Файл: Закон Кулона.pdf

Ярославский государственный педагогический университет им. К. Д. Ушинского
050100.62 "Педагогическое образование”
профили "Физическое образование", "Информатика и информационные технологии в образовании"
Общая физика раздел "Электродинамика"
составитель П.Г. Штерн
Ярославль
2012

Оглавление
1
Электростатическое поле в вакууме
4 1.1
Микроскопические носители электрических зарядов . . . . . . . . . . . . . .
4 1.2
Элементарный заряд и его инвариантность
7 1.3
Закон Кулона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 1.3.1
Полевая трактовка закона Кулона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 1.4
Электрическое поле и электрическое смещение . . . . . . . . . . . . . . . . .
12 1.4.1
Принцип суперпозиции электрических полей
14 1.4.2
Электрический диполь. Поле диполя . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 1.5
Теорема Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17 1.5.1
Теорема Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17 1.5.2
Применения теоремы Гауссa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18 1.5.3
Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости и двух плоскостей 19 1.5.4
Поле равномерно заряженной бесконечной нити . . . . . . . . . . . . .
20 1.5.5
Поле равномерно заряженной сферы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21 1.5.6
Поле равномерно заряженного шара . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21 1.5.7
Теорема Гаусса в дифференциальной форме . . . . . . . . . . . . . . .
22 1.5.8
Закон сохранения заряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23 1.6
Потенциал электростатического поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25 1.6.1
Работа сил электростатического поля. Консервативность электроста- тических сил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25 1.6.2
Теорема о циркуляции вектора напряженности поля . . . . . . . . . .
25 1.6.3
Определение потенциала электростатического поля . . . . . . . . . . .
26 1.6.4
Связь между потенциалом и напряженностью . . . . . . . . . . . . . .
27 1.6.5
Вычисление разности потенциалов для некоторых видов полей . . . .
28 2
Электростатическое поле при наличии проводников
30 2.1
Проводники в электростатическом поле. Конденсаторы и энергия электро- статического поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30 2.1.1
Проводники в электростатическом поле. Поле внутри и вне заряжен- ного проводника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30 2.1.2
Силы, действующие на поверхность проводника . . . . . . . . . . . . .
31 2.1.3
Свойства замкнутой проводящей оболочки . . . . . . . . . . . . . . . .
32 2.1.4
Общая задача электростатики. Метод изображений
33 2.1.5
Электрическая емкость проводника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35 2.1.6
Конденсаторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36 3
Энергия взаимодействия зарядов и энергия электростатического поля
39 3.1
Энергия заряженного проводника и конденсатора . . . . . . . . . . . . . . . .
39 3.1.1
Плотность энергии электростатического поля . . . . . . . . . . . . . .
39 1

4
Электростатическое поле при наличии диэлектриков
41 4.1
Диэлектрики в электрическом поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41 4.1.1
Поляризация диэлектриков. Полярные и неполярные диэлектрики.
Свободные и связанные заряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41 4.1.2
Вектор поляризации, диэлектрическая восприимчивость и диэлек- трическая проницаемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42 4.1.3
Теорема Гаусса для поля в диэлектрике. Явления на границе раздела двух диэлектриков. Преломление линий смещения и напряженности .
43 4.1.4
Неполярные диэлектрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45 4.1.5
Полярные диэлектрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47 4.1.6
Сегнетоэлектрики, пьезоэлектрики, электреты. Явления на разломах
50 5
Постоянный электрический ток
52 5.1
Постоянный ток. Законы Ома и Джоуля-Ленца . . . . . . . . . . . . . . . . .
52 5.1.1
Постоянный ток. Виды тока. Сила тока. Плотность тока
52 5.1.2
Закон Ома в дифференциальной форме
53 5.1.3
Закон Ома в интегральной форме. Сопротивление . . . . . . . . . . .
54 5.1.4
Сторонние силы. Электродвижущая сила. Обобщенный закон Ома . .
54 5.1.5
Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной и интегральной формах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55 5.1.6
Линейные цепи. Правила Кирхгофа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55 6
Квазистационарные электрические цепи
59 6.1
Переходные процессы в цепи с конденсатором . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59 7
Электропроводность твердых тел
62 7.1
Электропроводность металлов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62 8
Электрический ток в вакууме
68 9
Постоянное магнитное поле в вакууме
74 9.1
Магнитное поле в вакууме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74 9.1.1
Сила Лоренца. Поле B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74 9.2
Закон Био—Савара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77 9.3
Основные законы магнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78 9.4
Применения теоремы о циркуляции вектора B
80 9.5
Дифференциальная форма основных законов магнитного поля . . . . . . . .
82 9.6
Сила Ампера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83 9.7
Момент сил, действующих на контур с током . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85 9.8
Работа при перемещении контура с током . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87 10 Магнитное поле в магнетиках
89 10.1 Магнитное поле в веществе
89 10.1.1 Магнитный момент электронов и атомов. Намагниченность
89 10.1.2 Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики . . . . . . . . . . . .
91 10.1.3 Парамагнетики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94 10.1.4 Ферромагнетики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96 10.1.5 Условия на границе раздела двух магнетиков . . . . . . . . . . . . . .
98 2

11 Электромагнитное поле
100 11.1 Законы преобразования полей E и B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 11.2 Следствия из законов преобразования полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 11.3 Инварианты электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 12 Электромагнитная индукция
105 12.1 Электромагнитная индукция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 12.1.1 Индукция токов в движущихся проводниках . . . . . . . . . . . . . . . 105 12.2 Закон электромагнитной индукции Фарадея . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 12.2.1 Движущийся проводник в переменном магнитном поле
. . . . . . . . 110 12.3 Дифференциальная формулировка закона электромагнитной индукции . . . 110 12.3.1 Непотенциальность индукционного электрического поля . . . . . . . . 111 12.4 Самоиндукция. Индуктивность соленоида
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 13 Электромагнитные волны
113 13.1 Уравнения Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 13.1.1 Электромагнитное поле. Ток смещения. Уравнения Максвелла в ин- тегральной форме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 13.1.2 Уравнения Максвелла в дифференциальной форме . . . . . . . . . . . 115 13.1.3 Закон сохранения заряда. Теорема Пойнтинга. Энергия электромаг- нитного поля. Вектор Умова-Пойнтинга . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 13.1.4 Волновое уравнение. Решения волнового уравнения. Интенсивность электромагнитной волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3

Глава 1
Электростатическое поле в вакууме
1.1
Микроскопические носители электрических зарядов
Описываются свойства основных микроскопических носителей электрических зарядов.
Обсуждается распределение электрического заряда в протоне и нейтроне и анализиру ется его физический смысл.
Классификация.
Под микроскопическими носителями зарядов понимаются заряжен- ные частицы и ионы. Они могут нести как положительный, так и отрицательный заряд.
По числовому значению он может быть лишь в целое число раз больше элементарного:
|e| = 1, 6021892 (46) · 10
−19
Кл.
(1.1)
К настоящему времени не обнаружено микроскопических носителей с дробным заря- дом, несмотря на значительные экспериментальные усилия
Известно около 200 частиц и громадное число ионов, атомов и молекул. Большая часть частиц после возникновения существует непродолжительное время, по истечении которого распадается на другие частицы, т. е.частицы имеют конечное время жизни.
В большинстве случаев оно чрезвычайно мало и составляет ничтожные доли секунды.
Существует лишь небольшое число заряженных частиц с бесконечным временем жиз- ни. Это электрон, протон и их античастицы. В состав ядер атомов входят протоны, а в состав электронной оболочки атомов — электроны. Именно эти частицы обусловливают почти все явления, изучаемые в курсе электричества и магнетизма. В состав ядер кроме протонов входят также нейтроны. Они электрически нейтральны и их время жизни в со- ставе ядер неограниченно. Однако вне ядер они живут в среднем около 17 мин, распадаясь на протоны, электроны и антинейтрино.
Заряженность ионов обусловливается тем, что в электронной оболочке соответствую- щего атома или молекулы недостает одного или нескольких электронов (положительные ионы) или, наоборот, имеются лишние (отрицательные ионы). Поэтому вопрос об ионах как микроскопических носителях зарядов сводится к вопросу о зарядах электронов и про- тонов.
Электрон.
Электрон является материальным носителем элементарного отрицательно- го заряда. Обычно принимается, что электрон является точечной бесструктурной ча- стицей, т. е. весь электрический заряд электрона сосредоточен в точке. Такое представ- ление внутренне противоречиво, так как энергия электрического поля, создаваемого то- чечным зарядом, бесконечна, а следовательно, должна быть бесконечной и инертная мас- са точечного заряда, что противоречит эксперименту, поскольку масса электрона равна m
e
= 9, 1 · 10
−31
кг. Однако с этим противоречием приходится мириться вследствие
4

отсутствия более удовлетворительного и менее противоречивого взгляда на структу- ру (или отсутствие структуры) электрона. Трудность бесконечной собственной массы успешно преодолевается при вычислениях различных эффектов с помощью перенорми- ровки массы, сущность которой заключается в следующем. Пусть требуется рассчитать некоторый эффект, причем в расчет входит бесконечная собственная масса. Получаемая в результате такого вычисления величина бесконечна и, следовательно, лишена непосред- ственного физического смысла. Чтобы получить физически разумный результат, прово- дится еще одно вычисление, в котором присутствуют все факторы, за исключением фак- торов рассматриваемого явления. В последний расчет также входит бесконечная собствен- ная масса и он приводит к бесконечному результату. Вычитание из первого бесконечного результата второго приводит к взаимному сокращению бесконечных величин, связанных с собственной массой, а оставшаяся величина является конечной. Она характеризует рас- сматриваемое явление. Таким способом удается избавиться от бесконечной собственной массы и получить физически разумные результаты, которые подтверждаются экспери- ментом. Такой прием используется, например, при вычислении энергии электрического поля (см. § 18).
а)
б)
Рис. 1.1
Электромагнитная структура протона.
Почти весь заряд протона сосредото- чен внутри шара радиусом r
0
Протон.
Носителем положительного элементарного заряда явля- ется протон. В отличие от электрона, он не рассматривается как точечная частица. Экспериментально хорошо изучено распределе- ние электрического заряда внутри протона. Метод изучения анало- гичен использованному в начале текущего столетия Резерфордом для исследования структуры атомов, в результате которого было открыто существование ядра. Анализируется столкновение элек- тронов с протоном. Если представить себе протон в виде сфериче- ски симметричного распределения заряда в конечном объеме, то траектория электрона, не проходящего через этот объем, не за- висит от закона распределения заряда. Она точно такая же, как если бы весь заряд протона был сосредоточен в его центре. Тра- ектории электронов, проходящих через объем протона, зависят от конкретного вида распределения заряда в нем. Эти траектории могут быть вычислены. Поэтому, проведя достаточное число на- блюдений за результатами столкновений электронов с протонами,
можно сделать заключение о распределении заряда внутри прото- на. Поскольку речь идет об очень малых областях пространства,
для экспериментов пришлось воспользоваться электронами очень больших энергий. Такая необходимость диктуется квантовой теори- ей. По соотношениям де Бройля материальные частицы обладают волновыми свойствами, причем длина волны частицы обратно про- порциональна импульсу. Чтобы "прощупать" некоторую простран- ственную деталь, необходимо, очевидно, пользоваться частицами,
длина волны которых меньше соответствующих пространственных размеров детали, а это соответствует достаточно большим импульсам. Поэтому исследова- ние электромагнитной структуры протона
1
стало возможным лишь после создания элек- тронных ускорителей на энергии в несколько миллиардов электрон-вольт. На рис. 1.1, а приведен результат этих экспериментов. По оси ординат отложена не плотность заряда на расстоянии r от центра протона, а величина 4πr
2
ρ, представляющая плотность сум-
1
Электрон рассматривается как точечная частица, хотя это и приводит к трудностям. Эксперимен- тально обнаружить внутреннюю электромагнитную структуру электрона пока не удалось.
Непрерывное распределение элементарного электрического заряда не связано с его разбиением на части,
а означает учет закона движения этого заряда в пространстве.
5

