ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.01.2024
Просмотров: 146
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
CE
q
RC
0, 63CE
2RC
t
E/R
I
RC
0, 37
E
R
2RC
t а)
б)
Рис. 6.4.
61
Глава 7
Электропроводность твердых тел
7.1
Электропроводность металлов
Описываются основные экспериментальные факты, связанные с электропроводимостью металлов, и их теоретическая интерпретация.
Доказательство отсутствия переноса вещества электрическим током в ме- таллах. Еще задолго до открытия электронов было экспериментально показано, что про- хождение тока в металлах не связано, в отличие от тока в жидких электролитах, с перено- сом вещества металла. Опыт состоял в том, что через контакт двух различных металлов,
например золота и серебра, в течение времени, исчисляемого многими месяцами, пропус- кался постоянный электрический ток. После этого исследовался материал вблизи контак- тов. Было показано, что никакого переноса вещества через границу различных металлов не наблюдается и вещество по различные стороны границы раздела имеет тот же состав,
что и до пропускания тока. Эти опыты доказали, что атомы и молекулы металлов не принимают участия в переносе электрического тока, но они не ответили на вопрос о природе носителей заряда в металлах.
Опыты Толмена и Стюарта.
Прямым доказательством, что электрический ток в ме- таллах обусловливается движением электронов, были опыты Толмена и Стюарта, про- веденные в 1916 г. Идея этих опытов была высказана Мандельштамом и Папалекси в 1913
г.
Рис. 7.1
Представим себе проводящую катушку, которая может вра- щаться вокруг своей оси. Концы катушки с помощью скользящих контактов замкнуты на гальванометр (рис. 7.1). Если находящу- юся в быстром вращении катушку резко затормозить, то свобод- ные электроны в проволоке продолжают движение по инерции, в результате чего гальванометр должен зарегистрировать импульс тока.
Обозначим ˙v — линейное ускорение катушки при торможении.
Оно направлено по касательной к поверхности катушки. При до- статочно плотной намотке и тонких проводах можно считать, что ускорение направлено вдоль проводов. При торможении катушки к каждому свободному электрону приложена сила инерции — m e
˙v, направленная проти- воположно ускорению (m e
— масса электрона). Под ее действием электрон ведет себя в металле так, как если бы на него действовало некоторое эффективное электрическое поле:
E
эф
= −m e
˙v/e.
(7.1)
Поэтому эффективная электродвижущая сила в катушке, обусловленная инерцией сво-
62
бодных электронов, равна
E
эф
=
Z
L
E
эф dl = −
m e
e
˙v
Z
L
dl = −
m e
e
˙vL,
(7.2)
где L — длина провода на катушке. Все точки провода тормозятся с одинаковым ускоре- нием и поэтому ˙v в (7.2) вынесена за знак интеграла.
Обозначая: I — силу тока, протекающего по замкнутой цепи, R — сопротивление всей цепи, включая сопротивление проводов катушки и проводов внешней цепи и гальваномет- ра, запишем закон Ома в виде
IR = m e
˙
vL/e.
(7.3)
Количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в течение времени dt при силе тока I, равно dQ = Idt = −
m e
e
L
R
˙vdt = −
m e
e
L
R
dv
(7.4)
Поэтому в течение времени торможения катушки от начальной линейной скорости v
0
до полной остановки через гальванометр пройдет количество электричества
Q =
Z
dQ = −
m e
e
L
R
0
Z
v
0
dv =
m e
e
L
R
v
0
(7.5)
Значение Q находится по показаниям гальванометра, а значения L, R, v
0
известны. По- этому можно найти как знак, так и абсолютное значение e/m e
. Эксперименты показали,
что e/m e
соответствует отношению заряда электрона к его массе. Тем самым доказано,
что наблюдаемый с помощью гальванометра ток обусловлен движением электронов.
О зонной теории.
В основе квантовой теории электропроводности твердых тел лежит зонная теория, базирующаяся на анализе энергетического спектра электронов (см. § 2).
E
эф
=
Z
L
E
эф dl = −
m e
e
˙v
Z
L
dl = −
m e
e
˙vL,
(7.2)
где L — длина провода на катушке. Все точки провода тормозятся с одинаковым ускоре- нием и поэтому ˙v в (7.2) вынесена за знак интеграла.
Обозначая: I — силу тока, протекающего по замкнутой цепи, R — сопротивление всей цепи, включая сопротивление проводов катушки и проводов внешней цепи и гальваномет- ра, запишем закон Ома в виде
IR = m e
˙
vL/e.
(7.3)
Количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в течение времени dt при силе тока I, равно dQ = Idt = −
m e
e
L
R
˙vdt = −
m e
e
L
R
dv
(7.4)
Поэтому в течение времени торможения катушки от начальной линейной скорости v
0
до полной остановки через гальванометр пройдет количество электричества
Q =
Z
dQ = −
m e
e
L
R
0
Z
v
0
dv =
m e
e
L
R
v
0
(7.5)
Значение Q находится по показаниям гальванометра, а значения L, R, v
0
известны. По- этому можно найти как знак, так и абсолютное значение e/m e
. Эксперименты показали,
что e/m e
соответствует отношению заряда электрона к его массе. Тем самым доказано,
что наблюдаемый с помощью гальванометра ток обусловлен движением электронов.
О зонной теории.
В основе квантовой теории электропроводности твердых тел лежит зонная теория, базирующаяся на анализе энергетического спектра электронов (см. § 2).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 13
Электрический спектр разбивается на зоны, разделенные запрещенными промежутками.
Если в верхней зоне, где еще имеются электроны, ими заполнены не все квантовые со- стояния, т. е. в пределах зоны имеется возможность для перераспределения энергии и импульсов электронов, то соответствующее вещество является проводником электриче- ского тока. Зона при этом называется зоной проводимости, а соответствующее вещество является проводником электрического тока с электронным типом проводимости. Если в зоне проводимости много электронов и свободных квантовых состояний, то электропрово- димость достаточно велика. Только электроны в зоне проводимости являются носителями зарядов, осуществляющими электрический ток. Их движение подчиняется квантовым за- конам. Число этих электронов составляет лишь небольшую часть от общего числа электро- нов. Благодаря этому устраняются трудности классической теории электропроводимости
(см. § 27).
Зависимость сопротивления от температуры.
Не только в металлах главный вклад в электропроводимость вносит движение электронов. Например, в полупроводниках с электронным типом электропроводимости основной вклад в перенос электрического за- ряда также вносится движением электронов. Одним из наиболее характерных различий электропроводимости в этих двух случаях является характер завиимости удельной про- водимости от температуры.
Эксперимент показывает, что у металлических проводников удельное сопротивление растет с повышением температуры, т. е. удельная проводимость уменьшается. При
63
не слишком низкой температуре зависимость проводимости от температуры имеет вид
γ ∼
1
T
Однако у некоторых веществ, например стекол, полупроводников, электролитов и т. д., проводимость увеличивается с температурой. Хотя механизмы возрастания про- водимости различны, они сводятся в конечном счете к увеличению числа носителей элек- трических зарядов, благодаря движению которых осуществляется ток. В металлах число носителей, т. е. свободных электронов, практически не зависит от температуры и сопротив- ления току, определяется лишь их способностью образовывать упорядоченное движение под действием электрического поля, т. е. их подвижностью. А она с увеличением темпе- ратуры уменьшается.
Эффект Холла.
На заряды, движением которых обусловливается ток, действует сила
Ампера . Плотность силы Ампера может быть записана в виде
f = j ×
B = ne
v д
×
B,
(7.6)
где п, е — концентрация и заряд, движение которого обусловливает ток,
v д
— скорость дрейфа заряда.
Под действием силы с плотностью
f заряды в проводнике при наличии магнитно- го поля, индукция которого перпендикулярна плотности тока j, стремятся сместиться в направлении силы (рис. 7.2, а). В результате на соответствующей части поверхности про- водника образуется избыток зарядов того же знака, что и знак зарядов, осуществляющих ток. Поэтому если ток обусловливается движением положительных зарядов, то создается распределение поверхностной плотности зарядов, изображенное на рис. 7.2, б, а при дви- жении отрицательных – на рис. 7.2, в. Между противоположными сторонами проводника появляется разность потенциалов и такое электрическое поле, напряженность E которо- го нейтрализует действие плотности силы (7.6). Направление напряженности зависит от знака зарядов, осуществляющих ток, а модуль определяется теми факторами, от которых зависит плотность силы (7.6). Возникновение разности потенциалов в проводнике с током в магнитном поле называется эффектом Холла. Он был открыт в 1879 г.
Индукция
B поля и скорость v д
зарядов взаимно перпендикулярны. Отношение плот- ности силы (7.6) к заряду аналогично (7.1) может рассматриваться как эффективная на- пряженность электрического поля, называемого полем Холла:
E
эф
= v д
B
(7.7)
а)
б)
в)
Рис. 7.2
Следовательно, между поверхностями проводника создается разность потенциалов
(рис. 7.2,б)
U =
d
Z
0
v д
Bdx = v д
Bd,
(7.8)
где d - толщина проводника. Принимая во внимание, что j = nev д
, перепишем (7.8) в виде
U =
djB
(ne)
= RjBd,
(7.9)
64
где R = 1/(ne) — постоянная Холла. Разность потенциалов может быть измерена.
Остальные величины, за исключением концентрации п зарядов и их знака, известны. По знаку разности потенциалов можно определить знак заряда носителей, движение ко- торых осуществляет ток, а по разности потенциалов — их концентрацию.
Заметим, что формулы (7.9) и R = 1/(ne) совпадают с соответствующими формулами более полной теории эффекта Холла, когда учитывается распределение электронов по скоростям, статистические характеристики их столкновений и т. д. Однако расчеты при этом оказываются очень громоздкими и здесь не приводятся.
Результаты измерений показали, что в металлах ток осуществляется движением отрицательных зарядов. Концентрация носителей примерно равна концентрации атомов,
т. е. один заряд, участвующий в образовании тока, приходится примерно на один атом металла, хотя это число и изменяется в определенных пределах. Носителями зарядов,
осуществляющих ток в металлах, являются электроны. Сказанное означает, что в метал- лах на один атом приходится в среднем около одного свободного электрона. Например,
на один атом серебра приходится 0,7 электронов; меди — 0,8; золота — 0,9, а алюминия
— около двух электронов. Напомним, что у металлов обычно концентрация атомов, а следовательно, и свободных электронов близка к n ∼ 10 28
м
−3
Исследование эффекта Холла в других случаях показало, что он не всегда обусловлен движением отрицательных зарядов. Когда знак разности потенциалов в эффекте Холла соответствует движению положительных зарядов, то эффект называется аномаль- ным.
Эффект Холла является одним из гальваномагнитных явлений. Под этим термином объединяются явления, возникающие в проводнике с током, находящимся в магнитном поле. Физическая сущность всех этих явлений состоит в том, что электропроводимость проводника во внешнем магнитном поле является не скаляром, а тензором. Напряжен- ность поперечного электрического поля, называемого холловским, складывается с напря- женностью электрического поля, которое обусловливает существование тока при отсут- ствии магнитного поля. В результате этого напряженность электрического поля образует с плотностью тока некоторый угол — угол Холла. Значит, направления плотности тока и напряженности электрического поля не совпадают. Эти величины связаны тензорной формулой j
i
=
X
k
γ
ik
E
k в которой γ
ik
— тензор электропроводимости. В анизотропных веществах проводимость описывается тензором электропроводимости также и при отсутствии внешнего магнитного поля.
Магнетосопротивление.
Другим важным гальваномагнитным явлением является из- менение сопротивления проводника, помещенного в поперечное магнитное поле (эффект магнетосопротивления). Как показывает опыт, относительное изменение электропрово- димости ∆γ/γ при не очень сильных полях выражается формулой
∆γ/γ = −κ
⊥
B
2
,
где κ
⊥
— коэффициент поперечного магнетосопротивления, зависящий от свойств мате- риала; B — индукция магнитного поля.
Это явление — следствие тензорного характера электропроводимости проводника, по- мещенного в магнитное поле. В результате возникает компонента напряженности элек- трического поля, коллинеарная току, что и вызывает изменение его силы, проявляющееся в изменении сопротивления.
65
Подвижность электронов.
Закон Ома j = γ
E может быть записан в виде nev д
= γE.
(7.10)
Подвижностью b электронов называется отношение скорости дрейфа к напряжен- ности электрического поля:
b = v д
/E.
(7.11)
Принимая во внимание (7.10), получаем b = γ/ (ne) .
(7.12)
Удельная проводимость металла известна, а ne может быть найдена из эффекта Холла,
т. е. измерение эффекта Холла позволяет найти подвижность электронов в проводнике. В
металлах подвижность электронов имеет порядок b ∼ 10
−4
− 10
−3
м
2
/ (B · c) .
(7.13)
Таким образом, скорость дрейфа электронов в металлах очень мала по сравнению с обыч- ными скоростями движения микрочастиц. Большая удельная проводимость металлов обусловлена главным образом большой концентрацией носителей заряда (n ∼ 10 28
м
−3
), а не их большой подвижностью [см. (31 13)]:
γ = enb ∼ 10
−19
· 10 28
· 10
−3
См/м = 10 6
См/м.
У диэлектриков большинство электронов жестко привязано к атомам и очень мало свободных носителей заряда. Поэтому, хотя подвижность этих носителей заряда не сильно отличается от подвижности свободных электронов в металлах, удельная про- водимость диэлектриков очень мала. Концентрация носителей в полупроводниках из- меняется в широких пределах от 10 19
до 10 25
м
−3
, а подвижности заключены примерно от 10 до 10
−4
м
2
/(B · с), т.е. велики. Благодаря таким широким пределам изменения концентрации носителей и их подвижностей удельная проводимость полупроводников из- меняется в широких пределах, на много порядков величин. Однако не удается получить у полупроводников столь же большую проводимость, как у металлов, сохранив, конечно,
при этом характерную для полупроводников зависимость проводимости от температуры
(увеличение проводимости с температурой).
Сверхпроводимость.
В 1911 г. К. Оннес обнаружил, что при T = 4, 2 K ртуть, по- видимому, полностью теряет сопротивление электрическому току. Уменьшение сопротив- ления происходит очень резко в интервале нескольких сотых градуса. В дальнейшем по- теря сопротивления наблюдалась и у других чистых веществ и у многих сплавов. Само явление получило название сверхпроводимости. Температуры перехода в сверхпроводящее состояние различны, но всегда очень низки.
Критическая температура.
Возбудив электрический ток в кольце из сверхпроводни- ка с помощью электромагнитной индукции, можно наблюдать, что его сила в течение нескольких лет не уменьшается. Это позволяет найти верхний предел удельного сопро- тивления сверхпроводников (менее 10
−25
Ом · м). Это на много порядков меньше, чем,
например, удельное сопротивление меди при низкой температуре (10
−12
Ом · м). Поэтому принимается, что электрическое сопротивление сверхпроводников равно нулю. Сопро- тивление до перехода в сверхпроводящее состояние бывает самым различным. Многие из сверхпроводников при комнатной температуре имеют довольно высокое сопротивле- ние. Переход в сверхпроводящее состояние совершается всегда очень резко. У чистых
66
монокристаллов он занимает интервал температур меньший, чем одна тысячная градуса.
Сверхпроводимостью среди чистых веществ обладают алюминий, кадмий, цинк, индий,
галлий. Свойство сверхпроводимости зависит от структуры кристаллической решетки.
Например, белое олово является сверхпроводником, а серое — нет; ртуть обладает свой- ством сверхпроводимости только в а-фазе.
67
Глава 8
Электрический ток в вакууме
Обсуждаются основные закономерности термоэлектронной эмиссии и их проявление при прохождении тока между электродами в вакууме.
Термоэлектронная эмиссия.
В вакууме не может существовать электрический ток,
если в нем нет носителей электрических зарядов. Если же в нем имеются электроны, то их движение обусловливает возникновение тока, называемого током в вакууме.
В металле имеется электронный газ. В условиях термодинамического равновесия рас- пределение электронов по энергетическим уровням определяется статистикой Ферми —
Дирака и дается формулой n
i g
i
=
1
exp [β (E
i
− µ)] + 1
,
(8.1)
где β = 1/ (kT ); n i
— число электронов, имеющих энергию E
i
; g i
— число квантовых состояний, соответствующих энергии E
i
; µ — энергия Ферми при температуре , которая при T → 0 К стремится к энергии Ферми µ
0
при = 0 в соответствии с формулой
µ = µ
0
"
1 −
π
2 12
kT
µ
0
2
+ . . .
#
(8.2)
Принимая во внимание, что во всех практически интересных случаях µ
0
kT , можно в
(8.1) величину µ считать равной µ
0
Рис. 8.1
Пусть E
0
— энергия покоящегося электрона вблизи поверхности вне металла (рис. 8.1). Формула (8.1) позволяет вычислить вероят- ность того, что электрон имеет энергию E
0
, если вместо E
i
, подста- вить в нее E
0
. Эта вероятность не равна нулю и тем больше, чем выше температура (т. е. чем меньше β). Таким образом, вблизи поверхности металла имеется электронное облако, которое на- ходится в равновесии с электронным газом внутри металла. Это равновесие динамическое: электроны внутри металла, обладающие достаточно большой кинетической энергией, преодолевают силы,
удерживающие их внутри металла, и выходят за его пределы; электроны вблизи метал- ла при соответствующих направлениях их скоростей и местоположения захватываются силами, удерживающими электроны внутри металла. Таким образом, в условиях дина- мического равновесия сквозь поверхность металла протекают противоположно направ- ленные токи, силы которых равны по модулю. Суммарная сила тока сквозь поверхность равна нулю. Явление образования электронного облака вблизи поверхности металла из- за теплового движения свободных электронов называется термоэлектронной эмиссией.
68
При 0 К никакой термоэлектронной эмиссии не наблюдается, т. е. электронное облако вблизи поверхности металла отсутствует.
Электроны с кинетической энергией W
k вблизи поверхности металла имеют полную энергию E
i
= W
k
+ E
0
и формула (8.1) принимает для них следующий вид:
n g
W
k
=
1
exp [β (W
k
+ ϕ)] + 1
(8.3)
где ϕ = E
0
− µ — работа выхода электронов из металла. Из формулы (8.3) видно, что плотность электронного облака вблизи поверхности металла сильно зависит от работы выхода Ф и резко уменьшается с ее увеличением.
Если вблизи поверхности металла существует электрическое поле, то электроны обла- ка приходят в движение и образуется электрический ток, называемый термоэлектронным.
Таким образом, если в вакууме имеются две металлические пластины, между которыми приложена разность потенциалов, то между ними возникает термоэлектронный ток. Оче- видно, что сила тока должна расти с увеличением разности потенциалов. Существует максимальная сила тока, когда все электроны, попадающие через поверхность катода в электронное облако, увлекаются внешним электрическим полем к аноду и никакого обратного тока электронов через поверхность внутрь катода не существует.
Эта максимальная сила тока называется силой тока насыщения: при дальнейшем увеличении разности потенциалов между анодом и катодом сила тока не изменяется, по- скольку все электроны, поставляемые в результате термоэлектронной эмиссии из катода,
задействованы для образования электрического тока и других носителей заряда для даль- нейшего увеличения силы тока нет.
Для металлов ϕ составляет несколько электрон-вольт. Энергия kT даже при темпе- ратуре в тысячи кельвинов составляет доли электрон-вольта. Следовательно, βϕ 1 и exp [β (W
k
+ ϕ)] 1. Поэтому в (8.3) можно в знаменателе пренебречь единицей по срав- нению с exp[β(W
k
+ ϕ)] и записать эту формулу в виде n
g
W
k
≈ e
−ϕ/(kT )
e
−W
k
/(kT )
(8.4)
Таким образом, сила тока насыщения очень сильно зависит от работы выхода и температу- ры, поскольку эти величины входят в экспоненту. Для чистых металлов значительный ток может быть получен лишь при температуре порядка 2000 , т. е. в качестве катодов необхо- димо использовать металлы с высокой температурой плавления. Одновременно жела- тельно, чтобы их работа выхода была как можно меньше. Например, чистый вольфрам,
работа выхода которого 4,5 эВ, должен эксплуатироваться при температуре 2500 . Для уменьшения рабочей температуры катода и понижения работы выхода используются ок- сидные катоды, когда на подложку (керн) с помощью соответствующих технологических процессов наносится слой окислов щелочноземельных металлов (например, BaO, SrO и др.). Затем катод активируется при пропускании через него термоионного тока при темпе- ратуре катода около 1300 . В результате образуется моноатомный слой щелочноземельных атомов, значительно понижающий работу выхода. Например, бариево-стронциевые оксид- ные катоды имеют работу выхода около 1,8 эВ, благодаря чему значительные токи удается получить уже при температуре около 1100 . При этой температуре достигается плотность тока порядка 10 4
A · м
−2
. Слой бариево-стронциевого окисла наносится обычно на нике- левую трубку, внутри которой в качестве нагревателя используется вольфрамовая нить.
Такая конструкция имеет дополнительное преимущество по сравнению с использовани- ем нагретой вольфрамовой нити в качестве катода, поскольку в последнем случае вдоль нити возникает значительное падение потенциала и ее поверхность не будет эквипотенци- альной. В оксидном катоде слой окислов является эквипотенциальной поверхностью, что улучшает весьма существенно условия работы катода в целом.
69
Характеристики электронного облака. Облако электронов вблизи поверхности металла описывается формулой (8.4). Число квантовых состояний в элементе фазового объема dxdydzdp x
dp y
dp z
g =
2
(2π)
3
dxdydzdp x
dp y
dp z
(8.5)
Поэтому число электронов, заключенных в элементе фазового объема dx dy dz dp x
dp y
dp z
,
представляется в виде dn =
2
(2π)
3
e
−ϕ/(kT )
e
−p
2
/
(2m e
kT )
dxdydzdp x
dp y
dp z
,
(8.6)
где W
k
= p
2
/ (2m e
).
Интегрирование выражения (8.6) no dxdydz дает в качестве множителя объем V . По- этому число электронов в объеме V , импульсы которых заключены в элементе объема dp x
dp y
dp z
, вблизи импульса p x
p y
p z
равно dn p
=
2V / (2π)
3
exp [−ϕ/ (kT )] exp −p
2
/ (2m e
kT )
dp x
dp y
dp z
,
(8.7)
где p
2
= p
2
x
+ p
2
y
+ p
2
z
. Отсюда для концентрации электронного облака вблизи поверхности металла получаем выражение n
0 0
=
1
V
Z
dn p
=
1
(2π)
3
exp
−
ϕ
kT
∞
Z Z Z
−∞
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Электрический спектр разбивается на зоны, разделенные запрещенными промежутками.
Если в верхней зоне, где еще имеются электроны, ими заполнены не все квантовые со- стояния, т. е. в пределах зоны имеется возможность для перераспределения энергии и импульсов электронов, то соответствующее вещество является проводником электриче- ского тока. Зона при этом называется зоной проводимости, а соответствующее вещество является проводником электрического тока с электронным типом проводимости. Если в зоне проводимости много электронов и свободных квантовых состояний, то электропрово- димость достаточно велика. Только электроны в зоне проводимости являются носителями зарядов, осуществляющими электрический ток. Их движение подчиняется квантовым за- конам. Число этих электронов составляет лишь небольшую часть от общего числа электро- нов. Благодаря этому устраняются трудности классической теории электропроводимости
(см. § 27).
Зависимость сопротивления от температуры.
Не только в металлах главный вклад в электропроводимость вносит движение электронов. Например, в полупроводниках с электронным типом электропроводимости основной вклад в перенос электрического за- ряда также вносится движением электронов. Одним из наиболее характерных различий электропроводимости в этих двух случаях является характер завиимости удельной про- водимости от температуры.
Эксперимент показывает, что у металлических проводников удельное сопротивление растет с повышением температуры, т. е. удельная проводимость уменьшается. При
63
не слишком низкой температуре зависимость проводимости от температуры имеет вид
γ ∼
1
T
Однако у некоторых веществ, например стекол, полупроводников, электролитов и т. д., проводимость увеличивается с температурой. Хотя механизмы возрастания про- водимости различны, они сводятся в конечном счете к увеличению числа носителей элек- трических зарядов, благодаря движению которых осуществляется ток. В металлах число носителей, т. е. свободных электронов, практически не зависит от температуры и сопротив- ления току, определяется лишь их способностью образовывать упорядоченное движение под действием электрического поля, т. е. их подвижностью. А она с увеличением темпе- ратуры уменьшается.
Эффект Холла.
На заряды, движением которых обусловливается ток, действует сила
Ампера . Плотность силы Ампера может быть записана в виде
f = j ×
B = ne
v д
×
B,
(7.6)
где п, е — концентрация и заряд, движение которого обусловливает ток,
v д
— скорость дрейфа заряда.
Под действием силы с плотностью
f заряды в проводнике при наличии магнитно- го поля, индукция которого перпендикулярна плотности тока j, стремятся сместиться в направлении силы (рис. 7.2, а). В результате на соответствующей части поверхности про- водника образуется избыток зарядов того же знака, что и знак зарядов, осуществляющих ток. Поэтому если ток обусловливается движением положительных зарядов, то создается распределение поверхностной плотности зарядов, изображенное на рис. 7.2, б, а при дви- жении отрицательных – на рис. 7.2, в. Между противоположными сторонами проводника появляется разность потенциалов и такое электрическое поле, напряженность E которо- го нейтрализует действие плотности силы (7.6). Направление напряженности зависит от знака зарядов, осуществляющих ток, а модуль определяется теми факторами, от которых зависит плотность силы (7.6). Возникновение разности потенциалов в проводнике с током в магнитном поле называется эффектом Холла. Он был открыт в 1879 г.
Индукция
B поля и скорость v д
зарядов взаимно перпендикулярны. Отношение плот- ности силы (7.6) к заряду аналогично (7.1) может рассматриваться как эффективная на- пряженность электрического поля, называемого полем Холла:
E
эф
= v д
B
(7.7)
а)
б)
в)
Рис. 7.2
Следовательно, между поверхностями проводника создается разность потенциалов
(рис. 7.2,б)
U =
d
Z
0
v д
Bdx = v д
Bd,
(7.8)
где d - толщина проводника. Принимая во внимание, что j = nev д
, перепишем (7.8) в виде
U =
djB
(ne)
= RjBd,
(7.9)
64
где R = 1/(ne) — постоянная Холла. Разность потенциалов может быть измерена.
Остальные величины, за исключением концентрации п зарядов и их знака, известны. По знаку разности потенциалов можно определить знак заряда носителей, движение ко- торых осуществляет ток, а по разности потенциалов — их концентрацию.
Заметим, что формулы (7.9) и R = 1/(ne) совпадают с соответствующими формулами более полной теории эффекта Холла, когда учитывается распределение электронов по скоростям, статистические характеристики их столкновений и т. д. Однако расчеты при этом оказываются очень громоздкими и здесь не приводятся.
Результаты измерений показали, что в металлах ток осуществляется движением отрицательных зарядов. Концентрация носителей примерно равна концентрации атомов,
т. е. один заряд, участвующий в образовании тока, приходится примерно на один атом металла, хотя это число и изменяется в определенных пределах. Носителями зарядов,
осуществляющих ток в металлах, являются электроны. Сказанное означает, что в метал- лах на один атом приходится в среднем около одного свободного электрона. Например,
на один атом серебра приходится 0,7 электронов; меди — 0,8; золота — 0,9, а алюминия
— около двух электронов. Напомним, что у металлов обычно концентрация атомов, а следовательно, и свободных электронов близка к n ∼ 10 28
м
−3
Исследование эффекта Холла в других случаях показало, что он не всегда обусловлен движением отрицательных зарядов. Когда знак разности потенциалов в эффекте Холла соответствует движению положительных зарядов, то эффект называется аномаль- ным.
Эффект Холла является одним из гальваномагнитных явлений. Под этим термином объединяются явления, возникающие в проводнике с током, находящимся в магнитном поле. Физическая сущность всех этих явлений состоит в том, что электропроводимость проводника во внешнем магнитном поле является не скаляром, а тензором. Напряжен- ность поперечного электрического поля, называемого холловским, складывается с напря- женностью электрического поля, которое обусловливает существование тока при отсут- ствии магнитного поля. В результате этого напряженность электрического поля образует с плотностью тока некоторый угол — угол Холла. Значит, направления плотности тока и напряженности электрического поля не совпадают. Эти величины связаны тензорной формулой j
i
=
X
k
γ
ik
E
k в которой γ
ik
— тензор электропроводимости. В анизотропных веществах проводимость описывается тензором электропроводимости также и при отсутствии внешнего магнитного поля.
Магнетосопротивление.
Другим важным гальваномагнитным явлением является из- менение сопротивления проводника, помещенного в поперечное магнитное поле (эффект магнетосопротивления). Как показывает опыт, относительное изменение электропрово- димости ∆γ/γ при не очень сильных полях выражается формулой
∆γ/γ = −κ
⊥
B
2
,
где κ
⊥
— коэффициент поперечного магнетосопротивления, зависящий от свойств мате- риала; B — индукция магнитного поля.
Это явление — следствие тензорного характера электропроводимости проводника, по- мещенного в магнитное поле. В результате возникает компонента напряженности элек- трического поля, коллинеарная току, что и вызывает изменение его силы, проявляющееся в изменении сопротивления.
65
Подвижность электронов.
Закон Ома j = γ
E может быть записан в виде nev д
= γE.
(7.10)
Подвижностью b электронов называется отношение скорости дрейфа к напряжен- ности электрического поля:
b = v д
/E.
(7.11)
Принимая во внимание (7.10), получаем b = γ/ (ne) .
(7.12)
Удельная проводимость металла известна, а ne может быть найдена из эффекта Холла,
т. е. измерение эффекта Холла позволяет найти подвижность электронов в проводнике. В
металлах подвижность электронов имеет порядок b ∼ 10
−4
− 10
−3
м
2
/ (B · c) .
(7.13)
Таким образом, скорость дрейфа электронов в металлах очень мала по сравнению с обыч- ными скоростями движения микрочастиц. Большая удельная проводимость металлов обусловлена главным образом большой концентрацией носителей заряда (n ∼ 10 28
м
−3
), а не их большой подвижностью [см. (31 13)]:
γ = enb ∼ 10
−19
· 10 28
· 10
−3
См/м = 10 6
См/м.
У диэлектриков большинство электронов жестко привязано к атомам и очень мало свободных носителей заряда. Поэтому, хотя подвижность этих носителей заряда не сильно отличается от подвижности свободных электронов в металлах, удельная про- водимость диэлектриков очень мала. Концентрация носителей в полупроводниках из- меняется в широких пределах от 10 19
до 10 25
м
−3
, а подвижности заключены примерно от 10 до 10
−4
м
2
/(B · с), т.е. велики. Благодаря таким широким пределам изменения концентрации носителей и их подвижностей удельная проводимость полупроводников из- меняется в широких пределах, на много порядков величин. Однако не удается получить у полупроводников столь же большую проводимость, как у металлов, сохранив, конечно,
при этом характерную для полупроводников зависимость проводимости от температуры
(увеличение проводимости с температурой).
Сверхпроводимость.
В 1911 г. К. Оннес обнаружил, что при T = 4, 2 K ртуть, по- видимому, полностью теряет сопротивление электрическому току. Уменьшение сопротив- ления происходит очень резко в интервале нескольких сотых градуса. В дальнейшем по- теря сопротивления наблюдалась и у других чистых веществ и у многих сплавов. Само явление получило название сверхпроводимости. Температуры перехода в сверхпроводящее состояние различны, но всегда очень низки.
Критическая температура.
Возбудив электрический ток в кольце из сверхпроводни- ка с помощью электромагнитной индукции, можно наблюдать, что его сила в течение нескольких лет не уменьшается. Это позволяет найти верхний предел удельного сопро- тивления сверхпроводников (менее 10
−25
Ом · м). Это на много порядков меньше, чем,
например, удельное сопротивление меди при низкой температуре (10
−12
Ом · м). Поэтому принимается, что электрическое сопротивление сверхпроводников равно нулю. Сопро- тивление до перехода в сверхпроводящее состояние бывает самым различным. Многие из сверхпроводников при комнатной температуре имеют довольно высокое сопротивле- ние. Переход в сверхпроводящее состояние совершается всегда очень резко. У чистых
66
монокристаллов он занимает интервал температур меньший, чем одна тысячная градуса.
Сверхпроводимостью среди чистых веществ обладают алюминий, кадмий, цинк, индий,
галлий. Свойство сверхпроводимости зависит от структуры кристаллической решетки.
Например, белое олово является сверхпроводником, а серое — нет; ртуть обладает свой- ством сверхпроводимости только в а-фазе.
67
Глава 8
Электрический ток в вакууме
Обсуждаются основные закономерности термоэлектронной эмиссии и их проявление при прохождении тока между электродами в вакууме.
Термоэлектронная эмиссия.
В вакууме не может существовать электрический ток,
если в нем нет носителей электрических зарядов. Если же в нем имеются электроны, то их движение обусловливает возникновение тока, называемого током в вакууме.
В металле имеется электронный газ. В условиях термодинамического равновесия рас- пределение электронов по энергетическим уровням определяется статистикой Ферми —
Дирака и дается формулой n
i g
i
=
1
exp [β (E
i
− µ)] + 1
,
(8.1)
где β = 1/ (kT ); n i
— число электронов, имеющих энергию E
i
; g i
— число квантовых состояний, соответствующих энергии E
i
; µ — энергия Ферми при температуре , которая при T → 0 К стремится к энергии Ферми µ
0
при = 0 в соответствии с формулой
µ = µ
0
"
1 −
π
2 12
kT
µ
0
2
+ . . .
#
(8.2)
Принимая во внимание, что во всех практически интересных случаях µ
0
kT , можно в
(8.1) величину µ считать равной µ
0
Рис. 8.1
Пусть E
0
— энергия покоящегося электрона вблизи поверхности вне металла (рис. 8.1). Формула (8.1) позволяет вычислить вероят- ность того, что электрон имеет энергию E
0
, если вместо E
i
, подста- вить в нее E
0
. Эта вероятность не равна нулю и тем больше, чем выше температура (т. е. чем меньше β). Таким образом, вблизи поверхности металла имеется электронное облако, которое на- ходится в равновесии с электронным газом внутри металла. Это равновесие динамическое: электроны внутри металла, обладающие достаточно большой кинетической энергией, преодолевают силы,
удерживающие их внутри металла, и выходят за его пределы; электроны вблизи метал- ла при соответствующих направлениях их скоростей и местоположения захватываются силами, удерживающими электроны внутри металла. Таким образом, в условиях дина- мического равновесия сквозь поверхность металла протекают противоположно направ- ленные токи, силы которых равны по модулю. Суммарная сила тока сквозь поверхность равна нулю. Явление образования электронного облака вблизи поверхности металла из- за теплового движения свободных электронов называется термоэлектронной эмиссией.
68
При 0 К никакой термоэлектронной эмиссии не наблюдается, т. е. электронное облако вблизи поверхности металла отсутствует.
Электроны с кинетической энергией W
k вблизи поверхности металла имеют полную энергию E
i
= W
k
+ E
0
и формула (8.1) принимает для них следующий вид:
n g
W
k
=
1
exp [β (W
k
+ ϕ)] + 1
(8.3)
где ϕ = E
0
− µ — работа выхода электронов из металла. Из формулы (8.3) видно, что плотность электронного облака вблизи поверхности металла сильно зависит от работы выхода Ф и резко уменьшается с ее увеличением.
Если вблизи поверхности металла существует электрическое поле, то электроны обла- ка приходят в движение и образуется электрический ток, называемый термоэлектронным.
Таким образом, если в вакууме имеются две металлические пластины, между которыми приложена разность потенциалов, то между ними возникает термоэлектронный ток. Оче- видно, что сила тока должна расти с увеличением разности потенциалов. Существует максимальная сила тока, когда все электроны, попадающие через поверхность катода в электронное облако, увлекаются внешним электрическим полем к аноду и никакого обратного тока электронов через поверхность внутрь катода не существует.
Эта максимальная сила тока называется силой тока насыщения: при дальнейшем увеличении разности потенциалов между анодом и катодом сила тока не изменяется, по- скольку все электроны, поставляемые в результате термоэлектронной эмиссии из катода,
задействованы для образования электрического тока и других носителей заряда для даль- нейшего увеличения силы тока нет.
Для металлов ϕ составляет несколько электрон-вольт. Энергия kT даже при темпе- ратуре в тысячи кельвинов составляет доли электрон-вольта. Следовательно, βϕ 1 и exp [β (W
k
+ ϕ)] 1. Поэтому в (8.3) можно в знаменателе пренебречь единицей по срав- нению с exp[β(W
k
+ ϕ)] и записать эту формулу в виде n
g
W
k
≈ e
−ϕ/(kT )
e
−W
k
/(kT )
(8.4)
Таким образом, сила тока насыщения очень сильно зависит от работы выхода и температу- ры, поскольку эти величины входят в экспоненту. Для чистых металлов значительный ток может быть получен лишь при температуре порядка 2000 , т. е. в качестве катодов необхо- димо использовать металлы с высокой температурой плавления. Одновременно жела- тельно, чтобы их работа выхода была как можно меньше. Например, чистый вольфрам,
работа выхода которого 4,5 эВ, должен эксплуатироваться при температуре 2500 . Для уменьшения рабочей температуры катода и понижения работы выхода используются ок- сидные катоды, когда на подложку (керн) с помощью соответствующих технологических процессов наносится слой окислов щелочноземельных металлов (например, BaO, SrO и др.). Затем катод активируется при пропускании через него термоионного тока при темпе- ратуре катода около 1300 . В результате образуется моноатомный слой щелочноземельных атомов, значительно понижающий работу выхода. Например, бариево-стронциевые оксид- ные катоды имеют работу выхода около 1,8 эВ, благодаря чему значительные токи удается получить уже при температуре около 1100 . При этой температуре достигается плотность тока порядка 10 4
A · м
−2
. Слой бариево-стронциевого окисла наносится обычно на нике- левую трубку, внутри которой в качестве нагревателя используется вольфрамовая нить.
Такая конструкция имеет дополнительное преимущество по сравнению с использовани- ем нагретой вольфрамовой нити в качестве катода, поскольку в последнем случае вдоль нити возникает значительное падение потенциала и ее поверхность не будет эквипотенци- альной. В оксидном катоде слой окислов является эквипотенциальной поверхностью, что улучшает весьма существенно условия работы катода в целом.
69
Характеристики электронного облака. Облако электронов вблизи поверхности металла описывается формулой (8.4). Число квантовых состояний в элементе фазового объема dxdydzdp x
dp y
dp z
g =
2
(2π)
3
dxdydzdp x
dp y
dp z
(8.5)
Поэтому число электронов, заключенных в элементе фазового объема dx dy dz dp x
dp y
dp z
,
представляется в виде dn =
2
(2π)
3
e
−ϕ/(kT )
e
−p
2
/
(2m e
kT )
dxdydzdp x
dp y
dp z
,
(8.6)
где W
k
= p
2
/ (2m e
).
Интегрирование выражения (8.6) no dxdydz дает в качестве множителя объем V . По- этому число электронов в объеме V , импульсы которых заключены в элементе объема dp x
dp y
dp z
, вблизи импульса p x
p y
p z
равно dn p
=
2V / (2π)
3
exp [−ϕ/ (kT )] exp −p
2
/ (2m e
kT )
dp x
dp y
dp z
,
(8.7)
где p
2
= p
2
x
+ p
2
y
+ p
2
z
. Отсюда для концентрации электронного облака вблизи поверхности металла получаем выражение n
0 0
=
1
V
Z
dn p
=
1
(2π)
3
exp
−
ϕ
kT
∞
Z Z Z
−∞
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Электрический спектр разбивается на зоны, разделенные запрещенными промежутками.
Если в верхней зоне, где еще имеются электроны, ими заполнены не все квантовые со- стояния, т. е. в пределах зоны имеется возможность для перераспределения энергии и импульсов электронов, то соответствующее вещество является проводником электриче- ского тока. Зона при этом называется зоной проводимости, а соответствующее вещество является проводником электрического тока с электронным типом проводимости. Если в зоне проводимости много электронов и свободных квантовых состояний, то электропрово- димость достаточно велика. Только электроны в зоне проводимости являются носителями зарядов, осуществляющими электрический ток. Их движение подчиняется квантовым за- конам. Число этих электронов составляет лишь небольшую часть от общего числа электро- нов. Благодаря этому устраняются трудности классической теории электропроводимости
(см. § 27).
Зависимость сопротивления от температуры.
Не только в металлах главный вклад в электропроводимость вносит движение электронов. Например, в полупроводниках с электронным типом электропроводимости основной вклад в перенос электрического за- ряда также вносится движением электронов. Одним из наиболее характерных различий электропроводимости в этих двух случаях является характер завиимости удельной про- водимости от температуры.
Эксперимент показывает, что у металлических проводников удельное сопротивление растет с повышением температуры, т. е. удельная проводимость уменьшается. При
63
не слишком низкой температуре зависимость проводимости от температуры имеет вид
γ ∼
1
T
Однако у некоторых веществ, например стекол, полупроводников, электролитов и т. д., проводимость увеличивается с температурой. Хотя механизмы возрастания про- водимости различны, они сводятся в конечном счете к увеличению числа носителей элек- трических зарядов, благодаря движению которых осуществляется ток. В металлах число носителей, т. е. свободных электронов, практически не зависит от температуры и сопротив- ления току, определяется лишь их способностью образовывать упорядоченное движение под действием электрического поля, т. е. их подвижностью. А она с увеличением темпе- ратуры уменьшается.
Эффект Холла.
На заряды, движением которых обусловливается ток, действует сила
Ампера . Плотность силы Ампера может быть записана в виде
f = j ×
B = ne
v д
×
B,
(7.6)
где п, е — концентрация и заряд, движение которого обусловливает ток,
v д
— скорость дрейфа заряда.
Под действием силы с плотностью
f заряды в проводнике при наличии магнитно- го поля, индукция которого перпендикулярна плотности тока j, стремятся сместиться в направлении силы (рис. 7.2, а). В результате на соответствующей части поверхности про- водника образуется избыток зарядов того же знака, что и знак зарядов, осуществляющих ток. Поэтому если ток обусловливается движением положительных зарядов, то создается распределение поверхностной плотности зарядов, изображенное на рис. 7.2, б, а при дви- жении отрицательных – на рис. 7.2, в. Между противоположными сторонами проводника появляется разность потенциалов и такое электрическое поле, напряженность E которо- го нейтрализует действие плотности силы (7.6). Направление напряженности зависит от знака зарядов, осуществляющих ток, а модуль определяется теми факторами, от которых зависит плотность силы (7.6). Возникновение разности потенциалов в проводнике с током в магнитном поле называется эффектом Холла. Он был открыт в 1879 г.
Индукция
B поля и скорость v д
зарядов взаимно перпендикулярны. Отношение плот- ности силы (7.6) к заряду аналогично (7.1) может рассматриваться как эффективная на- пряженность электрического поля, называемого полем Холла:
E
эф
= v д
B
(7.7)
а)
б)
в)
Рис. 7.2
Следовательно, между поверхностями проводника создается разность потенциалов
(рис. 7.2,б)
U =
d
Z
0
v д
Bdx = v д
Bd,
(7.8)
где d - толщина проводника. Принимая во внимание, что j = nev д
, перепишем (7.8) в виде
U =
djB
(ne)
= RjBd,
(7.9)
64
где R = 1/(ne) — постоянная Холла. Разность потенциалов может быть измерена.
Остальные величины, за исключением концентрации п зарядов и их знака, известны. По знаку разности потенциалов можно определить знак заряда носителей, движение ко- торых осуществляет ток, а по разности потенциалов — их концентрацию.
Заметим, что формулы (7.9) и R = 1/(ne) совпадают с соответствующими формулами более полной теории эффекта Холла, когда учитывается распределение электронов по скоростям, статистические характеристики их столкновений и т. д. Однако расчеты при этом оказываются очень громоздкими и здесь не приводятся.
Результаты измерений показали, что в металлах ток осуществляется движением отрицательных зарядов. Концентрация носителей примерно равна концентрации атомов,
т. е. один заряд, участвующий в образовании тока, приходится примерно на один атом металла, хотя это число и изменяется в определенных пределах. Носителями зарядов,
осуществляющих ток в металлах, являются электроны. Сказанное означает, что в метал- лах на один атом приходится в среднем около одного свободного электрона. Например,
на один атом серебра приходится 0,7 электронов; меди — 0,8; золота — 0,9, а алюминия
— около двух электронов. Напомним, что у металлов обычно концентрация атомов, а следовательно, и свободных электронов близка к n ∼ 10 28
м
−3
Исследование эффекта Холла в других случаях показало, что он не всегда обусловлен движением отрицательных зарядов. Когда знак разности потенциалов в эффекте Холла соответствует движению положительных зарядов, то эффект называется аномаль- ным.
Эффект Холла является одним из гальваномагнитных явлений. Под этим термином объединяются явления, возникающие в проводнике с током, находящимся в магнитном поле. Физическая сущность всех этих явлений состоит в том, что электропроводимость проводника во внешнем магнитном поле является не скаляром, а тензором. Напряжен- ность поперечного электрического поля, называемого холловским, складывается с напря- женностью электрического поля, которое обусловливает существование тока при отсут- ствии магнитного поля. В результате этого напряженность электрического поля образует с плотностью тока некоторый угол — угол Холла. Значит, направления плотности тока и напряженности электрического поля не совпадают. Эти величины связаны тензорной формулой j
i
=
X
k
γ
ik
E
k в которой γ
ik
— тензор электропроводимости. В анизотропных веществах проводимость описывается тензором электропроводимости также и при отсутствии внешнего магнитного поля.
Магнетосопротивление.
Другим важным гальваномагнитным явлением является из- менение сопротивления проводника, помещенного в поперечное магнитное поле (эффект магнетосопротивления). Как показывает опыт, относительное изменение электропрово- димости ∆γ/γ при не очень сильных полях выражается формулой
∆γ/γ = −κ
⊥
B
2
,
где κ
⊥
— коэффициент поперечного магнетосопротивления, зависящий от свойств мате- риала; B — индукция магнитного поля.
Это явление — следствие тензорного характера электропроводимости проводника, по- мещенного в магнитное поле. В результате возникает компонента напряженности элек- трического поля, коллинеарная току, что и вызывает изменение его силы, проявляющееся в изменении сопротивления.
65
Подвижность электронов.
Закон Ома j = γ
E может быть записан в виде nev д
= γE.
(7.10)
Подвижностью b электронов называется отношение скорости дрейфа к напряжен- ности электрического поля:
b = v д
/E.
(7.11)
Принимая во внимание (7.10), получаем b = γ/ (ne) .
(7.12)
Удельная проводимость металла известна, а ne может быть найдена из эффекта Холла,
т. е. измерение эффекта Холла позволяет найти подвижность электронов в проводнике. В
металлах подвижность электронов имеет порядок b ∼ 10
−4
− 10
−3
м
2
/ (B · c) .
(7.13)
Таким образом, скорость дрейфа электронов в металлах очень мала по сравнению с обыч- ными скоростями движения микрочастиц. Большая удельная проводимость металлов обусловлена главным образом большой концентрацией носителей заряда (n ∼ 10 28
м
−3
), а не их большой подвижностью [см. (31 13)]:
γ = enb ∼ 10
−19
· 10 28
· 10
−3
См/м = 10 6
См/м.
У диэлектриков большинство электронов жестко привязано к атомам и очень мало свободных носителей заряда. Поэтому, хотя подвижность этих носителей заряда не сильно отличается от подвижности свободных электронов в металлах, удельная про- водимость диэлектриков очень мала. Концентрация носителей в полупроводниках из- меняется в широких пределах от 10 19
до 10 25
м
−3
, а подвижности заключены примерно от 10 до 10
−4
м
2
/(B · с), т.е. велики. Благодаря таким широким пределам изменения концентрации носителей и их подвижностей удельная проводимость полупроводников из- меняется в широких пределах, на много порядков величин. Однако не удается получить у полупроводников столь же большую проводимость, как у металлов, сохранив, конечно,
при этом характерную для полупроводников зависимость проводимости от температуры
(увеличение проводимости с температурой).
Сверхпроводимость.
В 1911 г. К. Оннес обнаружил, что при T = 4, 2 K ртуть, по- видимому, полностью теряет сопротивление электрическому току. Уменьшение сопротив- ления происходит очень резко в интервале нескольких сотых градуса. В дальнейшем по- теря сопротивления наблюдалась и у других чистых веществ и у многих сплавов. Само явление получило название сверхпроводимости. Температуры перехода в сверхпроводящее состояние различны, но всегда очень низки.
Критическая температура.
Возбудив электрический ток в кольце из сверхпроводни- ка с помощью электромагнитной индукции, можно наблюдать, что его сила в течение нескольких лет не уменьшается. Это позволяет найти верхний предел удельного сопро- тивления сверхпроводников (менее 10
−25
Ом · м). Это на много порядков меньше, чем,
например, удельное сопротивление меди при низкой температуре (10
−12
Ом · м). Поэтому принимается, что электрическое сопротивление сверхпроводников равно нулю. Сопро- тивление до перехода в сверхпроводящее состояние бывает самым различным. Многие из сверхпроводников при комнатной температуре имеют довольно высокое сопротивле- ние. Переход в сверхпроводящее состояние совершается всегда очень резко. У чистых
66
монокристаллов он занимает интервал температур меньший, чем одна тысячная градуса.
Сверхпроводимостью среди чистых веществ обладают алюминий, кадмий, цинк, индий,
галлий. Свойство сверхпроводимости зависит от структуры кристаллической решетки.
Например, белое олово является сверхпроводником, а серое — нет; ртуть обладает свой- ством сверхпроводимости только в а-фазе.
67
Глава 8
Электрический ток в вакууме
Обсуждаются основные закономерности термоэлектронной эмиссии и их проявление при прохождении тока между электродами в вакууме.
Термоэлектронная эмиссия.
В вакууме не может существовать электрический ток,
если в нем нет носителей электрических зарядов. Если же в нем имеются электроны, то их движение обусловливает возникновение тока, называемого током в вакууме.
В металле имеется электронный газ. В условиях термодинамического равновесия рас- пределение электронов по энергетическим уровням определяется статистикой Ферми —
Дирака и дается формулой n
i g
i
=
1
exp [β (E
i
− µ)] + 1
,
(8.1)
где β = 1/ (kT ); n i
— число электронов, имеющих энергию E
i
; g i
— число квантовых состояний, соответствующих энергии E
i
; µ — энергия Ферми при температуре , которая при T → 0 К стремится к энергии Ферми µ
0
при = 0 в соответствии с формулой
µ = µ
0
"
1 −
π
2 12
kT
µ
0
2
+ . . .
#
(8.2)
Принимая во внимание, что во всех практически интересных случаях µ
0
kT , можно в
(8.1) величину µ считать равной µ
0
Рис. 8.1
Пусть E
0
— энергия покоящегося электрона вблизи поверхности вне металла (рис. 8.1). Формула (8.1) позволяет вычислить вероят- ность того, что электрон имеет энергию E
0
, если вместо E
i
, подста- вить в нее E
0
. Эта вероятность не равна нулю и тем больше, чем выше температура (т. е. чем меньше β). Таким образом, вблизи поверхности металла имеется электронное облако, которое на- ходится в равновесии с электронным газом внутри металла. Это равновесие динамическое: электроны внутри металла, обладающие достаточно большой кинетической энергией, преодолевают силы,
удерживающие их внутри металла, и выходят за его пределы; электроны вблизи метал- ла при соответствующих направлениях их скоростей и местоположения захватываются силами, удерживающими электроны внутри металла. Таким образом, в условиях дина- мического равновесия сквозь поверхность металла протекают противоположно направ- ленные токи, силы которых равны по модулю. Суммарная сила тока сквозь поверхность равна нулю. Явление образования электронного облака вблизи поверхности металла из- за теплового движения свободных электронов называется термоэлектронной эмиссией.
68
При 0 К никакой термоэлектронной эмиссии не наблюдается, т. е. электронное облако вблизи поверхности металла отсутствует.
Электроны с кинетической энергией W
k вблизи поверхности металла имеют полную энергию E
i
= W
k
+ E
0
и формула (8.1) принимает для них следующий вид:
n g
W
k
=
1
exp [β (W
k
+ ϕ)] + 1
(8.3)
где ϕ = E
0
− µ — работа выхода электронов из металла. Из формулы (8.3) видно, что плотность электронного облака вблизи поверхности металла сильно зависит от работы выхода Ф и резко уменьшается с ее увеличением.
Если вблизи поверхности металла существует электрическое поле, то электроны обла- ка приходят в движение и образуется электрический ток, называемый термоэлектронным.
Таким образом, если в вакууме имеются две металлические пластины, между которыми приложена разность потенциалов, то между ними возникает термоэлектронный ток. Оче- видно, что сила тока должна расти с увеличением разности потенциалов. Существует максимальная сила тока, когда все электроны, попадающие через поверхность катода в электронное облако, увлекаются внешним электрическим полем к аноду и никакого обратного тока электронов через поверхность внутрь катода не существует.
Эта максимальная сила тока называется силой тока насыщения: при дальнейшем увеличении разности потенциалов между анодом и катодом сила тока не изменяется, по- скольку все электроны, поставляемые в результате термоэлектронной эмиссии из катода,
задействованы для образования электрического тока и других носителей заряда для даль- нейшего увеличения силы тока нет.
Для металлов ϕ составляет несколько электрон-вольт. Энергия kT даже при темпе- ратуре в тысячи кельвинов составляет доли электрон-вольта. Следовательно, βϕ 1 и exp [β (W
k
+ ϕ)] 1. Поэтому в (8.3) можно в знаменателе пренебречь единицей по срав- нению с exp[β(W
k
+ ϕ)] и записать эту формулу в виде n
g
W
k
≈ e
−ϕ/(kT )
e
−W
k
/(kT )
(8.4)
Таким образом, сила тока насыщения очень сильно зависит от работы выхода и температу- ры, поскольку эти величины входят в экспоненту. Для чистых металлов значительный ток может быть получен лишь при температуре порядка 2000 , т. е. в качестве катодов необхо- димо использовать металлы с высокой температурой плавления. Одновременно жела- тельно, чтобы их работа выхода была как можно меньше. Например, чистый вольфрам,
работа выхода которого 4,5 эВ, должен эксплуатироваться при температуре 2500 . Для уменьшения рабочей температуры катода и понижения работы выхода используются ок- сидные катоды, когда на подложку (керн) с помощью соответствующих технологических процессов наносится слой окислов щелочноземельных металлов (например, BaO, SrO и др.). Затем катод активируется при пропускании через него термоионного тока при темпе- ратуре катода около 1300 . В результате образуется моноатомный слой щелочноземельных атомов, значительно понижающий работу выхода. Например, бариево-стронциевые оксид- ные катоды имеют работу выхода около 1,8 эВ, благодаря чему значительные токи удается получить уже при температуре около 1100 . При этой температуре достигается плотность тока порядка 10 4
A · м
−2
. Слой бариево-стронциевого окисла наносится обычно на нике- левую трубку, внутри которой в качестве нагревателя используется вольфрамовая нить.
Такая конструкция имеет дополнительное преимущество по сравнению с использовани- ем нагретой вольфрамовой нити в качестве катода, поскольку в последнем случае вдоль нити возникает значительное падение потенциала и ее поверхность не будет эквипотенци- альной. В оксидном катоде слой окислов является эквипотенциальной поверхностью, что улучшает весьма существенно условия работы катода в целом.
