4πε
0
(x
2
+ r
2
)
cos β =
e
2 4πε
0
x
(x
2
+ r
2
)
3
/2
(4.30)
При x r получаем x/(x
2
+ r
2
)
3/2
= x/r
3
и поэтому [см. (4.30)]
ex = 4πε
0
r
3
E = p,
откуда
α = 4πr
3
≈ 1, 57 · 10
−30
м
3
,
что дает правильный порядок атомной диэлектрической восприимчивости атома водорода.
4.1.5
Полярные диэлектрики
Описываются основные свойства полярных диэлектриков.
Зависимость поляризованности от температуры. Постоянный дипольный момент у большинства молекул имеет порядок 10
−29
− 10
−30
Кл-м. Например, у он равен 0, 36 ·
10
−30
Кл · м, у SO
2
– 5.3 · 10
−30
Кл · м, у l – 3, 5 · 10
−29
Кл · м. Дипольные моменты большин- ства молекул измерены и имеются в таблицах.
Дипольный момент
p, находящийся в электрическом поле
E, обладает потенциальной энергией
W = −
p ·
E.
(4.31)
47
Эта величина достигает минимального значения, когда направление диполя совпадает с направлением напряженности электрического поля. Поскольку устойчивым является со- стояние системы с наименьшей энергией, моменты диполей полярных молекул стремятся повернуться до совпадения с направлением напряженности электрического поля. Этот поворот осуществляется парой сил, действующих на диполь (см. рис. 4.6). Однако тепло- вое движение расстраивает упорядочивающее действие электрического поля. В результате устанавливается некоторое равновесие.
Рис. 4.8
Совместим ось Z с направлением напряженности
E электриче- ского поля (рис. 4.8). Потенциальная энергия молекул (4.31) зави- сит от угла между направлениями их дипольного момента и напря- женности:
W = −pE cos Θ = −p z
E
(4.32)
и, следовательно, распределение Больцмана в данном случае ха- рактеризует распределение направлений дипольных моментов мо- лекул по углам. Число молекул dn, дипольные моменты которых расположены в телесном угле dΩ, равно dn = Ae pE cos Θ
kT
dΩ = Ae pE cos Θ
kT
dα sin Θ.
(4.33)
Тогда среднее значение компоненты момента диполей по оси Z равно hp z
i =
R p z
dn
R dn
= =
Ap
2π
R
0
dα
π
R
0
e
β·cos θ
cos θ sin θdθ
A
2π
R
0
dα
π
R
0
e
β cos θ
sin θdθ
(4.34)
введено обозначение
β = pE/ (kT ) .
(4.35)
Прежде всего необходимо вычислить внутренний интеграл в знаменателе (4.34):
I =
π
Z
0
e
β cos θ
sin θdθ,
(4.36)
поскольку внутренний интеграл в числителе выражается формулой
Z
π
0
e
β cos θ
sin θdθ = ∂I/∂β
(4.37)
Интеграл (4.36) вычисляется легко:
I =
Z
π
0
e
β cos θ
sin θdθ = −
1
β
e
β cos θ
|
π
0
= −
1
β
e
β cos π
− e
β cos 0
=
−
1
β
e
−β
− e
β
=
1
β
e
β
− e
−β
=
2
β
·
e
β
− e
−β
2
=
2
β
· sh β , (4.38)
откуда
∂I
∂β
=
2
β
· chβ −
2
β
2
· shβ =
2
β
· shβ
cthβ −
1
β
(4.39)
Таким образом, формула (4.35) с учетом (4.37) и (4.39) принимает вид hp z
i = pL (β) ,
(4.40)
где L (β) = cthβ − 1/β — функция Ланжевена рис. 4.9.
48
1
L(β)
β
Рис. 4.9
При не очень больших напряженностях поля, когда pE kT , т. е. β 1 , разлагая гиперболический котангенс в ряд cth β = 1/β + β/3 − β
3
/45 + . . .
(4.41)
и ограничиваясь в выражении для L (β) линейным по β
членом
L (β) = β/3,
(4.42)
получаем hp z
i = p
2
E/ (3kT ) .
(4.43)
Поле насыщения.
С увеличением напряженности поля дипольные моменты все бо- лее интенсивно ориентируются в направлении напряженности и при pE kT , т. е. при
β 1, можно считать, что все дипольные моменты параллельны между собой и имеют направление напряженности поля. Следовательно,
hp z
i = p.
(4.44)
Соотношение (4.44) получается из (4.40), если учесть, что при β 1 функция L (β) близка к единице:
L (β → ∞) → 1.
(4.45)
При выполнении условия (4.44) достигается максимально возможная поляризованность и дальнейшее увеличение напряженности поля не приводит к ее увеличению. Напряжен- ность поля, при которой достигается максимально возможная поляризованность, назы- вается напряженностью поля насыщения. Считая порядок величины дипольных мо- ментов равным 10
−29
Кл· м, заключаем, что при = 300 К напряженность поля насыщения равна
E ≈ kT /p ' 4, 2 · 10 8
В/м.
(4.46)
Отсюда видно, что условие pE kT , при котором справедлива формула (4.43), выпол- няется вплоть до напряженностей полей, равных миллионам вольт на метр. Поэтому в большинстве практически важных случаев можно пользоваться формулой (4.43).
Разреженные газы.
В этом случае напряженность локального поля можно считать равной напряженности внешнего и представить поляризованность [см. (4.43)] в виде
P = np
2
E/ (3kT ) .
(4.47)
Далее, в полной аналогии с ходом вычислений по формулам (4.19)—(21.8), получаем, что относительная диэлектрическая восприимчивость равна
ε
r
= 1 + np
2
/ (3kT ε
0
) .
(4.48)
Наряду с поляризованностью из-за переориентировки постоянных дипольных моментов полярные диэлектрики обладают также поляризованностью, обусловленной индуцирован- ными дипольными моментами, которая описывается формулой (21.8). Поэтому с учетом обоих механизмов поляризации выражение для ε
r полярных газообразных диэлектриков при не слишком большом давлении имеет вид
ε
r
= 1 + n
α + p
2
/ (3kT ε
0
)
.
(4.49)
Как видно из (4.17), α = 10
−29
м
3
. С другой стороны, при комнатной температуре kT ≈
4 · 10
−21
Дж и поэтому при p ≈ 10
−29
Кл · мp
2
/ (3kT ε
0
) ∼ 10
−27
м
3
, т. е. вклад в поляри- зованностъ от индуцированных дипольных моментов примерно в сто раз меньше, чем
49
от постоянных, и им можно пренебречь. Однако в принципе современная точность из- мерений такова, что позволяет разделить вклад в поляризованностъ от постоянных и индуцированных дипольных моментов. Для этого измеряют ε
r в широком интервале температур и пользуются формулой (4.49). Зависимость ε
r от 1/T на графике является прямой линией. Ее пересечение с осью ординат при 1/T = 0 дает ε
r
= 1 + αn. Отсюда по формуле (4.49) вычисляется α = (ε
r
− 1) /n. После этого по результатам измерения при других значениях 1/T с помощью формулы (4.49) можно вычислить постоянный диполь- ный момент, поскольку все остальные величины в этом уравнении известны.
4.1.6
Сегнетоэлектрики, пьезоэлектрики, электреты. Явления на разломах
До сих пор обсуждались типичные физические параметры однородных и изотропных ди- электриков. В дополнение кратко опишем необычные электрические свойства некоторых диэлектриков, связанные, в первую очередь, со структурными особенностями и анизотро- пией вещества.
Сегнетоэлектрики – вещества, обладающие в отсутствие электрического поля в неко- тором диапазоне температур электрической поляризацией, зависящей от внешних усло- вий. Они являются электрическим аналогом ферромагнетиков. Известно несколько сот сегнетоэлектриков, в том числе сегнетокерамика, жидкие кристаллы и полимерные мате- риалы. К сегнетоэлектрикам относятся сегнетова соль (NaKCl
4
H
4
O
6 4H
2
O), титанат бария
(BaTiO
3
), ниобат лития (LiNbO
3
).
Рис. 4.10
Сегнетоэлектрики характеризуются наличием доменов – областей с мононаправленной поляризацией в пределах одного домена. Диэлек- трическая проницаемость этих материалов достигает нескольких ты- сяч, и зависит от предыстории. В сегнетоэлектрических диэлектри- ках, помещенных в электрическое поле, возникает остаточная элек- трическая поляризация (эффект памяти). Петля гистерезиса, пред- ставленная на рис. 4.10, характеризуется двумя величинами: остаточ- ной поляризацией P
r
, имеющейся даже при нулевом поле E, и коэрци- тивным полем E
c
, при котором вектор поляризации изменяет направ- ление на обратное. Пьезоэлектрики – анизотропные кристаллические материалы (диэлек- трики и полупроводники), в которых при механических деформациях возникает электри- ческая поляризация (пьезоэффект). Они также деформируются под влиянием внешнего электрического поля (обратныйпьезоэффект). Типичным примером пьезоэлектрика яв- ляется кварц SiO
2
в некоторых модификациях. Эффект возникает благодаря тому, что при деформации происходит смещение ионов в кристаллической решетке и деформация электронных орбит. Это приводит к возникновению ненулевого вектора поляризации в некоторых кристаллических решетках.
Электреты – материалы, длительно сохраняющие поляризованное состояние после снятия внешнего поля. Являются электрическим аналогом магнитов. Так некоторые ор- ганические смолы,застывая в сильном электрическом поле, сохраняют застывшей поля- ризацию молекул.
Рассмотренные материалы и их свойства широко применяются в технике. Однако при использовании сегнетоэлектриков и электретов может возникнуть проблема экранировки.
В воздухе или другой окружающей среде могут найтись свободные ионы, которые перерас- пределяются так, что нейтрализуют их вектор поляризации. В таких случаях необходима специальная очистка материала.
В заключение несколько слов о явлениях на разломах — о свойстве свежеобразованной поверхности испускать электроны и фотоны высокой энергии. В научных экспериментах удалось зарегистрировать при разломах горных пород электроны, вылетающие со скоро-
50
стями, близкими к скорости света. Подобные явления, даже не разбивая гранитных глыб,
может наблюдать каждый. Например, в темноте нетрудно заметить свечение при разла- мывании кусочков сахара, при растирании в ступе сахарного песка, при разрыве бумаги,
при быстром разматывании рулона липкой ленты и даже при сходе ночных лавин в горах.
Такие эффекты могут быть связаны с электроотрицательностью атомов на одной из границ разлома, приводящей к захвату электронов от атомов другой границы, а также с пьезоэффектом. Явления на разломах имеют большое практическое значение. В частно- сти, оптические и электрические эффекты вблизи геологических разломов в ряде случаев позволяют заблаговременно предсказывать землетрясения и другие стихийные бедствия.
51
Глава 5
Постоянный электрический ток
5.1
Постоянный ток. Законы Ома и Джоуля-Ленца
5.1.1
Постоянный ток. Виды тока. Сила тока. Плотность тока
Направленное движение электрических зарядов называют электрическим током. Пере- нос электрического тока чаще осуществляется электронами. Однако в жидкостях, газах и плазме носителями тока нередко являются ионы – как положительные, так и отрица- тельные. В полупроводниках часто удобно рассматривать перенос тока так называемыми "дырками". сечение проводника в единицу времени:
I =
dq dt
(5.1)
Ток является постоянным, если сила тока не зависит от времени. Для постоянного тока уравнение (5.1) можно проинтегрировать и получить
I =
q t
(5.2)
Локальной характеристикой тока в данной точке проводника является плотность тока:
j =
dI
dS
,
(5.3)
где dS – элемент сечения проводника. Плотность тока особенно важна в случае, когда плотность тока в разных точках проводника различна.
Рис. 5.1
Плотность тока и силу тока можно рассматривать как вектор,
направленный по линии движения зарядов в данной точке провод- ника. Направление тока совпадает с направлением движения поло- жительных носителей тока и противоположно направлению дви- жения отрицательных носителей тока. Плотность тока несложно связать со скоростью направленного движения υ и концентраци- ей носителей заряда n. Из рис. 5.1 видно, что в единицу времени единицу площади сечения проводника пересекут nυ носителей за- ряда – все частицы из объема длиной υ, но не больше. Приняв для определенности, что заряд каждого носителя равен элементарному заряду e, получим по определению плотности тока:
j = enυ.
(5.4)
Отметим, что при обычных температурах скорость направленного движения носителей заряда на порядки меньше скорости хаотического движения.
Единица измерения силы тока – ампер (А). 1 A = 1 Кл/с. Иногда силу тока называют просто током. Плотность тока измеряется в амперах на квадратный метр (A/м
2
) .
52
5.1.2
Закон Ома в дифференциальной форме
В каждой точке проводника плотность тока является функцией напряженности поля. По- лучим вид этой функции. Для определенности будем считать носителями тока электроны.
Под действием поля электрон приобретает некоторую скорость в направлении, противопо- ложном вектору напряженности E. Однако время от времени он теряет эту направленную скорость, например, в результате столкновений с атомами среды. Ускорение электрона массы m (по модулю) в поле по второму закону Ньютона равно:
a =
eE
m
(5.5)
С другой стороны, ускорение можно выразить через среднюю скорость направленного движения υ и среднее время между столкновениями τ :
a =
ν
макс
τ
=
2ν
τ
(5.6)
Здесь учтено, что при равноускоренном движении средняя скорость равна половине мак- симальной. Приравнивая выражения, получим, что скорость направленного движения но- сителей заряда пропорциональна напряженности поля:
ν =
eτ E
2m
= χE.
(5.7)
Здесь выделен коэффициент пропорциональности
χ =
eτ
2m между скоростью направленного (дрейфового) движения электрона и напряженностью поля, называемый подвижностью электрона. Так как обычно скорость направленного движения носителей заряда намного меньше скорости хаотического движения, то время столкновения τ определяется средней скоростью хаотического (а не направленного) дви- жения электронов u:
τ = λ/u.
(5.8)
υ =
λeE
2mu
= χE.
(5.9)
При этом подвижность электрона определяется выражением
χ =
λe
2mu
(5.10)
С учетом (5.4) получим связь плотности тока с напряженностью поля –
закон Ома в локальной (дифференциальной) форме:
j = γE = E/ρ,
(5.11)
где введены понятия удельной электропроводности (или проводимости) γ и удельного сопротивления ρ проводника:
γ = enχ =
ne
2
λ
2mu
=
1
ρ
(5.12)
53
5.1.3
Закон Ома в интегральной форме. Сопротивление
S
l
1 2
R
U
3 4
I
Рис. 5.2
Выведем теперь закон Ома в интегральной форме для участка цепи, не со- держащего источник тока. Пусть ток течет по проводнику сечением S и длиной l (рис. 5.2). Умножим обе части уравнения j = E/ρ на площадь S,
перейдя от плотности тока к току. Получим выражение для напряженности и свяжем ее в одномерном случае с потенциалом:
E =
Iρ
S
= −
dϕ
dl
(5.13)
Получим для потенциала −dϕ =
Iρ
S
dl откуда, интегрируя в пределах границ проводника,
имеем:
∆ϕ
12
= I
ρl
S
= IR,
(5.14)
где R =
ρl
S
– сопротивление участка цепи.
Чаще полученный закон Ома для участка цепи в интегральной форме формулируют следующим образом: сила тока в цепи прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению (разность потенциалов на участке цепи при постоянном токе называют напряжением U ):
I =
U
R
(5.15)
5.1.4
Сторонние силы. Электродвижущая сила. Обобщенный за- кон Ома
Чтобы постоянный ток протекал по проводнику, необходимо на его концах поддерживать разность потенциалов. Это можно осуществить с помощью источника тока. Рассмотрим электрическую цепь рис. 5.2 Пренебрежем сопротивлением подводящих проводников, так что потенциалы точек 1 и 3 а также точек 2 и 4 попарно равны. На участке 1 − 2 работает закон Ома для участка цепи в интегральной форме ϕ
1
− ϕ
2
= IR. Напряженность элек- трического поля на этом участке отлична от нуля, и оно придает зарядам на этом участке в соответствии с формулой (5.6) направленное движение.
На участке 4 − 3, в источнике тока, положительные заряды вопреки законам электро- статики переходят от меньшего потенциала к большему. Такое перемещение проходит под действием , называемых сторонними (неэлектростатическими). Эти силы могут иметь,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 13
Плотные газы.
В этом случае в формуле (4.19) надо для ∗ использовать выражение для напряженности локального поля, действующего на молекулу внутри диэлектрика:
E
∗
=
E +
P / (3ε
0
) .
Тогда
P = αε
0
n h
E +
P / (3ε
0
)
i
,
(4.25)
откуда
P =
αε
0
n
1 − αn/3
E.
(4.26)
46
Подставляя (4.26) в выражение для вектора смещения, находим
D = ε
E = ε
0
E +
P = ε
0
E +
αε
0
n
1 − αn/3
E,
(4.27)
откуда
3 (ε
r
− 1)
ε
r
+ 2
= αn.
(4.28)
Эта формула называется формулой Клаузиуса — Моссотти. Ее с помощью (4.23)
можно представить в виде
3 (ε
r
− 1)
ε
r
+ 2
m
ρ
m
= αN
A
(4.29)
Левая часть равенства (4.29) не зависит от температуры и давления в тех преде- лах, в которых молекулярная восприимчивость остается постоянной. Для газов такие давления могут быть большими (порядка 100 МПа). В жидкостях и твердых телах при больших плотностях α зависит от давления. Формула (4.29) проверена эксперименталь- но в широком диапазоне давлений. Например, для углекислого газа CO
2
, являющегося неполярным, справедливость соотношения Клаузиуса-Моссотти (4.29) была проверена с большой точностью до давлений примерно 100 МПа при 100
◦
. Во всем интервале этих дав- лений относительное отклонение левой части (4.29) от постоянного значения не превышает нескольких сотых, причем до давлений примерно в 20 МПа наблюдается небольшой рост,
а выше — небольшое уменьшение значения левой части (4.29). Относительная диэлектри- ческая проницаемость ε
r при этом изменяется довольно значительно, примерно в полтора раза в интервале давлений от 1 МПа до 100 МПа.