марного по всем направлениям заряда на расстоянии г от центра, поскольку 4πr
2
ρ (r) dr
— полный заряд в сферическом слое толщиной dr. Из рисунка видно, что практически весь заряд протона сосредоточен в шаре радиусом ≈ 10
−15
м. После первого максимума
4πr
2
ρ (r) не убывает монотонно, а имеется еще один максимум.
а)
б)
Рис. 1.2. Электромагнитная структура нейтрона. Вблизи центра ней- трона располагается положительный заряд, а дальше от цетра —
отрицательный. Положительный и отрицательный заряды взаимно компенсируют друг друга и поэтому в целом нейтрон электрически нейтрален.
Нейтрон.
Аналогичные эксперименты были проведены также по рассеянию электронов на нейтронах. Они показали, что нейтрон обладает электромагнитной структурой и не является точечной электрически нейтральной частицей. Распределение электрического заряда внутри нейтрона показано на рис. 1.2а).
Очевидно, что вблизи центра нейтрона располагается положительный заряд, а даль- ше от центра — отрицательный. Площади, ограниченные кривыми и осью абсцисс, рав- ны, следовательно, положительный заряд равен отрицательному, и в целом нейтрон элек- трически нейтрален. Размеры областей, в которых сосредоточены электрические заряды,
у протона и нейтрона примерно одинаковы.
Что означает непрерывное распределение электрического элементарного заряда? Пло- щадь, ограниченная кривой и осью абсцисс (см. рис. 1.1, а), численно равна заряду прото- на, а заштрихованная площадь — заряду внутри протона в шаровом слое толщиной dr на расстоянии г от центра протона. Ясно, что этот заряд составляет лишь небольшую часть от полного заряда протона, т. е. небольшую часть элементарного заряда. Однако в приро- де не удалось обнаружить физических объектов, заряд которых равен дробной части от элементарного. Спрашивается, каков смысл утверждения, что в объеме 4πr
2

dr находится небольшая часть элементарного заряда?
В настоящее время предполагается, что протон состоит из двух точечных кварков с зарядом +2|e|/3 и одного — с зарядом −|e|/3 (см. рис. 1.1, б). Кварки в протоне движут- ся. Их относительное время пребывания на различных расстояниях от центра протона может быть эффективно представлено в виде размазанности заряда по объему протона,
как показано на рис. 1.1, а. Нейтрон состоит из двух кварков с зарядом — | е |/3 и одного
— с зарядом +2 |e| /3 (рис. 1.2, б). Объяснение распределения заряда в нем (рис. 1.2, а)
аналогично.
В свободном состоянии кварки не обнаружены, несмотря на значительные эксперимен- тальные усилия. В настоящее время считается, что их в принципе нельзя обнаружить в свободном состоянии, поскольку для этого надо затратить бесконечную энергию, а внутри протона они все же существуют. Такое допущение позволяет объяснить многие явления и поэтому принимается физиками в качестве вероятной гипотезы.
Прямое экспериментальное доказательство наличия кварков внутри протона от- сутствует.
6

Спин и магнитный момент.
Кроме заряда частицы могут обладать моментом импуль- са или спином
2
. Спин не обусловлен вращением частицы, поскольку для такого объяснения при разумных предложениях о размерах частиц пришлось бы допустить наличие линей- ных скоростей при вращении, превосходящих скорость света, что невозможно. Поэтому спин рассматривается как внутреннее свойство частицы.
Со спином связано наличие у заряженной частицы магнитного момента, который так- же не может быть объяснен движением заряда и рассматривается как первоначальное свойство.
В классической электродинамике магнитный момент может быть лишь результатом движения зарядов по замкнутым траекториям. Поэтому спиновый магнитный момент ча- стиц не может быть описан в классической теории электричества и магнетизма. Однако магнитное поле, обусловленное спиновыми магнитными моментами, может быть при необ- ходимости описано феноменологически. Как правило, напряженность этого поля очень мала. Лишь в случае постоянных магнитов оно достигает больших значений. Классиче- ская теория не в состоянии описать механизм возникновения этого поля, но само поле вне постоянных магнитов полностью описывается классической теорией (см. § 38).
1.2
Элементарный заряд и его инвариантность
Описываются эксперименты, доказывающие существование элементарного электриче- ского заряда и отсутствие зарядов, дробных относительно элементарного. Обсужда- ются экспериментальные свидетельства одинако вости абсолютных значений положи- тельных и отрицательных элементарных зарядов и инвариантности заряда.
Опыты Милликена.
Мысль о дискретности электрического заряда была в ясной фор- ме высказана уже Б. Франклином в 1752 г., однако она носила умозрительный характер.
Как кспериментальный результат дискретность зарядов в принципе следует из открытых в 1834 г. М. Фарадеем (1791 — 1867) законов электролиза. Однако такой вывод из законов электролиза был сделан лишь в1881г. Г. Л. Гельмгольцем (1821-1894) и Д. Стонеем (1826-
1911). Вскоре после этого в 1895 г. Г. Лоренц (1853 — 1928) разработал теорию электро- магнетизма, основывающуюся на представлении о реально существующих элементарных зарядах (электронах). Числовое значение элементарного заряда было теоретически вычис- лено на основании законов электролиза, поскольку значение постоянной Авогадро было известно. Прямое экспериментальное измерение элементарного заряда было выполнено
Р.Э. Милликеном (1868-1953) в 1909 г.
Рис. 1.3. Схема опы- тов Милликена
Схема опытов Милликена изображена на рис. 1.3. Маленькие шарообразные частицы движутся в вязкой жидкости при наличии однородного электрического поля . На частицу действуют подъем- ная сила, направленная против силы тяжести (плотность частицы больше плотности жидкости), и сила вязкого трения f тр
, направ- ленная против скорости.
Сила вязкого трения в соответствии с формулой Стокса про- порциональна скорости. При постоянной скорости частицы сумма действующих на нее сил равна нулю.
Все силы, за исключением действующей на частицу со стороны электрического поля, могут быть измерены экспериментально при движении частицы в
2
Не существует заряда, меньше элементарного Каков смысл представления о распределении заряда в протоне, если его полный заряд равен элементарному ?
С какой основной трудностью связано представление об электроне как о точечной частице Каким ис- кусственным приемом эта трудность преодолевается?
7

среде без электрического поля. Изучив затем движение частицы в электрическом поле,
найдем силу qE. Это позволит вычислить заряд q частицы, поскольку напряженность поля известна.
Можно также изменять напряженность электрического поля и добиться, чтобы части- ца находилась в покое. В этом случае сила трения также отсутствует, а остальные силы известны. Поэтому, зная , можно определить q.
Заряд частицы с течением времени изменяется, что отражается на движении части- цы. Определив заряды q
1
и q
2
частицы в различные промежутки времени, можно найти изменение заряда
∆q = q
2
− q
1
(1.2)
Произведя большое число измерений зарядов, Милликен нашел, что ∆q является все- гда целым, кратным одной и той же величине |e| :
∆q = n |e| ,
n = ±1, ±2, . . . ,
(1.3)
|e| = 1, 6 · 10
−19
Кл.
(1.4)
Рис. 1.4. Схема резо- нансного метода из- мерения элементар- ного заряда
Резонансный метод измерения заряда.
В дальнейшем ме- тоды прямого измерения элементарного заряда были усовершен- ствованы
3
. В настоящее время точность измерений такова, что позволяет обнаружить десятые доли элементарного заряда. Наи- более эффективным является резонансный метод, схема которого изображена на рис. 1.4. Шарик достаточно малой массы m укреп- лен на очень тонком упругом стержне. Под влиянием сил упруго- сти, возникающих при изгибе стерженька, шарик колеблется около положения равновесия с собственной частотой ω
0
, которая может быть измерена экспериментально. Если на шарике есть некоторый заряд q, то под действием переменного электрического поля ша- рик осуществляет вынужденные колебания, амплитуды которых зависят от соотношения между частотами ω и ω
0
Максимальная амплитуда колебаний достигается в резонансе (ω ≈ ω
0
) Амплитуда колебаний шарика в резонансе равна
A
рез
=
qE
0
Q
(mω
2 0
)
,
(1.5)
где Q — добротность системы, E
0
— амплитуда напряженности электрического поля. Оце- ним возможности метода. Предположим, что m = 1 мг = 10
−6
кг; E
0
≈ 10 5
В/м;
q = 1, 6 · 10
−19
Кл;
ω
0
= 10
−1
c
−1
;
Q ≈
100, тогда
A
рез
≈
1, 6 · 10
−19
· 10 5
· 10 2
10
−6
· 10
−2
м ≈ 1, 6 · 10
−4
м = 160 мкм.
(1.6)
Величина 160 мкм является очень большой и легко измерить ее небольшую часть. Сле- довательно, таким способом можно измерить заряды много меньшие, чем 1, 6 · 10
−19
Кл.
Этот метод доведен до такого совершенства, что позволяет в принципе обнаружить и измерить заряд в десятые доли элементарного, если бы он существовал.
3
Поиски кварков позволили с большой точностью доказать отсутствие в природе дробных зарядов.
Отсутствие кварков в свободном состоянии не доказывает их несуществование в связанном состоянии внутри элементарных частиц.
О В чем состоит принцип резонансного метода измерения элементарного заряда! Какова современная точность этого метода? Приведите числовые оценки.
8

При изменении заряда шарика на ∆q амплитуда резонансных колебаний изменяется скачком:
∆A
рез
= ∆qE
0
Q

mω
2 0
.
(1.7)
Измерения позволили с большой точностью установить, что заряд шарика изменя- ется всегда на целое число элементарных зарядов и что не существует зарядов, мень- ших элементарного.
Отсутствие дробного заряда.
Были предприняты интенсивные поиски дробных заря- дов. Это было инициировано предсказанием существования кварков. Предполагается, что кварки являются частицами, из которых построено большинство тяжелых элементарных частиц (протоны и др.). Было предсказано, что электрический заряд кварков должен со- ставлять 1/3 и 2/3 элементарного заряда (с соответствующими знаками). Поиски кварков проводились многими учеными различными методами, в том числе и резонансным. Все они дали отрицательный результат. Таким образом, в настоящее время эксперименталь- но с большой точностью установлено, что дробных зарядов в свободном состоянии не существует.
Мы выделяем слова "в свободном состоянии", поскольку эксперименты были направ- лены именно на поиск свободных кварков. Однако отсюда не следует, что и в связанном состоянии внутри элементарных частиц кварки отсутствуют. Однако прямая экспе- риментальная проверка этого утверждения неизвестна.
Равенство положительных и отрицательных элементарных зарядов.
В описан- ных выше опытах измерялся как отрицательный элементарный, так и положительный за- ряд. Результаты этих опытов доказали их равенство с той же точностью, с какой измеряют значение зарядов. Эта точность не велика. Например, можно сказать, что по абсолютному значению положительный и отрицательный элементарные заряды отличаются не больше,
чем на одну десятую часть своей величины, т. е
||e
+
| − |e
−
||
|e
±
|
≤
1 10
(1.8)
Эта точность совершенно неудовлетворительна, потому что теория предполагает полное равенство абсолютных значений отрицательных и положительных элементарных зарядов.
Неизмеримо более точную оценку можно получить, не измеряя непосредственно зна- чение элементарного заряда. Как известно, в атомах имеется одинаковое число протонов и электронов. Тела также содержат одинаковое число протонов и электронов. Поэтому оценка равенства зарядов протона и электрона может быть проведена по результатам из- мерения нейтральности тел. А это можно сделать чрезвычайно точно, поскольку даже очень небольшое ее нарушение приводит к возникновению громадных сил электрического взаимодействия между телами, которое легко заметить. Пусть, например, два железных шарика массой по 1 г, находящихся на расстоянии 1 м друг от друга, не нейтральны из-за того, что заряды протона отличаются от заряда электрона на одну миллионную долю за- ряда. Оценим, какая сила отталкивания возникнет между шариками. В 1 г
26 56
F e имеется
6 · 10 23
· 26/56 зарядов каждого знака. Следовательно, при нарушении нейтральности всего на 10
−6
на каждом шарике появится заряд q =
1, 6 · 10
−19
· 10
−6
· 6 · 10 23
· 26/56
Кл = 4, 46 · 10
−2
Кл.
(1.9)
Сила отталкивания между шариками равна
F =
1 4πε
0
q
2
r
2
= 4, 46 · 10
−2