69
Характеристики электронного облака. Облако электронов вблизи поверхности металла описывается формулой (8.4). Число квантовых состояний в элементе фазового объема dxdydzdp x
dp y
dp z
g =
2
(2π)
3
dxdydzdp x
dp y
dp z
(8.5)
Поэтому число электронов, заключенных в элементе фазового объема dx dy dz dp x
dp y
dp z
,
представляется в виде dn =
2
(2π)
3
e
−ϕ/(kT )
e
−p
2
/
(2m e
kT )
dxdydzdp x
dp y
dp z
,
(8.6)
где W
k
= p
2
/ (2m e
).
Интегрирование выражения (8.6) no dxdydz дает в качестве множителя объем V . По- этому число электронов в объеме V , импульсы которых заключены в элементе объема dp x
dp y
dp z
, вблизи импульса p x
p y
p z
равно dn p
=
2V / (2π)
3
exp [−ϕ/ (kT )] exp −p
2
/ (2m e
kT )
dp x
dp y
dp z
,
(8.7)
где p
2
= p
2
x
+ p
2
y
+ p
2
z
. Отсюда для концентрации электронного облака вблизи поверхности металла получаем выражение n
0 0
=
1
V
Z
dn p
=
1
(2π)
3
exp
−
ϕ
kT
∞
Z Z Z
−∞
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Электрический спектр разбивается на зоны, разделенные запрещенными промежутками.
Если в верхней зоне, где еще имеются электроны, ими заполнены не все квантовые со- стояния, т. е. в пределах зоны имеется возможность для перераспределения энергии и импульсов электронов, то соответствующее вещество является проводником электриче- ского тока. Зона при этом называется зоной проводимости, а соответствующее вещество является проводником электрического тока с электронным типом проводимости. Если в зоне проводимости много электронов и свободных квантовых состояний, то электропрово- димость достаточно велика. Только электроны в зоне проводимости являются носителями зарядов, осуществляющими электрический ток. Их движение подчиняется квантовым за- конам. Число этих электронов составляет лишь небольшую часть от общего числа электро- нов. Благодаря этому устраняются трудности классической теории электропроводимости
(см. § 27).
Зависимость сопротивления от температуры.
Не только в металлах главный вклад в электропроводимость вносит движение электронов. Например, в полупроводниках с электронным типом электропроводимости основной вклад в перенос электрического за- ряда также вносится движением электронов. Одним из наиболее характерных различий электропроводимости в этих двух случаях является характер завиимости удельной про- водимости от температуры.
Эксперимент показывает, что у металлических проводников удельное сопротивление растет с повышением температуры, т. е. удельная проводимость уменьшается. При
63
не слишком низкой температуре зависимость проводимости от температуры имеет вид
γ ∼
1
T
Однако у некоторых веществ, например стекол, полупроводников, электролитов и т. д., проводимость увеличивается с температурой. Хотя механизмы возрастания про- водимости различны, они сводятся в конечном счете к увеличению числа носителей элек- трических зарядов, благодаря движению которых осуществляется ток. В металлах число носителей, т. е. свободных электронов, практически не зависит от температуры и сопротив- ления току, определяется лишь их способностью образовывать упорядоченное движение под действием электрического поля, т. е. их подвижностью. А она с увеличением темпе- ратуры уменьшается.
Эффект Холла.
На заряды, движением которых обусловливается ток, действует сила
Ампера . Плотность силы Ампера может быть записана в виде
f = j ×
B = ne
v д
×
B,
(7.6)
где п, е — концентрация и заряд, движение которого обусловливает ток,
v д
— скорость дрейфа заряда.
Под действием силы с плотностью
f заряды в проводнике при наличии магнитно- го поля, индукция которого перпендикулярна плотности тока j, стремятся сместиться в направлении силы (рис. 7.2, а). В результате на соответствующей части поверхности про- водника образуется избыток зарядов того же знака, что и знак зарядов, осуществляющих ток. Поэтому если ток обусловливается движением положительных зарядов, то создается распределение поверхностной плотности зарядов, изображенное на рис. 7.2, б, а при дви- жении отрицательных – на рис. 7.2, в. Между противоположными сторонами проводника появляется разность потенциалов и такое электрическое поле, напряженность E которо- го нейтрализует действие плотности силы (7.6). Направление напряженности зависит от знака зарядов, осуществляющих ток, а модуль определяется теми факторами, от которых зависит плотность силы (7.6). Возникновение разности потенциалов в проводнике с током в магнитном поле называется эффектом Холла. Он был открыт в 1879 г.
Индукция
B поля и скорость v д
зарядов взаимно перпендикулярны. Отношение плот- ности силы (7.6) к заряду аналогично (7.1) может рассматриваться как эффективная на- пряженность электрического поля, называемого полем Холла:
E
эф
= v д
B
(7.7)
а)
б)
в)
Рис. 7.2
Следовательно, между поверхностями проводника создается разность потенциалов
(рис. 7.2,б)
U =
d
Z
0
v д
Bdx = v д
Bd,
(7.8)
где d - толщина проводника. Принимая во внимание, что j = nev д
, перепишем (7.8) в виде
U =
djB
(ne)
= RjBd,
(7.9)
64
где R = 1/(ne) — постоянная Холла. Разность потенциалов может быть измерена.
Остальные величины, за исключением концентрации п зарядов и их знака, известны. По знаку разности потенциалов можно определить знак заряда носителей, движение ко- торых осуществляет ток, а по разности потенциалов — их концентрацию.
Заметим, что формулы (7.9) и R = 1/(ne) совпадают с соответствующими формулами более полной теории эффекта Холла, когда учитывается распределение электронов по скоростям, статистические характеристики их столкновений и т. д. Однако расчеты при этом оказываются очень громоздкими и здесь не приводятся.
Результаты измерений показали, что в металлах ток осуществляется движением отрицательных зарядов. Концентрация носителей примерно равна концентрации атомов,
т. е. один заряд, участвующий в образовании тока, приходится примерно на один атом металла, хотя это число и изменяется в определенных пределах. Носителями зарядов,
осуществляющих ток в металлах, являются электроны. Сказанное означает, что в метал- лах на один атом приходится в среднем около одного свободного электрона. Например,
на один атом серебра приходится 0,7 электронов; меди — 0,8; золота — 0,9, а алюминия
— около двух электронов. Напомним, что у металлов обычно концентрация атомов, а следовательно, и свободных электронов близка к n ∼ 10 28
м
−3
Исследование эффекта Холла в других случаях показало, что он не всегда обусловлен движением отрицательных зарядов. Когда знак разности потенциалов в эффекте Холла соответствует движению положительных зарядов, то эффект называется аномаль- ным.
Эффект Холла является одним из гальваномагнитных явлений. Под этим термином объединяются явления, возникающие в проводнике с током, находящимся в магнитном поле. Физическая сущность всех этих явлений состоит в том, что электропроводимость проводника во внешнем магнитном поле является не скаляром, а тензором. Напряжен- ность поперечного электрического поля, называемого холловским, складывается с напря- женностью электрического поля, которое обусловливает существование тока при отсут- ствии магнитного поля. В результате этого напряженность электрического поля образует с плотностью тока некоторый угол — угол Холла. Значит, направления плотности тока и напряженности электрического поля не совпадают. Эти величины связаны тензорной формулой j
i
=
X
k
γ
ik
E
k в которой γ
ik
— тензор электропроводимости. В анизотропных веществах проводимость описывается тензором электропроводимости также и при отсутствии внешнего магнитного поля.
Магнетосопротивление.
Другим важным гальваномагнитным явлением является из- менение сопротивления проводника, помещенного в поперечное магнитное поле (эффект магнетосопротивления). Как показывает опыт, относительное изменение электропрово- димости ∆γ/γ при не очень сильных полях выражается формулой
∆γ/γ = −κ
⊥
B
2
,
где κ
⊥
— коэффициент поперечного магнетосопротивления, зависящий от свойств мате- риала; B — индукция магнитного поля.
Это явление — следствие тензорного характера электропроводимости проводника, по- мещенного в магнитное поле. В результате возникает компонента напряженности элек- трического поля, коллинеарная току, что и вызывает изменение его силы, проявляющееся в изменении сопротивления.
65
Подвижность электронов.
Закон Ома j = γ
E может быть записан в виде nev д
= γE.
(7.10)
Подвижностью b электронов называется отношение скорости дрейфа к напряжен- ности электрического поля:
b = v д
/E.
(7.11)
Принимая во внимание (7.10), получаем b = γ/ (ne) .
(7.12)
Удельная проводимость металла известна, а ne может быть найдена из эффекта Холла,
т. е. измерение эффекта Холла позволяет найти подвижность электронов в проводнике. В
металлах подвижность электронов имеет порядок b ∼ 10
−4
− 10
−3
м
2
/ (B · c) .
(7.13)
Таким образом, скорость дрейфа электронов в металлах очень мала по сравнению с обыч- ными скоростями движения микрочастиц. Большая удельная проводимость металлов обусловлена главным образом большой концентрацией носителей заряда (n ∼ 10 28
м
−3
), а не их большой подвижностью [см. (31 13)]:
γ = enb ∼ 10
−19
· 10 28
· 10
−3
См/м = 10 6
См/м.
У диэлектриков большинство электронов жестко привязано к атомам и очень мало свободных носителей заряда. Поэтому, хотя подвижность этих носителей заряда не сильно отличается от подвижности свободных электронов в металлах, удельная про- водимость диэлектриков очень мала. Концентрация носителей в полупроводниках из- меняется в широких пределах от 10 19
до 10 25
м
−3
, а подвижности заключены примерно от 10 до 10
−4
м
2
/(B · с), т.е. велики. Благодаря таким широким пределам изменения концентрации носителей и их подвижностей удельная проводимость полупроводников из- меняется в широких пределах, на много порядков величин. Однако не удается получить у полупроводников столь же большую проводимость, как у металлов, сохранив, конечно,
при этом характерную для полупроводников зависимость проводимости от температуры
(увеличение проводимости с температурой).
Сверхпроводимость.
В 1911 г. К. Оннес обнаружил, что при T = 4, 2 K ртуть, по- видимому, полностью теряет сопротивление электрическому току. Уменьшение сопротив- ления происходит очень резко в интервале нескольких сотых градуса. В дальнейшем по- теря сопротивления наблюдалась и у других чистых веществ и у многих сплавов. Само явление получило название сверхпроводимости. Температуры перехода в сверхпроводящее состояние различны, но всегда очень низки.
Критическая температура.
Возбудив электрический ток в кольце из сверхпроводни- ка с помощью электромагнитной индукции, можно наблюдать, что его сила в течение нескольких лет не уменьшается. Это позволяет найти верхний предел удельного сопро- тивления сверхпроводников (менее 10
−25
Ом · м). Это на много порядков меньше, чем,
например, удельное сопротивление меди при низкой температуре (10
−12
Ом · м). Поэтому принимается, что электрическое сопротивление сверхпроводников равно нулю. Сопро- тивление до перехода в сверхпроводящее состояние бывает самым различным. Многие из сверхпроводников при комнатной температуре имеют довольно высокое сопротивле- ние. Переход в сверхпроводящее состояние совершается всегда очень резко. У чистых
66
монокристаллов он занимает интервал температур меньший, чем одна тысячная градуса.
Сверхпроводимостью среди чистых веществ обладают алюминий, кадмий, цинк, индий,
галлий. Свойство сверхпроводимости зависит от структуры кристаллической решетки.
Например, белое олово является сверхпроводником, а серое — нет; ртуть обладает свой- ством сверхпроводимости только в а-фазе.
67
Глава 8
Электрический ток в вакууме
Обсуждаются основные закономерности термоэлектронной эмиссии и их проявление при прохождении тока между электродами в вакууме.
Термоэлектронная эмиссия.
В вакууме не может существовать электрический ток,
если в нем нет носителей электрических зарядов. Если же в нем имеются электроны, то их движение обусловливает возникновение тока, называемого током в вакууме.
В металле имеется электронный газ. В условиях термодинамического равновесия рас- пределение электронов по энергетическим уровням определяется статистикой Ферми —
Дирака и дается формулой n
i g
i
=
1
exp [β (E
i
− µ)] + 1
,
(8.1)
где β = 1/ (kT ); n i
— число электронов, имеющих энергию E
i
; g i
— число квантовых состояний, соответствующих энергии E
i
; µ — энергия Ферми при температуре , которая при T → 0 К стремится к энергии Ферми µ
0
при = 0 в соответствии с формулой
µ = µ
0
"
1 −
π
2 12
kT
µ
0
2
+ . . .
#
(8.2)
Принимая во внимание, что во всех практически интересных случаях µ
0
kT , можно в
(8.1) величину µ считать равной µ
0
Рис. 8.1
Пусть E
0
— энергия покоящегося электрона вблизи поверхности вне металла (рис. 8.1). Формула (8.1) позволяет вычислить вероят- ность того, что электрон имеет энергию E
0
, если вместо E
i
, подста- вить в нее E
0
. Эта вероятность не равна нулю и тем больше, чем выше температура (т. е. чем меньше β). Таким образом, вблизи поверхности металла имеется электронное облако, которое на- ходится в равновесии с электронным газом внутри металла. Это равновесие динамическое: электроны внутри металла, обладающие достаточно большой кинетической энергией, преодолевают силы,
удерживающие их внутри металла, и выходят за его пределы; электроны вблизи метал- ла при соответствующих направлениях их скоростей и местоположения захватываются силами, удерживающими электроны внутри металла. Таким образом, в условиях дина- мического равновесия сквозь поверхность металла протекают противоположно направ- ленные токи, силы которых равны по модулю. Суммарная сила тока сквозь поверхность равна нулю. Явление образования электронного облака вблизи поверхности металла из- за теплового движения свободных электронов называется термоэлектронной эмиссией.
68
При 0 К никакой термоэлектронной эмиссии не наблюдается, т. е. электронное облако вблизи поверхности металла отсутствует.
Электроны с кинетической энергией W
k вблизи поверхности металла имеют полную энергию E
i
= W
k
+ E
0
и формула (8.1) принимает для них следующий вид:
n g
W
k
=
1
exp [β (W
k
+ ϕ)] + 1
(8.3)
где ϕ = E
0
− µ — работа выхода электронов из металла. Из формулы (8.3) видно, что плотность электронного облака вблизи поверхности металла сильно зависит от работы выхода Ф и резко уменьшается с ее увеличением.
Если вблизи поверхности металла существует электрическое поле, то электроны обла- ка приходят в движение и образуется электрический ток, называемый термоэлектронным.
Таким образом, если в вакууме имеются две металлические пластины, между которыми приложена разность потенциалов, то между ними возникает термоэлектронный ток. Оче- видно, что сила тока должна расти с увеличением разности потенциалов. Существует максимальная сила тока, когда все электроны, попадающие через поверхность катода в электронное облако, увлекаются внешним электрическим полем к аноду и никакого обратного тока электронов через поверхность внутрь катода не существует.
Эта максимальная сила тока называется силой тока насыщения: при дальнейшем увеличении разности потенциалов между анодом и катодом сила тока не изменяется, по- скольку все электроны, поставляемые в результате термоэлектронной эмиссии из катода,
задействованы для образования электрического тока и других носителей заряда для даль- нейшего увеличения силы тока нет.
Для металлов ϕ составляет несколько электрон-вольт. Энергия kT даже при темпе- ратуре в тысячи кельвинов составляет доли электрон-вольта. Следовательно, βϕ 1 и exp [β (W
k
+ ϕ)] 1. Поэтому в (8.3) можно в знаменателе пренебречь единицей по срав- нению с exp[β(W
k
+ ϕ)] и записать эту формулу в виде n
g
W
k
≈ e
−ϕ/(kT )
e
−W
k
/(kT )
(8.4)
Таким образом, сила тока насыщения очень сильно зависит от работы выхода и температу- ры, поскольку эти величины входят в экспоненту. Для чистых металлов значительный ток может быть получен лишь при температуре порядка 2000 , т. е. в качестве катодов необхо- димо использовать металлы с высокой температурой плавления. Одновременно жела- тельно, чтобы их работа выхода была как можно меньше. Например, чистый вольфрам,
работа выхода которого 4,5 эВ, должен эксплуатироваться при температуре 2500 . Для уменьшения рабочей температуры катода и понижения работы выхода используются ок- сидные катоды, когда на подложку (керн) с помощью соответствующих технологических процессов наносится слой окислов щелочноземельных металлов (например, BaO, SrO и др.). Затем катод активируется при пропускании через него термоионного тока при темпе- ратуре катода около 1300 . В результате образуется моноатомный слой щелочноземельных атомов, значительно понижающий работу выхода. Например, бариево-стронциевые оксид- ные катоды имеют работу выхода около 1,8 эВ, благодаря чему значительные токи удается получить уже при температуре около 1100 . При этой температуре достигается плотность тока порядка 10 4
A · м
−2
. Слой бариево-стронциевого окисла наносится обычно на нике- левую трубку, внутри которой в качестве нагревателя используется вольфрамовая нить.
Такая конструкция имеет дополнительное преимущество по сравнению с использовани- ем нагретой вольфрамовой нити в качестве катода, поскольку в последнем случае вдоль нити возникает значительное падение потенциала и ее поверхность не будет эквипотенци- альной. В оксидном катоде слой окислов является эквипотенциальной поверхностью, что улучшает весьма существенно условия работы катода в целом.
69
Характеристики электронного облака. Облако электронов вблизи поверхности металла описывается формулой (8.4). Число квантовых состояний в элементе фазового объема dxdydzdp x
dp y
dp z
g =
2
(2π)
3
dxdydzdp x
dp y
dp z
(8.5)
Поэтому число электронов, заключенных в элементе фазового объема dx dy dz dp x
dp y
dp z
,
представляется в виде dn =
2
(2π)
3
e
−ϕ/(kT )
e
−p
2
/
(2m e
kT )
dxdydzdp x
dp y
dp z
,
(8.6)
где W
k
= p
2
/ (2m e
).
Интегрирование выражения (8.6) no dxdydz дает в качестве множителя объем V . По- этому число электронов в объеме V , импульсы которых заключены в элементе объема dp x
dp y
dp z
, вблизи импульса p x
p y
p z
равно dn p
=
2V / (2π)
3
exp [−ϕ/ (kT )] exp −p
2
/ (2m e
kT )
dp x
dp y
dp z
,
(8.7)
где p
2
= p
2
x
+ p
2
y
+ p
2
z
. Отсюда для концентрации электронного облака вблизи поверхности металла получаем выражение n
0 0
=
1
V
Z
dn p
=
1
(2π)
3
exp
−
ϕ
kT
∞
Z Z Z
−∞
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Электрический спектр разбивается на зоны, разделенные запрещенными промежутками.
Если в верхней зоне, где еще имеются электроны, ими заполнены не все квантовые со- стояния, т. е. в пределах зоны имеется возможность для перераспределения энергии и импульсов электронов, то соответствующее вещество является проводником электриче- ского тока. Зона при этом называется зоной проводимости, а соответствующее вещество является проводником электрического тока с электронным типом проводимости. Если в зоне проводимости много электронов и свободных квантовых состояний, то электропрово- димость достаточно велика. Только электроны в зоне проводимости являются носителями зарядов, осуществляющими электрический ток. Их движение подчиняется квантовым за- конам. Число этих электронов составляет лишь небольшую часть от общего числа электро- нов. Благодаря этому устраняются трудности классической теории электропроводимости
(см. § 27).
Зависимость сопротивления от температуры.
Не только в металлах главный вклад в электропроводимость вносит движение электронов. Например, в полупроводниках с электронным типом электропроводимости основной вклад в перенос электрического за- ряда также вносится движением электронов. Одним из наиболее характерных различий электропроводимости в этих двух случаях является характер завиимости удельной про- водимости от температуры.
Эксперимент показывает, что у металлических проводников удельное сопротивление растет с повышением температуры, т. е. удельная проводимость уменьшается. При
63
не слишком низкой температуре зависимость проводимости от температуры имеет вид
γ ∼
1
T
Однако у некоторых веществ, например стекол, полупроводников, электролитов и т. д., проводимость увеличивается с температурой. Хотя механизмы возрастания про- водимости различны, они сводятся в конечном счете к увеличению числа носителей элек- трических зарядов, благодаря движению которых осуществляется ток. В металлах число носителей, т. е. свободных электронов, практически не зависит от температуры и сопротив- ления току, определяется лишь их способностью образовывать упорядоченное движение под действием электрического поля, т. е. их подвижностью. А она с увеличением темпе- ратуры уменьшается.
Эффект Холла.
На заряды, движением которых обусловливается ток, действует сила
Ампера . Плотность силы Ампера может быть записана в виде
f = j ×
B = ne
v д
×
B,
(7.6)
где п, е — концентрация и заряд, движение которого обусловливает ток,
v д
— скорость дрейфа заряда.
Под действием силы с плотностью
f заряды в проводнике при наличии магнитно- го поля, индукция которого перпендикулярна плотности тока j, стремятся сместиться в направлении силы (рис. 7.2, а). В результате на соответствующей части поверхности про- водника образуется избыток зарядов того же знака, что и знак зарядов, осуществляющих ток. Поэтому если ток обусловливается движением положительных зарядов, то создается распределение поверхностной плотности зарядов, изображенное на рис. 7.2, б, а при дви- жении отрицательных – на рис. 7.2, в. Между противоположными сторонами проводника появляется разность потенциалов и такое электрическое поле, напряженность E которо- го нейтрализует действие плотности силы (7.6). Направление напряженности зависит от знака зарядов, осуществляющих ток, а модуль определяется теми факторами, от которых зависит плотность силы (7.6). Возникновение разности потенциалов в проводнике с током в магнитном поле называется эффектом Холла. Он был открыт в 1879 г.
Индукция
B поля и скорость v д
зарядов взаимно перпендикулярны. Отношение плот- ности силы (7.6) к заряду аналогично (7.1) может рассматриваться как эффективная на- пряженность электрического поля, называемого полем Холла:
E
эф
= v д
B
(7.7)
а)
б)
в)
Рис. 7.2
Следовательно, между поверхностями проводника создается разность потенциалов
(рис. 7.2,б)
U =
d
Z
0
v д
Bdx = v д
Bd,
(7.8)
где d - толщина проводника. Принимая во внимание, что j = nev д
, перепишем (7.8) в виде
U =
djB
(ne)
= RjBd,
(7.9)
64
где R = 1/(ne) — постоянная Холла. Разность потенциалов может быть измерена.
Остальные величины, за исключением концентрации п зарядов и их знака, известны. По знаку разности потенциалов можно определить знак заряда носителей, движение ко- торых осуществляет ток, а по разности потенциалов — их концентрацию.
Заметим, что формулы (7.9) и R = 1/(ne) совпадают с соответствующими формулами более полной теории эффекта Холла, когда учитывается распределение электронов по скоростям, статистические характеристики их столкновений и т. д. Однако расчеты при этом оказываются очень громоздкими и здесь не приводятся.
Результаты измерений показали, что в металлах ток осуществляется движением отрицательных зарядов. Концентрация носителей примерно равна концентрации атомов,
т. е. один заряд, участвующий в образовании тока, приходится примерно на один атом металла, хотя это число и изменяется в определенных пределах. Носителями зарядов,
осуществляющих ток в металлах, являются электроны. Сказанное означает, что в метал- лах на один атом приходится в среднем около одного свободного электрона. Например,
на один атом серебра приходится 0,7 электронов; меди — 0,8; золота — 0,9, а алюминия
— около двух электронов. Напомним, что у металлов обычно концентрация атомов, а следовательно, и свободных электронов близка к n ∼ 10 28
м
−3
Исследование эффекта Холла в других случаях показало, что он не всегда обусловлен движением отрицательных зарядов. Когда знак разности потенциалов в эффекте Холла соответствует движению положительных зарядов, то эффект называется аномаль- ным.
Эффект Холла является одним из гальваномагнитных явлений. Под этим термином объединяются явления, возникающие в проводнике с током, находящимся в магнитном поле. Физическая сущность всех этих явлений состоит в том, что электропроводимость проводника во внешнем магнитном поле является не скаляром, а тензором. Напряжен- ность поперечного электрического поля, называемого холловским, складывается с напря- женностью электрического поля, которое обусловливает существование тока при отсут- ствии магнитного поля. В результате этого напряженность электрического поля образует с плотностью тока некоторый угол — угол Холла. Значит, направления плотности тока и напряженности электрического поля не совпадают. Эти величины связаны тензорной формулой j
i
=
X
k
γ
ik
E
k в которой γ
ik
— тензор электропроводимости. В анизотропных веществах проводимость описывается тензором электропроводимости также и при отсутствии внешнего магнитного поля.
Магнетосопротивление.
Другим важным гальваномагнитным явлением является из- менение сопротивления проводника, помещенного в поперечное магнитное поле (эффект магнетосопротивления). Как показывает опыт, относительное изменение электропрово- димости ∆γ/γ при не очень сильных полях выражается формулой
∆γ/γ = −κ
⊥
B
2
,
где κ
⊥
— коэффициент поперечного магнетосопротивления, зависящий от свойств мате- риала; B — индукция магнитного поля.
Это явление — следствие тензорного характера электропроводимости проводника, по- мещенного в магнитное поле. В результате возникает компонента напряженности элек- трического поля, коллинеарная току, что и вызывает изменение его силы, проявляющееся в изменении сопротивления.
65
Подвижность электронов.
Закон Ома j = γ
E может быть записан в виде nev д
= γE.
(7.10)
Подвижностью b электронов называется отношение скорости дрейфа к напряжен- ности электрического поля:
b = v д
/E.
(7.11)
Принимая во внимание (7.10), получаем b = γ/ (ne) .
(7.12)
Удельная проводимость металла известна, а ne может быть найдена из эффекта Холла,
т. е. измерение эффекта Холла позволяет найти подвижность электронов в проводнике. В
металлах подвижность электронов имеет порядок b ∼ 10
−4
− 10
−3
м
2
/ (B · c) .
(7.13)
Таким образом, скорость дрейфа электронов в металлах очень мала по сравнению с обыч- ными скоростями движения микрочастиц. Большая удельная проводимость металлов обусловлена главным образом большой концентрацией носителей заряда (n ∼ 10 28
м
−3
), а не их большой подвижностью [см. (31 13)]:
γ = enb ∼ 10
−19
· 10 28
· 10
−3
См/м = 10 6
См/м.
У диэлектриков большинство электронов жестко привязано к атомам и очень мало свободных носителей заряда. Поэтому, хотя подвижность этих носителей заряда не сильно отличается от подвижности свободных электронов в металлах, удельная про- водимость диэлектриков очень мала. Концентрация носителей в полупроводниках из- меняется в широких пределах от 10 19
до 10 25
м
−3
, а подвижности заключены примерно от 10 до 10
−4
м
2
/(B · с), т.е. велики. Благодаря таким широким пределам изменения концентрации носителей и их подвижностей удельная проводимость полупроводников из- меняется в широких пределах, на много порядков величин. Однако не удается получить у полупроводников столь же большую проводимость, как у металлов, сохранив, конечно,
при этом характерную для полупроводников зависимость проводимости от температуры
(увеличение проводимости с температурой).
Сверхпроводимость.
В 1911 г. К. Оннес обнаружил, что при T = 4, 2 K ртуть, по- видимому, полностью теряет сопротивление электрическому току. Уменьшение сопротив- ления происходит очень резко в интервале нескольких сотых градуса. В дальнейшем по- теря сопротивления наблюдалась и у других чистых веществ и у многих сплавов. Само явление получило название сверхпроводимости. Температуры перехода в сверхпроводящее состояние различны, но всегда очень низки.
Критическая температура.
Возбудив электрический ток в кольце из сверхпроводни- ка с помощью электромагнитной индукции, можно наблюдать, что его сила в течение нескольких лет не уменьшается. Это позволяет найти верхний предел удельного сопро- тивления сверхпроводников (менее 10
−25
Ом · м). Это на много порядков меньше, чем,
например, удельное сопротивление меди при низкой температуре (10
−12
Ом · м). Поэтому принимается, что электрическое сопротивление сверхпроводников равно нулю. Сопро- тивление до перехода в сверхпроводящее состояние бывает самым различным. Многие из сверхпроводников при комнатной температуре имеют довольно высокое сопротивле- ние. Переход в сверхпроводящее состояние совершается всегда очень резко. У чистых
66
монокристаллов он занимает интервал температур меньший, чем одна тысячная градуса.
Сверхпроводимостью среди чистых веществ обладают алюминий, кадмий, цинк, индий,
галлий. Свойство сверхпроводимости зависит от структуры кристаллической решетки.
Например, белое олово является сверхпроводником, а серое — нет; ртуть обладает свой- ством сверхпроводимости только в а-фазе.
67
Глава 8
Электрический ток в вакууме
Обсуждаются основные закономерности термоэлектронной эмиссии и их проявление при прохождении тока между электродами в вакууме.
Термоэлектронная эмиссия.
В вакууме не может существовать электрический ток,
если в нем нет носителей электрических зарядов. Если же в нем имеются электроны, то их движение обусловливает возникновение тока, называемого током в вакууме.
В металле имеется электронный газ. В условиях термодинамического равновесия рас- пределение электронов по энергетическим уровням определяется статистикой Ферми —
Дирака и дается формулой n
i g
i
=
1
exp [β (E
i
− µ)] + 1
,
(8.1)
где β = 1/ (kT ); n i
— число электронов, имеющих энергию E
i
; g i
— число квантовых состояний, соответствующих энергии E
i
; µ — энергия Ферми при температуре , которая при T → 0 К стремится к энергии Ферми µ
0
при = 0 в соответствии с формулой
µ = µ
0
"
1 −
π
2 12
kT
µ
0
2
+ . . .
#
(8.2)
Принимая во внимание, что во всех практически интересных случаях µ
0
kT , можно в
(8.1) величину µ считать равной µ
0
Рис. 8.1
Пусть E
0
— энергия покоящегося электрона вблизи поверхности вне металла (рис. 8.1). Формула (8.1) позволяет вычислить вероят- ность того, что электрон имеет энергию E
0
, если вместо E
i
, подста- вить в нее E
0
. Эта вероятность не равна нулю и тем больше, чем выше температура (т. е. чем меньше β). Таким образом, вблизи поверхности металла имеется электронное облако, которое на- ходится в равновесии с электронным газом внутри металла. Это равновесие динамическое: электроны внутри металла, обладающие достаточно большой кинетической энергией, преодолевают силы,
удерживающие их внутри металла, и выходят за его пределы; электроны вблизи метал- ла при соответствующих направлениях их скоростей и местоположения захватываются силами, удерживающими электроны внутри металла. Таким образом, в условиях дина- мического равновесия сквозь поверхность металла протекают противоположно направ- ленные токи, силы которых равны по модулю. Суммарная сила тока сквозь поверхность равна нулю. Явление образования электронного облака вблизи поверхности металла из- за теплового движения свободных электронов называется термоэлектронной эмиссией.
68
При 0 К никакой термоэлектронной эмиссии не наблюдается, т. е. электронное облако вблизи поверхности металла отсутствует.
Электроны с кинетической энергией W
k вблизи поверхности металла имеют полную энергию E
i
= W
k
+ E
0
и формула (8.1) принимает для них следующий вид:
n g
W
k
=
1
exp [β (W
k
+ ϕ)] + 1
(8.3)
где ϕ = E
0
− µ — работа выхода электронов из металла. Из формулы (8.3) видно, что плотность электронного облака вблизи поверхности металла сильно зависит от работы выхода Ф и резко уменьшается с ее увеличением.
Если вблизи поверхности металла существует электрическое поле, то электроны обла- ка приходят в движение и образуется электрический ток, называемый термоэлектронным.
Таким образом, если в вакууме имеются две металлические пластины, между которыми приложена разность потенциалов, то между ними возникает термоэлектронный ток. Оче- видно, что сила тока должна расти с увеличением разности потенциалов. Существует максимальная сила тока, когда все электроны, попадающие через поверхность катода в электронное облако, увлекаются внешним электрическим полем к аноду и никакого обратного тока электронов через поверхность внутрь катода не существует.
Эта максимальная сила тока называется силой тока насыщения: при дальнейшем увеличении разности потенциалов между анодом и катодом сила тока не изменяется, по- скольку все электроны, поставляемые в результате термоэлектронной эмиссии из катода,
задействованы для образования электрического тока и других носителей заряда для даль- нейшего увеличения силы тока нет.
Для металлов ϕ составляет несколько электрон-вольт. Энергия kT даже при темпе- ратуре в тысячи кельвинов составляет доли электрон-вольта. Следовательно, βϕ 1 и exp [β (W
k
+ ϕ)] 1. Поэтому в (8.3) можно в знаменателе пренебречь единицей по срав- нению с exp[β(W
k
+ ϕ)] и записать эту формулу в виде n
g
W
k
≈ e
−ϕ/(kT )
e
−W
k
/(kT )
(8.4)
Таким образом, сила тока насыщения очень сильно зависит от работы выхода и температу- ры, поскольку эти величины входят в экспоненту. Для чистых металлов значительный ток может быть получен лишь при температуре порядка 2000 , т. е. в качестве катодов необхо- димо использовать металлы с высокой температурой плавления. Одновременно жела- тельно, чтобы их работа выхода была как можно меньше. Например, чистый вольфрам,
работа выхода которого 4,5 эВ, должен эксплуатироваться при температуре 2500 . Для уменьшения рабочей температуры катода и понижения работы выхода используются ок- сидные катоды, когда на подложку (керн) с помощью соответствующих технологических процессов наносится слой окислов щелочноземельных металлов (например, BaO, SrO и др.). Затем катод активируется при пропускании через него термоионного тока при темпе- ратуре катода около 1300 . В результате образуется моноатомный слой щелочноземельных атомов, значительно понижающий работу выхода. Например, бариево-стронциевые оксид- ные катоды имеют работу выхода около 1,8 эВ, благодаря чему значительные токи удается получить уже при температуре около 1100 . При этой температуре достигается плотность тока порядка 10 4
A · м
−2
. Слой бариево-стронциевого окисла наносится обычно на нике- левую трубку, внутри которой в качестве нагревателя используется вольфрамовая нить.
Такая конструкция имеет дополнительное преимущество по сравнению с использовани- ем нагретой вольфрамовой нити в качестве катода, поскольку в последнем случае вдоль нити возникает значительное падение потенциала и ее поверхность не будет эквипотенци- альной. В оксидном катоде слой окислов является эквипотенциальной поверхностью, что улучшает весьма существенно условия работы катода в целом.
69
Характеристики электронного облака. Облако электронов вблизи поверхности металла описывается формулой (8.4). Число квантовых состояний в элементе фазового объема dxdydzdp x
dp y
dp z
g =
2
(2π)
3
dxdydzdp x
dp y
dp z
(8.5)
Поэтому число электронов, заключенных в элементе фазового объема dx dy dz dp x
dp y
dp z
,
представляется в виде dn =
2
(2π)
3
e
−ϕ/(kT )
e
−p
2
/
(2m e
kT )
dxdydzdp x
dp y
dp z
,
(8.6)
где W
k
= p
2
/ (2m e
).
Интегрирование выражения (8.6) no dxdydz дает в качестве множителя объем V . По- этому число электронов в объеме V , импульсы которых заключены в элементе объема dp x
dp y
dp z
, вблизи импульса p x
p y
p z
равно dn p
=
2V / (2π)
3
exp [−ϕ/ (kT )] exp −p
2
/ (2m e
kT )
dp x
dp y
dp z
,
(8.7)
где p
2
= p
2
x
+ p
2
y
+ p
2
z
. Отсюда для концентрации электронного облака вблизи поверхности металла получаем выражение n
0 0
=
1
V
Z
dn p
=
1
(2π)
3
exp
−
ϕ
kT
∞
Z Z Z
−∞
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Электрический спектр разбивается на зоны, разделенные запрещенными промежутками.
Если в верхней зоне, где еще имеются электроны, ими заполнены не все квантовые со- стояния, т. е. в пределах зоны имеется возможность для перераспределения энергии и импульсов электронов, то соответствующее вещество является проводником электриче- ского тока. Зона при этом называется зоной проводимости, а соответствующее вещество является проводником электрического тока с электронным типом проводимости. Если в зоне проводимости много электронов и свободных квантовых состояний, то электропрово- димость достаточно велика. Только электроны в зоне проводимости являются носителями зарядов, осуществляющими электрический ток. Их движение подчиняется квантовым за- конам. Число этих электронов составляет лишь небольшую часть от общего числа электро- нов. Благодаря этому устраняются трудности классической теории электропроводимости
(см. § 27).
Зависимость сопротивления от температуры.
Не только в металлах главный вклад в электропроводимость вносит движение электронов. Например, в полупроводниках с электронным типом электропроводимости основной вклад в перенос электрического за- ряда также вносится движением электронов. Одним из наиболее характерных различий электропроводимости в этих двух случаях является характер завиимости удельной про- водимости от температуры.
Эксперимент показывает, что у металлических проводников удельное сопротивление растет с повышением температуры, т. е. удельная проводимость уменьшается. При
63
не слишком низкой температуре зависимость проводимости от температуры имеет вид
γ ∼
1
T
Однако у некоторых веществ, например стекол, полупроводников, электролитов и т. д., проводимость увеличивается с температурой. Хотя механизмы возрастания про- водимости различны, они сводятся в конечном счете к увеличению числа носителей элек- трических зарядов, благодаря движению которых осуществляется ток. В металлах число носителей, т. е. свободных электронов, практически не зависит от температуры и сопротив- ления току, определяется лишь их способностью образовывать упорядоченное движение под действием электрического поля, т. е. их подвижностью. А она с увеличением темпе- ратуры уменьшается.
Эффект Холла.
На заряды, движением которых обусловливается ток, действует сила
Ампера . Плотность силы Ампера может быть записана в виде
f = j ×
B = ne
v д
×
B,
(7.6)
где п, е — концентрация и заряд, движение которого обусловливает ток,
v д
— скорость дрейфа заряда.
Под действием силы с плотностью
f заряды в проводнике при наличии магнитно- го поля, индукция которого перпендикулярна плотности тока j, стремятся сместиться в направлении силы (рис. 7.2, а). В результате на соответствующей части поверхности про- водника образуется избыток зарядов того же знака, что и знак зарядов, осуществляющих ток. Поэтому если ток обусловливается движением положительных зарядов, то создается распределение поверхностной плотности зарядов, изображенное на рис. 7.2, б, а при дви- жении отрицательных – на рис. 7.2, в. Между противоположными сторонами проводника появляется разность потенциалов и такое электрическое поле, напряженность E которо- го нейтрализует действие плотности силы (7.6). Направление напряженности зависит от знака зарядов, осуществляющих ток, а модуль определяется теми факторами, от которых зависит плотность силы (7.6). Возникновение разности потенциалов в проводнике с током в магнитном поле называется эффектом Холла. Он был открыт в 1879 г.
Индукция
B поля и скорость v д
зарядов взаимно перпендикулярны. Отношение плот- ности силы (7.6) к заряду аналогично (7.1) может рассматриваться как эффективная на- пряженность электрического поля, называемого полем Холла:
E
эф
= v д
B
(7.7)
а)
б)
в)
Рис. 7.2
Следовательно, между поверхностями проводника создается разность потенциалов
(рис. 7.2,б)
U =
d
Z
0
v д
Bdx = v д
Bd,
(7.8)
где d - толщина проводника. Принимая во внимание, что j = nev д
, перепишем (7.8) в виде
U =
djB
(ne)
= RjBd,
(7.9)
64
где R = 1/(ne) — постоянная Холла. Разность потенциалов может быть измерена.
Остальные величины, за исключением концентрации п зарядов и их знака, известны. По знаку разности потенциалов можно определить знак заряда носителей, движение ко- торых осуществляет ток, а по разности потенциалов — их концентрацию.
Заметим, что формулы (7.9) и R = 1/(ne) совпадают с соответствующими формулами более полной теории эффекта Холла, когда учитывается распределение электронов по скоростям, статистические характеристики их столкновений и т. д. Однако расчеты при этом оказываются очень громоздкими и здесь не приводятся.
Результаты измерений показали, что в металлах ток осуществляется движением отрицательных зарядов. Концентрация носителей примерно равна концентрации атомов,
т. е. один заряд, участвующий в образовании тока, приходится примерно на один атом металла, хотя это число и изменяется в определенных пределах. Носителями зарядов,
осуществляющих ток в металлах, являются электроны. Сказанное означает, что в метал- лах на один атом приходится в среднем около одного свободного электрона. Например,
на один атом серебра приходится 0,7 электронов; меди — 0,8; золота — 0,9, а алюминия
— около двух электронов. Напомним, что у металлов обычно концентрация атомов, а следовательно, и свободных электронов близка к n ∼ 10 28
м
−3
Исследование эффекта Холла в других случаях показало, что он не всегда обусловлен движением отрицательных зарядов. Когда знак разности потенциалов в эффекте Холла соответствует движению положительных зарядов, то эффект называется аномаль- ным.
Эффект Холла является одним из гальваномагнитных явлений. Под этим термином объединяются явления, возникающие в проводнике с током, находящимся в магнитном поле. Физическая сущность всех этих явлений состоит в том, что электропроводимость проводника во внешнем магнитном поле является не скаляром, а тензором. Напряжен- ность поперечного электрического поля, называемого холловским, складывается с напря- женностью электрического поля, которое обусловливает существование тока при отсут- ствии магнитного поля. В результате этого напряженность электрического поля образует с плотностью тока некоторый угол — угол Холла. Значит, направления плотности тока и напряженности электрического поля не совпадают. Эти величины связаны тензорной формулой j
i
=
X
k
γ
ik
E
k в которой γ
ik
— тензор электропроводимости. В анизотропных веществах проводимость описывается тензором электропроводимости также и при отсутствии внешнего магнитного поля.
Магнетосопротивление.
Другим важным гальваномагнитным явлением является из- менение сопротивления проводника, помещенного в поперечное магнитное поле (эффект магнетосопротивления). Как показывает опыт, относительное изменение электропрово- димости ∆γ/γ при не очень сильных полях выражается формулой
∆γ/γ = −κ
⊥
B
2
,
где κ
⊥
— коэффициент поперечного магнетосопротивления, зависящий от свойств мате- риала; B — индукция магнитного поля.
Это явление — следствие тензорного характера электропроводимости проводника, по- мещенного в магнитное поле. В результате возникает компонента напряженности элек- трического поля, коллинеарная току, что и вызывает изменение его силы, проявляющееся в изменении сопротивления.
65
Подвижность электронов.
Закон Ома j = γ
E может быть записан в виде nev д
= γE.
(7.10)
Подвижностью b электронов называется отношение скорости дрейфа к напряжен- ности электрического поля:
b = v д
/E.
(7.11)
Принимая во внимание (7.10), получаем b = γ/ (ne) .
(7.12)
Удельная проводимость металла известна, а ne может быть найдена из эффекта Холла,
т. е. измерение эффекта Холла позволяет найти подвижность электронов в проводнике. В
металлах подвижность электронов имеет порядок b ∼ 10
−4
− 10
−3
м
2
/ (B · c) .
(7.13)
Таким образом, скорость дрейфа электронов в металлах очень мала по сравнению с обыч- ными скоростями движения микрочастиц. Большая удельная проводимость металлов обусловлена главным образом большой концентрацией носителей заряда (n ∼ 10 28
м
−3
), а не их большой подвижностью [см. (31 13)]:
γ = enb ∼ 10
−19
· 10 28
· 10
−3
См/м = 10 6
См/м.
У диэлектриков большинство электронов жестко привязано к атомам и очень мало свободных носителей заряда. Поэтому, хотя подвижность этих носителей заряда не сильно отличается от подвижности свободных электронов в металлах, удельная про- водимость диэлектриков очень мала. Концентрация носителей в полупроводниках из- меняется в широких пределах от 10 19
до 10 25
м
−3
, а подвижности заключены примерно от 10 до 10
−4
м
2
/(B · с), т.е. велики. Благодаря таким широким пределам изменения концентрации носителей и их подвижностей удельная проводимость полупроводников из- меняется в широких пределах, на много порядков величин. Однако не удается получить у полупроводников столь же большую проводимость, как у металлов, сохранив, конечно,
при этом характерную для полупроводников зависимость проводимости от температуры
(увеличение проводимости с температурой).
Сверхпроводимость.
В 1911 г. К. Оннес обнаружил, что при T = 4, 2 K ртуть, по- видимому, полностью теряет сопротивление электрическому току. Уменьшение сопротив- ления происходит очень резко в интервале нескольких сотых градуса. В дальнейшем по- теря сопротивления наблюдалась и у других чистых веществ и у многих сплавов. Само явление получило название сверхпроводимости. Температуры перехода в сверхпроводящее состояние различны, но всегда очень низки.
Критическая температура.
Возбудив электрический ток в кольце из сверхпроводни- ка с помощью электромагнитной индукции, можно наблюдать, что его сила в течение нескольких лет не уменьшается. Это позволяет найти верхний предел удельного сопро- тивления сверхпроводников (менее 10
−25
Ом · м). Это на много порядков меньше, чем,
например, удельное сопротивление меди при низкой температуре (10
−12
Ом · м). Поэтому принимается, что электрическое сопротивление сверхпроводников равно нулю. Сопро- тивление до перехода в сверхпроводящее состояние бывает самым различным. Многие из сверхпроводников при комнатной температуре имеют довольно высокое сопротивле- ние. Переход в сверхпроводящее состояние совершается всегда очень резко. У чистых
66
монокристаллов он занимает интервал температур меньший, чем одна тысячная градуса.
Сверхпроводимостью среди чистых веществ обладают алюминий, кадмий, цинк, индий,
галлий. Свойство сверхпроводимости зависит от структуры кристаллической решетки.
Например, белое олово является сверхпроводником, а серое — нет; ртуть обладает свой- ством сверхпроводимости только в а-фазе.
67
Глава 8
Электрический ток в вакууме
Обсуждаются основные закономерности термоэлектронной эмиссии и их проявление при прохождении тока между электродами в вакууме.
Термоэлектронная эмиссия.
В вакууме не может существовать электрический ток,
если в нем нет носителей электрических зарядов. Если же в нем имеются электроны, то их движение обусловливает возникновение тока, называемого током в вакууме.
В металле имеется электронный газ. В условиях термодинамического равновесия рас- пределение электронов по энергетическим уровням определяется статистикой Ферми —
Дирака и дается формулой n
i g
i
=
1
exp [β (E
i
− µ)] + 1
,
(8.1)
где β = 1/ (kT ); n i
— число электронов, имеющих энергию E
i
; g i
— число квантовых состояний, соответствующих энергии E
i
; µ — энергия Ферми при температуре , которая при T → 0 К стремится к энергии Ферми µ
0
при = 0 в соответствии с формулой
µ = µ
0
"
1 −
π
2 12
kT
µ
0
2
+ . . .
#
(8.2)
Принимая во внимание, что во всех практически интересных случаях µ
0
kT , можно в
(8.1) величину µ считать равной µ
0
Рис. 8.1
Пусть E
0
— энергия покоящегося электрона вблизи поверхности вне металла (рис. 8.1). Формула (8.1) позволяет вычислить вероят- ность того, что электрон имеет энергию E
0
, если вместо E
i
, подста- вить в нее E
0
. Эта вероятность не равна нулю и тем больше, чем выше температура (т. е. чем меньше β). Таким образом, вблизи поверхности металла имеется электронное облако, которое на- ходится в равновесии с электронным газом внутри металла. Это равновесие динамическое: электроны внутри металла, обладающие достаточно большой кинетической энергией, преодолевают силы,
удерживающие их внутри металла, и выходят за его пределы; электроны вблизи метал- ла при соответствующих направлениях их скоростей и местоположения захватываются силами, удерживающими электроны внутри металла. Таким образом, в условиях дина- мического равновесия сквозь поверхность металла протекают противоположно направ- ленные токи, силы которых равны по модулю. Суммарная сила тока сквозь поверхность равна нулю. Явление образования электронного облака вблизи поверхности металла из- за теплового движения свободных электронов называется термоэлектронной эмиссией.
68
При 0 К никакой термоэлектронной эмиссии не наблюдается, т. е. электронное облако вблизи поверхности металла отсутствует.
Электроны с кинетической энергией W
k вблизи поверхности металла имеют полную энергию E
i
= W
k
+ E
0
и формула (8.1) принимает для них следующий вид:
n g
W
k
=
1
exp [β (W
k
+ ϕ)] + 1
(8.3)
где ϕ = E
0
− µ — работа выхода электронов из металла. Из формулы (8.3) видно, что плотность электронного облака вблизи поверхности металла сильно зависит от работы выхода Ф и резко уменьшается с ее увеличением.
Если вблизи поверхности металла существует электрическое поле, то электроны обла- ка приходят в движение и образуется электрический ток, называемый термоэлектронным.
Таким образом, если в вакууме имеются две металлические пластины, между которыми приложена разность потенциалов, то между ними возникает термоэлектронный ток. Оче- видно, что сила тока должна расти с увеличением разности потенциалов. Существует максимальная сила тока, когда все электроны, попадающие через поверхность катода в электронное облако, увлекаются внешним электрическим полем к аноду и никакого обратного тока электронов через поверхность внутрь катода не существует.
Эта максимальная сила тока называется силой тока насыщения: при дальнейшем увеличении разности потенциалов между анодом и катодом сила тока не изменяется, по- скольку все электроны, поставляемые в результате термоэлектронной эмиссии из катода,
задействованы для образования электрического тока и других носителей заряда для даль- нейшего увеличения силы тока нет.
Для металлов ϕ составляет несколько электрон-вольт. Энергия kT даже при темпе- ратуре в тысячи кельвинов составляет доли электрон-вольта. Следовательно, βϕ 1 и exp [β (W
k
+ ϕ)] 1. Поэтому в (8.3) можно в знаменателе пренебречь единицей по срав- нению с exp[β(W
k
+ ϕ)] и записать эту формулу в виде n
g
W
k
≈ e
−ϕ/(kT )
e
−W
k
/(kT )
(8.4)
Таким образом, сила тока насыщения очень сильно зависит от работы выхода и температу- ры, поскольку эти величины входят в экспоненту. Для чистых металлов значительный ток может быть получен лишь при температуре порядка 2000 , т. е. в качестве катодов необхо- димо использовать металлы с высокой температурой плавления. Одновременно жела- тельно, чтобы их работа выхода была как можно меньше. Например, чистый вольфрам,
работа выхода которого 4,5 эВ, должен эксплуатироваться при температуре 2500 . Для уменьшения рабочей температуры катода и понижения работы выхода используются ок- сидные катоды, когда на подложку (керн) с помощью соответствующих технологических процессов наносится слой окислов щелочноземельных металлов (например, BaO, SrO и др.). Затем катод активируется при пропускании через него термоионного тока при темпе- ратуре катода около 1300 . В результате образуется моноатомный слой щелочноземельных атомов, значительно понижающий работу выхода. Например, бариево-стронциевые оксид- ные катоды имеют работу выхода около 1,8 эВ, благодаря чему значительные токи удается получить уже при температуре около 1100 . При этой температуре достигается плотность тока порядка 10 4
A · м
−2
. Слой бариево-стронциевого окисла наносится обычно на нике- левую трубку, внутри которой в качестве нагревателя используется вольфрамовая нить.
Такая конструкция имеет дополнительное преимущество по сравнению с использовани- ем нагретой вольфрамовой нити в качестве катода, поскольку в последнем случае вдоль нити возникает значительное падение потенциала и ее поверхность не будет эквипотенци- альной. В оксидном катоде слой окислов является эквипотенциальной поверхностью, что улучшает весьма существенно условия работы катода в целом.
69
Характеристики электронного облака. Облако электронов вблизи поверхности металла описывается формулой (8.4). Число квантовых состояний в элементе фазового объема dxdydzdp x
dp y
dp z
g =
2
(2π)
3
dxdydzdp x
dp y
dp z
(8.5)
Поэтому число электронов, заключенных в элементе фазового объема dx dy dz dp x
dp y
dp z
,
представляется в виде dn =
2
(2π)
3
e
−ϕ/(kT )
e
−p
2
/
(2m e
kT )
dxdydzdp x
dp y
dp z
,
(8.6)
где W
k
= p
2
/ (2m e
).
Интегрирование выражения (8.6) no dxdydz дает в качестве множителя объем V . По- этому число электронов в объеме V , импульсы которых заключены в элементе объема dp x
dp y
dp z
, вблизи импульса p x
p y
p z
равно dn p
=
2V / (2π)
3
exp [−ϕ/ (kT )] exp −p
2
/ (2m e
kT )
dp x
dp y
dp z
,
(8.7)
где p
2
= p
2
x
+ p
2
y
+ p
2
z
. Отсюда для концентрации электронного облака вблизи поверхности металла получаем выражение n
0 0
=
1
V
Z
dn p
=
1
(2π)
3
exp
−
ϕ
kT
∞
Z Z Z
−∞
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Электрический спектр разбивается на зоны, разделенные запрещенными промежутками.
Если в верхней зоне, где еще имеются электроны, ими заполнены не все квантовые со- стояния, т. е. в пределах зоны имеется возможность для перераспределения энергии и импульсов электронов, то соответствующее вещество является проводником электриче- ского тока. Зона при этом называется зоной проводимости, а соответствующее вещество является проводником электрического тока с электронным типом проводимости. Если в зоне проводимости много электронов и свободных квантовых состояний, то электропрово- димость достаточно велика. Только электроны в зоне проводимости являются носителями зарядов, осуществляющими электрический ток. Их движение подчиняется квантовым за- конам. Число этих электронов составляет лишь небольшую часть от общего числа электро- нов. Благодаря этому устраняются трудности классической теории электропроводимости
(см. § 27).
Зависимость сопротивления от температуры.
Не только в металлах главный вклад в электропроводимость вносит движение электронов. Например, в полупроводниках с электронным типом электропроводимости основной вклад в перенос электрического за- ряда также вносится движением электронов. Одним из наиболее характерных различий электропроводимости в этих двух случаях является характер завиимости удельной про- водимости от температуры.
Эксперимент показывает, что у металлических проводников удельное сопротивление растет с повышением температуры, т. е. удельная проводимость уменьшается. При
63
не слишком низкой температуре зависимость проводимости от температуры имеет вид
γ ∼
1
T
Однако у некоторых веществ, например стекол, полупроводников, электролитов и т. д., проводимость увеличивается с температурой. Хотя механизмы возрастания про- водимости различны, они сводятся в конечном счете к увеличению числа носителей элек- трических зарядов, благодаря движению которых осуществляется ток. В металлах число носителей, т. е. свободных электронов, практически не зависит от температуры и сопротив- ления току, определяется лишь их способностью образовывать упорядоченное движение под действием электрического поля, т. е. их подвижностью. А она с увеличением темпе- ратуры уменьшается.
Эффект Холла.
На заряды, движением которых обусловливается ток, действует сила
Ампера . Плотность силы Ампера может быть записана в виде
f = j ×
B = ne
v д
×
B,
(7.6)
где п, е — концентрация и заряд, движение которого обусловливает ток,
v д
— скорость дрейфа заряда.
Под действием силы с плотностью
f заряды в проводнике при наличии магнитно- го поля, индукция которого перпендикулярна плотности тока j, стремятся сместиться в направлении силы (рис. 7.2, а). В результате на соответствующей части поверхности про- водника образуется избыток зарядов того же знака, что и знак зарядов, осуществляющих ток. Поэтому если ток обусловливается движением положительных зарядов, то создается распределение поверхностной плотности зарядов, изображенное на рис. 7.2, б, а при дви- жении отрицательных – на рис. 7.2, в. Между противоположными сторонами проводника появляется разность потенциалов и такое электрическое поле, напряженность E которо- го нейтрализует действие плотности силы (7.6). Направление напряженности зависит от знака зарядов, осуществляющих ток, а модуль определяется теми факторами, от которых зависит плотность силы (7.6). Возникновение разности потенциалов в проводнике с током в магнитном поле называется эффектом Холла. Он был открыт в 1879 г.