Рис. 4.7
Пример.
Оценить атомную диэлектрическую восприимчи- вость α атома водорода. Напряженность электрического по- ля направлена перпендикулярно плоскости движения электрона
(рис. 4.7).
Запишем условие равновесия движущегося электрона при на- личии внешнего поля:
eE =
e
2 4πε
0
(x
2
+ r
2
)
cos β =
e
2 4πε
0
x
(x
2
+ r
2
)
3
/2
(4.30)
При x r получаем x/(x
2
+ r
2
)
3/2
= x/r
3
и поэтому [см. (4.30)]
ex = 4πε
0
r
3
E = p,
откуда
α = 4πr
3
≈ 1, 57 · 10
−30
м
3
,
что дает правильный порядок атомной диэлектрической восприимчивости атома водорода.
4.1.5
Полярные диэлектрики
Описываются основные свойства полярных диэлектриков.
Зависимость поляризованности от температуры. Постоянный дипольный момент у большинства молекул имеет порядок 10
−29
− 10
−30
Кл-м. Например, у он равен 0, 36 ·
10
−30
Кл · м, у SO
2
– 5.3 · 10
−30
Кл · м, у l – 3, 5 · 10
−29
Кл · м. Дипольные моменты большин- ства молекул измерены и имеются в таблицах.
Дипольный момент
p, находящийся в электрическом поле
E, обладает потенциальной энергией
W = −
p ·
E.
(4.31)
47
Эта величина достигает минимального значения, когда направление диполя совпадает с направлением напряженности электрического поля. Поскольку устойчивым является со- стояние системы с наименьшей энергией, моменты диполей полярных молекул стремятся повернуться до совпадения с направлением напряженности электрического поля. Этот поворот осуществляется парой сил, действующих на диполь (см. рис. 4.6). Однако тепло- вое движение расстраивает упорядочивающее действие электрического поля. В результате устанавливается некоторое равновесие.
Рис. 4.8
Совместим ось Z с направлением напряженности
E электриче- ского поля (рис. 4.8). Потенциальная энергия молекул (4.31) зави- сит от угла между направлениями их дипольного момента и напря- женности:
W = −pE cos Θ = −p z
E
(4.32)
и, следовательно, распределение Больцмана в данном случае ха- рактеризует распределение направлений дипольных моментов мо- лекул по углам. Число молекул dn, дипольные моменты которых расположены в телесном угле dΩ, равно dn = Ae pE cos Θ
kT
dΩ = Ae pE cos Θ
kT
dα sin Θ.
(4.33)
Тогда среднее значение компоненты момента диполей по оси Z равно hp z
i =
R p z
dn
R dn
= =
Ap
2π
R
0
dα
π
R
0
e
β·cos θ
cos θ sin θdθ
A
2π
R
0
dα
π
R
0
e
β cos θ
sin θdθ
(4.34)
введено обозначение
β = pE/ (kT ) .
(4.35)
Прежде всего необходимо вычислить внутренний интеграл в знаменателе (4.34):
I =
π
Z
0
e
β cos θ
sin θdθ,
(4.36)
поскольку внутренний интеграл в числителе выражается формулой
Z
π
0
e
β cos θ
sin θdθ = ∂I/∂β
(4.37)
Интеграл (4.36) вычисляется легко:
I =
Z
π
0
e
β cos θ
sin θdθ = −
1
β
e
β cos θ
|
π
0
= −
1
β
e
β cos π
− e
β cos 0
=
−
1
β
e
−β
− e
β
=
1
β
e
β
− e
−β
=
2
β
·
e
β
− e
−β
2
=
2
β
· sh β , (4.38)
откуда
∂I
∂β
=
2
β
· chβ −
2
β
2
· shβ =
2
β
· shβ
cthβ −
1
β
(4.39)
Таким образом, формула (4.35) с учетом (4.37) и (4.39) принимает вид hp z
i = pL (β) ,
(4.40)
где L (β) = cthβ − 1/β — функция Ланжевена рис. 4.9.
48
1
L(β)
β
Рис. 4.9
При не очень больших напряженностях поля, когда pE kT , т. е. β 1 , разлагая гиперболический котангенс в ряд cth β = 1/β + β/3 − β
3
/45 + . . .
(4.41)
и ограничиваясь в выражении для L (β) линейным по β
членом
L (β) = β/3,
(4.42)
получаем hp z
i = p
2
E/ (3kT ) .
(4.43)
Поле насыщения.
С увеличением напряженности поля дипольные моменты все бо- лее интенсивно ориентируются в направлении напряженности и при pE kT , т. е. при
β 1, можно считать, что все дипольные моменты параллельны между собой и имеют направление напряженности поля. Следовательно,
hp z
i = p.
(4.44)
Соотношение (4.44) получается из (4.40), если учесть, что при β 1 функция L (β) близка к единице:
L (β → ∞) → 1.
(4.45)
При выполнении условия (4.44) достигается максимально возможная поляризованность и дальнейшее увеличение напряженности поля не приводит к ее увеличению. Напряжен- ность поля, при которой достигается максимально возможная поляризованность, назы- вается напряженностью поля насыщения. Считая порядок величины дипольных мо- ментов равным 10
−29
Кл· м, заключаем, что при = 300 К напряженность поля насыщения равна
E ≈ kT /p ' 4, 2 · 10 8
В/м.
(4.46)
Отсюда видно, что условие pE kT , при котором справедлива формула (4.43), выпол- няется вплоть до напряженностей полей, равных миллионам вольт на метр. Поэтому в большинстве практически важных случаев можно пользоваться формулой (4.43).
Разреженные газы.
В этом случае напряженность локального поля можно считать равной напряженности внешнего и представить поляризованность [см. (4.43)] в виде
P = np
2
E/ (3kT ) .
(4.47)
Далее, в полной аналогии с ходом вычислений по формулам (4.19)—(21.8), получаем, что относительная диэлектрическая восприимчивость равна
ε
r
= 1 + np
2
/ (3kT ε
0
) .
(4.48)
Наряду с поляризованностью из-за переориентировки постоянных дипольных моментов полярные диэлектрики обладают также поляризованностью, обусловленной индуцирован- ными дипольными моментами, которая описывается формулой (21.8). Поэтому с учетом обоих механизмов поляризации выражение для ε
r полярных газообразных диэлектриков при не слишком большом давлении имеет вид
ε
r
= 1 + n
α + p
2
/ (3kT ε
0
)
.
(4.49)
Как видно из (4.17), α = 10
−29
м
3
. С другой стороны, при комнатной температуре kT ≈
4 · 10
−21
Дж и поэтому при p ≈ 10
−29
Кл · мp
2
/ (3kT ε
0
) ∼ 10
−27
м
3
, т. е. вклад в поляри- зованностъ от индуцированных дипольных моментов примерно в сто раз меньше, чем
49
от постоянных, и им можно пренебречь. Однако в принципе современная точность из- мерений такова, что позволяет разделить вклад в поляризованностъ от постоянных и индуцированных дипольных моментов. Для этого измеряют ε
r в широком интервале температур и пользуются формулой (4.49). Зависимость ε
r от 1/T на графике является прямой линией. Ее пересечение с осью ординат при 1/T = 0 дает ε
r
= 1 + αn. Отсюда по формуле (4.49) вычисляется α = (ε
r
− 1) /n. После этого по результатам измерения при других значениях 1/T с помощью формулы (4.49) можно вычислить постоянный диполь- ный момент, поскольку все остальные величины в этом уравнении известны.
4.1.6
Сегнетоэлектрики, пьезоэлектрики, электреты. Явления на разломах
До сих пор обсуждались типичные физические параметры однородных и изотропных ди- электриков. В дополнение кратко опишем необычные электрические свойства некоторых диэлектриков, связанные, в первую очередь, со структурными особенностями и анизотро- пией вещества.
Сегнетоэлектрики – вещества, обладающие в отсутствие электрического поля в неко- тором диапазоне температур электрической поляризацией, зависящей от внешних усло- вий. Они являются электрическим аналогом ферромагнетиков. Известно несколько сот сегнетоэлектриков, в том числе сегнетокерамика, жидкие кристаллы и полимерные мате- риалы. К сегнетоэлектрикам относятся сегнетова соль (NaKCl
4
H
4
O
6 4H
2
O), титанат бария
(BaTiO
3
), ниобат лития (LiNbO
3
).
Рис. 4.10
Сегнетоэлектрики характеризуются наличием доменов – областей с мононаправленной поляризацией в пределах одного домена. Диэлек- трическая проницаемость этих материалов достигает нескольких ты- сяч, и зависит от предыстории. В сегнетоэлектрических диэлектри- ках, помещенных в электрическое поле, возникает остаточная элек- трическая поляризация (эффект памяти). Петля гистерезиса, пред- ставленная на рис. 4.10, характеризуется двумя величинами: остаточ- ной поляризацией P
r
, имеющейся даже при нулевом поле E, и коэрци- тивным полем E
c
, при котором вектор поляризации изменяет направ- ление на обратное. Пьезоэлектрики – анизотропные кристаллические материалы (диэлек- трики и полупроводники), в которых при механических деформациях возникает электри- ческая поляризация (пьезоэффект). Они также деформируются под влиянием внешнего электрического поля (обратныйпьезоэффект). Типичным примером пьезоэлектрика яв- ляется кварц SiO
2
в некоторых модификациях. Эффект возникает благодаря тому, что при деформации происходит смещение ионов в кристаллической решетке и деформация электронных орбит. Это приводит к возникновению ненулевого вектора поляризации в некоторых кристаллических решетках.
Электреты – материалы, длительно сохраняющие поляризованное состояние после снятия внешнего поля. Являются электрическим аналогом магнитов. Так некоторые ор- ганические смолы,застывая в сильном электрическом поле, сохраняют застывшей поля- ризацию молекул.
Рассмотренные материалы и их свойства широко применяются в технике. Однако при использовании сегнетоэлектриков и электретов может возникнуть проблема экранировки.
В воздухе или другой окружающей среде могут найтись свободные ионы, которые перерас- пределяются так, что нейтрализуют их вектор поляризации. В таких случаях необходима специальная очистка материала.
В заключение несколько слов о явлениях на разломах — о свойстве свежеобразованной поверхности испускать электроны и фотоны высокой энергии. В научных экспериментах удалось зарегистрировать при разломах горных пород электроны, вылетающие со скоро-
50
стями, близкими к скорости света. Подобные явления, даже не разбивая гранитных глыб,
может наблюдать каждый. Например, в темноте нетрудно заметить свечение при разла- мывании кусочков сахара, при растирании в ступе сахарного песка, при разрыве бумаги,
при быстром разматывании рулона липкой ленты и даже при сходе ночных лавин в горах.
Такие эффекты могут быть связаны с электроотрицательностью атомов на одной из границ разлома, приводящей к захвату электронов от атомов другой границы, а также с пьезоэффектом. Явления на разломах имеют большое практическое значение. В частно- сти, оптические и электрические эффекты вблизи геологических разломов в ряде случаев позволяют заблаговременно предсказывать землетрясения и другие стихийные бедствия.
51
Глава 5
Постоянный электрический ток
5.1
Постоянный ток. Законы Ома и Джоуля-Ленца
5.1.1
Постоянный ток. Виды тока. Сила тока. Плотность тока
Направленное движение электрических зарядов называют электрическим током. Пере- нос электрического тока чаще осуществляется электронами. Однако в жидкостях, газах и плазме носителями тока нередко являются ионы – как положительные, так и отрица- тельные. В полупроводниках часто удобно рассматривать перенос тока так называемыми "дырками". сечение проводника в единицу времени:
I =
dq dt
(5.1)
Ток является постоянным, если сила тока не зависит от времени. Для постоянного тока уравнение (5.1) можно проинтегрировать и получить
I =
q t
(5.2)
Локальной характеристикой тока в данной точке проводника является плотность тока:
j =
dI
dS
,
(5.3)
где dS – элемент сечения проводника. Плотность тока особенно важна в случае, когда плотность тока в разных точках проводника различна.
Рис. 5.1
Плотность тока и силу тока можно рассматривать как вектор,
направленный по линии движения зарядов в данной точке провод- ника. Направление тока совпадает с направлением движения поло- жительных носителей тока и противоположно направлению дви- жения отрицательных носителей тока. Плотность тока несложно связать со скоростью направленного движения υ и концентраци- ей носителей заряда n. Из рис. 5.1 видно, что в единицу времени единицу площади сечения проводника пересекут nυ носителей за- ряда – все частицы из объема длиной υ, но не больше. Приняв для определенности, что заряд каждого носителя равен элементарному заряду e, получим по определению плотности тока:
j = enυ.
(5.4)
Отметим, что при обычных температурах скорость направленного движения носителей заряда на порядки меньше скорости хаотического движения.
Единица измерения силы тока – ампер (А). 1 A = 1 Кл/с. Иногда силу тока называют просто током. Плотность тока измеряется в амперах на квадратный метр (A/м
2
) .
52
5.1.2
Закон Ома в дифференциальной форме
В каждой точке проводника плотность тока является функцией напряженности поля. По- лучим вид этой функции. Для определенности будем считать носителями тока электроны.
Под действием поля электрон приобретает некоторую скорость в направлении, противопо- ложном вектору напряженности E. Однако время от времени он теряет эту направленную скорость, например, в результате столкновений с атомами среды. Ускорение электрона массы m (по модулю) в поле по второму закону Ньютона равно:
a =
eE
m
(5.5)
С другой стороны, ускорение можно выразить через среднюю скорость направленного движения υ и среднее время между столкновениями τ :
a =
ν
макс
τ
=
2ν
τ
(5.6)
Здесь учтено, что при равноускоренном движении средняя скорость равна половине мак- симальной. Приравнивая выражения, получим, что скорость направленного движения но- сителей заряда пропорциональна напряженности поля:
ν =
eτ E
2m
= χE.
(5.7)
Здесь выделен коэффициент пропорциональности
χ =
eτ
2m между скоростью направленного (дрейфового) движения электрона и напряженностью поля, называемый подвижностью электрона. Так как обычно скорость направленного движения носителей заряда намного меньше скорости хаотического движения, то время столкновения τ определяется средней скоростью хаотического (а не направленного) дви- жения электронов u:
τ = λ/u.
(5.8)
υ =
λeE
2mu
= χE.
(5.9)
При этом подвижность электрона определяется выражением
χ =
λe
2mu
(5.10)
С учетом (5.4) получим связь плотности тока с напряженностью поля –
закон Ома в локальной (дифференциальной) форме:
j = γE = E/ρ,
(5.11)
где введены понятия удельной электропроводности (или проводимости) γ и удельного сопротивления ρ проводника:
γ = enχ =
ne
2
λ
2mu
=
1
ρ
(5.12)
53
5.1.3
Закон Ома в интегральной форме. Сопротивление
S
l
1 2
R
U
3 4
I
Рис. 5.2
Выведем теперь закон Ома в интегральной форме для участка цепи, не со- держащего источник тока. Пусть ток течет по проводнику сечением S и длиной l (рис. 5.2). Умножим обе части уравнения j = E/ρ на площадь S,
перейдя от плотности тока к току. Получим выражение для напряженности и свяжем ее в одномерном случае с потенциалом:
E =
Iρ
S
= −
dϕ
dl
(5.13)
Получим для потенциала −dϕ =
Iρ
S
dl откуда, интегрируя в пределах границ проводника,
имеем:
∆ϕ
12
= I
ρl
S
= IR,
(5.14)
где R =
ρl
S
– сопротивление участка цепи.
Чаще полученный закон Ома для участка цепи в интегральной форме формулируют следующим образом: сила тока в цепи прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению (разность потенциалов на участке цепи при постоянном токе называют напряжением U ):
I =
U
R
(5.15)
5.1.4
Сторонние силы. Электродвижущая сила. Обобщенный за- кон Ома
Чтобы постоянный ток протекал по проводнику, необходимо на его концах поддерживать разность потенциалов. Это можно осуществить с помощью источника тока. Рассмотрим электрическую цепь рис. 5.2 Пренебрежем сопротивлением подводящих проводников, так что потенциалы точек 1 и 3 а также точек 2 и 4 попарно равны. На участке 1 − 2 работает закон Ома для участка цепи в интегральной форме ϕ
1
− ϕ
2
= IR. Напряженность элек- трического поля на этом участке отлична от нуля, и оно придает зарядам на этом участке в соответствии с формулой (5.6) направленное движение.
На участке 4 − 3, в источнике тока, положительные заряды вопреки законам электро- статики переходят от меньшего потенциала к большему. Такое перемещение проходит под действием , называемых сторонними (неэлектростатическими). Эти силы могут иметь,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 13
Плотные газы.
В этом случае в формуле (4.19) надо для ∗ использовать выражение для напряженности локального поля, действующего на молекулу внутри диэлектрика:
E
∗
=
E +
P / (3ε
0
) .
Тогда
P = αε
0
n h
E +
P / (3ε
0
)
i
,
(4.25)
откуда
P =
αε
0
n
1 − αn/3
E.
(4.26)
46
Подставляя (4.26) в выражение для вектора смещения, находим
D = ε
E = ε
0
E +
P = ε
0
E +
αε
0
n
1 − αn/3
E,
(4.27)
откуда
3 (ε
r
− 1)
ε
r
+ 2
= αn.
(4.28)
Эта формула называется формулой Клаузиуса — Моссотти. Ее с помощью (4.23)
можно представить в виде
3 (ε
r
− 1)
ε
r
+ 2
m
ρ
m
= αN
A
(4.29)
Левая часть равенства (4.29) не зависит от температуры и давления в тех преде- лах, в которых молекулярная восприимчивость остается постоянной. Для газов такие давления могут быть большими (порядка 100 МПа). В жидкостях и твердых телах при больших плотностях α зависит от давления. Формула (4.29) проверена эксперименталь- но в широком диапазоне давлений. Например, для углекислого газа CO
2
, являющегося неполярным, справедливость соотношения Клаузиуса-Моссотти (4.29) была проверена с большой точностью до давлений примерно 100 МПа при 100
◦
. Во всем интервале этих дав- лений относительное отклонение левой части (4.29) от постоянного значения не превышает нескольких сотых, причем до давлений примерно в 20 МПа наблюдается небольшой рост,
а выше — небольшое уменьшение значения левой части (4.29). Относительная диэлектри- ческая проницаемость ε
r при этом изменяется довольно значительно, примерно в полтора раза в интервале давлений от 1 МПа до 100 МПа.