2
· 9 · 10 9
= 1, 8 · 10 7
= 18 МН
(1.10)
9

Это означает, что между шариками возникает сила отталкивания, равная силе, с которой тяжеловесный железнодорожный состав массой почти 2 тыс. т давит на рельсы. И это всего-навсего при отличии зарядов протона и электрона на 10 часть заряда в 2 г железа.
Ясно, что можно легко измерить силы между железными шариками, в громадное число раз меньшие (1.10). А если в эксперименте таких сил не обнаруживается, то это озна- чает соответствующее увеличение точности, с которой заряд электрона по абсолютному значению равен заряду протона. В настоящее время экспериментально установлено, что отрицательный элементарный заряд электрона равен по абсолютному значению положи- тельному заряду протона с относительной точностью 10
−21
, т. е.
||e
+
| − |e
−
||
|e
±
|
≤ 10
−21
(1.11)
Изложенное доказательство равенства абсолютных значений положительного и отри- цательного элементарных зарядов может показаться недостаточно строгим. Можно пред- ставить себе тело, состоящее из атомов или молекул, в которых элементарные заряды по абсолютному значению не равны друг другу, хотя их числа в каждом атоме или моле- куле одинаковы. В этом случае атомы или молекулы должны обладать зарядом, однако тело в целом может оставаться нейтральным, если в нем наряду с этими атомами и мо- лекулами находятся в нужном числе свободные электроны или положительные ионы (в зависимости от знака заряда атомов или молекул). Однако при таком допущении воз- никают осложнения, с которыми трудно примириться. Например, приходится отказаться от представления об однородной структуре тел и принять зависимость их структуры от размеров и т. д. Тем не менее желательно иметь более прямое и непосредственное доказа- тельство равенства абсолютных значений положительных и отрицательных элементарных зарядов в атомах. Такое доказательство было получено.
Нейтральность отдельных атомов проверялась прямыми экспериментами: исследо- валось отклонение пучка нейтральных атомов в электростатических полях. По откло- нению можно судить о заряде атома и сделать заключение о равенстве зарядов электронов и протонов в атоме. Исследования с пучками цезия (Z = 55) и калия (Z = 19) доказали,
что абсолютные значения зарядов электрона и протона равны с относительной точностью
3, 5 · 10
−19
Инвариантность заряда.
Независимость числового значения элементарного заряда от скорости также доказывается фактом нейтральности атомов. Из-за различия масс элек- тронов и протонов можно заключить, что электроны в атомах движутся значительно быстрее протонов. Если бы заряд зависел от скорости, нейтральность атомов не мог- ла бы соблюдаться. Например, электроны в атоме гелия движутся примерно в два раза быстрее, чем в молекуле водорода, а нейтральность атома гелия и молекулы водорода доказаны с большой точностью. Можно заключить, что с той же точностью заряд не за- висит от скорости вплоть до скоростей электронов в атоме гелия. В атоме гелия скорость электронов равна примерно 0, 02 с. В более тяжелых атомах, нейтральность которых до- казана, электроны движутся во внутренних оболочках со скоростями, равными примерно половине скорости света. Тем самым экспериментально доказано, что элементарный за- ряд инвариантен вплоть до 0, 5 с. Нет оснований предполагать, что он не инвариантен при более высоких скоростях. Поэтому инвариантность электрического заряда принимается в качестве одного из экспериментальных обоснований теории электричества.
1.3
Закон Кулона
Электродинамика
(или электромагнетизм) – раздел физики, изучающий электриче- ские и магнитные явления, а также их взаимосвязь. Этот раздел имеет огромное значение
10

в электронике, вычислительной технике, телекоммуникациях и связи. Электродинамика лежит в основе и волновой оптики, которая рассматривает свет как электромагнитные волны.
Электростатика
– раздел электродинамики, изучающий взаимодействие и электриче- ские поля покоящихся электрических зарядов.
Электрический заряд
– характеристика частиц и тел, определяющая интенсивность их электромагнитного взаимодействия и величину создаваемого ими электрического поля.
В 1729 году Шарль Дюфе обнаружил, что существует два рода зарядов. Один образуется при трении стекла о шёлк, а другой — смолы (эбонита) о шерсть. Поэтому Дюфе назвал заряды стеклянным и смоляным. Было установлено, что если на тело подать одновременно и стеклянный, и смоляной заряды, то эти заряды компенсируются – частично или полно- стью. По аналогии с положительными и отрицательными числами Бенджамин Франклин ввёл понятие о положительном и отрицательном заряде.
Заряды разных знаков притягиваются друг к другу, одного знака - отталкиваются.
Единица измерения заряда в СИ — кулон (Кл). Заряд в один кулон очень велик, и чаще на практике заряды измеряют нанокулонами. Существует минимальный электрический заряд (элементарный заряд ), равный e = 1, 6 · 10
−19
Кл. Все остальные заряды больше в целое число раз (или равны). Носителями элементарного заряда являются некоторые элементарные частицы, например, электрон (один отрицательный элементарный электри- ческий заряд) или протон (один положительный элементарный заряд). Заряд нейтрона равен нулю. Суммарный заряд любого атома, состоящего из этих частиц, равен нулю,
поскольку число протонов нейтрального атома равно числу электронов.
Закон сохранения электрического заряда: электрический заряд изолированной систе- мы сохраняется во времени. Закон сохранения заряда – один из фундаментальных зако- нов физики. Величина заряда не зависит от скорости, с которой он движется, даже если скорость сравнима со скоростью света и перестает работать механика Ньютона.
В 1785 г. Шарль Кулон (1736 – 1806) опытным путем установил количественный закон взаимодействия электрических зарядов. При этом рассматривались точечные заряды –
заряженные тела, размерами которых можно пренебречь (по сравнению с расстояниями между телами). Закон Кулона: сила взаимодействия двух точечных зарядов обратно про- порциональна квадрату расстояния между зарядами, пропорциональна величине обоих зарядов и направлена вдоль линии, соединяющей оба заряда. Таким образом, в скалярном виде закон Кулона выражается формулой:
F =
1 4πε
0
q
1
q
2
r
2
(1.12)
где q
1
и q
2
– величины взаимодействующих зарядов; r – расстояние между зарядами;
k =
1 4πε
0
=
9 · 10 9
м/Ф – коэффициент пропорциональности; при этом отрицатель- ный знак силы в формуле означает притяжение зарядов, а положительный – отталкивание;
ε
0
= 8, 85 · 10
−12
Кл
2
/ (Н · м
2
) – электрическая постоянная.
1.3.1
Полевая трактовка закона Кулона
До работ Фарадея закон Кулона трактовался с позиций дальнодействия, т. е. считалось,
что одно тело действует на другое как бы без посредников. Поэтому и называлась эта концепция как действие на расстоянии. В первой половине XIX в. выработалась другая точка зрения на механизм взаимодействия, согласно которой взаимодействие между те- лами осуществляется лишь посредством непрерывной "передачи сил" через простран- ство между телами. Такое представление получило название концепции близкодей-
11

ствия. Она была введена в науку Фарадеем (1791 – 1867) в ряде работ, опубликованных в период с 1831 по 1855 г. Вместе с идеей близкодействия в науку вошло представление о поле как посреднике, осуществляющем взаимодействие. Первоначально функции по- средника приписывались среде, которая заполняет все мировое пространство. Эта среда получила название Мирового эфира. Состояние эфира характеризовалось определен- ными механическими свойствами, такими, как упругость, натяжение, движение одних частей среды относительно других и т. д. По этой трактовке сила, действующая на те- ло, является следствием взаимодействия тела со средой в той точке, в которой находится тело. Таким образом, механизм взаимодействия формулируется в виде локальных соот- ношений. Попытка математической формулировки этой механической картины передачи взаимодействий была предпринята в 1861-1862 гг. Максвеллом (1831-1879), пытавшимся представить силы электромагнитного взаимодействия в виде механических сил, обуслов- ленных натяжениями и давлениями в эфире. Затем он перешел к феноменологической формулировке взаимодействия, характеризуя состояние среды с помощью векторов Е,
D, Н, В, которым, однако, не дается какой-то механической интерпретации. Следует от- метить, что при этом Максвелл не исключал возможности механического истолкования феноменологических уравнений. В 1864 г. он сформулировал уравнения электромагнит- ного поля — уравнения Максвелла. В дальнейшем выяснилось, что нельзя приписывать эфиру механических свойств и нельзя говорить о движении относительно эфира.
Надежда на механическое истолкование электромагнитных взаимодействий потеря- ла право на существование. Но идея локальной, формулировки взаимодействия и необхо- димость существования в пространстве поля, которое осуществляет это взаимодей- ствие, сохранились. Поле становится первоначальной сущностью и характеризуется величинами, которые не могут быть интерпретированы в рамках механических пред- ставлений. Это утверждение в наиболее четкой форме было высказано в 1889 г.
Герцем (1857 — 1894), экспериментально открывшим электромагнитные волны и сфор- мулировавшим уравнения Максвелла для вакуума в современном виде. Ясно, что поле существует в пространстве и времени наряду с материей в виде атомов, молекул и т. д.
Следовательно, поле есть также вид материи, обладающий свойственными для всякой материи характеристиками — импульсом, энергией и т. д.
1.4
Электрическое поле и электрическое смещение
Заряды взаимодействуют друг с другом на расстоянии. Это отличается от того, к че- му мы привыкли в механике, когда тела обычно взаимодействуют при непосредственном механическом контакте. Поэтому для описания взаимодействия зарядов на расстоянии вводят понятие электрического поля. Электрическое поле – это вид материи, посред- ством которой происходит силовое воздействие на электрические заряды. Источником электрического поля может являться электрический заряд. Покоящийся заряд создает в пространстве вокруг себя только электрическое поле, а движущийся – еще и магнитное.
Заряд же является и индикатором поля. Наличие электрического поля в данной точке пространства определяют по силе, действующей на неподвижный положительный точеч- ный заряд, помещенный в это поле (пробный заряд). Силовой характеристикой электри- ческого поля является напряженность электрического поля. Ее определяют следующим образом. Если на неподвижный точечный заряд q пр.
действует сила
F , то в точке нахож- дения этого заряда существует электрическое поле напряженностью:

E =

F
q пр.
(1.13)
Из формулы видно, что если пробный заряд отрицателен, то направление вектора напря-
12

жянности противоположно направлению силы. Видно также, что единицей напряженно- сти в системе СИ является ньютон на кулон (Н/Кл). Ниже будет показано, что единицей напряженности может быть принят и вольт на метр (В/м): 1 Н/Кл = 1 В/м.
Если известна зависимость напряженности электрического поля от координат
E (
r), то легко найти силу, действующую на точечный заряд q пр.
, помещенный в любую точку:

F (
r) = q пр.

E (
r) .
(1.14)
Найдем напряженность поля точечного заряда. Поместим в точку
r пробный заряд q пр.
и определим по закону Кулона действующую на него со стороны заряда q силу: F = k qq пр r
2
Из определения напряженности (1.13):
E =
F
q пр.
= k q
r
2
(1.15)
Таким образом, напряженность поля, созданного точечным зарядом q, прямо пропорци- ональна величине этого заряда (создающего поле, заряда - источника поля) и обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда - источника поля до точки, где ищется поле. Естественно, что напряженность не зависит от величины пробного заряда, который является лишь индикатором поля. Если поместить начало координат в точку расположе- ния заряда q, то уравнение (1.15) можно переписать в векторной форме:

E = k q
r r
3
(1.16)
И действительно, в этом случае поле направлено по радиус-вектору для положительного заряда, и в противоположную радиус-вектору сторону – для отрицательного заряда.
Поле в каждой точке характеризуется силой и направлением. Поэтому его удобно гра- фически описывать с помощью линий напряженности (силовых линий). Их строят по следующим трем правилам:
1. Линии напряженности начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных или уходят в бесконечность.
2. Вектор напряженности направлен по касательной к линии напряженности в каждой точке.
3. Густота этих линий выбирается такой, чтобы количество линий, пронизывающих единичную нормальную площадку, было равно (или пропорционально) модулю на- пряженности электрического поля.
Рис. 1.5.
В соответствии с этими правилами силовые линии положительного точечного заряда представлены на рис. 1.5а. Силовые линии отрицательного заряда выглядят также, но направлены в противоположную сторону. Поле вблизи двух разноименных зарядов пред- ставлено графически на рис. 1.5б, вблизи двух одноименных положительных зарядов – на рис. 1.5в, Поле двух одноименных отрицательных зарядов выглядит так же, как поле двух
13