Индукция
B поля и скорость v д
зарядов взаимно перпендикулярны. Отношение плот- ности силы (7.6) к заряду аналогично (7.1) может рассматриваться как эффективная на- пряженность электрического поля, называемого полем Холла:
E
эф
= v д
B
(7.7)
а)
б)
в)
Рис. 7.2
Следовательно, между поверхностями проводника создается разность потенциалов
(рис. 7.2,б)
U =
d
Z
0
v д
Bdx = v д
Bd,
(7.8)
где d - толщина проводника. Принимая во внимание, что j = nev д
, перепишем (7.8) в виде
U =
djB
(ne)
= RjBd,
(7.9)
64
где R = 1/(ne) — постоянная Холла. Разность потенциалов может быть измерена.
Остальные величины, за исключением концентрации п зарядов и их знака, известны. По знаку разности потенциалов можно определить знак заряда носителей, движение ко- торых осуществляет ток, а по разности потенциалов — их концентрацию.
Заметим, что формулы (7.9) и R = 1/(ne) совпадают с соответствующими формулами более полной теории эффекта Холла, когда учитывается распределение электронов по скоростям, статистические характеристики их столкновений и т. д. Однако расчеты при этом оказываются очень громоздкими и здесь не приводятся.
Результаты измерений показали, что в металлах ток осуществляется движением отрицательных зарядов. Концентрация носителей примерно равна концентрации атомов,
т. е. один заряд, участвующий в образовании тока, приходится примерно на один атом металла, хотя это число и изменяется в определенных пределах. Носителями зарядов,
осуществляющих ток в металлах, являются электроны. Сказанное означает, что в метал- лах на один атом приходится в среднем около одного свободного электрона. Например,
на один атом серебра приходится 0,7 электронов; меди — 0,8; золота — 0,9, а алюминия
— около двух электронов. Напомним, что у металлов обычно концентрация атомов, а следовательно, и свободных электронов близка к n ∼ 10 28
м
−3
Исследование эффекта Холла в других случаях показало, что он не всегда обусловлен движением отрицательных зарядов. Когда знак разности потенциалов в эффекте Холла соответствует движению положительных зарядов, то эффект называется аномаль- ным.
Эффект Холла является одним из гальваномагнитных явлений. Под этим термином объединяются явления, возникающие в проводнике с током, находящимся в магнитном поле. Физическая сущность всех этих явлений состоит в том, что электропроводимость проводника во внешнем магнитном поле является не скаляром, а тензором. Напряжен- ность поперечного электрического поля, называемого холловским, складывается с напря- женностью электрического поля, которое обусловливает существование тока при отсут- ствии магнитного поля. В результате этого напряженность электрического поля образует с плотностью тока некоторый угол — угол Холла. Значит, направления плотности тока и напряженности электрического поля не совпадают. Эти величины связаны тензорной формулой j
i
=
X
k
γ
ik
E
k в которой γ
ik
— тензор электропроводимости. В анизотропных веществах проводимость описывается тензором электропроводимости также и при отсутствии внешнего магнитного поля.
Магнетосопротивление.
Другим важным гальваномагнитным явлением является из- менение сопротивления проводника, помещенного в поперечное магнитное поле (эффект магнетосопротивления). Как показывает опыт, относительное изменение электропрово- димости ∆γ/γ при не очень сильных полях выражается формулой
∆γ/γ = −κ
⊥
B
2
,
где κ
⊥
— коэффициент поперечного магнетосопротивления, зависящий от свойств мате- риала; B — индукция магнитного поля.
Это явление — следствие тензорного характера электропроводимости проводника, по- мещенного в магнитное поле. В результате возникает компонента напряженности элек- трического поля, коллинеарная току, что и вызывает изменение его силы, проявляющееся в изменении сопротивления.
65
Подвижность электронов.
Закон Ома j = γ
E может быть записан в виде nev д
= γE.
(7.10)
Подвижностью b электронов называется отношение скорости дрейфа к напряжен- ности электрического поля:
b = v д
/E.
(7.11)
Принимая во внимание (7.10), получаем b = γ/ (ne) .
(7.12)
Удельная проводимость металла известна, а ne может быть найдена из эффекта Холла,
т. е. измерение эффекта Холла позволяет найти подвижность электронов в проводнике. В
металлах подвижность электронов имеет порядок b ∼ 10
−4
− 10
−3
м
2
/ (B · c) .
(7.13)
Таким образом, скорость дрейфа электронов в металлах очень мала по сравнению с обыч- ными скоростями движения микрочастиц. Большая удельная проводимость металлов обусловлена главным образом большой концентрацией носителей заряда (n ∼ 10 28
м
−3
), а не их большой подвижностью [см. (31 13)]:
γ = enb ∼ 10
−19
· 10 28
· 10
−3
См/м = 10 6
См/м.
У диэлектриков большинство электронов жестко привязано к атомам и очень мало свободных носителей заряда. Поэтому, хотя подвижность этих носителей заряда не сильно отличается от подвижности свободных электронов в металлах, удельная про- водимость диэлектриков очень мала. Концентрация носителей в полупроводниках из- меняется в широких пределах от 10 19
до 10 25
м
−3
, а подвижности заключены примерно от 10 до 10
−4
м
2
/(B · с), т.е. велики. Благодаря таким широким пределам изменения концентрации носителей и их подвижностей удельная проводимость полупроводников из- меняется в широких пределах, на много порядков величин. Однако не удается получить у полупроводников столь же большую проводимость, как у металлов, сохранив, конечно,
при этом характерную для полупроводников зависимость проводимости от температуры
(увеличение проводимости с температурой).
Сверхпроводимость.
В 1911 г. К. Оннес обнаружил, что при T = 4, 2 K ртуть, по- видимому, полностью теряет сопротивление электрическому току. Уменьшение сопротив- ления происходит очень резко в интервале нескольких сотых градуса. В дальнейшем по- теря сопротивления наблюдалась и у других чистых веществ и у многих сплавов. Само явление получило название сверхпроводимости. Температуры перехода в сверхпроводящее состояние различны, но всегда очень низки.
Критическая температура.
Возбудив электрический ток в кольце из сверхпроводни- ка с помощью электромагнитной индукции, можно наблюдать, что его сила в течение нескольких лет не уменьшается. Это позволяет найти верхний предел удельного сопро- тивления сверхпроводников (менее 10
−25
Ом · м). Это на много порядков меньше, чем,
например, удельное сопротивление меди при низкой температуре (10
−12
Ом · м). Поэтому принимается, что электрическое сопротивление сверхпроводников равно нулю. Сопро- тивление до перехода в сверхпроводящее состояние бывает самым различным. Многие из сверхпроводников при комнатной температуре имеют довольно высокое сопротивле- ние. Переход в сверхпроводящее состояние совершается всегда очень резко. У чистых
66
монокристаллов он занимает интервал температур меньший, чем одна тысячная градуса.
Сверхпроводимостью среди чистых веществ обладают алюминий, кадмий, цинк, индий,
галлий. Свойство сверхпроводимости зависит от структуры кристаллической решетки.
Например, белое олово является сверхпроводником, а серое — нет; ртуть обладает свой- ством сверхпроводимости только в а-фазе.
67
Глава 8
Электрический ток в вакууме
Обсуждаются основные закономерности термоэлектронной эмиссии и их проявление при прохождении тока между электродами в вакууме.
Термоэлектронная эмиссия.
В вакууме не может существовать электрический ток,
если в нем нет носителей электрических зарядов. Если же в нем имеются электроны, то их движение обусловливает возникновение тока, называемого током в вакууме.
В металле имеется электронный газ. В условиях термодинамического равновесия рас- пределение электронов по энергетическим уровням определяется статистикой Ферми —
Дирака и дается формулой n
i g
i
=
1
exp [β (E
i
− µ)] + 1
,
(8.1)
где β = 1/ (kT ); n i
— число электронов, имеющих энергию E
i
; g i
— число квантовых состояний, соответствующих энергии E
i
; µ — энергия Ферми при температуре , которая при T → 0 К стремится к энергии Ферми µ
0
при = 0 в соответствии с формулой
µ = µ
0
"
1 −
π
2 12
kT
µ
0
2
+ . . .
#
(8.2)
Принимая во внимание, что во всех практически интересных случаях µ
0
kT , можно в
(8.1) величину µ считать равной µ
0
Рис. 8.1
Пусть E
0
— энергия покоящегося электрона вблизи поверхности вне металла (рис. 8.1). Формула (8.1) позволяет вычислить вероят- ность того, что электрон имеет энергию E
0
, если вместо E
i
, подста- вить в нее E
0
. Эта вероятность не равна нулю и тем больше, чем выше температура (т. е. чем меньше β). Таким образом, вблизи поверхности металла имеется электронное облако, которое на- ходится в равновесии с электронным газом внутри металла. Это равновесие динамическое: электроны внутри металла, обладающие достаточно большой кинетической энергией, преодолевают силы,
удерживающие их внутри металла, и выходят за его пределы; электроны вблизи метал- ла при соответствующих направлениях их скоростей и местоположения захватываются силами, удерживающими электроны внутри металла. Таким образом, в условиях дина- мического равновесия сквозь поверхность металла протекают противоположно направ- ленные токи, силы которых равны по модулю. Суммарная сила тока сквозь поверхность равна нулю. Явление образования электронного облака вблизи поверхности металла из- за теплового движения свободных электронов называется термоэлектронной эмиссией.
68
При 0 К никакой термоэлектронной эмиссии не наблюдается, т. е. электронное облако вблизи поверхности металла отсутствует.
Электроны с кинетической энергией W
k вблизи поверхности металла имеют полную энергию E
i
= W
k
+ E
0
и формула (8.1) принимает для них следующий вид:
n g
W
k
=
1
exp [β (W
k
+ ϕ)] + 1
(8.3)
где ϕ = E
0
− µ — работа выхода электронов из металла. Из формулы (8.3) видно, что плотность электронного облака вблизи поверхности металла сильно зависит от работы выхода Ф и резко уменьшается с ее увеличением.
Если вблизи поверхности металла существует электрическое поле, то электроны обла- ка приходят в движение и образуется электрический ток, называемый термоэлектронным.
Таким образом, если в вакууме имеются две металлические пластины, между которыми приложена разность потенциалов, то между ними возникает термоэлектронный ток. Оче- видно, что сила тока должна расти с увеличением разности потенциалов. Существует максимальная сила тока, когда все электроны, попадающие через поверхность катода в электронное облако, увлекаются внешним электрическим полем к аноду и никакого обратного тока электронов через поверхность внутрь катода не существует.
Эта максимальная сила тока называется силой тока насыщения: при дальнейшем увеличении разности потенциалов между анодом и катодом сила тока не изменяется, по- скольку все электроны, поставляемые в результате термоэлектронной эмиссии из катода,
задействованы для образования электрического тока и других носителей заряда для даль- нейшего увеличения силы тока нет.
Для металлов ϕ составляет несколько электрон-вольт. Энергия kT даже при темпе- ратуре в тысячи кельвинов составляет доли электрон-вольта. Следовательно, βϕ 1 и exp [β (W
k
+ ϕ)] 1. Поэтому в (8.3) можно в знаменателе пренебречь единицей по срав- нению с exp[β(W
k
+ ϕ)] и записать эту формулу в виде n
g
W
k
≈ e
−ϕ/(kT )
e
−W
k
/(kT )
(8.4)
Таким образом, сила тока насыщения очень сильно зависит от работы выхода и температу- ры, поскольку эти величины входят в экспоненту. Для чистых металлов значительный ток может быть получен лишь при температуре порядка 2000 , т. е. в качестве катодов необхо- димо использовать металлы с высокой температурой плавления. Одновременно жела- тельно, чтобы их работа выхода была как можно меньше. Например, чистый вольфрам,
работа выхода которого 4,5 эВ, должен эксплуатироваться при температуре 2500 . Для уменьшения рабочей температуры катода и понижения работы выхода используются ок- сидные катоды, когда на подложку (керн) с помощью соответствующих технологических процессов наносится слой окислов щелочноземельных металлов (например, BaO, SrO и др.). Затем катод активируется при пропускании через него термоионного тока при темпе- ратуре катода около 1300 . В результате образуется моноатомный слой щелочноземельных атомов, значительно понижающий работу выхода. Например, бариево-стронциевые оксид- ные катоды имеют работу выхода около 1,8 эВ, благодаря чему значительные токи удается получить уже при температуре около 1100 . При этой температуре достигается плотность тока порядка 10 4
A · м
−2
. Слой бариево-стронциевого окисла наносится обычно на нике- левую трубку, внутри которой в качестве нагревателя используется вольфрамовая нить.
Такая конструкция имеет дополнительное преимущество по сравнению с использовани- ем нагретой вольфрамовой нити в качестве катода, поскольку в последнем случае вдоль нити возникает значительное падение потенциала и ее поверхность не будет эквипотенци- альной. В оксидном катоде слой окислов является эквипотенциальной поверхностью, что улучшает весьма существенно условия работы катода в целом.
69
Характеристики электронного облака. Облако электронов вблизи поверхности металла описывается формулой (8.4). Число квантовых состояний в элементе фазового объема dxdydzdp x
dp y
dp z
g =
2
(2π)
3
dxdydzdp x
dp y
dp z
(8.5)
Поэтому число электронов, заключенных в элементе фазового объема dx dy dz dp x
dp y
dp z
,
представляется в виде dn =
2
(2π)
3
e
−ϕ/(kT )
e
−p
2
/
(2m e
kT )
dxdydzdp x
dp y
dp z
,
(8.6)
где W
k
= p
2
/ (2m e
).
Интегрирование выражения (8.6) no dxdydz дает в качестве множителя объем V . По- этому число электронов в объеме V , импульсы которых заключены в элементе объема dp x
dp y
dp z
, вблизи импульса p x
p y
p z
равно dn p
=
2V / (2π)
3
exp [−ϕ/ (kT )] exp −p
2
/ (2m e
kT )
dp x
dp y
dp z
,
(8.7)
где p
2
= p
2
x
+ p
2
y
+ p
2
z
. Отсюда для концентрации электронного облака вблизи поверхности металла получаем выражение n
0 0
=
1
V
Z
dn p
=
1
(2π)
3
exp
−
ϕ
kT
∞
Z Z Z
−∞
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Электрический спектр разбивается на зоны, разделенные запрещенными промежутками.
Если в верхней зоне, где еще имеются электроны, ими заполнены не все квантовые со- стояния, т. е. в пределах зоны имеется возможность для перераспределения энергии и импульсов электронов, то соответствующее вещество является проводником электриче- ского тока. Зона при этом называется зоной проводимости, а соответствующее вещество является проводником электрического тока с электронным типом проводимости. Если в зоне проводимости много электронов и свободных квантовых состояний, то электропрово- димость достаточно велика. Только электроны в зоне проводимости являются носителями зарядов, осуществляющими электрический ток. Их движение подчиняется квантовым за- конам. Число этих электронов составляет лишь небольшую часть от общего числа электро- нов. Благодаря этому устраняются трудности классической теории электропроводимости
(см. § 27).
Зависимость сопротивления от температуры.
Не только в металлах главный вклад в электропроводимость вносит движение электронов. Например, в полупроводниках с электронным типом электропроводимости основной вклад в перенос электрического за- ряда также вносится движением электронов. Одним из наиболее характерных различий электропроводимости в этих двух случаях является характер завиимости удельной про- водимости от температуры.
Эксперимент показывает, что у металлических проводников удельное сопротивление растет с повышением температуры, т. е. удельная проводимость уменьшается. При
63
не слишком низкой температуре зависимость проводимости от температуры имеет вид
γ ∼
1
T
Однако у некоторых веществ, например стекол, полупроводников, электролитов и т. д., проводимость увеличивается с температурой. Хотя механизмы возрастания про- водимости различны, они сводятся в конечном счете к увеличению числа носителей элек- трических зарядов, благодаря движению которых осуществляется ток. В металлах число носителей, т. е. свободных электронов, практически не зависит от температуры и сопротив- ления току, определяется лишь их способностью образовывать упорядоченное движение под действием электрического поля, т. е. их подвижностью. А она с увеличением темпе- ратуры уменьшается.
Эффект Холла.
На заряды, движением которых обусловливается ток, действует сила
Ампера . Плотность силы Ампера может быть записана в виде
f = j ×
B = ne
v д
×
B,
(7.6)
где п, е — концентрация и заряд, движение которого обусловливает ток,
v д
— скорость дрейфа заряда.
Под действием силы с плотностью
f заряды в проводнике при наличии магнитно- го поля, индукция которого перпендикулярна плотности тока j, стремятся сместиться в направлении силы (рис. 7.2, а). В результате на соответствующей части поверхности про- водника образуется избыток зарядов того же знака, что и знак зарядов, осуществляющих ток. Поэтому если ток обусловливается движением положительных зарядов, то создается распределение поверхностной плотности зарядов, изображенное на рис. 7.2, б, а при дви- жении отрицательных – на рис. 7.2, в. Между противоположными сторонами проводника появляется разность потенциалов и такое электрическое поле, напряженность E которо- го нейтрализует действие плотности силы (7.6). Направление напряженности зависит от знака зарядов, осуществляющих ток, а модуль определяется теми факторами, от которых зависит плотность силы (7.6). Возникновение разности потенциалов в проводнике с током в магнитном поле называется эффектом Холла. Он был открыт в 1879 г.
Индукция
B поля и скорость v д
зарядов взаимно перпендикулярны. Отношение плот- ности силы (7.6) к заряду аналогично (7.1) может рассматриваться как эффективная на- пряженность электрического поля, называемого полем Холла:
E
эф
= v д
B
(7.7)
а)
б)
в)
Рис. 7.2
Следовательно, между поверхностями проводника создается разность потенциалов
(рис. 7.2,б)
U =
d
Z
0
v д
Bdx = v д
Bd,
(7.8)
где d - толщина проводника. Принимая во внимание, что j = nev д
, перепишем (7.8) в виде
U =
djB
(ne)
= RjBd,
(7.9)
64
где R = 1/(ne) — постоянная Холла. Разность потенциалов может быть измерена.
Остальные величины, за исключением концентрации п зарядов и их знака, известны. По знаку разности потенциалов можно определить знак заряда носителей, движение ко- торых осуществляет ток, а по разности потенциалов — их концентрацию.
Заметим, что формулы (7.9) и R = 1/(ne) совпадают с соответствующими формулами более полной теории эффекта Холла, когда учитывается распределение электронов по скоростям, статистические характеристики их столкновений и т. д. Однако расчеты при этом оказываются очень громоздкими и здесь не приводятся.
Результаты измерений показали, что в металлах ток осуществляется движением отрицательных зарядов. Концентрация носителей примерно равна концентрации атомов,
т. е. один заряд, участвующий в образовании тока, приходится примерно на один атом металла, хотя это число и изменяется в определенных пределах. Носителями зарядов,
осуществляющих ток в металлах, являются электроны. Сказанное означает, что в метал- лах на один атом приходится в среднем около одного свободного электрона. Например,
на один атом серебра приходится 0,7 электронов; меди — 0,8; золота — 0,9, а алюминия
— около двух электронов. Напомним, что у металлов обычно концентрация атомов, а следовательно, и свободных электронов близка к n ∼ 10 28
м
−3
Исследование эффекта Холла в других случаях показало, что он не всегда обусловлен движением отрицательных зарядов. Когда знак разности потенциалов в эффекте Холла соответствует движению положительных зарядов, то эффект называется аномаль- ным.
Эффект Холла является одним из гальваномагнитных явлений. Под этим термином объединяются явления, возникающие в проводнике с током, находящимся в магнитном поле. Физическая сущность всех этих явлений состоит в том, что электропроводимость проводника во внешнем магнитном поле является не скаляром, а тензором. Напряжен- ность поперечного электрического поля, называемого холловским, складывается с напря- женностью электрического поля, которое обусловливает существование тока при отсут- ствии магнитного поля. В результате этого напряженность электрического поля образует с плотностью тока некоторый угол — угол Холла. Значит, направления плотности тока и напряженности электрического поля не совпадают. Эти величины связаны тензорной формулой j
i
=
X
k
γ
ik
E
k в которой γ
ik
— тензор электропроводимости. В анизотропных веществах проводимость описывается тензором электропроводимости также и при отсутствии внешнего магнитного поля.
Магнетосопротивление.
Другим важным гальваномагнитным явлением является из- менение сопротивления проводника, помещенного в поперечное магнитное поле (эффект магнетосопротивления). Как показывает опыт, относительное изменение электропрово- димости ∆γ/γ при не очень сильных полях выражается формулой
∆γ/γ = −κ
⊥
B
2
,
где κ
⊥
— коэффициент поперечного магнетосопротивления, зависящий от свойств мате- риала; B — индукция магнитного поля.
Это явление — следствие тензорного характера электропроводимости проводника, по- мещенного в магнитное поле. В результате возникает компонента напряженности элек- трического поля, коллинеарная току, что и вызывает изменение его силы, проявляющееся в изменении сопротивления.
65
Подвижность электронов.
Закон Ома j = γ
E может быть записан в виде nev д
= γE.
(7.10)
Подвижностью b электронов называется отношение скорости дрейфа к напряжен- ности электрического поля:
b = v д
/E.
(7.11)
Принимая во внимание (7.10), получаем b = γ/ (ne) .
(7.12)
Удельная проводимость металла известна, а ne может быть найдена из эффекта Холла,
т. е. измерение эффекта Холла позволяет найти подвижность электронов в проводнике. В
металлах подвижность электронов имеет порядок b ∼ 10
−4
− 10
−3
м
2
/ (B · c) .
(7.13)
Таким образом, скорость дрейфа электронов в металлах очень мала по сравнению с обыч- ными скоростями движения микрочастиц. Большая удельная проводимость металлов обусловлена главным образом большой концентрацией носителей заряда (n ∼ 10 28
м
−3
), а не их большой подвижностью [см. (31 13)]:
γ = enb ∼ 10
−19
· 10 28
· 10
−3
См/м = 10 6
См/м.
У диэлектриков большинство электронов жестко привязано к атомам и очень мало свободных носителей заряда. Поэтому, хотя подвижность этих носителей заряда не сильно отличается от подвижности свободных электронов в металлах, удельная про- водимость диэлектриков очень мала. Концентрация носителей в полупроводниках из- меняется в широких пределах от 10 19
до 10 25
м
−3
, а подвижности заключены примерно от 10 до 10
−4
м
2
/(B · с), т.е. велики. Благодаря таким широким пределам изменения концентрации носителей и их подвижностей удельная проводимость полупроводников из- меняется в широких пределах, на много порядков величин. Однако не удается получить у полупроводников столь же большую проводимость, как у металлов, сохранив, конечно,
при этом характерную для полупроводников зависимость проводимости от температуры
(увеличение проводимости с температурой).
Сверхпроводимость.
В 1911 г. К. Оннес обнаружил, что при T = 4, 2 K ртуть, по- видимому, полностью теряет сопротивление электрическому току. Уменьшение сопротив- ления происходит очень резко в интервале нескольких сотых градуса. В дальнейшем по- теря сопротивления наблюдалась и у других чистых веществ и у многих сплавов. Само явление получило название сверхпроводимости. Температуры перехода в сверхпроводящее состояние различны, но всегда очень низки.
Критическая температура.
Возбудив электрический ток в кольце из сверхпроводни- ка с помощью электромагнитной индукции, можно наблюдать, что его сила в течение нескольких лет не уменьшается. Это позволяет найти верхний предел удельного сопро- тивления сверхпроводников (менее 10
−25
Ом · м). Это на много порядков меньше, чем,
например, удельное сопротивление меди при низкой температуре (10
−12
Ом · м). Поэтому принимается, что электрическое сопротивление сверхпроводников равно нулю. Сопро- тивление до перехода в сверхпроводящее состояние бывает самым различным. Многие из сверхпроводников при комнатной температуре имеют довольно высокое сопротивле- ние. Переход в сверхпроводящее состояние совершается всегда очень резко. У чистых
66
монокристаллов он занимает интервал температур меньший, чем одна тысячная градуса.
Сверхпроводимостью среди чистых веществ обладают алюминий, кадмий, цинк, индий,
галлий. Свойство сверхпроводимости зависит от структуры кристаллической решетки.
Например, белое олово является сверхпроводником, а серое — нет; ртуть обладает свой- ством сверхпроводимости только в а-фазе.
67
Глава 8
Электрический ток в вакууме
Обсуждаются основные закономерности термоэлектронной эмиссии и их проявление при прохождении тока между электродами в вакууме.
Термоэлектронная эмиссия.
В вакууме не может существовать электрический ток,
если в нем нет носителей электрических зарядов. Если же в нем имеются электроны, то их движение обусловливает возникновение тока, называемого током в вакууме.
В металле имеется электронный газ. В условиях термодинамического равновесия рас- пределение электронов по энергетическим уровням определяется статистикой Ферми —
Дирака и дается формулой n
i g
i
=
1
exp [β (E
i
− µ)] + 1
,
(8.1)
где β = 1/ (kT ); n i
— число электронов, имеющих энергию E
i
; g i
— число квантовых состояний, соответствующих энергии E
i
; µ — энергия Ферми при температуре , которая при T → 0 К стремится к энергии Ферми µ
0
при = 0 в соответствии с формулой
µ = µ
0
"
1 −
π
2 12
kT
µ
0
2
+ . . .
#
(8.2)
Принимая во внимание, что во всех практически интересных случаях µ
0
kT , можно в
(8.1) величину µ считать равной µ
0
Рис. 8.1
Пусть E
0
— энергия покоящегося электрона вблизи поверхности вне металла (рис. 8.1). Формула (8.1) позволяет вычислить вероят- ность того, что электрон имеет энергию E
0
, если вместо E
i
, подста- вить в нее E
0
. Эта вероятность не равна нулю и тем больше, чем выше температура (т. е. чем меньше β). Таким образом, вблизи поверхности металла имеется электронное облако, которое на- ходится в равновесии с электронным газом внутри металла. Это равновесие динамическое: электроны внутри металла, обладающие достаточно большой кинетической энергией, преодолевают силы,
удерживающие их внутри металла, и выходят за его пределы; электроны вблизи метал- ла при соответствующих направлениях их скоростей и местоположения захватываются силами, удерживающими электроны внутри металла. Таким образом, в условиях дина- мического равновесия сквозь поверхность металла протекают противоположно направ- ленные токи, силы которых равны по модулю. Суммарная сила тока сквозь поверхность равна нулю. Явление образования электронного облака вблизи поверхности металла из- за теплового движения свободных электронов называется термоэлектронной эмиссией.
68
При 0 К никакой термоэлектронной эмиссии не наблюдается, т. е. электронное облако вблизи поверхности металла отсутствует.
Электроны с кинетической энергией W
k вблизи поверхности металла имеют полную энергию E
i
= W
k
+ E
0
и формула (8.1) принимает для них следующий вид:
n g
W
k
=
1
exp [β (W
k
+ ϕ)] + 1
(8.3)
где ϕ = E
0
− µ — работа выхода электронов из металла. Из формулы (8.3) видно, что плотность электронного облака вблизи поверхности металла сильно зависит от работы выхода Ф и резко уменьшается с ее увеличением.
Если вблизи поверхности металла существует электрическое поле, то электроны обла- ка приходят в движение и образуется электрический ток, называемый термоэлектронным.
Таким образом, если в вакууме имеются две металлические пластины, между которыми приложена разность потенциалов, то между ними возникает термоэлектронный ток. Оче- видно, что сила тока должна расти с увеличением разности потенциалов. Существует максимальная сила тока, когда все электроны, попадающие через поверхность катода в электронное облако, увлекаются внешним электрическим полем к аноду и никакого обратного тока электронов через поверхность внутрь катода не существует.
Эта максимальная сила тока называется силой тока насыщения: при дальнейшем увеличении разности потенциалов между анодом и катодом сила тока не изменяется, по- скольку все электроны, поставляемые в результате термоэлектронной эмиссии из катода,
задействованы для образования электрического тока и других носителей заряда для даль- нейшего увеличения силы тока нет.
Для металлов ϕ составляет несколько электрон-вольт. Энергия kT даже при темпе- ратуре в тысячи кельвинов составляет доли электрон-вольта. Следовательно, βϕ 1 и exp [β (W
k
+ ϕ)] 1. Поэтому в (8.3) можно в знаменателе пренебречь единицей по срав- нению с exp[β(W
k
+ ϕ)] и записать эту формулу в виде n
g
W
k
≈ e
−ϕ/(kT )
e
−W
k
/(kT )
(8.4)
Таким образом, сила тока насыщения очень сильно зависит от работы выхода и температу- ры, поскольку эти величины входят в экспоненту. Для чистых металлов значительный ток может быть получен лишь при температуре порядка 2000 , т. е. в качестве катодов необхо- димо использовать металлы с высокой температурой плавления. Одновременно жела- тельно, чтобы их работа выхода была как можно меньше. Например, чистый вольфрам,
работа выхода которого 4,5 эВ, должен эксплуатироваться при температуре 2500 . Для уменьшения рабочей температуры катода и понижения работы выхода используются ок- сидные катоды, когда на подложку (керн) с помощью соответствующих технологических процессов наносится слой окислов щелочноземельных металлов (например, BaO, SrO и др.). Затем катод активируется при пропускании через него термоионного тока при темпе- ратуре катода около 1300 . В результате образуется моноатомный слой щелочноземельных атомов, значительно понижающий работу выхода. Например, бариево-стронциевые оксид- ные катоды имеют работу выхода около 1,8 эВ, благодаря чему значительные токи удается получить уже при температуре около 1100 . При этой температуре достигается плотность тока порядка 10 4
A · м
−2
. Слой бариево-стронциевого окисла наносится обычно на нике- левую трубку, внутри которой в качестве нагревателя используется вольфрамовая нить.
Такая конструкция имеет дополнительное преимущество по сравнению с использовани- ем нагретой вольфрамовой нити в качестве катода, поскольку в последнем случае вдоль нити возникает значительное падение потенциала и ее поверхность не будет эквипотенци- альной. В оксидном катоде слой окислов является эквипотенциальной поверхностью, что улучшает весьма существенно условия работы катода в целом.
69
Характеристики электронного облака. Облако электронов вблизи поверхности металла описывается формулой (8.4). Число квантовых состояний в элементе фазового объема dxdydzdp x
dp y
dp z
g =
2
(2π)
3
dxdydzdp x
dp y
dp z
(8.5)
Поэтому число электронов, заключенных в элементе фазового объема dx dy dz dp x
dp y
dp z
,
представляется в виде dn =
2
(2π)
3
e
−ϕ/(kT )
e
−p
2
/
(2m e
kT )
dxdydzdp x
dp y
dp z
,
(8.6)
где W
k
= p
2
/ (2m e
).
Интегрирование выражения (8.6) no dxdydz дает в качестве множителя объем V . По- этому число электронов в объеме V , импульсы которых заключены в элементе объема dp x
dp y
dp z
, вблизи импульса p x
p y
p z
равно dn p
=
2V / (2π)
3
exp [−ϕ/ (kT )] exp −p
2
/ (2m e
kT )
dp x
dp y
dp z
,
(8.7)
где p
2
= p
2
x
+ p
2
y
+ p
2
z
. Отсюда для концентрации электронного облака вблизи поверхности металла получаем выражение n
0 0
=
1
V
Z
dn p
=
1
(2π)
3
exp
−
ϕ
kT
∞
Z Z Z
−∞
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
γ ∼
1
T
Однако у некоторых веществ, например стекол, полупроводников, электролитов и т. д., проводимость увеличивается с температурой. Хотя механизмы возрастания про- водимости различны, они сводятся в конечном счете к увеличению числа носителей элек- трических зарядов, благодаря движению которых осуществляется ток. В металлах число носителей, т. е. свободных электронов, практически не зависит от температуры и сопротив- ления току, определяется лишь их способностью образовывать упорядоченное движение под действием электрического поля, т. е. их подвижностью. А она с увеличением темпе- ратуры уменьшается.
Эффект Холла.
На заряды, движением которых обусловливается ток, действует сила
Ампера . Плотность силы Ампера может быть записана в виде
f = j ×
B = ne
v д
×
B,
(7.6)
где п, е — концентрация и заряд, движение которого обусловливает ток,
v д
— скорость дрейфа заряда.
Под действием силы с плотностью
f заряды в проводнике при наличии магнитно- го поля, индукция которого перпендикулярна плотности тока j, стремятся сместиться в направлении силы (рис. 7.2, а). В результате на соответствующей части поверхности про- водника образуется избыток зарядов того же знака, что и знак зарядов, осуществляющих ток. Поэтому если ток обусловливается движением положительных зарядов, то создается распределение поверхностной плотности зарядов, изображенное на рис. 7.2, б, а при дви- жении отрицательных – на рис. 7.2, в. Между противоположными сторонами проводника появляется разность потенциалов и такое электрическое поле, напряженность E которо- го нейтрализует действие плотности силы (7.6). Направление напряженности зависит от знака зарядов, осуществляющих ток, а модуль определяется теми факторами, от которых зависит плотность силы (7.6). Возникновение разности потенциалов в проводнике с током в магнитном поле называется эффектом Холла. Он был открыт в 1879 г.
Индукция
B поля и скорость v д
зарядов взаимно перпендикулярны. Отношение плот- ности силы (7.6) к заряду аналогично (7.1) может рассматриваться как эффективная на- пряженность электрического поля, называемого полем Холла:
E
эф
= v д
B
(7.7)
а)
б)
в)
Рис. 7.2
Следовательно, между поверхностями проводника создается разность потенциалов
(рис. 7.2,б)
U =
d
Z
0
v д
Bdx = v д
Bd,
(7.8)
где d - толщина проводника. Принимая во внимание, что j = nev д
, перепишем (7.8) в виде
U =
djB
(ne)
= RjBd,
(7.9)
64
Остальные величины, за исключением концентрации п зарядов и их знака, известны. По знаку разности потенциалов можно определить знак заряда носителей, движение ко- торых осуществляет ток, а по разности потенциалов — их концентрацию.
Заметим, что формулы (7.9) и R = 1/(ne) совпадают с соответствующими формулами более полной теории эффекта Холла, когда учитывается распределение электронов по скоростям, статистические характеристики их столкновений и т. д. Однако расчеты при этом оказываются очень громоздкими и здесь не приводятся.
Результаты измерений показали, что в металлах ток осуществляется движением отрицательных зарядов. Концентрация носителей примерно равна концентрации атомов,
т. е. один заряд, участвующий в образовании тока, приходится примерно на один атом металла, хотя это число и изменяется в определенных пределах. Носителями зарядов,
осуществляющих ток в металлах, являются электроны. Сказанное означает, что в метал- лах на один атом приходится в среднем около одного свободного электрона. Например,
на один атом серебра приходится 0,7 электронов; меди — 0,8; золота — 0,9, а алюминия
— около двух электронов. Напомним, что у металлов обычно концентрация атомов, а следовательно, и свободных электронов близка к n ∼ 10 28
м
−3
Исследование эффекта Холла в других случаях показало, что он не всегда обусловлен движением отрицательных зарядов. Когда знак разности потенциалов в эффекте Холла соответствует движению положительных зарядов, то эффект называется аномаль- ным.
Эффект Холла является одним из гальваномагнитных явлений. Под этим термином объединяются явления, возникающие в проводнике с током, находящимся в магнитном поле. Физическая сущность всех этих явлений состоит в том, что электропроводимость проводника во внешнем магнитном поле является не скаляром, а тензором. Напряжен- ность поперечного электрического поля, называемого холловским, складывается с напря- женностью электрического поля, которое обусловливает существование тока при отсут- ствии магнитного поля. В результате этого напряженность электрического поля образует с плотностью тока некоторый угол — угол Холла. Значит, направления плотности тока и напряженности электрического поля не совпадают. Эти величины связаны тензорной формулой j
i
=
X
k
γ
ik
E
k в которой γ
ik
— тензор электропроводимости. В анизотропных веществах проводимость описывается тензором электропроводимости также и при отсутствии внешнего магнитного поля.
Магнетосопротивление.
Другим важным гальваномагнитным явлением является из- менение сопротивления проводника, помещенного в поперечное магнитное поле (эффект магнетосопротивления). Как показывает опыт, относительное изменение электропрово- димости ∆γ/γ при не очень сильных полях выражается формулой
∆γ/γ = −κ
⊥
B
2
,
где κ
⊥
— коэффициент поперечного магнетосопротивления, зависящий от свойств мате- риала; B — индукция магнитного поля.
Это явление — следствие тензорного характера электропроводимости проводника, по- мещенного в магнитное поле. В результате возникает компонента напряженности элек- трического поля, коллинеарная току, что и вызывает изменение его силы, проявляющееся в изменении сопротивления.
65
Подвижность электронов.
Закон Ома j = γ
E может быть записан в виде nev д
= γE.
(7.10)
Подвижностью b электронов называется отношение скорости дрейфа к напряжен- ности электрического поля:
b = v д
/E.
(7.11)
Принимая во внимание (7.10), получаем b = γ/ (ne) .
(7.12)
Удельная проводимость металла известна, а ne может быть найдена из эффекта Холла,
т. е. измерение эффекта Холла позволяет найти подвижность электронов в проводнике. В
металлах подвижность электронов имеет порядок b ∼ 10
−4
− 10
−3
м
2
/ (B · c) .
(7.13)
Таким образом, скорость дрейфа электронов в металлах очень мала по сравнению с обыч- ными скоростями движения микрочастиц. Большая удельная проводимость металлов обусловлена главным образом большой концентрацией носителей заряда (n ∼ 10 28
м
−3
), а не их большой подвижностью [см. (31 13)]:
γ = enb ∼ 10
−19
· 10 28
· 10
−3
См/м = 10 6
См/м.
У диэлектриков большинство электронов жестко привязано к атомам и очень мало свободных носителей заряда. Поэтому, хотя подвижность этих носителей заряда не сильно отличается от подвижности свободных электронов в металлах, удельная про- водимость диэлектриков очень мала. Концентрация носителей в полупроводниках из- меняется в широких пределах от 10 19
до 10 25
м
−3
, а подвижности заключены примерно от 10 до 10
−4
м
2
/(B · с), т.е. велики. Благодаря таким широким пределам изменения концентрации носителей и их подвижностей удельная проводимость полупроводников из- меняется в широких пределах, на много порядков величин. Однако не удается получить у полупроводников столь же большую проводимость, как у металлов, сохранив, конечно,
при этом характерную для полупроводников зависимость проводимости от температуры
(увеличение проводимости с температурой).
Сверхпроводимость.
В 1911 г. К. Оннес обнаружил, что при T = 4, 2 K ртуть, по- видимому, полностью теряет сопротивление электрическому току. Уменьшение сопротив- ления происходит очень резко в интервале нескольких сотых градуса. В дальнейшем по- теря сопротивления наблюдалась и у других чистых веществ и у многих сплавов. Само явление получило название сверхпроводимости. Температуры перехода в сверхпроводящее состояние различны, но всегда очень низки.
Критическая температура.
Возбудив электрический ток в кольце из сверхпроводни- ка с помощью электромагнитной индукции, можно наблюдать, что его сила в течение нескольких лет не уменьшается. Это позволяет найти верхний предел удельного сопро- тивления сверхпроводников (менее 10
−25
Ом · м). Это на много порядков меньше, чем,
например, удельное сопротивление меди при низкой температуре (10
−12
Ом · м). Поэтому принимается, что электрическое сопротивление сверхпроводников равно нулю. Сопро- тивление до перехода в сверхпроводящее состояние бывает самым различным. Многие из сверхпроводников при комнатной температуре имеют довольно высокое сопротивле- ние. Переход в сверхпроводящее состояние совершается всегда очень резко. У чистых
66
Сверхпроводимостью среди чистых веществ обладают алюминий, кадмий, цинк, индий,
галлий. Свойство сверхпроводимости зависит от структуры кристаллической решетки.
Например, белое олово является сверхпроводником, а серое — нет; ртуть обладает свой- ством сверхпроводимости только в а-фазе.
67
Глава 8
Электрический ток в вакууме
Обсуждаются основные закономерности термоэлектронной эмиссии и их проявление при прохождении тока между электродами в вакууме.
Термоэлектронная эмиссия.
В вакууме не может существовать электрический ток,
если в нем нет носителей электрических зарядов. Если же в нем имеются электроны, то их движение обусловливает возникновение тока, называемого током в вакууме.
В металле имеется электронный газ. В условиях термодинамического равновесия рас- пределение электронов по энергетическим уровням определяется статистикой Ферми —
Дирака и дается формулой n
i g
i
=
1
exp [β (E
i
− µ)] + 1
,
(8.1)
где β = 1/ (kT ); n i
— число электронов, имеющих энергию E
i
; g i
— число квантовых состояний, соответствующих энергии E
i
; µ — энергия Ферми при температуре , которая при T → 0 К стремится к энергии Ферми µ
0
при = 0 в соответствии с формулой
µ = µ
0
"
1 −
π
2 12
kT
µ
0
2
+ . . .
#
(8.2)
Принимая во внимание, что во всех практически интересных случаях µ
0
kT , можно в
(8.1) величину µ считать равной µ
0
Рис. 8.1
Пусть E
0
— энергия покоящегося электрона вблизи поверхности вне металла (рис. 8.1). Формула (8.1) позволяет вычислить вероят- ность того, что электрон имеет энергию E
0
, если вместо E
i
, подста- вить в нее E
0
. Эта вероятность не равна нулю и тем больше, чем выше температура (т. е. чем меньше β). Таким образом, вблизи поверхности металла имеется электронное облако, которое на- ходится в равновесии с электронным газом внутри металла. Это равновесие динамическое: электроны внутри металла, обладающие достаточно большой кинетической энергией, преодолевают силы,
удерживающие их внутри металла, и выходят за его пределы; электроны вблизи метал- ла при соответствующих направлениях их скоростей и местоположения захватываются силами, удерживающими электроны внутри металла. Таким образом, в условиях дина- мического равновесия сквозь поверхность металла протекают противоположно направ- ленные токи, силы которых равны по модулю. Суммарная сила тока сквозь поверхность равна нулю. Явление образования электронного облака вблизи поверхности металла из- за теплового движения свободных электронов называется термоэлектронной эмиссией.
68
При 0 К никакой термоэлектронной эмиссии не наблюдается, т. е. электронное облако вблизи поверхности металла отсутствует.
Электроны с кинетической энергией W
k вблизи поверхности металла имеют полную энергию E
i
= W
k
+ E
0
и формула (8.1) принимает для них следующий вид:
n g
W
k
=
1
exp [β (W
k
+ ϕ)] + 1
(8.3)
где ϕ = E
0
− µ — работа выхода электронов из металла. Из формулы (8.3) видно, что плотность электронного облака вблизи поверхности металла сильно зависит от работы выхода Ф и резко уменьшается с ее увеличением.
Если вблизи поверхности металла существует электрическое поле, то электроны обла- ка приходят в движение и образуется электрический ток, называемый термоэлектронным.
Таким образом, если в вакууме имеются две металлические пластины, между которыми приложена разность потенциалов, то между ними возникает термоэлектронный ток. Оче- видно, что сила тока должна расти с увеличением разности потенциалов. Существует максимальная сила тока, когда все электроны, попадающие через поверхность катода в электронное облако, увлекаются внешним электрическим полем к аноду и никакого обратного тока электронов через поверхность внутрь катода не существует.
Эта максимальная сила тока называется силой тока насыщения: при дальнейшем увеличении разности потенциалов между анодом и катодом сила тока не изменяется, по- скольку все электроны, поставляемые в результате термоэлектронной эмиссии из катода,
задействованы для образования электрического тока и других носителей заряда для даль- нейшего увеличения силы тока нет.
Для металлов ϕ составляет несколько электрон-вольт. Энергия kT даже при темпе- ратуре в тысячи кельвинов составляет доли электрон-вольта. Следовательно, βϕ 1 и exp [β (W
k
+ ϕ)] 1. Поэтому в (8.3) можно в знаменателе пренебречь единицей по срав- нению с exp[β(W
k
+ ϕ)] и записать эту формулу в виде n
g
W
k
≈ e
−ϕ/(kT )
e
−W
k
/(kT )
(8.4)
Таким образом, сила тока насыщения очень сильно зависит от работы выхода и температу- ры, поскольку эти величины входят в экспоненту. Для чистых металлов значительный ток может быть получен лишь при температуре порядка 2000 , т. е. в качестве катодов необхо- димо использовать металлы с высокой температурой плавления. Одновременно жела- тельно, чтобы их работа выхода была как можно меньше. Например, чистый вольфрам,
работа выхода которого 4,5 эВ, должен эксплуатироваться при температуре 2500 . Для уменьшения рабочей температуры катода и понижения работы выхода используются ок- сидные катоды, когда на подложку (керн) с помощью соответствующих технологических процессов наносится слой окислов щелочноземельных металлов (например, BaO, SrO и др.). Затем катод активируется при пропускании через него термоионного тока при темпе- ратуре катода около 1300 . В результате образуется моноатомный слой щелочноземельных атомов, значительно понижающий работу выхода. Например, бариево-стронциевые оксид- ные катоды имеют работу выхода около 1,8 эВ, благодаря чему значительные токи удается получить уже при температуре около 1100 . При этой температуре достигается плотность тока порядка 10 4
A · м
−2
. Слой бариево-стронциевого окисла наносится обычно на нике- левую трубку, внутри которой в качестве нагревателя используется вольфрамовая нить.
Такая конструкция имеет дополнительное преимущество по сравнению с использовани- ем нагретой вольфрамовой нити в качестве катода, поскольку в последнем случае вдоль нити возникает значительное падение потенциала и ее поверхность не будет эквипотенци- альной. В оксидном катоде слой окислов является эквипотенциальной поверхностью, что улучшает весьма существенно условия работы катода в целом.
69
Характеристики электронного облака. Облако электронов вблизи поверхности металла описывается формулой (8.4). Число квантовых состояний в элементе фазового объема dxdydzdp x
dp y
dp z
g =
2
(2π)
3
dxdydzdp x
dp y
dp z
(8.5)
Поэтому число электронов, заключенных в элементе фазового объема dx dy dz dp x
dp y
dp z
,
представляется в виде dn =
2
(2π)
3
e
−ϕ/(kT )
e
−p
2
/
(2m e
kT )
dxdydzdp x
dp y
dp z
,
(8.6)
где W
k
= p
2
/ (2m e
).
Интегрирование выражения (8.6) no dxdydz дает в качестве множителя объем V . По- этому число электронов в объеме V , импульсы которых заключены в элементе объема dp x
dp y
dp z
, вблизи импульса p x
p y
p z
равно dn p
=
2V / (2π)
3
exp [−ϕ/ (kT )] exp −p
2
/ (2m e
kT )
dp x
dp y
dp z
,
(8.7)
где p
2
= p
2
x
+ p
2
y
+ p
2
z
. Отсюда для концентрации электронного облака вблизи поверхности металла получаем выражение n
0 0
=
1
V
Z
dn p
=
1
(2π)
3
exp
−
ϕ
kT
∞
Z Z Z
−∞
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
exp
−
p
2 2mkT
e
dp x
dp y
dp z
=
=
1 4
2πm e
kT
2
3
/2 exp
−
ϕ
kT
(8.8)
Средняя кинетическая энергия электронов hW
k i =
p
2 2m
=
R [p
2
/ (2m e
)] dn p
R dn p
=
3 2
kT
(8.9)
Рис. 8.2
Плотность тока насыщения.
Направим ось Z прямоугольной декартовой системы координат нормально к поверхности металла
(рис. 8.2). Электроны дают вклад в плотность тока насыщения ком- понентой v z
скорости по оси Z. Вклад в плотность тока от одного электрона равен ev z
= ep z
/m e
. Следовательно, плотность тока насыщения определяется формулой j
нас
=
e m
e
Z
p z>0
p z
dn p
=
2e m
e
(2π
)
3
exp
−
ϕ
kT
∞
Z
−∞
exp
−
p
2
x
2m e
kT
dp x
·
·
∞
Z
−∞
exp
−
p
2
y
2m e
kT
dp y
×
∞
Z
0
p z
exp
−
p
2
z
2m e
kT
dp z
=
=
em e
k
2 2π
2
3
T
2
exp
−
ϕ
kT
(8.10)
или j
нас
= AT
2
exp [−ϕ/ (kT )] ,
(8.11)
где постоянная
A =
em e
k
2
(2π
2
3
)
= 1, 2 · 10 6
· м
−2
· K
−2
(8.12)
70
Рис. 8.3
Равенство (8.11) называется формулой Ричардсона — Деш- мана. Для экспериментальной проверки эту формулу удобно пред- ставить в виде ln j нас
/T
2
= ln A − ϕ/kT .
(8.13)
На графике зависимость ln (j нас
/T
2
) от 1/T по формуле (8.13)
выражается прямой линией (рис. 8.3). Эксперимент подтверждает такую зависимость с учетом небольшого изменения ϕ, которое обусловлено уменьшением µ с температурой [см.
(8.2)]. По углу наклона прямой в соответствии с формулой (8.13) определяется работа вы- хода ϕ. По пересечению прямой с осью ординат вычисляется InA. Величина A по формуле
(8.12) должна быть универсальной постоянной, одинаковой для всех металлов. Это заклю- чение не подтверждается экспериментом. Имеется некоторое различие в A для различных металлов. Например, для меди A = 1, 1·10 6
A·м
−2
·K
−2
, для никеля A = 1, 2·10 6
A·м
−2
·K
−2
,
для платины A = 0, 3 · 10 6
A · м
−2
· K
−2
. Это изменение A обусловлено поверхностными эф- фектами. Кроме того, у кристалла плотность тока насыщения несколько различается для разных граней.
Рис. 8.4
Закон трех вторых.
Рассмотрим зависимость силы тока, проте- кающего в вакууме между электродами, от приложенной разности потенциалов. Электроды будем считать плоскими, а ось X напра- вим нормально поверхности электродов (рис. 8.4). Потенциал ка- тода примем за нуль (ϕ
k
= 0), а потенциал анода обозначим U .
Главным физическим фактором, влияющим на движение элек- тронов между катодом и анодом, является объемный заряд: силы взаимодействия с ним затрудняют движение электронов от катода к аноду под действием приложенной разности потенциалов.
Допустим, что площади пластин катода и анода достаточно велики и при расчете плот- ности тока вблизи линии, соединяющей центры электродов, можно пренебречь изменением величин в направлениях, перпендикулярных этой линии, т. е. рассматривать одномерную задачу, когда все величины зависят только от координаты . Уравнение Пуассона для по- тенциала имеет вид d
2
ϕ
dx
2
= −
ρ
e
ε
0
=
n |e|
ε
0
(8.14)
где n — концентрация электронов. Закон сохранения энергии для дрейфа электронов имеет вид
1/2m e
v
2
д
= |e| ϕ,
(8.15)
где v д
— скорость дрейфа в точке с потенциалом ϕ. Объемная плотность тока в этой точке
|j| = n |e| v д
(8.16)
Все величины в правой части (8.16) являются положительными. Вычислив скорость v д
из
(8.15) и подставив полученное уравнение в (8.16), находим n |e| = |j| [m e
/(2|e|ϕ)]
1/2
(8.17)
С учетом (8.17) уравнение (8.14) преобразуется к виду d
2
ϕ/dx
2
= α
√
ϕ,
(8.18)
71
где α = (|j| /ε
0
)
pm e
/ (2 |e|). Умножая обе части (8.18) на (dϕ/dx) = ˙
ϕ, получаем
¨
ϕ ˙
ϕ = α ˙
ϕ/
√
ϕ
(8.19)
где точками обозначено дифференцирование по . Учитывая, что
¨
ϕ ˙
ϕ =
1 2
d ( ˙
ϕ
2
)
dx
,
˙
ϕ/
√
ϕ = 2
d
√
ϕ
dx
,
(8.20)
запишем (8.19) так:
d
˙
ϕ
2
= 4αd (
√
ϕ)
(8.21)
Теперь можно проинтегрировать обе части (8.21) по x в пределах от 0 до того значения x, при котором потенциал равен ϕ. Тогда
dϕ
dx
2
−
dϕ
dx
2 0
= 4α
√
ϕ,
(8.22)
где учтено, что ϕ (0) = 0. Производная (dϕ/dx)
0
характеризует напряженность электри- ческого поля у катода, α — пропорциональна j. Поэтому объемная плотность тока j до- стигает максимума при (dϕ/dx)
0
= 0 и тогда [см. (8.22)]
dϕ
dx
= 2
√
αϕ
1/4
,
(8.23)
или dϕ
ϕ
1/4
= 2
√
αdx
(8.24)
Интегрируя обе части (8.24) в пределах от = 0, ϕ = 0 до = d, ϕ = U , получаем
U
3/4
=
3 2
d
√
α.
(8.25)
Возводя обе части (8.25) в квадрат и учитывая, что
α = (|j| /ε
0
)
p m
e
/ (2 |e|),
(8.26)
получаем
|j| = βU
3/2
,
(8.27)
где
β =
4ε
0 9d
2
2 |e|
m e
1/2
(8.28)
Расчет аналогичной задачи для коаксиальных цилиндрических электродов, для концен- трических сферических электродов приводит к такому же виду зависимости объемной плотности тока от разности потенциалов в степени три вторых. Впрочем, такую зависи- мость можно было бы ожидать и без расчетов с помощью анализа размерностей. Коэф- фициент β во всех случаях имеет одинаковую размерность, как это следует из уравнения
Пуассона, записанного в различных системах координат.
Рис. 8.5
При отсутствии объемного заряда между катодом и анодом из- менение потенциала происходит по линейному закону (рис. 9.1; пря- мая 1). Объемный заряд изменяет этот ход. Ясно, что вблизи ка- тода объемный заряд уменьшает силы, действующие на электро- ны при отсутствии объемного заряда, а вблизи анода увеличивает.
Поэтому изменение потенциала между электродами с учетом объ- емного заряда характеризуется кривой 2).
72
Вывод формулы (8.27) приведен в предположении, что электро- ны покидают катод с нулевой скоростью. Однако они могут покидать катод с конечной скоростью эмиссии. В этом случае ток будет существовать даже в том случае, если вбли- зи катода имеется небольшое обратное поле. Следовательно, объемная плотность заряда может измениться до таких значений, при которых потенциал вблизи катода уменьшит- ся до отрицательных значений. В результате этого ход потенциала вблизи катода будет характеризоваться пунктирной кривой C.
При достаточно большой разности потенциалов наблюдается отклонение от закона трех вторых. Оно наступает тогда, когда объемная плотность заряда уменьшается настолько, что поддержание нулевого электрического поля у поверхности катода ока- зывается невозможным и, следовательно, будет невыполнимым условие (dϕ/dx)
0
= 0,
при котором был введен закон трех вторых. При дальнейшем увеличении напряженности объемная плотность тока становится независимой от разности потенциалов (ток насыще- ния).
Закон трех вторых здесь рассмотрен в качестве примера нелинейного соотношения между силой тока и напряжением. Он не имеет универсального характера и даже в при- веденном случае справедлив лишь в сравнительно узком интервале напряжений и токов.
Нелинейность вольтамперной характеристики является наиболее важной особенностью многих элементов радио- и электротехнических схем, включая элементы твердотельной электроники.