Рис. 4.7
Пример.
Оценить атомную диэлектрическую восприимчи- вость α атома водорода. Напряженность электрического по- ля направлена перпендикулярно плоскости движения электрона
(рис. 4.7).
Запишем условие равновесия движущегося электрона при на- личии внешнего поля:
eE =
e
2 4πε
0
(x
2
+ r
2
)
cos β =
e
2 4πε
0
x
(x
2
+ r
2
)
3
/2
(4.30)
При x r получаем x/(x
2
+ r
2
)
3/2
= x/r
3
и поэтому [см. (4.30)]
ex = 4πε
0
r
3
E = p,
откуда
α = 4πr
3
≈ 1, 57 · 10
−30
м
3
,
что дает правильный порядок атомной диэлектрической восприимчивости атома водорода.
4.1.5
Полярные диэлектрики
Описываются основные свойства полярных диэлектриков.
Зависимость поляризованности от температуры. Постоянный дипольный момент у большинства молекул имеет порядок 10
−29
− 10
−30
Кл-м. Например, у он равен 0, 36 ·
10
−30
Кл · м, у SO
2
– 5.3 · 10
−30
Кл · м, у l – 3, 5 · 10
−29
Кл · м. Дипольные моменты большин- ства молекул измерены и имеются в таблицах.
Дипольный момент
p, находящийся в электрическом поле
E, обладает потенциальной энергией
W = −
p ·
E.
(4.31)
47
Эта величина достигает минимального значения, когда направление диполя совпадает с направлением напряженности электрического поля. Поскольку устойчивым является со- стояние системы с наименьшей энергией, моменты диполей полярных молекул стремятся повернуться до совпадения с направлением напряженности электрического поля. Этот поворот осуществляется парой сил, действующих на диполь (см. рис. 4.6). Однако тепло- вое движение расстраивает упорядочивающее действие электрического поля. В результате устанавливается некоторое равновесие.
Рис. 4.8
Совместим ось Z с направлением напряженности
E электриче- ского поля (рис. 4.8). Потенциальная энергия молекул (4.31) зави- сит от угла между направлениями их дипольного момента и напря- женности:
W = −pE cos Θ = −p z
E
(4.32)
и, следовательно, распределение Больцмана в данном случае ха- рактеризует распределение направлений дипольных моментов мо- лекул по углам. Число молекул dn, дипольные моменты которых расположены в телесном угле dΩ, равно dn = Ae pE cos Θ
kT
dΩ = Ae pE cos Θ
kT
dα sin Θ.
(4.33)
Тогда среднее значение компоненты момента диполей по оси Z равно hp z
i =
R p z
dn
R dn
= =
Ap
2π
R
0
dα
π
R
0
e
β·cos θ
cos θ sin θdθ
A
2π
R
0
dα
π
R
0
e
β cos θ
sin θdθ
(4.34)
введено обозначение
β = pE/ (kT ) .
(4.35)
Прежде всего необходимо вычислить внутренний интеграл в знаменателе (4.34):
I =
π
Z
0
e
β cos θ
sin θdθ,
(4.36)
поскольку внутренний интеграл в числителе выражается формулой
Z
π
0
e
β cos θ
sin θdθ = ∂I/∂β
(4.37)
Интеграл (4.36) вычисляется легко:
I =
Z
π
0
e
β cos θ
sin θdθ = −
1
β
e
β cos θ
|
π
0
= −
1
β
e
β cos π
− e
β cos 0
=
−
1
β
e
−β
− e
β
=
1
β
e
β
− e
−β
=
2
β
·
e
β
− e
−β
2
=
2
β
· sh β , (4.38)
откуда
∂I
∂β
=
2
β
· chβ −
2
β
2
· shβ =
2
β
· shβ
cthβ −
1
β
(4.39)
Таким образом, формула (4.35) с учетом (4.37) и (4.39) принимает вид hp z
i = pL (β) ,
(4.40)
где L (β) = cthβ − 1/β — функция Ланжевена рис. 4.9.
48
1
L(β)
β
Рис. 4.9
При не очень больших напряженностях поля, когда pE kT , т. е. β 1 , разлагая гиперболический котангенс в ряд cth β = 1/β + β/3 − β
3
/45 + . . .
(4.41)
и ограничиваясь в выражении для L (β) линейным по β
членом
L (β) = β/3,
(4.42)
получаем hp z
i = p
2
E/ (3kT ) .
(4.43)
Поле насыщения.
С увеличением напряженности поля дипольные моменты все бо- лее интенсивно ориентируются в направлении напряженности и при pE kT , т. е. при
β 1, можно считать, что все дипольные моменты параллельны между собой и имеют направление напряженности поля. Следовательно,
hp z
i = p.
(4.44)
Соотношение (4.44) получается из (4.40), если учесть, что при β 1 функция L (β) близка к единице:
L (β → ∞) → 1.
(4.45)
При выполнении условия (4.44) достигается максимально возможная поляризованность и дальнейшее увеличение напряженности поля не приводит к ее увеличению. Напряжен- ность поля, при которой достигается максимально возможная поляризованность, назы- вается напряженностью поля насыщения. Считая порядок величины дипольных мо- ментов равным 10
−29
Кл· м, заключаем, что при = 300 К напряженность поля насыщения равна
E ≈ kT /p ' 4, 2 · 10 8
В/м.
(4.46)
Отсюда видно, что условие pE kT , при котором справедлива формула (4.43), выпол- няется вплоть до напряженностей полей, равных миллионам вольт на метр. Поэтому в большинстве практически важных случаев можно пользоваться формулой (4.43).
Разреженные газы.
В этом случае напряженность локального поля можно считать равной напряженности внешнего и представить поляризованность [см. (4.43)] в виде
P = np
2
E/ (3kT ) .
(4.47)
Далее, в полной аналогии с ходом вычислений по формулам (4.19)—(21.8), получаем, что относительная диэлектрическая восприимчивость равна
ε
r
= 1 + np
2
/ (3kT ε
0
) .
(4.48)
Наряду с поляризованностью из-за переориентировки постоянных дипольных моментов полярные диэлектрики обладают также поляризованностью, обусловленной индуцирован- ными дипольными моментами, которая описывается формулой (21.8). Поэтому с учетом обоих механизмов поляризации выражение для ε
r полярных газообразных диэлектриков при не слишком большом давлении имеет вид
ε
r
= 1 + n
α + p
2
/ (3kT ε
0
)
.
(4.49)
Как видно из (4.17), α = 10
−29
м
3
. С другой стороны, при комнатной температуре kT ≈
4 · 10
−21
Дж и поэтому при p ≈ 10
−29
Кл · мp
2
/ (3kT ε
0
) ∼ 10
−27
м
3
, т. е. вклад в поляри- зованностъ от индуцированных дипольных моментов примерно в сто раз меньше, чем
49
от постоянных, и им можно пренебречь. Однако в принципе современная точность из- мерений такова, что позволяет разделить вклад в поляризованностъ от постоянных и индуцированных дипольных моментов. Для этого измеряют ε
r в широком интервале температур и пользуются формулой (4.49). Зависимость ε
r от 1/T на графике является прямой линией. Ее пересечение с осью ординат при 1/T = 0 дает ε
r
= 1 + αn. Отсюда по формуле (4.49) вычисляется α = (ε
r
− 1) /n. После этого по результатам измерения при других значениях 1/T с помощью формулы (4.49) можно вычислить постоянный диполь- ный момент, поскольку все остальные величины в этом уравнении известны.
4.1.6
Сегнетоэлектрики, пьезоэлектрики, электреты. Явления на разломах
До сих пор обсуждались типичные физические параметры однородных и изотропных ди- электриков. В дополнение кратко опишем необычные электрические свойства некоторых диэлектриков, связанные, в первую очередь, со структурными особенностями и анизотро- пией вещества.
Сегнетоэлектрики – вещества, обладающие в отсутствие электрического поля в неко- тором диапазоне температур электрической поляризацией, зависящей от внешних усло- вий. Они являются электрическим аналогом ферромагнетиков. Известно несколько сот сегнетоэлектриков, в том числе сегнетокерамика, жидкие кристаллы и полимерные мате- риалы. К сегнетоэлектрикам относятся сегнетова соль (NaKCl
4
H
4
O
6 4H
2
O), титанат бария
(BaTiO
3
), ниобат лития (LiNbO
3
).
Рис. 4.10
Сегнетоэлектрики характеризуются наличием доменов – областей с мононаправленной поляризацией в пределах одного домена. Диэлек- трическая проницаемость этих материалов достигает нескольких ты- сяч, и зависит от предыстории. В сегнетоэлектрических диэлектри- ках, помещенных в электрическое поле, возникает остаточная элек- трическая поляризация (эффект памяти). Петля гистерезиса, пред- ставленная на рис. 4.10, характеризуется двумя величинами: остаточ- ной поляризацией P
r
, имеющейся даже при нулевом поле E, и коэрци- тивным полем E
c
, при котором вектор поляризации изменяет направ- ление на обратное. Пьезоэлектрики – анизотропные кристаллические материалы (диэлек- трики и полупроводники), в которых при механических деформациях возникает электри- ческая поляризация (пьезоэффект). Они также деформируются под влиянием внешнего электрического поля (обратныйпьезоэффект). Типичным примером пьезоэлектрика яв- ляется кварц SiO
2
в некоторых модификациях. Эффект возникает благодаря тому, что при деформации происходит смещение ионов в кристаллической решетке и деформация электронных орбит. Это приводит к возникновению ненулевого вектора поляризации в некоторых кристаллических решетках.
Электреты – материалы, длительно сохраняющие поляризованное состояние после снятия внешнего поля. Являются электрическим аналогом магнитов. Так некоторые ор- ганические смолы,застывая в сильном электрическом поле, сохраняют застывшей поля- ризацию молекул.
Рассмотренные материалы и их свойства широко применяются в технике. Однако при использовании сегнетоэлектриков и электретов может возникнуть проблема экранировки.
В воздухе или другой окружающей среде могут найтись свободные ионы, которые перерас- пределяются так, что нейтрализуют их вектор поляризации. В таких случаях необходима специальная очистка материала.
В заключение несколько слов о явлениях на разломах — о свойстве свежеобразованной поверхности испускать электроны и фотоны высокой энергии. В научных экспериментах удалось зарегистрировать при разломах горных пород электроны, вылетающие со скоро-
50
стями, близкими к скорости света. Подобные явления, даже не разбивая гранитных глыб,
может наблюдать каждый. Например, в темноте нетрудно заметить свечение при разла- мывании кусочков сахара, при растирании в ступе сахарного песка, при разрыве бумаги,
при быстром разматывании рулона липкой ленты и даже при сходе ночных лавин в горах.
Такие эффекты могут быть связаны с электроотрицательностью атомов на одной из границ разлома, приводящей к захвату электронов от атомов другой границы, а также с пьезоэффектом. Явления на разломах имеют большое практическое значение. В частно- сти, оптические и электрические эффекты вблизи геологических разломов в ряде случаев позволяют заблаговременно предсказывать землетрясения и другие стихийные бедствия.
51
Глава 5
Постоянный электрический ток
5.1
Постоянный ток. Законы Ома и Джоуля-Ленца
5.1.1
Постоянный ток. Виды тока. Сила тока. Плотность тока
Направленное движение электрических зарядов называют электрическим током. Пере- нос электрического тока чаще осуществляется электронами. Однако в жидкостях, газах и плазме носителями тока нередко являются ионы – как положительные, так и отрица- тельные. В полупроводниках часто удобно рассматривать перенос тока так называемыми "дырками". сечение проводника в единицу времени:
I =
dq dt
(5.1)
Ток является постоянным, если сила тока не зависит от времени. Для постоянного тока уравнение (5.1) можно проинтегрировать и получить
I =
q t
(5.2)
Локальной характеристикой тока в данной точке проводника является плотность тока:
j =
dI
dS
,
(5.3)
где dS – элемент сечения проводника. Плотность тока особенно важна в случае, когда плотность тока в разных точках проводника различна.
Рис. 5.1
Плотность тока и силу тока можно рассматривать как вектор,
направленный по линии движения зарядов в данной точке провод- ника. Направление тока совпадает с направлением движения поло- жительных носителей тока и противоположно направлению дви- жения отрицательных носителей тока. Плотность тока несложно связать со скоростью направленного движения υ и концентраци- ей носителей заряда n. Из рис. 5.1 видно, что в единицу времени единицу площади сечения проводника пересекут nυ носителей за- ряда – все частицы из объема длиной υ, но не больше. Приняв для определенности, что заряд каждого носителя равен элементарному заряду e, получим по определению плотности тока:
j = enυ.
(5.4)
Отметим, что при обычных температурах скорость направленного движения носителей заряда на порядки меньше скорости хаотического движения.
Единица измерения силы тока – ампер (А). 1 A = 1 Кл/с. Иногда силу тока называют просто током. Плотность тока измеряется в амперах на квадратный метр (A/м
2
) .
52
5.1.2
Закон Ома в дифференциальной форме
В каждой точке проводника плотность тока является функцией напряженности поля. По- лучим вид этой функции. Для определенности будем считать носителями тока электроны.
Под действием поля электрон приобретает некоторую скорость в направлении, противопо- ложном вектору напряженности E. Однако время от времени он теряет эту направленную скорость, например, в результате столкновений с атомами среды. Ускорение электрона массы m (по модулю) в поле по второму закону Ньютона равно:
a =
eE
m
(5.5)
С другой стороны, ускорение можно выразить через среднюю скорость направленного движения υ и среднее время между столкновениями τ :
a =
ν
макс
τ
=
2ν
τ
(5.6)
Здесь учтено, что при равноускоренном движении средняя скорость равна половине мак- симальной. Приравнивая выражения, получим, что скорость направленного движения но- сителей заряда пропорциональна напряженности поля:
ν =
eτ E
2m
= χE.
(5.7)
Здесь выделен коэффициент пропорциональности
χ =
eτ
2m между скоростью направленного (дрейфового) движения электрона и напряженностью поля, называемый подвижностью электрона. Так как обычно скорость направленного движения носителей заряда намного меньше скорости хаотического движения, то время столкновения τ определяется средней скоростью хаотического (а не направленного) дви- жения электронов u:
τ = λ/u.
(5.8)
υ =
λeE
2mu
= χE.
(5.9)
При этом подвижность электрона определяется выражением
χ =
λe
2mu
(5.10)
С учетом (5.4) получим связь плотности тока с напряженностью поля –
закон Ома в локальной (дифференциальной) форме:
j = γE = E/ρ,
(5.11)
где введены понятия удельной электропроводности (или проводимости) γ и удельного сопротивления ρ проводника:
γ = enχ =
ne
2
λ
2mu
=
1
ρ
(5.12)
53
5.1.3
Закон Ома в интегральной форме. Сопротивление
S
l
1 2
R
U
3 4
I
Рис. 5.2
Выведем теперь закон Ома в интегральной форме для участка цепи, не со- держащего источник тока. Пусть ток течет по проводнику сечением S и длиной l (рис. 5.2). Умножим обе части уравнения j = E/ρ на площадь S,
перейдя от плотности тока к току. Получим выражение для напряженности и свяжем ее в одномерном случае с потенциалом:
E =
Iρ
S
= −
dϕ
dl
(5.13)
Получим для потенциала −dϕ =
Iρ
S
dl откуда, интегрируя в пределах границ проводника,
имеем:
∆ϕ
12
= I
ρl
S
= IR,
(5.14)
где R =
ρl
S
– сопротивление участка цепи.
Чаще полученный закон Ома для участка цепи в интегральной форме формулируют следующим образом: сила тока в цепи прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению (разность потенциалов на участке цепи при постоянном токе называют напряжением U ):
I =
U
R
(5.15)
5.1.4
Сторонние силы. Электродвижущая сила. Обобщенный за- кон Ома
Чтобы постоянный ток протекал по проводнику, необходимо на его концах поддерживать разность потенциалов. Это можно осуществить с помощью источника тока. Рассмотрим электрическую цепь рис. 5.2 Пренебрежем сопротивлением подводящих проводников, так что потенциалы точек 1 и 3 а также точек 2 и 4 попарно равны. На участке 1 − 2 работает закон Ома для участка цепи в интегральной форме ϕ
1
− ϕ
2
= IR. Напряженность элек- трического поля на этом участке отлична от нуля, и оно придает зарядам на этом участке в соответствии с формулой (5.6) направленное движение.
На участке 4 − 3, в источнике тока, положительные заряды вопреки законам электро- статики переходят от меньшего потенциала к большему. Такое перемещение проходит под действием , называемых сторонними (неэлектростатическими). Эти силы могут иметь,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 13
Плотные газы.
В этом случае в формуле (4.19) надо для ∗ использовать выражение для напряженности локального поля, действующего на молекулу внутри диэлектрика:
E
∗
=
E +
P / (3ε
0
) .
Тогда
P = αε
0
n h
E +
P / (3ε
0
)
i
,
(4.25)
откуда
P =
αε
0
n
1 − αn/3
E.
(4.26)
46
Подставляя (4.26) в выражение для вектора смещения, находим
D = ε
E = ε
0
E +
P = ε
0
E +
αε
0
n
1 − αn/3
E,
(4.27)
откуда
3 (ε
r
− 1)
ε
r
+ 2
= αn.
(4.28)
Эта формула называется формулой Клаузиуса — Моссотти. Ее с помощью (4.23)
можно представить в виде
3 (ε
r
− 1)
ε
r
+ 2
m
ρ
m
= αN
A
(4.29)
Левая часть равенства (4.29) не зависит от температуры и давления в тех преде- лах, в которых молекулярная восприимчивость остается постоянной. Для газов такие давления могут быть большими (порядка 100 МПа). В жидкостях и твердых телах при больших плотностях α зависит от давления. Формула (4.29) проверена эксперименталь- но в широком диапазоне давлений. Например, для углекислого газа CO
2
, являющегося неполярным, справедливость соотношения Клаузиуса-Моссотти (4.29) была проверена с большой точностью до давлений примерно 100 МПа при 100
◦
. Во всем интервале этих дав- лений относительное отклонение левой части (4.29) от постоянного значения не превышает нескольких сотых, причем до давлений примерно в 20 МПа наблюдается небольшой рост,
а выше — небольшое уменьшение значения левой части (4.29). Относительная диэлектри- ческая проницаемость ε
r при этом изменяется довольно значительно, примерно в полтора раза в интервале давлений от 1 МПа до 100 МПа.