одноименных положительных зарядов, но силовые линии направлены в противоположную сторону.
Заметим, что если расстояние между силовыми линиями на рисунках увеличивается вдвое, то напряженность, обратно пропорциональная приходящейся на силовую линию площади (квадрату расстояния), уменьшается вчетверо.
Напряженность поля может сложным образом зависеть от координат. Рассмотрим про- стейший случай. Однородное поле – это электрическое поле, в котором напряженность равна по модулю и направлению в любой точке рассматриваемой области пространства.
Как будет показано ниже, приблизительное однородное поле – это поле между двумя разноименно заряженными плоскими пластинами. В любом случае возможно выделение достаточно малой области пространства, где поле можно считать однородным. В одно- родном электрическом поле линии напряженности направлены параллельно друг другу и имеют постоянную густоту.
До сих пор мы обсуждали вид электрического поля зарядов, находящихся в вакууме.
Опыт показывает, что, если поместить заряд в диэлектрик (вещество, практически не про- водящее электрический ток), то поле и силы взаимодействия зарядов могут измениться.
Например, молекулы воды обладают собственным электрическим полем. При помещении их во внешнее поле они поворачиваются так, что за счет собственного поля ослабляют суммарное поле в 81 раз.
Для описания электрических полей в диэлектриках удобно ввести понятие электриче- ского смещения. Электрическое смещение иногда называют еще электрической индукцией.
Вектор электрического смещения
D в простейшем случае связан с вектором напряженно- сти электрического поля
E соотношением:

D = εε
0

E.
(1.17)
Измеряется электрическое смещение в /м
2
. В определении электрического смещения роль диэлектрика учитывается диэлектрической проницаемостью ε. В вакууме же электриче- ское смещение с точностью до константы ε
0
совпадает с напряженностью. Диэлектриче- ская проницаемость показывает, во сколько раз ослабляется поле в диэлектрике по сравне- нию с вакуумом. Как уже отмечалось, для воды при комнатной температуре и постоянном поле она равна 81. Для воздуха вследствие малой плотности молекул газа диэлектриче- ская проницаемость близка к единице. Для керосина ε равна 2, растительного масла –
2-4, стекла – 6-10, крахмала – 12, крови – 85. С учетом такого экранирования поля закон
Кулона в диэлектрике приобретает вид:
F =
1 4πεε
0
q
1
q
2
r
2
(1.18)
Диэлектрическая проницаемость среды в паре с электрической постоянной εε
0
входят не только в закон Кулона, но и во многие другие уравнения электродинамики.
1.4.1
Принцип суперпозиции электрических полей
Рис. 1.6.
Опыт и здравый смысл подсказывают, что сила взаимодействия двух зарядов не изменится, если в систему добавить другие заря- ды (рис. 1.6). При этом силы
F
12
и
F
21
не зависят от заряда q
3
,
силы
F
13
и
F
31
– от заряда q
2
(который выбран в данном примере отрицательным), силы
F
23
и
F
32
– от заряда q
1
. Таким образом, ре- зультирующую силу, действующую на любой заряд, можно найти
14

как векторную сумму сил парного взаимодействия зарядов:

F
1
=
F
12
+
F
13
;

F
2
=
F
21
+
F
23
;

F
3
=
F
31
+
F
32



(1.19)
Аналогичным образом складываются и пропорциональные силам электрические поля, так что результирующее поле равно векторной сумме полей отдельных зарядов:

E
1
=
E
12
+
E
13

E
2
=
E
21
+
E
23

E
3
=
E
31
+
E
32



(1.20)
Или в общем случае имеем принцип суперпозиции электрических полей: напряженность электрического поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, ко- торые создает каждый из этих зарядов в отдельности:

E =
X
E
i
(1.21)
Принцип суперпозиции позволяет рассчитать поле сложной системы из большого количе- ства точечных зарядов, а также тела с произвольным объемным распределением заряда.
Так, тело с произвольным объемным распределением заряда можно разбить на малые части и, используя выражение для поля точечного заряда и принцип суперпозиции элек- трических полей, можно рассчитать суммарное поле.
1.4.2
Электрический диполь. Поле диполя
Рис. 1.7.
Электрический диполь
– это система из двух равных по моду- лю и противоположных по знаку электрических точечных зарядов q и −q, расположенных на расстоянии l друг от друга (рис. 1.7). Это понятие широко используется в физике. Выше уже рассмотрено экра- нирование внешнего электрического поля молекулами среды, которые можно рассматривать как набор диполей. Кроме того, диполь создает и собственное поле, существенное во многих случаях. При этом очень часто размер диполя пренебрежимо мал по сравнению с размером рассматриваемой системы. Дадим количе- ственное описание свойств диполя. Если из точки положения отрицательного заряда в точку положения положительного заряда провести вектор l, то можно дать следующее определение. Электрический (дипольный) момент (
p) диполя определяют по формуле:

p = ql.
(1.22)
Рис. 1.8.
Если поместить электрический диполь в электрическое поле на- пряженностью
E (рис. 1.8), то на заряды диполя соответственно действуют силы:

F
+
= q
E ;
(1.23)

F
−
= −q
E.
(1.24)
Эти силы противоположно направлены и создают суммарный момент силы (рис. 1.8)
M = qEl sin α = pE sin α.
(1.25)
15

Уравнение можно переписать в векторном виде с использованием векторного произве- дения:

M =
p ×
E.
(1.26)
Отсюда следует вывод, что на электрический диполь в электрическом поле действует мо- мент силы, определяемый электрическим моментом, напряженностью поля и ориентацией диполя. Существенно, что этот момент силы разворачивает диполь так, чтобы поле диполя частично компенсировало внешнее поле (и обеспечивало диэлектрическую проницаемость
ε >1).
Рис. 1.9.
Как уже отмечалось, во многих случаях важную роль иг- рает и собственное поле диполя. Рассчитаем электрическое поле электрического диполя с использованием принципа су- перпозиции. Особенно результат интересен на расстояниях,
значительно превышающих размер диполя. Предположим,
что необходимо вычислить напряженность электрического по- ля в точке A (рис. 1.9). Напряженность поля, создаваемого зарядами диполя в соответствии с принципом суперпозиции равна:

E = kq
r
+

r
3
+
−

r
−

r
3
−

= kq

r
+

r
3
+
−

r
+
+ l
((
r
+
+ l)
2
)
3/2
!
(1.27)
В приближении, что точка A достаточно удалена от диполя и l
r
+
1 ,
(1.28)
можно принять r
+
≈ r, где r – расстояние от диполя до точки A. При этом из рисун- ка следует
r
−
=
r + l. Кроме того, трижды воспользуемся формулами приближенного вычисления степени суммы с учетом малости (1.28):

E ≈ kq




r r
3
−

r + l r
3

1 +
2
rl r
2

3/2



≈ kq



r r
3
−

r + l r
3

1 +
3
rl r
2



≈
≈
kq r
3

r −


r + l

1 −
3
rl r
2
!!
. (1.29)
Наконец, воспользовавшись той же малостью при перемножении скобок, получим окон- чательно две составляющие напряженности вдоль
r и вдоль дипольного момента
p:
kq r
3

r −


r + l

1 −
3
rl r
2
!!
≈
k(3
e r
p cos α −
p)
r
3
,
(1.30)
где
e r
=
r/r единичный вектор вдоль
r, α – угол между дипольным моментом и
r.
Таким образом, поле диполя пропорционально дипольному моменту и обратно про- порционально кубу расстояния от диполя до точки наблюдения. Существенно, что поле диполя убывает с расстоянием быстрее, чем поле точечного заряда, убывающее пропор- ционально квадрату расстояния. Иными словами, электрическое поле диполя является короткодействующим – по сравнению с полем точечного заряда. Так, при двукратном удалении поле диполя уменьшится в 8 раз, тогда как поле точечного заряда только в 4
раза.
16

1.5
Теорема Гаусса
Рис. 1.10.
Поток вектора .
Для большей наглядности воспользуемся геомет- рической картиной описания электрического поля (с помощью линий вектора ) и еще, для упрощения рассуждений,будем считать, что гу- стота линий равна модулю вектора .Тогда число линий, пронизыва- ющих элементарную площадку dS, нормаль которой составляет угол
α с вектором , определяется согласно рисунка 1.10 как EdS cos α. Эта величина и есть поток dΦ вектора сквозь площадку dS. В более ком- пактной форме dΦ = E
n dS =
Ed
S,
где E
n проекция вектора на нормаль к площадке dS, dS — вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью к площадке. Заметим, что выбор направления вектора (а следовательно, и dS) условен, его можно было бы направить и в противопо- ложную сторону.
Если имеется некоторая произвольная поверхность S, то поток вектора сквозь нее
Φ =
Z
S

Ed
S.
(1.31)
Эта величина алгебраическая: она зависит не только от конфигурации поля E, но и от выбора направления нормали. В случае замкнутых поверхностей принято нормаль брать наружу области, охватываемой этими поверхностями, т. е. выбирать внешнюю нормаль,
что в дальнейшем будет всегда и подразумеваться.
Хотя здесь речь шла о потоке вектора , понятие потока вравной степени относится к любому векторному полю.
1.5.1
Теорема Гаусса
Поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность S обладает удивительным и замечательным свойством: он зависит только от алгебраической суммы зарядов, охва- тываемых этой поверхностью. А именно
I

Ed
S =
1
ε
0
q внутр
,
(1.32)
где кружок у интеграла означает, что интегрирование проводится по замкнутой поверх- ности.
Это выражение и составляет суть теоремы Гаусса: поток вектора сквозь замкнутую поверхность равен алгебраическойсумме зарядов внутри этой поверхности, деленной на
ε
0
Доказательство теоремы.
Сначала рассмотрим поле одного точечного заряда q. Окру- жим этот заряд произвольной замкнутой поверхностью S (рис. 1.4) и найдем поток век- тора сквозь элемент dS:
dΦ =
Ed
S = EdScosα =
1 4πε
0
q r
2
dS · cos α =
q
4πε
0
dΩ
(1.33)
где dΩ — телесный угол, опирающийся на элемент поверхности dS, с вершиной в точке расположения заряда q. Интегрирование этого выражения по всей поверхности S экви- валентно интегрированию по всему телесному углу, т. е. замене dΩ на 4π, и мы получим
Φ =
q
ε
0
, как и требует формула (1.32).
17

Рис. 1.11.
Заметим, что при более сложной форме замкнутой поверхности уг- лы α могут быть больше π/2, а значит, cos α и dΩ в (1.32) принимают,
вообще говоря, как положительные, так и отрицательные значения.
Итак, dΩ — величина алгебраическая: если dΩ опирается навнутрен- нюю сторону поверхности S, то dΩ > 0, если же навнешнюю сторону,
то dΩ < 0.
Отсюда, в частности, следует: если заряд q расположен внезамкну- той поверхности S, то поток вектора через нее равен нулю. Для этого достаточно провести из заряда q коническую поверхность так, чтобы она оказалась касательной к замкнутой поверхности S.
Рис. 1.12.
Тогда интегрирование выражения (1.32) по поверхности S экви- валентно интегрированию по Ω (рис. 1.12): внешняя сторона поверх- ности S будет видна из точки q под углом Ω > 0, а внутренняя под углом −Ω оба угла по модулю равны). В сумме получим нуль, и Φ = 0,
что также совпадает с утверждением (1.32). На языке линий векто- ра
E это означает, что сколько линий входит в объем, ограниченный поверхностью S, столько и выходит.
Теперь обратимся к случаю, когда электрическое поле создается системой точечных зарядов q
1
, q
2
и т. д. В этом случае согласно прин- ципу суперпозиции E = E
1
+ E
2
+ . . ., где E
1
— поле, создаваемое зарядом q
1
, q
2
и т. д. Тогда поток вектора E можно записать так:
I

Ed
S =
I

E
1
+
E
2
+ ...

d
S =
I

E
1
d
S +
I

E
2
d
S + ... = Φ
1
+ Φ
2
+ ...
Согласно предыдущему каждый интеграл в правой части равен q i
/ε
0
, если заряд q i
нахо- дится внутри замкнутой поверхности S, и нулю, если снаружи поверхности S. Поэтому в правой части останется алгебраическая сумма только тех зарядов, которые находятся внутри поверхности S.
Для завершения доказательства теоремы остается учесть случай, когда заряды рас- пределены непрерывно с объемной плотностью, зависящей от координат. В этом случае можно считать, что каждый элементарный объем dV содержит "точечный" заряд ρdV
Тогда в правой части (1.32)
q внутр
=
Z
ρdV,
(1.34)
где интегрирование проводится только по объему, заключенному внутри замкнутой по- верхности S.
Необходимо обратить внимание на следующее важное обстоятельство: в то время как само поле зависит от конфигурации всех зарядов, поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность S определяется только алгебраической суммой зарядов внутри поверхности S. Это значит, что если передвинуть заряды, то поле изменится всюду, в частности, и на поверхности S; изменится, вообще говоря, и поток вектора через S. Од- нако если передвижка зарядов произошла без пересечения поверхности S, поток вектора через эту поверхность останется прежним, хотя, повторяем, само поле может измениться,
причем весьма существенно. Удивительное свойство электрического поля!
1.5.2
Применения теоремы Гауссa
Поскольку поле зависит от конфигурации всех зарядов,теорема Гаусса, вообще говоря,
не дает возможности найти это поле. Однако в ряде случаев теорема Гаусса оказывает- ся весьма эффективным аналитическим инструментом: она позволяет получить ответы
18

на некоторые принципиальные вопросы, не решая задачи, а также находить и само поле
E, причем чрезвычайно простым путем. Рассмотрим несколько примеров, а затем сфор- мулируем некоторые общие выводы о том, в каких случаях применение теоремы Гаусса оказывается наиболее целесообразным.
Рис. 1.13.
Пример 1.
О невозможности устойчивого равновесия заряда в электрическом поле (Теорема Ирншоу). Пусть в вакууме имеется си- стема неподвижных точечных зарядов, находящихся в равновесии.