73
Глава 9
Постоянное магнитное поле в вакууме
9.1
Магнитное поле в вакууме
Магнитные явления обнаружены и изучались издавна. Сначала люди обнаружили есте- ственные магниты, и их взаимодействие между собой и с магнитным полем Земли. Уже несколько столетий магнитный компас применяется для навигации, помогая ориентиро- ваться на местности и, особенно в океанических просторах. Для описания магнитных явлений было введено – по аналогии с электрическим полем – понятие магнитного по- ля. Прорыв в экспериментальном исследовании магнитных полей произошел в XIX веке.
Было установлено, что движущиеся заряды создают магнитное поле, а магнитное поле действует на движущиеся заряды. Начало исследований электромагнитных явлений было положено опытом датского физика Х. Эрстеда (1820).
I
S
S
0
N
N
0
Рис. 9.1
При пропускании по прямолинейному горизонтальному про- воднику постоянного тока I находящаяся под ним магнит- ная стрелка поворачивается вокруг своей вертикальной оси,
стремясь расположиться перпендикулярно проводнику с током
(рис. 9.1). Ось стрелки тем точнее совпадает с этим направлени- ем, чем больше сила тока и чем слабее влияние магнитного поля
Земли. Эрстед обнаружил, что направление поворота северного полюса стрелки под действием электрического тока изменяется на противоположное при изменении направления тока в проводнике. Французский физик
Андре Мари Ампер в опытах в 1820 г. детально изучил взаимодействие двух параллель- ных токов. Ампер догадался, что этот процесс аналогичен отклонению стрелки компаса,
просто в компасе все определяется микротоками в атомном масштабе.
Происхождение магнитного поля Земли предположительно связывают с протеканием токов в жидком металлическом ядре планеты. Токи создают магнитные поля, магнитные поля создают токи, причем в условиях естественной случайной асимметрии движений этот процесс в соответствии с теорией гидромагнитного динамо может оказаться при высоких температурах ядра (порядка нескольких тысяч кельвинов) самоподдерживающимся на достаточно интенсивном уровне.
9.1.1
Сила Лоренца. Поле B
Сила Лоренца.
Опыт показывает, что сила F, действующая на точечный заряд q, за- висит в общем случае не только от положения этого заряда, но и от его скорости v.
Соответственно этому силу F разделяют на две составляющие — электрическую
F
э
(она не зависит от движения заряда) и магнитную
F
м
(она зависит от скорости заряда). В
любой точке пространства направление и модуль магнитной силы зависят от скорости v заряда, причем эта сила всегда перпендикулярна вектору v; кроме того, в любом месте
74
магнитная сила перпендикулярна определенному в данном месте направлению и, наконец,
ее модуль пропорционален той составляющей скорости, которая перпендикулярна этому выделенному направлению.
Все эти свойства магнитной силы можно описать, если ввести понятие магнитного поля. Характеризуя это поле вектором B, определяющим выделенное в каждой точке пространства направление, запишем выражение для магнитной силы в виде
F
м
= q h
v
B
i
(9.1)
Тогда полная электромагнитная сила, действующая на заряд q:
F = q
E + q h
v
B
i
(9.2)
Ее называют силой Лоренца . Последнее выражение является универсальным : оно справедливо как для постоянных, так и для переменных электрических и магнитных полей. Заметим, что v — это скорость заряда относительно интересующей нас системы отсчета. По действию силы Лоренца на заряд можно в принципе определить модули и на- правления векторов E и B. Поэтому выражение для силы Лоренца можно рассматривать как определение электрического и магнитного полей (в случае электрического поля мы так и поступили)
1
. Следует подчеркнуть, что на покоящийся электрический заряд магнитное поле не действует . В этом существенное отличие магнитного поля от электрического. Магнитное поле действует только на движущийся заряд.
Вектор B характеризует силовое действие магнитного поля на движущийся заряд и,
следовательно, является в этом отношении аналогом вектора , характеризующего силовое действие электрического поля.
Важной особенностью магнитной силы является то, что она всегда перпендикулярна вектору скорости заряда, поэтому работы над зарядом не совершает . Это значит, что в постоянном магнитном поле энергия движущейся заряженной частицы всегда остается неизменной, как бы частица ни двигалась.
В нерелятивистском приближении сила Лоренца (9.2), как и любая другая сила, не за- висит от выбора системы отсчета (инерциальной). Вместе с тем магнитная составляющая силы Лоренца меняется при переходе от одной системы отсчета к другой (из-за v). Поэто- му должна меняться и электрическая составляющая qE. Отсюда следует, что разделение полной силы F — силы Лоренца — на электрическую и магнитную зависит от выбора системы отсчета. Без указания системы отсчета такое разделение не имеет смысла.
Магнитное поле равномерно движущегося заряда.
Опыт показывает, что само магнитное поле порождается движущимися зарядами (токами). В результате обобщения экспериментальных данных был получен элементарный закон, определяющий поле B то- чечного заряда q, движущегося с постоянной нерелятивистской скоростью v. Этот закон записывается в виде
2
B =
µ
0 4π
·
q [
v
r]
r
3
,
(9.3)
где µ
0
— магнитная постоянная ; коэффициент – µ
0
/4π = 10
−7
Гн/м; r — радиус- вектор, проведенный от заряда q к точке наблюдения.
Конец радиуса-вектора r неподвижен в данной системе отсчета, а его начало движется со скоростью v (рис. 9.2), поэтому вектор B в данной системе отсчета зависит не только от положения точки наблюдения, но и от времени.
1
Разработан ряд способов измерения поля B, но все они, в конечном счете, базируются на явлениях, в основе которых лежит уравнение (9.2).
2
Формула (9.3) справедлива и в случае, когда заряд движется с ускорением, однако только на доста- точно малых расстояниях r от заряда (малых настолько, что за время r/c скорость v заряда заметно не меняется).
75
Рис. 9.2
В соответствии с формулой (9.3) вектор B направлен перпенди- кулярно плоскости, в которой расположены векторы v и r, причем вращение вокруг вектора v в направлении вектора B образует с направлением v правовинтовую систему (рис. 9.2). Отметим, что вектор B является аксиальным (псевдовектором).
Величину B называют магнитной индукцией . Единицей магнитной индукции служит тесла (Тл).
Электрическое поле точечного заряда q, движущегося с нере- лятивистской скоростью, описывается известным законом
E =
1 4πε
0
q r
2
e r
(9.4)
Поэтому выражение (9.5) можно представить как
B = ε
0
µ
0
[vE] = [vE]/c
2
,
(9.5)
где c — электродинамическая постоянная ( c = 1/
√
ε
0
µ
0
), она равна скорости света в вакууме (совпадение, как потом выяснилось, не случайное).
1
v q
2
v q
Рис. 9.3
Пример.
Сравнение сил магнитного и электрического взаимодействий движущихся зарядов. Пусть два достаточно массивных точечных заряда q движутся параллельно друг другу с одинаковой нерелятивистской скоростью v, как показано на рис. 9.3. Найти отношение магнитной F
м и электрической
F
э сил, действующих, например, со стороны заряда 1 на заряд 2.
Согласно (9.2) F
м
= qvB и F
э
= qE, где v – скорость заряда 2, а B и E
– индукция магнитного и напряженность электрического полей, создаваемых зарядом 1 в месте нахождения заряда 2.
Отношение F
м
/F
э
= vB/E. В нашем случае согласно (9.5) = vE/c
2
, поэтому
F
м
/F
э
= (v/c)
2
(9.6)
Даже для достаточно больших скоростей, например v = 300 км/с, это отношение рав- но 10
−6
, т. е. магнитная часть силы в миллион раз меньше электрической и составляет ничтожную поправку к электрической силе.
Рассмотренный пример может вызвать естественный вопрос — стоит ли такие силы изучать? Оказывается, стоит, и на это есть две веские причины.
Во-первых, нам приходится встречаться с пучками частиц, движущихся почти со световыми скоростями, и там эта "поправка" к электрической силе становится сравнимой с последней (заметим, что отношение (9.6) справедливо и при релятивистских скоростях).
Во-вторых, при движении, например, электронов вдоль проводов их направленная скорость при обычных плотностях составляет несколько десятых миллиметра в секунду,
и отношение (v/c)
2
≈ 10
−24
. Ничтожная поправка к электрической силе!
Но дело в том, что в данном случае магнитная сила — это практически вся действую- щая сила, ибо электрические силы исчезли в результате почти идеального баланса отри- цательных и положительных зарядов в проводах. Этот баланс намного точнее чем 10
−24
,
и "ничтожная" магнитная сила оказывается, по существу, единственной. А участие гро- мадного числа зарядов в создании тока компенсирует малость этого члена.
Другими словами, избыточные заряды на проводах ничтожно малы по сравнению с суммарным зарядом носителей тока. Поэтому магнитные силы в данном случае намного превосходят электрические силы, действующие на избыточные заряды проводов.
76
9.2
Закон Био—Савара
Принцип суперпозиции.
Опыт дает, что для магнитного поля, как и для электриче- ского, справедлив принцип суперпозиции: магнитное поле, создаваемое несколькими дви- жущимися зарядами или токами, равно векторной сумме магнитных полей, создаваемых каждым зарядом или током в отдельности:
B =
X
B
i
(9.7)
Закон Био-Савара. Рассмотрим вопрос о нахождении магнитного поля, создаваемого постоянными электрическими токами. Этот вопрос будем решать, исходя из закона (9.5),
определяющего индукцию поля B равномерно движущегося точечного заряда. Подставим в (9.5) вместо q заряд ρdV , где dV — элементарный объем, ρ = en — объемная плотность заряда, являющегося носителем тока, и учтем, что ρv = j согласно (20.4). Тогда формула
(9.5) приобретет следующий вид:
d
B =
µ
0 4π
h
jr i
dV
r
3
(9.8)
Если же ток I течет по тонкому проводу с площадью поперечного сечения ∆S, то jdV =
j∆Sdl = Idl, где dl — элемент длины провода. Введя вектор dl в направлении тока I,
перепишем предыдущее равенство так:
jdV = Idl.
(9.9)
Векторы jdV и Idl называют соответственно объемным и линейным элементами тока.
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
exp
−
p
2 2mkT
e
dp x
dp y
dp z
=
=
1 4
2πm e
kT
2
3
/2 exp
−
ϕ
kT
(8.8)
Средняя кинетическая энергия электронов hW
k i =
p
2 2m
=
R [p
2
/ (2m e
)] dn p
R dn p
=
3 2
kT
(8.9)
Рис. 8.2
Плотность тока насыщения.
Направим ось Z прямоугольной декартовой системы координат нормально к поверхности металла
(рис. 8.2). Электроны дают вклад в плотность тока насыщения ком- понентой v z
скорости по оси Z. Вклад в плотность тока от одного электрона равен ev z
= ep z
/m e
. Следовательно, плотность тока насыщения определяется формулой j
нас
=
e m
e
Z
p z>0
p z
dn p
=
2e m
e
(2π
)
3
exp
−
ϕ
kT
∞
Z
−∞
exp
−
p
2
x
2m e
kT
dp x
·
·
∞
Z
−∞
exp
−
p
2
y
2m e
kT
dp y
×
∞
Z
0
p z
exp
−
p
2
z
2m e
kT
dp z
=
=
em e
k
2 2π
2
3
T
2
exp
−
ϕ
kT
(8.10)
или j
нас
= AT
2
exp [−ϕ/ (kT )] ,
(8.11)
где постоянная
A =
em e
k
2
(2π
2
3
)
= 1, 2 · 10 6
· м
−2
· K
−2
(8.12)
70
Рис. 8.3
Равенство (8.11) называется формулой Ричардсона — Деш- мана. Для экспериментальной проверки эту формулу удобно пред- ставить в виде ln j нас
/T
2
= ln A − ϕ/kT .
(8.13)
На графике зависимость ln (j нас
/T
2
) от 1/T по формуле (8.13)
выражается прямой линией (рис. 8.3). Эксперимент подтверждает такую зависимость с учетом небольшого изменения ϕ, которое обусловлено уменьшением µ с температурой [см.
(8.2)]. По углу наклона прямой в соответствии с формулой (8.13) определяется работа вы- хода ϕ. По пересечению прямой с осью ординат вычисляется InA. Величина A по формуле
(8.12) должна быть универсальной постоянной, одинаковой для всех металлов. Это заклю- чение не подтверждается экспериментом. Имеется некоторое различие в A для различных металлов. Например, для меди A = 1, 1·10 6
A·м
−2
·K
−2
, для никеля A = 1, 2·10 6
A·м
−2
·K
−2
,
для платины A = 0, 3 · 10 6
A · м
−2
· K
−2
. Это изменение A обусловлено поверхностными эф- фектами. Кроме того, у кристалла плотность тока насыщения несколько различается для разных граней.
Рис. 8.4
Закон трех вторых.
Рассмотрим зависимость силы тока, проте- кающего в вакууме между электродами, от приложенной разности потенциалов. Электроды будем считать плоскими, а ось X напра- вим нормально поверхности электродов (рис. 8.4). Потенциал ка- тода примем за нуль (ϕ
k
= 0), а потенциал анода обозначим U .
Главным физическим фактором, влияющим на движение элек- тронов между катодом и анодом, является объемный заряд: силы взаимодействия с ним затрудняют движение электронов от катода к аноду под действием приложенной разности потенциалов.
Допустим, что площади пластин катода и анода достаточно велики и при расчете плот- ности тока вблизи линии, соединяющей центры электродов, можно пренебречь изменением величин в направлениях, перпендикулярных этой линии, т. е. рассматривать одномерную задачу, когда все величины зависят только от координаты . Уравнение Пуассона для по- тенциала имеет вид d
2
ϕ
dx
2
= −
ρ
e
ε
0
=
n |e|
ε
0
(8.14)
где n — концентрация электронов. Закон сохранения энергии для дрейфа электронов имеет вид
1/2m e
v
2
д
= |e| ϕ,
(8.15)
где v д
— скорость дрейфа в точке с потенциалом ϕ. Объемная плотность тока в этой точке
|j| = n |e| v д
(8.16)
Все величины в правой части (8.16) являются положительными. Вычислив скорость v д
из
(8.15) и подставив полученное уравнение в (8.16), находим n |e| = |j| [m e
/(2|e|ϕ)]
1/2
(8.17)
С учетом (8.17) уравнение (8.14) преобразуется к виду d
2
ϕ/dx
2
= α
√
ϕ,
(8.18)
71
где α = (|j| /ε
0
)
pm e
/ (2 |e|). Умножая обе части (8.18) на (dϕ/dx) = ˙
ϕ, получаем
¨
ϕ ˙
ϕ = α ˙
ϕ/
√
ϕ
(8.19)
где точками обозначено дифференцирование по . Учитывая, что
¨
ϕ ˙
ϕ =
1 2
d ( ˙
ϕ
2
)
dx
,
˙
ϕ/
√
ϕ = 2
d
√
ϕ
dx
,
(8.20)
запишем (8.19) так:
d
˙
ϕ
2
= 4αd (
√
ϕ)
(8.21)
Теперь можно проинтегрировать обе части (8.21) по x в пределах от 0 до того значения x, при котором потенциал равен ϕ. Тогда
dϕ
dx
2
−
dϕ
dx
2 0
= 4α
√
ϕ,
(8.22)
где учтено, что ϕ (0) = 0. Производная (dϕ/dx)
0
характеризует напряженность электри- ческого поля у катода, α — пропорциональна j. Поэтому объемная плотность тока j до- стигает максимума при (dϕ/dx)
0
= 0 и тогда [см. (8.22)]
dϕ
dx
= 2
√
αϕ
1/4
,
(8.23)
или dϕ
ϕ
1/4
= 2
√
αdx
(8.24)
Интегрируя обе части (8.24) в пределах от = 0, ϕ = 0 до = d, ϕ = U , получаем
U
3/4
=
3 2
d
√
α.
(8.25)
Возводя обе части (8.25) в квадрат и учитывая, что
α = (|j| /ε
0
)
p m
e
/ (2 |e|),
(8.26)
получаем
|j| = βU
3/2
,
(8.27)
где
β =
4ε
0 9d
2
2 |e|
m e
1/2
(8.28)
Расчет аналогичной задачи для коаксиальных цилиндрических электродов, для концен- трических сферических электродов приводит к такому же виду зависимости объемной плотности тока от разности потенциалов в степени три вторых. Впрочем, такую зависи- мость можно было бы ожидать и без расчетов с помощью анализа размерностей. Коэф- фициент β во всех случаях имеет одинаковую размерность, как это следует из уравнения
Пуассона, записанного в различных системах координат.
Рис. 8.5
При отсутствии объемного заряда между катодом и анодом из- менение потенциала происходит по линейному закону (рис. 9.1; пря- мая 1). Объемный заряд изменяет этот ход. Ясно, что вблизи ка- тода объемный заряд уменьшает силы, действующие на электро- ны при отсутствии объемного заряда, а вблизи анода увеличивает.
Поэтому изменение потенциала между электродами с учетом объ- емного заряда характеризуется кривой 2).
72
Вывод формулы (8.27) приведен в предположении, что электро- ны покидают катод с нулевой скоростью. Однако они могут покидать катод с конечной скоростью эмиссии. В этом случае ток будет существовать даже в том случае, если вбли- зи катода имеется небольшое обратное поле. Следовательно, объемная плотность заряда может измениться до таких значений, при которых потенциал вблизи катода уменьшит- ся до отрицательных значений. В результате этого ход потенциала вблизи катода будет характеризоваться пунктирной кривой C.
При достаточно большой разности потенциалов наблюдается отклонение от закона трех вторых. Оно наступает тогда, когда объемная плотность заряда уменьшается настолько, что поддержание нулевого электрического поля у поверхности катода ока- зывается невозможным и, следовательно, будет невыполнимым условие (dϕ/dx)
0
= 0,
при котором был введен закон трех вторых. При дальнейшем увеличении напряженности объемная плотность тока становится независимой от разности потенциалов (ток насыще- ния).
Закон трех вторых здесь рассмотрен в качестве примера нелинейного соотношения между силой тока и напряжением. Он не имеет универсального характера и даже в при- веденном случае справедлив лишь в сравнительно узком интервале напряжений и токов.
Нелинейность вольтамперной характеристики является наиболее важной особенностью многих элементов радио- и электротехнических схем, включая элементы твердотельной электроники.
73
Глава 9
Постоянное магнитное поле в вакууме
9.1
Магнитное поле в вакууме
Магнитные явления обнаружены и изучались издавна. Сначала люди обнаружили есте- ственные магниты, и их взаимодействие между собой и с магнитным полем Земли. Уже несколько столетий магнитный компас применяется для навигации, помогая ориентиро- ваться на местности и, особенно в океанических просторах. Для описания магнитных явлений было введено – по аналогии с электрическим полем – понятие магнитного по- ля. Прорыв в экспериментальном исследовании магнитных полей произошел в XIX веке.
Было установлено, что движущиеся заряды создают магнитное поле, а магнитное поле действует на движущиеся заряды. Начало исследований электромагнитных явлений было положено опытом датского физика Х. Эрстеда (1820).
I
S
S
0
N
N
0
Рис. 9.1
При пропускании по прямолинейному горизонтальному про- воднику постоянного тока I находящаяся под ним магнит- ная стрелка поворачивается вокруг своей вертикальной оси,
стремясь расположиться перпендикулярно проводнику с током
(рис. 9.1). Ось стрелки тем точнее совпадает с этим направлени- ем, чем больше сила тока и чем слабее влияние магнитного поля
Земли. Эрстед обнаружил, что направление поворота северного полюса стрелки под действием электрического тока изменяется на противоположное при изменении направления тока в проводнике. Французский физик
Андре Мари Ампер в опытах в 1820 г. детально изучил взаимодействие двух параллель- ных токов. Ампер догадался, что этот процесс аналогичен отклонению стрелки компаса,
просто в компасе все определяется микротоками в атомном масштабе.
Происхождение магнитного поля Земли предположительно связывают с протеканием токов в жидком металлическом ядре планеты. Токи создают магнитные поля, магнитные поля создают токи, причем в условиях естественной случайной асимметрии движений этот процесс в соответствии с теорией гидромагнитного динамо может оказаться при высоких температурах ядра (порядка нескольких тысяч кельвинов) самоподдерживающимся на достаточно интенсивном уровне.
9.1.1
Сила Лоренца. Поле B
Сила Лоренца.
Опыт показывает, что сила F, действующая на точечный заряд q, за- висит в общем случае не только от положения этого заряда, но и от его скорости v.
Соответственно этому силу F разделяют на две составляющие — электрическую
F
э
(она не зависит от движения заряда) и магнитную
F
м
(она зависит от скорости заряда). В
любой точке пространства направление и модуль магнитной силы зависят от скорости v заряда, причем эта сила всегда перпендикулярна вектору v; кроме того, в любом месте
74
магнитная сила перпендикулярна определенному в данном месте направлению и, наконец,
ее модуль пропорционален той составляющей скорости, которая перпендикулярна этому выделенному направлению.
Все эти свойства магнитной силы можно описать, если ввести понятие магнитного поля. Характеризуя это поле вектором B, определяющим выделенное в каждой точке пространства направление, запишем выражение для магнитной силы в виде
F
м
= q h
v
B
i
(9.1)
Тогда полная электромагнитная сила, действующая на заряд q:
F = q
E + q h
v
B
i
(9.2)
Ее называют силой Лоренца . Последнее выражение является универсальным : оно справедливо как для постоянных, так и для переменных электрических и магнитных полей. Заметим, что v — это скорость заряда относительно интересующей нас системы отсчета. По действию силы Лоренца на заряд можно в принципе определить модули и на- правления векторов E и B. Поэтому выражение для силы Лоренца можно рассматривать как определение электрического и магнитного полей (в случае электрического поля мы так и поступили)
1
. Следует подчеркнуть, что на покоящийся электрический заряд магнитное поле не действует . В этом существенное отличие магнитного поля от электрического. Магнитное поле действует только на движущийся заряд.
Вектор B характеризует силовое действие магнитного поля на движущийся заряд и,
следовательно, является в этом отношении аналогом вектора , характеризующего силовое действие электрического поля.
Важной особенностью магнитной силы является то, что она всегда перпендикулярна вектору скорости заряда, поэтому работы над зарядом не совершает . Это значит, что в постоянном магнитном поле энергия движущейся заряженной частицы всегда остается неизменной, как бы частица ни двигалась.
В нерелятивистском приближении сила Лоренца (9.2), как и любая другая сила, не за- висит от выбора системы отсчета (инерциальной). Вместе с тем магнитная составляющая силы Лоренца меняется при переходе от одной системы отсчета к другой (из-за v). Поэто- му должна меняться и электрическая составляющая qE. Отсюда следует, что разделение полной силы F — силы Лоренца — на электрическую и магнитную зависит от выбора системы отсчета. Без указания системы отсчета такое разделение не имеет смысла.
Магнитное поле равномерно движущегося заряда.
Опыт показывает, что само магнитное поле порождается движущимися зарядами (токами). В результате обобщения экспериментальных данных был получен элементарный закон, определяющий поле B то- чечного заряда q, движущегося с постоянной нерелятивистской скоростью v. Этот закон записывается в виде
2
B =
µ
0 4π
·
q [
v
r]
r
3
,
(9.3)
где µ
0
— магнитная постоянная ; коэффициент – µ
0
/4π = 10
−7
Гн/м; r — радиус- вектор, проведенный от заряда q к точке наблюдения.
Конец радиуса-вектора r неподвижен в данной системе отсчета, а его начало движется со скоростью v (рис. 9.2), поэтому вектор B в данной системе отсчета зависит не только от положения точки наблюдения, но и от времени.
1
Разработан ряд способов измерения поля B, но все они, в конечном счете, базируются на явлениях, в основе которых лежит уравнение (9.2).
2
Формула (9.3) справедлива и в случае, когда заряд движется с ускорением, однако только на доста- точно малых расстояниях r от заряда (малых настолько, что за время r/c скорость v заряда заметно не меняется).
75
Рис. 9.2
В соответствии с формулой (9.3) вектор B направлен перпенди- кулярно плоскости, в которой расположены векторы v и r, причем вращение вокруг вектора v в направлении вектора B образует с направлением v правовинтовую систему (рис. 9.2). Отметим, что вектор B является аксиальным (псевдовектором).
Величину B называют магнитной индукцией . Единицей магнитной индукции служит тесла (Тл).
Электрическое поле точечного заряда q, движущегося с нере- лятивистской скоростью, описывается известным законом
E =
1 4πε
0
q r
2
e r
(9.4)
Поэтому выражение (9.5) можно представить как
B = ε
0
µ
0
[vE] = [vE]/c
2
,
(9.5)
где c — электродинамическая постоянная ( c = 1/
√
ε
0
µ
0
), она равна скорости света в вакууме (совпадение, как потом выяснилось, не случайное).
1
v q
2
v q
Рис. 9.3
Пример.
Сравнение сил магнитного и электрического взаимодействий движущихся зарядов. Пусть два достаточно массивных точечных заряда q движутся параллельно друг другу с одинаковой нерелятивистской скоростью v, как показано на рис. 9.3. Найти отношение магнитной F
м и электрической
F
э сил, действующих, например, со стороны заряда 1 на заряд 2.
Согласно (9.2) F
м
= qvB и F
э
= qE, где v – скорость заряда 2, а B и E
– индукция магнитного и напряженность электрического полей, создаваемых зарядом 1 в месте нахождения заряда 2.
Отношение F
м
/F
э
= vB/E. В нашем случае согласно (9.5) = vE/c
2
, поэтому
F
м
/F
э
= (v/c)
2
(9.6)
Даже для достаточно больших скоростей, например v = 300 км/с, это отношение рав- но 10
−6
, т. е. магнитная часть силы в миллион раз меньше электрической и составляет ничтожную поправку к электрической силе.
Рассмотренный пример может вызвать естественный вопрос — стоит ли такие силы изучать? Оказывается, стоит, и на это есть две веские причины.
Во-первых, нам приходится встречаться с пучками частиц, движущихся почти со световыми скоростями, и там эта "поправка" к электрической силе становится сравнимой с последней (заметим, что отношение (9.6) справедливо и при релятивистских скоростях).
Во-вторых, при движении, например, электронов вдоль проводов их направленная скорость при обычных плотностях составляет несколько десятых миллиметра в секунду,
и отношение (v/c)
2
≈ 10
−24
. Ничтожная поправка к электрической силе!
Но дело в том, что в данном случае магнитная сила — это практически вся действую- щая сила, ибо электрические силы исчезли в результате почти идеального баланса отри- цательных и положительных зарядов в проводах. Этот баланс намного точнее чем 10
−24
,
и "ничтожная" магнитная сила оказывается, по существу, единственной. А участие гро- мадного числа зарядов в создании тока компенсирует малость этого члена.
Другими словами, избыточные заряды на проводах ничтожно малы по сравнению с суммарным зарядом носителей тока. Поэтому магнитные силы в данном случае намного превосходят электрические силы, действующие на избыточные заряды проводов.
76
9.2
Закон Био—Савара
Принцип суперпозиции.
Опыт дает, что для магнитного поля, как и для электриче- ского, справедлив принцип суперпозиции: магнитное поле, создаваемое несколькими дви- жущимися зарядами или токами, равно векторной сумме магнитных полей, создаваемых каждым зарядом или током в отдельности:
B =
X
B
i
(9.7)
Закон Био-Савара. Рассмотрим вопрос о нахождении магнитного поля, создаваемого постоянными электрическими токами. Этот вопрос будем решать, исходя из закона (9.5),
определяющего индукцию поля B равномерно движущегося точечного заряда. Подставим в (9.5) вместо q заряд ρdV , где dV — элементарный объем, ρ = en — объемная плотность заряда, являющегося носителем тока, и учтем, что ρv = j согласно (20.4). Тогда формула
(9.5) приобретет следующий вид:
d
B =
µ
0 4π
h
jr i
dV
r
3
(9.8)
Если же ток I течет по тонкому проводу с площадью поперечного сечения ∆S, то jdV =
j∆Sdl = Idl, где dl — элемент длины провода. Введя вектор dl в направлении тока I,
перепишем предыдущее равенство так:
jdV = Idl.
(9.9)
Векторы jdV и Idl называют соответственно объемным и линейным элементами тока.
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
exp
−
p
2 2mkT
e
dp x
dp y
dp z
=
=
1 4
2πm e
kT
2
3
/2 exp
−
ϕ
kT
(8.8)
Средняя кинетическая энергия электронов hW
k i =
p
2 2m
=
R [p
2
/ (2m e
)] dn p
R dn p
=
3 2
kT
(8.9)
Рис. 8.2
Плотность тока насыщения.
Направим ось Z прямоугольной декартовой системы координат нормально к поверхности металла
(рис. 8.2). Электроны дают вклад в плотность тока насыщения ком- понентой v z
скорости по оси Z. Вклад в плотность тока от одного электрона равен ev z
= ep z
/m e
. Следовательно, плотность тока насыщения определяется формулой j
нас
=
e m
e
Z
p z>0
p z
dn p
=
2e m
e
(2π
)
3
exp
−
ϕ
kT
∞
Z
−∞
exp
−
p
2
x
2m e
kT
dp x
·
·
∞
Z
−∞
exp
−
p
2
y
2m e
kT
dp y
×
∞
Z
0
p z
exp
−
p
2
z
2m e
kT
dp z
=
=
em e
k
2 2π
2
3
T
2
exp
−
ϕ
kT
(8.10)
или j
нас
= AT
2
exp [−ϕ/ (kT )] ,
(8.11)
где постоянная
A =
em e
k
2
(2π
2
3
)
= 1, 2 · 10 6
· м
−2
· K
−2
(8.12)
70
Рис. 8.3
Равенство (8.11) называется формулой Ричардсона — Деш- мана. Для экспериментальной проверки эту формулу удобно пред- ставить в виде ln j нас
/T
2
= ln A − ϕ/kT .
(8.13)
На графике зависимость ln (j нас
/T
2
) от 1/T по формуле (8.13)
выражается прямой линией (рис. 8.3). Эксперимент подтверждает такую зависимость с учетом небольшого изменения ϕ, которое обусловлено уменьшением µ с температурой [см.
(8.2)]. По углу наклона прямой в соответствии с формулой (8.13) определяется работа вы- хода ϕ. По пересечению прямой с осью ординат вычисляется InA. Величина A по формуле
(8.12) должна быть универсальной постоянной, одинаковой для всех металлов. Это заклю- чение не подтверждается экспериментом. Имеется некоторое различие в A для различных металлов. Например, для меди A = 1, 1·10 6
A·м
−2
·K
−2
, для никеля A = 1, 2·10 6
A·м
−2
·K
−2
,
для платины A = 0, 3 · 10 6
A · м
−2
· K
−2
. Это изменение A обусловлено поверхностными эф- фектами. Кроме того, у кристалла плотность тока насыщения несколько различается для разных граней.
Рис. 8.4
Закон трех вторых.
Рассмотрим зависимость силы тока, проте- кающего в вакууме между электродами, от приложенной разности потенциалов. Электроды будем считать плоскими, а ось X напра- вим нормально поверхности электродов (рис. 8.4). Потенциал ка- тода примем за нуль (ϕ
k
= 0), а потенциал анода обозначим U .
Главным физическим фактором, влияющим на движение элек- тронов между катодом и анодом, является объемный заряд: силы взаимодействия с ним затрудняют движение электронов от катода к аноду под действием приложенной разности потенциалов.
Допустим, что площади пластин катода и анода достаточно велики и при расчете плот- ности тока вблизи линии, соединяющей центры электродов, можно пренебречь изменением величин в направлениях, перпендикулярных этой линии, т. е. рассматривать одномерную задачу, когда все величины зависят только от координаты . Уравнение Пуассона для по- тенциала имеет вид d
2
ϕ
dx
2
= −
ρ
e
ε
0
=
n |e|
ε
0
(8.14)
где n — концентрация электронов. Закон сохранения энергии для дрейфа электронов имеет вид
1/2m e
v
2
д
= |e| ϕ,
(8.15)
где v д
— скорость дрейфа в точке с потенциалом ϕ. Объемная плотность тока в этой точке
|j| = n |e| v д
(8.16)
Все величины в правой части (8.16) являются положительными. Вычислив скорость v д
из
(8.15) и подставив полученное уравнение в (8.16), находим n |e| = |j| [m e
/(2|e|ϕ)]
1/2
(8.17)
С учетом (8.17) уравнение (8.14) преобразуется к виду d
2
ϕ/dx
2
= α
√
ϕ,
(8.18)
71
где α = (|j| /ε
0
)
pm e
/ (2 |e|). Умножая обе части (8.18) на (dϕ/dx) = ˙
ϕ, получаем
¨
ϕ ˙
ϕ = α ˙
ϕ/
√
ϕ
(8.19)
где точками обозначено дифференцирование по . Учитывая, что
¨
ϕ ˙
ϕ =
1 2
d ( ˙
ϕ
2
)
dx
,
˙
ϕ/
√
ϕ = 2
d
√
ϕ
dx
,
(8.20)
запишем (8.19) так:
d
˙
ϕ
2
= 4αd (
√
ϕ)
(8.21)
Теперь можно проинтегрировать обе части (8.21) по x в пределах от 0 до того значения x, при котором потенциал равен ϕ. Тогда
dϕ
dx
2
−
dϕ
dx
2 0
= 4α
√
ϕ,
(8.22)
где учтено, что ϕ (0) = 0. Производная (dϕ/dx)
0
характеризует напряженность электри- ческого поля у катода, α — пропорциональна j. Поэтому объемная плотность тока j до- стигает максимума при (dϕ/dx)
0
= 0 и тогда [см. (8.22)]
dϕ
dx
= 2
√
αϕ
1/4
,
(8.23)
или dϕ
ϕ
1/4
= 2
√
αdx
(8.24)
Интегрируя обе части (8.24) в пределах от = 0, ϕ = 0 до = d, ϕ = U , получаем
U
3/4
=
3 2
d
√
α.
(8.25)
Возводя обе части (8.25) в квадрат и учитывая, что
α = (|j| /ε
0
)
p m
e
/ (2 |e|),
(8.26)
получаем
|j| = βU
3/2
,
(8.27)
где
β =
4ε
0 9d
2
2 |e|
m e
1/2
(8.28)
Расчет аналогичной задачи для коаксиальных цилиндрических электродов, для концен- трических сферических электродов приводит к такому же виду зависимости объемной плотности тока от разности потенциалов в степени три вторых. Впрочем, такую зависи- мость можно было бы ожидать и без расчетов с помощью анализа размерностей. Коэф- фициент β во всех случаях имеет одинаковую размерность, как это следует из уравнения
Пуассона, записанного в различных системах координат.
Рис. 8.5
При отсутствии объемного заряда между катодом и анодом из- менение потенциала происходит по линейному закону (рис. 9.1; пря- мая 1). Объемный заряд изменяет этот ход. Ясно, что вблизи ка- тода объемный заряд уменьшает силы, действующие на электро- ны при отсутствии объемного заряда, а вблизи анода увеличивает.
Поэтому изменение потенциала между электродами с учетом объ- емного заряда характеризуется кривой 2).
72
Вывод формулы (8.27) приведен в предположении, что электро- ны покидают катод с нулевой скоростью. Однако они могут покидать катод с конечной скоростью эмиссии. В этом случае ток будет существовать даже в том случае, если вбли- зи катода имеется небольшое обратное поле. Следовательно, объемная плотность заряда может измениться до таких значений, при которых потенциал вблизи катода уменьшит- ся до отрицательных значений. В результате этого ход потенциала вблизи катода будет характеризоваться пунктирной кривой C.
При достаточно большой разности потенциалов наблюдается отклонение от закона трех вторых. Оно наступает тогда, когда объемная плотность заряда уменьшается настолько, что поддержание нулевого электрического поля у поверхности катода ока- зывается невозможным и, следовательно, будет невыполнимым условие (dϕ/dx)
0
= 0,
при котором был введен закон трех вторых. При дальнейшем увеличении напряженности объемная плотность тока становится независимой от разности потенциалов (ток насыще- ния).
Закон трех вторых здесь рассмотрен в качестве примера нелинейного соотношения между силой тока и напряжением. Он не имеет универсального характера и даже в при- веденном случае справедлив лишь в сравнительно узком интервале напряжений и токов.
Нелинейность вольтамперной характеристики является наиболее важной особенностью многих элементов радио- и электротехнических схем, включая элементы твердотельной электроники.
73
Глава 9
Постоянное магнитное поле в вакууме
9.1
Магнитное поле в вакууме
Магнитные явления обнаружены и изучались издавна. Сначала люди обнаружили есте- ственные магниты, и их взаимодействие между собой и с магнитным полем Земли. Уже несколько столетий магнитный компас применяется для навигации, помогая ориентиро- ваться на местности и, особенно в океанических просторах. Для описания магнитных явлений было введено – по аналогии с электрическим полем – понятие магнитного по- ля. Прорыв в экспериментальном исследовании магнитных полей произошел в XIX веке.
Было установлено, что движущиеся заряды создают магнитное поле, а магнитное поле действует на движущиеся заряды. Начало исследований электромагнитных явлений было положено опытом датского физика Х. Эрстеда (1820).
I
S
S
0
N
N
0
Рис. 9.1
При пропускании по прямолинейному горизонтальному про- воднику постоянного тока I находящаяся под ним магнит- ная стрелка поворачивается вокруг своей вертикальной оси,
стремясь расположиться перпендикулярно проводнику с током
(рис. 9.1). Ось стрелки тем точнее совпадает с этим направлени- ем, чем больше сила тока и чем слабее влияние магнитного поля
Земли. Эрстед обнаружил, что направление поворота северного полюса стрелки под действием электрического тока изменяется на противоположное при изменении направления тока в проводнике. Французский физик
Андре Мари Ампер в опытах в 1820 г. детально изучил взаимодействие двух параллель- ных токов. Ампер догадался, что этот процесс аналогичен отклонению стрелки компаса,
просто в компасе все определяется микротоками в атомном масштабе.
Происхождение магнитного поля Земли предположительно связывают с протеканием токов в жидком металлическом ядре планеты. Токи создают магнитные поля, магнитные поля создают токи, причем в условиях естественной случайной асимметрии движений этот процесс в соответствии с теорией гидромагнитного динамо может оказаться при высоких температурах ядра (порядка нескольких тысяч кельвинов) самоподдерживающимся на достаточно интенсивном уровне.
9.1.1
Сила Лоренца. Поле B
Сила Лоренца.
Опыт показывает, что сила F, действующая на точечный заряд q, за- висит в общем случае не только от положения этого заряда, но и от его скорости v.
Соответственно этому силу F разделяют на две составляющие — электрическую
F
э
(она не зависит от движения заряда) и магнитную
F
м
(она зависит от скорости заряда). В
любой точке пространства направление и модуль магнитной силы зависят от скорости v заряда, причем эта сила всегда перпендикулярна вектору v; кроме того, в любом месте
74
магнитная сила перпендикулярна определенному в данном месте направлению и, наконец,
ее модуль пропорционален той составляющей скорости, которая перпендикулярна этому выделенному направлению.
Все эти свойства магнитной силы можно описать, если ввести понятие магнитного поля. Характеризуя это поле вектором B, определяющим выделенное в каждой точке пространства направление, запишем выражение для магнитной силы в виде
F
м
= q h
v
B
i
(9.1)
Тогда полная электромагнитная сила, действующая на заряд q:
F = q
E + q h
v
B
i
(9.2)
Ее называют силой Лоренца . Последнее выражение является универсальным : оно справедливо как для постоянных, так и для переменных электрических и магнитных полей. Заметим, что v — это скорость заряда относительно интересующей нас системы отсчета. По действию силы Лоренца на заряд можно в принципе определить модули и на- правления векторов E и B. Поэтому выражение для силы Лоренца можно рассматривать как определение электрического и магнитного полей (в случае электрического поля мы так и поступили)
1
. Следует подчеркнуть, что на покоящийся электрический заряд магнитное поле не действует . В этом существенное отличие магнитного поля от электрического. Магнитное поле действует только на движущийся заряд.
Вектор B характеризует силовое действие магнитного поля на движущийся заряд и,
следовательно, является в этом отношении аналогом вектора , характеризующего силовое действие электрического поля.
Важной особенностью магнитной силы является то, что она всегда перпендикулярна вектору скорости заряда, поэтому работы над зарядом не совершает . Это значит, что в постоянном магнитном поле энергия движущейся заряженной частицы всегда остается неизменной, как бы частица ни двигалась.
В нерелятивистском приближении сила Лоренца (9.2), как и любая другая сила, не за- висит от выбора системы отсчета (инерциальной). Вместе с тем магнитная составляющая силы Лоренца меняется при переходе от одной системы отсчета к другой (из-за v). Поэто- му должна меняться и электрическая составляющая qE. Отсюда следует, что разделение полной силы F — силы Лоренца — на электрическую и магнитную зависит от выбора системы отсчета. Без указания системы отсчета такое разделение не имеет смысла.
Магнитное поле равномерно движущегося заряда.
Опыт показывает, что само магнитное поле порождается движущимися зарядами (токами). В результате обобщения экспериментальных данных был получен элементарный закон, определяющий поле B то- чечного заряда q, движущегося с постоянной нерелятивистской скоростью v. Этот закон записывается в виде
2
B =
µ
0 4π
·
q [
v
r]
r
3
,
(9.3)
где µ
0
— магнитная постоянная ; коэффициент – µ
0
/4π = 10
−7
Гн/м; r — радиус- вектор, проведенный от заряда q к точке наблюдения.
Конец радиуса-вектора r неподвижен в данной системе отсчета, а его начало движется со скоростью v (рис. 9.2), поэтому вектор B в данной системе отсчета зависит не только от положения точки наблюдения, но и от времени.
1
Разработан ряд способов измерения поля B, но все они, в конечном счете, базируются на явлениях, в основе которых лежит уравнение (9.2).
2
Формула (9.3) справедлива и в случае, когда заряд движется с ускорением, однако только на доста- точно малых расстояниях r от заряда (малых настолько, что за время r/c скорость v заряда заметно не меняется).
75
Рис. 9.2
В соответствии с формулой (9.3) вектор B направлен перпенди- кулярно плоскости, в которой расположены векторы v и r, причем вращение вокруг вектора v в направлении вектора B образует с направлением v правовинтовую систему (рис. 9.2). Отметим, что вектор B является аксиальным (псевдовектором).
Величину B называют магнитной индукцией . Единицей магнитной индукции служит тесла (Тл).
Электрическое поле точечного заряда q, движущегося с нере- лятивистской скоростью, описывается известным законом
E =
1 4πε
0
q r
2
e r
(9.4)
Поэтому выражение (9.5) можно представить как
B = ε
0
µ
0
[vE] = [vE]/c
2
,
(9.5)
где c — электродинамическая постоянная ( c = 1/
√
ε
0
µ
0
), она равна скорости света в вакууме (совпадение, как потом выяснилось, не случайное).
1
v q
2
v q
Рис. 9.3
Пример.
Сравнение сил магнитного и электрического взаимодействий движущихся зарядов. Пусть два достаточно массивных точечных заряда q движутся параллельно друг другу с одинаковой нерелятивистской скоростью v, как показано на рис. 9.3. Найти отношение магнитной F
м и электрической
F
э сил, действующих, например, со стороны заряда 1 на заряд 2.
Согласно (9.2) F
м
= qvB и F
э
= qE, где v – скорость заряда 2, а B и E
– индукция магнитного и напряженность электрического полей, создаваемых зарядом 1 в месте нахождения заряда 2.
Отношение F
м
/F
э
= vB/E. В нашем случае согласно (9.5) = vE/c
2
, поэтому
F
м
/F
э
= (v/c)
2
(9.6)
Даже для достаточно больших скоростей, например v = 300 км/с, это отношение рав- но 10
−6
, т. е. магнитная часть силы в миллион раз меньше электрической и составляет ничтожную поправку к электрической силе.
Рассмотренный пример может вызвать естественный вопрос — стоит ли такие силы изучать? Оказывается, стоит, и на это есть две веские причины.
Во-первых, нам приходится встречаться с пучками частиц, движущихся почти со световыми скоростями, и там эта "поправка" к электрической силе становится сравнимой с последней (заметим, что отношение (9.6) справедливо и при релятивистских скоростях).
Во-вторых, при движении, например, электронов вдоль проводов их направленная скорость при обычных плотностях составляет несколько десятых миллиметра в секунду,
и отношение (v/c)
2
≈ 10
−24
. Ничтожная поправка к электрической силе!
Но дело в том, что в данном случае магнитная сила — это практически вся действую- щая сила, ибо электрические силы исчезли в результате почти идеального баланса отри- цательных и положительных зарядов в проводах. Этот баланс намного точнее чем 10
−24
,
и "ничтожная" магнитная сила оказывается, по существу, единственной. А участие гро- мадного числа зарядов в создании тока компенсирует малость этого члена.
Другими словами, избыточные заряды на проводах ничтожно малы по сравнению с суммарным зарядом носителей тока. Поэтому магнитные силы в данном случае намного превосходят электрические силы, действующие на избыточные заряды проводов.
76
9.2
Закон Био—Савара
Принцип суперпозиции.
Опыт дает, что для магнитного поля, как и для электриче- ского, справедлив принцип суперпозиции: магнитное поле, создаваемое несколькими дви- жущимися зарядами или токами, равно векторной сумме магнитных полей, создаваемых каждым зарядом или током в отдельности:
B =
X
B
i
(9.7)
Закон Био-Савара. Рассмотрим вопрос о нахождении магнитного поля, создаваемого постоянными электрическими токами. Этот вопрос будем решать, исходя из закона (9.5),
определяющего индукцию поля B равномерно движущегося точечного заряда. Подставим в (9.5) вместо q заряд ρdV , где dV — элементарный объем, ρ = en — объемная плотность заряда, являющегося носителем тока, и учтем, что ρv = j согласно (20.4). Тогда формула
(9.5) приобретет следующий вид:
d
B =
µ
0 4π
h
jr i
dV
r
3
(9.8)
Если же ток I течет по тонкому проводу с площадью поперечного сечения ∆S, то jdV =
j∆Sdl = Idl, где dl — элемент длины провода. Введя вектор dl в направлении тока I,
перепишем предыдущее равенство так:
jdV = Idl.
(9.9)
Векторы jdV и Idl называют соответственно объемным и линейным элементами тока.
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
exp
−
p
2 2mkT
e
dp x
dp y
dp z
=
=
1 4
2πm e
kT
2
3
/2 exp
−
ϕ
kT
(8.8)
Средняя кинетическая энергия электронов hW
k i =
p
2 2m
=
R [p
2
/ (2m e
)] dn p
R dn p
=
3 2
kT
(8.9)
Рис. 8.2
Плотность тока насыщения.
Направим ось Z прямоугольной декартовой системы координат нормально к поверхности металла
(рис. 8.2). Электроны дают вклад в плотность тока насыщения ком- понентой v z
скорости по оси Z. Вклад в плотность тока от одного электрона равен ev z
= ep z
/m e
. Следовательно, плотность тока насыщения определяется формулой j
нас
=
e m
e
Z
p z>0
p z
dn p
=
2e m
e
(2π
)
3
exp
−
ϕ
kT
∞
Z
−∞
exp
−
p
2
x
2m e
kT
dp x
·
·
∞
Z
−∞
exp
−
p
2
y
2m e
kT
dp y
×
∞
Z
0
p z
exp
−
p
2
z
2m e
kT
dp z
=
=
em e
k
2 2π
2
3
T
2
exp
−
ϕ
kT
(8.10)
или j
нас
= AT
2
exp [−ϕ/ (kT )] ,
(8.11)
где постоянная
A =
em e
k
2
(2π
2
3
)
= 1, 2 · 10 6
· м
−2
· K
−2
(8.12)
70
Рис. 8.3
Равенство (8.11) называется формулой Ричардсона — Деш- мана. Для экспериментальной проверки эту формулу удобно пред- ставить в виде ln j нас
/T
2
= ln A − ϕ/kT .
(8.13)
На графике зависимость ln (j нас
/T
2
) от 1/T по формуле (8.13)
выражается прямой линией (рис. 8.3). Эксперимент подтверждает такую зависимость с учетом небольшого изменения ϕ, которое обусловлено уменьшением µ с температурой [см.
(8.2)]. По углу наклона прямой в соответствии с формулой (8.13) определяется работа вы- хода ϕ. По пересечению прямой с осью ординат вычисляется InA. Величина A по формуле
(8.12) должна быть универсальной постоянной, одинаковой для всех металлов. Это заклю- чение не подтверждается экспериментом. Имеется некоторое различие в A для различных металлов. Например, для меди A = 1, 1·10 6
A·м
−2
·K
−2
, для никеля A = 1, 2·10 6
A·м
−2
·K
−2
,
для платины A = 0, 3 · 10 6
A · м
−2
· K
−2
. Это изменение A обусловлено поверхностными эф- фектами. Кроме того, у кристалла плотность тока насыщения несколько различается для разных граней.
Рис. 8.4
Закон трех вторых.
Рассмотрим зависимость силы тока, проте- кающего в вакууме между электродами, от приложенной разности потенциалов. Электроды будем считать плоскими, а ось X напра- вим нормально поверхности электродов (рис. 8.4). Потенциал ка- тода примем за нуль (ϕ
k
= 0), а потенциал анода обозначим U .
Главным физическим фактором, влияющим на движение элек- тронов между катодом и анодом, является объемный заряд: силы взаимодействия с ним затрудняют движение электронов от катода к аноду под действием приложенной разности потенциалов.
Допустим, что площади пластин катода и анода достаточно велики и при расчете плот- ности тока вблизи линии, соединяющей центры электродов, можно пренебречь изменением величин в направлениях, перпендикулярных этой линии, т. е. рассматривать одномерную задачу, когда все величины зависят только от координаты . Уравнение Пуассона для по- тенциала имеет вид d
2
ϕ
dx
2
= −
ρ
e
ε
0
=
n |e|
ε
0
(8.14)
где n — концентрация электронов. Закон сохранения энергии для дрейфа электронов имеет вид
1/2m e
v
2
д
= |e| ϕ,
(8.15)
где v д
— скорость дрейфа в точке с потенциалом ϕ. Объемная плотность тока в этой точке
|j| = n |e| v д
(8.16)
Все величины в правой части (8.16) являются положительными. Вычислив скорость v д
из
(8.15) и подставив полученное уравнение в (8.16), находим n |e| = |j| [m e
/(2|e|ϕ)]
1/2
(8.17)
С учетом (8.17) уравнение (8.14) преобразуется к виду d
2
ϕ/dx
2
= α
√
ϕ,
(8.18)
71
где α = (|j| /ε
0
)
pm e
/ (2 |e|). Умножая обе части (8.18) на (dϕ/dx) = ˙
ϕ, получаем
¨
ϕ ˙
ϕ = α ˙
ϕ/
√
ϕ
(8.19)
где точками обозначено дифференцирование по . Учитывая, что
¨
ϕ ˙
ϕ =
1 2
d ( ˙
ϕ
2
)
dx
,
˙
ϕ/
√
ϕ = 2
d
√
ϕ
dx
,
(8.20)
запишем (8.19) так:
d
˙
ϕ
2
= 4αd (
√
ϕ)
(8.21)
Теперь можно проинтегрировать обе части (8.21) по x в пределах от 0 до того значения x, при котором потенциал равен ϕ. Тогда
dϕ
dx
2
−
dϕ
dx
2 0
= 4α
√
ϕ,
(8.22)
где учтено, что ϕ (0) = 0. Производная (dϕ/dx)
0
характеризует напряженность электри- ческого поля у катода, α — пропорциональна j. Поэтому объемная плотность тока j до- стигает максимума при (dϕ/dx)
0
= 0 и тогда [см. (8.22)]
dϕ
dx
= 2
√
αϕ
1/4
,
(8.23)
или dϕ
ϕ
1/4
= 2
√
αdx
(8.24)
Интегрируя обе части (8.24) в пределах от = 0, ϕ = 0 до = d, ϕ = U , получаем
U
3/4
=
3 2
d
√
α.
(8.25)
Возводя обе части (8.25) в квадрат и учитывая, что
α = (|j| /ε
0
)
p m
e
/ (2 |e|),
(8.26)
получаем
|j| = βU
3/2
,
(8.27)
где
β =
4ε
0 9d
2
2 |e|
m e
1/2
(8.28)
Расчет аналогичной задачи для коаксиальных цилиндрических электродов, для концен- трических сферических электродов приводит к такому же виду зависимости объемной плотности тока от разности потенциалов в степени три вторых. Впрочем, такую зависи- мость можно было бы ожидать и без расчетов с помощью анализа размерностей. Коэф- фициент β во всех случаях имеет одинаковую размерность, как это следует из уравнения
Пуассона, записанного в различных системах координат.
Рис. 8.5
При отсутствии объемного заряда между катодом и анодом из- менение потенциала происходит по линейному закону (рис. 9.1; пря- мая 1). Объемный заряд изменяет этот ход. Ясно, что вблизи ка- тода объемный заряд уменьшает силы, действующие на электро- ны при отсутствии объемного заряда, а вблизи анода увеличивает.
Поэтому изменение потенциала между электродами с учетом объ- емного заряда характеризуется кривой 2).
72
Вывод формулы (8.27) приведен в предположении, что электро- ны покидают катод с нулевой скоростью. Однако они могут покидать катод с конечной скоростью эмиссии. В этом случае ток будет существовать даже в том случае, если вбли- зи катода имеется небольшое обратное поле. Следовательно, объемная плотность заряда может измениться до таких значений, при которых потенциал вблизи катода уменьшит- ся до отрицательных значений. В результате этого ход потенциала вблизи катода будет характеризоваться пунктирной кривой C.
При достаточно большой разности потенциалов наблюдается отклонение от закона трех вторых. Оно наступает тогда, когда объемная плотность заряда уменьшается настолько, что поддержание нулевого электрического поля у поверхности катода ока- зывается невозможным и, следовательно, будет невыполнимым условие (dϕ/dx)
0
= 0,
при котором был введен закон трех вторых. При дальнейшем увеличении напряженности объемная плотность тока становится независимой от разности потенциалов (ток насыще- ния).
Закон трех вторых здесь рассмотрен в качестве примера нелинейного соотношения между силой тока и напряжением. Он не имеет универсального характера и даже в при- веденном случае справедлив лишь в сравнительно узком интервале напряжений и токов.
Нелинейность вольтамперной характеристики является наиболее важной особенностью многих элементов радио- и электротехнических схем, включая элементы твердотельной электроники.
73
Глава 9
Постоянное магнитное поле в вакууме
9.1
Магнитное поле в вакууме
Магнитные явления обнаружены и изучались издавна. Сначала люди обнаружили есте- ственные магниты, и их взаимодействие между собой и с магнитным полем Земли. Уже несколько столетий магнитный компас применяется для навигации, помогая ориентиро- ваться на местности и, особенно в океанических просторах. Для описания магнитных явлений было введено – по аналогии с электрическим полем – понятие магнитного по- ля. Прорыв в экспериментальном исследовании магнитных полей произошел в XIX веке.
Было установлено, что движущиеся заряды создают магнитное поле, а магнитное поле действует на движущиеся заряды. Начало исследований электромагнитных явлений было положено опытом датского физика Х. Эрстеда (1820).
I
S
S
0
N
N
0
Рис. 9.1
При пропускании по прямолинейному горизонтальному про- воднику постоянного тока I находящаяся под ним магнит- ная стрелка поворачивается вокруг своей вертикальной оси,
стремясь расположиться перпендикулярно проводнику с током
(рис. 9.1). Ось стрелки тем точнее совпадает с этим направлени- ем, чем больше сила тока и чем слабее влияние магнитного поля
Земли. Эрстед обнаружил, что направление поворота северного полюса стрелки под действием электрического тока изменяется на противоположное при изменении направления тока в проводнике. Французский физик
Андре Мари Ампер в опытах в 1820 г. детально изучил взаимодействие двух параллель- ных токов. Ампер догадался, что этот процесс аналогичен отклонению стрелки компаса,
просто в компасе все определяется микротоками в атомном масштабе.