Рис. 4.7
Пример.
Оценить атомную диэлектрическую восприимчи- вость α атома водорода. Напряженность электрического по- ля направлена перпендикулярно плоскости движения электрона
(рис. 4.7).
Запишем условие равновесия движущегося электрона при на- личии внешнего поля:
eE =
e
2 4πε
0
(x
2
+ r
2
)
cos β =
e
2 4πε
0
x
(x
2
+ r
2
)
3
/2
(4.30)
При x r получаем x/(x
2
+ r
2
)
3/2
= x/r
3
и поэтому [см. (4.30)]
ex = 4πε
0
r
3
E = p,
откуда
α = 4πr
3
≈ 1, 57 · 10
−30
м
3
,
что дает правильный порядок атомной диэлектрической восприимчивости атома водорода.
4.1.5
Полярные диэлектрики
Описываются основные свойства полярных диэлектриков.
Зависимость поляризованности от температуры. Постоянный дипольный момент у большинства молекул имеет порядок 10
−29
− 10
−30
Кл-м. Например, у он равен 0, 36 ·
10
−30
Кл · м, у SO
2
– 5.3 · 10
−30
Кл · м, у l – 3, 5 · 10
−29
Кл · м. Дипольные моменты большин- ства молекул измерены и имеются в таблицах.
Дипольный момент
p, находящийся в электрическом поле
E, обладает потенциальной энергией
W = −
p ·
E.
(4.31)
47
Эта величина достигает минимального значения, когда направление диполя совпадает с направлением напряженности электрического поля. Поскольку устойчивым является со- стояние системы с наименьшей энергией, моменты диполей полярных молекул стремятся повернуться до совпадения с направлением напряженности электрического поля. Этот поворот осуществляется парой сил, действующих на диполь (см. рис. 4.6). Однако тепло- вое движение расстраивает упорядочивающее действие электрического поля. В результате устанавливается некоторое равновесие.
Рис. 4.8
Совместим ось Z с направлением напряженности
E электриче- ского поля (рис. 4.8). Потенциальная энергия молекул (4.31) зави- сит от угла между направлениями их дипольного момента и напря- женности:
W = −pE cos Θ = −p z
E
(4.32)
и, следовательно, распределение Больцмана в данном случае ха- рактеризует распределение направлений дипольных моментов мо- лекул по углам. Число молекул dn, дипольные моменты которых расположены в телесном угле dΩ, равно dn = Ae pE cos Θ
kT
dΩ = Ae pE cos Θ
kT
dα sin Θ.
(4.33)
Тогда среднее значение компоненты момента диполей по оси Z равно hp z
i =
R p z
dn
R dn
= =
Ap
2π
R
0
dα
π
R
0
e
β·cos θ
cos θ sin θdθ
A
2π
R
0
dα
π
R
0
e
β cos θ
sin θdθ
(4.34)
введено обозначение
β = pE/ (kT ) .
(4.35)
Прежде всего необходимо вычислить внутренний интеграл в знаменателе (4.34):
I =
π
Z
0
e
β cos θ
sin θdθ,
(4.36)
поскольку внутренний интеграл в числителе выражается формулой
Z
π
0
e
β cos θ
sin θdθ = ∂I/∂β
(4.37)
Интеграл (4.36) вычисляется легко:
I =
Z
π
0
e
β cos θ
sin θdθ = −
1
β
e
β cos θ
|
π
0
= −
1
β
e
β cos π
− e
β cos 0
=
−
1
β
e
−β
− e
β
=
1
β
e
β
− e
−β
=
2
β
·
e
β
− e
−β
2
=
2
β
· sh β , (4.38)
откуда
∂I
∂β
=
2
β
· chβ −
2
β
2
· shβ =
2
β
· shβ
cthβ −
1
β
(4.39)
Таким образом, формула (4.35) с учетом (4.37) и (4.39) принимает вид hp z
i = pL (β) ,
(4.40)
где L (β) = cthβ − 1/β — функция Ланжевена рис. 4.9.
48
1
L(β)
β
Рис. 4.9
При не очень больших напряженностях поля, когда pE kT , т. е. β 1 , разлагая гиперболический котангенс в ряд cth β = 1/β + β/3 − β
3
/45 + . . .
(4.41)
и ограничиваясь в выражении для L (β) линейным по β
членом
L (β) = β/3,
(4.42)
получаем hp z
i = p
2
E/ (3kT ) .
(4.43)
Поле насыщения.
С увеличением напряженности поля дипольные моменты все бо- лее интенсивно ориентируются в направлении напряженности и при pE kT , т. е. при
β 1, можно считать, что все дипольные моменты параллельны между собой и имеют направление напряженности поля. Следовательно,
hp z
i = p.
(4.44)
Соотношение (4.44) получается из (4.40), если учесть, что при β 1 функция L (β) близка к единице:
L (β → ∞) → 1.
(4.45)
При выполнении условия (4.44) достигается максимально возможная поляризованность и дальнейшее увеличение напряженности поля не приводит к ее увеличению. Напряжен- ность поля, при которой достигается максимально возможная поляризованность, назы- вается напряженностью поля насыщения. Считая порядок величины дипольных мо- ментов равным 10
−29
Кл· м, заключаем, что при = 300 К напряженность поля насыщения равна
E ≈ kT /p ' 4, 2 · 10 8
В/м.
(4.46)
Отсюда видно, что условие pE kT , при котором справедлива формула (4.43), выпол- няется вплоть до напряженностей полей, равных миллионам вольт на метр. Поэтому в большинстве практически важных случаев можно пользоваться формулой (4.43).
Разреженные газы.
В этом случае напряженность локального поля можно считать равной напряженности внешнего и представить поляризованность [см. (4.43)] в виде
P = np
2
E/ (3kT ) .
(4.47)
Далее, в полной аналогии с ходом вычислений по формулам (4.19)—(21.8), получаем, что относительная диэлектрическая восприимчивость равна
ε
r
= 1 + np
2
/ (3kT ε
0
) .
(4.48)
Наряду с поляризованностью из-за переориентировки постоянных дипольных моментов полярные диэлектрики обладают также поляризованностью, обусловленной индуцирован- ными дипольными моментами, которая описывается формулой (21.8). Поэтому с учетом обоих механизмов поляризации выражение для ε
r полярных газообразных диэлектриков при не слишком большом давлении имеет вид
ε
r
= 1 + n
α + p
2
/ (3kT ε
0
)
.
(4.49)
Как видно из (4.17), α = 10
−29
м
3
. С другой стороны, при комнатной температуре kT ≈
4 · 10
−21
Дж и поэтому при p ≈ 10
−29
Кл · мp
2
/ (3kT ε
0
) ∼ 10
−27
м
3
, т. е. вклад в поляри- зованностъ от индуцированных дипольных моментов примерно в сто раз меньше, чем
49
от постоянных, и им можно пренебречь. Однако в принципе современная точность из- мерений такова, что позволяет разделить вклад в поляризованностъ от постоянных и индуцированных дипольных моментов. Для этого измеряют ε
r в широком интервале температур и пользуются формулой (4.49). Зависимость ε
r от 1/T на графике является прямой линией. Ее пересечение с осью ординат при 1/T = 0 дает ε
r
= 1 + αn. Отсюда по формуле (4.49) вычисляется α = (ε
r
− 1) /n. После этого по результатам измерения при других значениях 1/T с помощью формулы (4.49) можно вычислить постоянный диполь- ный момент, поскольку все остальные величины в этом уравнении известны.
4.1.6
Сегнетоэлектрики, пьезоэлектрики, электреты. Явления на разломах
До сих пор обсуждались типичные физические параметры однородных и изотропных ди- электриков. В дополнение кратко опишем необычные электрические свойства некоторых диэлектриков, связанные, в первую очередь, со структурными особенностями и анизотро- пией вещества.
Сегнетоэлектрики – вещества, обладающие в отсутствие электрического поля в неко- тором диапазоне температур электрической поляризацией, зависящей от внешних усло- вий. Они являются электрическим аналогом ферромагнетиков. Известно несколько сот сегнетоэлектриков, в том числе сегнетокерамика, жидкие кристаллы и полимерные мате- риалы. К сегнетоэлектрикам относятся сегнетова соль (NaKCl
4
H
4
O
6 4H
2
O), титанат бария
(BaTiO
3
), ниобат лития (LiNbO
3
).
Рис. 4.10
Сегнетоэлектрики характеризуются наличием доменов – областей с мононаправленной поляризацией в пределах одного домена. Диэлек- трическая проницаемость этих материалов достигает нескольких ты- сяч, и зависит от предыстории. В сегнетоэлектрических диэлектри- ках, помещенных в электрическое поле, возникает остаточная элек- трическая поляризация (эффект памяти). Петля гистерезиса, пред- ставленная на рис. 4.10, характеризуется двумя величинами: остаточ- ной поляризацией P
r
, имеющейся даже при нулевом поле E, и коэрци- тивным полем E
c
, при котором вектор поляризации изменяет направ- ление на обратное. Пьезоэлектрики – анизотропные кристаллические материалы (диэлек- трики и полупроводники), в которых при механических деформациях возникает электри- ческая поляризация (пьезоэффект). Они также деформируются под влиянием внешнего электрического поля (обратныйпьезоэффект). Типичным примером пьезоэлектрика яв- ляется кварц SiO
2
в некоторых модификациях. Эффект возникает благодаря тому, что при деформации происходит смещение ионов в кристаллической решетке и деформация электронных орбит. Это приводит к возникновению ненулевого вектора поляризации в некоторых кристаллических решетках.
Электреты – материалы, длительно сохраняющие поляризованное состояние после снятия внешнего поля. Являются электрическим аналогом магнитов. Так некоторые ор- ганические смолы,застывая в сильном электрическом поле, сохраняют застывшей поля- ризацию молекул.
Рассмотренные материалы и их свойства широко применяются в технике. Однако при использовании сегнетоэлектриков и электретов может возникнуть проблема экранировки.
В воздухе или другой окружающей среде могут найтись свободные ионы, которые перерас- пределяются так, что нейтрализуют их вектор поляризации. В таких случаях необходима специальная очистка материала.
В заключение несколько слов о явлениях на разломах — о свойстве свежеобразованной поверхности испускать электроны и фотоны высокой энергии. В научных экспериментах удалось зарегистрировать при разломах горных пород электроны, вылетающие со скоро-
50
стями, близкими к скорости света. Подобные явления, даже не разбивая гранитных глыб,
может наблюдать каждый. Например, в темноте нетрудно заметить свечение при разла- мывании кусочков сахара, при растирании в ступе сахарного песка, при разрыве бумаги,
при быстром разматывании рулона липкой ленты и даже при сходе ночных лавин в горах.
Такие эффекты могут быть связаны с электроотрицательностью атомов на одной из границ разлома, приводящей к захвату электронов от атомов другой границы, а также с пьезоэффектом. Явления на разломах имеют большое практическое значение. В частно- сти, оптические и электрические эффекты вблизи геологических разломов в ряде случаев позволяют заблаговременно предсказывать землетрясения и другие стихийные бедствия.
51
Глава 5
Постоянный электрический ток
5.1
Постоянный ток. Законы Ома и Джоуля-Ленца
5.1.1
Постоянный ток. Виды тока. Сила тока. Плотность тока
Направленное движение электрических зарядов называют электрическим током. Пере- нос электрического тока чаще осуществляется электронами. Однако в жидкостях, газах и плазме носителями тока нередко являются ионы – как положительные, так и отрица- тельные. В полупроводниках часто удобно рассматривать перенос тока так называемыми "дырками". сечение проводника в единицу времени:
I =
dq dt
(5.1)
Ток является постоянным, если сила тока не зависит от времени. Для постоянного тока уравнение (5.1) можно проинтегрировать и получить
I =
q t
(5.2)
Локальной характеристикой тока в данной точке проводника является плотность тока:
j =
dI
dS
,
(5.3)
где dS – элемент сечения проводника. Плотность тока особенно важна в случае, когда плотность тока в разных точках проводника различна.
Рис. 5.1
Плотность тока и силу тока можно рассматривать как вектор,
направленный по линии движения зарядов в данной точке провод- ника. Направление тока совпадает с направлением движения поло- жительных носителей тока и противоположно направлению дви- жения отрицательных носителей тока. Плотность тока несложно связать со скоростью направленного движения υ и концентраци- ей носителей заряда n. Из рис. 5.1 видно, что в единицу времени единицу площади сечения проводника пересекут nυ носителей за- ряда – все частицы из объема длиной υ, но не больше. Приняв для определенности, что заряд каждого носителя равен элементарному заряду e, получим по определению плотности тока:
j = enυ.
(5.4)
Отметим, что при обычных температурах скорость направленного движения носителей заряда на порядки меньше скорости хаотического движения.
Единица измерения силы тока – ампер (А). 1 A = 1 Кл/с. Иногда силу тока называют просто током. Плотность тока измеряется в амперах на квадратный метр (A/м
2
) .
52
5.1.2
Закон Ома в дифференциальной форме
В каждой точке проводника плотность тока является функцией напряженности поля. По- лучим вид этой функции. Для определенности будем считать носителями тока электроны.
Под действием поля электрон приобретает некоторую скорость в направлении, противопо- ложном вектору напряженности E. Однако время от времени он теряет эту направленную скорость, например, в результате столкновений с атомами среды. Ускорение электрона массы m (по модулю) в поле по второму закону Ньютона равно:
a =
eE
m
(5.5)
С другой стороны, ускорение можно выразить через среднюю скорость направленного движения υ и среднее время между столкновениями τ :
a =
ν
макс
τ
=
2ν
τ
(5.6)
Здесь учтено, что при равноускоренном движении средняя скорость равна половине мак- симальной. Приравнивая выражения, получим, что скорость направленного движения но- сителей заряда пропорциональна напряженности поля:
ν =
eτ E
2m
= χE.
(5.7)
Здесь выделен коэффициент пропорциональности
χ =
eτ
2m между скоростью направленного (дрейфового) движения электрона и напряженностью поля, называемый подвижностью электрона. Так как обычно скорость направленного движения носителей заряда намного меньше скорости хаотического движения, то время столкновения τ определяется средней скоростью хаотического (а не направленного) дви- жения электронов u:
τ = λ/u.
(5.8)
υ =
λeE
2mu
= χE.
(5.9)
При этом подвижность электрона определяется выражением
χ =
λe
2mu
(5.10)
С учетом (5.4) получим связь плотности тока с напряженностью поля –
закон Ома в локальной (дифференциальной) форме:
j = γE = E/ρ,
(5.11)
где введены понятия удельной электропроводности (или проводимости) γ и удельного сопротивления ρ проводника:
γ = enχ =
ne
2
λ
2mu
=
1
ρ
(5.12)
53
5.1.3
Закон Ома в интегральной форме. Сопротивление
S
l
1 2
R
U
3 4
I
Рис. 5.2
Выведем теперь закон Ома в интегральной форме для участка цепи, не со- держащего источник тока. Пусть ток течет по проводнику сечением S и длиной l (рис. 5.2). Умножим обе части уравнения j = E/ρ на площадь S,
перейдя от плотности тока к току. Получим выражение для напряженности и свяжем ее в одномерном случае с потенциалом:
E =
Iρ
S
= −
dϕ
dl
(5.13)
Получим для потенциала −dϕ =
Iρ
S
dl откуда, интегрируя в пределах границ проводника,
имеем:
∆ϕ
12
= I
ρl
S
= IR,
(5.14)
где R =
ρl
S
– сопротивление участка цепи.
Чаще полученный закон Ома для участка цепи в интегральной форме формулируют следующим образом: сила тока в цепи прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению (разность потенциалов на участке цепи при постоянном токе называют напряжением U ):
I =
U
R
(5.15)
5.1.4
Сторонние силы. Электродвижущая сила. Обобщенный за- кон Ома
Чтобы постоянный ток протекал по проводнику, необходимо на его концах поддерживать разность потенциалов. Это можно осуществить с помощью источника тока. Рассмотрим электрическую цепь рис. 5.2 Пренебрежем сопротивлением подводящих проводников, так что потенциалы точек 1 и 3 а также точек 2 и 4 попарно равны. На участке 1 − 2 работает закон Ома для участка цепи в интегральной форме ϕ
1
− ϕ
2
= IR. Напряженность элек- трического поля на этом участке отлична от нуля, и оно придает зарядам на этом участке в соответствии с формулой (5.6) направленное движение.
На участке 4 − 3, в источнике тока, положительные заряды вопреки законам электро- статики переходят от меньшего потенциала к большему. Такое перемещение проходит под действием , называемых сторонними (неэлектростатическими). Эти силы могут иметь,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 13
Плотные газы.
В этом случае в формуле (4.19) надо для ∗ использовать выражение для напряженности локального поля, действующего на молекулу внутри диэлектрика:
E
∗
=
E +
P / (3ε
0
) .
Тогда
P = αε
0
n h
E +
P / (3ε
0
)
i
,
(4.25)
откуда
P =
αε
0
n
1 − αn/3
E.
(4.26)
46
Подставляя (4.26) в выражение для вектора смещения, находим
D = ε
E = ε
0
E +
P = ε
0
E +
αε
0
n
1 − αn/3
E,
(4.27)
откуда
3 (ε
r
− 1)
ε
r
+ 2
= αn.