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13

Рассмотрим один из этих зарядов — заряд q. Может ли состояние его равновесия быть устойчивым?
Чтобы ответить на этот вопрос, окружим заряд q небольшой за- мкнутой поверхностью S (рис. 1.13). Допустим, для определенности,
что q > 0. Тогда для того чтобы равновесие заряда q было устойчи- вым, необходимо, чтобы во всех точках поверхности S поле E, образованное всеми осталь- ными зарядами системы, было направлено к заряду q: только в этом случае при любом ма- лом смещении заряда q из положения равновесия на него будет действовать возвращающая сила, иположение равновесия действительно будет устойчивым. Но такая конфигурация поля E вокруг заряда q противоречит теореме Гаусса: поток вектора E сквозь поверхность
S отрицателен, согласно же теореме Гаусса он должен быть равным нулю, поскольку этот поток создается зарядами, расположенными вне поверхности S. А равенство потокавек- тора E нулю означает, что в каких-то точках поверхности S вектор направлен внутрь,
а в каких-то обязательно наружу. Отсюда и следует, что устойчивое равновесие заряда в любом электростатическом поле невозможно. Теорема Ирншоу утверждает, что не суще- ствует такой конфигурации неподвижных зарядов, которая была бы устойчивой, если нет других сил, кроме сил кулоновского взаимодействия между зарядами системы.
1.5.3
Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости и двух плоскостей
Рассмотрим сначала поле, создаваемое бесконечной равномерно заряженной плоскостью с постоянной поверхностной плотностью заряда
σ =
dq ds
(1.35)
Рис. 1.14.
Поверхностная плотность заряда измеряется в Кл/м
2
. В качестве гауссовой поверхности выделим цилиндр с осью, перпендикулярной плоскости, и основаниями площадью S, расположенными относитель- но плоскости симметрично (рис. 1.14). Круг с пунктирными граница- ми представляет часть заряженной плоскости, попавшую внутрь ци- линдра. В силу симметрии напряженность поля на основаниях пер- пендикулярна плоскости, равна по модулю (
1
=
2
= E) и противоположна по направлению.
Нормальная составляющая напряженности на боковой поверхности цилиндра равна нулю (как и соответствующий поток) – из тех же соображений симметрии. Поэтому поток вектора напряжённости через выделенную замкнутую поверхность определяется потоком через основания и равен 2ES. В свою очередь заряд внутри цилиндра равен σS. По теореме
Гаусса имеем:
2ES =
σS
ε
0
,
(1.36)
откуда
E =
σ
2ε
0
(1.37)
19

Таким образом, поле бесконечной равномерно заряженной плоскости по модулю не зави- сит от координат, перпендикулярно плоскости и имеет противоположные направления в полупространствах, разделенных плоскостью.
Рис. 1.15.
Рассчитаем теперь поле двух разноименно заряженных плос- костей (поле плоского конденсатора). Предположим, что по- верхностная плотность заряда плоскостей одинакова по модулю
(рис. 1.15). Тогда создаваемое плоскостями поле равно соответ- ственно E
1
=
σ
2ε
0
, E
2
=
−σ
2ε
0
. В соответствии с принципом суперпо- зиции эти поля векторно складываются. При этом поля зарядов вне конденсатора противоположны по направлению и при сло- жении компенсируются. В вою очередь, в пространстве между пластинами поля направлены в одну сторону, так что результи- рующее поле равно:
E =
σ
ε
0
(1.38)
Для реального плоского конденсатора с ограниченной шириной заряженных пластин поле тоже можно считать по приведенным формулам, если расстояние между пластинами d много меньше длины a и ширины b пластин:
d a,
d b.
При этом на краях пластин на расстояниях порядка расстояния между пластинами имеют место краевые эффекты – спад напряженности от максимального значения практически до нуля.
1.5.4
Поле равномерно заряженной бесконечной нити
Рассчитаем поле, создаваемое бесконечной нитью с постоянной линейной плотностью за- ряда
λ =
dq dl
(1.39)
на расстоянии R от нити. Линейная плотность заряда измеряется в Кл/м. Выберем в качестве гауссовой поверхности цилиндр радиуса R и высотой h с осью, совпадающей с нитью (рис. 1.16).
Рис. 1.16.
В силу симметрии напряженность поля на боковой поверхности цилин- дра постоянна по модулю и перпендикулярна боковой поверхности. Нор- мальная составляющая напряженности на основаниях цилиндра равна ну- лю (как и соответствующий поток) – тоже из соображений симметрии. По- этому поток вектора напряжённости через выделенную замкнутую поверх- ность определяется потоком через боковую поверхность цилиндра и равен произведению напряженности на боковую поверхность цилиндра E2πRh.
В свою очередь заряд внутри цилиндра равен λh. По теореме Гаусса:
E2πRh =
λh
ε
0
,
(1.40)
откуда поле равномерно заряженной бесконечной нити равно
E =
λ
2πRε
0
(1.41)
Похожим образом рассчитывается поле равномерно заряженной цилиндрической поверх- ности. При этом несложно показать, что поле снаружи от такой поверхности совпадает с полем нити, а поле внутри такой поверхности равно нулю.
20

1.5.5
Поле равномерно заряженной сферы
Рис. 1.17.
Найдем теперь поле равномерно (по поверхности) заряженной сферы радиуса r и заряда q. Выберем в качестве гауссовой поверхности сфе- ру радиуса R. Из соображений симметрии напряженность на поверх- ности любой сферы является константой и может быть направлена только по направлению радиуса.
Снаружи заряженной сферы при R > r (рис. 1.17) теорема Гаусса дает:
E4πR
2
=
q
ε
0
,
(1.42)
откуда выражение для поля совпадает с выражением для поля точечного заряда:
E =
q
4πε
0
R
2
(1.43)
Внутри заряженной сферы (при R < r) внутри гауссовой поверхности отсутствует заряд,
что в соответствии с теоремой Гаусса означает отсутствие поля:
E = 0.
(1.44)
1.5.6
Поле равномерно заряженного шара
Рис. 1.18.
Решим теперь несколько более сложную задачу и найдем поле рав- номерно (по объему) заряженного шара радиуса r и заряда q. Выбе- рем по-прежнему в качестве гауссовой поверхности сферу радиуса R.
По-прежнему из соображений симметрии напряженность на поверх- ности любой сферы является константой и может быть направлена только по направлению радиуса. Как и для заряженной сферы, сна- ружи заряженного шара при R > r (рис. 1.18) теорема Гаусса дает
E4πR
2
=
q
ε
0
, откуда выражение для поля по-прежнему совпадает с выражением для поля точечного заряда:
E =
q
4πε
0
R
2
(1.45)
Рис. 1.19.
Однако внутри заряженного шара при R < r внутри гауссовой поверхно- сти имеется заряд q
1
, который можно рассчитать через объемную плотность заряда, равную частному от деления заряда на бъем заряженного шара:
ρ =
q
4 3
πr
3
Заряд q
1
пропорционален (рис. 1.19) объему гауссовой поверхности
4 3
πR
3
:
q
1
= ρ
4 3
πR
3
=
qR
3
r
3
(1.46)
Воспользуемся теперь по аналогии с (1.42) теоремой Гаусса:
E4πR
2
=
q
1
ε
0
(1.47)
откуда с учетом (1.47):
E =
qR
4πε
0
r
3
(1.48)
Таким образом, по мере удаления от центра симметрии напряженность поля равномер- но заряженного шара сначала (при R < r) линейно растет пропорционально R, а затем
(при R > r) квадратично падает пропорционально R
2
Следует отметить, что расчет полей заряженных тел различной геометрии может быть выполнен и с помощью закона Кулона,
но такой расчет является более громоздким.
21

1.5.7
Теорема Гаусса в дифференциальной форме
Замечательное свойство электрического поля, которое выражает собой теорема Гаусса,
побуждает представить эту теорему в иной форме, расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.
В отличие от формулы (1.32) — ее называют интегральной — мы будем искать диф- ференциальную форму теоремы Гаусса, в которой устанавливается связь между объ- емной плотностью заряда и изменениями напряженности в окрестности данной точки пространства.
Для этого представим сначала заряд q в объеме V , охватываемом замкнутой поверх- ностью S, как q внутр
= hV i, где hpi — среднее по объему V значение объемной плотности заряда. Затем подставим это выражение в уравнение (1.32) и разделим обе части его на
V . В результате получим
1
V
I

Ed
S = hpi /ε
0
(1.49)
Теперь устремим объем V к нулю, стягивая его к интересующей нас точке поля. Очевидно,
при этом hpi будет стремиться к значению ρ в данной точке поля, а значит, отношение в левой части уравнения (1.49) будет стремиться к ρ/ε
0
Величину, являющуюся пределом отношения
H

Ed
S к V при V → 0, называют дивер- генцией поля и обозначают div
E. Таким образом, по определению div
E = lim
V →0 1
V
I

Ed
S .
(1.50)
Аналогично определяется дивергенция любого другого векторного поля. Из определения
(1.50) следует, что дивергенция является скалярной функцией координат.
Чтобы получить выражение для дивергенции поля , надо согласно (1.50) взять беско- нечно малый объем V , определить поток вектора сквозь замкнутую поверхность, охва- тывающую этот объем, и найти отношение этого потока к объему. Полученное выражение для дивергенции будет зависеть от выбора системы координат (в разных системах коор- динат оно оказывается разным). Например, в декартовой системе координат div
E =
∂E
x
∂x
+
∂E
y
∂y
+
∂E
z
∂z
(1.51)
Итак, мы выяснили, что при V → 0 в выражении (1.49) его правая часть стремится к
ρ/ε
0
, а левая — к div
E. Следовательно, дивергенция поля связана с плотностью заряда в той же точке уравнением div
E = ρ/ε
0
(1.52)
Это уравнение и выражает теорему Гаусса в дифференциальной форме. Написание многих формул и действия с ними значительно упрощаются, если ввести векторный диф- ференциальный оператор ∇ ("набла"). В декартовых координатах он имеет вид
∇ = i
∂
∂x
+ j
∂
∂y
+ k
∂
∂z
,
(1.53)
где i, j, k — орты осей X, Y, Z. Сам по себе вектор ∇ смысла не имеет. Он приобретает смысл только в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую символически умножается. Так, например, если вектор ∇ умножить скалярно на вектор , то получим

∇ ·
E = ∇
x
E
x
+ ∇
y
E
y
+ ∇
z
E
z
=
∂
∂x
E
x
+
∂
∂y
E
y
+
∂
∂z
E
z
,
22

а это есть не что иное, как div E, согласно (1.51). Таким образом, дивергенция поля может быть записана как div E или ∇ · E (в обоих случаях читается как "дивергенция").
Мы будем пользоваться вторым, более удобным обозначением. Тогда, например, теорема
Гаусса (1.52) будет иметь вид