Происхождение магнитного поля Земли предположительно связывают с протеканием токов в жидком металлическом ядре планеты. Токи создают магнитные поля, магнитные поля создают токи, причем в условиях естественной случайной асимметрии движений этот процесс в соответствии с теорией гидромагнитного динамо может оказаться при высоких температурах ядра (порядка нескольких тысяч кельвинов) самоподдерживающимся на достаточно интенсивном уровне.
9.1.1
Сила Лоренца. Поле B
Сила Лоренца.
Опыт показывает, что сила F, действующая на точечный заряд q, за- висит в общем случае не только от положения этого заряда, но и от его скорости v.
Соответственно этому силу F разделяют на две составляющие — электрическую
F
э
(она не зависит от движения заряда) и магнитную
F
м
(она зависит от скорости заряда). В
любой точке пространства направление и модуль магнитной силы зависят от скорости v заряда, причем эта сила всегда перпендикулярна вектору v; кроме того, в любом месте
74
магнитная сила перпендикулярна определенному в данном месте направлению и, наконец,
ее модуль пропорционален той составляющей скорости, которая перпендикулярна этому выделенному направлению.
Все эти свойства магнитной силы можно описать, если ввести понятие магнитного поля. Характеризуя это поле вектором B, определяющим выделенное в каждой точке пространства направление, запишем выражение для магнитной силы в виде
F
м
= q h
v
B
i
(9.1)
Тогда полная электромагнитная сила, действующая на заряд q:
F = q
E + q h
v
B
i
(9.2)
Ее называют силой Лоренца . Последнее выражение является универсальным : оно справедливо как для постоянных, так и для переменных электрических и магнитных полей. Заметим, что v — это скорость заряда относительно интересующей нас системы отсчета. По действию силы Лоренца на заряд можно в принципе определить модули и на- правления векторов E и B. Поэтому выражение для силы Лоренца можно рассматривать как определение электрического и магнитного полей (в случае электрического поля мы так и поступили)
1
. Следует подчеркнуть, что на покоящийся электрический заряд магнитное поле не действует . В этом существенное отличие магнитного поля от электрического. Магнитное поле действует только на движущийся заряд.
Вектор B характеризует силовое действие магнитного поля на движущийся заряд и,
следовательно, является в этом отношении аналогом вектора , характеризующего силовое действие электрического поля.
Важной особенностью магнитной силы является то, что она всегда перпендикулярна вектору скорости заряда, поэтому работы над зарядом не совершает . Это значит, что в постоянном магнитном поле энергия движущейся заряженной частицы всегда остается неизменной, как бы частица ни двигалась.
В нерелятивистском приближении сила Лоренца (9.2), как и любая другая сила, не за- висит от выбора системы отсчета (инерциальной). Вместе с тем магнитная составляющая силы Лоренца меняется при переходе от одной системы отсчета к другой (из-за v). Поэто- му должна меняться и электрическая составляющая qE. Отсюда следует, что разделение полной силы F — силы Лоренца — на электрическую и магнитную зависит от выбора системы отсчета. Без указания системы отсчета такое разделение не имеет смысла.
Магнитное поле равномерно движущегося заряда.
Опыт показывает, что само магнитное поле порождается движущимися зарядами (токами). В результате обобщения экспериментальных данных был получен элементарный закон, определяющий поле B то- чечного заряда q, движущегося с постоянной нерелятивистской скоростью v. Этот закон записывается в виде
2
B =
µ
0 4π
·
q [
v
r]
r
3
,
(9.3)
где µ
0
— магнитная постоянная ; коэффициент – µ
0
/4π = 10
−7
Гн/м; r — радиус- вектор, проведенный от заряда q к точке наблюдения.
Конец радиуса-вектора r неподвижен в данной системе отсчета, а его начало движется со скоростью v (рис. 9.2), поэтому вектор B в данной системе отсчета зависит не только от положения точки наблюдения, но и от времени.
1
Разработан ряд способов измерения поля B, но все они, в конечном счете, базируются на явлениях, в основе которых лежит уравнение (9.2).
2
Формула (9.3) справедлива и в случае, когда заряд движется с ускорением, однако только на доста- точно малых расстояниях r от заряда (малых настолько, что за время r/c скорость v заряда заметно не меняется).
75
Рис. 9.2
В соответствии с формулой (9.3) вектор B направлен перпенди- кулярно плоскости, в которой расположены векторы v и r, причем вращение вокруг вектора v в направлении вектора B образует с направлением v правовинтовую систему (рис. 9.2). Отметим, что вектор B является аксиальным (псевдовектором).
Величину B называют магнитной индукцией . Единицей магнитной индукции служит тесла (Тл).
Электрическое поле точечного заряда q, движущегося с нере- лятивистской скоростью, описывается известным законом
E =
1 4πε
0
q r
2
e r
(9.4)
Поэтому выражение (9.5) можно представить как
B = ε
0
µ
0
[vE] = [vE]/c
2
,
(9.5)
где c — электродинамическая постоянная ( c = 1/
√
ε
0
µ
0
), она равна скорости света в вакууме (совпадение, как потом выяснилось, не случайное).
1
v q
2
v q
Рис. 9.3
Пример.
Сравнение сил магнитного и электрического взаимодействий движущихся зарядов. Пусть два достаточно массивных точечных заряда q движутся параллельно друг другу с одинаковой нерелятивистской скоростью v, как показано на рис. 9.3. Найти отношение магнитной F
м и электрической
F
э сил, действующих, например, со стороны заряда 1 на заряд 2.
Согласно (9.2) F
м
= qvB и F
э
= qE, где v – скорость заряда 2, а B и E
– индукция магнитного и напряженность электрического полей, создаваемых зарядом 1 в месте нахождения заряда 2.
Отношение F
м
/F
э
= vB/E. В нашем случае согласно (9.5) = vE/c
2
, поэтому
F
м
/F
э
= (v/c)
2
(9.6)
Даже для достаточно больших скоростей, например v = 300 км/с, это отношение рав- но 10
−6
, т. е. магнитная часть силы в миллион раз меньше электрической и составляет ничтожную поправку к электрической силе.
Рассмотренный пример может вызвать естественный вопрос — стоит ли такие силы изучать? Оказывается, стоит, и на это есть две веские причины.
Во-первых, нам приходится встречаться с пучками частиц, движущихся почти со световыми скоростями, и там эта "поправка" к электрической силе становится сравнимой с последней (заметим, что отношение (9.6) справедливо и при релятивистских скоростях).
Во-вторых, при движении, например, электронов вдоль проводов их направленная скорость при обычных плотностях составляет несколько десятых миллиметра в секунду,
и отношение (v/c)
2
≈ 10
−24
. Ничтожная поправка к электрической силе!
Но дело в том, что в данном случае магнитная сила — это практически вся действую- щая сила, ибо электрические силы исчезли в результате почти идеального баланса отри- цательных и положительных зарядов в проводах. Этот баланс намного точнее чем 10
−24
,
и "ничтожная" магнитная сила оказывается, по существу, единственной. А участие гро- мадного числа зарядов в создании тока компенсирует малость этого члена.
Другими словами, избыточные заряды на проводах ничтожно малы по сравнению с суммарным зарядом носителей тока. Поэтому магнитные силы в данном случае намного превосходят электрические силы, действующие на избыточные заряды проводов.
76
9.2
Закон Био—Савара
Принцип суперпозиции.
Опыт дает, что для магнитного поля, как и для электриче- ского, справедлив принцип суперпозиции: магнитное поле, создаваемое несколькими дви- жущимися зарядами или токами, равно векторной сумме магнитных полей, создаваемых каждым зарядом или током в отдельности:
B =
X
B
i
(9.7)
Закон Био-Савара. Рассмотрим вопрос о нахождении магнитного поля, создаваемого постоянными электрическими токами. Этот вопрос будем решать, исходя из закона (9.5),
определяющего индукцию поля B равномерно движущегося точечного заряда. Подставим в (9.5) вместо q заряд ρdV , где dV — элементарный объем, ρ = en — объемная плотность заряда, являющегося носителем тока, и учтем, что ρv = j согласно (20.4). Тогда формула
(9.5) приобретет следующий вид:
d
B =
µ
0 4π
h
jr i
dV
r
3
(9.8)
Если же ток I течет по тонкому проводу с площадью поперечного сечения ∆S, то jdV =
j∆Sdl = Idl, где dl — элемент длины провода. Введя вектор dl в направлении тока I,
перепишем предыдущее равенство так:
jdV = Idl.
(9.9)
Векторы jdV и Idl называют соответственно объемным и линейным элементами тока.
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
exp
−
p
2 2mkT
e
dp x
dp y
dp z
=
=
1 4
2πm e
kT
2
3
/2 exp
−
ϕ
kT
(8.8)
Средняя кинетическая энергия электронов hW
k i =
p
2 2m
=
R [p
2
/ (2m e
)] dn p
R dn p
=
3 2
kT
(8.9)
Рис. 8.2
Плотность тока насыщения.
Направим ось Z прямоугольной декартовой системы координат нормально к поверхности металла
(рис. 8.2). Электроны дают вклад в плотность тока насыщения ком- понентой v z
скорости по оси Z. Вклад в плотность тока от одного электрона равен ev z
= ep z
/m e
. Следовательно, плотность тока насыщения определяется формулой j
нас
=
e m
e
Z
p z>0
p z
dn p
=
2e m
e
(2π
)
3
exp
−
ϕ
kT
∞
Z
−∞
exp
−
p
2
x
2m e
kT
dp x
·
·
∞
Z
−∞
exp
−
p
2
y
2m e
kT
dp y
×
∞
Z
0
p z
exp
−
p
2
z
2m e
kT
dp z
=
=
em e
k
2 2π
2
3
T
2
exp
−
ϕ
kT
(8.10)
или j
нас
= AT
2
exp [−ϕ/ (kT )] ,
(8.11)
где постоянная
A =
em e
k
2
(2π
2
3
)
= 1, 2 · 10 6
· м
−2
· K
−2
(8.12)
70
Рис. 8.3
Равенство (8.11) называется формулой Ричардсона — Деш- мана. Для экспериментальной проверки эту формулу удобно пред- ставить в виде ln j нас
/T
2
= ln A − ϕ/kT .
(8.13)
На графике зависимость ln (j нас
/T
2
) от 1/T по формуле (8.13)
выражается прямой линией (рис. 8.3). Эксперимент подтверждает такую зависимость с учетом небольшого изменения ϕ, которое обусловлено уменьшением µ с температурой [см.
(8.2)]. По углу наклона прямой в соответствии с формулой (8.13) определяется работа вы- хода ϕ. По пересечению прямой с осью ординат вычисляется InA. Величина A по формуле
(8.12) должна быть универсальной постоянной, одинаковой для всех металлов. Это заклю- чение не подтверждается экспериментом. Имеется некоторое различие в A для различных металлов. Например, для меди A = 1, 1·10 6
A·м
−2
·K
−2
, для никеля A = 1, 2·10 6
A·м
−2
·K
−2
,
для платины A = 0, 3 · 10 6
A · м
−2
· K
−2
. Это изменение A обусловлено поверхностными эф- фектами. Кроме того, у кристалла плотность тока насыщения несколько различается для разных граней.
Рис. 8.4
Закон трех вторых.
Рассмотрим зависимость силы тока, проте- кающего в вакууме между электродами, от приложенной разности потенциалов. Электроды будем считать плоскими, а ось X напра- вим нормально поверхности электродов (рис. 8.4). Потенциал ка- тода примем за нуль (ϕ
k
= 0), а потенциал анода обозначим U .
Главным физическим фактором, влияющим на движение элек- тронов между катодом и анодом, является объемный заряд: силы взаимодействия с ним затрудняют движение электронов от катода к аноду под действием приложенной разности потенциалов.
Допустим, что площади пластин катода и анода достаточно велики и при расчете плот- ности тока вблизи линии, соединяющей центры электродов, можно пренебречь изменением величин в направлениях, перпендикулярных этой линии, т. е. рассматривать одномерную задачу, когда все величины зависят только от координаты . Уравнение Пуассона для по- тенциала имеет вид d
2
ϕ
dx
2
= −
ρ
e
ε
0
=
n |e|
ε
0
(8.14)
где n — концентрация электронов. Закон сохранения энергии для дрейфа электронов имеет вид
1/2m e
v
2
д
= |e| ϕ,
(8.15)
где v д
— скорость дрейфа в точке с потенциалом ϕ. Объемная плотность тока в этой точке
|j| = n |e| v д
(8.16)
Все величины в правой части (8.16) являются положительными. Вычислив скорость v д
из
(8.15) и подставив полученное уравнение в (8.16), находим n |e| = |j| [m e
/(2|e|ϕ)]
1/2
(8.17)
С учетом (8.17) уравнение (8.14) преобразуется к виду d
2
ϕ/dx
2
= α
√
ϕ,
(8.18)
71
где α = (|j| /ε
0
)
pm e
/ (2 |e|). Умножая обе части (8.18) на (dϕ/dx) = ˙
ϕ, получаем
¨
ϕ ˙
ϕ = α ˙
ϕ/
√
ϕ
(8.19)
где точками обозначено дифференцирование по . Учитывая, что
¨
ϕ ˙
ϕ =
1 2
d ( ˙
ϕ
2
)
dx
,
˙
ϕ/
√
ϕ = 2
d
√
ϕ
dx
,
(8.20)
запишем (8.19) так:
d
˙
ϕ
2
= 4αd (
√
ϕ)
(8.21)
Теперь можно проинтегрировать обе части (8.21) по x в пределах от 0 до того значения x, при котором потенциал равен ϕ. Тогда
dϕ
dx
2
−
dϕ
dx
2 0
= 4α
√
ϕ,
(8.22)
где учтено, что ϕ (0) = 0. Производная (dϕ/dx)
0
характеризует напряженность электри- ческого поля у катода, α — пропорциональна j. Поэтому объемная плотность тока j до- стигает максимума при (dϕ/dx)
0
= 0 и тогда [см. (8.22)]
dϕ
dx
= 2
√
αϕ
1/4
,
(8.23)
или dϕ
ϕ
1/4
= 2
√
αdx
(8.24)
Интегрируя обе части (8.24) в пределах от = 0, ϕ = 0 до = d, ϕ = U , получаем
U
3/4
=
3 2
d
√
α.
(8.25)
Возводя обе части (8.25) в квадрат и учитывая, что
α = (|j| /ε
0
)
p m
e
/ (2 |e|),
(8.26)
получаем
|j| = βU
3/2
,
(8.27)
где
β =
4ε
0 9d
2
2 |e|
m e
1/2
(8.28)
Расчет аналогичной задачи для коаксиальных цилиндрических электродов, для концен- трических сферических электродов приводит к такому же виду зависимости объемной плотности тока от разности потенциалов в степени три вторых. Впрочем, такую зависи- мость можно было бы ожидать и без расчетов с помощью анализа размерностей. Коэф- фициент β во всех случаях имеет одинаковую размерность, как это следует из уравнения
Пуассона, записанного в различных системах координат.
Рис. 8.5
При отсутствии объемного заряда между катодом и анодом из- менение потенциала происходит по линейному закону (рис. 9.1; пря- мая 1). Объемный заряд изменяет этот ход. Ясно, что вблизи ка- тода объемный заряд уменьшает силы, действующие на электро- ны при отсутствии объемного заряда, а вблизи анода увеличивает.
Поэтому изменение потенциала между электродами с учетом объ- емного заряда характеризуется кривой 2).
72
Вывод формулы (8.27) приведен в предположении, что электро- ны покидают катод с нулевой скоростью. Однако они могут покидать катод с конечной скоростью эмиссии. В этом случае ток будет существовать даже в том случае, если вбли- зи катода имеется небольшое обратное поле. Следовательно, объемная плотность заряда может измениться до таких значений, при которых потенциал вблизи катода уменьшит- ся до отрицательных значений. В результате этого ход потенциала вблизи катода будет характеризоваться пунктирной кривой C.
При достаточно большой разности потенциалов наблюдается отклонение от закона трех вторых. Оно наступает тогда, когда объемная плотность заряда уменьшается настолько, что поддержание нулевого электрического поля у поверхности катода ока- зывается невозможным и, следовательно, будет невыполнимым условие (dϕ/dx)
0
= 0,
при котором был введен закон трех вторых. При дальнейшем увеличении напряженности объемная плотность тока становится независимой от разности потенциалов (ток насыще- ния).
Закон трех вторых здесь рассмотрен в качестве примера нелинейного соотношения между силой тока и напряжением. Он не имеет универсального характера и даже в при- веденном случае справедлив лишь в сравнительно узком интервале напряжений и токов.
Нелинейность вольтамперной характеристики является наиболее важной особенностью многих элементов радио- и электротехнических схем, включая элементы твердотельной электроники.
73
Глава 9
Постоянное магнитное поле в вакууме
9.1
Магнитное поле в вакууме
Магнитные явления обнаружены и изучались издавна. Сначала люди обнаружили есте- ственные магниты, и их взаимодействие между собой и с магнитным полем Земли. Уже несколько столетий магнитный компас применяется для навигации, помогая ориентиро- ваться на местности и, особенно в океанических просторах. Для описания магнитных явлений было введено – по аналогии с электрическим полем – понятие магнитного по- ля. Прорыв в экспериментальном исследовании магнитных полей произошел в XIX веке.
Было установлено, что движущиеся заряды создают магнитное поле, а магнитное поле действует на движущиеся заряды. Начало исследований электромагнитных явлений было положено опытом датского физика Х. Эрстеда (1820).
I
S
S
0
N
N
0
Рис. 9.1
При пропускании по прямолинейному горизонтальному про- воднику постоянного тока I находящаяся под ним магнит- ная стрелка поворачивается вокруг своей вертикальной оси,
стремясь расположиться перпендикулярно проводнику с током
(рис. 9.1). Ось стрелки тем точнее совпадает с этим направлени- ем, чем больше сила тока и чем слабее влияние магнитного поля
Земли. Эрстед обнаружил, что направление поворота северного полюса стрелки под действием электрического тока изменяется на противоположное при изменении направления тока в проводнике. Французский физик
Андре Мари Ампер в опытах в 1820 г. детально изучил взаимодействие двух параллель- ных токов. Ампер догадался, что этот процесс аналогичен отклонению стрелки компаса,
просто в компасе все определяется микротоками в атомном масштабе.
Происхождение магнитного поля Земли предположительно связывают с протеканием токов в жидком металлическом ядре планеты. Токи создают магнитные поля, магнитные поля создают токи, причем в условиях естественной случайной асимметрии движений этот процесс в соответствии с теорией гидромагнитного динамо может оказаться при высоких температурах ядра (порядка нескольких тысяч кельвинов) самоподдерживающимся на достаточно интенсивном уровне.
9.1.1
Сила Лоренца. Поле B
Сила Лоренца.
Опыт показывает, что сила F, действующая на точечный заряд q, за- висит в общем случае не только от положения этого заряда, но и от его скорости v.
Соответственно этому силу F разделяют на две составляющие — электрическую
F
э
(она не зависит от движения заряда) и магнитную
F
м
(она зависит от скорости заряда). В
любой точке пространства направление и модуль магнитной силы зависят от скорости v заряда, причем эта сила всегда перпендикулярна вектору v; кроме того, в любом месте
74
магнитная сила перпендикулярна определенному в данном месте направлению и, наконец,
ее модуль пропорционален той составляющей скорости, которая перпендикулярна этому выделенному направлению.
Все эти свойства магнитной силы можно описать, если ввести понятие магнитного поля. Характеризуя это поле вектором B, определяющим выделенное в каждой точке пространства направление, запишем выражение для магнитной силы в виде
F
м
= q h
v
B
i
(9.1)
Тогда полная электромагнитная сила, действующая на заряд q:
F = q
E + q h
v
B
i
(9.2)
Ее называют силой Лоренца . Последнее выражение является универсальным : оно справедливо как для постоянных, так и для переменных электрических и магнитных полей. Заметим, что v — это скорость заряда относительно интересующей нас системы отсчета. По действию силы Лоренца на заряд можно в принципе определить модули и на- правления векторов E и B. Поэтому выражение для силы Лоренца можно рассматривать как определение электрического и магнитного полей (в случае электрического поля мы так и поступили)
1
. Следует подчеркнуть, что на покоящийся электрический заряд магнитное поле не действует . В этом существенное отличие магнитного поля от электрического. Магнитное поле действует только на движущийся заряд.
Вектор B характеризует силовое действие магнитного поля на движущийся заряд и,
следовательно, является в этом отношении аналогом вектора , характеризующего силовое действие электрического поля.
Важной особенностью магнитной силы является то, что она всегда перпендикулярна вектору скорости заряда, поэтому работы над зарядом не совершает . Это значит, что в постоянном магнитном поле энергия движущейся заряженной частицы всегда остается неизменной, как бы частица ни двигалась.
В нерелятивистском приближении сила Лоренца (9.2), как и любая другая сила, не за- висит от выбора системы отсчета (инерциальной). Вместе с тем магнитная составляющая силы Лоренца меняется при переходе от одной системы отсчета к другой (из-за v). Поэто- му должна меняться и электрическая составляющая qE. Отсюда следует, что разделение полной силы F — силы Лоренца — на электрическую и магнитную зависит от выбора системы отсчета. Без указания системы отсчета такое разделение не имеет смысла.
Магнитное поле равномерно движущегося заряда.
Опыт показывает, что само магнитное поле порождается движущимися зарядами (токами). В результате обобщения экспериментальных данных был получен элементарный закон, определяющий поле B то- чечного заряда q, движущегося с постоянной нерелятивистской скоростью v. Этот закон записывается в виде
2
B =
µ
0 4π
·
q [
v
r]
r
3
,
(9.3)
где µ
0
— магнитная постоянная ; коэффициент – µ
0
/4π = 10
−7
Гн/м; r — радиус- вектор, проведенный от заряда q к точке наблюдения.
Конец радиуса-вектора r неподвижен в данной системе отсчета, а его начало движется со скоростью v (рис. 9.2), поэтому вектор B в данной системе отсчета зависит не только от положения точки наблюдения, но и от времени.
1
Разработан ряд способов измерения поля B, но все они, в конечном счете, базируются на явлениях, в основе которых лежит уравнение (9.2).
2
Формула (9.3) справедлива и в случае, когда заряд движется с ускорением, однако только на доста- точно малых расстояниях r от заряда (малых настолько, что за время r/c скорость v заряда заметно не меняется).
75
Рис. 9.2
В соответствии с формулой (9.3) вектор B направлен перпенди- кулярно плоскости, в которой расположены векторы v и r, причем вращение вокруг вектора v в направлении вектора B образует с направлением v правовинтовую систему (рис. 9.2). Отметим, что вектор B является аксиальным (псевдовектором).
Величину B называют магнитной индукцией . Единицей магнитной индукции служит тесла (Тл).
Электрическое поле точечного заряда q, движущегося с нере- лятивистской скоростью, описывается известным законом
E =
1 4πε
0
q r
2
e r
(9.4)
Поэтому выражение (9.5) можно представить как
B = ε
0
µ
0
[vE] = [vE]/c
2
,
(9.5)
где c — электродинамическая постоянная ( c = 1/
√
ε
0
µ
0
), она равна скорости света в вакууме (совпадение, как потом выяснилось, не случайное).
1
v q
2
v q
Рис. 9.3
Пример.
Сравнение сил магнитного и электрического взаимодействий движущихся зарядов. Пусть два достаточно массивных точечных заряда q движутся параллельно друг другу с одинаковой нерелятивистской скоростью v, как показано на рис. 9.3. Найти отношение магнитной F
м и электрической
F
э сил, действующих, например, со стороны заряда 1 на заряд 2.
Согласно (9.2) F
м
= qvB и F
э
= qE, где v – скорость заряда 2, а B и E
– индукция магнитного и напряженность электрического полей, создаваемых зарядом 1 в месте нахождения заряда 2.
Отношение F
м
/F
э
= vB/E. В нашем случае согласно (9.5) = vE/c
2
, поэтому
F
м
/F
э
= (v/c)
2
(9.6)
Даже для достаточно больших скоростей, например v = 300 км/с, это отношение рав- но 10
−6
, т. е. магнитная часть силы в миллион раз меньше электрической и составляет ничтожную поправку к электрической силе.
Рассмотренный пример может вызвать естественный вопрос — стоит ли такие силы изучать? Оказывается, стоит, и на это есть две веские причины.
Во-первых, нам приходится встречаться с пучками частиц, движущихся почти со световыми скоростями, и там эта "поправка" к электрической силе становится сравнимой с последней (заметим, что отношение (9.6) справедливо и при релятивистских скоростях).
Во-вторых, при движении, например, электронов вдоль проводов их направленная скорость при обычных плотностях составляет несколько десятых миллиметра в секунду,
и отношение (v/c)
2
≈ 10
−24
. Ничтожная поправка к электрической силе!
Но дело в том, что в данном случае магнитная сила — это практически вся действую- щая сила, ибо электрические силы исчезли в результате почти идеального баланса отри- цательных и положительных зарядов в проводах. Этот баланс намного точнее чем 10
−24
,
и "ничтожная" магнитная сила оказывается, по существу, единственной. А участие гро- мадного числа зарядов в создании тока компенсирует малость этого члена.
Другими словами, избыточные заряды на проводах ничтожно малы по сравнению с суммарным зарядом носителей тока. Поэтому магнитные силы в данном случае намного превосходят электрические силы, действующие на избыточные заряды проводов.
76
9.2
Закон Био—Савара
Принцип суперпозиции.
Опыт дает, что для магнитного поля, как и для электриче- ского, справедлив принцип суперпозиции: магнитное поле, создаваемое несколькими дви- жущимися зарядами или токами, равно векторной сумме магнитных полей, создаваемых каждым зарядом или током в отдельности:
B =
X
B
i
(9.7)
Закон Био-Савара. Рассмотрим вопрос о нахождении магнитного поля, создаваемого постоянными электрическими токами. Этот вопрос будем решать, исходя из закона (9.5),
определяющего индукцию поля B равномерно движущегося точечного заряда. Подставим в (9.5) вместо q заряд ρdV , где dV — элементарный объем, ρ = en — объемная плотность заряда, являющегося носителем тока, и учтем, что ρv = j согласно (20.4). Тогда формула
(9.5) приобретет следующий вид:
d
B =
µ
0 4π
h
jr i
dV
r
3
(9.8)
Если же ток I течет по тонкому проводу с площадью поперечного сечения ∆S, то jdV =
j∆Sdl = Idl, где dl — элемент длины провода. Введя вектор dl в направлении тока I,
перепишем предыдущее равенство так:
jdV = Idl.
(9.9)
Векторы jdV и Idl называют соответственно объемным и линейным элементами тока.
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
exp
−
p
2 2mkT
e
dp x
dp y
dp z
=
=
1 4
2πm e
kT
2
3
/2 exp
−
ϕ
kT
(8.8)
Средняя кинетическая энергия электронов hW
k i =
p
2 2m
=
R [p
2
/ (2m e
)] dn p
R dn p
=
3 2
kT
(8.9)
Рис. 8.2
Плотность тока насыщения.
Направим ось Z прямоугольной декартовой системы координат нормально к поверхности металла
(рис. 8.2). Электроны дают вклад в плотность тока насыщения ком- понентой v z
скорости по оси Z. Вклад в плотность тока от одного электрона равен ev z
= ep z
/m e
. Следовательно, плотность тока насыщения определяется формулой j
нас
=
e m
e
Z
p z>0
p z
dn p
=
2e m
e
(2π
)
3
exp
−
ϕ
kT
∞
Z
−∞
exp
−
p
2
x
2m e
kT
dp x
·
·
∞
Z
−∞
exp
−
p
2
y
2m e
kT
dp y
×
∞
Z
0
p z
exp
−
p
2
z
2m e
kT
dp z
=
=
em e
k
2 2π
2
3
T
2
exp
−
ϕ
kT
(8.10)
или j
нас
= AT
2
exp [−ϕ/ (kT )] ,
(8.11)
где постоянная
A =
em e
k
2
(2π
2
3
)
= 1, 2 · 10 6
· м
−2
· K
−2
(8.12)
70
Рис. 8.3
Равенство (8.11) называется формулой Ричардсона — Деш- мана. Для экспериментальной проверки эту формулу удобно пред- ставить в виде ln j нас
/T
2
= ln A − ϕ/kT .
(8.13)
На графике зависимость ln (j нас
/T
2
) от 1/T по формуле (8.13)
выражается прямой линией (рис. 8.3). Эксперимент подтверждает такую зависимость с учетом небольшого изменения ϕ, которое обусловлено уменьшением µ с температурой [см.
(8.2)]. По углу наклона прямой в соответствии с формулой (8.13) определяется работа вы- хода ϕ. По пересечению прямой с осью ординат вычисляется InA. Величина A по формуле
(8.12) должна быть универсальной постоянной, одинаковой для всех металлов. Это заклю- чение не подтверждается экспериментом. Имеется некоторое различие в A для различных металлов. Например, для меди A = 1, 1·10 6
A·м
−2
·K
−2
, для никеля A = 1, 2·10 6
A·м
−2
·K
−2
,
для платины A = 0, 3 · 10 6
A · м
−2
· K
−2
. Это изменение A обусловлено поверхностными эф- фектами. Кроме того, у кристалла плотность тока насыщения несколько различается для разных граней.
Рис. 8.4
Закон трех вторых.
Рассмотрим зависимость силы тока, проте- кающего в вакууме между электродами, от приложенной разности потенциалов. Электроды будем считать плоскими, а ось X напра- вим нормально поверхности электродов (рис. 8.4). Потенциал ка- тода примем за нуль (ϕ
k
= 0), а потенциал анода обозначим U .
Главным физическим фактором, влияющим на движение элек- тронов между катодом и анодом, является объемный заряд: силы взаимодействия с ним затрудняют движение электронов от катода к аноду под действием приложенной разности потенциалов.
Допустим, что площади пластин катода и анода достаточно велики и при расчете плот- ности тока вблизи линии, соединяющей центры электродов, можно пренебречь изменением величин в направлениях, перпендикулярных этой линии, т. е. рассматривать одномерную задачу, когда все величины зависят только от координаты . Уравнение Пуассона для по- тенциала имеет вид d
2
ϕ
dx
2
= −
ρ
e
ε
0
=
n |e|
ε
0
(8.14)
где n — концентрация электронов. Закон сохранения энергии для дрейфа электронов имеет вид
1/2m e
v
2
д
= |e| ϕ,
(8.15)
где v д
— скорость дрейфа в точке с потенциалом ϕ. Объемная плотность тока в этой точке
|j| = n |e| v д
(8.16)
Все величины в правой части (8.16) являются положительными. Вычислив скорость v д
из
(8.15) и подставив полученное уравнение в (8.16), находим n |e| = |j| [m e
/(2|e|ϕ)]
1/2
(8.17)
С учетом (8.17) уравнение (8.14) преобразуется к виду d
2
ϕ/dx
2
= α
√
ϕ,
(8.18)
71
где α = (|j| /ε
0
)
pm e
/ (2 |e|). Умножая обе части (8.18) на (dϕ/dx) = ˙
ϕ, получаем
¨
ϕ ˙
ϕ = α ˙
ϕ/
√
ϕ
(8.19)
где точками обозначено дифференцирование по . Учитывая, что
¨
ϕ ˙
ϕ =
1 2
d ( ˙
ϕ
2
)
dx
,
˙
ϕ/
√
ϕ = 2
d
√
ϕ
dx
,
(8.20)
запишем (8.19) так:
d
˙
ϕ
2
= 4αd (
√
ϕ)
(8.21)
Теперь можно проинтегрировать обе части (8.21) по x в пределах от 0 до того значения x, при котором потенциал равен ϕ. Тогда
dϕ
dx
2
−
dϕ
dx
2 0
= 4α
√
ϕ,
(8.22)
где учтено, что ϕ (0) = 0. Производная (dϕ/dx)
0
характеризует напряженность электри- ческого поля у катода, α — пропорциональна j. Поэтому объемная плотность тока j до- стигает максимума при (dϕ/dx)
0
= 0 и тогда [см. (8.22)]
dϕ
dx
= 2
√
αϕ
1/4
,
(8.23)
или dϕ
ϕ
1/4
= 2
√
αdx
(8.24)
Интегрируя обе части (8.24) в пределах от = 0, ϕ = 0 до = d, ϕ = U , получаем
U
3/4
=
3 2
d
√
α.
(8.25)
Возводя обе части (8.25) в квадрат и учитывая, что
α = (|j| /ε
0
)
p m
e
/ (2 |e|),
(8.26)
получаем
|j| = βU
3/2
,
(8.27)
где
β =
4ε
0 9d
2
2 |e|
m e
1/2
(8.28)
Расчет аналогичной задачи для коаксиальных цилиндрических электродов, для концен- трических сферических электродов приводит к такому же виду зависимости объемной плотности тока от разности потенциалов в степени три вторых. Впрочем, такую зависи- мость можно было бы ожидать и без расчетов с помощью анализа размерностей. Коэф- фициент β во всех случаях имеет одинаковую размерность, как это следует из уравнения
Пуассона, записанного в различных системах координат.
Рис. 8.5
При отсутствии объемного заряда между катодом и анодом из- менение потенциала происходит по линейному закону (рис. 9.1; пря- мая 1). Объемный заряд изменяет этот ход. Ясно, что вблизи ка- тода объемный заряд уменьшает силы, действующие на электро- ны при отсутствии объемного заряда, а вблизи анода увеличивает.
Поэтому изменение потенциала между электродами с учетом объ- емного заряда характеризуется кривой 2).
72
Вывод формулы (8.27) приведен в предположении, что электро- ны покидают катод с нулевой скоростью. Однако они могут покидать катод с конечной скоростью эмиссии. В этом случае ток будет существовать даже в том случае, если вбли- зи катода имеется небольшое обратное поле. Следовательно, объемная плотность заряда может измениться до таких значений, при которых потенциал вблизи катода уменьшит- ся до отрицательных значений. В результате этого ход потенциала вблизи катода будет характеризоваться пунктирной кривой C.
При достаточно большой разности потенциалов наблюдается отклонение от закона трех вторых. Оно наступает тогда, когда объемная плотность заряда уменьшается настолько, что поддержание нулевого электрического поля у поверхности катода ока- зывается невозможным и, следовательно, будет невыполнимым условие (dϕ/dx)
0
= 0,
при котором был введен закон трех вторых. При дальнейшем увеличении напряженности объемная плотность тока становится независимой от разности потенциалов (ток насыще- ния).
Закон трех вторых здесь рассмотрен в качестве примера нелинейного соотношения между силой тока и напряжением. Он не имеет универсального характера и даже в при- веденном случае справедлив лишь в сравнительно узком интервале напряжений и токов.
Нелинейность вольтамперной характеристики является наиболее важной особенностью многих элементов радио- и электротехнических схем, включая элементы твердотельной электроники.
73
Глава 9
Постоянное магнитное поле в вакууме
9.1
Магнитное поле в вакууме
Магнитные явления обнаружены и изучались издавна. Сначала люди обнаружили есте- ственные магниты, и их взаимодействие между собой и с магнитным полем Земли. Уже несколько столетий магнитный компас применяется для навигации, помогая ориентиро- ваться на местности и, особенно в океанических просторах. Для описания магнитных явлений было введено – по аналогии с электрическим полем – понятие магнитного по- ля. Прорыв в экспериментальном исследовании магнитных полей произошел в XIX веке.
Было установлено, что движущиеся заряды создают магнитное поле, а магнитное поле действует на движущиеся заряды. Начало исследований электромагнитных явлений было положено опытом датского физика Х. Эрстеда (1820).
I
S
S
0
N
N
0
Рис. 9.1
При пропускании по прямолинейному горизонтальному про- воднику постоянного тока I находящаяся под ним магнит- ная стрелка поворачивается вокруг своей вертикальной оси,
стремясь расположиться перпендикулярно проводнику с током
(рис. 9.1). Ось стрелки тем точнее совпадает с этим направлени- ем, чем больше сила тока и чем слабее влияние магнитного поля
Земли. Эрстед обнаружил, что направление поворота северного полюса стрелки под действием электрического тока изменяется на противоположное при изменении направления тока в проводнике. Французский физик
Андре Мари Ампер в опытах в 1820 г. детально изучил взаимодействие двух параллель- ных токов. Ампер догадался, что этот процесс аналогичен отклонению стрелки компаса,
просто в компасе все определяется микротоками в атомном масштабе.
Происхождение магнитного поля Земли предположительно связывают с протеканием токов в жидком металлическом ядре планеты. Токи создают магнитные поля, магнитные поля создают токи, причем в условиях естественной случайной асимметрии движений этот процесс в соответствии с теорией гидромагнитного динамо может оказаться при высоких температурах ядра (порядка нескольких тысяч кельвинов) самоподдерживающимся на достаточно интенсивном уровне.
9.1.1
Сила Лоренца. Поле B
Сила Лоренца.
Опыт показывает, что сила F, действующая на точечный заряд q, за- висит в общем случае не только от положения этого заряда, но и от его скорости v.
Соответственно этому силу F разделяют на две составляющие — электрическую
F
э
(она не зависит от движения заряда) и магнитную
F
м
(она зависит от скорости заряда). В
любой точке пространства направление и модуль магнитной силы зависят от скорости v заряда, причем эта сила всегда перпендикулярна вектору v; кроме того, в любом месте
74
магнитная сила перпендикулярна определенному в данном месте направлению и, наконец,
ее модуль пропорционален той составляющей скорости, которая перпендикулярна этому выделенному направлению.
Все эти свойства магнитной силы можно описать, если ввести понятие магнитного поля. Характеризуя это поле вектором B, определяющим выделенное в каждой точке пространства направление, запишем выражение для магнитной силы в виде
F
м
= q h
v
B
i
(9.1)
Тогда полная электромагнитная сила, действующая на заряд q:
F = q
E + q h
v
B
i
(9.2)
Ее называют силой Лоренца . Последнее выражение является универсальным : оно справедливо как для постоянных, так и для переменных электрических и магнитных полей. Заметим, что v — это скорость заряда относительно интересующей нас системы отсчета. По действию силы Лоренца на заряд можно в принципе определить модули и на- правления векторов E и B. Поэтому выражение для силы Лоренца можно рассматривать как определение электрического и магнитного полей (в случае электрического поля мы так и поступили)
1
. Следует подчеркнуть, что на покоящийся электрический заряд магнитное поле не действует . В этом существенное отличие магнитного поля от электрического. Магнитное поле действует только на движущийся заряд.
Вектор B характеризует силовое действие магнитного поля на движущийся заряд и,
следовательно, является в этом отношении аналогом вектора , характеризующего силовое действие электрического поля.
Важной особенностью магнитной силы является то, что она всегда перпендикулярна вектору скорости заряда, поэтому работы над зарядом не совершает . Это значит, что в постоянном магнитном поле энергия движущейся заряженной частицы всегда остается неизменной, как бы частица ни двигалась.
В нерелятивистском приближении сила Лоренца (9.2), как и любая другая сила, не за- висит от выбора системы отсчета (инерциальной). Вместе с тем магнитная составляющая силы Лоренца меняется при переходе от одной системы отсчета к другой (из-за v). Поэто- му должна меняться и электрическая составляющая qE. Отсюда следует, что разделение полной силы F — силы Лоренца — на электрическую и магнитную зависит от выбора системы отсчета. Без указания системы отсчета такое разделение не имеет смысла.
Магнитное поле равномерно движущегося заряда.
Опыт показывает, что само магнитное поле порождается движущимися зарядами (токами). В результате обобщения экспериментальных данных был получен элементарный закон, определяющий поле B то- чечного заряда q, движущегося с постоянной нерелятивистской скоростью v. Этот закон записывается в виде
2
B =
µ
0 4π
·
q [
v
r]
r
3
,
(9.3)
где µ
0
— магнитная постоянная ; коэффициент – µ
0
/4π = 10
−7
Гн/м; r — радиус- вектор, проведенный от заряда q к точке наблюдения.
Конец радиуса-вектора r неподвижен в данной системе отсчета, а его начало движется со скоростью v (рис. 9.2), поэтому вектор B в данной системе отсчета зависит не только от положения точки наблюдения, но и от времени.
1
Разработан ряд способов измерения поля B, но все они, в конечном счете, базируются на явлениях, в основе которых лежит уравнение (9.2).
2
Формула (9.3) справедлива и в случае, когда заряд движется с ускорением, однако только на доста- точно малых расстояниях r от заряда (малых настолько, что за время r/c скорость v заряда заметно не меняется).
75
Рис. 9.2
В соответствии с формулой (9.3) вектор B направлен перпенди- кулярно плоскости, в которой расположены векторы v и r, причем вращение вокруг вектора v в направлении вектора B образует с направлением v правовинтовую систему (рис. 9.2). Отметим, что вектор B является аксиальным (псевдовектором).
Величину B называют магнитной индукцией . Единицей магнитной индукции служит тесла (Тл).
Электрическое поле точечного заряда q, движущегося с нере- лятивистской скоростью, описывается известным законом
E =
1 4πε
0
q r
2
e r
(9.4)
Поэтому выражение (9.5) можно представить как
B = ε
0
µ
0
[vE] = [vE]/c
2
,
(9.5)
где c — электродинамическая постоянная ( c = 1/
√
ε
0
µ
0
), она равна скорости света в вакууме (совпадение, как потом выяснилось, не случайное).
1
v q
2
v q
Рис. 9.3
Пример.
Сравнение сил магнитного и электрического взаимодействий движущихся зарядов. Пусть два достаточно массивных точечных заряда q движутся параллельно друг другу с одинаковой нерелятивистской скоростью v, как показано на рис. 9.3. Найти отношение магнитной F
м и электрической
F
э сил, действующих, например, со стороны заряда 1 на заряд 2.
Согласно (9.2) F
м
= qvB и F
э
= qE, где v – скорость заряда 2, а B и E
– индукция магнитного и напряженность электрического полей, создаваемых зарядом 1 в месте нахождения заряда 2.
Отношение F
м
/F
э
= vB/E. В нашем случае согласно (9.5) = vE/c
2
, поэтому
F
м
/F
э
= (v/c)
2
(9.6)
Даже для достаточно больших скоростей, например v = 300 км/с, это отношение рав- но 10
−6
, т. е. магнитная часть силы в миллион раз меньше электрической и составляет ничтожную поправку к электрической силе.
Рассмотренный пример может вызвать естественный вопрос — стоит ли такие силы изучать? Оказывается, стоит, и на это есть две веские причины.
Во-первых, нам приходится встречаться с пучками частиц, движущихся почти со световыми скоростями, и там эта "поправка" к электрической силе становится сравнимой с последней (заметим, что отношение (9.6) справедливо и при релятивистских скоростях).
Во-вторых, при движении, например, электронов вдоль проводов их направленная скорость при обычных плотностях составляет несколько десятых миллиметра в секунду,
и отношение (v/c)
2
≈ 10
−24
. Ничтожная поправка к электрической силе!
Но дело в том, что в данном случае магнитная сила — это практически вся действую- щая сила, ибо электрические силы исчезли в результате почти идеального баланса отри- цательных и положительных зарядов в проводах. Этот баланс намного точнее чем 10
−24
,
и "ничтожная" магнитная сила оказывается, по существу, единственной. А участие гро- мадного числа зарядов в создании тока компенсирует малость этого члена.
Другими словами, избыточные заряды на проводах ничтожно малы по сравнению с суммарным зарядом носителей тока. Поэтому магнитные силы в данном случае намного превосходят электрические силы, действующие на избыточные заряды проводов.
76
9.2
Закон Био—Савара
Принцип суперпозиции.
Опыт дает, что для магнитного поля, как и для электриче- ского, справедлив принцип суперпозиции: магнитное поле, создаваемое несколькими дви- жущимися зарядами или токами, равно векторной сумме магнитных полей, создаваемых каждым зарядом или током в отдельности:
B =
X
B
i
(9.7)
Закон Био-Савара. Рассмотрим вопрос о нахождении магнитного поля, создаваемого постоянными электрическими токами. Этот вопрос будем решать, исходя из закона (9.5),
определяющего индукцию поля B равномерно движущегося точечного заряда. Подставим в (9.5) вместо q заряд ρdV , где dV — элементарный объем, ρ = en — объемная плотность заряда, являющегося носителем тока, и учтем, что ρv = j согласно (20.4). Тогда формула
(9.5) приобретет следующий вид:
d
B =
µ
0 4π
h
jr i
dV
r
3
(9.8)
Если же ток I течет по тонкому проводу с площадью поперечного сечения ∆S, то jdV =
j∆Sdl = Idl, где dl — элемент длины провода. Введя вектор dl в направлении тока I,
перепишем предыдущее равенство так:
jdV = Idl.
(9.9)
Векторы jdV и Idl называют соответственно объемным и линейным элементами тока.
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
exp
−
p
2 2mkT
e
dp x
dp y
dp z
=
=
1 4
2πm e
kT
2
3
/2 exp
−
ϕ
kT
(8.8)
Средняя кинетическая энергия электронов hW
k i =
p
2 2m
=
R [p
2
/ (2m e
)] dn p
R dn p
=
3 2
kT
(8.9)
Рис. 8.2
Плотность тока насыщения.
Направим ось Z прямоугольной декартовой системы координат нормально к поверхности металла
(рис. 8.2). Электроны дают вклад в плотность тока насыщения ком- понентой v z
скорости по оси Z. Вклад в плотность тока от одного электрона равен ev z
= ep z
/m e
. Следовательно, плотность тока насыщения определяется формулой j
нас
=
e m
e
Z
p z>0
p z
dn p
=
2e m
e
(2π
)
3
exp
−
ϕ
kT
∞
Z
−∞
exp
−
p
2
x
2m e
kT
dp x
·
·
∞
Z
−∞
exp
−
p
2
y
2m e
kT
dp y
×
∞
Z
0
p z
exp
−
p
2
z
2m e
kT
dp z
=
=
em e
k
2 2π
2
3
T
2
exp
−
ϕ
kT
(8.10)
или j
нас
= AT
2
exp [−ϕ/ (kT )] ,
(8.11)
где постоянная
A =
em e
k
2
(2π
2
3
)
= 1, 2 · 10 6
· м
−2
· K
−2
(8.12)
70
Рис. 8.3
Равенство (8.11) называется формулой Ричардсона — Деш- мана. Для экспериментальной проверки эту формулу удобно пред- ставить в виде ln j нас
/T
2
= ln A − ϕ/kT .
(8.13)
На графике зависимость ln (j нас
/T
2
) от 1/T по формуле (8.13)
выражается прямой линией (рис. 8.3). Эксперимент подтверждает такую зависимость с учетом небольшого изменения ϕ, которое обусловлено уменьшением µ с температурой [см.
(8.2)]. По углу наклона прямой в соответствии с формулой (8.13) определяется работа вы- хода ϕ. По пересечению прямой с осью ординат вычисляется InA. Величина A по формуле
(8.12) должна быть универсальной постоянной, одинаковой для всех металлов. Это заклю- чение не подтверждается экспериментом. Имеется некоторое различие в A для различных металлов. Например, для меди A = 1, 1·10 6
A·м
−2
·K
−2
, для никеля A = 1, 2·10 6
A·м
−2
·K
−2
,
для платины A = 0, 3 · 10 6
A · м
−2
· K
−2
. Это изменение A обусловлено поверхностными эф- фектами. Кроме того, у кристалла плотность тока насыщения несколько различается для разных граней.
Рис. 8.4
Закон трех вторых.
Рассмотрим зависимость силы тока, проте- кающего в вакууме между электродами, от приложенной разности потенциалов. Электроды будем считать плоскими, а ось X напра- вим нормально поверхности электродов (рис. 8.4). Потенциал ка- тода примем за нуль (ϕ
k
= 0), а потенциал анода обозначим U .
Главным физическим фактором, влияющим на движение элек- тронов между катодом и анодом, является объемный заряд: силы взаимодействия с ним затрудняют движение электронов от катода к аноду под действием приложенной разности потенциалов.
Допустим, что площади пластин катода и анода достаточно велики и при расчете плот- ности тока вблизи линии, соединяющей центры электродов, можно пренебречь изменением величин в направлениях, перпендикулярных этой линии, т. е. рассматривать одномерную задачу, когда все величины зависят только от координаты . Уравнение Пуассона для по- тенциала имеет вид d
2
ϕ
dx
2
= −
ρ
e
ε
0
=
n |e|
ε
0
(8.14)
где n — концентрация электронов. Закон сохранения энергии для дрейфа электронов имеет вид
1/2m e
v
2
д
= |e| ϕ,
(8.15)
где v д
— скорость дрейфа в точке с потенциалом ϕ. Объемная плотность тока в этой точке
|j| = n |e| v д
(8.16)
Все величины в правой части (8.16) являются положительными. Вычислив скорость v д
из
(8.15) и подставив полученное уравнение в (8.16), находим n |e| = |j| [m e
/(2|e|ϕ)]
1/2
(8.17)
С учетом (8.17) уравнение (8.14) преобразуется к виду d
2
ϕ/dx
2
= α
√
ϕ,
(8.18)
71
где α = (|j| /ε
0
)
pm e
/ (2 |e|). Умножая обе части (8.18) на (dϕ/dx) = ˙
ϕ, получаем
¨
ϕ ˙
ϕ = α ˙
ϕ/
√
ϕ
(8.19)
где точками обозначено дифференцирование по . Учитывая, что
¨
ϕ ˙
ϕ =
1 2
d ( ˙
ϕ
2
)
dx
,
˙
ϕ/
√
ϕ = 2
d
√
ϕ
dx
,
(8.20)
запишем (8.19) так:
d
˙
ϕ
2
= 4αd (
√
ϕ)
(8.21)
Теперь можно проинтегрировать обе части (8.21) по x в пределах от 0 до того значения x, при котором потенциал равен ϕ. Тогда
dϕ
dx
2
−
dϕ
dx
2 0
= 4α
√
ϕ,
(8.22)
где учтено, что ϕ (0) = 0. Производная (dϕ/dx)
0
характеризует напряженность электри- ческого поля у катода, α — пропорциональна j. Поэтому объемная плотность тока j до- стигает максимума при (dϕ/dx)
0
= 0 и тогда [см. (8.22)]
dϕ
dx
= 2
√
αϕ
1/4
,
(8.23)
или dϕ
ϕ
1/4
= 2
√
αdx
(8.24)
Интегрируя обе части (8.24) в пределах от = 0, ϕ = 0 до = d, ϕ = U , получаем
U
3/4
=
3 2
d
√
α.
(8.25)
Возводя обе части (8.25) в квадрат и учитывая, что
α = (|j| /ε
0
)
p m
e
/ (2 |e|),
(8.26)
получаем
|j| = βU
3/2
,
(8.27)
где
β =
4ε
0 9d
2
2 |e|
m e
1/2
(8.28)
Расчет аналогичной задачи для коаксиальных цилиндрических электродов, для концен- трических сферических электродов приводит к такому же виду зависимости объемной плотности тока от разности потенциалов в степени три вторых. Впрочем, такую зависи- мость можно было бы ожидать и без расчетов с помощью анализа размерностей. Коэф- фициент β во всех случаях имеет одинаковую размерность, как это следует из уравнения
Пуассона, записанного в различных системах координат.
Рис. 8.5
При отсутствии объемного заряда между катодом и анодом из- менение потенциала происходит по линейному закону (рис. 9.1; пря- мая 1). Объемный заряд изменяет этот ход. Ясно, что вблизи ка- тода объемный заряд уменьшает силы, действующие на электро- ны при отсутствии объемного заряда, а вблизи анода увеличивает.
Поэтому изменение потенциала между электродами с учетом объ- емного заряда характеризуется кривой 2).
72
Вывод формулы (8.27) приведен в предположении, что электро- ны покидают катод с нулевой скоростью. Однако они могут покидать катод с конечной скоростью эмиссии. В этом случае ток будет существовать даже в том случае, если вбли- зи катода имеется небольшое обратное поле. Следовательно, объемная плотность заряда может измениться до таких значений, при которых потенциал вблизи катода уменьшит- ся до отрицательных значений. В результате этого ход потенциала вблизи катода будет характеризоваться пунктирной кривой C.
При достаточно большой разности потенциалов наблюдается отклонение от закона трех вторых. Оно наступает тогда, когда объемная плотность заряда уменьшается настолько, что поддержание нулевого электрического поля у поверхности катода ока- зывается невозможным и, следовательно, будет невыполнимым условие (dϕ/dx)
0
= 0,
при котором был введен закон трех вторых. При дальнейшем увеличении напряженности объемная плотность тока становится независимой от разности потенциалов (ток насыще- ния).
Закон трех вторых здесь рассмотрен в качестве примера нелинейного соотношения между силой тока и напряжением. Он не имеет универсального характера и даже в при- веденном случае справедлив лишь в сравнительно узком интервале напряжений и токов.
Нелинейность вольтамперной характеристики является наиболее важной особенностью многих элементов радио- и электротехнических схем, включая элементы твердотельной электроники.
73
Глава 9
Постоянное магнитное поле в вакууме
9.1
Магнитное поле в вакууме
Магнитные явления обнаружены и изучались издавна. Сначала люди обнаружили есте- ственные магниты, и их взаимодействие между собой и с магнитным полем Земли. Уже несколько столетий магнитный компас применяется для навигации, помогая ориентиро- ваться на местности и, особенно в океанических просторах. Для описания магнитных явлений было введено – по аналогии с электрическим полем – понятие магнитного по- ля. Прорыв в экспериментальном исследовании магнитных полей произошел в XIX веке.
Было установлено, что движущиеся заряды создают магнитное поле, а магнитное поле действует на движущиеся заряды. Начало исследований электромагнитных явлений было положено опытом датского физика Х. Эрстеда (1820).
I
S
S
0
N
N
0
Рис. 9.1
При пропускании по прямолинейному горизонтальному про- воднику постоянного тока I находящаяся под ним магнит- ная стрелка поворачивается вокруг своей вертикальной оси,
стремясь расположиться перпендикулярно проводнику с током
(рис. 9.1). Ось стрелки тем точнее совпадает с этим направлени- ем, чем больше сила тока и чем слабее влияние магнитного поля
Земли. Эрстед обнаружил, что направление поворота северного полюса стрелки под действием электрического тока изменяется на противоположное при изменении направления тока в проводнике. Французский физик
Андре Мари Ампер в опытах в 1820 г. детально изучил взаимодействие двух параллель- ных токов. Ампер догадался, что этот процесс аналогичен отклонению стрелки компаса,
просто в компасе все определяется микротоками в атомном масштабе.
Происхождение магнитного поля Земли предположительно связывают с протеканием токов в жидком металлическом ядре планеты. Токи создают магнитные поля, магнитные поля создают токи, причем в условиях естественной случайной асимметрии движений этот процесс в соответствии с теорией гидромагнитного динамо может оказаться при высоких температурах ядра (порядка нескольких тысяч кельвинов) самоподдерживающимся на достаточно интенсивном уровне.
9.1.1
Сила Лоренца. Поле B
Сила Лоренца.
Опыт показывает, что сила F, действующая на точечный заряд q, за- висит в общем случае не только от положения этого заряда, но и от его скорости v.
Соответственно этому силу F разделяют на две составляющие — электрическую
F
э
(она не зависит от движения заряда) и магнитную
F
м
(она зависит от скорости заряда). В
любой точке пространства направление и модуль магнитной силы зависят от скорости v заряда, причем эта сила всегда перпендикулярна вектору v; кроме того, в любом месте
74
магнитная сила перпендикулярна определенному в данном месте направлению и, наконец,
ее модуль пропорционален той составляющей скорости, которая перпендикулярна этому выделенному направлению.