(4.28)
Эта формула называется формулой Клаузиуса — Моссотти. Ее с помощью (4.23)
можно представить в виде
3 (ε
r
− 1)
ε
r
+ 2
m
ρ
m
= αN
A
(4.29)
Левая часть равенства (4.29) не зависит от температуры и давления в тех преде- лах, в которых молекулярная восприимчивость остается постоянной. Для газов такие давления могут быть большими (порядка 100 МПа). В жидкостях и твердых телах при больших плотностях α зависит от давления. Формула (4.29) проверена эксперименталь- но в широком диапазоне давлений. Например, для углекислого газа CO
2
, являющегося неполярным, справедливость соотношения Клаузиуса-Моссотти (4.29) была проверена с большой точностью до давлений примерно 100 МПа при 100
◦
. Во всем интервале этих дав- лений относительное отклонение левой части (4.29) от постоянного значения не превышает нескольких сотых, причем до давлений примерно в 20 МПа наблюдается небольшой рост,
а выше — небольшое уменьшение значения левой части (4.29). Относительная диэлектри- ческая проницаемость ε
r при этом изменяется довольно значительно, примерно в полтора раза в интервале давлений от 1 МПа до 100 МПа.
Рис. 4.7
Пример.
Оценить атомную диэлектрическую восприимчи- вость α атома водорода. Напряженность электрического по- ля направлена перпендикулярно плоскости движения электрона
(рис. 4.7).
Запишем условие равновесия движущегося электрона при на- личии внешнего поля:
eE =
e
2 4πε
0
(x
2
+ r
2
)
cos β =
e
2 4πε
0
x
(x
2
+ r
2
)
3
/2
(4.30)
При x r получаем x/(x
2
+ r
2
)
3/2
= x/r
3
и поэтому [см. (4.30)]
ex = 4πε
0
r
3
E = p,
откуда
α = 4πr
3
≈ 1, 57 · 10
−30
м
3
,
что дает правильный порядок атомной диэлектрической восприимчивости атома водорода.
4.1.5
Полярные диэлектрики
Описываются основные свойства полярных диэлектриков.
Зависимость поляризованности от температуры. Постоянный дипольный момент у большинства молекул имеет порядок 10
−29
− 10
−30
Кл-м. Например, у он равен 0, 36 ·
10
−30
Кл · м, у SO
2
– 5.3 · 10
−30
Кл · м, у l – 3, 5 · 10
−29
Кл · м. Дипольные моменты большин- ства молекул измерены и имеются в таблицах.
Дипольный момент
p, находящийся в электрическом поле
E, обладает потенциальной энергией
W = −
p ·
E.
(4.31)
47
Эта величина достигает минимального значения, когда направление диполя совпадает с направлением напряженности электрического поля. Поскольку устойчивым является со- стояние системы с наименьшей энергией, моменты диполей полярных молекул стремятся повернуться до совпадения с направлением напряженности электрического поля. Этот поворот осуществляется парой сил, действующих на диполь (см. рис. 4.6). Однако тепло- вое движение расстраивает упорядочивающее действие электрического поля. В результате устанавливается некоторое равновесие.
Рис. 4.8
Совместим ось Z с направлением напряженности
E электриче- ского поля (рис. 4.8). Потенциальная энергия молекул (4.31) зави- сит от угла между направлениями их дипольного момента и напря- женности:
W = −pE cos Θ = −p z
E
(4.32)
и, следовательно, распределение Больцмана в данном случае ха- рактеризует распределение направлений дипольных моментов мо- лекул по углам. Число молекул dn, дипольные моменты которых расположены в телесном угле dΩ, равно dn = Ae pE cos Θ
kT
dΩ = Ae pE cos Θ
kT
dα sin Θ.
(4.33)
Тогда среднее значение компоненты момента диполей по оси Z равно hp z
i =
R p z
dn
R dn
= =
Ap
2π
R
0
dα
π
R
0
e
β·cos θ
cos θ sin θdθ
A
2π
R
0
dα
π
R
0
e
β cos θ
sin θdθ
(4.34)
введено обозначение
β = pE/ (kT ) .
(4.35)
Прежде всего необходимо вычислить внутренний интеграл в знаменателе (4.34):
I =
π
Z
0
e
β cos θ
sin θdθ,
(4.36)
поскольку внутренний интеграл в числителе выражается формулой
Z
π
0
e
β cos θ
sin θdθ = ∂I/∂β
(4.37)
Интеграл (4.36) вычисляется легко:
I =
Z
π
0
e
β cos θ
sin θdθ = −
1
β
e
β cos θ
|
π
0
= −
1
β
e
β cos π
− e
β cos 0
=
−
1
β
e
−β
− e
β
=
1
β
e
β
− e
−β
=
2
β
·
e
β
− e
−β
2
=
2
β
· sh β , (4.38)
откуда
∂I
∂β
=
2
β
· chβ −
2
β
2
· shβ =
2
β
· shβ
cthβ −
1
β
(4.39)
Таким образом, формула (4.35) с учетом (4.37) и (4.39) принимает вид hp z
i = pL (β) ,
(4.40)
где L (β) = cthβ − 1/β — функция Ланжевена рис. 4.9.
48
1
L(β)
β
Рис. 4.9
При не очень больших напряженностях поля, когда pE kT , т. е. β 1 , разлагая гиперболический котангенс в ряд cth β = 1/β + β/3 − β
3
/45 + . . .
(4.41)
и ограничиваясь в выражении для L (β) линейным по β
членом
L (β) = β/3,
(4.42)
получаем hp z
i = p
2
E/ (3kT ) .
(4.43)
Поле насыщения.
С увеличением напряженности поля дипольные моменты все бо- лее интенсивно ориентируются в направлении напряженности и при pE kT , т. е. при
β 1, можно считать, что все дипольные моменты параллельны между собой и имеют направление напряженности поля. Следовательно,
hp z
i = p.
(4.44)
Соотношение (4.44) получается из (4.40), если учесть, что при β 1 функция L (β) близка к единице:
L (β → ∞) → 1.
(4.45)
При выполнении условия (4.44) достигается максимально возможная поляризованность и дальнейшее увеличение напряженности поля не приводит к ее увеличению. Напряжен- ность поля, при которой достигается максимально возможная поляризованность, назы- вается напряженностью поля насыщения. Считая порядок величины дипольных мо- ментов равным 10
−29
Кл· м, заключаем, что при = 300 К напряженность поля насыщения равна
E ≈ kT /p ' 4, 2 · 10 8
В/м.
(4.46)
Отсюда видно, что условие pE kT , при котором справедлива формула (4.43), выпол- няется вплоть до напряженностей полей, равных миллионам вольт на метр. Поэтому в большинстве практически важных случаев можно пользоваться формулой (4.43).
Разреженные газы.
В этом случае напряженность локального поля можно считать равной напряженности внешнего и представить поляризованность [см. (4.43)] в виде
P = np
2
E/ (3kT ) .
(4.47)
Далее, в полной аналогии с ходом вычислений по формулам (4.19)—(21.8), получаем, что относительная диэлектрическая восприимчивость равна
ε
r
= 1 + np
2
/ (3kT ε
0
) .
(4.48)
Наряду с поляризованностью из-за переориентировки постоянных дипольных моментов полярные диэлектрики обладают также поляризованностью, обусловленной индуцирован- ными дипольными моментами, которая описывается формулой (21.8). Поэтому с учетом обоих механизмов поляризации выражение для ε
r полярных газообразных диэлектриков при не слишком большом давлении имеет вид
ε
r
= 1 + n
α + p
2
/ (3kT ε
0
)
.
(4.49)
Как видно из (4.17), α = 10
−29
м
3
. С другой стороны, при комнатной температуре kT ≈
4 · 10
−21
Дж и поэтому при p ≈ 10
−29
Кл · мp
2
/ (3kT ε
0
) ∼ 10
−27
м
3
, т. е. вклад в поляри- зованностъ от индуцированных дипольных моментов примерно в сто раз меньше, чем
49
от постоянных, и им можно пренебречь. Однако в принципе современная точность из- мерений такова, что позволяет разделить вклад в поляризованностъ от постоянных и индуцированных дипольных моментов. Для этого измеряют ε
r в широком интервале температур и пользуются формулой (4.49). Зависимость ε
r от 1/T на графике является прямой линией. Ее пересечение с осью ординат при 1/T = 0 дает ε
r
= 1 + αn. Отсюда по формуле (4.49) вычисляется α = (ε
r
− 1) /n. После этого по результатам измерения при других значениях 1/T с помощью формулы (4.49) можно вычислить постоянный диполь- ный момент, поскольку все остальные величины в этом уравнении известны.
4.1.6
Сегнетоэлектрики, пьезоэлектрики, электреты. Явления на разломах
До сих пор обсуждались типичные физические параметры однородных и изотропных ди- электриков. В дополнение кратко опишем необычные электрические свойства некоторых диэлектриков, связанные, в первую очередь, со структурными особенностями и анизотро- пией вещества.
Сегнетоэлектрики – вещества, обладающие в отсутствие электрического поля в неко- тором диапазоне температур электрической поляризацией, зависящей от внешних усло- вий. Они являются электрическим аналогом ферромагнетиков. Известно несколько сот сегнетоэлектриков, в том числе сегнетокерамика, жидкие кристаллы и полимерные мате- риалы. К сегнетоэлектрикам относятся сегнетова соль (NaKCl
4
H
4
O
6 4H
2
O), титанат бария
(BaTiO
3
), ниобат лития (LiNbO
3
).
Рис. 4.10
Сегнетоэлектрики характеризуются наличием доменов – областей с мононаправленной поляризацией в пределах одного домена. Диэлек- трическая проницаемость этих материалов достигает нескольких ты- сяч, и зависит от предыстории. В сегнетоэлектрических диэлектри- ках, помещенных в электрическое поле, возникает остаточная элек- трическая поляризация (эффект памяти). Петля гистерезиса, пред- ставленная на рис. 4.10, характеризуется двумя величинами: остаточ- ной поляризацией P
r
, имеющейся даже при нулевом поле E, и коэрци- тивным полем E
c
, при котором вектор поляризации изменяет направ- ление на обратное. Пьезоэлектрики – анизотропные кристаллические материалы (диэлек- трики и полупроводники), в которых при механических деформациях возникает электри- ческая поляризация (пьезоэффект). Они также деформируются под влиянием внешнего электрического поля (обратныйпьезоэффект). Типичным примером пьезоэлектрика яв- ляется кварц SiO
2
в некоторых модификациях. Эффект возникает благодаря тому, что при деформации происходит смещение ионов в кристаллической решетке и деформация электронных орбит. Это приводит к возникновению ненулевого вектора поляризации в некоторых кристаллических решетках.
Электреты – материалы, длительно сохраняющие поляризованное состояние после снятия внешнего поля. Являются электрическим аналогом магнитов. Так некоторые ор- ганические смолы,застывая в сильном электрическом поле, сохраняют застывшей поля- ризацию молекул.
Рассмотренные материалы и их свойства широко применяются в технике. Однако при использовании сегнетоэлектриков и электретов может возникнуть проблема экранировки.
В воздухе или другой окружающей среде могут найтись свободные ионы, которые перерас- пределяются так, что нейтрализуют их вектор поляризации. В таких случаях необходима специальная очистка материала.
В заключение несколько слов о явлениях на разломах — о свойстве свежеобразованной поверхности испускать электроны и фотоны высокой энергии. В научных экспериментах удалось зарегистрировать при разломах горных пород электроны, вылетающие со скоро-
50
стями, близкими к скорости света. Подобные явления, даже не разбивая гранитных глыб,
может наблюдать каждый. Например, в темноте нетрудно заметить свечение при разла- мывании кусочков сахара, при растирании в ступе сахарного песка, при разрыве бумаги,
при быстром разматывании рулона липкой ленты и даже при сходе ночных лавин в горах.
Такие эффекты могут быть связаны с электроотрицательностью атомов на одной из границ разлома, приводящей к захвату электронов от атомов другой границы, а также с пьезоэффектом. Явления на разломах имеют большое практическое значение. В частно- сти, оптические и электрические эффекты вблизи геологических разломов в ряде случаев позволяют заблаговременно предсказывать землетрясения и другие стихийные бедствия.
51
Глава 5
Постоянный электрический ток
5.1
Постоянный ток. Законы Ома и Джоуля-Ленца
5.1.1
Постоянный ток. Виды тока. Сила тока. Плотность тока
Направленное движение электрических зарядов называют электрическим током. Пере- нос электрического тока чаще осуществляется электронами. Однако в жидкостях, газах и плазме носителями тока нередко являются ионы – как положительные, так и отрица- тельные. В полупроводниках часто удобно рассматривать перенос тока так называемыми "дырками". сечение проводника в единицу времени:
I =
dq dt
(5.1)
Ток является постоянным, если сила тока не зависит от времени. Для постоянного тока уравнение (5.1) можно проинтегрировать и получить
I =
q t
(5.2)
Локальной характеристикой тока в данной точке проводника является плотность тока:
j =
dI
dS
,
(5.3)
где dS – элемент сечения проводника. Плотность тока особенно важна в случае, когда плотность тока в разных точках проводника различна.
Рис. 5.1
Плотность тока и силу тока можно рассматривать как вектор,
направленный по линии движения зарядов в данной точке провод- ника. Направление тока совпадает с направлением движения поло- жительных носителей тока и противоположно направлению дви- жения отрицательных носителей тока. Плотность тока несложно связать со скоростью направленного движения υ и концентраци- ей носителей заряда n. Из рис. 5.1 видно, что в единицу времени единицу площади сечения проводника пересекут nυ носителей за- ряда – все частицы из объема длиной υ, но не больше. Приняв для определенности, что заряд каждого носителя равен элементарному заряду e, получим по определению плотности тока:
j = enυ.
(5.4)
Отметим, что при обычных температурах скорость направленного движения носителей заряда на порядки меньше скорости хаотического движения.
Единица измерения силы тока – ампер (А). 1 A = 1 Кл/с. Иногда силу тока называют просто током. Плотность тока измеряется в амперах на квадратный метр (A/м
2
) .
52
5.1.2
Закон Ома в дифференциальной форме
В каждой точке проводника плотность тока является функцией напряженности поля. По- лучим вид этой функции. Для определенности будем считать носителями тока электроны.
Под действием поля электрон приобретает некоторую скорость в направлении, противопо- ложном вектору напряженности E. Однако время от времени он теряет эту направленную скорость, например, в результате столкновений с атомами среды. Ускорение электрона массы m (по модулю) в поле по второму закону Ньютона равно:
a =
eE
m
(5.5)
С другой стороны, ускорение можно выразить через среднюю скорость направленного движения υ и среднее время между столкновениями τ :
a =
ν
макс
τ
=
2ν
τ
(5.6)
Здесь учтено, что при равноускоренном движении средняя скорость равна половине мак- симальной. Приравнивая выражения, получим, что скорость направленного движения но- сителей заряда пропорциональна напряженности поля:
ν =
eτ E
2m
= χE.
(5.7)
Здесь выделен коэффициент пропорциональности
χ =
eτ
2m между скоростью направленного (дрейфового) движения электрона и напряженностью поля, называемый подвижностью электрона. Так как обычно скорость направленного движения носителей заряда намного меньше скорости хаотического движения, то время столкновения τ определяется средней скоростью хаотического (а не направленного) дви- жения электронов u:
τ = λ/u.
(5.8)
υ =
λeE
2mu
= χE.
(5.9)
При этом подвижность электрона определяется выражением
χ =
λe
2mu
(5.10)
С учетом (5.4) получим связь плотности тока с напряженностью поля –
закон Ома в локальной (дифференциальной) форме:
j = γE = E/ρ,
(5.11)
где введены понятия удельной электропроводности (или проводимости) γ и удельного сопротивления ρ проводника:
γ = enχ =
ne
2
λ
2mu
=
1
ρ
(5.12)
53
5.1.3
Закон Ома в интегральной форме. Сопротивление
S
l
1 2
R
U
3 4
I
Рис. 5.2
Выведем теперь закон Ома в интегральной форме для участка цепи, не со- держащего источник тока. Пусть ток течет по проводнику сечением S и длиной l (рис. 5.2). Умножим обе части уравнения j = E/ρ на площадь S,
перейдя от плотности тока к току. Получим выражение для напряженности и свяжем ее в одномерном случае с потенциалом:
E =
Iρ
S
= −
dϕ
dl
(5.13)
Получим для потенциала −dϕ =
Iρ
S
dl откуда, интегрируя в пределах границ проводника,
имеем:
∆ϕ
12
= I
ρl
S
= IR,
(5.14)
где R =
ρl
S
– сопротивление участка цепи.
Чаще полученный закон Ома для участка цепи в интегральной форме формулируют следующим образом: сила тока в цепи прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению (разность потенциалов на участке цепи при постоянном токе называют напряжением U ):
I =
U
R
(5.15)
5.1.4
Сторонние силы. Электродвижущая сила. Обобщенный за- кон Ома
Чтобы постоянный ток протекал по проводнику, необходимо на его концах поддерживать разность потенциалов. Это можно осуществить с помощью источника тока. Рассмотрим электрическую цепь рис. 5.2 Пренебрежем сопротивлением подводящих проводников, так что потенциалы точек 1 и 3 а также точек 2 и 4 попарно равны. На участке 1 − 2 работает закон Ома для участка цепи в интегральной форме ϕ
1
− ϕ
2
= IR. Напряженность элек- трического поля на этом участке отлична от нуля, и оно придает зарядам на этом участке в соответствии с формулой (5.6) направленное движение.
На участке 4 − 3, в источнике тока, положительные заряды вопреки законам электро- статики переходят от меньшего потенциала к большему. Такое перемещение проходит под действием , называемых сторонними (неэлектростатическими). Эти силы могут иметь,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 13
Плотные газы.
В этом случае в формуле (4.19) надо для ∗ использовать выражение для напряженности локального поля, действующего на молекулу внутри диэлектрика:
E
∗
=
E +
P / (3ε
0
) .
Тогда
P = αε
0
n h
E +
P / (3ε
0
)
i
,
(4.25)
откуда
P =
αε
0
n
1 − αn/3
E.
(4.26)
46
Подставляя (4.26) в выражение для вектора смещения, находим
D = ε
E = ε
0
E +
P = ε
0
E +
αε
0
n
1 − αn/3
E,
(4.27)
откуда
3 (ε
r
− 1)
ε
r
+ 2
= αn.