∇ ·
E = ρ/ε
0
(1.54)
В дифференциальной форме теорема Гаусса является локальной теоремой: дивергенция поля в данной точке зависит только от плотности электрического заряда ρ в той же точке и больше ни от чего. Это одно из замечательных свойств электрического поля. Например, в разных точках поля точечного заряда поле отличается друг от друга. Это же относится,
вообще говоря, и к пространственным производным E
x
/∂x, E
y
/∂y, E
z
/∂z. Однако, как утверждает теорема Гаусса, сумма этих производных, которая определяет дивергенцию
E, оказывается во всех точках поля (вне самого заряда) равной нулю.
В тех точках поля, где дивергенция положительна, мы имеем источники поля (по- ложительные заряды), а в тех точках, где она отрицательна, — стоки (отрицательные заряды).
Линии вектора выходят из источников поля, а в местах стоков они заканчиваются.
1.5.8
Закон сохранения заряда
Обсуждаются два аспекта понятия сохранения заряда. Даются интегральная и диффе- ренциальная формулировки закона сохранения заряда.
Два аспекта понятия сохранения заряда. В понятие "сохранение заряда" включаются две группы совершенно различных фактов:
1. Электрон и протон являются материальными частицами с бесконечным временем жизни, а их элементарные электрические заряды инвариантны и не зависят от скорости. Следовательно, их заряды существуют без изменения столь долго, сколь долго существуют протоны и электроны, независимо от того, как они движутся, т. е.
при любых движениях заряд сохраняется. В этом аспекте закон сохранения заряда является просто следствием неуничтожимости носителей заряда как физических объектов и инвариантности заряда;
2. Кроме протонов и электронов существует большое число других заряженных эле- ментарных частиц. Все они порождаются, порождают другие частицы и уни- чтожаются в различных процессах взаимопревращений. Весь громадный экспери- ментальный материал свидетельствует, что каков бы ни был процесс взаимопревра- щения частиц, суммарный заряд частиц до взаимопревращения равен суммарно- му заряду частиц после взаимопревращения. Например, при распаде до испускания электрона ядро имеет некоторый положительный заряд Ze
(+)
. После испускания электрона положительный заряд ядра увеличивается на один элементарный поло- жительный заряд и становится равным (Z + 1)e
(+)
. Однако в сумме с отрицательным зарядом испущенного электрона система "ядро + электрон" имеет прежний заряд
(Z + 1)e
(+)
−
e
(−)
= Ze
(+)
В качестве другого примера можно привести порождение
γ-квантом пары электрон — позитрон. Исходная частица — γ-квант — нейтраль- на. Она превращается в пару частиц, суммарный заряд которых равен нулю, что доказано с большой точностью при измерении положительного заряда позитрона.
Исследовано громадное число взаимопревращений элементарных частиц и во всех процессах соблюдается равенство суммарного заряда до процесса и после процесса,
или, иначе говоря, соблюдается закон сохранения заряда. Благодаря этому заряд приобретает в некотором смысле существование, независимое от носителей, и закон его сохранения может быть сформулирован следующим образом: заряд сохраняется при всех процессах и движениях, связанных с носителями зарядов.
23

Однако, несмотря на относительную самостоятельность, заряд не может существовать независимо от носителей заряда или вне пространства и времени. Это означает, что заряд не является самостоятельной сущностью, независимой от материи, он выражает одно из свойств материи. Выяснение природы этой связи — одна из труднейших проблем современной физики. Еще не ясно, почему существует только один элементарный заряд и почему он равен |e|, а не какому-то другому значению.
Рис. 1.20.
Интегральная формулировка закона сохранения заряда.
Ис- ходя из закона сохранения заряда как экспериментального факта, вы- разим его в виде утверждения о том, что изменение заряда в некото- ром объеме V может произойти только в результате втекания или вытекания заряда через замкнутую поверхность S, ограничивающую объем:
∂
∂t
Z
V
ρdV = −
I
S
jd
S.
(1.55)
Левая часть (1.55) определяет скорость изменения заряда в объеме, а правая — силу тока через поверхность, ограничивающую объем. Знак минус учитывает, что если по- ложительный заряд внутри объема уменьшается, то плотность тока направлена из объема V . Напомним, что у замкнутых поверхностей положительной нормалью считается внешняя нормаль. Следовательно, вектор d
S в (1.55) направлен по внешней нормали к поверхности (рис. 1.20).
Дифференциальная формулировка закона сохранения заряда.
В формуле (1.55)
объем V и поверхность S не изменяются с течением времени. Следовательно, производную по времени в левой части (1.55) можно ввести под знак интеграла. С другой стороны,
правую часть равенства можно по формуле Гаусса — Остроградского преобразовать в интеграл по объему:
∂
∂t
Z
V
ρdV =
Z
V
∂ρ
∂t dV,
I
S
j · d
S =
Z
V
divjdV.
(1.56)
Перенося все члены в (1.55) в левую часть и принимая во внимание (1.56), получаем
Z
V
∂ρ
∂t
+ divj

dV = 0 .
(1.57)
Это равенство справедливо для любого объема. Очевидно, что подынтегральное выраже- ние тождественно равно нулю Доказательство производят от противного. Если в неко- торой точке подынтегральное выражение не равно нулю, то в качестве V можно взять маленький объем вблизи этой точки, в пределах которого подынтегральное выражение сохраняет знак. Интеграл по этой области не равен нулю, что противоречит исходному равенству (1.57). Поэтому подынтегральное выражение равно нулю во всех точках. Тогда
∂p
∂t
+ div j = 0 .
(1.58)
Равенство (1.58) является выражением закона сохранения заряда в дифференциальной форме. Оно называется также уравнением непрерывности.
24

1.6
Потенциал электростатического поля
1.6.1
Работа сил электростатического поля. Консервативность элек- тростатических сил
Поскольку на заряд в электростатическом (постоянном электрическом) поле действует сила, то при движении этого заряда в поле совершается работа. В однородном поле на точечный заряд q действует постоянная сила (1.14), так что работа при перемещении по прямой траектории на расстояние равна
A =
F · l.
(1.59)
Рис. 1.21.
В соответствии с формулой работа пропорциональна величи- нам заряда, напряженности, перемещения и косинуса угла меж- ду векторами
E и l. В общем случае, когда напряженность зави- сит от координат, а траектория криволинейна, сначала находят работу на бесконечно малом перемещении dl dA =
F dl = q
Ed,
(1.60)
а затем берут интеграл по участку траектории (рис. 1.21):
A =
2
Z
1

F dl =
2
Z
1
a
Edl = q
2
Z
1
e l
dl ,
(1.61)
где E
l
− E cos α – проекция напряженности на направление движения заряда.
Рис. 1.22.
Сравним работу по перемещению заряда q в однородномполе
(рис. 1.22) из точки в точку по прямой и по ломаной линии через точку
A
AB
= qE · AB · cos α = qE · AF,
A
ACB
= qE (AC cos β + CB cos γ) = qE (AD + DF ) = qEAF = A
AB
(1.62)
Таким образом, работа по перемещению заряда по разным траектори- ям оказалась одинаковой – все зависит лишь от начальной и конечной точек. И для любой траектории, путем разбиения ее на короткие прямолинейные отрезки,

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13

несложно показать, что работа по перемещению заряда зависит лишь от начального и конечного расположения заряда. Таким образом, работа сил электрического поля не за- висит от траектории перемещения заряда из одной точки в другую. Такие поля называют потенциальными, а создающие их силы - консервативными.
1.6.2
Теорема о циркуляции вектора напряженности поля
Найдем сначала работу по перемещению заряда по замкнутому контуру впотенциальном поле на примере контура рис. 1.22:
A
ABCA
= A
AB
− A
ACB
= qEAF − qEAF = 0.
(1.63)
25

Рис. 1.23.
Это справедливо и для произвольного замкнутого контура и может быть показано опять же путем разбиения траектории на короткие
(бесконечно малые) прямолинейные отрезки (рис. 1.23). При этом суммарная длина проекций отрезков перемещения по полю компен- сируется суммарной длиной проекций отрезков перемещения против поля.
Так на рис. 1.23 на участках и работа положительна, а на участке – отрицательна. При этом положительная и отрицательная работа определяются проекциями соответствующих участков на направление электрического поля и равны по модулю. Таким образом, работа по перемещению заряда по замкнутому контуру в потенциальном поле равна нулю:
A =
I
dA = 0.
(1.64)
Поскольку в соответствии с (1.61) A =
2
R
1
E
l dl то для замкнутого пути имеем
A = q
I
E
l dl = 0
и
I
E
l dl =
I

E · dl = 0.
(1.65)
Этот интеграл называют циркуляцией вектора напряженности. Таким образом, форму- ла (1.65) выражает теорему о циркуляции вектора напряженности: циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна ну- лю. Отсюда следует, что силовые линии не могут быть замкнутыми, они начинаются или кончаются на зарядах, или уходят в бесконечность. В противном случае, например, при циклическом перемещении вдоль замкнутой силовой линии положительного заряда совер- шалась бы положительная работа. Поле, обладающее свойством (1.65), называют потен- циальным.
1.6.3
Определение потенциала электростатического поля
В потенциальном поле каждое положение заряда характеризуется возможностью совер- шения работы, иными словами, потенциальной энергией. Найдем в качестве примера по- тенциальную энергию пробного заряда q в поле заряда Q. Работу будем считать поло- жительной, если она совершается силами поля и отрицательной, если она совершается против сил поля. При увеличении расстояния между зарядами на dl в соответствии с за- коном Кулона работа dA совершается за счет убыли потенциальной энергии dW системы:
dA =
F · dl =
Qq
4πε
0
r
2
·

r r
· dl = −dW
(1.66)
Поскольку
r · dl/r = dr то −dW = Qqdr/4πε
0
r
2
Отсюда интегрирование дает выражение для потенциальной энергии:
W =
Qq
4πε
0
r
+ C .
(1.67)
Потенциальная энергия, как и в механике, определяется с точностью до константы и зави- сит от точки отсчета. Во многих случаях удобно считать, что нулевой энергией обладает заряд, удаленный в бесконечность. При таком выборе C = 0 и:
W =
Qq
4πε
0
r
(1.68)
26

Для одноименных зарядов потенциальная энергия положительна, для разноименных –
отрицательна. Из формулы видно, что отношение W/q не зависит от величины пробного заряда. Поэтому по аналогии с определением силовой характеристики поля (напряжен- ности), определим энергетическую характеристику электрического поля – потенциал ϕ:
ϕ = W/q.
(1.69)
Для точечного заряда из двух вышеприведенных формул
ϕ =
Q
4πε
0
r
(1.70)
Заметим, что в физике отсчет потенциала (как и потенциальной энергии) обычно ведут относительно бесконечности; в электротехнике – относительно Земли, так что потенциал
Земли принимают равным нулю; в радиотехнике – относительно металлического корпуса аппарата.
Часто удобней определять не потенциал, а разность потенциалов, которая равна рабо- те, совершаемой полем по перемещению единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2:
A/q = ϕ
1
− ϕ
2
= U
12
(1.71)
Единица измерения потенциала и разности потенциалов 1 Вольт (В). 1 В = 1 Дж/1Кл.
Потенциал — это скалярная величина. Зная разность потенциалов, можно найти работу поперемещению заряда из точки 1 в точку 2: A = q(ϕ
1
− ϕ
2
). В физике во многих за- дачах приходится рассматривать движение электрона в электрическом поле. В связи с этим часто применяется внесистемная единица измерения энергии электронвольт (эВ),
который равен энергии, необходимой для переноса электрона в электростатическом по- ле с разностью потенциалов 1 В. Так как заряд электрона составляет 1, 6 · 10
−19
Кл, то
1 эВ = 1, 6 · 10
−19
Дж.
Если поле создается не одним зарядом Q, а несколькими Q
1
, Q
2
, Q
3
. . ., то потенциаль- ная энергия пробного заряда по аналогии с (1.68) находится как сумма энергий взаимо- действия пробного заряда с каждым из них:
W = Σ
i
Q
i q
4πε
0
r i
,
(1.72)
где r i
– расстояние от пробного заряда до i-того.
Аналогично потенциал, созданный системой зарядов, дается формулой:
ϕ = Σ
i
Q
i
4πε
0
r i
(1.73)
1.6.4
Связь между потенциалом и напряженностью
Разность потенциалов через формулы для работы (1.70) и (1.71) несложно связать с на- пряженностью поля:
U
12
=
A
q
=
2
Z
1
E
l dl
(1.74)
Отсюда можно, например, получить формулу для однородного поля:
U
12
= El cos α,
(1.75)
где α – угол между направлением напряженности перемещением l. Формулу для диффе- ренциальной связи U и E получим, сближая в (1.74) в пределе точки 1 и 2:
dϕ = −E
l dl.
(1.76)
27