Все эти свойства магнитной силы можно описать, если ввести понятие магнитного поля. Характеризуя это поле вектором B, определяющим выделенное в каждой точке пространства направление, запишем выражение для магнитной силы в виде
F
м
= q h
v
B
i
(9.1)
Тогда полная электромагнитная сила, действующая на заряд q:
F = q
E + q h
v
B
i
(9.2)
Ее называют силой Лоренца . Последнее выражение является универсальным : оно справедливо как для постоянных, так и для переменных электрических и магнитных полей. Заметим, что v — это скорость заряда относительно интересующей нас системы отсчета. По действию силы Лоренца на заряд можно в принципе определить модули и на- правления векторов E и B. Поэтому выражение для силы Лоренца можно рассматривать как определение электрического и магнитного полей (в случае электрического поля мы так и поступили)
1
. Следует подчеркнуть, что на покоящийся электрический заряд магнитное поле не действует . В этом существенное отличие магнитного поля от электрического. Магнитное поле действует только на движущийся заряд.
Вектор B характеризует силовое действие магнитного поля на движущийся заряд и,
следовательно, является в этом отношении аналогом вектора , характеризующего силовое действие электрического поля.
Важной особенностью магнитной силы является то, что она всегда перпендикулярна вектору скорости заряда, поэтому работы над зарядом не совершает . Это значит, что в постоянном магнитном поле энергия движущейся заряженной частицы всегда остается неизменной, как бы частица ни двигалась.
В нерелятивистском приближении сила Лоренца (9.2), как и любая другая сила, не за- висит от выбора системы отсчета (инерциальной). Вместе с тем магнитная составляющая силы Лоренца меняется при переходе от одной системы отсчета к другой (из-за v). Поэто- му должна меняться и электрическая составляющая qE. Отсюда следует, что разделение полной силы F — силы Лоренца — на электрическую и магнитную зависит от выбора системы отсчета. Без указания системы отсчета такое разделение не имеет смысла.
Магнитное поле равномерно движущегося заряда.
Опыт показывает, что само магнитное поле порождается движущимися зарядами (токами). В результате обобщения экспериментальных данных был получен элементарный закон, определяющий поле B то- чечного заряда q, движущегося с постоянной нерелятивистской скоростью v. Этот закон записывается в виде
2
B =
µ
0 4π
·
q [
v
r]
r
3
,
(9.3)
где µ
0
— магнитная постоянная ; коэффициент – µ
0
/4π = 10
−7
Гн/м; r — радиус- вектор, проведенный от заряда q к точке наблюдения.
Конец радиуса-вектора r неподвижен в данной системе отсчета, а его начало движется со скоростью v (рис. 9.2), поэтому вектор B в данной системе отсчета зависит не только от положения точки наблюдения, но и от времени.
1
Разработан ряд способов измерения поля B, но все они, в конечном счете, базируются на явлениях, в основе которых лежит уравнение (9.2).
2
Формула (9.3) справедлива и в случае, когда заряд движется с ускорением, однако только на доста- точно малых расстояниях r от заряда (малых настолько, что за время r/c скорость v заряда заметно не меняется).
75
Рис. 9.2
В соответствии с формулой (9.3) вектор B направлен перпенди- кулярно плоскости, в которой расположены векторы v и r, причем вращение вокруг вектора v в направлении вектора B образует с направлением v правовинтовую систему (рис. 9.2). Отметим, что вектор B является аксиальным (псевдовектором).
Величину B называют магнитной индукцией . Единицей магнитной индукции служит тесла (Тл).
Электрическое поле точечного заряда q, движущегося с нере- лятивистской скоростью, описывается известным законом
E =
1 4πε
0
q r
2
e r
(9.4)
Поэтому выражение (9.5) можно представить как
B = ε
0
µ
0
[vE] = [vE]/c
2
,
(9.5)
где c — электродинамическая постоянная ( c = 1/
√
ε
0
µ
0
), она равна скорости света в вакууме (совпадение, как потом выяснилось, не случайное).
1
v q
2
v q
Рис. 9.3
Пример.
Сравнение сил магнитного и электрического взаимодействий движущихся зарядов. Пусть два достаточно массивных точечных заряда q движутся параллельно друг другу с одинаковой нерелятивистской скоростью v, как показано на рис. 9.3. Найти отношение магнитной F
м и электрической
F
э сил, действующих, например, со стороны заряда 1 на заряд 2.
Согласно (9.2) F
м
= qvB и F
э
= qE, где v – скорость заряда 2, а B и E
– индукция магнитного и напряженность электрического полей, создаваемых зарядом 1 в месте нахождения заряда 2.
Отношение F
м
/F
э
= vB/E. В нашем случае согласно (9.5) = vE/c
2
, поэтому
F
м
/F
э
= (v/c)
2
(9.6)
Даже для достаточно больших скоростей, например v = 300 км/с, это отношение рав- но 10
−6
, т. е. магнитная часть силы в миллион раз меньше электрической и составляет ничтожную поправку к электрической силе.
Рассмотренный пример может вызвать естественный вопрос — стоит ли такие силы изучать? Оказывается, стоит, и на это есть две веские причины.
Во-первых, нам приходится встречаться с пучками частиц, движущихся почти со световыми скоростями, и там эта "поправка" к электрической силе становится сравнимой с последней (заметим, что отношение (9.6) справедливо и при релятивистских скоростях).
Во-вторых, при движении, например, электронов вдоль проводов их направленная скорость при обычных плотностях составляет несколько десятых миллиметра в секунду,
и отношение (v/c)
2
≈ 10
−24
. Ничтожная поправка к электрической силе!
Но дело в том, что в данном случае магнитная сила — это практически вся действую- щая сила, ибо электрические силы исчезли в результате почти идеального баланса отри- цательных и положительных зарядов в проводах. Этот баланс намного точнее чем 10
−24
,
и "ничтожная" магнитная сила оказывается, по существу, единственной. А участие гро- мадного числа зарядов в создании тока компенсирует малость этого члена.
Другими словами, избыточные заряды на проводах ничтожно малы по сравнению с суммарным зарядом носителей тока. Поэтому магнитные силы в данном случае намного превосходят электрические силы, действующие на избыточные заряды проводов.
76
9.2
Закон Био—Савара
Принцип суперпозиции.
Опыт дает, что для магнитного поля, как и для электриче- ского, справедлив принцип суперпозиции: магнитное поле, создаваемое несколькими дви- жущимися зарядами или токами, равно векторной сумме магнитных полей, создаваемых каждым зарядом или током в отдельности:
B =
X
B
i
(9.7)
Закон Био-Савара. Рассмотрим вопрос о нахождении магнитного поля, создаваемого постоянными электрическими токами. Этот вопрос будем решать, исходя из закона (9.5),
определяющего индукцию поля B равномерно движущегося точечного заряда. Подставим в (9.5) вместо q заряд ρdV , где dV — элементарный объем, ρ = en — объемная плотность заряда, являющегося носителем тока, и учтем, что ρv = j согласно (20.4). Тогда формула
(9.5) приобретет следующий вид:
d
B =
µ
0 4π
h
jr i
dV
r
3
(9.8)
Если же ток I течет по тонкому проводу с площадью поперечного сечения ∆S, то jdV =
j∆Sdl = Idl, где dl — элемент длины провода. Введя вектор dl в направлении тока I,
перепишем предыдущее равенство так:
jdV = Idl.
(9.9)
Векторы jdV и Idl называют соответственно объемным и линейным элементами тока.
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
exp
−
p
2 2mkT
e
dp x
dp y
dp z
=
=
1 4
2πm e
kT
2
3
/2 exp
−
ϕ
kT
(8.8)
Средняя кинетическая энергия электронов hW
k i =
p
2 2m
=
R [p
2
/ (2m e
)] dn p
R dn p
=
3 2
kT
(8.9)
Рис. 8.2
Плотность тока насыщения.
Направим ось Z прямоугольной декартовой системы координат нормально к поверхности металла
(рис. 8.2). Электроны дают вклад в плотность тока насыщения ком- понентой v z
скорости по оси Z. Вклад в плотность тока от одного электрона равен ev z
= ep z
/m e
. Следовательно, плотность тока насыщения определяется формулой j
нас
=
e m
e
Z
p z>0
p z
dn p
=
2e m
e
(2π
)
3
exp
−
ϕ
kT
∞
Z
−∞
exp
−
p
2
x
2m e
kT
dp x
·
·
∞
Z
−∞
exp
−
p
2
y
2m e
kT
dp y
×
∞
Z
0
p z
exp
−
p
2
z
2m e
kT
dp z
=
=
em e
k
2 2π
2
3
T
2
exp
−
ϕ
kT
(8.10)
или j
нас
= AT
2
exp [−ϕ/ (kT )] ,
(8.11)
где постоянная
A =
em e
k
2
(2π
2
3
)
= 1, 2 · 10 6
· м
−2
· K
−2
(8.12)
70
Рис. 8.3
Равенство (8.11) называется формулой Ричардсона — Деш- мана. Для экспериментальной проверки эту формулу удобно пред- ставить в виде ln j нас
/T
2
= ln A − ϕ/kT .
(8.13)
На графике зависимость ln (j нас
/T
2
) от 1/T по формуле (8.13)
выражается прямой линией (рис. 8.3). Эксперимент подтверждает такую зависимость с учетом небольшого изменения ϕ, которое обусловлено уменьшением µ с температурой [см.
(8.2)]. По углу наклона прямой в соответствии с формулой (8.13) определяется работа вы- хода ϕ. По пересечению прямой с осью ординат вычисляется InA. Величина A по формуле
(8.12) должна быть универсальной постоянной, одинаковой для всех металлов. Это заклю- чение не подтверждается экспериментом. Имеется некоторое различие в A для различных металлов. Например, для меди A = 1, 1·10 6
A·м
−2
·K
−2
, для никеля A = 1, 2·10 6
A·м
−2
·K
−2
,
для платины A = 0, 3 · 10 6
A · м
−2
· K
−2
. Это изменение A обусловлено поверхностными эф- фектами. Кроме того, у кристалла плотность тока насыщения несколько различается для разных граней.
Рис. 8.4
Закон трех вторых.
Рассмотрим зависимость силы тока, проте- кающего в вакууме между электродами, от приложенной разности потенциалов. Электроды будем считать плоскими, а ось X напра- вим нормально поверхности электродов (рис. 8.4). Потенциал ка- тода примем за нуль (ϕ
k
= 0), а потенциал анода обозначим U .
Главным физическим фактором, влияющим на движение элек- тронов между катодом и анодом, является объемный заряд: силы взаимодействия с ним затрудняют движение электронов от катода к аноду под действием приложенной разности потенциалов.
Допустим, что площади пластин катода и анода достаточно велики и при расчете плот- ности тока вблизи линии, соединяющей центры электродов, можно пренебречь изменением величин в направлениях, перпендикулярных этой линии, т. е. рассматривать одномерную задачу, когда все величины зависят только от координаты . Уравнение Пуассона для по- тенциала имеет вид d
2
ϕ
dx
2
= −
ρ
e
ε
0
=
n |e|
ε
0
(8.14)
где n — концентрация электронов. Закон сохранения энергии для дрейфа электронов имеет вид
1/2m e
v
2
д
= |e| ϕ,
(8.15)
где v д
— скорость дрейфа в точке с потенциалом ϕ. Объемная плотность тока в этой точке
|j| = n |e| v д
(8.16)
Все величины в правой части (8.16) являются положительными. Вычислив скорость v д
из
(8.15) и подставив полученное уравнение в (8.16), находим n |e| = |j| [m e
/(2|e|ϕ)]
1/2
(8.17)
С учетом (8.17) уравнение (8.14) преобразуется к виду d
2
ϕ/dx
2
= α
√
ϕ,
(8.18)
71
где α = (|j| /ε
0
)
pm e
/ (2 |e|). Умножая обе части (8.18) на (dϕ/dx) = ˙
ϕ, получаем
¨
ϕ ˙
ϕ = α ˙
ϕ/
√
ϕ
(8.19)
где точками обозначено дифференцирование по . Учитывая, что
¨
ϕ ˙
ϕ =
1 2
d ( ˙
ϕ
2
)
dx
,
˙
ϕ/
√
ϕ = 2
d
√
ϕ
dx
,
(8.20)
запишем (8.19) так:
d
˙
ϕ
2
= 4αd (
√
ϕ)
(8.21)
Теперь можно проинтегрировать обе части (8.21) по x в пределах от 0 до того значения x, при котором потенциал равен ϕ. Тогда
dϕ
dx
2
−
dϕ
dx
2 0
= 4α
√
ϕ,
(8.22)
где учтено, что ϕ (0) = 0. Производная (dϕ/dx)
0
характеризует напряженность электри- ческого поля у катода, α — пропорциональна j. Поэтому объемная плотность тока j до- стигает максимума при (dϕ/dx)
0
= 0 и тогда [см. (8.22)]
dϕ
dx
= 2
√
αϕ
1/4
,
(8.23)
или dϕ
ϕ
1/4
= 2
√
αdx
(8.24)
Интегрируя обе части (8.24) в пределах от = 0, ϕ = 0 до = d, ϕ = U , получаем
U
3/4
=
3 2
d
√
α.
(8.25)
Возводя обе части (8.25) в квадрат и учитывая, что
α = (|j| /ε
0
)
p m
e
/ (2 |e|),
(8.26)
получаем
|j| = βU
3/2
,
(8.27)
где
β =
4ε
0 9d
2
2 |e|
m e
1/2
(8.28)
Расчет аналогичной задачи для коаксиальных цилиндрических электродов, для концен- трических сферических электродов приводит к такому же виду зависимости объемной плотности тока от разности потенциалов в степени три вторых. Впрочем, такую зависи- мость можно было бы ожидать и без расчетов с помощью анализа размерностей. Коэф- фициент β во всех случаях имеет одинаковую размерность, как это следует из уравнения
Пуассона, записанного в различных системах координат.
Рис. 8.5
При отсутствии объемного заряда между катодом и анодом из- менение потенциала происходит по линейному закону (рис. 9.1; пря- мая 1). Объемный заряд изменяет этот ход. Ясно, что вблизи ка- тода объемный заряд уменьшает силы, действующие на электро- ны при отсутствии объемного заряда, а вблизи анода увеличивает.
Поэтому изменение потенциала между электродами с учетом объ- емного заряда характеризуется кривой 2).
72
Вывод формулы (8.27) приведен в предположении, что электро- ны покидают катод с нулевой скоростью. Однако они могут покидать катод с конечной скоростью эмиссии. В этом случае ток будет существовать даже в том случае, если вбли- зи катода имеется небольшое обратное поле. Следовательно, объемная плотность заряда может измениться до таких значений, при которых потенциал вблизи катода уменьшит- ся до отрицательных значений. В результате этого ход потенциала вблизи катода будет характеризоваться пунктирной кривой C.
При достаточно большой разности потенциалов наблюдается отклонение от закона трех вторых. Оно наступает тогда, когда объемная плотность заряда уменьшается настолько, что поддержание нулевого электрического поля у поверхности катода ока- зывается невозможным и, следовательно, будет невыполнимым условие (dϕ/dx)
0
= 0,
при котором был введен закон трех вторых. При дальнейшем увеличении напряженности объемная плотность тока становится независимой от разности потенциалов (ток насыще- ния).
Закон трех вторых здесь рассмотрен в качестве примера нелинейного соотношения между силой тока и напряжением. Он не имеет универсального характера и даже в при- веденном случае справедлив лишь в сравнительно узком интервале напряжений и токов.
Нелинейность вольтамперной характеристики является наиболее важной особенностью многих элементов радио- и электротехнических схем, включая элементы твердотельной электроники.
73
Глава 9
Постоянное магнитное поле в вакууме
9.1
Магнитное поле в вакууме
Магнитные явления обнаружены и изучались издавна. Сначала люди обнаружили есте- ственные магниты, и их взаимодействие между собой и с магнитным полем Земли. Уже несколько столетий магнитный компас применяется для навигации, помогая ориентиро- ваться на местности и, особенно в океанических просторах. Для описания магнитных явлений было введено – по аналогии с электрическим полем – понятие магнитного по- ля. Прорыв в экспериментальном исследовании магнитных полей произошел в XIX веке.
Было установлено, что движущиеся заряды создают магнитное поле, а магнитное поле действует на движущиеся заряды. Начало исследований электромагнитных явлений было положено опытом датского физика Х. Эрстеда (1820).
I
S
S
0
N
N
0
Рис. 9.1
При пропускании по прямолинейному горизонтальному про- воднику постоянного тока I находящаяся под ним магнит- ная стрелка поворачивается вокруг своей вертикальной оси,
стремясь расположиться перпендикулярно проводнику с током
(рис. 9.1). Ось стрелки тем точнее совпадает с этим направлени- ем, чем больше сила тока и чем слабее влияние магнитного поля
Земли. Эрстед обнаружил, что направление поворота северного полюса стрелки под действием электрического тока изменяется на противоположное при изменении направления тока в проводнике. Французский физик
Андре Мари Ампер в опытах в 1820 г. детально изучил взаимодействие двух параллель- ных токов. Ампер догадался, что этот процесс аналогичен отклонению стрелки компаса,
просто в компасе все определяется микротоками в атомном масштабе.
Происхождение магнитного поля Земли предположительно связывают с протеканием токов в жидком металлическом ядре планеты. Токи создают магнитные поля, магнитные поля создают токи, причем в условиях естественной случайной асимметрии движений этот процесс в соответствии с теорией гидромагнитного динамо может оказаться при высоких температурах ядра (порядка нескольких тысяч кельвинов) самоподдерживающимся на достаточно интенсивном уровне.
9.1.1
Сила Лоренца. Поле B
Сила Лоренца.
Опыт показывает, что сила F, действующая на точечный заряд q, за- висит в общем случае не только от положения этого заряда, но и от его скорости v.
Соответственно этому силу F разделяют на две составляющие — электрическую
F
э
(она не зависит от движения заряда) и магнитную
F
м
(она зависит от скорости заряда). В
любой точке пространства направление и модуль магнитной силы зависят от скорости v заряда, причем эта сила всегда перпендикулярна вектору v; кроме того, в любом месте
74
магнитная сила перпендикулярна определенному в данном месте направлению и, наконец,
ее модуль пропорционален той составляющей скорости, которая перпендикулярна этому выделенному направлению.
Все эти свойства магнитной силы можно описать, если ввести понятие магнитного поля. Характеризуя это поле вектором B, определяющим выделенное в каждой точке пространства направление, запишем выражение для магнитной силы в виде
F
м
= q h
v
B
i
(9.1)
Тогда полная электромагнитная сила, действующая на заряд q:
F = q
E + q h
v
B
i
(9.2)
Ее называют силой Лоренца . Последнее выражение является универсальным : оно справедливо как для постоянных, так и для переменных электрических и магнитных полей. Заметим, что v — это скорость заряда относительно интересующей нас системы отсчета. По действию силы Лоренца на заряд можно в принципе определить модули и на- правления векторов E и B. Поэтому выражение для силы Лоренца можно рассматривать как определение электрического и магнитного полей (в случае электрического поля мы так и поступили)
1
. Следует подчеркнуть, что на покоящийся электрический заряд магнитное поле не действует . В этом существенное отличие магнитного поля от электрического. Магнитное поле действует только на движущийся заряд.
Вектор B характеризует силовое действие магнитного поля на движущийся заряд и,
следовательно, является в этом отношении аналогом вектора , характеризующего силовое действие электрического поля.
Важной особенностью магнитной силы является то, что она всегда перпендикулярна вектору скорости заряда, поэтому работы над зарядом не совершает . Это значит, что в постоянном магнитном поле энергия движущейся заряженной частицы всегда остается неизменной, как бы частица ни двигалась.
В нерелятивистском приближении сила Лоренца (9.2), как и любая другая сила, не за- висит от выбора системы отсчета (инерциальной). Вместе с тем магнитная составляющая силы Лоренца меняется при переходе от одной системы отсчета к другой (из-за v). Поэто- му должна меняться и электрическая составляющая qE. Отсюда следует, что разделение полной силы F — силы Лоренца — на электрическую и магнитную зависит от выбора системы отсчета. Без указания системы отсчета такое разделение не имеет смысла.
Магнитное поле равномерно движущегося заряда.
Опыт показывает, что само магнитное поле порождается движущимися зарядами (токами). В результате обобщения экспериментальных данных был получен элементарный закон, определяющий поле B то- чечного заряда q, движущегося с постоянной нерелятивистской скоростью v. Этот закон записывается в виде
2
B =
µ
0 4π
·
q [
v
r]
r
3
,
(9.3)
где µ
0
— магнитная постоянная ; коэффициент – µ
0
/4π = 10
−7
Гн/м; r — радиус- вектор, проведенный от заряда q к точке наблюдения.
Конец радиуса-вектора r неподвижен в данной системе отсчета, а его начало движется со скоростью v (рис. 9.2), поэтому вектор B в данной системе отсчета зависит не только от положения точки наблюдения, но и от времени.
1
Разработан ряд способов измерения поля B, но все они, в конечном счете, базируются на явлениях, в основе которых лежит уравнение (9.2).
2
Формула (9.3) справедлива и в случае, когда заряд движется с ускорением, однако только на доста- точно малых расстояниях r от заряда (малых настолько, что за время r/c скорость v заряда заметно не меняется).
75
Рис. 9.2
В соответствии с формулой (9.3) вектор B направлен перпенди- кулярно плоскости, в которой расположены векторы v и r, причем вращение вокруг вектора v в направлении вектора B образует с направлением v правовинтовую систему (рис. 9.2). Отметим, что вектор B является аксиальным (псевдовектором).
Величину B называют магнитной индукцией . Единицей магнитной индукции служит тесла (Тл).
Электрическое поле точечного заряда q, движущегося с нере- лятивистской скоростью, описывается известным законом
E =
1 4πε
0
q r
2
e r
(9.4)
Поэтому выражение (9.5) можно представить как
B = ε
0
µ
0
[vE] = [vE]/c
2
,
(9.5)
где c — электродинамическая постоянная ( c = 1/
√
ε
0
µ
0
), она равна скорости света в вакууме (совпадение, как потом выяснилось, не случайное).
1
v q
2
v q
Рис. 9.3
Пример.
Сравнение сил магнитного и электрического взаимодействий движущихся зарядов. Пусть два достаточно массивных точечных заряда q движутся параллельно друг другу с одинаковой нерелятивистской скоростью v, как показано на рис. 9.3. Найти отношение магнитной F
м и электрической
F
э сил, действующих, например, со стороны заряда 1 на заряд 2.
Согласно (9.2) F
м
= qvB и F
э
= qE, где v – скорость заряда 2, а B и E
– индукция магнитного и напряженность электрического полей, создаваемых зарядом 1 в месте нахождения заряда 2.
Отношение F
м
/F
э
= vB/E. В нашем случае согласно (9.5) = vE/c
2
, поэтому
F
м
/F
э
= (v/c)
2
(9.6)
Даже для достаточно больших скоростей, например v = 300 км/с, это отношение рав- но 10
−6
, т. е. магнитная часть силы в миллион раз меньше электрической и составляет ничтожную поправку к электрической силе.
Рассмотренный пример может вызвать естественный вопрос — стоит ли такие силы изучать? Оказывается, стоит, и на это есть две веские причины.
Во-первых, нам приходится встречаться с пучками частиц, движущихся почти со световыми скоростями, и там эта "поправка" к электрической силе становится сравнимой с последней (заметим, что отношение (9.6) справедливо и при релятивистских скоростях).
Во-вторых, при движении, например, электронов вдоль проводов их направленная скорость при обычных плотностях составляет несколько десятых миллиметра в секунду,
и отношение (v/c)
2
≈ 10
−24
. Ничтожная поправка к электрической силе!
Но дело в том, что в данном случае магнитная сила — это практически вся действую- щая сила, ибо электрические силы исчезли в результате почти идеального баланса отри- цательных и положительных зарядов в проводах. Этот баланс намного точнее чем 10
−24
,
и "ничтожная" магнитная сила оказывается, по существу, единственной. А участие гро- мадного числа зарядов в создании тока компенсирует малость этого члена.
Другими словами, избыточные заряды на проводах ничтожно малы по сравнению с суммарным зарядом носителей тока. Поэтому магнитные силы в данном случае намного превосходят электрические силы, действующие на избыточные заряды проводов.
76
9.2
Закон Био—Савара
Принцип суперпозиции.
Опыт дает, что для магнитного поля, как и для электриче- ского, справедлив принцип суперпозиции: магнитное поле, создаваемое несколькими дви- жущимися зарядами или токами, равно векторной сумме магнитных полей, создаваемых каждым зарядом или током в отдельности:
B =
X
B
i
(9.7)
Закон Био-Савара. Рассмотрим вопрос о нахождении магнитного поля, создаваемого постоянными электрическими токами. Этот вопрос будем решать, исходя из закона (9.5),
определяющего индукцию поля B равномерно движущегося точечного заряда. Подставим в (9.5) вместо q заряд ρdV , где dV — элементарный объем, ρ = en — объемная плотность заряда, являющегося носителем тока, и учтем, что ρv = j согласно (20.4). Тогда формула
(9.5) приобретет следующий вид:
d
B =
µ
0 4π
h
jr i
dV
r
3
(9.8)
Если же ток I течет по тонкому проводу с площадью поперечного сечения ∆S, то jdV =
j∆Sdl = Idl, где dl — элемент длины провода. Введя вектор dl в направлении тока I,
перепишем предыдущее равенство так:
jdV = Idl.
(9.9)
Векторы jdV и Idl называют соответственно объемным и линейным элементами тока.
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
exp
−
p
2 2mkT
e
dp x
dp y
dp z
=
=
1 4
2πm e
kT
2
3
/2 exp
−
ϕ
kT
(8.8)
Средняя кинетическая энергия электронов hW
k i =
p
2 2m
=
R [p
2
/ (2m e
)] dn p
R dn p
=
3 2
kT
(8.9)
Рис. 8.2
Плотность тока насыщения.
Направим ось Z прямоугольной декартовой системы координат нормально к поверхности металла
(рис. 8.2). Электроны дают вклад в плотность тока насыщения ком- понентой v z
скорости по оси Z. Вклад в плотность тока от одного электрона равен ev z
= ep z
/m e
. Следовательно, плотность тока насыщения определяется формулой j
нас
=
e m
e
Z
p z>0
p z
dn p
=
2e m
e
(2π
)
3
exp
−
ϕ
kT
∞
Z
−∞
exp
−
p
2
x
2m e
kT
dp x
·
·
∞
Z
−∞
exp
−
p
2
y
2m e
kT
dp y
×
∞
Z
0
p z
exp
−
p
2
z
2m e
kT
dp z
=
=
em e
k
2 2π
2
3
T
2
exp
−
ϕ
kT
(8.10)
или j
нас
= AT
2
exp [−ϕ/ (kT )] ,
(8.11)
где постоянная
A =
em e
k
2
(2π
2
3
)
= 1, 2 · 10 6
· м
−2
· K
−2
(8.12)
70
Рис. 8.3
Равенство (8.11) называется формулой Ричардсона — Деш- мана. Для экспериментальной проверки эту формулу удобно пред- ставить в виде ln j нас
/T
2
= ln A − ϕ/kT .
(8.13)
На графике зависимость ln (j нас
/T
2
) от 1/T по формуле (8.13)
выражается прямой линией (рис. 8.3). Эксперимент подтверждает такую зависимость с учетом небольшого изменения ϕ, которое обусловлено уменьшением µ с температурой [см.
(8.2)]. По углу наклона прямой в соответствии с формулой (8.13) определяется работа вы- хода ϕ. По пересечению прямой с осью ординат вычисляется InA. Величина A по формуле
(8.12) должна быть универсальной постоянной, одинаковой для всех металлов. Это заклю- чение не подтверждается экспериментом. Имеется некоторое различие в A для различных металлов. Например, для меди A = 1, 1·10 6
A·м
−2
·K
−2
, для никеля A = 1, 2·10 6
A·м
−2
·K
−2
,
для платины A = 0, 3 · 10 6
A · м
−2
· K
−2
. Это изменение A обусловлено поверхностными эф- фектами. Кроме того, у кристалла плотность тока насыщения несколько различается для разных граней.
Рис. 8.4
Закон трех вторых.
Рассмотрим зависимость силы тока, проте- кающего в вакууме между электродами, от приложенной разности потенциалов. Электроды будем считать плоскими, а ось X напра- вим нормально поверхности электродов (рис. 8.4). Потенциал ка- тода примем за нуль (ϕ
k
= 0), а потенциал анода обозначим U .
Главным физическим фактором, влияющим на движение элек- тронов между катодом и анодом, является объемный заряд: силы взаимодействия с ним затрудняют движение электронов от катода к аноду под действием приложенной разности потенциалов.
Допустим, что площади пластин катода и анода достаточно велики и при расчете плот- ности тока вблизи линии, соединяющей центры электродов, можно пренебречь изменением величин в направлениях, перпендикулярных этой линии, т. е. рассматривать одномерную задачу, когда все величины зависят только от координаты . Уравнение Пуассона для по- тенциала имеет вид d
2
ϕ
dx
2
= −
ρ
e
ε
0
=
n |e|
ε
0
(8.14)
где n — концентрация электронов. Закон сохранения энергии для дрейфа электронов имеет вид
1/2m e
v
2
д
= |e| ϕ,
(8.15)
где v д
— скорость дрейфа в точке с потенциалом ϕ. Объемная плотность тока в этой точке
|j| = n |e| v д
(8.16)
Все величины в правой части (8.16) являются положительными. Вычислив скорость v д
из
(8.15) и подставив полученное уравнение в (8.16), находим n |e| = |j| [m e
/(2|e|ϕ)]
1/2
(8.17)
С учетом (8.17) уравнение (8.14) преобразуется к виду d
2
ϕ/dx
2
= α
√
ϕ,
(8.18)
71
где α = (|j| /ε
0
)
pm e
/ (2 |e|). Умножая обе части (8.18) на (dϕ/dx) = ˙
ϕ, получаем
¨
ϕ ˙
ϕ = α ˙
ϕ/
√
ϕ
(8.19)
где точками обозначено дифференцирование по . Учитывая, что
¨
ϕ ˙
ϕ =
1 2
d ( ˙
ϕ
2
)
dx
,
˙
ϕ/
√
ϕ = 2
d
√
ϕ
dx
,
(8.20)
запишем (8.19) так:
d
˙
ϕ
2
= 4αd (
√
ϕ)
(8.21)
Теперь можно проинтегрировать обе части (8.21) по x в пределах от 0 до того значения x, при котором потенциал равен ϕ. Тогда
dϕ
dx
2
−
dϕ
dx
2 0
= 4α
√
ϕ,
(8.22)
где учтено, что ϕ (0) = 0. Производная (dϕ/dx)
0
характеризует напряженность электри- ческого поля у катода, α — пропорциональна j. Поэтому объемная плотность тока j до- стигает максимума при (dϕ/dx)
0
= 0 и тогда [см. (8.22)]
dϕ
dx
= 2
√
αϕ
1/4
,
(8.23)
или dϕ
ϕ
1/4
= 2
√
αdx
(8.24)
Интегрируя обе части (8.24) в пределах от = 0, ϕ = 0 до = d, ϕ = U , получаем
U
3/4
=
3 2
d
√
α.
(8.25)
Возводя обе части (8.25) в квадрат и учитывая, что
α = (|j| /ε
0
)
p m
e
/ (2 |e|),
(8.26)
получаем
|j| = βU
3/2
,
(8.27)
где
β =
4ε
0 9d
2
2 |e|
m e
1/2
(8.28)
Расчет аналогичной задачи для коаксиальных цилиндрических электродов, для концен- трических сферических электродов приводит к такому же виду зависимости объемной плотности тока от разности потенциалов в степени три вторых. Впрочем, такую зависи- мость можно было бы ожидать и без расчетов с помощью анализа размерностей. Коэф- фициент β во всех случаях имеет одинаковую размерность, как это следует из уравнения
Пуассона, записанного в различных системах координат.
Рис. 8.5
При отсутствии объемного заряда между катодом и анодом из- менение потенциала происходит по линейному закону (рис. 9.1; пря- мая 1). Объемный заряд изменяет этот ход. Ясно, что вблизи ка- тода объемный заряд уменьшает силы, действующие на электро- ны при отсутствии объемного заряда, а вблизи анода увеличивает.
Поэтому изменение потенциала между электродами с учетом объ- емного заряда характеризуется кривой 2).
72
Вывод формулы (8.27) приведен в предположении, что электро- ны покидают катод с нулевой скоростью. Однако они могут покидать катод с конечной скоростью эмиссии. В этом случае ток будет существовать даже в том случае, если вбли- зи катода имеется небольшое обратное поле. Следовательно, объемная плотность заряда может измениться до таких значений, при которых потенциал вблизи катода уменьшит- ся до отрицательных значений. В результате этого ход потенциала вблизи катода будет характеризоваться пунктирной кривой C.
При достаточно большой разности потенциалов наблюдается отклонение от закона трех вторых. Оно наступает тогда, когда объемная плотность заряда уменьшается настолько, что поддержание нулевого электрического поля у поверхности катода ока- зывается невозможным и, следовательно, будет невыполнимым условие (dϕ/dx)
0
= 0,
при котором был введен закон трех вторых. При дальнейшем увеличении напряженности объемная плотность тока становится независимой от разности потенциалов (ток насыще- ния).
Закон трех вторых здесь рассмотрен в качестве примера нелинейного соотношения между силой тока и напряжением. Он не имеет универсального характера и даже в при- веденном случае справедлив лишь в сравнительно узком интервале напряжений и токов.
Нелинейность вольтамперной характеристики является наиболее важной особенностью многих элементов радио- и электротехнических схем, включая элементы твердотельной электроники.
73
Глава 9
Постоянное магнитное поле в вакууме
9.1
Магнитное поле в вакууме
Магнитные явления обнаружены и изучались издавна. Сначала люди обнаружили есте- ственные магниты, и их взаимодействие между собой и с магнитным полем Земли. Уже несколько столетий магнитный компас применяется для навигации, помогая ориентиро- ваться на местности и, особенно в океанических просторах. Для описания магнитных явлений было введено – по аналогии с электрическим полем – понятие магнитного по- ля. Прорыв в экспериментальном исследовании магнитных полей произошел в XIX веке.
Было установлено, что движущиеся заряды создают магнитное поле, а магнитное поле действует на движущиеся заряды. Начало исследований электромагнитных явлений было положено опытом датского физика Х. Эрстеда (1820).
I
S
S
0
N
N
0
Рис. 9.1
При пропускании по прямолинейному горизонтальному про- воднику постоянного тока I находящаяся под ним магнит- ная стрелка поворачивается вокруг своей вертикальной оси,
стремясь расположиться перпендикулярно проводнику с током
(рис. 9.1). Ось стрелки тем точнее совпадает с этим направлени- ем, чем больше сила тока и чем слабее влияние магнитного поля
Земли. Эрстед обнаружил, что направление поворота северного полюса стрелки под действием электрического тока изменяется на противоположное при изменении направления тока в проводнике. Французский физик
Андре Мари Ампер в опытах в 1820 г. детально изучил взаимодействие двух параллель- ных токов. Ампер догадался, что этот процесс аналогичен отклонению стрелки компаса,
просто в компасе все определяется микротоками в атомном масштабе.
Происхождение магнитного поля Земли предположительно связывают с протеканием токов в жидком металлическом ядре планеты. Токи создают магнитные поля, магнитные поля создают токи, причем в условиях естественной случайной асимметрии движений этот процесс в соответствии с теорией гидромагнитного динамо может оказаться при высоких температурах ядра (порядка нескольких тысяч кельвинов) самоподдерживающимся на достаточно интенсивном уровне.
9.1.1
Сила Лоренца. Поле B
Сила Лоренца.
Опыт показывает, что сила F, действующая на точечный заряд q, за- висит в общем случае не только от положения этого заряда, но и от его скорости v.
Соответственно этому силу F разделяют на две составляющие — электрическую
F
э
(она не зависит от движения заряда) и магнитную
F
м
(она зависит от скорости заряда). В
любой точке пространства направление и модуль магнитной силы зависят от скорости v заряда, причем эта сила всегда перпендикулярна вектору v; кроме того, в любом месте
74
магнитная сила перпендикулярна определенному в данном месте направлению и, наконец,
ее модуль пропорционален той составляющей скорости, которая перпендикулярна этому выделенному направлению.
Все эти свойства магнитной силы можно описать, если ввести понятие магнитного поля. Характеризуя это поле вектором B, определяющим выделенное в каждой точке пространства направление, запишем выражение для магнитной силы в виде
F
м
= q h
v
B
i
(9.1)
Тогда полная электромагнитная сила, действующая на заряд q:
F = q
E + q h
v
B
i
(9.2)
Ее называют силой Лоренца . Последнее выражение является универсальным : оно справедливо как для постоянных, так и для переменных электрических и магнитных полей. Заметим, что v — это скорость заряда относительно интересующей нас системы отсчета. По действию силы Лоренца на заряд можно в принципе определить модули и на- правления векторов E и B. Поэтому выражение для силы Лоренца можно рассматривать как определение электрического и магнитного полей (в случае электрического поля мы так и поступили)
1
. Следует подчеркнуть, что на покоящийся электрический заряд магнитное поле не действует . В этом существенное отличие магнитного поля от электрического. Магнитное поле действует только на движущийся заряд.
Вектор B характеризует силовое действие магнитного поля на движущийся заряд и,
следовательно, является в этом отношении аналогом вектора , характеризующего силовое действие электрического поля.
Важной особенностью магнитной силы является то, что она всегда перпендикулярна вектору скорости заряда, поэтому работы над зарядом не совершает . Это значит, что в постоянном магнитном поле энергия движущейся заряженной частицы всегда остается неизменной, как бы частица ни двигалась.
В нерелятивистском приближении сила Лоренца (9.2), как и любая другая сила, не за- висит от выбора системы отсчета (инерциальной). Вместе с тем магнитная составляющая силы Лоренца меняется при переходе от одной системы отсчета к другой (из-за v). Поэто- му должна меняться и электрическая составляющая qE. Отсюда следует, что разделение полной силы F — силы Лоренца — на электрическую и магнитную зависит от выбора системы отсчета. Без указания системы отсчета такое разделение не имеет смысла.
Магнитное поле равномерно движущегося заряда.
Опыт показывает, что само магнитное поле порождается движущимися зарядами (токами). В результате обобщения экспериментальных данных был получен элементарный закон, определяющий поле B то- чечного заряда q, движущегося с постоянной нерелятивистской скоростью v. Этот закон записывается в виде
2
B =
µ
0 4π
·
q [
v
r]
r
3
,
(9.3)
где µ
0
— магнитная постоянная ; коэффициент – µ
0
/4π = 10
−7
Гн/м; r — радиус- вектор, проведенный от заряда q к точке наблюдения.
Конец радиуса-вектора r неподвижен в данной системе отсчета, а его начало движется со скоростью v (рис. 9.2), поэтому вектор B в данной системе отсчета зависит не только от положения точки наблюдения, но и от времени.
1
Разработан ряд способов измерения поля B, но все они, в конечном счете, базируются на явлениях, в основе которых лежит уравнение (9.2).
2
Формула (9.3) справедлива и в случае, когда заряд движется с ускорением, однако только на доста- точно малых расстояниях r от заряда (малых настолько, что за время r/c скорость v заряда заметно не меняется).
75
Рис. 9.2
В соответствии с формулой (9.3) вектор B направлен перпенди- кулярно плоскости, в которой расположены векторы v и r, причем вращение вокруг вектора v в направлении вектора B образует с направлением v правовинтовую систему (рис. 9.2). Отметим, что вектор B является аксиальным (псевдовектором).
Величину B называют магнитной индукцией . Единицей магнитной индукции служит тесла (Тл).
Электрическое поле точечного заряда q, движущегося с нере- лятивистской скоростью, описывается известным законом
E =
1 4πε
0
q r
2
e r
(9.4)
Поэтому выражение (9.5) можно представить как
B = ε
0
µ
0
[vE] = [vE]/c
2
,
(9.5)
где c — электродинамическая постоянная ( c = 1/
√
ε
0
µ
0
), она равна скорости света в вакууме (совпадение, как потом выяснилось, не случайное).
1
v q
2
v q
Рис. 9.3
Пример.
Сравнение сил магнитного и электрического взаимодействий движущихся зарядов. Пусть два достаточно массивных точечных заряда q движутся параллельно друг другу с одинаковой нерелятивистской скоростью v, как показано на рис. 9.3. Найти отношение магнитной F
м и электрической
F
э сил, действующих, например, со стороны заряда 1 на заряд 2.
Согласно (9.2) F
м
= qvB и F
э
= qE, где v – скорость заряда 2, а B и E
– индукция магнитного и напряженность электрического полей, создаваемых зарядом 1 в месте нахождения заряда 2.
Отношение F
м
/F
э
= vB/E. В нашем случае согласно (9.5) = vE/c
2
, поэтому
F
м
/F
э
= (v/c)
2
(9.6)
Даже для достаточно больших скоростей, например v = 300 км/с, это отношение рав- но 10
−6
, т. е. магнитная часть силы в миллион раз меньше электрической и составляет ничтожную поправку к электрической силе.
Рассмотренный пример может вызвать естественный вопрос — стоит ли такие силы изучать? Оказывается, стоит, и на это есть две веские причины.
Во-первых, нам приходится встречаться с пучками частиц, движущихся почти со световыми скоростями, и там эта "поправка" к электрической силе становится сравнимой с последней (заметим, что отношение (9.6) справедливо и при релятивистских скоростях).
Во-вторых, при движении, например, электронов вдоль проводов их направленная скорость при обычных плотностях составляет несколько десятых миллиметра в секунду,
и отношение (v/c)
2
≈ 10
−24
. Ничтожная поправка к электрической силе!
Но дело в том, что в данном случае магнитная сила — это практически вся действую- щая сила, ибо электрические силы исчезли в результате почти идеального баланса отри- цательных и положительных зарядов в проводах. Этот баланс намного точнее чем 10
−24
,
и "ничтожная" магнитная сила оказывается, по существу, единственной. А участие гро- мадного числа зарядов в создании тока компенсирует малость этого члена.
Другими словами, избыточные заряды на проводах ничтожно малы по сравнению с суммарным зарядом носителей тока. Поэтому магнитные силы в данном случае намного превосходят электрические силы, действующие на избыточные заряды проводов.
76
9.2
Закон Био—Савара
Принцип суперпозиции.
Опыт дает, что для магнитного поля, как и для электриче- ского, справедлив принцип суперпозиции: магнитное поле, создаваемое несколькими дви- жущимися зарядами или токами, равно векторной сумме магнитных полей, создаваемых каждым зарядом или током в отдельности:
B =
X
B
i
(9.7)
Закон Био-Савара. Рассмотрим вопрос о нахождении магнитного поля, создаваемого постоянными электрическими токами. Этот вопрос будем решать, исходя из закона (9.5),
определяющего индукцию поля B равномерно движущегося точечного заряда. Подставим в (9.5) вместо q заряд ρdV , где dV — элементарный объем, ρ = en — объемная плотность заряда, являющегося носителем тока, и учтем, что ρv = j согласно (20.4). Тогда формула
(9.5) приобретет следующий вид:
d
B =
µ
0 4π
h
jr i
dV
r
3
(9.8)
Если же ток I течет по тонкому проводу с площадью поперечного сечения ∆S, то jdV =
j∆Sdl = Idl, где dl — элемент длины провода. Введя вектор dl в направлении тока I,
перепишем предыдущее равенство так:
jdV = Idl.
(9.9)
Векторы jdV и Idl называют соответственно объемным и линейным элементами тока.
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
exp
−
p
2 2mkT
e
dp x
dp y
dp z
=
=
1 4
2πm e
kT
2
3
/2 exp
−
ϕ
kT
(8.8)
Средняя кинетическая энергия электронов hW
k i =
p
2 2m
=
R [p
2
/ (2m e
)] dn p
R dn p
=
3 2
kT
(8.9)
Рис. 8.2
Плотность тока насыщения.
Направим ось Z прямоугольной декартовой системы координат нормально к поверхности металла
(рис. 8.2). Электроны дают вклад в плотность тока насыщения ком- понентой v z
скорости по оси Z. Вклад в плотность тока от одного электрона равен ev z
= ep z
/m e
. Следовательно, плотность тока насыщения определяется формулой j
нас
=
e m
e
Z
p z>0
p z
dn p
=
2e m
e
(2π
)
3
exp
−
ϕ
kT
∞
Z
−∞
exp
−
p
2
x
2m e
kT
dp x
·
·
∞
Z
−∞
exp
−
p
2
y
2m e
kT
dp y
×
∞
Z
0
p z
exp
−
p
2
z
2m e
kT
dp z
=
=
em e
k
2 2π
2
3
T
2
exp
−
ϕ
kT
(8.10)
или j
нас
= AT
2
exp [−ϕ/ (kT )] ,
(8.11)
где постоянная
A =
em e
k
2
(2π
2
3
)
= 1, 2 · 10 6
· м
−2
· K
−2
(8.12)
70
Рис. 8.3
Равенство (8.11) называется формулой Ричардсона — Деш- мана. Для экспериментальной проверки эту формулу удобно пред- ставить в виде ln j нас
/T
2
= ln A − ϕ/kT .
(8.13)
На графике зависимость ln (j нас
/T
2
) от 1/T по формуле (8.13)
выражается прямой линией (рис. 8.3). Эксперимент подтверждает такую зависимость с учетом небольшого изменения ϕ, которое обусловлено уменьшением µ с температурой [см.
(8.2)]. По углу наклона прямой в соответствии с формулой (8.13) определяется работа вы- хода ϕ. По пересечению прямой с осью ординат вычисляется InA. Величина A по формуле
(8.12) должна быть универсальной постоянной, одинаковой для всех металлов. Это заклю- чение не подтверждается экспериментом. Имеется некоторое различие в A для различных металлов. Например, для меди A = 1, 1·10 6
A·м
−2
·K
−2
, для никеля A = 1, 2·10 6
A·м
−2
·K
−2
,
для платины A = 0, 3 · 10 6
A · м
−2
· K
−2
. Это изменение A обусловлено поверхностными эф- фектами. Кроме того, у кристалла плотность тока насыщения несколько различается для разных граней.
Рис. 8.4
Закон трех вторых.
Рассмотрим зависимость силы тока, проте- кающего в вакууме между электродами, от приложенной разности потенциалов. Электроды будем считать плоскими, а ось X напра- вим нормально поверхности электродов (рис. 8.4). Потенциал ка- тода примем за нуль (ϕ
k
= 0), а потенциал анода обозначим U .
Главным физическим фактором, влияющим на движение элек- тронов между катодом и анодом, является объемный заряд: силы взаимодействия с ним затрудняют движение электронов от катода к аноду под действием приложенной разности потенциалов.
Допустим, что площади пластин катода и анода достаточно велики и при расчете плот- ности тока вблизи линии, соединяющей центры электродов, можно пренебречь изменением величин в направлениях, перпендикулярных этой линии, т. е. рассматривать одномерную задачу, когда все величины зависят только от координаты . Уравнение Пуассона для по- тенциала имеет вид d
2
ϕ
dx
2
= −
ρ
e
ε
0
=
n |e|
ε
0
(8.14)
где n — концентрация электронов. Закон сохранения энергии для дрейфа электронов имеет вид
1/2m e
v
2
д
= |e| ϕ,
(8.15)
где v д
— скорость дрейфа в точке с потенциалом ϕ. Объемная плотность тока в этой точке
|j| = n |e| v д
(8.16)
Все величины в правой части (8.16) являются положительными. Вычислив скорость v д
из
(8.15) и подставив полученное уравнение в (8.16), находим n |e| = |j| [m e
/(2|e|ϕ)]
1/2
(8.17)
С учетом (8.17) уравнение (8.14) преобразуется к виду d
2
ϕ/dx
2
= α
√
ϕ,
(8.18)
71
где α = (|j| /ε
0
)
pm e
/ (2 |e|). Умножая обе части (8.18) на (dϕ/dx) = ˙
ϕ, получаем
¨
ϕ ˙
ϕ = α ˙
ϕ/
√
ϕ
(8.19)
где точками обозначено дифференцирование по . Учитывая, что
¨
ϕ ˙
ϕ =
1 2
d ( ˙
ϕ
2
)
dx
,
˙
ϕ/
√
ϕ = 2
d
√
ϕ
dx
,
(8.20)
запишем (8.19) так:
d
˙
ϕ
2
= 4αd (
√
ϕ)
(8.21)
Теперь можно проинтегрировать обе части (8.21) по x в пределах от 0 до того значения x, при котором потенциал равен ϕ. Тогда
dϕ
dx
2
−
dϕ
dx
2 0
= 4α
√
ϕ,
(8.22)
где учтено, что ϕ (0) = 0. Производная (dϕ/dx)
0
характеризует напряженность электри- ческого поля у катода, α — пропорциональна j. Поэтому объемная плотность тока j до- стигает максимума при (dϕ/dx)
0
= 0 и тогда [см. (8.22)]
dϕ
dx
= 2
√
αϕ
1/4
,
(8.23)
или dϕ
ϕ
1/4
= 2
√
αdx
(8.24)
Интегрируя обе части (8.24) в пределах от = 0, ϕ = 0 до = d, ϕ = U , получаем
U
3/4
=
3 2
d
√
α.
(8.25)
Возводя обе части (8.25) в квадрат и учитывая, что
α = (|j| /ε
0
)
p m
e
/ (2 |e|),
(8.26)
получаем
|j| = βU
3/2
,
(8.27)
где
β =
4ε
0 9d
2
2 |e|
m e
1/2
(8.28)
Расчет аналогичной задачи для коаксиальных цилиндрических электродов, для концен- трических сферических электродов приводит к такому же виду зависимости объемной плотности тока от разности потенциалов в степени три вторых. Впрочем, такую зависи- мость можно было бы ожидать и без расчетов с помощью анализа размерностей. Коэф- фициент β во всех случаях имеет одинаковую размерность, как это следует из уравнения
Пуассона, записанного в различных системах координат.
Рис. 8.5
При отсутствии объемного заряда между катодом и анодом из- менение потенциала происходит по линейному закону (рис. 9.1; пря- мая 1). Объемный заряд изменяет этот ход. Ясно, что вблизи ка- тода объемный заряд уменьшает силы, действующие на электро- ны при отсутствии объемного заряда, а вблизи анода увеличивает.
Поэтому изменение потенциала между электродами с учетом объ- емного заряда характеризуется кривой 2).
72
Вывод формулы (8.27) приведен в предположении, что электро- ны покидают катод с нулевой скоростью. Однако они могут покидать катод с конечной скоростью эмиссии. В этом случае ток будет существовать даже в том случае, если вбли- зи катода имеется небольшое обратное поле. Следовательно, объемная плотность заряда может измениться до таких значений, при которых потенциал вблизи катода уменьшит- ся до отрицательных значений. В результате этого ход потенциала вблизи катода будет характеризоваться пунктирной кривой C.
При достаточно большой разности потенциалов наблюдается отклонение от закона трех вторых. Оно наступает тогда, когда объемная плотность заряда уменьшается настолько, что поддержание нулевого электрического поля у поверхности катода ока- зывается невозможным и, следовательно, будет невыполнимым условие (dϕ/dx)
0
= 0,
при котором был введен закон трех вторых. При дальнейшем увеличении напряженности объемная плотность тока становится независимой от разности потенциалов (ток насыще- ния).
Закон трех вторых здесь рассмотрен в качестве примера нелинейного соотношения между силой тока и напряжением. Он не имеет универсального характера и даже в при- веденном случае справедлив лишь в сравнительно узком интервале напряжений и токов.
Нелинейность вольтамперной характеристики является наиболее важной особенностью многих элементов радио- и электротехнических схем, включая элементы твердотельной электроники.
73
Глава 9
Постоянное магнитное поле в вакууме
9.1
Магнитное поле в вакууме
Магнитные явления обнаружены и изучались издавна. Сначала люди обнаружили есте- ственные магниты, и их взаимодействие между собой и с магнитным полем Земли. Уже несколько столетий магнитный компас применяется для навигации, помогая ориентиро- ваться на местности и, особенно в океанических просторах. Для описания магнитных явлений было введено – по аналогии с электрическим полем – понятие магнитного по- ля. Прорыв в экспериментальном исследовании магнитных полей произошел в XIX веке.
Было установлено, что движущиеся заряды создают магнитное поле, а магнитное поле действует на движущиеся заряды. Начало исследований электромагнитных явлений было положено опытом датского физика Х. Эрстеда (1820).
I
S
S
0
N
N
0
Рис. 9.1
При пропускании по прямолинейному горизонтальному про- воднику постоянного тока I находящаяся под ним магнит- ная стрелка поворачивается вокруг своей вертикальной оси,
стремясь расположиться перпендикулярно проводнику с током
(рис. 9.1). Ось стрелки тем точнее совпадает с этим направлени- ем, чем больше сила тока и чем слабее влияние магнитного поля
Земли. Эрстед обнаружил, что направление поворота северного полюса стрелки под действием электрического тока изменяется на противоположное при изменении направления тока в проводнике. Французский физик
Андре Мари Ампер в опытах в 1820 г. детально изучил взаимодействие двух параллель- ных токов. Ампер догадался, что этот процесс аналогичен отклонению стрелки компаса,
просто в компасе все определяется микротоками в атомном масштабе.
Происхождение магнитного поля Земли предположительно связывают с протеканием токов в жидком металлическом ядре планеты. Токи создают магнитные поля, магнитные поля создают токи, причем в условиях естественной случайной асимметрии движений этот процесс в соответствии с теорией гидромагнитного динамо может оказаться при высоких температурах ядра (порядка нескольких тысяч кельвинов) самоподдерживающимся на достаточно интенсивном уровне.
9.1.1
Сила Лоренца. Поле B
Сила Лоренца.
Опыт показывает, что сила F, действующая на точечный заряд q, за- висит в общем случае не только от положения этого заряда, но и от его скорости v.
Соответственно этому силу F разделяют на две составляющие — электрическую
F
э
(она не зависит от движения заряда) и магнитную
F
м
(она зависит от скорости заряда). В
любой точке пространства направление и модуль магнитной силы зависят от скорости v заряда, причем эта сила всегда перпендикулярна вектору v; кроме того, в любом месте
74
магнитная сила перпендикулярна определенному в данном месте направлению и, наконец,
ее модуль пропорционален той составляющей скорости, которая перпендикулярна этому выделенному направлению.
Все эти свойства магнитной силы можно описать, если ввести понятие магнитного поля. Характеризуя это поле вектором B, определяющим выделенное в каждой точке пространства направление, запишем выражение для магнитной силы в виде
F
м
= q h
v
B
i
(9.1)
Тогда полная электромагнитная сила, действующая на заряд q:
F = q
E + q h
v
B
i
(9.2)
Ее называют силой Лоренца . Последнее выражение является универсальным : оно справедливо как для постоянных, так и для переменных электрических и магнитных полей. Заметим, что v — это скорость заряда относительно интересующей нас системы отсчета. По действию силы Лоренца на заряд можно в принципе определить модули и на- правления векторов E и B. Поэтому выражение для силы Лоренца можно рассматривать как определение электрического и магнитного полей (в случае электрического поля мы так и поступили)
1
. Следует подчеркнуть, что на покоящийся электрический заряд магнитное поле не действует . В этом существенное отличие магнитного поля от электрического. Магнитное поле действует только на движущийся заряд.