(4.28)
Эта формула называется формулой Клаузиуса — Моссотти. Ее с помощью (4.23)
можно представить в виде
3 (ε
r
− 1)
ε
r
+ 2
m
ρ
m
= αN
A
(4.29)
Левая часть равенства (4.29) не зависит от температуры и давления в тех преде- лах, в которых молекулярная восприимчивость остается постоянной. Для газов такие давления могут быть большими (порядка 100 МПа). В жидкостях и твердых телах при больших плотностях α зависит от давления. Формула (4.29) проверена эксперименталь- но в широком диапазоне давлений. Например, для углекислого газа CO
2
, являющегося неполярным, справедливость соотношения Клаузиуса-Моссотти (4.29) была проверена с большой точностью до давлений примерно 100 МПа при 100
◦
. Во всем интервале этих дав- лений относительное отклонение левой части (4.29) от постоянного значения не превышает нескольких сотых, причем до давлений примерно в 20 МПа наблюдается небольшой рост,
а выше — небольшое уменьшение значения левой части (4.29). Относительная диэлектри- ческая проницаемость ε
r при этом изменяется довольно значительно, примерно в полтора раза в интервале давлений от 1 МПа до 100 МПа.
Рис. 4.7
Пример.
Оценить атомную диэлектрическую восприимчи- вость α атома водорода. Напряженность электрического по- ля направлена перпендикулярно плоскости движения электрона
(рис. 4.7).
Запишем условие равновесия движущегося электрона при на- личии внешнего поля:
eE =
e
2 4πε
0
(x
2
+ r
2
)
cos β =
e
2 4πε
0
x
(x
2
+ r
2
)
3
/2
(4.30)
При x r получаем x/(x
2
+ r
2
)
3/2
= x/r
3
и поэтому [см. (4.30)]
ex = 4πε
0
r
3
E = p,
откуда
α = 4πr
3
≈ 1, 57 · 10
−30
м
3
,
что дает правильный порядок атомной диэлектрической восприимчивости атома водорода.
4.1.5
Полярные диэлектрики
Описываются основные свойства полярных диэлектриков.
Зависимость поляризованности от температуры. Постоянный дипольный момент у большинства молекул имеет порядок 10
−29
− 10
−30
Кл-м. Например, у он равен 0, 36 ·
10
−30
Кл · м, у SO
2
– 5.3 · 10
−30
Кл · м, у l – 3, 5 · 10
−29
Кл · м. Дипольные моменты большин- ства молекул измерены и имеются в таблицах.
Дипольный момент
p, находящийся в электрическом поле
E, обладает потенциальной энергией
W = −
p ·
E.
(4.31)
47
Эта величина достигает минимального значения, когда направление диполя совпадает с направлением напряженности электрического поля. Поскольку устойчивым является со- стояние системы с наименьшей энергией, моменты диполей полярных молекул стремятся повернуться до совпадения с направлением напряженности электрического поля. Этот поворот осуществляется парой сил, действующих на диполь (см. рис. 4.6). Однако тепло- вое движение расстраивает упорядочивающее действие электрического поля. В результате устанавливается некоторое равновесие.
Рис. 4.8
Совместим ось Z с направлением напряженности
E электриче- ского поля (рис. 4.8). Потенциальная энергия молекул (4.31) зави- сит от угла между направлениями их дипольного момента и напря- женности:
W = −pE cos Θ = −p z
E
(4.32)
и, следовательно, распределение Больцмана в данном случае ха- рактеризует распределение направлений дипольных моментов мо- лекул по углам. Число молекул dn, дипольные моменты которых расположены в телесном угле dΩ, равно dn = Ae pE cos Θ
kT
dΩ = Ae pE cos Θ
kT
dα sin Θ.
(4.33)
Тогда среднее значение компоненты момента диполей по оси Z равно hp z
i =
R p z
dn
R dn
= =
Ap
2π
R
0
dα
π
R
0
e
β·cos θ
cos θ sin θdθ
A
2π
R
0
dα
π
R
0
e
β cos θ
sin θdθ
(4.34)
введено обозначение
β = pE/ (kT ) .
(4.35)
Прежде всего необходимо вычислить внутренний интеграл в знаменателе (4.34):
I =
π
Z
0
e
β cos θ
sin θdθ,
(4.36)
поскольку внутренний интеграл в числителе выражается формулой
Z
π
0
e
β cos θ
sin θdθ = ∂I/∂β
(4.37)
Интеграл (4.36) вычисляется легко:
I =
Z
π
0
e
β cos θ
sin θdθ = −
1
β
e
β cos θ
|
π
0
= −
1
β
e
β cos π
− e
β cos 0
=
−
1
β
e
−β
− e
β
=
1
β
e
β
− e
−β
=
2
β
·
e
β
− e
−β
2
=
2
β
· sh β , (4.38)
откуда
∂I
∂β
=
2
β
· chβ −
2
β
2
· shβ =
2
β
· shβ
cthβ −
1
β
(4.39)
Таким образом, формула (4.35) с учетом (4.37) и (4.39) принимает вид hp z
i = pL (β) ,
(4.40)
где L (β) = cthβ − 1/β — функция Ланжевена рис. 4.9.
48
1
L(β)
β
Рис. 4.9
При не очень больших напряженностях поля, когда pE kT , т. е. β 1 , разлагая гиперболический котангенс в ряд cth β = 1/β + β/3 − β
3
/45 + . . .
(4.41)
и ограничиваясь в выражении для L (β) линейным по β
членом
L (β) = β/3,
(4.42)
получаем hp z
i = p
2
E/ (3kT ) .
(4.43)
Поле насыщения.
С увеличением напряженности поля дипольные моменты все бо- лее интенсивно ориентируются в направлении напряженности и при pE kT , т. е. при
β 1, можно считать, что все дипольные моменты параллельны между собой и имеют направление напряженности поля. Следовательно,
hp z
i = p.
(4.44)
Соотношение (4.44) получается из (4.40), если учесть, что при β 1 функция L (β) близка к единице:
L (β → ∞) → 1.
(4.45)
При выполнении условия (4.44) достигается максимально возможная поляризованность и дальнейшее увеличение напряженности поля не приводит к ее увеличению. Напряжен- ность поля, при которой достигается максимально возможная поляризованность, назы- вается напряженностью поля насыщения. Считая порядок величины дипольных мо- ментов равным 10
−29
Кл· м, заключаем, что при = 300 К напряженность поля насыщения равна
E ≈ kT /p ' 4, 2 · 10 8
В/м.
(4.46)
Отсюда видно, что условие pE kT , при котором справедлива формула (4.43), выпол- няется вплоть до напряженностей полей, равных миллионам вольт на метр. Поэтому в большинстве практически важных случаев можно пользоваться формулой (4.43).
Разреженные газы.
В этом случае напряженность локального поля можно считать равной напряженности внешнего и представить поляризованность [см. (4.43)] в виде
P = np
2
E/ (3kT ) .
(4.47)
Далее, в полной аналогии с ходом вычислений по формулам (4.19)—(21.8), получаем, что относительная диэлектрическая восприимчивость равна
ε
r
= 1 + np
2
/ (3kT ε
0
) .
(4.48)
Наряду с поляризованностью из-за переориентировки постоянных дипольных моментов полярные диэлектрики обладают также поляризованностью, обусловленной индуцирован- ными дипольными моментами, которая описывается формулой (21.8). Поэтому с учетом обоих механизмов поляризации выражение для ε
r полярных газообразных диэлектриков при не слишком большом давлении имеет вид
ε
r
= 1 + n
α + p
2
/ (3kT ε
0
)
.
(4.49)
Как видно из (4.17), α = 10
−29
м
3
. С другой стороны, при комнатной температуре kT ≈
4 · 10
−21
Дж и поэтому при p ≈ 10
−29
Кл · мp
2
/ (3kT ε
0
) ∼ 10
−27
м
3
, т. е. вклад в поляри- зованностъ от индуцированных дипольных моментов примерно в сто раз меньше, чем
49
от постоянных, и им можно пренебречь. Однако в принципе современная точность из- мерений такова, что позволяет разделить вклад в поляризованностъ от постоянных и индуцированных дипольных моментов. Для этого измеряют ε
r в широком интервале температур и пользуются формулой (4.49). Зависимость ε
r от 1/T на графике является прямой линией. Ее пересечение с осью ординат при 1/T = 0 дает ε
r
= 1 + αn. Отсюда по формуле (4.49) вычисляется α = (ε
r
− 1) /n. После этого по результатам измерения при других значениях 1/T с помощью формулы (4.49) можно вычислить постоянный диполь- ный момент, поскольку все остальные величины в этом уравнении известны.
4.1.6
Сегнетоэлектрики, пьезоэлектрики, электреты. Явления на разломах
До сих пор обсуждались типичные физические параметры однородных и изотропных ди- электриков. В дополнение кратко опишем необычные электрические свойства некоторых диэлектриков, связанные, в первую очередь, со структурными особенностями и анизотро- пией вещества.
Сегнетоэлектрики – вещества, обладающие в отсутствие электрического поля в неко- тором диапазоне температур электрической поляризацией, зависящей от внешних усло- вий. Они являются электрическим аналогом ферромагнетиков. Известно несколько сот сегнетоэлектриков, в том числе сегнетокерамика, жидкие кристаллы и полимерные мате- риалы. К сегнетоэлектрикам относятся сегнетова соль (NaKCl
4
H
4
O
6 4H
2
O), титанат бария
(BaTiO
3
), ниобат лития (LiNbO
3
).
Рис. 4.10
Сегнетоэлектрики характеризуются наличием доменов – областей с мононаправленной поляризацией в пределах одного домена. Диэлек- трическая проницаемость этих материалов достигает нескольких ты- сяч, и зависит от предыстории. В сегнетоэлектрических диэлектри- ках, помещенных в электрическое поле, возникает остаточная элек- трическая поляризация (эффект памяти). Петля гистерезиса, пред- ставленная на рис. 4.10, характеризуется двумя величинами: остаточ- ной поляризацией P
r
, имеющейся даже при нулевом поле E, и коэрци- тивным полем E
c
, при котором вектор поляризации изменяет направ- ление на обратное. Пьезоэлектрики – анизотропные кристаллические материалы (диэлек- трики и полупроводники), в которых при механических деформациях возникает электри- ческая поляризация (пьезоэффект). Они также деформируются под влиянием внешнего электрического поля (обратныйпьезоэффект). Типичным примером пьезоэлектрика яв- ляется кварц SiO
2
в некоторых модификациях. Эффект возникает благодаря тому, что при деформации происходит смещение ионов в кристаллической решетке и деформация электронных орбит. Это приводит к возникновению ненулевого вектора поляризации в некоторых кристаллических решетках.
Электреты – материалы, длительно сохраняющие поляризованное состояние после снятия внешнего поля. Являются электрическим аналогом магнитов. Так некоторые ор- ганические смолы,застывая в сильном электрическом поле, сохраняют застывшей поля- ризацию молекул.
Рассмотренные материалы и их свойства широко применяются в технике. Однако при использовании сегнетоэлектриков и электретов может возникнуть проблема экранировки.
В воздухе или другой окружающей среде могут найтись свободные ионы, которые перерас- пределяются так, что нейтрализуют их вектор поляризации. В таких случаях необходима специальная очистка материала.
В заключение несколько слов о явлениях на разломах — о свойстве свежеобразованной поверхности испускать электроны и фотоны высокой энергии. В научных экспериментах удалось зарегистрировать при разломах горных пород электроны, вылетающие со скоро-
50
стями, близкими к скорости света. Подобные явления, даже не разбивая гранитных глыб,
может наблюдать каждый. Например, в темноте нетрудно заметить свечение при разла- мывании кусочков сахара, при растирании в ступе сахарного песка, при разрыве бумаги,
при быстром разматывании рулона липкой ленты и даже при сходе ночных лавин в горах.
Такие эффекты могут быть связаны с электроотрицательностью атомов на одной из границ разлома, приводящей к захвату электронов от атомов другой границы, а также с пьезоэффектом. Явления на разломах имеют большое практическое значение. В частно- сти, оптические и электрические эффекты вблизи геологических разломов в ряде случаев позволяют заблаговременно предсказывать землетрясения и другие стихийные бедствия.
51
Глава 5
Постоянный электрический ток
5.1
Постоянный ток. Законы Ома и Джоуля-Ленца
5.1.1
Постоянный ток. Виды тока. Сила тока. Плотность тока
Направленное движение электрических зарядов называют электрическим током. Пере- нос электрического тока чаще осуществляется электронами. Однако в жидкостях, газах и плазме носителями тока нередко являются ионы – как положительные, так и отрица- тельные. В полупроводниках часто удобно рассматривать перенос тока так называемыми "дырками". сечение проводника в единицу времени:
I =
dq dt
(5.1)
Ток является постоянным, если сила тока не зависит от времени. Для постоянного тока уравнение (5.1) можно проинтегрировать и получить
I =
q t
(5.2)
Локальной характеристикой тока в данной точке проводника является плотность тока:
j =
dI
dS
,
(5.3)
где dS – элемент сечения проводника. Плотность тока особенно важна в случае, когда плотность тока в разных точках проводника различна.
Рис. 5.1
Плотность тока и силу тока можно рассматривать как вектор,
направленный по линии движения зарядов в данной точке провод- ника. Направление тока совпадает с направлением движения поло- жительных носителей тока и противоположно направлению дви- жения отрицательных носителей тока. Плотность тока несложно связать со скоростью направленного движения υ и концентраци- ей носителей заряда n. Из рис. 5.1 видно, что в единицу времени единицу площади сечения проводника пересекут nυ носителей за- ряда – все частицы из объема длиной υ, но не больше. Приняв для определенности, что заряд каждого носителя равен элементарному заряду e, получим по определению плотности тока:
j = enυ.
(5.4)
Отметим, что при обычных температурах скорость направленного движения носителей заряда на порядки меньше скорости хаотического движения.
Единица измерения силы тока – ампер (А). 1 A = 1 Кл/с. Иногда силу тока называют просто током. Плотность тока измеряется в амперах на квадратный метр (A/м
2
) .
52
5.1.2
Закон Ома в дифференциальной форме
В каждой точке проводника плотность тока является функцией напряженности поля. По- лучим вид этой функции. Для определенности будем считать носителями тока электроны.
Под действием поля электрон приобретает некоторую скорость в направлении, противопо- ложном вектору напряженности E. Однако время от времени он теряет эту направленную скорость, например, в результате столкновений с атомами среды. Ускорение электрона массы m (по модулю) в поле по второму закону Ньютона равно:
a =
eE
m
(5.5)
С другой стороны, ускорение можно выразить через среднюю скорость направленного движения υ и среднее время между столкновениями τ :
a =
ν
макс
τ
=
2ν
τ
(5.6)
Здесь учтено, что при равноускоренном движении средняя скорость равна половине мак- симальной. Приравнивая выражения, получим, что скорость направленного движения но- сителей заряда пропорциональна напряженности поля:
ν =
eτ E
2m
= χE.
(5.7)
Здесь выделен коэффициент пропорциональности
χ =
eτ
2m между скоростью направленного (дрейфового) движения электрона и напряженностью поля, называемый подвижностью электрона. Так как обычно скорость направленного движения носителей заряда намного меньше скорости хаотического движения, то время столкновения τ определяется средней скоростью хаотического (а не направленного) дви- жения электронов u:
τ = λ/u.
(5.8)
υ =
λeE
2mu
= χE.
(5.9)
При этом подвижность электрона определяется выражением
χ =
λe
2mu
(5.10)
С учетом (5.4) получим связь плотности тока с напряженностью поля –
закон Ома в локальной (дифференциальной) форме:
j = γE = E/ρ,
(5.11)
где введены понятия удельной электропроводности (или проводимости) γ и удельного сопротивления ρ проводника:
γ = enχ =
ne
2
λ
2mu
=
1
ρ
(5.12)
53
5.1.3
Закон Ома в интегральной форме. Сопротивление
S
l
1 2
R
U
3 4
I
Рис. 5.2
Выведем теперь закон Ома в интегральной форме для участка цепи, не со- держащего источник тока. Пусть ток течет по проводнику сечением S и длиной l (рис. 5.2). Умножим обе части уравнения j = E/ρ на площадь S,
перейдя от плотности тока к току. Получим выражение для напряженности и свяжем ее в одномерном случае с потенциалом:
E =
Iρ
S
= −
dϕ
dl
(5.13)
Получим для потенциала −dϕ =
Iρ
S
dl откуда, интегрируя в пределах границ проводника,
имеем:
∆ϕ
12
= I
ρl
S
= IR,
(5.14)
где R =
ρl
S
– сопротивление участка цепи.
Чаще полученный закон Ома для участка цепи в интегральной форме формулируют следующим образом: сила тока в цепи прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению (разность потенциалов на участке цепи при постоянном токе называют напряжением U ):
I =
U
R
(5.15)
5.1.4
Сторонние силы. Электродвижущая сила. Обобщенный за- кон Ома
Чтобы постоянный ток протекал по проводнику, необходимо на его концах поддерживать разность потенциалов. Это можно осуществить с помощью источника тока. Рассмотрим электрическую цепь рис. 5.2 Пренебрежем сопротивлением подводящих проводников, так что потенциалы точек 1 и 3 а также точек 2 и 4 попарно равны. На участке 1 − 2 работает закон Ома для участка цепи в интегральной форме ϕ
1
− ϕ
2
= IR. Напряженность элек- трического поля на этом участке отлична от нуля, и оно придает зарядам на этом участке в соответствии с формулой (5.6) направленное движение.
На участке 4 − 3, в источнике тока, положительные заряды вопреки законам электро- статики переходят от меньшего потенциала к большему. Такое перемещение проходит под действием , называемых сторонними (неэлектростатическими). Эти силы могут иметь,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 13
Плотные газы.
В этом случае в формуле (4.19) надо для ∗ использовать выражение для напряженности локального поля, действующего на молекулу внутри диэлектрика:
E
∗
=
E +
P / (3ε
0
) .
Тогда
P = αε
0
n h
E +
P / (3ε
0
)
i
,
(4.25)
откуда
Плотные газы.