Здесь учтено, что U
12
и dϕ имеют противоположный знак. Несколько сложней решить обратную задачу и выразить напряженность через потенциал. Из (1.76) следует
E
l
= −
dϕ
dl
(1.77)
Выбирая направление l последовательно вдоль осей x, y, z, получим:
E
x
= −
dϕ
dx
,
E
y
= −
dϕ
dy
,
E
z
= −
dϕ
dz
(1.78)
Таким образом, проекции напряженности определяются производными от потенциала по соответствующей координате или в обобщенной сокращенной символической записи – век- тором градиента:

E = −grad ϕ.
(1.79)
В соответствии с математическим свойством градиента, потенциал быстрее всего убыва- ет в направлении
E . В направлении, перпендикулярном
E (и силовой линии), E
l
= 0
, откуда dϕ
dl
= 0 и ϕ = const. Такое направление определяет направление эквипотенци- альной поверхности – поверхности, все точки которой имеют одинаковый потенциал
(ϕ = const). Разность потенциалов между любыми точками такой поверхности равна ну- лю, следовательно, равна нулю и работа электрических сил при перемещении заряда. И
действительно, если перемещать заряд перпендикулярно силе, работа не совершается. Эк- випотенциали изображают на схемах электрических полей наряду с силовыми линиями.
На рис. 1.24 изображено поле точечного заряда, на рис. 1.25 – поле конденсатора. Эти по- ля характеризуются силовыми линиями и перпендикулярными к ним эквипотенциалями.
Чем плотнее расположены эквипотенциальные поверхности, тем больше напряженность поля в данной области пространства. Пример – поле точечного заряда.
Рис. 1.24.
Рис. 1.25.
1.6.5
Вычисление разности потенциалов для некоторых видов по- лей
Рассмотрим ряд примеров расчета разности потенциалов в вакууме в поле различной геометрии.
Для поля равномерно заряженной бесконечной плоскости из (1.37) имеем E =
σ
2ε
0
Тогда согласно (1.74) разность потенциалов в поле равномерно заряженной бесконечной плоскостимежду точками, лежащими на расстоянии x
1
и x
2
от плоскости, равна:
U
12
=
x
2
Z
x
1
E
l dl =
x
2
Z
x
1
σ
2ε
0
dl =
σ
2ε
0
(x
2
− x
1
) .
(1.80)
28

Рассчитаем теперь разность потенциалов в поле между двумя разноименно заряженными плоскостями с одинаковой по модулю поверхностной плотностью заряда. В пространстве между пластинами напряженность поля из (1.38) равна E =
σ
ε
0
. Отсюда
U
12
=
d
Z
0
E
l dl =
d
Z
0
σ
ε
0
dl =
σd
ε
0
,
(1.81)
здесь d – расстояние между пластинами.
Далее найдем разность потенциалов между точками, лежащими на расстоянии R
1
и
R
2
отцентра сферы, в поле равномерно заряженной сферы радиуса r и заряда q. Снаружи заряженной сферы (при R>r) из (1.58) E =
q
4πε
0
R
2
. Отсюда
U
12
=
R
2
Z
R
1
E
l dl =
R
2
Z
R
1
q
4πε
0
R
2
dR =
q
4πε
0
1
R
1
−
1
R
2

(1.82)
Если измерять потенциал относительно бесконечности, приняв R
2
= ∞ и R
1
= R, то получим формулу для потенциала заряженной сферы (при R > r):
ϕ =
q
4πε
0
R
(1.83)
Внутри заряженной сферы (при R < r) поле отсутствует, и работа при перемещении пробного заряда не совершается, что означает постоянство потенциала и равенство его потенциалу на поверхности сферы:
ϕ =
q
4πε
0
r
(1.84)
Наконец, рассчитаем разность потенциалов между точками, лежащими на расстоянии
R
1
и R
2
от оси цилиндра, в поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра радиуса r с линейной плотностью заряда λ. Напряженность поля вне цилиндра рассчитывается по аналогии с полем, создаваемым бесконечной нитью с постоянной линейной плотностью заряда (1.56) E =
λ
2πε
0
R
. Отсюда разность потенциалов в поле цилиндра при R > r равна:
U
12
=
R
2
Z
R
1
E
l dl =
R
2
Z
R
1
λ
2πε
0
R
dR =
λ
2πε
0
ln
R
2
R
1
(1.85)
Напряженность поля внутри заряженного цилиндра равна нулю (по аналогии с полем,
создаваемым заряженной сферой). Это означает постоянство потенциала внутри цилиндра и равенство его потенциалу на поверхности цилиндра.
29

Глава 2
Электростатическое поле при наличии проводников
2.1
Проводники в электростатическом поле. Конденса- торы и энергия электростатического поля
2.1.1
Проводники в электростатическом поле. Поле внутри и вне заряженного проводника
Проводники обладают высокой проводимостью вследствие высокой концентрации свобод- ных зарядов. Так в металлах концентрация свободных электронов составляет порядка
10 28
−3
. Если поместить проводник во внешнее электрическое поле, то поле будет действо- вать на заряды. Свободные заряды проводника начнут перемещаться: положительные –
вдоль поля, отрицательные – против поля. На одном из концов проводника будет накапли- ваться избыток положительного заряда, на другом – отрицательного. Зарядов переместит- ся столько, сколько необходимо для полной компенсации внешнего поля. Таким образом,
электрическое поле внутри проводника обращается в нуль. При этом из теоремы Гаусса следует, что внутри проводника сохраняется электрическая нейтральность вещества. От- сутствие поля внутри проводника приводит к тому, что потенциал во всех точках внутри проводника постоянен (это следует из (1.79):
E = −gradϕ). Поверхность проводника в электрическом поле также является эквипотенциальной, иначе вдоль поверхности имело бы место перемещение заряда. Отсюда вытекает, что силовые линии (и вектор напряжен- ности поля) направлены по нормали к поверхности проводника в каждой точке.
Рис. 2.1.
Таким образом, нейтральный проводник, внесенный в электриче- ское поле, разрывает часть силовых линий, так что они заканчива- ются на отрицательных наведенных зарядах и вновь начинаются на положительных зарядах. Явление перераспределения поверхностных зарядов проводника во внешнем электрическом поле называется элек- тростатической индукцией. Рассчитаем теперь напряженность элек- трического поля вблизи поверхности проводника, определяемую по- верхностной плотностью зарядов, воспользовавшись теоремой Гаусса
(рис. 2.1). На малом участке S поверхностную плотность заряда σ
можно считать постоянной, так что заряд этого участка поверхно- сти равен q = σS. Выберем в качестве гауссовой поверхности цилиндр с образующими,
перпендикулярными поверхности проводника, и основаниями площади S, параллельными этой поверхности, причем цилиндр пересекает поверхность проводника. Поток вектора напряженности электрического поля через боковую поверхность цилиндра (как и гори- зонтальная составляющая напряженности) отсутствует из соображений симметрии.
30

Поток вектора напряженности электрического поля через нижнее основание цилиндра отсутствует вследствие отсутствия поля и силовых линий в проводнике. Таким образом,
полный поток вектора напряженности электрического поля определяется потоком через верхнее основание цилиндра. По теореме Гаусса имеем по аналогии с (1.37): ES =
σS
ε
0
откуда
E =
σ
ε
0
(2.1)
В результате напряженность электрического поля вблизи поверхности проводника вдвое больше, чем в случае заряженной диэлектрической плоскости с той же поверхностной плотностью заряда.
В случае, если вблизи проводника находится диэлектрик с диэлектрической проница- емостью ε, напряженность электрического поля внутри диэлектрика ослабляется в ε раз:
E =
σ
ε
0
ε
(2.2)
2.1.2
Силы, действующие на поверхность проводника
Рассмотрим случай, когда заряженный участок поверхности проводника граничит с ваку- умом. На малый элемент ∆S поверхности проводника действует сила
∆
F = σ∆S ·
E
0
(2.3)
где σ∆S — заряд этого элемента,
E
0
— напряженность поля, создаваемого всеми осталь- ными зарядами системы в месте нахождения заряда σ∆S. Сразу же заметим, что
E
0
не равно напряженности
E поля вблизи данного элемента поверхности проводника, одна- ко между ними имеется простая связь. Найдем ее, т. е. выразим
E
0
через
E. Пусть
E
σ
— напряженность поля, создаваемого зарядом на площадке ∆Sв точках, очень близких к этой площадке — здесь она ведет себя как бесконечная равномерно заряженная плос- кость. Тогда согласно (2.1)
E
σ
= σ2ε
0
Результирующее поле как внутри, так и вне провод- ника(вблизи площадки ∆S) является суперпозицией полей
E
0
и
E
σ
. По разные стороны площадки ∆S поле
E
0
практически одинаково, поле же
E
σ
имеет противоположные на- правления (рис. 2.2, где для определенности взято σ > 0). Из условия
E = 0 в проводнике следует, что E
σ
= E
0
тогда снаружи проводника у его поверхности E = E
0
+ E
σ
= 2E
0
Рис. 2.2.
Итак,

E
0
=
E/2
(2.4)
и уравнение (2.3) примет вид
∆
F =
1 2
σ∆S ·
E
(2.5)
Разделив обе части этого уравнения на ∆S, получим выражение для силы, действующей на единицу поверхности проводника:

F
ед
=
1 2
σ
E
(2.6)
Это выражение можно переписать и в другой форме, ибо входящие в него величины σ и
E
являются взаимно связанными. Действительно, согласно (2.1) E
n
= σ/ε
0
или
E = (σ/ε
0
)
n,
где
n — внешняя нормаль к элементу поверхности в данной точке проводника. Поэтому

F
ед
=
σ
2 2ε
0

n =
ε
0
E
2 2

n
(2.7)
где учтено, что σ = ε
0
E
n и E
2
n
= E
2
. Величину
F
ед называют поверхностной плотностью сил. Независимо от знака σ, а значит, и направления
E, сила
F
ед всегда направлена, как видно из(2.7), наружу проводника, стремясь его растянуть.
31

Пример.
Найдем выражение для электрической силы, действующей в вакууме на про- водник в целом, полагая, что известна напряженность
E поля во всех точках у поверхно- сти проводника. Умножив (2.7) на dS, получим выражение для силы d
F , действующей на элемент поверхности dS:
d
F =
1 2
ε
0
E
2
d
S
где d
S =
ndS. Результирующая сила, действующая на весь проводник, определяется ин- тегрированием этого уравнения по всей поверхности проводника:

F =
ε
0 2
I
E
2
d
S
2.1.3
Свойства замкнутой проводящей оболочки
Мы выяснили, что в состоянии равновесия избыточных зарядов внутри проводника нет
— вещество внутри проводника электрически нейтрально. Поэтому удаление вещества из некоторого объема внутри проводника (создание замкнутой полости) поля нигде не изменит, т. е. никак не отразится на равновесном расположении зарядов. Это значит, что избыточный заряд распределяется на проводнике с полостью так же, как и насплошном
— по его наружной поверхности.
Таким образом, если в полости нет электрических зарядов,электрическое поле в ней равно нулю. Внешние заряды, в частности заряды на наружной поверхности провод- ника, не создают в полости внутри проводника никакого электрического поля. Именно на этом основана электростатическая защита — экранирование тел, например измери- тельных приборов,от влияния внешних электростатических полей. Практически сплошной проводник-оболочка может быть заменен достаточно густой металлической сеткой.
Доказать отсутствие электрического поля в пустой полостиможно и иначе. Возьмем замкнутую поверхность S, которая охватывает полость и целиком находится в веществе проводника.
Рис. 2.3.
Так как поле
E всюду в проводнике равно нулю, то и поток вектора

E через S тоже равен нулю. Отсюда согласно теореме Гаусса равен ну- лю и суммарный заряд внутри S. Это, правда,не исключает ситуации,
показанной на рис. 2.3, когда на поверхности самой полости имеются равные количества положительного и отрицательного зарядов.Такое предположение, однако, запрещает другая теорема — теорема о цир- куляции вектора
E. В самом деле, пусть контур Γ пересекает полость по одной из линий вектора
E и замыкается в веществе проводника.
Ясно, что линейный интеграл вектора
E вдоль этого контура не равен нулю, чего согласно теореме о циркуляции быть не может.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13