Вектор B характеризует силовое действие магнитного поля на движущийся заряд и,
следовательно, является в этом отношении аналогом вектора , характеризующего силовое действие электрического поля.
Важной особенностью магнитной силы является то, что она всегда перпендикулярна вектору скорости заряда, поэтому работы над зарядом не совершает . Это значит, что в постоянном магнитном поле энергия движущейся заряженной частицы всегда остается неизменной, как бы частица ни двигалась.
В нерелятивистском приближении сила Лоренца (9.2), как и любая другая сила, не за- висит от выбора системы отсчета (инерциальной). Вместе с тем магнитная составляющая силы Лоренца меняется при переходе от одной системы отсчета к другой (из-за v). Поэто- му должна меняться и электрическая составляющая qE. Отсюда следует, что разделение полной силы F — силы Лоренца — на электрическую и магнитную зависит от выбора системы отсчета. Без указания системы отсчета такое разделение не имеет смысла.
Магнитное поле равномерно движущегося заряда.
Опыт показывает, что само магнитное поле порождается движущимися зарядами (токами). В результате обобщения экспериментальных данных был получен элементарный закон, определяющий поле B то- чечного заряда q, движущегося с постоянной нерелятивистской скоростью v. Этот закон записывается в виде
2
B =
µ
0 4π
·
q [
v
r]
r
3
,
(9.3)
где µ
0
— магнитная постоянная ; коэффициент – µ
0
/4π = 10
−7
Гн/м; r — радиус- вектор, проведенный от заряда q к точке наблюдения.
Конец радиуса-вектора r неподвижен в данной системе отсчета, а его начало движется со скоростью v (рис. 9.2), поэтому вектор B в данной системе отсчета зависит не только от положения точки наблюдения, но и от времени.
1
Разработан ряд способов измерения поля B, но все они, в конечном счете, базируются на явлениях, в основе которых лежит уравнение (9.2).
2
Формула (9.3) справедлива и в случае, когда заряд движется с ускорением, однако только на доста- точно малых расстояниях r от заряда (малых настолько, что за время r/c скорость v заряда заметно не меняется).
75
Рис. 9.2
В соответствии с формулой (9.3) вектор B направлен перпенди- кулярно плоскости, в которой расположены векторы v и r, причем вращение вокруг вектора v в направлении вектора B образует с направлением v правовинтовую систему (рис. 9.2). Отметим, что вектор B является аксиальным (псевдовектором).
Величину B называют магнитной индукцией . Единицей магнитной индукции служит тесла (Тл).
Электрическое поле точечного заряда q, движущегося с нере- лятивистской скоростью, описывается известным законом
E =
1 4πε
0
q r
2
e r
(9.4)
Поэтому выражение (9.5) можно представить как
B = ε
0
µ
0
[vE] = [vE]/c
2
,
(9.5)
где c — электродинамическая постоянная ( c = 1/
√
ε
0
µ
0
), она равна скорости света в вакууме (совпадение, как потом выяснилось, не случайное).
1
v q
2
v q
Рис. 9.3
Пример.
Сравнение сил магнитного и электрического взаимодействий движущихся зарядов. Пусть два достаточно массивных точечных заряда q движутся параллельно друг другу с одинаковой нерелятивистской скоростью v, как показано на рис. 9.3. Найти отношение магнитной F
м и электрической
F
э сил, действующих, например, со стороны заряда 1 на заряд 2.
Согласно (9.2) F
м
= qvB и F
э
= qE, где v – скорость заряда 2, а B и E
– индукция магнитного и напряженность электрического полей, создаваемых зарядом 1 в месте нахождения заряда 2.
Отношение F
м
/F
э
= vB/E. В нашем случае согласно (9.5) = vE/c
2
, поэтому
F
м
/F
э
= (v/c)
2
(9.6)
Даже для достаточно больших скоростей, например v = 300 км/с, это отношение рав- но 10
−6
, т. е. магнитная часть силы в миллион раз меньше электрической и составляет ничтожную поправку к электрической силе.
Рассмотренный пример может вызвать естественный вопрос — стоит ли такие силы изучать? Оказывается, стоит, и на это есть две веские причины.
Во-первых, нам приходится встречаться с пучками частиц, движущихся почти со световыми скоростями, и там эта "поправка" к электрической силе становится сравнимой с последней (заметим, что отношение (9.6) справедливо и при релятивистских скоростях).
Во-вторых, при движении, например, электронов вдоль проводов их направленная скорость при обычных плотностях составляет несколько десятых миллиметра в секунду,
и отношение (v/c)
2
≈ 10
−24
. Ничтожная поправка к электрической силе!
Но дело в том, что в данном случае магнитная сила — это практически вся действую- щая сила, ибо электрические силы исчезли в результате почти идеального баланса отри- цательных и положительных зарядов в проводах. Этот баланс намного точнее чем 10
−24
,
и "ничтожная" магнитная сила оказывается, по существу, единственной. А участие гро- мадного числа зарядов в создании тока компенсирует малость этого члена.
Другими словами, избыточные заряды на проводах ничтожно малы по сравнению с суммарным зарядом носителей тока. Поэтому магнитные силы в данном случае намного превосходят электрические силы, действующие на избыточные заряды проводов.
76
9.2
Закон Био—Савара
Принцип суперпозиции.
Опыт дает, что для магнитного поля, как и для электриче- ского, справедлив принцип суперпозиции: магнитное поле, создаваемое несколькими дви- жущимися зарядами или токами, равно векторной сумме магнитных полей, создаваемых каждым зарядом или током в отдельности:
B =
X
B
i
(9.7)
Закон Био-Савара. Рассмотрим вопрос о нахождении магнитного поля, создаваемого постоянными электрическими токами. Этот вопрос будем решать, исходя из закона (9.5),
определяющего индукцию поля B равномерно движущегося точечного заряда. Подставим в (9.5) вместо q заряд ρdV , где dV — элементарный объем, ρ = en — объемная плотность заряда, являющегося носителем тока, и учтем, что ρv = j согласно (20.4). Тогда формула
(9.5) приобретет следующий вид:
d
B =
µ
0 4π
h
jr i
dV
r
3
(9.8)
Если же ток I течет по тонкому проводу с площадью поперечного сечения ∆S, то jdV =
j∆Sdl = Idl, где dl — элемент длины провода. Введя вектор dl в направлении тока I,
перепишем предыдущее равенство так:
jdV = Idl.
(9.9)
Векторы jdV и Idl называют соответственно объемным и линейным элементами тока.
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
exp
−
p
2 2mkT
e
dp x
dp y
dp z
=
=
1 4
2πm e
kT
2
3
/2 exp
−
ϕ
kT
(8.8)
Средняя кинетическая энергия электронов hW
k i =
p
2 2m
=
R [p
2
/ (2m e
)] dn p
R dn p
=
3 2
kT
(8.9)
Рис. 8.2
Плотность тока насыщения.
Направим ось Z прямоугольной декартовой системы координат нормально к поверхности металла
(рис. 8.2). Электроны дают вклад в плотность тока насыщения ком- понентой v z
скорости по оси Z. Вклад в плотность тока от одного электрона равен ev z
= ep z
/m e
. Следовательно, плотность тока насыщения определяется формулой j
нас
=
e m
e
Z
p z>0
p z
dn p
=
2e m
e
(2π
)
3
exp
−
ϕ
kT
∞
Z
−∞
exp
−
p
2
x
2m e
kT
dp x
·
·
∞
Z
−∞
exp
−
p
2
y
2m e
kT
dp y
×
∞
Z
0
p z
exp
−
p
2
z
2m e
kT
dp z
=
=
em e
k
2 2π
2
3
T
2
exp
−
ϕ
kT
(8.10)
или j
нас
= AT
2
exp [−ϕ/ (kT )] ,
(8.11)
где постоянная
A =
em e
k
2
(2π
2
3
)
= 1, 2 · 10 6
· м
−2
· K
−2
(8.12)
70
Рис. 8.3
Равенство (8.11) называется формулой Ричардсона — Деш- мана. Для экспериментальной проверки эту формулу удобно пред- ставить в виде ln j нас
/T
2
= ln A − ϕ/kT .
(8.13)
На графике зависимость ln (j нас
/T
2
) от 1/T по формуле (8.13)
выражается прямой линией (рис. 8.3). Эксперимент подтверждает такую зависимость с учетом небольшого изменения ϕ, которое обусловлено уменьшением µ с температурой [см.
(8.2)]. По углу наклона прямой в соответствии с формулой (8.13) определяется работа вы- хода ϕ. По пересечению прямой с осью ординат вычисляется InA. Величина A по формуле
(8.12) должна быть универсальной постоянной, одинаковой для всех металлов. Это заклю- чение не подтверждается экспериментом. Имеется некоторое различие в A для различных металлов. Например, для меди A = 1, 1·10 6
A·м
−2
·K
−2
, для никеля A = 1, 2·10 6
A·м
−2
·K
−2
,
для платины A = 0, 3 · 10 6
A · м
−2
· K
−2
. Это изменение A обусловлено поверхностными эф- фектами. Кроме того, у кристалла плотность тока насыщения несколько различается для разных граней.
Рис. 8.4
Закон трех вторых.
Рассмотрим зависимость силы тока, проте- кающего в вакууме между электродами, от приложенной разности потенциалов. Электроды будем считать плоскими, а ось X напра- вим нормально поверхности электродов (рис. 8.4). Потенциал ка- тода примем за нуль (ϕ
k
= 0), а потенциал анода обозначим U .
Главным физическим фактором, влияющим на движение элек- тронов между катодом и анодом, является объемный заряд: силы взаимодействия с ним затрудняют движение электронов от катода к аноду под действием приложенной разности потенциалов.
Допустим, что площади пластин катода и анода достаточно велики и при расчете плот- ности тока вблизи линии, соединяющей центры электродов, можно пренебречь изменением величин в направлениях, перпендикулярных этой линии, т. е. рассматривать одномерную задачу, когда все величины зависят только от координаты . Уравнение Пуассона для по- тенциала имеет вид d
2
ϕ
dx
2
= −
ρ
e
ε
0
=
n |e|
ε
0
(8.14)
где n — концентрация электронов. Закон сохранения энергии для дрейфа электронов имеет вид
1/2m e
v
2
д
= |e| ϕ,
(8.15)
где v д
— скорость дрейфа в точке с потенциалом ϕ. Объемная плотность тока в этой точке
|j| = n |e| v д
(8.16)
Все величины в правой части (8.16) являются положительными. Вычислив скорость v д
из
(8.15) и подставив полученное уравнение в (8.16), находим n |e| = |j| [m e
/(2|e|ϕ)]
1/2
(8.17)
С учетом (8.17) уравнение (8.14) преобразуется к виду d
2
ϕ/dx
2
= α
√
ϕ,
(8.18)
71
где α = (|j| /ε
0
)
pm e
/ (2 |e|). Умножая обе части (8.18) на (dϕ/dx) = ˙
ϕ, получаем
¨
ϕ ˙
ϕ = α ˙
ϕ/
√
ϕ
(8.19)
где точками обозначено дифференцирование по . Учитывая, что
¨
ϕ ˙
ϕ =
1 2
d ( ˙
ϕ
2
)
dx
,
˙
ϕ/
√
ϕ = 2
d
√
ϕ
dx
,
(8.20)
запишем (8.19) так:
d
˙
ϕ
2
= 4αd (
√
ϕ)
(8.21)
Теперь можно проинтегрировать обе части (8.21) по x в пределах от 0 до того значения x, при котором потенциал равен ϕ. Тогда
dϕ
dx
2
−
dϕ
dx
2 0
= 4α
√
ϕ,
(8.22)
где учтено, что ϕ (0) = 0. Производная (dϕ/dx)
0
характеризует напряженность электри- ческого поля у катода, α — пропорциональна j. Поэтому объемная плотность тока j до- стигает максимума при (dϕ/dx)
0
= 0 и тогда [см. (8.22)]
dϕ
dx
= 2
√
αϕ
1/4
,
(8.23)
или dϕ
ϕ
1/4
= 2
√
αdx
(8.24)
Интегрируя обе части (8.24) в пределах от = 0, ϕ = 0 до = d, ϕ = U , получаем
U
3/4
=
3 2
d
√
α.
(8.25)
Возводя обе части (8.25) в квадрат и учитывая, что
α = (|j| /ε
0
)
p m
e
/ (2 |e|),
(8.26)
получаем
|j| = βU
3/2
,
(8.27)
где
β =
4ε
0 9d
2
2 |e|
m e
1/2
(8.28)
Расчет аналогичной задачи для коаксиальных цилиндрических электродов, для концен- трических сферических электродов приводит к такому же виду зависимости объемной плотности тока от разности потенциалов в степени три вторых. Впрочем, такую зависи- мость можно было бы ожидать и без расчетов с помощью анализа размерностей. Коэф- фициент β во всех случаях имеет одинаковую размерность, как это следует из уравнения
Пуассона, записанного в различных системах координат.
Рис. 8.5
При отсутствии объемного заряда между катодом и анодом из- менение потенциала происходит по линейному закону (рис. 9.1; пря- мая 1). Объемный заряд изменяет этот ход. Ясно, что вблизи ка- тода объемный заряд уменьшает силы, действующие на электро- ны при отсутствии объемного заряда, а вблизи анода увеличивает.
Поэтому изменение потенциала между электродами с учетом объ- емного заряда характеризуется кривой 2).
72
Вывод формулы (8.27) приведен в предположении, что электро- ны покидают катод с нулевой скоростью. Однако они могут покидать катод с конечной скоростью эмиссии. В этом случае ток будет существовать даже в том случае, если вбли- зи катода имеется небольшое обратное поле. Следовательно, объемная плотность заряда может измениться до таких значений, при которых потенциал вблизи катода уменьшит- ся до отрицательных значений. В результате этого ход потенциала вблизи катода будет характеризоваться пунктирной кривой C.
При достаточно большой разности потенциалов наблюдается отклонение от закона трех вторых. Оно наступает тогда, когда объемная плотность заряда уменьшается настолько, что поддержание нулевого электрического поля у поверхности катода ока- зывается невозможным и, следовательно, будет невыполнимым условие (dϕ/dx)
0
= 0,
при котором был введен закон трех вторых. При дальнейшем увеличении напряженности объемная плотность тока становится независимой от разности потенциалов (ток насыще- ния).
Закон трех вторых здесь рассмотрен в качестве примера нелинейного соотношения между силой тока и напряжением. Он не имеет универсального характера и даже в при- веденном случае справедлив лишь в сравнительно узком интервале напряжений и токов.
Нелинейность вольтамперной характеристики является наиболее важной особенностью многих элементов радио- и электротехнических схем, включая элементы твердотельной электроники.
73
Глава 9
Постоянное магнитное поле в вакууме
9.1
Магнитное поле в вакууме
Магнитные явления обнаружены и изучались издавна. Сначала люди обнаружили есте- ственные магниты, и их взаимодействие между собой и с магнитным полем Земли. Уже несколько столетий магнитный компас применяется для навигации, помогая ориентиро- ваться на местности и, особенно в океанических просторах. Для описания магнитных явлений было введено – по аналогии с электрическим полем – понятие магнитного по- ля. Прорыв в экспериментальном исследовании магнитных полей произошел в XIX веке.
Было установлено, что движущиеся заряды создают магнитное поле, а магнитное поле действует на движущиеся заряды. Начало исследований электромагнитных явлений было положено опытом датского физика Х. Эрстеда (1820).
I
S
S
0
N
N
0
Рис. 9.1
При пропускании по прямолинейному горизонтальному про- воднику постоянного тока I находящаяся под ним магнит- ная стрелка поворачивается вокруг своей вертикальной оси,
стремясь расположиться перпендикулярно проводнику с током
(рис. 9.1). Ось стрелки тем точнее совпадает с этим направлени- ем, чем больше сила тока и чем слабее влияние магнитного поля
Земли. Эрстед обнаружил, что направление поворота северного полюса стрелки под действием электрического тока изменяется на противоположное при изменении направления тока в проводнике. Французский физик
Андре Мари Ампер в опытах в 1820 г. детально изучил взаимодействие двух параллель- ных токов. Ампер догадался, что этот процесс аналогичен отклонению стрелки компаса,
просто в компасе все определяется микротоками в атомном масштабе.
Происхождение магнитного поля Земли предположительно связывают с протеканием токов в жидком металлическом ядре планеты. Токи создают магнитные поля, магнитные поля создают токи, причем в условиях естественной случайной асимметрии движений этот процесс в соответствии с теорией гидромагнитного динамо может оказаться при высоких температурах ядра (порядка нескольких тысяч кельвинов) самоподдерживающимся на достаточно интенсивном уровне.
9.1.1
Сила Лоренца. Поле B
Сила Лоренца.
Опыт показывает, что сила F, действующая на точечный заряд q, за- висит в общем случае не только от положения этого заряда, но и от его скорости v.
Соответственно этому силу F разделяют на две составляющие — электрическую
F
э
(она не зависит от движения заряда) и магнитную
F
м
(она зависит от скорости заряда). В
любой точке пространства направление и модуль магнитной силы зависят от скорости v заряда, причем эта сила всегда перпендикулярна вектору v; кроме того, в любом месте
74
магнитная сила перпендикулярна определенному в данном месте направлению и, наконец,
ее модуль пропорционален той составляющей скорости, которая перпендикулярна этому выделенному направлению.
Все эти свойства магнитной силы можно описать, если ввести понятие магнитного поля. Характеризуя это поле вектором B, определяющим выделенное в каждой точке пространства направление, запишем выражение для магнитной силы в виде
F
м
= q h
v
B
i
(9.1)
Тогда полная электромагнитная сила, действующая на заряд q:
F = q
E + q h
v
B
i
(9.2)
Ее называют силой Лоренца . Последнее выражение является универсальным : оно справедливо как для постоянных, так и для переменных электрических и магнитных полей. Заметим, что v — это скорость заряда относительно интересующей нас системы отсчета. По действию силы Лоренца на заряд можно в принципе определить модули и на- правления векторов E и B. Поэтому выражение для силы Лоренца можно рассматривать как определение электрического и магнитного полей (в случае электрического поля мы так и поступили)
1
. Следует подчеркнуть, что на покоящийся электрический заряд магнитное поле не действует . В этом существенное отличие магнитного поля от электрического. Магнитное поле действует только на движущийся заряд.
Вектор B характеризует силовое действие магнитного поля на движущийся заряд и,
следовательно, является в этом отношении аналогом вектора , характеризующего силовое действие электрического поля.
Важной особенностью магнитной силы является то, что она всегда перпендикулярна вектору скорости заряда, поэтому работы над зарядом не совершает . Это значит, что в постоянном магнитном поле энергия движущейся заряженной частицы всегда остается неизменной, как бы частица ни двигалась.
В нерелятивистском приближении сила Лоренца (9.2), как и любая другая сила, не за- висит от выбора системы отсчета (инерциальной). Вместе с тем магнитная составляющая силы Лоренца меняется при переходе от одной системы отсчета к другой (из-за v). Поэто- му должна меняться и электрическая составляющая qE. Отсюда следует, что разделение полной силы F — силы Лоренца — на электрическую и магнитную зависит от выбора системы отсчета. Без указания системы отсчета такое разделение не имеет смысла.
Магнитное поле равномерно движущегося заряда.
Опыт показывает, что само магнитное поле порождается движущимися зарядами (токами). В результате обобщения экспериментальных данных был получен элементарный закон, определяющий поле B то- чечного заряда q, движущегося с постоянной нерелятивистской скоростью v. Этот закон записывается в виде
2
B =
µ
0 4π
·
q [
v
r]
r
3
,
(9.3)
где µ
0
— магнитная постоянная ; коэффициент – µ
0
/4π = 10
−7
Гн/м; r — радиус- вектор, проведенный от заряда q к точке наблюдения.
Конец радиуса-вектора r неподвижен в данной системе отсчета, а его начало движется со скоростью v (рис. 9.2), поэтому вектор B в данной системе отсчета зависит не только от положения точки наблюдения, но и от времени.
1
Разработан ряд способов измерения поля B, но все они, в конечном счете, базируются на явлениях, в основе которых лежит уравнение (9.2).
2
Формула (9.3) справедлива и в случае, когда заряд движется с ускорением, однако только на доста- точно малых расстояниях r от заряда (малых настолько, что за время r/c скорость v заряда заметно не меняется).
75
Рис. 9.2
В соответствии с формулой (9.3) вектор B направлен перпенди- кулярно плоскости, в которой расположены векторы v и r, причем вращение вокруг вектора v в направлении вектора B образует с направлением v правовинтовую систему (рис. 9.2). Отметим, что вектор B является аксиальным (псевдовектором).
Величину B называют магнитной индукцией . Единицей магнитной индукции служит тесла (Тл).
Электрическое поле точечного заряда q, движущегося с нере- лятивистской скоростью, описывается известным законом
E =
1 4πε
0
q r
2
e r
(9.4)
Поэтому выражение (9.5) можно представить как
B = ε
0
µ
0
[vE] = [vE]/c
2
,
(9.5)
где c — электродинамическая постоянная ( c = 1/
√
ε
0
µ
0
), она равна скорости света в вакууме (совпадение, как потом выяснилось, не случайное).
1
v q
2
v q
Рис. 9.3
Пример.
Сравнение сил магнитного и электрического взаимодействий движущихся зарядов. Пусть два достаточно массивных точечных заряда q движутся параллельно друг другу с одинаковой нерелятивистской скоростью v, как показано на рис. 9.3. Найти отношение магнитной F
м и электрической
F
э сил, действующих, например, со стороны заряда 1 на заряд 2.
Согласно (9.2) F
м
= qvB и F
э
= qE, где v – скорость заряда 2, а B и E
– индукция магнитного и напряженность электрического полей, создаваемых зарядом 1 в месте нахождения заряда 2.
Отношение F
м
/F
э
= vB/E. В нашем случае согласно (9.5) = vE/c
2
, поэтому
F
м
/F
э
= (v/c)
2
(9.6)
Даже для достаточно больших скоростей, например v = 300 км/с, это отношение рав- но 10
−6
, т. е. магнитная часть силы в миллион раз меньше электрической и составляет ничтожную поправку к электрической силе.
Рассмотренный пример может вызвать естественный вопрос — стоит ли такие силы изучать? Оказывается, стоит, и на это есть две веские причины.
Во-первых, нам приходится встречаться с пучками частиц, движущихся почти со световыми скоростями, и там эта "поправка" к электрической силе становится сравнимой с последней (заметим, что отношение (9.6) справедливо и при релятивистских скоростях).
Во-вторых, при движении, например, электронов вдоль проводов их направленная скорость при обычных плотностях составляет несколько десятых миллиметра в секунду,
и отношение (v/c)
2
≈ 10
−24
. Ничтожная поправка к электрической силе!
Но дело в том, что в данном случае магнитная сила — это практически вся действую- щая сила, ибо электрические силы исчезли в результате почти идеального баланса отри- цательных и положительных зарядов в проводах. Этот баланс намного точнее чем 10
−24
,
и "ничтожная" магнитная сила оказывается, по существу, единственной. А участие гро- мадного числа зарядов в создании тока компенсирует малость этого члена.
Другими словами, избыточные заряды на проводах ничтожно малы по сравнению с суммарным зарядом носителей тока. Поэтому магнитные силы в данном случае намного превосходят электрические силы, действующие на избыточные заряды проводов.
76
9.2
Закон Био—Савара
Принцип суперпозиции.
Опыт дает, что для магнитного поля, как и для электриче- ского, справедлив принцип суперпозиции: магнитное поле, создаваемое несколькими дви- жущимися зарядами или токами, равно векторной сумме магнитных полей, создаваемых каждым зарядом или током в отдельности:
B =
X
B
i
(9.7)
Закон Био-Савара. Рассмотрим вопрос о нахождении магнитного поля, создаваемого постоянными электрическими токами. Этот вопрос будем решать, исходя из закона (9.5),
определяющего индукцию поля B равномерно движущегося точечного заряда. Подставим в (9.5) вместо q заряд ρdV , где dV — элементарный объем, ρ = en — объемная плотность заряда, являющегося носителем тока, и учтем, что ρv = j согласно (20.4). Тогда формула
(9.5) приобретет следующий вид:
d
B =
µ
0 4π
h
jr i
dV
r
3
(9.8)
Если же ток I течет по тонкому проводу с площадью поперечного сечения ∆S, то jdV =
j∆Sdl = Idl, где dl — элемент длины провода. Введя вектор dl в направлении тока I,
перепишем предыдущее равенство так:
jdV = Idl.
(9.9)
Векторы jdV и Idl называют соответственно объемным и линейным элементами тока.
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
exp
−
p
2 2mkT
e
dp x
dp y
dp z
=
=
1 4
2πm e
kT
2
3
/2 exp
−
ϕ
kT
(8.8)
Средняя кинетическая энергия электронов hW
k i =
p
2 2m
=
R [p
2
/ (2m e
)] dn p
R dn p
=
3 2
kT
(8.9)
Рис. 8.2
Плотность тока насыщения.
Направим ось Z прямоугольной декартовой системы координат нормально к поверхности металла
(рис. 8.2). Электроны дают вклад в плотность тока насыщения ком- понентой v z
скорости по оси Z. Вклад в плотность тока от одного электрона равен ev z
= ep z
/m e
. Следовательно, плотность тока насыщения определяется формулой j
нас
=
e m
e
Z
p z>0
p z
dn p
=
2e m
e
(2π
)
3
exp
−
ϕ
kT
∞
Z
−∞
exp
−
p
2
x
2m e
kT
dp x
·
·
∞
Z
−∞
exp
−
p
2
y
2m e
kT
dp y
×
∞
Z
0
p z
exp
−
p
2
z
2m e
kT
dp z
=
=
em e
k
2 2π
2
3
T
2
exp
−
ϕ
kT
(8.10)
или j
нас
= AT
2
exp [−ϕ/ (kT )] ,
(8.11)
где постоянная
A =
em e
k
2
(2π
2
3
)
= 1, 2 · 10 6
· м
−2
· K
−2
(8.12)
70
Рис. 8.3
Равенство (8.11) называется формулой Ричардсона — Деш- мана. Для экспериментальной проверки эту формулу удобно пред- ставить в виде ln j нас
/T
2
= ln A − ϕ/kT .
(8.13)
На графике зависимость ln (j нас
/T
2
) от 1/T по формуле (8.13)
выражается прямой линией (рис. 8.3). Эксперимент подтверждает такую зависимость с учетом небольшого изменения ϕ, которое обусловлено уменьшением µ с температурой [см.
(8.2)]. По углу наклона прямой в соответствии с формулой (8.13) определяется работа вы- хода ϕ. По пересечению прямой с осью ординат вычисляется InA. Величина A по формуле
(8.12) должна быть универсальной постоянной, одинаковой для всех металлов. Это заклю- чение не подтверждается экспериментом. Имеется некоторое различие в A для различных металлов. Например, для меди A = 1, 1·10 6
A·м
−2
·K
−2
, для никеля A = 1, 2·10 6
A·м
−2
·K
−2
,
для платины A = 0, 3 · 10 6
A · м
−2
· K
−2
. Это изменение A обусловлено поверхностными эф- фектами. Кроме того, у кристалла плотность тока насыщения несколько различается для разных граней.
Рис. 8.4
Закон трех вторых.
Рассмотрим зависимость силы тока, проте- кающего в вакууме между электродами, от приложенной разности потенциалов. Электроды будем считать плоскими, а ось X напра- вим нормально поверхности электродов (рис. 8.4). Потенциал ка- тода примем за нуль (ϕ
k
= 0), а потенциал анода обозначим U .
Главным физическим фактором, влияющим на движение элек- тронов между катодом и анодом, является объемный заряд: силы взаимодействия с ним затрудняют движение электронов от катода к аноду под действием приложенной разности потенциалов.
Допустим, что площади пластин катода и анода достаточно велики и при расчете плот- ности тока вблизи линии, соединяющей центры электродов, можно пренебречь изменением величин в направлениях, перпендикулярных этой линии, т. е. рассматривать одномерную задачу, когда все величины зависят только от координаты . Уравнение Пуассона для по- тенциала имеет вид d
2
ϕ
dx
2
= −
ρ
e
ε
0
=
n |e|
ε
0
(8.14)
где n — концентрация электронов. Закон сохранения энергии для дрейфа электронов имеет вид
1/2m e
v
2
д
= |e| ϕ,
(8.15)
где v д
— скорость дрейфа в точке с потенциалом ϕ. Объемная плотность тока в этой точке
|j| = n |e| v д
(8.16)
Все величины в правой части (8.16) являются положительными. Вычислив скорость v д
из
(8.15) и подставив полученное уравнение в (8.16), находим n |e| = |j| [m e
/(2|e|ϕ)]
1/2
(8.17)
С учетом (8.17) уравнение (8.14) преобразуется к виду d
2
ϕ/dx
2
= α
√
ϕ,
(8.18)
71
где α = (|j| /ε
0
)
pm e
/ (2 |e|). Умножая обе части (8.18) на (dϕ/dx) = ˙
ϕ, получаем
¨
ϕ ˙
ϕ = α ˙
ϕ/
√
ϕ
(8.19)
где точками обозначено дифференцирование по . Учитывая, что
¨
ϕ ˙
ϕ =
1 2
d ( ˙
ϕ
2
)
dx
,
˙
ϕ/
√
ϕ = 2
d
√
ϕ
dx
,
(8.20)
запишем (8.19) так:
d
˙
ϕ
2
= 4αd (
√
ϕ)
(8.21)
Теперь можно проинтегрировать обе части (8.21) по x в пределах от 0 до того значения x, при котором потенциал равен ϕ. Тогда
dϕ
dx
2
−
dϕ
dx
2 0
= 4α
√
ϕ,
(8.22)
где учтено, что ϕ (0) = 0. Производная (dϕ/dx)
0
характеризует напряженность электри- ческого поля у катода, α — пропорциональна j. Поэтому объемная плотность тока j до- стигает максимума при (dϕ/dx)
0
= 0 и тогда [см. (8.22)]
dϕ
dx
= 2
√
αϕ
1/4
,
(8.23)
или dϕ
ϕ
1/4
= 2
√
αdx
(8.24)
Интегрируя обе части (8.24) в пределах от = 0, ϕ = 0 до = d, ϕ = U , получаем
U
3/4
=
3 2
d
√
α.
(8.25)
Возводя обе части (8.25) в квадрат и учитывая, что
α = (|j| /ε
0
)
p m
e
/ (2 |e|),
(8.26)
получаем
|j| = βU
3/2
,
(8.27)
где
β =
4ε
0 9d
2
2 |e|
m e
1/2
(8.28)
Расчет аналогичной задачи для коаксиальных цилиндрических электродов, для концен- трических сферических электродов приводит к такому же виду зависимости объемной плотности тока от разности потенциалов в степени три вторых. Впрочем, такую зависи- мость можно было бы ожидать и без расчетов с помощью анализа размерностей. Коэф- фициент β во всех случаях имеет одинаковую размерность, как это следует из уравнения
Пуассона, записанного в различных системах координат.
Рис. 8.5
При отсутствии объемного заряда между катодом и анодом из- менение потенциала происходит по линейному закону (рис. 9.1; пря- мая 1). Объемный заряд изменяет этот ход. Ясно, что вблизи ка- тода объемный заряд уменьшает силы, действующие на электро- ны при отсутствии объемного заряда, а вблизи анода увеличивает.
Поэтому изменение потенциала между электродами с учетом объ- емного заряда характеризуется кривой 2).
72
Вывод формулы (8.27) приведен в предположении, что электро- ны покидают катод с нулевой скоростью. Однако они могут покидать катод с конечной скоростью эмиссии. В этом случае ток будет существовать даже в том случае, если вбли- зи катода имеется небольшое обратное поле. Следовательно, объемная плотность заряда может измениться до таких значений, при которых потенциал вблизи катода уменьшит- ся до отрицательных значений. В результате этого ход потенциала вблизи катода будет характеризоваться пунктирной кривой C.
При достаточно большой разности потенциалов наблюдается отклонение от закона трех вторых. Оно наступает тогда, когда объемная плотность заряда уменьшается настолько, что поддержание нулевого электрического поля у поверхности катода ока- зывается невозможным и, следовательно, будет невыполнимым условие (dϕ/dx)
0
= 0,
при котором был введен закон трех вторых. При дальнейшем увеличении напряженности объемная плотность тока становится независимой от разности потенциалов (ток насыще- ния).
Закон трех вторых здесь рассмотрен в качестве примера нелинейного соотношения между силой тока и напряжением. Он не имеет универсального характера и даже в при- веденном случае справедлив лишь в сравнительно узком интервале напряжений и токов.
Нелинейность вольтамперной характеристики является наиболее важной особенностью многих элементов радио- и электротехнических схем, включая элементы твердотельной электроники.
73
Глава 9
Постоянное магнитное поле в вакууме
9.1
Магнитное поле в вакууме
Магнитные явления обнаружены и изучались издавна. Сначала люди обнаружили есте- ственные магниты, и их взаимодействие между собой и с магнитным полем Земли. Уже несколько столетий магнитный компас применяется для навигации, помогая ориентиро- ваться на местности и, особенно в океанических просторах. Для описания магнитных явлений было введено – по аналогии с электрическим полем – понятие магнитного по- ля. Прорыв в экспериментальном исследовании магнитных полей произошел в XIX веке.
Было установлено, что движущиеся заряды создают магнитное поле, а магнитное поле действует на движущиеся заряды. Начало исследований электромагнитных явлений было положено опытом датского физика Х. Эрстеда (1820).
I
S
S
0
N
N
0
Рис. 9.1
При пропускании по прямолинейному горизонтальному про- воднику постоянного тока I находящаяся под ним магнит- ная стрелка поворачивается вокруг своей вертикальной оси,
стремясь расположиться перпендикулярно проводнику с током
(рис. 9.1). Ось стрелки тем точнее совпадает с этим направлени- ем, чем больше сила тока и чем слабее влияние магнитного поля
Земли. Эрстед обнаружил, что направление поворота северного полюса стрелки под действием электрического тока изменяется на противоположное при изменении направления тока в проводнике. Французский физик
Андре Мари Ампер в опытах в 1820 г. детально изучил взаимодействие двух параллель- ных токов. Ампер догадался, что этот процесс аналогичен отклонению стрелки компаса,
просто в компасе все определяется микротоками в атомном масштабе.
Происхождение магнитного поля Земли предположительно связывают с протеканием токов в жидком металлическом ядре планеты. Токи создают магнитные поля, магнитные поля создают токи, причем в условиях естественной случайной асимметрии движений этот процесс в соответствии с теорией гидромагнитного динамо может оказаться при высоких температурах ядра (порядка нескольких тысяч кельвинов) самоподдерживающимся на достаточно интенсивном уровне.
9.1.1
Сила Лоренца. Поле B
Сила Лоренца.
Опыт показывает, что сила F, действующая на точечный заряд q, за- висит в общем случае не только от положения этого заряда, но и от его скорости v.
Соответственно этому силу F разделяют на две составляющие — электрическую
F
э
(она не зависит от движения заряда) и магнитную
F
м
(она зависит от скорости заряда). В
любой точке пространства направление и модуль магнитной силы зависят от скорости v заряда, причем эта сила всегда перпендикулярна вектору v; кроме того, в любом месте
74
магнитная сила перпендикулярна определенному в данном месте направлению и, наконец,
ее модуль пропорционален той составляющей скорости, которая перпендикулярна этому выделенному направлению.
Все эти свойства магнитной силы можно описать, если ввести понятие магнитного поля. Характеризуя это поле вектором B, определяющим выделенное в каждой точке пространства направление, запишем выражение для магнитной силы в виде
F
м
= q h
v
B
i
(9.1)
Тогда полная электромагнитная сила, действующая на заряд q:
F = q
E + q h
v
B
i
(9.2)
Ее называют силой Лоренца . Последнее выражение является универсальным : оно справедливо как для постоянных, так и для переменных электрических и магнитных полей. Заметим, что v — это скорость заряда относительно интересующей нас системы отсчета. По действию силы Лоренца на заряд можно в принципе определить модули и на- правления векторов E и B. Поэтому выражение для силы Лоренца можно рассматривать как определение электрического и магнитного полей (в случае электрического поля мы так и поступили)
1
. Следует подчеркнуть, что на покоящийся электрический заряд магнитное поле не действует . В этом существенное отличие магнитного поля от электрического. Магнитное поле действует только на движущийся заряд.
Вектор B характеризует силовое действие магнитного поля на движущийся заряд и,
следовательно, является в этом отношении аналогом вектора , характеризующего силовое действие электрического поля.
Важной особенностью магнитной силы является то, что она всегда перпендикулярна вектору скорости заряда, поэтому работы над зарядом не совершает . Это значит, что в постоянном магнитном поле энергия движущейся заряженной частицы всегда остается неизменной, как бы частица ни двигалась.
В нерелятивистском приближении сила Лоренца (9.2), как и любая другая сила, не за- висит от выбора системы отсчета (инерциальной). Вместе с тем магнитная составляющая силы Лоренца меняется при переходе от одной системы отсчета к другой (из-за v). Поэто- му должна меняться и электрическая составляющая qE. Отсюда следует, что разделение полной силы F — силы Лоренца — на электрическую и магнитную зависит от выбора системы отсчета. Без указания системы отсчета такое разделение не имеет смысла.
Магнитное поле равномерно движущегося заряда.
Опыт показывает, что само магнитное поле порождается движущимися зарядами (токами). В результате обобщения экспериментальных данных был получен элементарный закон, определяющий поле B то- чечного заряда q, движущегося с постоянной нерелятивистской скоростью v. Этот закон записывается в виде
2
B =
µ
0 4π
·
q [
v
r]
r
3
,
(9.3)
где µ
0
— магнитная постоянная ; коэффициент – µ
0
/4π = 10
−7
Гн/м; r — радиус- вектор, проведенный от заряда q к точке наблюдения.
Конец радиуса-вектора r неподвижен в данной системе отсчета, а его начало движется со скоростью v (рис. 9.2), поэтому вектор B в данной системе отсчета зависит не только от положения точки наблюдения, но и от времени.
1
Разработан ряд способов измерения поля B, но все они, в конечном счете, базируются на явлениях, в основе которых лежит уравнение (9.2).
2
Формула (9.3) справедлива и в случае, когда заряд движется с ускорением, однако только на доста- точно малых расстояниях r от заряда (малых настолько, что за время r/c скорость v заряда заметно не меняется).
75
Рис. 9.2
В соответствии с формулой (9.3) вектор B направлен перпенди- кулярно плоскости, в которой расположены векторы v и r, причем вращение вокруг вектора v в направлении вектора B образует с направлением v правовинтовую систему (рис. 9.2). Отметим, что вектор B является аксиальным (псевдовектором).
Величину B называют магнитной индукцией . Единицей магнитной индукции служит тесла (Тл).
Электрическое поле точечного заряда q, движущегося с нере- лятивистской скоростью, описывается известным законом
E =
1 4πε
0
q r
2
e r
(9.4)
Поэтому выражение (9.5) можно представить как
B = ε
0
µ
0
[vE] = [vE]/c
2
,
(9.5)
где c — электродинамическая постоянная ( c = 1/
√
ε
0
µ
0
), она равна скорости света в вакууме (совпадение, как потом выяснилось, не случайное).
1
v q
2
v q
Рис. 9.3
Пример.
Сравнение сил магнитного и электрического взаимодействий движущихся зарядов. Пусть два достаточно массивных точечных заряда q движутся параллельно друг другу с одинаковой нерелятивистской скоростью v, как показано на рис. 9.3. Найти отношение магнитной F
м и электрической
F
э сил, действующих, например, со стороны заряда 1 на заряд 2.
Согласно (9.2) F
м
= qvB и F
э
= qE, где v – скорость заряда 2, а B и E
– индукция магнитного и напряженность электрического полей, создаваемых зарядом 1 в месте нахождения заряда 2.
Отношение F
м
/F
э
= vB/E. В нашем случае согласно (9.5) = vE/c
2
, поэтому
F
м
/F
э
= (v/c)
2
(9.6)
Даже для достаточно больших скоростей, например v = 300 км/с, это отношение рав- но 10
−6
, т. е. магнитная часть силы в миллион раз меньше электрической и составляет ничтожную поправку к электрической силе.
Рассмотренный пример может вызвать естественный вопрос — стоит ли такие силы изучать? Оказывается, стоит, и на это есть две веские причины.
Во-первых, нам приходится встречаться с пучками частиц, движущихся почти со световыми скоростями, и там эта "поправка" к электрической силе становится сравнимой с последней (заметим, что отношение (9.6) справедливо и при релятивистских скоростях).
Во-вторых, при движении, например, электронов вдоль проводов их направленная скорость при обычных плотностях составляет несколько десятых миллиметра в секунду,
и отношение (v/c)
2
≈ 10
−24
. Ничтожная поправка к электрической силе!
Но дело в том, что в данном случае магнитная сила — это практически вся действую- щая сила, ибо электрические силы исчезли в результате почти идеального баланса отри- цательных и положительных зарядов в проводах. Этот баланс намного точнее чем 10
−24
,
и "ничтожная" магнитная сила оказывается, по существу, единственной. А участие гро- мадного числа зарядов в создании тока компенсирует малость этого члена.
Другими словами, избыточные заряды на проводах ничтожно малы по сравнению с суммарным зарядом носителей тока. Поэтому магнитные силы в данном случае намного превосходят электрические силы, действующие на избыточные заряды проводов.
76
9.2
Закон Био—Савара
Принцип суперпозиции.
Опыт дает, что для магнитного поля, как и для электриче- ского, справедлив принцип суперпозиции: магнитное поле, создаваемое несколькими дви- жущимися зарядами или токами, равно векторной сумме магнитных полей, создаваемых каждым зарядом или током в отдельности:
B =
X
B
i
(9.7)
Закон Био-Савара. Рассмотрим вопрос о нахождении магнитного поля, создаваемого постоянными электрическими токами. Этот вопрос будем решать, исходя из закона (9.5),
определяющего индукцию поля B равномерно движущегося точечного заряда. Подставим в (9.5) вместо q заряд ρdV , где dV — элементарный объем, ρ = en — объемная плотность заряда, являющегося носителем тока, и учтем, что ρv = j согласно (20.4). Тогда формула
(9.5) приобретет следующий вид:
d
B =
µ
0 4π
h
jr i
dV
r
3
(9.8)
Если же ток I течет по тонкому проводу с площадью поперечного сечения ∆S, то jdV =
j∆Sdl = Idl, где dl — элемент длины провода. Введя вектор dl в направлении тока I,
перепишем предыдущее равенство так:
jdV = Idl.
(9.9)
Векторы jdV и Idl называют соответственно объемным и линейным элементами тока.
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
exp
−
p
2 2mkT
e
dp x
dp y
dp z
=
=
1 4
2πm e
kT
2
3
/2 exp
−
ϕ
kT
(8.8)
Средняя кинетическая энергия электронов hW
k i =
p
2 2m
=
R [p
2
/ (2m e
)] dn p
R dn p
=
3 2
kT
(8.9)
Рис. 8.2
Плотность тока насыщения.
Направим ось Z прямоугольной декартовой системы координат нормально к поверхности металла
(рис. 8.2). Электроны дают вклад в плотность тока насыщения ком- понентой v z
скорости по оси Z. Вклад в плотность тока от одного электрона равен ev z
= ep z
/m e
. Следовательно, плотность тока насыщения определяется формулой j
нас
=
e m
e
Z
p z>0
p z
dn p
=
2e m
e
(2π
)
3
exp
−
ϕ
kT
∞
Z
−∞
exp
−
p
2
x
2m e
kT
dp x
·
·
∞
Z
−∞
exp
−
p
2
y
2m e
kT
dp y
×
∞
Z
0
p z
exp
−
p
2
z
2m e
kT
dp z
=
=
em e
k
2 2π
2
3
T
2
exp
−
ϕ
kT
(8.10)
или j
нас
= AT
2
exp [−ϕ/ (kT )] ,
(8.11)
где постоянная
A =
em e
k
2
(2π
2
exp
−
p
2 2mkT
e
dp x
dp y
dp z
=
=
1 4
2πm e
kT
2
3
/2 exp
−
ϕ
kT
(8.8)
Средняя кинетическая энергия электронов hW
k i =
p
2 2m
=
R [p
2
/ (2m e
)] dn p
R dn p
=
3 2
kT
(8.9)
Рис. 8.2
Плотность тока насыщения.
Направим ось Z прямоугольной декартовой системы координат нормально к поверхности металла
(рис. 8.2). Электроны дают вклад в плотность тока насыщения ком- понентой v z
скорости по оси Z. Вклад в плотность тока от одного электрона равен ev z
= ep z
/m e
. Следовательно, плотность тока насыщения определяется формулой j
нас
=
e m
e
Z
p z>0
p z
dn p
=
2e m
e
(2π
)−
p
2 2mkT
e
dp x
dp y
dp z
=
=
1 4
2πm e
kT
3
exp
−
ϕ
kT
∞
Z
−∞
exp
−
p
2
x
2m e
kT
dp x
·
·
∞
Z
−∞
exp
−
p
2
y
2m e
kT
dp y
×
∞
Z
0
p z
exp
−
p
2
z
2m e
kT
dp z
=
=
em e
k
2 2π
2
3
)
= 1, 2 · 10 6
· м
−2
· K
−2
(8.12)
70
Рис. 8.3
Равенство (8.11) называется формулой Ричардсона — Деш- мана. Для экспериментальной проверки эту формулу удобно пред- ставить в виде ln j нас
/T
2
= ln A − ϕ/kT .
(8.13)
На графике зависимость ln (j нас
/T
2
) от 1/T по формуле (8.13)
выражается прямой линией (рис. 8.3). Эксперимент подтверждает такую зависимость с учетом небольшого изменения ϕ, которое обусловлено уменьшением µ с температурой [см.
(8.2)]. По углу наклона прямой в соответствии с формулой (8.13) определяется работа вы- хода ϕ. По пересечению прямой с осью ординат вычисляется InA. Величина A по формуле
(8.12) должна быть универсальной постоянной, одинаковой для всех металлов. Это заклю- чение не подтверждается экспериментом. Имеется некоторое различие в A для различных металлов. Например, для меди A = 1, 1·10 6
A·м
−2
·K
−2
, для никеля A = 1, 2·10 6
A·м
−2
·K
−2
,
для платины A = 0, 3 · 10 6
A · м
−2
· K
−2
. Это изменение A обусловлено поверхностными эф- фектами. Кроме того, у кристалла плотность тока насыщения несколько различается для разных граней.
Рис. 8.4
Закон трех вторых.
Рассмотрим зависимость силы тока, проте- кающего в вакууме между электродами, от приложенной разности потенциалов. Электроды будем считать плоскими, а ось X напра- вим нормально поверхности электродов (рис. 8.4). Потенциал ка- тода примем за нуль (ϕ
k
= 0), а потенциал анода обозначим U .
Главным физическим фактором, влияющим на движение элек- тронов между катодом и анодом, является объемный заряд: силы взаимодействия с ним затрудняют движение электронов от катода к аноду под действием приложенной разности потенциалов.
Допустим, что площади пластин катода и анода достаточно велики и при расчете плот- ности тока вблизи линии, соединяющей центры электродов, можно пренебречь изменением величин в направлениях, перпендикулярных этой линии, т. е. рассматривать одномерную задачу, когда все величины зависят только от координаты . Уравнение Пуассона для по- тенциала имеет вид d
2
ϕ
dx
2
= −
ρ
e
ε
0
=
n |e|
ε
0
(8.14)
где n — концентрация электронов. Закон сохранения энергии для дрейфа электронов имеет вид
1/2m e
v
2
д
= |e| ϕ,
(8.15)
где v д
— скорость дрейфа в точке с потенциалом ϕ. Объемная плотность тока в этой точке
|j| = n |e| v д
(8.16)
Все величины в правой части (8.16) являются положительными. Вычислив скорость v д
из
(8.15) и подставив полученное уравнение в (8.16), находим n |e| = |j| [m e
/(2|e|ϕ)]
1/2
(8.17)
С учетом (8.17) уравнение (8.14) преобразуется к виду d
2
ϕ/dx
2
= α
√
ϕ,
(8.18)
71
где α = (|j| /ε
0
)
pm e
/ (2 |e|). Умножая обе части (8.18) на (dϕ/dx) = ˙
ϕ, получаем
¨
ϕ ˙
ϕ = α ˙
ϕ/
√
ϕ
(8.19)
где точками обозначено дифференцирование по . Учитывая, что
¨
ϕ ˙
ϕ =
1 2
d ( ˙
ϕ
2
)
dx
,
˙
ϕ/
√
ϕ = 2
d
√
ϕ
dx
,
(8.20)
запишем (8.19) так:
d
˙
ϕ
2
= 4αd (
√
ϕ)
(8.21)
Теперь можно проинтегрировать обе части (8.21) по x в пределах от 0 до того значения x, при котором потенциал равен ϕ. Тогда
dϕ
dx
2
−
dϕ
dx
2 0
= 4α
√
ϕ,
(8.22)
где учтено, что ϕ (0) = 0. Производная (dϕ/dx)
0
характеризует напряженность электри- ческого поля у катода, α — пропорциональна j. Поэтому объемная плотность тока j до- стигает максимума при (dϕ/dx)
0
= 0 и тогда [см. (8.22)]
dϕ
dx
= 2
√
αϕ
1/4
,
(8.23)
или dϕ
ϕ
1/4
= 2
√
αdx
(8.24)
Интегрируя обе части (8.24) в пределах от = 0, ϕ = 0 до = d, ϕ = U , получаем
U
3/4
=
3 2
d
√
α.
(8.25)
Возводя обе части (8.25) в квадрат и учитывая, что
α = (|j| /ε
0
)
p m
e
/ (2 |e|),
(8.26)
получаем
|j| = βU
3/2
,
(8.27)
где
β =
4ε
0 9d
2
2 |e|
m e
1/2
(8.28)
Расчет аналогичной задачи для коаксиальных цилиндрических электродов, для концен- трических сферических электродов приводит к такому же виду зависимости объемной плотности тока от разности потенциалов в степени три вторых. Впрочем, такую зависи- мость можно было бы ожидать и без расчетов с помощью анализа размерностей. Коэф- фициент β во всех случаях имеет одинаковую размерность, как это следует из уравнения
Пуассона, записанного в различных системах координат.
Рис. 8.5
При отсутствии объемного заряда между катодом и анодом из- менение потенциала происходит по линейному закону (рис. 9.1; пря- мая 1). Объемный заряд изменяет этот ход. Ясно, что вблизи ка- тода объемный заряд уменьшает силы, действующие на электро- ны при отсутствии объемного заряда, а вблизи анода увеличивает.
Поэтому изменение потенциала между электродами с учетом объ- емного заряда характеризуется кривой 2).
72
0
)
pm e
/ (2 |e|). Умножая обе части (8.18) на (dϕ/dx) = ˙
ϕ, получаем
¨
ϕ ˙
ϕ = α ˙
ϕ/
√
ϕ
(8.19)
где точками обозначено дифференцирование по . Учитывая, что
¨
ϕ ˙
ϕ =
1 2
d ( ˙
ϕ
2
)
dx
,
˙
ϕ/
√
ϕ = 2
d
√
ϕ
dx
,
(8.20)
запишем (8.19) так:
d
˙
ϕ
2
= 4αd (
√
ϕ)
(8.21)
Теперь можно проинтегрировать обе части (8.21) по x в пределах от 0 до того значения x, при котором потенциал равен ϕ. Тогда
dϕ
dx
2
−
dϕ
dx
2 0
= 4α
√
ϕ,
(8.22)
где учтено, что ϕ (0) = 0. Производная (dϕ/dx)
0
характеризует напряженность электри- ческого поля у катода, α — пропорциональна j. Поэтому объемная плотность тока j до- стигает максимума при (dϕ/dx)
0
= 0 и тогда [см. (8.22)]
dϕ
dx
= 2
√
αϕ
1/4
,
(8.23)
или dϕ
ϕ
1/4
= 2
√
αdx
(8.24)
Интегрируя обе части (8.24) в пределах от = 0, ϕ = 0 до = d, ϕ = U , получаем
U
3/4
=
3 2
d
√
α.
(8.25)
Возводя обе части (8.25) в квадрат и учитывая, что
α = (|j| /ε
0
)
p m
e
/ (2 |e|),
(8.26)
получаем
|j| = βU
3/2
,
(8.27)
где
β =
4ε
0 9d
2
2 |e|
m e
1/2
(8.28)
Расчет аналогичной задачи для коаксиальных цилиндрических электродов, для концен- трических сферических электродов приводит к такому же виду зависимости объемной плотности тока от разности потенциалов в степени три вторых. Впрочем, такую зависи- мость можно было бы ожидать и без расчетов с помощью анализа размерностей. Коэф- фициент β во всех случаях имеет одинаковую размерность, как это следует из уравнения
Пуассона, записанного в различных системах координат.
Рис. 8.5
При отсутствии объемного заряда между катодом и анодом из- менение потенциала происходит по линейному закону (рис. 9.1; пря- мая 1). Объемный заряд изменяет этот ход. Ясно, что вблизи ка- тода объемный заряд уменьшает силы, действующие на электро- ны при отсутствии объемного заряда, а вблизи анода увеличивает.
Поэтому изменение потенциала между электродами с учетом объ- емного заряда характеризуется кривой 2).
72
Вывод формулы (8.27) приведен в предположении, что электро- ны покидают катод с нулевой скоростью. Однако они могут покидать катод с конечной скоростью эмиссии. В этом случае ток будет существовать даже в том случае, если вбли- зи катода имеется небольшое обратное поле. Следовательно, объемная плотность заряда может измениться до таких значений, при которых потенциал вблизи катода уменьшит- ся до отрицательных значений. В результате этого ход потенциала вблизи катода будет характеризоваться пунктирной кривой C.
При достаточно большой разности потенциалов наблюдается отклонение от закона трех вторых. Оно наступает тогда, когда объемная плотность заряда уменьшается настолько, что поддержание нулевого электрического поля у поверхности катода ока- зывается невозможным и, следовательно, будет невыполнимым условие (dϕ/dx)
0
= 0,
при котором был введен закон трех вторых. При дальнейшем увеличении напряженности объемная плотность тока становится независимой от разности потенциалов (ток насыще- ния).
Закон трех вторых здесь рассмотрен в качестве примера нелинейного соотношения между силой тока и напряжением. Он не имеет универсального характера и даже в при- веденном случае справедлив лишь в сравнительно узком интервале напряжений и токов.
Нелинейность вольтамперной характеристики является наиболее важной особенностью многих элементов радио- и электротехнических схем, включая элементы твердотельной электроники.
73
Глава 9
Постоянное магнитное поле в вакууме
9.1
Магнитное поле в вакууме
Магнитные явления обнаружены и изучались издавна. Сначала люди обнаружили есте- ственные магниты, и их взаимодействие между собой и с магнитным полем Земли. Уже несколько столетий магнитный компас применяется для навигации, помогая ориентиро- ваться на местности и, особенно в океанических просторах. Для описания магнитных явлений было введено – по аналогии с электрическим полем – понятие магнитного по- ля. Прорыв в экспериментальном исследовании магнитных полей произошел в XIX веке.
Было установлено, что движущиеся заряды создают магнитное поле, а магнитное поле действует на движущиеся заряды. Начало исследований электромагнитных явлений было положено опытом датского физика Х. Эрстеда (1820).