В этом случае в формуле (4.19) надо для ∗ использовать выражение для напряженности локального поля, действующего на молекулу внутри диэлектрика:
E
∗
=
E +
P / (3ε
0
) .
Тогда
P = αε
0
n h
Плотные газы.
В этом случае в формуле (4.19) надо для ∗ использовать выражение для напряженности локального поля, действующего на молекулу внутри диэлектрика:
E
∗
=
E +
Плотные газы.
В этом случае в формуле (4.19) надо для ∗ использовать выражение для напряженности локального поля, действующего на молекулу внутри диэлектрика:
E
∗
=
P / (3ε
0
) .
Тогда
E +
P =
αε
0
n
1 − αn/3
Подставляя (4.26) в выражение для вектора смещения, находим
D = ε
E = ε
0
E +
P = ε
0
E +
αε
0
n
1 − αn/3
E,
(4.27)
откуда
3 (ε
r
− 1)
ε
r
+ 2
= αn.
(4.28)
Эта формула называется формулой Клаузиуса — Моссотти. Ее с помощью (4.23)
можно представить в виде
3 (ε
r
− 1)
ε
r
+ 2
m
ρ
m
= αN
A
(4.29)
Левая часть равенства (4.29) не зависит от температуры и давления в тех преде- лах, в которых молекулярная восприимчивость остается постоянной. Для газов такие давления могут быть большими (порядка 100 МПа). В жидкостях и твердых телах при больших плотностях α зависит от давления. Формула (4.29) проверена эксперименталь- но в широком диапазоне давлений. Например, для углекислого газа CO
2
, являющегося неполярным, справедливость соотношения Клаузиуса-Моссотти (4.29) была проверена с большой точностью до давлений примерно 100 МПа при 100
◦
. Во всем интервале этих дав- лений относительное отклонение левой части (4.29) от постоянного значения не превышает нескольких сотых, причем до давлений примерно в 20 МПа наблюдается небольшой рост,
а выше — небольшое уменьшение значения левой части (4.29). Относительная диэлектри- ческая проницаемость ε
r при этом изменяется довольно значительно, примерно в полтора раза в интервале давлений от 1 МПа до 100 МПа.
Рис. 4.7
Пример.
Оценить атомную диэлектрическую восприимчи- вость α атома водорода. Напряженность электрического по- ля направлена перпендикулярно плоскости движения электрона
(рис. 4.7).
Запишем условие равновесия движущегося электрона при на- личии внешнего поля:
eE =
e
2 4πε
0
(x
2
+ r
2
)
cos β =
e
2 4πε
0
x
(x
2
+ r
2
)
3
/2
(4.30)
При x r получаем x/(x
2
+ r
2
)
3/2
= x/r
3
и поэтому [см. (4.30)]
ex = 4πε
0
r
3
E = p,
откуда
α = 4πr
3
≈ 1, 57 · 10
−30
м
3
,
что дает правильный порядок атомной диэлектрической восприимчивости атома водорода.
4.1.5
Полярные диэлектрики
Описываются основные свойства полярных диэлектриков.
Зависимость поляризованности от температуры. Постоянный дипольный момент у большинства молекул имеет порядок 10
−29
− 10
−30
Кл-м. Например, у он равен 0, 36 ·
10
−30
Кл · м, у SO
2
– 5.3 · 10
−30
Кл · м, у l – 3, 5 · 10
−29
Кл · м. Дипольные моменты большин- ства молекул измерены и имеются в таблицах.
Дипольный момент
p, находящийся в электрическом поле
E, обладает потенциальной энергией
W = −
p ·
E.
(4.31)
47
Эта величина достигает минимального значения, когда направление диполя совпадает с направлением напряженности электрического поля. Поскольку устойчивым является со- стояние системы с наименьшей энергией, моменты диполей полярных молекул стремятся повернуться до совпадения с направлением напряженности электрического поля. Этот поворот осуществляется парой сил, действующих на диполь (см. рис. 4.6). Однако тепло- вое движение расстраивает упорядочивающее действие электрического поля. В результате устанавливается некоторое равновесие.
Рис. 4.8
Совместим ось Z с направлением напряженности
E электриче- ского поля (рис. 4.8). Потенциальная энергия молекул (4.31) зави- сит от угла между направлениями их дипольного момента и напря- женности:
W = −pE cos Θ = −p z
E
(4.32)
и, следовательно, распределение Больцмана в данном случае ха- рактеризует распределение направлений дипольных моментов мо- лекул по углам. Число молекул dn, дипольные моменты которых расположены в телесном угле dΩ, равно dn = Ae pE cos Θ
kT
dΩ = Ae pE cos Θ
kT
dα sin Θ.
(4.33)
Тогда среднее значение компоненты момента диполей по оси Z равно hp z
i =
R p z
dn
R dn
= =
Ap
2π
R
0
dα
π
R
0
e
β·cos θ
cos θ sin θdθ
A
2π
R
0
dα
π
R
0
e
β cos θ
sin θdθ
(4.34)
введено обозначение
β = pE/ (kT ) .
(4.35)
Прежде всего необходимо вычислить внутренний интеграл в знаменателе (4.34):
I =
π
Z
0
e
β cos θ
sin θdθ,
(4.36)
поскольку внутренний интеграл в числителе выражается формулой
Z
π
0
e
β cos θ
sin θdθ = ∂I/∂β
(4.37)
Интеграл (4.36) вычисляется легко:
I =
Z
π
0
e
β cos θ
sin θdθ = −
1
β
e
β cos θ
|
π
0
= −
1
β
e
β cos π
− e
β cos 0
=
−
1
β
e
−β
− e
β
=
1
β
e
β
− e
−β
=
2
β
·
e
β
− e
−β
2
=
2
β
· sh β , (4.38)
откуда
∂I
∂β
=
2
β
· chβ −
2
β
2
· shβ =
2
β
· shβ
cthβ −
1
β
(4.39)
Таким образом, формула (4.35) с учетом (4.37) и (4.39) принимает вид hp z
i = pL (β) ,
(4.40)
где L (β) = cthβ − 1/β — функция Ланжевена рис. 4.9.
48
1
L(β)
β
Рис. 4.9
При не очень больших напряженностях поля, когда pE kT , т. е. β 1 , разлагая гиперболический котангенс в ряд cth β = 1/β + β/3 − β
3
/45 + . . .
(4.41)
и ограничиваясь в выражении для L (β) линейным по β
членом
L (β) = β/3,
(4.42)
получаем hp z
i = p
2
E/ (3kT ) .
(4.43)
Поле насыщения.
С увеличением напряженности поля дипольные моменты все бо- лее интенсивно ориентируются в направлении напряженности и при pE kT , т. е. при
β 1, можно считать, что все дипольные моменты параллельны между собой и имеют направление напряженности поля. Следовательно,
hp z
i = p.
(4.44)
Соотношение (4.44) получается из (4.40), если учесть, что при β 1 функция L (β) близка к единице:
L (β → ∞) → 1.
(4.45)
При выполнении условия (4.44) достигается максимально возможная поляризованность и дальнейшее увеличение напряженности поля не приводит к ее увеличению. Напряжен- ность поля, при которой достигается максимально возможная поляризованность, назы- вается напряженностью поля насыщения. Считая порядок величины дипольных мо- ментов равным 10
−29
Кл· м, заключаем, что при = 300 К напряженность поля насыщения равна
E ≈ kT /p ' 4, 2 · 10 8
В/м.
(4.46)
Отсюда видно, что условие pE kT , при котором справедлива формула (4.43), выпол- няется вплоть до напряженностей полей, равных миллионам вольт на метр. Поэтому в большинстве практически важных случаев можно пользоваться формулой (4.43).
Разреженные газы.
В этом случае напряженность локального поля можно считать равной напряженности внешнего и представить поляризованность [см. (4.43)] в виде
P = np
2
E/ (3kT ) .
(4.47)
Далее, в полной аналогии с ходом вычислений по формулам (4.19)—(21.8), получаем, что относительная диэлектрическая восприимчивость равна
ε
r
= 1 + np
2
/ (3kT ε
0
) .
(4.48)
Наряду с поляризованностью из-за переориентировки постоянных дипольных моментов полярные диэлектрики обладают также поляризованностью, обусловленной индуцирован- ными дипольными моментами, которая описывается формулой (21.8). Поэтому с учетом обоих механизмов поляризации выражение для ε
r полярных газообразных диэлектриков при не слишком большом давлении имеет вид
ε
r
= 1 + n
α + p
2
/ (3kT ε
0
)
.
(4.49)
Как видно из (4.17), α = 10
−29
м
3
. С другой стороны, при комнатной температуре kT ≈
4 · 10
−21
Дж и поэтому при p ≈ 10
−29
Кл · мp
2
/ (3kT ε
0
) ∼ 10
−27
м
3
, т. е. вклад в поляри- зованностъ от индуцированных дипольных моментов примерно в сто раз меньше, чем
49
r в широком интервале температур и пользуются формулой (4.49). Зависимость ε
r от 1/T на графике является прямой линией. Ее пересечение с осью ординат при 1/T = 0 дает ε
r
= 1 + αn. Отсюда по формуле (4.49) вычисляется α = (ε
r
− 1) /n. После этого по результатам измерения при других значениях 1/T с помощью формулы (4.49) можно вычислить постоянный диполь- ный момент, поскольку все остальные величины в этом уравнении известны.
4.1.6
Сегнетоэлектрики, пьезоэлектрики, электреты. Явления на разломах
До сих пор обсуждались типичные физические параметры однородных и изотропных ди- электриков. В дополнение кратко опишем необычные электрические свойства некоторых диэлектриков, связанные, в первую очередь, со структурными особенностями и анизотро- пией вещества.
Сегнетоэлектрики – вещества, обладающие в отсутствие электрического поля в неко- тором диапазоне температур электрической поляризацией, зависящей от внешних усло- вий. Они являются электрическим аналогом ферромагнетиков. Известно несколько сот сегнетоэлектриков, в том числе сегнетокерамика, жидкие кристаллы и полимерные мате- риалы. К сегнетоэлектрикам относятся сегнетова соль (NaKCl
4
H
4
O
6 4H
2
O), титанат бария
(BaTiO
3
), ниобат лития (LiNbO
3
).
Рис. 4.10
Сегнетоэлектрики характеризуются наличием доменов – областей с мононаправленной поляризацией в пределах одного домена. Диэлек- трическая проницаемость этих материалов достигает нескольких ты- сяч, и зависит от предыстории. В сегнетоэлектрических диэлектри- ках, помещенных в электрическое поле, возникает остаточная элек- трическая поляризация (эффект памяти). Петля гистерезиса, пред- ставленная на рис. 4.10, характеризуется двумя величинами: остаточ- ной поляризацией P
r
, имеющейся даже при нулевом поле E, и коэрци- тивным полем E
c
, при котором вектор поляризации изменяет направ- ление на обратное. Пьезоэлектрики – анизотропные кристаллические материалы (диэлек- трики и полупроводники), в которых при механических деформациях возникает электри- ческая поляризация (пьезоэффект). Они также деформируются под влиянием внешнего электрического поля (обратныйпьезоэффект). Типичным примером пьезоэлектрика яв- ляется кварц SiO
2
в некоторых модификациях. Эффект возникает благодаря тому, что при деформации происходит смещение ионов в кристаллической решетке и деформация электронных орбит. Это приводит к возникновению ненулевого вектора поляризации в некоторых кристаллических решетках.
Электреты – материалы, длительно сохраняющие поляризованное состояние после снятия внешнего поля. Являются электрическим аналогом магнитов. Так некоторые ор- ганические смолы,застывая в сильном электрическом поле, сохраняют застывшей поля- ризацию молекул.
Рассмотренные материалы и их свойства широко применяются в технике. Однако при использовании сегнетоэлектриков и электретов может возникнуть проблема экранировки.
В воздухе или другой окружающей среде могут найтись свободные ионы, которые перерас- пределяются так, что нейтрализуют их вектор поляризации. В таких случаях необходима специальная очистка материала.
В заключение несколько слов о явлениях на разломах — о свойстве свежеобразованной поверхности испускать электроны и фотоны высокой энергии. В научных экспериментах удалось зарегистрировать при разломах горных пород электроны, вылетающие со скоро-
50
может наблюдать каждый. Например, в темноте нетрудно заметить свечение при разла- мывании кусочков сахара, при растирании в ступе сахарного песка, при разрыве бумаги,
при быстром разматывании рулона липкой ленты и даже при сходе ночных лавин в горах.
Такие эффекты могут быть связаны с электроотрицательностью атомов на одной из границ разлома, приводящей к захвату электронов от атомов другой границы, а также с пьезоэффектом. Явления на разломах имеют большое практическое значение. В частно- сти, оптические и электрические эффекты вблизи геологических разломов в ряде случаев позволяют заблаговременно предсказывать землетрясения и другие стихийные бедствия.
51
Глава 5
Постоянный электрический ток
5.1
Постоянный ток. Законы Ома и Джоуля-Ленца
5.1.1
Постоянный ток. Виды тока. Сила тока. Плотность тока
Направленное движение электрических зарядов называют электрическим током. Пере- нос электрического тока чаще осуществляется электронами. Однако в жидкостях, газах и плазме носителями тока нередко являются ионы – как положительные, так и отрица- тельные. В полупроводниках часто удобно рассматривать перенос тока так называемыми "дырками". сечение проводника в единицу времени:
I =
dq dt
(5.1)
Ток является постоянным, если сила тока не зависит от времени. Для постоянного тока уравнение (5.1) можно проинтегрировать и получить
I =
q t
(5.2)
Локальной характеристикой тока в данной точке проводника является плотность тока:
j =
dI
dS
,
(5.3)
где dS – элемент сечения проводника. Плотность тока особенно важна в случае, когда плотность тока в разных точках проводника различна.
Рис. 5.1
Плотность тока и силу тока можно рассматривать как вектор,
направленный по линии движения зарядов в данной точке провод- ника. Направление тока совпадает с направлением движения поло- жительных носителей тока и противоположно направлению дви- жения отрицательных носителей тока. Плотность тока несложно связать со скоростью направленного движения υ и концентраци- ей носителей заряда n. Из рис. 5.1 видно, что в единицу времени единицу площади сечения проводника пересекут nυ носителей за- ряда – все частицы из объема длиной υ, но не больше. Приняв для определенности, что заряд каждого носителя равен элементарному заряду e, получим по определению плотности тока:
j = enυ.
(5.4)
Отметим, что при обычных температурах скорость направленного движения носителей заряда на порядки меньше скорости хаотического движения.
Единица измерения силы тока – ампер (А). 1 A = 1 Кл/с. Иногда силу тока называют просто током. Плотность тока измеряется в амперах на квадратный метр (A/м
2
) .
52
5.1.2
Закон Ома в дифференциальной форме
В каждой точке проводника плотность тока является функцией напряженности поля. По- лучим вид этой функции. Для определенности будем считать носителями тока электроны.
Под действием поля электрон приобретает некоторую скорость в направлении, противопо- ложном вектору напряженности E. Однако время от времени он теряет эту направленную скорость, например, в результате столкновений с атомами среды. Ускорение электрона массы m (по модулю) в поле по второму закону Ньютона равно:
a =
eE
m
(5.5)
С другой стороны, ускорение можно выразить через среднюю скорость направленного движения υ и среднее время между столкновениями τ :
a =
ν
макс
τ
=
2ν
τ
(5.6)
Здесь учтено, что при равноускоренном движении средняя скорость равна половине мак- симальной. Приравнивая выражения, получим, что скорость направленного движения но- сителей заряда пропорциональна напряженности поля:
ν =
eτ E
2m
= χE.
(5.7)
Здесь выделен коэффициент пропорциональности
χ =
eτ
2m между скоростью направленного (дрейфового) движения электрона и напряженностью поля, называемый подвижностью электрона. Так как обычно скорость направленного движения носителей заряда намного меньше скорости хаотического движения, то время столкновения τ определяется средней скоростью хаотического (а не направленного) дви- жения электронов u:
τ = λ/u.
(5.8)
υ =
λeE
2mu
= χE.
(5.9)
При этом подвижность электрона определяется выражением
χ =
λe
2mu
(5.10)
С учетом (5.4) получим связь плотности тока с напряженностью поля –
закон Ома в локальной (дифференциальной) форме:
j = γE = E/ρ,
(5.11)
где введены понятия удельной электропроводности (или проводимости) γ и удельного сопротивления ρ проводника:
γ = enχ =
ne
2
λ
2mu
=
1
ρ
(5.12)
53
5.1.3
Закон Ома в интегральной форме. Сопротивление
S
l
1 2
R
U
3 4
I
Рис. 5.2
Выведем теперь закон Ома в интегральной форме для участка цепи, не со- держащего источник тока. Пусть ток течет по проводнику сечением S и длиной l (рис. 5.2). Умножим обе части уравнения j = E/ρ на площадь S,
перейдя от плотности тока к току. Получим выражение для напряженности и свяжем ее в одномерном случае с потенциалом:
E =
Iρ
S
= −
dϕ
dl
(5.13)
Получим для потенциала −dϕ =
Iρ
S
dl откуда, интегрируя в пределах границ проводника,
имеем:
∆ϕ
12
= I
ρl
S
= IR,
(5.14)
где R =
ρl
S
– сопротивление участка цепи.
Чаще полученный закон Ома для участка цепи в интегральной форме формулируют следующим образом: сила тока в цепи прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению (разность потенциалов на участке цепи при постоянном токе называют напряжением U ):
I =
U
R
(5.15)
5.1.4
Сторонние силы. Электродвижущая сила. Обобщенный за- кон Ома
Чтобы постоянный ток протекал по проводнику, необходимо на его концах поддерживать разность потенциалов. Это можно осуществить с помощью источника тока. Рассмотрим электрическую цепь рис. 5.2 Пренебрежем сопротивлением подводящих проводников, так что потенциалы точек 1 и 3 а также точек 2 и 4 попарно равны. На участке 1 − 2 работает закон Ома для участка цепи в интегральной форме ϕ
1
− ϕ
2
= IR. Напряженность элек- трического поля на этом участке отлична от нуля, и оно придает зарядам на этом участке в соответствии с формулой (5.6) направленное движение.
На участке 4 − 3, в источнике тока, положительные заряды вопреки законам электро- статики переходят от меньшего потенциала к большему. Такое перемещение проходит под действием , называемых сторонними (неэлектростатическими). Эти силы могут иметь,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 13
например, химическое происхождение – как это обычно имеет место в батарейках или аккумуляторах. По аналогии с определением разности потенциалов (1.71) электродвижу- щей силой (ЭДС) E источника тока называют отношение работы сторонних сил цепи к заряду:
E =
ст
/q.
(5.16)
Работа сторонних сил отлична от нуля только внутри источника тока.
Обобщим теперь закон Ома (5.14) на неоднородный участок цепи, который помимо сопротивления, дополнительно включает источник тока с ЭДС E:
∆ϕ
12
+ E = IR .
(5.17)
Отсюда имеем закон Ома для неоднородного участка цепи или обобщенный закон Ома:
I =
∆ϕ
12
+ E
R
(5.18)
Если цепь замкнута, то точки 1 и 2 совпадают, ∆ϕ
12
= 0 , и
I =
E
R
(5.19)
54
Часто источник тока имеет заметное собственное внутреннее сопротивление r, которое необходимо учитывать наряду с внешним сопротивлением R. Тогда получим закон Ома для замкнутой цепи:
I =
E
R + r
(5.20)
5.1.5
Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца в дифферен- циальной и интегральной формах
Прохождение электрического тока через сопротивление R в цепи требует затрат энергии,
поскольку энергия направленного движения носителей заряда постоянно расходуется на взаимодействие со средой, например, на столкновения с молекулами. Эти затраты обыч- но в конечном счете переходят в тепловую энергию среды. Рассчитаем этот процесс по аналогии с выводом закона Ома в дифференциальной форме. За время между соседними столкновениями каждый электрон приобретет кинетическую энергию
T =
mv
2
макс
2
=
m
2
(aτ )
2
=
m
2
eτ E
m
2
=
e
2
τ
2 2m
E
2
(5.21)
Поделив это выражение на время τ и умножив на концентрацию свободных электронов n,
получим удельную тепловую мощность, выделяющуюся при прохождении тока в единице объема проводника w =
ne
2
τ
2m
E
2
=
ne
2
λ
2mu
E
2
= γE
2
= jE =
E
2
ρ
(5.22)
Это и есть закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. В соответствии с ним удель- ная мощность, выделяющаяся в проводнике при прохождении тока, пропорциональна квадрату напряженности поля.
Перейдем теперь к интегральной форме закона. Пусть ток течет по проводнику се- чением S и длиной l Умножим обе части уравнения w =
E
2
ρ
на объем проводника Sl.
Получим в левой части тепловую мощность W , выделяющуюся при прохождении тока во всем проводнике:
W =
(El)
2
S
ρl
=
U
2
R
= U I = I
2
R.
(5.23)
Это и есть закон Джоуля-Ленца в интегральной форме.
5.1.6
Линейные цепи. Правила Кирхгофа
Формулируются правила расчета линейных цепей.
Изолированная замкнутая цепь.
Этот случай представляет собой закон Ома для замкнутой цепи (5.20): если в изолированной замкнутой цепи имеется один источник сторонних э.д.с., то сила тока в цепи должна быть такой, чтобы суммарное падение напряжения на внешнем сопротивлении и внутреннем сопротивлении источника было равно сторонней э.д.с. источника. Если имеется несколько источников сторонних э.д.с,
то надо взять их сумму со знаками, приняв в качестве положительной э.д.с. некоторого направления.
Чтобы не ошибиться в знаках, удобно поступить следующим образом. Принимаем за положительное направление обхода цепи либо обход по часовой стрелке, либо против ча- совой. На рис. 5.3 за положительный выбран обход против часовой стрелке. Электродви- жущие силы элементов обозначены E
1
, E
2
, E
3
В каком направлении течет ток, заранее неизвестно. Поэтому за направление тока выбираем любое, например на рис. 5.3 оно сов- падает с положительным направлением обхода.
55
E
1
E
2
E
3
I
Рис. 5.3
Теперь необходимо условиться о знаках. Знак э. д. с. берется положитель- ным, если при движении по контуру в положительном направлении первым встречается отрицательный полюс источника. Если же первым встречается положительный полюс, то соответствующая э. д. с. будет с отрицательным знаком. Знак силы тока считается положительным, если направление тока совпадает с направлением обхода. В противном случае знак отрицателен. Таким обра- зом, как э. д. с., так и сила тока являются алгебраическими величинами, принимающими как положительные, так и отрицательные значения. Теперь нетрудно обобщить уравнение
(5.20) на произвольное число источников сторонних э. д. с. в изолированном замкнутом контуре: произведение алгебраического значения силы тока на сумму внешних и внутрен- них сопротивлений всех участков замкнутой цепи равно сумме алгебраических значений сторонних э. д. с. в замкнутом контуре:
±I
X
k
R
k
=
X
i
±E
i
(5.24)
где ± перед I и E
i означает, что знак должен быть выбран в соответствии с приведенными выше правилами. Например, для случая, изображенного на рис. 117, уравнение (5.24)
имеет вид
I (R + r
1
+ r
2
+ r
3
) = E
1
− E
2
+ E
3
(5.25)
где r
1
, r
2
, r
3
— внутренние сопротивления источников сторонних э. д. с., R - полное сопро- тивление всех участков цепи вне источников. Если бы при том же направлении обхода,
принятого за положительный, стрелка, изображающая ток I, была ориентирована проти- воположно, то вместо уравнения (5.25) получилось бы следующее:
− I (R + r
1
+ r
2
+ r
3
) = E
1
− E
2
+ E
3 .
(5.26)
Уравнения (5.26) надо решать относительно I. Если в конкретном случае I положительно,
то ток течет, как указывается стрелкой, если же отрицательно, то в противоположном направлении,
A
B
C
D
E
Рис. 5.4
Разветвленные цепи.
Во многих практически важных случаях электрические цепи являются более сложными, как, например, на рис. 5.4. Однако в цепь любой сложности входят элементы двух про- стейших видов:
1. узлов, в которых встречается более чем два проводника (рис. 5.4;
точки C и B));
2. замкнутых контуров (рис. 5.4; контуры ABEDCA, CDEAC,
ABEA).
Правила Кирхгофа.
Правила Кирхгофа служат для составления системы уравнений, из которой находятся силы тока для разветвлен- ной цепи любой сложности. Они являются записью закона Ома (5.24) для каждого из замкнутых контуров и закона сохранения заряда в каждом узле. Правила знаков для сил тока и э.д.с. в каждом из замкнутых контуров такие же, как для изолированного контура
[см. (5.24)]. Направление положительного обхода для всех контуров выбирается одинако- вым. Закон сохранения заряда в узлах требует, чтобы сумма сил токов, входящих в узел,
была равна сумме сил токов, выходящих из него, иначе говоря, сумма алгебраических зна- чений сил токов в узле должна быть равной нулю. При составлении суммы силы токов,
изображаемых стрелками с направлением от узла, берутся, например, со знаком минус,
56
а силы токов, изображаемых стрелками с направлением к узлу, со знаком плюс. Можно,
конечно, брать обратные знаки, это не изменит соответствующих уравнений, важно лишь для всех узлов применять одно и то же правило.
Таким образом, правила Кирхгофа гласят:
1) сумма произведений алгебраических значений сил токов на сопротивление соот- ветствующих участков каждого из замкнутых контуров равна сумме алгебраических значений сторонних э.д.с. в каждом замкнутом контуре:
X
k
±I
k
R
k
=
X
i
(±) E
i
;
(5.27)
2) сумма алгебраических значений сил токов в каждом узле, равна нулю;
X
k
(±) I
k
= 0 .
(5.28)
Можно показать, что получающаяся при этом система уравнений для любой разветвлен- ной цепи является полной и позволяет определить все токи.
Эти законы вывел Г. Кирхгоф (1824—1887). Он дал общее решение задачи о разветв- ленных цепях постоянного тока в 1847 г., хотя сами правила сформулировал в 1845 г.
Рис. 5.5
Применим правила Кирхгофа к цепи, изображенной на рис. 6.1.
1. По первому правилу Кирхгофа:
(a) I
1
r
1
+ I
1
R
1
− I
2
R
2
− I
2
r
2
= E
1
+ E
2
(контур ABDCA).
(b) I
2
R
2
+ I
2
r
2
− I
3
R
3
− I
3
r
3
= −E
2
− E
3
(контур CDF EC).
(c) I
1
r
1
+ I
1
R
1
− I
3
R
3
− I
3
r
3
= E
1
− E
3
(контур ABF EA).
2. По второму правилу Кирхгофа:
(a) −I
1
− I
2
− I
3
= 0 (узел );
(b) I
1
+ I
2
+ I
3
= 0 (узел D).
Здесь r
1
, r
2
, r
3
— внутренние сопротивления источников сторон- них э.д.с. Уравнения для узлов совпадают друг с другом, а из трех уравнений по контурам независимыми являются лишь два. Напри- мер, если сложить почленно первых два уравнения, то получается третье. Таким образом, имеется система трех уравнений для трех неизвестных сил тока
I
1
I
2
I
3
. Решив эту систему, найдем силы тока и их истинные направления. Но даже не решая ее, можно сказать: на рис. 6.1 мы наверняка ошиблись в выборе направлений тока,
потому что в узлах при выбранных направлениях тока закон сохранения заряда заведомо не может выполняться — в узле должен накапливаться отрицательный заряд, а в узле D
— положительный. Но это нас не должно беспокоить, потому что решение автоматически подскажет, какими должны быть направления токов.
Таким образом, пример показывает, что если выписать правила Кирхгофа для всех контуров и всех узлов, то получится больше уравнений, чем необходимо, поскольку не все уравнения независимы. Чтобы не усложнять работы, желательно не выписывать лишних уравнений. Для этого можно руководствоваться такими правилами. Выписывая очеред- ное уравнение для замкнутых контуров, необходимо следить, чтобы оно содержало хотя бы одну величину, не вошедшую в предшествующие уравнения; если все величины уже встречались в предшествующих уравнениях, то это уравнение лишнее. Аналогично посту- паем и при выписывании уравнений для узлов. Например, выше в уравнениях по перво- му правилу Кирхгофа не следовало выписывать уравнение в), поскольку все входящие в
57
конечно, брать обратные знаки, это не изменит соответствующих уравнений, важно лишь для всех узлов применять одно и то же правило.
Таким образом, правила Кирхгофа гласят:
1) сумма произведений алгебраических значений сил токов на сопротивление соот- ветствующих участков каждого из замкнутых контуров равна сумме алгебраических значений сторонних э.д.с. в каждом замкнутом контуре:
X
k
±I
k
R
k
=
X
i
(±) E
i
;
(5.27)
2) сумма алгебраических значений сил токов в каждом узле, равна нулю;
X
k
(±) I
k
= 0 .
(5.28)
Можно показать, что получающаяся при этом система уравнений для любой разветвлен- ной цепи является полной и позволяет определить все токи.
Эти законы вывел Г. Кирхгоф (1824—1887). Он дал общее решение задачи о разветв- ленных цепях постоянного тока в 1847 г., хотя сами правила сформулировал в 1845 г.
Рис. 5.5
Применим правила Кирхгофа к цепи, изображенной на рис. 6.1.
1. По первому правилу Кирхгофа:
(a) I
1
r
1
+ I
1
R
1
− I
2
R
2
− I
2
r
2
= E
1
+ E
2
(контур ABDCA).
(b) I
2
R
2
+ I
2
r
2
− I
3
R
3
− I
3
r
3
= −E
2
− E
3
(контур CDF EC).
(c) I
1
r
1
+ I
1
R
1
− I
3
R
3
− I
3
r
3
= E
1
− E
3
(контур ABF EA).
2. По второму правилу Кирхгофа:
(a) −I
1
− I
2
− I
3
= 0 (узел );
(b) I
1
+ I
2
+ I
3
= 0 (узел D).
Здесь r
1
, r
2
, r
3
— внутренние сопротивления источников сторон- них э.д.с. Уравнения для узлов совпадают друг с другом, а из трех уравнений по контурам независимыми являются лишь два. Напри- мер, если сложить почленно первых два уравнения, то получается третье. Таким образом, имеется система трех уравнений для трех неизвестных сил тока
I
1
I
2
I
3
. Решив эту систему, найдем силы тока и их истинные направления. Но даже не решая ее, можно сказать: на рис. 6.1 мы наверняка ошиблись в выборе направлений тока,
потому что в узлах при выбранных направлениях тока закон сохранения заряда заведомо не может выполняться — в узле должен накапливаться отрицательный заряд, а в узле D
— положительный. Но это нас не должно беспокоить, потому что решение автоматически подскажет, какими должны быть направления токов.
Таким образом, пример показывает, что если выписать правила Кирхгофа для всех контуров и всех узлов, то получится больше уравнений, чем необходимо, поскольку не все уравнения независимы. Чтобы не усложнять работы, желательно не выписывать лишних уравнений. Для этого можно руководствоваться такими правилами. Выписывая очеред- ное уравнение для замкнутых контуров, необходимо следить, чтобы оно содержало хотя бы одну величину, не вошедшую в предшествующие уравнения; если все величины уже встречались в предшествующих уравнениях, то это уравнение лишнее. Аналогично посту- паем и при выписывании уравнений для узлов. Например, выше в уравнениях по перво- му правилу Кирхгофа не следовало выписывать уравнение в), поскольку все входящие в
57
него величины уже содержатся в уравнениях а) и б). В уравнениях по второму правилу
Кирхгофа не следовало выписывать уравнение б), поскольку все входящие в него величи- ны уже вошли в уравнение а). Дальнейший контроль правильности выписанной системы уравнений состоит в проверке ее полноты – число уравнений должно быть равным числу неизвестных.
58
Кирхгофа не следовало выписывать уравнение б), поскольку все входящие в него величи- ны уже вошли в уравнение а). Дальнейший контроль правильности выписанной системы уравнений состоит в проверке ее полноты – число уравнений должно быть равным числу неизвестных.
58
Глава 6
Квазистационарные электрические цепи
6.1
Переходные процессы в цепи с конденсатором
О переходных процессах.
Так называют процессы при переходе от одного установив- шегося в цепи режима к другому. Примером таких процессов является зарядка и разрядка конденсатора, на них мы и остановимся более подробно в этом параграфе.
До сих пор мы рассматривали только постоянные токи. Оказывается, однако, что по- лученные законы во многих случаях можно применять и к изменяющимся токам. Это касается всех тех случаев, когда изменение тока происходит не слишком быстро. В этих случаях мгновенное значение тока будет практически одно и то же во всех поперечных сечениях цепи. Такие токи и соответствующие им поля называют квазистационарными
(более точный критерий квазистационарности будет дан при рассмотрении электрических колебаний).
Именно квазистационарные токи можно описывать законами постоянного тока, если только их применять к мгновенным значениям величин.
А теперь обратимся к процессам разрядки и зарядки конденсатора, предполагая токи в этих процессах квазистационарными.
C q
R
±
I
Рис. 6.1
Разрядка конденсатора.
Если обкладки заряженного конденсатора ем- кости С замкнуть через сопротивление R, то через него потечет ток. Пусть
I, q, U — мгновенные значения тока,заряда положительной обкладки и разно- сти потенциалов между обкладками (напряжения). Считая ток I положитель- ным, когда он течет от положительной обкладки к отрицательной (рис. 6.1),
запишем I = −dq/dt. Согласно закону Ома для внешнего участка цепи, со- держащего сопротивление R:
RI = U .
Учитывая, что I = −dq/dt и U = q/C, преобразуем предыдущее уравнение к виду dq dt
+
q
RC
= 0.
(6.1)
В этом дифференциальном уравнении переменные разделяются, и после интегрирования мы получим q = q
0
e
−t/τ
,
(6.2)
где q
0
— начальный заряд конденсатора, а τ — постоянная, имеющая размерность времени:
τ = RC.
(6.3)
59
Эту постоянную называют временем релаксации. Из (6.2) видно, что τ есть время, за которое заряд конденсатора уменьшается в раз. Продифференцировав (6.2) по времени,
найдем закон изменения тока:
I = −
dq dt
= I
0
e
−t/τ
(6.4)
где I
0
= q
0
/τ — сила тока в момент t = 0.
q
0
RC
0, 37q
0 2RC
3RC
t(с)
Рис. 6.2
На рис. 6.2 показан график зависимости q(t) — за- ряда на конденсаторе от времени. График зависимости
I(t) имеет такой же вид.
Зарядка конденсатора.
Рассмотрим цепь, содержа- щую последовательно соединенные конденсатор , сопро- тивление R и источник э.д.с. E (рис. 6.2). Первоначально конденсатор не заряжен (ключ К разомкнут). В момент t = 0 ключ замкнули, и в цепи пошел ток, заряжаю- щий конденсатор. Увеличивающиеся заряды на обклад- ках конденсатора будут все в большей степени препят- ствовать прохождению тока, постепенно уменьшая его.
Теперь ток в цепи будем считать положительным, когда он течет в направлении к положительно заряженной обкладке конденсатора: I = dq/dt. Применим закон Ома для неоднородного участка цепи к участку 1E R2:
RI = ϕ
1
− ϕ
2
+ E ,
1 2
4E
C
R
E
K
I
Рис. 6.3
где под R понимается полное сопротивление этого участка, включая внутреннее сопротивление источника э.д.с. Учитывая, что I = dq/dt и
ϕ
2
− ϕ
1
= U = q/C, перепишем предыдущее уравнение в виде dq dt
=
E − q/C
R
Разделение переменных дает
Rdq
E − q/C
= dt .
Проинтегрировав это уравнение с учетом начального условия (q = 0 при t = 0), получим
RCln
1 −
q
EC
= −t ,
откуда q = q m
1 − e
−t/τ
.
(6.5)
Здесь q m
= E C — предельное значение заряда на конденсаторе (при t → ∞), τ = RC.
Закон изменения тока со временем
I =
dq dt
= I
0
e
−t/τ
,
(6.6)
где I
0
= calE/R.
Графики зависимостей q(t) и I(t) показаны на рис. 6.4.
60