I
S
S
0
N
N
0
Рис. 9.1
При пропускании по прямолинейному горизонтальному про- воднику постоянного тока I находящаяся под ним магнит- ная стрелка поворачивается вокруг своей вертикальной оси,
стремясь расположиться перпендикулярно проводнику с током
(рис. 9.1). Ось стрелки тем точнее совпадает с этим направлени- ем, чем больше сила тока и чем слабее влияние магнитного поля
Земли. Эрстед обнаружил, что направление поворота северного полюса стрелки под действием электрического тока изменяется на противоположное при изменении направления тока в проводнике. Французский физик
Андре Мари Ампер в опытах в 1820 г. детально изучил взаимодействие двух параллель- ных токов. Ампер догадался, что этот процесс аналогичен отклонению стрелки компаса,
просто в компасе все определяется микротоками в атомном масштабе.
Происхождение магнитного поля Земли предположительно связывают с протеканием токов в жидком металлическом ядре планеты. Токи создают магнитные поля, магнитные поля создают токи, причем в условиях естественной случайной асимметрии движений этот процесс в соответствии с теорией гидромагнитного динамо может оказаться при высоких температурах ядра (порядка нескольких тысяч кельвинов) самоподдерживающимся на достаточно интенсивном уровне.
9.1.1
Сила Лоренца. Поле B
Сила Лоренца.
Опыт показывает, что сила F, действующая на точечный заряд q, за- висит в общем случае не только от положения этого заряда, но и от его скорости v.
Соответственно этому силу F разделяют на две составляющие — электрическую
F
э
(она не зависит от движения заряда) и магнитную
F
м
(она зависит от скорости заряда). В
любой точке пространства направление и модуль магнитной силы зависят от скорости v заряда, причем эта сила всегда перпендикулярна вектору v; кроме того, в любом месте
74
магнитная сила перпендикулярна определенному в данном месте направлению и, наконец,
ее модуль пропорционален той составляющей скорости, которая перпендикулярна этому выделенному направлению.
Все эти свойства магнитной силы можно описать, если ввести понятие магнитного поля. Характеризуя это поле вектором B, определяющим выделенное в каждой точке пространства направление, запишем выражение для магнитной силы в виде
F
м
= q h
v
B
i
(9.1)
Тогда полная электромагнитная сила, действующая на заряд q:
F = q
E + q h
v
B
i
(9.2)
Ее называют силой Лоренца . Последнее выражение является универсальным : оно справедливо как для постоянных, так и для переменных электрических и магнитных полей. Заметим, что v — это скорость заряда относительно интересующей нас системы отсчета. По действию силы Лоренца на заряд можно в принципе определить модули и на- правления векторов E и B. Поэтому выражение для силы Лоренца можно рассматривать как определение электрического и магнитного полей (в случае электрического поля мы так и поступили)
1
. Следует подчеркнуть, что на покоящийся электрический заряд магнитное поле не действует . В этом существенное отличие магнитного поля от электрического. Магнитное поле действует только на движущийся заряд.
Вектор B характеризует силовое действие магнитного поля на движущийся заряд и,
следовательно, является в этом отношении аналогом вектора , характеризующего силовое действие электрического поля.
Важной особенностью магнитной силы является то, что она всегда перпендикулярна вектору скорости заряда, поэтому работы над зарядом не совершает . Это значит, что в постоянном магнитном поле энергия движущейся заряженной частицы всегда остается неизменной, как бы частица ни двигалась.
В нерелятивистском приближении сила Лоренца (9.2), как и любая другая сила, не за- висит от выбора системы отсчета (инерциальной). Вместе с тем магнитная составляющая силы Лоренца меняется при переходе от одной системы отсчета к другой (из-за v). Поэто- му должна меняться и электрическая составляющая qE. Отсюда следует, что разделение полной силы F — силы Лоренца — на электрическую и магнитную зависит от выбора системы отсчета. Без указания системы отсчета такое разделение не имеет смысла.
Магнитное поле равномерно движущегося заряда.
Опыт показывает, что само магнитное поле порождается движущимися зарядами (токами). В результате обобщения экспериментальных данных был получен элементарный закон, определяющий поле B то- чечного заряда q, движущегося с постоянной нерелятивистской скоростью v. Этот закон записывается в виде
2
B =
µ
0 4π
·
q [
v
r]
r
3
,
(9.3)
где µ
0
— магнитная постоянная ; коэффициент – µ
0
/4π = 10
−7
Гн/м; r — радиус- вектор, проведенный от заряда q к точке наблюдения.
Конец радиуса-вектора r неподвижен в данной системе отсчета, а его начало движется со скоростью v (рис. 9.2), поэтому вектор B в данной системе отсчета зависит не только от положения точки наблюдения, но и от времени.
1
Разработан ряд способов измерения поля B, но все они, в конечном счете, базируются на явлениях, в основе которых лежит уравнение (9.2).
2
Формула (9.3) справедлива и в случае, когда заряд движется с ускорением, однако только на доста- точно малых расстояниях r от заряда (малых настолько, что за время r/c скорость v заряда заметно не меняется).
75
ее модуль пропорционален той составляющей скорости, которая перпендикулярна этому выделенному направлению.
Все эти свойства магнитной силы можно описать, если ввести понятие магнитного поля. Характеризуя это поле вектором B, определяющим выделенное в каждой точке пространства направление, запишем выражение для магнитной силы в виде
F
м
= q h
v
B
i
(9.1)
Тогда полная электромагнитная сила, действующая на заряд q:
F = q
E + q h
v
B
i
(9.2)
Ее называют силой Лоренца . Последнее выражение является универсальным : оно справедливо как для постоянных, так и для переменных электрических и магнитных полей. Заметим, что v — это скорость заряда относительно интересующей нас системы отсчета. По действию силы Лоренца на заряд можно в принципе определить модули и на- правления векторов E и B. Поэтому выражение для силы Лоренца можно рассматривать как определение электрического и магнитного полей (в случае электрического поля мы так и поступили)
1
. Следует подчеркнуть, что на покоящийся электрический заряд магнитное поле не действует . В этом существенное отличие магнитного поля от электрического. Магнитное поле действует только на движущийся заряд.
Вектор B характеризует силовое действие магнитного поля на движущийся заряд и,
следовательно, является в этом отношении аналогом вектора , характеризующего силовое действие электрического поля.
Важной особенностью магнитной силы является то, что она всегда перпендикулярна вектору скорости заряда, поэтому работы над зарядом не совершает . Это значит, что в постоянном магнитном поле энергия движущейся заряженной частицы всегда остается неизменной, как бы частица ни двигалась.
В нерелятивистском приближении сила Лоренца (9.2), как и любая другая сила, не за- висит от выбора системы отсчета (инерциальной). Вместе с тем магнитная составляющая силы Лоренца меняется при переходе от одной системы отсчета к другой (из-за v). Поэто- му должна меняться и электрическая составляющая qE. Отсюда следует, что разделение полной силы F — силы Лоренца — на электрическую и магнитную зависит от выбора системы отсчета. Без указания системы отсчета такое разделение не имеет смысла.
Магнитное поле равномерно движущегося заряда.
Опыт показывает, что само магнитное поле порождается движущимися зарядами (токами). В результате обобщения экспериментальных данных был получен элементарный закон, определяющий поле B то- чечного заряда q, движущегося с постоянной нерелятивистской скоростью v. Этот закон записывается в виде
2
B =
µ
0 4π
·
q [
v
r]
r
3
,
(9.3)
где µ
0
— магнитная постоянная ; коэффициент – µ
0
/4π = 10
−7
Гн/м; r — радиус- вектор, проведенный от заряда q к точке наблюдения.
Конец радиуса-вектора r неподвижен в данной системе отсчета, а его начало движется со скоростью v (рис. 9.2), поэтому вектор B в данной системе отсчета зависит не только от положения точки наблюдения, но и от времени.
1
Разработан ряд способов измерения поля B, но все они, в конечном счете, базируются на явлениях, в основе которых лежит уравнение (9.2).
2
Формула (9.3) справедлива и в случае, когда заряд движется с ускорением, однако только на доста- точно малых расстояниях r от заряда (малых настолько, что за время r/c скорость v заряда заметно не меняется).
75
Рис. 9.2
В соответствии с формулой (9.3) вектор B направлен перпенди- кулярно плоскости, в которой расположены векторы v и r, причем вращение вокруг вектора v в направлении вектора B образует с направлением v правовинтовую систему (рис. 9.2). Отметим, что вектор B является аксиальным (псевдовектором).
Величину B называют магнитной индукцией . Единицей магнитной индукции служит тесла (Тл).
Электрическое поле точечного заряда q, движущегося с нере- лятивистской скоростью, описывается известным законом
E =
1 4πε
0
q r
2
e r
(9.4)
Поэтому выражение (9.5) можно представить как
B = ε
0
µ
0
[vE] = [vE]/c
2
,
(9.5)
где c — электродинамическая постоянная ( c = 1/
√
ε
0
µ
0
), она равна скорости света в вакууме (совпадение, как потом выяснилось, не случайное).
1
v q
2
v q
Рис. 9.3
Пример.
Сравнение сил магнитного и электрического взаимодействий движущихся зарядов. Пусть два достаточно массивных точечных заряда q движутся параллельно друг другу с одинаковой нерелятивистской скоростью v, как показано на рис. 9.3. Найти отношение магнитной F
м и электрической
F
э сил, действующих, например, со стороны заряда 1 на заряд 2.
Согласно (9.2) F
м
= qvB и F
э
= qE, где v – скорость заряда 2, а B и E
– индукция магнитного и напряженность электрического полей, создаваемых зарядом 1 в месте нахождения заряда 2.
Отношение F
м
/F
э
= vB/E. В нашем случае согласно (9.5) = vE/c
2
, поэтому
F
м
/F
э
= (v/c)
2
(9.6)
Даже для достаточно больших скоростей, например v = 300 км/с, это отношение рав- но 10
−6
, т. е. магнитная часть силы в миллион раз меньше электрической и составляет ничтожную поправку к электрической силе.
Рассмотренный пример может вызвать естественный вопрос — стоит ли такие силы изучать? Оказывается, стоит, и на это есть две веские причины.
Во-первых, нам приходится встречаться с пучками частиц, движущихся почти со световыми скоростями, и там эта "поправка" к электрической силе становится сравнимой с последней (заметим, что отношение (9.6) справедливо и при релятивистских скоростях).
Во-вторых, при движении, например, электронов вдоль проводов их направленная скорость при обычных плотностях составляет несколько десятых миллиметра в секунду,
и отношение (v/c)
2
≈ 10
−24
. Ничтожная поправка к электрической силе!
Но дело в том, что в данном случае магнитная сила — это практически вся действую- щая сила, ибо электрические силы исчезли в результате почти идеального баланса отри- цательных и положительных зарядов в проводах. Этот баланс намного точнее чем 10
−24
,
и "ничтожная" магнитная сила оказывается, по существу, единственной. А участие гро- мадного числа зарядов в создании тока компенсирует малость этого члена.
Другими словами, избыточные заряды на проводах ничтожно малы по сравнению с суммарным зарядом носителей тока. Поэтому магнитные силы в данном случае намного превосходят электрические силы, действующие на избыточные заряды проводов.
76
9.2
Закон Био—Савара
Принцип суперпозиции.
Опыт дает, что для магнитного поля, как и для электриче- ского, справедлив принцип суперпозиции: магнитное поле, создаваемое несколькими дви- жущимися зарядами или токами, равно векторной сумме магнитных полей, создаваемых каждым зарядом или током в отдельности:
B =
X
B
i
(9.7)
Закон Био-Савара. Рассмотрим вопрос о нахождении магнитного поля, создаваемого постоянными электрическими токами. Этот вопрос будем решать, исходя из закона (9.5),
определяющего индукцию поля B равномерно движущегося точечного заряда. Подставим в (9.5) вместо q заряд ρdV , где dV — элементарный объем, ρ = en — объемная плотность заряда, являющегося носителем тока, и учтем, что ρv = j согласно (20.4). Тогда формула
(9.5) приобретет следующий вид:
d
B =
µ
0 4π
h
jr i
dV
r
3
(9.8)
Если же ток I течет по тонкому проводу с площадью поперечного сечения ∆S, то jdV =
j∆Sdl = Idl, где dl — элемент длины провода. Введя вектор dl в направлении тока I,
перепишем предыдущее равенство так:
jdV = Idl.
(9.9)
Векторы jdV и Idl называют соответственно объемным и линейным элементами тока.
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
r i
r
3
(9.11)
Рис. 9.4
Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока про- извольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет опреде- ленную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1.
Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 9.4). Согласно
(9.10) в произвольной точке векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB,
причем dB =
µ
0 4π
Idl cos α
r
2 77
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
где I — ток; S — площадь, ограниченная контуром; n — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 9.12). В маг- нитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
не зависит от точки O, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так,
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
этого процесса является вектор намагниченности
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
где безразмерный коэффициент пропорциональности χ – магнитная восприимчивость вещества.
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
где M =
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
где Z — число электронов в атоме. Поэтому окончательно для намагниченности получаем формулу
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
заменой величин
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изме- няются для различных материалов в широких пределах.
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
причем магнитная восприимчивость у. в этой формуле считается равной ее значению в
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
dV
r
3
B =
µ
0 4π
Z
I
h d
l,
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
B =
µ
0 4π
Z
h
j
r i
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l,
r i
r
3
(9.10)
Формулы (9.8) и (9.10) выражают закон Био-Савара.
Полное поле B в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (9.8) или (9.10) по всем элементам тока:
Произведя в формуле (9.8) замену объемного элемента тока на линейный, получим d
B =
µ
0 4π
I
h d
l, B =
µ
0 4π
Z
h
dV
r
3
Из рисунка видно, что dl cos α = rdα и r = b/ cos α. Значит dB =
µ
0 4π
I cos αdα
b
Интегрируя последнее выражение по всем элементам тока, что эквивалентно интегриро- ванию по α от −π/2 до π/2, находим
B =
µ
0 4π
2I
b
(9.12)
Рис. 9.5
Пример 2.
Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 9.5
показан вектор dB от элемента тока Idl, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов dB, и легко сообразить, что результирующий вектор B в точке будет направлен вверх по оси Z. Это значит, что для нахождения модуля вектора B достаточно сложить проекции векторов dB на ось Z.
Каждая такая проекция имеет вид dB
z
= dB cos β =
µ
0 4π
Idl r
2
cos β ,
где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-вектором r равен π/2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выраже- ние по всем dl (это дает 2πR) и учитывая, что cos β = R/r и r
2
= z
2
+ R
2
, получаем
B =
µ
0 4π
2πR
2
I
(z
2
+ R
2
)
3
/2
(9.13)
Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z R модуль вектора
B равен соответственно B
z=0
=
µ
0 4π
2πI
R
,
B
zR
≈
µ
0 4π
2πR
2
I
z
3
(9.14)
9.3
Основные законы магнитного поля
Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основ- ные законы магнитного поля.
Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля B. Как и любое другое векторное поле, поле B может быть представлено наглядно с помощью линий вектора B. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора B, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора B в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфи- гурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.
А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.
Теорема Гаусса для поля B.
Поток вектора В сквозь любую замкнутую по- верхность равен нулю:
I
Bd
S
=
0.
(9.15)
78
Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постула- тивной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора B не имеют ни начала,
ни конца. Поэтому число линий вектора B, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.
Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора B: так как они нигде не пре- рываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора B), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.
Закон (9.15) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора B. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.
Рис. 9.6
Теорема о циркуляции вектора
(для магнитного поля по- стоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произ- вольному контуру Г равна произведению µ
0
на алгебраи- ческую сумму токов, охватываемых контуром Γ:
I
Bdl = µ
0
I ,
(9.16)
где I =
P I
k
, причем I
k
— величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением об- хода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 9.6: здесь токи I
1
и I
3
положительные,
ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта,
а ток I
2
— отрицательный.
Теорема о циркуляции (9.16) может быть доказана исходя из закона Био-Савара. В
общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (9.16) как постулат,
подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток I в (9.16) распределен по объему, где расположен контур
Γ, то его можно представить как
I =
Z
jd
S .
(9.17)
Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Γ. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (9.16) можно записать так:
I
Bdl = µ
0
Z
jd
S = µ
0
Z
j n
dS.
(9.18)
Тот факт, что циркуляция вектора B, вообще говоря, не равна нулю, означает, что по- ле B не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным .
Так как циркуляция вектора B пропорциональна току I, охватываемому контуром,
то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором B соотношением, аналогичным
E = −∇ϕ. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное µ
0
I Впрочем, в той области пространства, где токов нет,
магнитный потенциал ϕ
m вводят и достаточно эффективно используют.
79
Роль теоремы о циркуляции вектора B.
Эта теорема играет примерно ту же роль,
что и теорема Гаусса для векторов и D. Мы знаем, что поле B определяется всеми тока- ми, циркуляция же вектора B только теми токами, которые охватывает данный контур.
Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить B.
Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора B можно свести,
выбрав разумно контур, к произведению B (или B
l
) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля B приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био-Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений,
и расчет становится значительно сложнее.
9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля B, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока.
Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найдем ин- дукцию B поля снаружи и внутри провода.
Рис. 9.7
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода.
Причем модуль вектора B должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Γ
1
(рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I, откуда следует, что вне провода
B = (µ
0
/2π) I/r,
(r ≥ a) .
(9.19)
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Савара)
оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора B яв- ляются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для круглого контура
Γ
2
(см. рис. 9.7) B · 2πr = µ
0
I
r
, где I
r
= I (r/a)
2
— ток, охватываемый данным контуром.
Отсюда мы находим, что внутри провода
B = (µ
0
/2π) Ir/a
2
(r ≤ a) .
(9.20)
Зависимость B(r) показана графически на рис. 9.8.
Рис. 9.8
Если провод имеет вид трубки круглого сечения, то снаружи индукция B определяется формулой (9.19), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида.
Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность ци- линдра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом .
Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводни- ка. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно прибли- женно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.
80
Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнит- ного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.
Из соображений симметрии ясно, что линии вектора B внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинто- вую систему.
Рис. 9.9
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнит- ного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный кон- тур так, как показано на рис. 9.9. Циркуляция вектора B по дан- ному контуру равна Bl, и контур охватывает ток nlI. Согласно тео- реме о циркуляции Bl = µ
0
nlI откуда следует, что внутри длинного соленоида
B = µ
0
nl ,
(9.21)
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение nl на- зывают числом ампервитков. При n = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида B = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 9.10).
Рис. 9.10
Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора
B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси OO
0
тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток
N I, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
B · 2πr = µ
0
N I, откуда следует, что внутри тороида
B = (µ
0
/2π) N I/r.
(9.22)
Из сравнения (9.22) с (9.19) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока N I, текущего вдоль оси OO
0
. Устремив N и радиус тороида R к беско- нечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (9.21) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охваты- вает, поэтому для такого контура B · 2πr = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.
Рис. 9.11
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось
OO
0
тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат стро- го в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси
OO
0
. Этасоставляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током.
Рассмотрим без- граничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно рас- пределенный ток одного направления. На рис. 9.11 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено кре- стиками). Введем понятие линейной плотности тока как вектор i,
направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходя- щийся на единицу длины, которая играет роль "поперечного сечения".
81
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить,
что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 9.11). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора B, выберем контур в виде прямо- угольника 1234. Тогда по теореме о циркуляции 2Bl = µ
0
il, где l — длина стороны контура,
параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим:
B = µ
0
i/2.
(9.23)
Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био-Савара. Однако теорема о цир- куляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее.
Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не долж- на создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора B, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь кон- фигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет,
однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
9.5
Дифференциальная форма основных законов маг- нитного поля
Дивергенция поля B
Теорема Гаусса (1.32) для поля B в дифференциальной форме имеет вид
∇ · B = 0 ,
(9.24)
т. е. дивергенция поля В всюду равна нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи.
Закон (9.24) является фундаментальным : он справедлив не только для постоянных,
но и для переменных магнитных полей.
Ротор поля B.
Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о цир- куляции вектора B, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме,
расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограничен- ной контуром. Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу при S → 0,
причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориен- тация контура задается вектором n нормали к плоскости контура, причем направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную вели- чину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали n к
82
lim
S→0
H
Bdl
S
=
rot
B
n
,
(9.25)
где справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор rot B, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B
определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается макси- мальное значение величины (9.25), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для на- ших целей важно другое: оказывается, формально rot B можно рассматривать как вектор- ное произведение обозначением: оно сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ × B с помощью определителя: где e x
, e y
, e z
— орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля B, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B. Согласно (9.25) уравнение (9.25)
можно представить в виде lim
S→0
H
Bdl
S
=µ
0
j n
Или (∇ × B)
n
= µ
0
j n
. Отсюда
∇ ×
B = µ
0
j .
(9.26)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j — плотностью тока в данной точке, а модуль ∇ × B равен µ
0
j.
В электростатическом поле циркуляция вектора равна нулю, поэтому
∇ ×
B = 0 .
(9.27)
Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным, в против- ном случае поле является соленоидалъным . Значит, электростатическое поле есть поле потенциальное, магнитное же поле — соленоидальное .
9.6
Сила Ампера
Закон Ампера.
Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей- ствие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате маг- нитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу.
Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле,
например), равна ρ. Выделим мысленно элемент объема dV проводника. В нем находится заряд — носитель тока, равный ρdV . Тогда сила, действующая на элемент dV проводника,
может быть записана по формуле (2.3) в виде d
F = ρ
h
u
B
i dV,
где
u — скорость упорядоченного движения зарядов.
Так как j = ρu, то d
F = [j
B]dV .
(9.28)
83
Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (2.9)
jdV = Idl и
d
F = I[d
`,
B] ,
(9.29)
где dl — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (9.28) и (9.29) выражают закон Ампера . Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок.
Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами
Ампера .
Пример. Сила взаимодействия параллельных токов.
Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами I
1
и I
2
, если расстояние между проводами равно b. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I
2
находится в магнитном поле тока I
1
а именно в поле
B
1
=
(µ
0
/4π) 2I
1
/b согласно (9.19). Угол между элементом тока I
2
и вектором
B
1
прямой, по- этому, как следует из формулы (9.29), на единицу длины проводника с током I
2
действует сила F = I
2
B
1
, или
F
ед
=
µ
0 4π
2I
1
I
2
b
(9.30)
Для силы, действующей на единицу длины проводника с током I
1
, получается, разумеется,
то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притя- гиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и элек- трическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности провод- ников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотно- шения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, действующая на контур с током.
Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (9.29) как
F = I
I
h dl
B
i
,
(9.31)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Если магнитное поле од- нородно, то вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла
H dl. Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку эле- ментарных векторов dl, поэтому он равен нулю. Значит, и
F = 0, т. е. результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (9.31), вообще говоря,
отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения
(9.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плос- кий и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным .
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента
p m
По определению
p m
= IS
n,
(9.32)
84
p m
Рис. 9.12
Довольно кропотливый расчет по формуле (9.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
F = p m
∂
B
∂n
,
(9.33)
где p m
— модуль магнитного момента контура; ∂
B/∂n — производная вектора B по направлению нормали n или по направлению вектора
p m
Последнее выражение аналогично (1.23) для силы, действующей на элек- трический диполь в электрическом поле.
Из формулы (9.33) видно, что, как и в случае электрического диполя:
Рис. 9.13 1) в однородном магнитном поле F = 0, ибо ∂B/∂n = 0;
2) направление вектора F, вообще говоря, не совпадает ни с век- тором B, ни с вектором
p m
; вектор F совпадает лишь с направлени- ем элементарного приращения вектора B, взятого в направле- нии вектора p m
в месте расположения контура. Сказанное ил- люстрирует рис. 9.13, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I
0
.Здесь же показан и вектор резуль- тирующей силы F, которая действует на контур в каждом случае
(полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так).
Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление
X, то достаточно записать выражение (9.33) в проекциях на это направление, и мы получим
F
x
= p m
∂B
x
∂n
,
(9.34)
где ∂B
x
/∂n — производная соответствующей проекции вектора B опять же по направле- нию нормали n к контуру (или по p m
).
Рис. 9.14
Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент p m
, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор p m
— в направлении вектора B. Выбе- рем положительное направление оси X, как показано на рис. 9.14.
Так как в направлении вектора
p m
приращение проекции B
x будет отрицательным, то F
x
< 0. Значит, вектор F направлен влево — в сто- рону, где B больше. Если же контур с током (и вектор
p m
) повернуть на 90
◦
так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля B, то в этом положении F
x
= 0, а вектор F будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и
p m
9.7
Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитном поле B. Выше (см. с.78)
мы выяснили, что результирующая сила (9.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результиру- ющая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил
85
можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил
M =
I
h
r, d
F
i
,
(9.35)
где d
F дается формулой (9.29). Если провести расчет по формуле (9.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как
M =
h
p m
B
i
,
(9.36)
где
p m
— магнитный момент контура с током (для плоского контура
p m
= IS
n)
3
Рис. 9.15
Из (9.36) видно, что момент
M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикуля- рен как вектору
p m
, так и вектору
B. Модуль вектора
M равен
M = p m
B sin α, где α — угол между векторами
p m
и B. В тех слу- чаях, когда p m
↑↑ B, момент сил M = 0, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если p m
↑↓ B, то тоже M = 0, но такое положение контура является неустойчивым:
малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от на- чального положения.
Пример.
Убедимся в справедливости формулы (9.36) на простей- шем случае прямоугольного контура с током (рис.9.15).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны , перпендикулярны им и вектору B, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке они не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны b перпендикулярны B, поэтому на каждую из них действует сила
F = IbB.
Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор p m
оказался сонаправлен- ным с вектором B. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары a sin α на F , т. е.
M = IbBa sin α.
Учитывая, что ab — это площадь, ограниченная контуром, и Iba = p m
, получим
M = p m
B sin α,
что в векторной форме записывается как (9.36).
В заключение необходимо отметить, что выражение (9.36) справедливо и для неодно- родных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточ- но малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент M можно пренебречь.
Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором
p m
↑↑
B) и, кроме того, под действием результирующей силы F втягиваться туда, где индукция
В больше.
3
Если виток не плоский, то его магнитный момент
p m
= I
R d
S , где интеграл берется по поверхности
S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависит от выбора поверхности S, а зависит только от контура, на который она натянута.
86
9.8
Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать,
что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а по- этому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
δA = IdΦ,
(9.37)
где dΦ – приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении.
Доказательство этой формулы проведем в три этапа.
Рис. 9.16 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис.9.16) с по- движной перемычкой длины l находится в однородном магнит- ном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (9.29) действует ам- перова сила F = IlB. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает положительную работу
δA = F dx = IBldx = IBdS,
(9.38)
где dS — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнит- ного потока Φ условимся всегда брать нормаль n к поверхности, ограниченной контуром,
так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рис. 9.16). При этом ток I будет всегда величиной положительной. Поток же Φ может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Φ, так и dΦ = BdS
являются величинами положительными (если бы поле B было направлено на нас или пе- ремычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях dΦ < 0). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (9.38) можно представить в виде (9.37).
2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля B. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор B на три составляющие:
B =
B
n
+
B
l
+
B
x
. Состав- ляющая
B
l
— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая
B
x
— вдоль перемещения — дает силу, пер- пендикулярную перемещению, работы она не совершает. Остается лишь составляющая
B
n
— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле
(9.38) вместо В надо брать только B
n
. Но B
n dS = dΦ, и мы опять приходим к формуле
(9.37).
3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при этом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые эле- менты тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным. Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение δA = Id
0
Φ для эле- ментарной работы, где под d
0
Φ надо понимать вклад в приращение потока сквозь контур от данного элемента контура. Сложив такие элементарные работы для всех элементов контура, снова получим выражение (9.37), где dΦ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур.
Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током от на- чального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать выражение (9.37):
A =
2
Z
1
IdΦ.
(9.39)
87
Если при этом перемещении поддерживать ток I постоянным, то
A = I (Φ
2
− Φ
1
) ,
(9.40)
где Φ
1
и Φ
2
— магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях.
Таким образом, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (9.40) дает не только величину,
но и знак совершаемой работы.
Пример.
Плоский контур с током I поворачивают в магнитном поле В из положения,
при котором нормаль к контуру
n ↓↑
B, в положение, при котором и
n ↑↑
B (напомина- ем, что направление нормали n связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна S. Найдем работу амперовых сил при указанном перемещении, считая, что ток I поддерживается постоянным.
Согласно (9.40) A = I [BS − (−BS)] = 2IBS. В данном случае работа A > 0, при обратном же повороте A < 0.
Следует отметить, что работа (9.40) совершается не за счет энергии внешнего магнит- ного поля (оно не меняется), а за счет источника э.д.с, поддерживающего ток в контуре.
(Но об этом более подробно будет рассказано в гл. 9.)
88
Глава 10
Магнитное поле в магнетиках
10.1
Магнитное поле в веществе
10.1.1
Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
При помещении во внешнее поле вещество может реагировать на это поле и само стано- виться источником магнитного поля (намагничиваться). Такие вещества называют магне- тиками (сравните с поведением диэлектриков в электрическом поле.) По магнитным свой- ствам магнетики разделяются на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов. (В дальнейшем, говоря о магнитных свойствах, будем иметь в виду,
в основном, диамагнетики и парамагнетики, а свойства небольшой группы ферромагне- тиков иногда будем оговаривать особо.)
Рассмотрим сначала поведение электронов вещества в магнитном поле. Будем считать для простоты, что электрон вращается в атоме вокруг ядра со скоростью v по орбите радиуса r. Такое движение, которое характеризуется орбитальным моментом импульса,
по сути является круговым током, который характеризуется соответственно орбитальным магнитным моментом p орб
. Исходя из периода обращения по окружности T =
2πr v
, имеем,
что произвольную точку орбиты электрон в единицу времени пересекает v
2πr раз. Поэтому круговой ток, равный прошедшему через точку в единицу времени заряду, дается выра- жением:
I =
ev
2πr
(10.1)
Соответственно орбитальный магнитный момент электрона из (22.3) равен:
p орб
= IS =
ev
2πr
πr
2
=
evr
2
(10.2)
Помимо орбитального момента импульса электрон имеет также собственный момент им- пульса, называемый спином. Спин описывается законами квантовой физики и является неотъемлемым свойством электрона – как масса и заряд. Собственному моменту импульса соответствует собственный (спиновый) магнитный момент электрона p сп
Магнитным моментом обладают и ядра атомов, однако эти моменты в тысячи раз меньше моментов электронов, и ими можно обычно пренебречь. В результате суммарный магнитный момент магнетика равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов магнетика:
P
m
=
X
i
p орбi
+
X
i
p спi
(10.3)
Внешнее магнитное поле действует на ориентацию частиц вещества, имеющих магнитные моменты (и микротоков), в результате чего вещество намагничивается. Характеристикой
89
J , равный отношению суммарному маг- нитному моменту частиц магнетика к объему магнетика:
J =
P
m
∆V
(10.4)
Намагниченность измеряется в А/м.
Если магнетик поместить во внешнее магнитное поле
B
0
, то в результате намагни- чивания возникнет внутреннее поле микротоков
B
1
, так что результирующее поле будет равным:
B =
B
0
+
B
1
(10.5)
Рассмотрим магнетик в виде цилиндра с основанием площадью S и высотой l, помещенный в однородное внешнее магнитное поле с индукцией B
0
. Такое поле может быть создано,
например, с помощью соленоида. Ориентация микротоков во внешнем поле становится упорядоченной. При этом поле микротоков диамагнетиков направлено противоположно внешнему полю, а поле микротоков парамагнетиков совпадает по направлению с внешним полем.
Рис. 10.1
В любом сечении цилиндра упорядоченность микротоков при- водит к следующему эффекту (рис. 10.1). Упорядоченные микро- токи внутри магнетика компенсируются соседними микротоками,
а вдоль боковой поверхности текут нескомпенсированные поверх- ностные микротоки. Направление этих нескомпенсированных мик- ротоков параллельно (или антипараллельно) току, текущему в со- леноиде, создающем внешнее поле. В целом же они дают суммар- ный внутренний ток I
1
. Этот поверхностный ток создает внутрен- нее поле микротоков
B
1
, причем связь тока и поля может быть описана формулой (?22.22) для поля соленоида:
B
1
=
µ
0
I
1
l
(10.6)
Здесь магнитная проницаемость µ принята равной единице, поскольку роль среды учтена введением поверхностного тока; плотность намотки витков соленоида соответствует одно- му на всю длину соленоида l: n = 1/l. При этом магнитный момент поверхностного тока определяется намагниченностью всего магнетика:
P
m
= I
1
S.
(10.7)
Из двух последних формул с учетом определения намагниченности (10.4)
J =
P
m
∆V
следует:
B
1
=
µ
0
I
1
l
= µ
0
P
m lS
= µ
0
J .
(10.8)
Или в векторном виде:
B
1
= µ
0
J .
(10.9)
Тогда из (10.5) имеем:
B =
B
0
+
B
1
= µ
0
H + µ
0
J = µ
0
H +
J
(10.10)
Опыт исследования зависимости намагниченности от напряженности внешнего поля по- казывает, что обычно поле можно считать несильным, и в разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться линейным членом:
J = χ
H ,
(10.11)
90
С учетом этого имеем:
B = µ
0
H +
J
= µ
0
(1 + χ)
H .
(10.12)
Сравнивая последнюю формулу для магнитной индукции с известной формулой
B =
µ
0
µ
H, получим связь магнитной проницаемости и магнитной восприимчивости:
µ = 1 + χ .
(10.13)
Отметим, что значения магнитной восприимчивости для диамагнетиков и парамагне- тиков малы и составляют обычно по модулю 10
−7
− 10
−6
(для диамагнетиков) и 10
−7
−
10
−4
(для парамагнетиков). При этом для диамагнетиков χ < 0 и µ < 1, для парамагнети- ков χ > 0 и µ > 1.
10.1.2
Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики
Разные вещества намагничиваются по-разному. Большая часть веществ намагничивается слабо — это диамагнетики и парамагнетики. Некоторые вещества в обычных условиях
(при умеренных температурах) способны намагничиваться очень сильно — это ферромаг- нетики.
У некоторых атомов результирующий магнитный момент равен нулю. Вещества, со- стоящие из таких атомов, и являются диамагнетиками. К ним, например, относятся азот,
вода, медь, серебро, поваренная соль N aCl, диоксид кремния SiSiO
2
. Вещества же, у которых результирующий магнитный момент атома отличен от нуля, относятся к пара- магнетикам. Примерами парамагнетиков являются: кислород, алюминий, платина.
Начнем с описания диамагнетиков, атомы которых не имеют собственных магнитных моментов и собственных магнитных полей. Однако эти моменты и поля возникают в диа- магнетиках при наложении внешнего магнитного поля. Рассмотрим модель диамагнитного атома, в котором два электрона вращаются на одной орбите радиуса r в противоположных направлениях с угловой скоростью (в отсутствие поля) ω. Суммарный магнитный момент при этом равен нулю — в отличие от атома с одним электроном. Центростремительная сила, определяемая притяжением электрона к ядру, выражается через массу электрона m и центростремительное ускорение в отсутствие поля по формуле:
F = mω
2
r .
(10.14)
Пусть внешнее поле для простоты направлено перпендикулярно орбите (рис. 10.2).
Рис. 10.2
Действующая на первый электрон при наложении внешне- го поля сила Лоренца по правилу левой руки (с учетом отри- цательного заряда электрона) уменьшает центростремительную силу, что ведет к уменьшению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). При этом появятся небольшие изменения угловой скорости ∆ω и силы ∆F :
∆F = evB = eωrB.
(10.15)
Здесь в поправочной силе Лоренца учтена связь скорости электрона v с угловой скоростью
ω. С учетом поправок уравнение (10.14) при наложении внешнего поля приобретает вид:
F − evB = m (ω − ∆ω)
2
r .
(10.16)
91
Раскрыв скобки, воспользовавшись равенством (10.14) и пренебрегая квадратичным по
∆ω членом, получим eωrB = 2mω∆ωr ,
(10.17)
откуда изменение угловой скорости первого электрона равно:
∆ω =
eB
2m
(10.18)
Второй электрон вращается в противоположном направлении. Поэтому действующая на него при наложении внешнего поля сила Лоренца по правилу левой руки увеличивает центростремительную силу, что ведет к увеличению угловой скорости электрона (и его магнитного момента). Несложно убедиться, повторив расчет, что изменение угловой ско- рости второго электрона равно изменению угловой скорости первого электрона.
Рис. 10.3
Таким образом, в магнитном поле электрон приобретает до- полнительную угловую скорость движения, характеризуемую частотой (10.18)
ω
L
=
|e| B
(2m)
,
(10.19)
которая называется ларморовой. Направление вектора угловой скорости определить нетрудно. Например, если индукция B (см.
рис. 10.3) направлена противоположно угловой скорости движе- ния электрона вокруг ядра, то сила F направлена против F
ц и,
следовательно, скорость электрона и частота вращения должны уменьшиться. Это означает, что ω
L
совпадает с направлением B. Если направление B
противоположно первоначальному, то придем к такому же заключению. Поэтому можно записать
ω
L
= −
e
B
(2m)
,
(10.20)
где учтено, что заряд электрона e отрицателен. Образование этой дополнительной угло- вой скорости вращения без изменения радиуса орбиты можно себе представить в виде дополнительного вращения атома как целого с частотой
ω
L
в магнитном поле.
Рис. 10.4
Чтобы представить себе, каким будет движение атома при произвольной взаимной ориентации угловой скорости вращения электрона вокруг ядра и индукции внешнего поля, обобщим по- лученные результаты на произвольный случай. Атом с движу- щимся в нем по окружности электроном можно рассматривать как гироскоп, обладающий магнитным моментом. Момент им- пульса электрона равен mωr
2
. Движущийся по орбите электрон эквивалентен круговому току силой e/T = eω/(2π) и, следова- тельно, магнитный момент атома равен πr
2
eω
2π
. С учетом направ- ления механического и магнитного моментов атома, обусловлен- ных движением электрона, запишем:
L = mr
2
ω ,
p m
= er
2
/2
ω .
(10.21)
Здесь учтено, что заряд e электрона отрицателен, а механический момент L и магнит- ный момент p m
имеют противоположные направления (рис. 10.4).
Уравнение движения атома, рассматриваемого как гироскоп, имеет вид d
L
dt
=
M ,
(10.22)
92
p m
×
B — момент сил. Из (10.21) следует, что
p m
=
e
L
(2m)
(10.23)
и, следовательно, уравнение (10.22) принимает вид d
L
dt
=
e
2m
L ×
B = −
e
2m
B ×
L .
(10.24)
Рис. 10.5
Сравнение (10.24) с уравнением движения точек абсолютно твердого тела, вращающегося с угловой скоростью
ω,
v =
dr dt
=
ω ×
r
(10.25)
показывает, что конец вектора L движется вокруг направления вектора индукции с частотой
ω
L
= −
e
B
2m
(10.26)
Следовательно, атом совершает в магнитном поле, подобно гироскопу, прецессионное, движение (рис. 10.5). Оно называет- ся ларморовои прецессией.
Диамагнитная восприимчивость. Каждый электрон в атоме совершает ларморовское движение вокруг оси, совпада- ющей с направлением магнитного поля (рис. 10.6). Возникающий вследствие этого маг- нитный момент равен p
mi
= S
i
I
i
= πr
2
i e
T
=
er
2
i
ω
L
2
,
(10.27)
откуда
J =
1
∆V
X
∆V
p mi
= −
e
2 4m
Bnh
X
i r
2
i i ,
(10.28)
Рис. 10.6
где n — концентрация атомов. В (10.28) использовано выра- жение для ларморовой частоты, а под знаком среднего стоит сумма квадратов расстояний электронов в атоме от оси лармо- ровой прецессии. На рис. 10.6 видно, что
R
2
i
= x
2
i
+ y
2
i
+ z
2
i
,
(10.29)
где R
i
— расстояние электрона от ядра. Принимая во внимание беспорядочную ориентировку атомов в пространстве, имеем hx
2
i i = hy
2
i i = hz
2
i i =
hR
2
i i
3
(10.30)
и, следовательно,
hr
2
i i = hx
2
i
+ y
2
i i =
2hR
2
i i
3
=
2hR
2
i
3
,
(10.31)
откуда
*
X
i r
2
i
+
=
2ZhR
2
i
3
,
(10.32)
93
J = −
e
2 6m nZhR
2
iµH .
(10.33)
Сравнивая (10.33) с формулой
J = χ
д
H ,
(10.34)
получаем для диамагнитной восприимчивости выражение
χ
д
= −
e
2 6m nZhR
2
iµ
0
,
(10.35)
где учтено, что µ ≈ µ
0
, поскольку у диамагнетиков проницаемость лишь незначительно отличается от проницаемости вакуума. Формула (10.35) хорошо согласуется с экспери- ментом, если под hR
2
i понимать средний квадрат расстояния электронов от ядра в атоме,
вычисленный по квантовой теории. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная воспри- имчивость имеет порядок ∼ 10
−5
, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов [т.е. меньших значений n в формуле (10.35)].
Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры. Формула
(10.35) показывает, что χ
д не зависит от температуры, потому что ни одна из входящих в эту формулу величин не может зависеть от температуры. Это объясняется тем, что лармо- ровское движение электронов устанавливается очень быстро, за характерные для атомных процессов промежутки времени. Поэтому тепловое движение и столкновения атомов не выводят их на сколько-нибудь заметное время из состояния ларморовой прецессии. Это хорошо подтверждается экспериментом. Независимость диамагнитной восприимчивости от температуры была открыта экспериментально в 1895 г. П. Кюри (1859-1906).
10.1.3
Парамагнетики
Обсуждаются физическая природа парамагнитной восприимчивости и ее свойства. Опи- сываются магнетизм, обусловленный свободными электронами, и парамагнитный резо- нанс.
Мезанизм намагничивания. Парамагнетиками являются вещества, молекулы ко- торых обладают постоянными магнитными моментами. Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле равна
W = −
p m
·
B.
(10.36)
Минимум энергии достигается при совпадении
p m
с направлением вектора индукции, бла- годаря чему при внесении парамагнетика в магнитное поле в соответствии с распределени- ем Больцмана возникают преимущественная ориентация магнитных моментов его атомов в направлении индукции и соответствующее намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля за счет намагничивания совпадает по направлению с индукцией внешнего поля и усиливает ее. Однако угол между направлением магнитного момента атома и ин- дукцией магнитного поля под действием поля не изменяется: магнитный момент испыты- вает лишь прецессионное движение вокруг направления вектора индукции без изменения угла между ними [см. (10.24)]. Переориентировка магнитных моментов в соответствии с распределением Болъцмана происходит в результате столкновений и взаимодействий атомов между собой.
Зависимость парамагнитной восприимчивости от температуры. Механизм на- магничивания парамагнетиков аналогичен механизму электризации полярных диэлектри- ков (см. 0.9.5?§ 22). Различие заключается лишь в использовании формулы (10.36) вме- сто формулы (4.31). Поэтому формулы для парамагнитной восприимчивости получаются
94
p →
p m
,
E →
B в формулах 0.9.5?§ 22 для диэлектрической восприим- чивости.
Вместо (4.40) получаем формулу hp mz i = p m
L(β) ,
(10.37)
где L(β) — функция Ланжевена (см. 0.9.5§ 22) при β = p m
B/(kT ). При сравнительно вы- соких температурах и малых полях, когда p m
B kT , т. е. β 1, вместо (4.43) получаем формулу hp mz i =
p
2
m
B
(3kT )
≈
p
2
m
µ
0
H
(3kT )
,
(10.38)
где µ ≈ µ
0
, поскольку отличие магнитной проницаемости парамагнетиков от µ
0
очень небольшое. Для намагниченности получаем формулу
J = nhp mz i =
p
2
m nµ
0
(3kT )
H ,
(10.39)
сравнение которой с равенством
J = χ
п
H
(10.40)
приводит к следующему выражению для парамагнитной восприимчивости:
χ
п
=
p
2
m nµ
0
(3kT )
=
C
T
,
(10.41)
где C — постоянная Кюри.
Зависимость χ
п
∼ 1/T называется законом Кюри, так как впервые была экспери- ментально обнаружена в 1896 г. П. Кюри.
Величина атомных магнитных моментов имеет порядок p m
∼ 10
−23
, поэтому при ком- натной температуре χ
п
∼ 10
−3
, т.е. χ
п на два порядка больше диамагнитной восприим- чивости. Это означает, что у парамагнитных веществ диамагнитной восприимчивостью обычно можно пренебречь.
Теория Ланжевена достаточно точно описывает лишь газы, у которых взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало вследствие больших расстояний между ними. В
жидкостях и твердых телах это взаимодействие может быть значительным. Учет этого взаимодействия во многих случаях модифицирует зависимость (10.41) восприимчивости от температуры. Эта зависимость принимает вид закона Кюри - Вейсса:
χ
п
=
const
(T − T
0
)
,
(10.42)
где температура T
0
характерна для вещества и определяется его свойствами.
95
10.1.4
Ферромагнетики
Рис. 10.7
Обсуждаются основные экспериментальные факты ферромаг- нетизма и дается их элементарная теоретическая трактов- ка. (Общее представление об антиферромагнетизме, ферримаг- нетизме и ферромагнитном резонансе изучить самостоятель- но.)
Определение. Магнетики, магнитная проницаемость ко- торых достигает больших значений и зависит от внешне- го магнитного поля и предшествующей истории, называют- ся ферромагнетиками. Они обладают остаточной намагничен- ностью, т. е. их намагниченность может быть отличной от нуля при отсутствии внешнего магнитного поля. В этом случае они являются постоянными магнитами. Таким образом, по своим формальным проявлениям ферромагнетики аналогичны сегнетоэлектрикам (см. § 23). Следует заметить, что ферро- магнетизм был открыт и изучен значительно раньше сегнетоэлектричества. Намагничи- вание ферромагнетиков было исследовано А.Г. Столетовым (1839 – 1896) в 1878 г. Им была построена кривая магнитной проницаемости (рис. 10.7), названная позже кривой Столе- това. Гистерезис был открыт в 1880 г. Варбургом (1846 – 1931).
Рис. 10.8
Кривая намагничивания и петля гистерезиса. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков является функцией напряжен- ности внешнего поля, а зависимость J (H) имеет вид, показанный на рис. 10.8. Намагниченность не увеличивается безгранично при увеличении напряженности, а имеет предел, называемый намаг- ниченностью насыщения. Ее существование по аналогии с парамаг- нетиками указывает, что намагниченность ферромагнетиков обу- словливается также переориентировкой некоторых элементарных магнитных моментов.
Рис. 10.9
Поскольку
B = µ
0
H + µ
0
J,
(10.43)
кривая зависимости B(H) не выходит на насыщение, хотя J испы- тывает насыщение. График этой зависимости называется кривой намагничивания (рис. 10.9).
Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то в полной аналогии с сегнетоэлектриками кри- вая зависимости B(H) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 10.10). Уча- сток OA является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении индукции, т. е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкну- тая кривая ACDF GKA является петлей гистерезиса. Ее демонстрация производится по схеме, аналогичной схеме демонстрации петли гистерезиса сегнетоэлектриков с заменой конденсаторов на катушки (см. § 23).
Рис. 10.10
При уменьшении напряженности H магнитного поля от неко- торого значения (точка A) до нуля индукция В поля уменьшается лишь немного, до значения индукции, описываемой отрезком OC.
Эта индукция называется остаточной. Ферромагнетик в этом со- стоянии называется постоянным магнитом.
Для того чтобы ликвидировать остатное поле, необходимо при- ложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком
OD. Эта напряженность называется задерживающей или коэр- цитивной силой ферромагнетика. Форма петли гистерезиса,
96
Кривая магнитной проницаемости. Относительная магнитная проницаемость µ
r
=
µ/µ
0
= B(µ
0
H) как функция от H может быть построена по данным кривой намагничи- вания (рис. 10.9) и имеет вид, показанный на рис. 10.7. При росте H значение µ
r достигает максимума и затем при достижении насыщения намагниченности быстро спадает. У фер- ромагнетиков µ
r порядка 10 4
в максимуме не являются редкостью.
Классификация ферромагнитных материалов. Ферромагнитные материалы мож- но разделить на две группы:
1) мягкие в магнитном отношении материалы с большой магнитной проницаемостью,
легко намагничивающиеся и размагничивающиеся, с малой коэрцитивной силой;
2) жесткие в магнитном отношении материалы с относительно низкой магнитной про- ницаемостью, очень трудно намагничивающиеся и размагничивающиеся, с большой коэр- цитивной силой.
Материалы первой группы используются главным образом в электротехнике перемен- ных полей, в частности в трансформаторах, а второй группы — для создания постоянных магнитов.
Элементарная теория ферромагнетизма.Основной вопрос теории ферромагнетиз- ма состоит в объяснении стремления спинов электронов за счет особого квантового вза- имодействия , называемого обменным взаимодействием, сориентироваться в одном общем направлении. Обменная энергия в теории ферромагнетизма выражается формулой
W
об
= −2I
об
S
1
· S
2
,
(10.44)
где S
1
и S
2
— спины взаимодействующих электронов, I
об
— интеграл обменного взаимо- действия. Из (10.44) видно, что при I
об
> 0 потенциальная энергия достигает минимума при параллельных спинах. Эта энергия обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем и выражается формулой вида (10.36), в которой, однако, под индукцией понимается индукция B
об обменного поля. Собственный магнитный момент
p
(0)
m электрона связан с его собственным механическим моментом или спином S соотно- шением вида (10.23), однако с коэффициентом пропорциональности, в два раза большим:
p
(0)
m
=
e m
S .
(10.45)
Поэтому, представляя энергию взаимодействия (10.44) как энергию магнитного момента второю электрона, находящегося в магнитном поле, созданном за счет обменного взаимо- действия первым электроном, имеем
W
об
= −
2I
об
S
1
m e
·
e m
S
2
= −
p
(0)
m2
·
B
об
,
(10.46)
где
B
об
=
2I
об m
e
S
1
(10.47)
Полная индукция магнитного поля складывается из индукции B поля при отсутствии обменного взаимодействия и индукции B
об обменного поля. Соотношение (?38.21) с учетом
(?38.23) может быть представлено в виде
µ
0
(1 + χ)
J = χ
B
или
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B .
(10.48)
Это соотношение обобщается при наличии обменного взаимодействия формулой
µ
0
J =
χ
(1 + χ)
B +
B
об
,
(10.49)
97
(10.48) для парамагнетика при отсутствии обменного взаимодействия. Дальнейшее рас- смотрение ведется в приближении среднего поля, основное предположение которого со- стоит в том, что индукция обменного поля пропорциональна намагниченности:
B
об
= λµ
0
J ,
(10.50)
где λ — постоянная обменного взаимодействия. Подставляя (10.50) в (10.49), находим соотношение
µ
0
J =
χ
(1 + χ − λχ)
B,
(10.51)
которое целесообразно представить в виде, аналогичном (10.49):
µ
0
J =
χ
0
(1 + χ
0
)
B,
(10.52)
где
χ
0
(1 + χ
0
)
=
χ
(1 + χ − λχ)
(10.53)
характеризует восприимчивость с учетом обменного взаимодействия.
Из (10.53) находим
χ
0
=
χ
1 − λχ
=
C
T − λC
,
(10.54)
где χ = C/T .
В области температур T > λC тело ведет себя как парамагнетик с характерным умень- шением магнитной восприимчивости с увеличением температуры. При приближении к
T = λC восприимчивость χ
0
→ ∞. Это означает, что сколь угодно малые поля вызывают конечную намагниченность. Другими словами, при T = λC происходит возникновение спонтанной намагниченности, т. е. переход в ферромагнитное состояние. Изложенная элементарная теория не позволяет количественно проанализировать изменение спонтан- ной намагниченности при дальнейшем уменьшении температуры в области T < λC. Бо- лее точная теория показывает, что спонтанная намагниченность при T = λC возрастает скачком до конечного значения, а затем при уменьшении T продолжает возрастать, но скорость роста постепенно уменьшается. Таким образом, при T < λC магнетик находится в ферромагнитной фазе.
3акон Кюри — Вейсса. Для всякого ферромагнетика существует температура, при переходе через которую он испытывает фазовый переход (второго рода) и превращается в парамагнетик. Магнитная восприимчивость в парамагнитной области вблизи темпера- туры перехода, называемой температурой Кюри, описывается соотношением вида (10.54),
называемым законом Кюри - Вейсса. Величина λC = Θ называется температурой
Кюри - Вейсса. Теория показывает, что фазовый переход совершается не при темпера- туре Кюри - Вейсса, а при температуре, близкой к ней.
Поэтому иногда допустимо не делать различия между температурой Кюри, при кото- рой происходит фазовый переход, и температурой Кюри - Вейсса.
10.1.5
Условия на границе раздела двух магнетиков
Рассмотрим связь векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на границе макротоков. Воспользуемся методиками, использованными в задаче о преломлении линий электрического смещения и напряженности электрического поля на границе раздела двух диэлектриков. Как мы уже видели, на границе магнетика (а в общем случае – на границе раздела двух магнетиков)
в поле возникает поверхностный микроток, который может приводить к разрыву полей.
98
Рис. 10.11
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к по- верхности раздела компонентами вектора магнитной индукции B
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой по- верхности поверхность цилиндра (рис. 10.11). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать поле константой),
параллельны границе раздела и находиться в разных магнетиках,
а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь потоком вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
Тогда из теоремы Гаусса следует, что потоки вектора магнитной индукции через осно- вания равны и противоположны, то есть один направлен наружу цилиндра, другой внутрь.
Геометрически это означает, что потоки направлены в одну сторону: B
n1
S = B
n2
S. По- скольку площади оснований цилиндра S равны, то получаем, что нормальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
B
n1
= B
n2
(10.55)
Выразив полученное соотношение через напряженность поля, получим, что нормаль- ная компонента вектора напряженности на границе раздела магнетиков претерпевает раз- рыв:
H
n1
H
n2
=
µ
2
µ
1
(10.56)
Рис. 10.12
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотноше- ние которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. Выделим вблизи границы раздела неболь- шой прямоугольный контур ABCD (рис. 10.12 23.5). Выберем сто- роны AB = CD = ` так, что они параллельны границе раздела и находятся в разных магнетиках, а стороны BC и DA бесконечно малыми по сравнению со сторонами AB и DC. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции интегралами по бесконечно малым сторонам,
получим: H
t2
`−H
t1
` = 0, откуда следует, что тангенциальная ком- понента вектора напряженности на границе раздела магнетиков остается непрерывной:
H
τ 2
= H
τ 1
(10.57)
Выразив это соотношение через магнитную индукцию, получим, что тангенциальная компонента вектора магнитной индукции на границе раздела магнетиков претерпевает разрыв:
B
τ 1
B
τ 2
=
µ
1
µ
2
(10.58)
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и магнитной индукции пре- терпевают преломление при переходе из одной среды в другую. По аналогии с преломле- нием электрического поля в диэлектриках имеем закон преломления векторов напряжен- ности магнитного поля и магнитной индукции:
tan α
2
tan α
1
=
µ
2
µ
1
(10.59)
Здесь α
1
— угол падения, α
2
— угол преломления.
Формула показывает, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемо- стью силовые линии напряженности и магнитной индукции удаляются от нормали.
99
Глава 11
Электромагнитное поле
До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.
Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электриче- ское и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем .
Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относитель- ный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
11.1
Законы преобразования полей E и B
При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории от- носительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспро- изводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.
Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v
0
система K
0
. В некоторой пространственно- временной точке K-системы отсчета известны значения полей E и B. Какими будут значе- ния полей E
0
и B
0
в той же самой пространственно-временной точке в K
0
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13