Теперь обратимся к случаю, когда полость не пустая, а в ней есть какой-то электриче- ский заряд q (может быть и не один). Представим себе также, что все внешнее простран- ство заполнено проводящей средой. Поле в ней при равновесии равно нулю, значит, среда электрически нейтральна и не содержит нигде избыточных зарядов.
Так как всюду в проводнике

12
dq = U
12
d (CU
12
) = CU
12
dU
12
(3.4)
Увеличение заряда приводит к увеличению разности потенциалов на конденсаторе от 0
до U . Таким образом, работа по увеличению разности потенциалов на конденсаторе от 0
до U дается интегралом:
A =
U
Z
0
CU
12
dU
12
=
CU
2 2
(3.5)
39

В результате энергия конденсатора W равна работе A, которую надо совершить, чтобы его зарядить:
W =
CU
2 2
=
q
2 2C
=
qU
2
(3.6)
Полученное выражение для энергии конденсатора позволяет найти силу, с которой пласти- ны плоского конденсатора притягивают друг друга. Предположим, что расстояние = d между обкладками меняется на величину dx. При этом сила совершает работу за счет уменьшения потенциальной энергии конденсатора dA = F dx = −dW , откуда получаем известную из механики формулу:
F = −
dW
dx
(3.7)
Воспользовавшись формулами для энергии конденсатора и емкости плоского конденсато- ра, получим
W =
q
2 2C
=
q
2
x
2ε
0
εS
(3.8)
и окончательно силу притяжения пластин в конденсаторе:
F = −
dW
dx
= −
q
2 2ε
0
εS
(3.9)
Здесь знак "минус" указывает, что сила F является силой притяжения.
Если отключить конденсатор от внешнего источника заряда и начать раздвигать его пластины, то энергия конденсатора W =
q
2
d
2ε
0
εS
будет линейно увеличиваться с увеличени- ем занимаемого полем объема конденсатора при постоянной (в соответствии с теоремой
Гаусса) напряженности поля. Поэтому логично интерпретировать энергию конденсатора как энергию электрического поля, определяемую занимаемым полем объемом и напря- женностью. Выразим энергию электрического поля плоского конденсатора через напря- женность:
W =
CU
2 2
=
ε
0
εS
d
(Ed)
2 2
=
ε
0
εE
2 2
V
,
(3.10)
где V = Sd — занимаемый полем объем между обкладками конденсатора.
Поскольку электрическое поле конденсатора однородно, то разделив энергию на объем,
получим объемную плотность энергии электростатического поля:
w =
W
V
=
ε
0
εE
2 2
=
ED
2
=
D
2 2ε
0
ε
(3.11)
Плотность энергии электростатического поля измеряется в джоулях на кубический метр.
В случае неоднородного поля плотность энергии электростатического поля в каждой точке выражается через малый объем dV :
w =
dW
dV
=
ε
0
εE
2 2
(3.12)
При этом энергия поля в объеме V выражается через интеграл по этому объему:
W =
Z
V
wdV =
ε
0
ε
2
Z
V
E
2
dV .
40

Глава 4
Электростатическое поле при наличии диэлектриков
4.1
Диэлектрики в электрическом поле
4.1.1
Поляризация диэлектриков. Полярные и неполярные диэлек- трики. Свободные и связанные заряды
Рассмотрим теперь подробнее поведение диэлектриков в электрическом поле. Диэлектрик плохо проводит электрический ток. Заряды, входящие в состав молекул диэлектрика,
прочно связаны друг с другом и под действием внешнего электрического поля могут лишь немного смещаться – положительный заряд относительно отрицательного. При этом, как отмечалось выше, вещество превращается в диполь, поле которого противоположно внеш- нему полю.
Процесс образования дипольного момента в диэлектрике при наложении внешнего поля называется поляризацией диэлектрика. Таким образом, если в проводнике на поле реаги- руют свободные заряды, то в диэлектрике – связанные заряды. Различают два основных типа диэлектриков - полярные и неполярные.
В молекулах полярных диэлектриков изначально имеется смещение положительного заряда относительно отрицательного – даже в отсутствие внешнего электрического по- ля. Примером полярного диэлектрика является молекула воды H
2
O, которая по форме представляет собой равнобедренный треугольник, причем электронные облака (и отрица- тельный заряд) смещены от атомов водорода к электроотрицательному атому кислоро- да. Похожее смещение отрицательного заряда атомов водорода имеет место в полярных молекулах хлористого водорода HCl и аммиака N H
3
. Молекула полярного диэлектрика является жестким диполем с дипольным моментом (1.22)
p = ql.
Молекулы неполярных диэлектриков более симметричны, и в них в отсутствие внешне- го электрического поля нет смещения положительного заряда относительно отрицатель- ного. Примерами неполярных диэлектриков являются азот и многие углеводороды типа полиэтилена. Однако при наложении поля положительный заряд молекулы смещается в направлении поля, отрицательный – против поля. Возникает упругий диполь и индуци- рованный (наведенный полем) дипольный момент.
Для оценки состояния поляризации используют понятие вектора поляризации. Век- тор поляризации (или поляризованность) диэлектрика – это дипольный момент единицы объема:

P =
1
∆V
X
∆V

p i
,
(4.1)
где по небольшому объему ∆V суммируются дипольные моменты
p i
отдельных молекул.
41

Для большинства веществ в отсутствие внешнего электрического поля вектор поляри- зации равен нулю. Даже для полярных диэлектриков вследствие хаотического движения молекул дипольные моменты отдельных молекул распределены случайным образом, так что
P = 0 (рис. 4.1а).
Рис. 4.1
Во внешнем электрическом поле, как правило,
P 6= 0. Ди- польные моменты отдельных молекул диэлектриков стремятся - вопреки хаотическому движению - сориентироваться вдоль сило- вых линий поля (рис. 4.1б). Таким образом, во внешнем электриче- ском поле вектор поляризации является функцией поля. При этом опытом установлено, что в большинстве случаев поле можно счи- тать небольшим, так что в разложении в ряд Тейлора зависимости

P

E

можно ограничиться линейным членом:

P = βε
0

E,
(4.2)
где безразмерная величина β – диэлектрическая восприимчивость.
4.1.2
Вектор поляризации, диэлектрическая восприимчивость и диэлектрическая проницаемость
Рис. 4.2
Микроскопические диполи-молекулы определяют макроскопическую диэлектрическую проницаемость среды. Поэтому найдем теперь связь вектора поляризации и диэлектрической восприимчивости с диэлектри- ческой проницаемостью. Пусть имеется плоский конденсатор, в который помещена пластина диэлектрика (рис. 4.2). Пластина состоит из моле- кул, обладающих электрическим дипольным моментом. В конденсато- ре без диэлектрика поле создается свободными зарядами – зарядами на пластинах конденсатора. В конденсаторе с диэлектриком напряжен- ность поля в диэлектрике является разностью двух полей:
E = E
0
− E
1
,
(4.3)
поля свободных зарядов (2.1): E
0
=
σ
ε
0
и поля связанных зарядов:
E
1
=
σ
1
ε
0
(4.4)
При этом внутри диэлектрика связанные заряды взаимно компенсируются, так что неком- пенсированные связанные заряды поверхностной плотностью σ
1
сосредоточены на двух поверхностях диэлектрика. Найдем связь модуля вектора поляризации P и σ
1
:
P =
1
∆V
X
∆V
|
p i
| =
1
Sd q
1
d =
q
1
S
= σ
1
(4.5)
где S – площадь пластин конденсатора, d – расстояние между пластинами, q
1
– связанный заряд пластины, q
1
d – дипольный момент пластины диэлектрика.
Получим из (4.3)
E = E
0
−
P
ε
0
(4.6)
Подставив из (4.2) P = βε
0
E , получим E = E
0
− βE или
E(1 + β) = E
0
(4.7)
42

Иными словами, поле в диэлектрике E в 1 + β раз меньше, чем поле в вакууме E
0
Вспомнив определение диэлектрической проницаемости ε, получим ее связь с диэлектри- ческой восприимчивостью:
1 + β = ε.
(4.8)
Полезной может оказаться и формула для связи вектора поляризации с диэлектриче- ской проницаемостью:

P = (ε − 1) ε
0

E
,
(4.9)
Отметим, что полученные соотношения выполняются только для однородных изотроп- ных диэлектриков. В анизотропных кристаллах ситуация сложнее, поскольку зависит от взаимной ориентации электрического поля и осей кристалла. Кроме того, необходимо учи- тывать, что в переменных полях диэлектрическая проницаемость и диэлектрическая вос- приимчивость зависят от частоты поля.
4.1.3
Теорема Гаусса для поля в диэлектрике. Явления на границе раздела двух диэлектриков. Преломление линий смещения и напряженности
Запишем теперь теорему Гаусса через поток вектора электрического смещения
D = εε
0

E.
Из (1.32) имеем с учетом ослабления поля в диэлектрике в случае среды с диэлектрической проницаемостью ε:
I
E
n dS =
1
εε
0
X
N
i=1
q i
,
(4.10)
откуда:
I
D
n dS =
X
N
i=1
q i
(4.11)
Таким образом, если мы записываем теорему Гаусса через поток вектора электрического смещения, то необходимо учитывать только свободные заряды – без учета свойств диэлек- трика. В свою очередь, при записи теоремы Гаусса через поток вектора напряженности,
мы учитываем свойства диэлектрика, как со свободными, так и со связанными зарядами.
Аналогичны различия в картинах силовых линий напряженности и электрического сме- щения. Силовые линии напряженности начинаются и заканчиваются, как на свободных,
так и на связанных зарядах. А силовые линии электрического смещения начинаются и заканчиваются только на свободных зарядах.
Подобные рассуждения позволяют перейти к задаче о преломлении линий смещения и напряженности на границе раздела двух диэлектриков. Будем считать, что на этой границе отсутствуют свободные заряды. Однако, как мы уже видели (рис. 4.2), на границе диэлектрика (а в общем случае – на границе раздела двух диэлектриков) в поле возникает связанный заряд, который может приводить к разрыву полей.
Рис. 4.3
Рассмотрим сначала соотношение между нормальными к поверх- ности раздела компонентами вектора электрического смещения D
n
Воспользуемся теоремой Гаусса, выбрав в качестве гауссовой поверх- ности поверхность цилиндра (рис. 4.3). При этом основания цилиндра должны быть малы (чтобы считать электрическое смещение констан- той), параллельны границе раздела и находиться в разных диэлектри- ках, а высота цилиндра должна быть бесконечно малой – в том числе и по сравнению с основаниями. Такой выбор позволяет пренебречь по- током вектора электрического смещения через боковую поверхность цилиндра по сравнению с потоком через основания.
43

Тогда из теоремы Гаусса (4.11) следует, что потоки вектора электрического смещения через основания равны и противоположны D
2n
∆S − D
1n
∆S = σ∆S где σ – поверхност- ная плотность стороннего заряда на границе раздела. Взяв обе проекции вектора
D на общую нормаль
n (направленную от диэлектрика 1 к диэлектрику 2) и сократив на ∆S,
предыдущее уравнение приведем к виду
D
2N
− D
1n
= σ.
Из этого соотношения видно, что нормальная составляющая вектора
D, вообще говоря,
претерпевает скачок при переходе границы раздела. Однако если сторонние заряды на границе раздела отсутствуют (σ = 0), то
D
1n
= D
2n
,
(4.12)
получаем, что нормальная компонента вектора электрического смещения на границе раз- дела диэлектриков остается непрерывной. Выразив полученное соотношение через напря- женность поля, получим, что нормальная компонента вектора напряженности на границе раздела диэлектриков претерпевает разрыв:
E
1n
E
2n
=
ε
2
ε
1
(4.13)
Перейдем теперь к тангенциальным составляющим, соотношение которых удобно найти для вектора напряженности с помощью теоремы о циркуляции. (Заметим, что теорема о циркуляции остается справедливой и в диэлектрике).
Рис. 4.4
Выделим вблизи границы раздела небольшой прямоугольный кон- тур ABCD (рис. 4.4). Выберем стороны AB = CD = l так, чтобы они были параллельны границе раздела и находились в разных диэлек- триках, а стороны BC и DA были бесконечно малыми по сравнению со сторонами BC и DA. Тогда, пренебрегая в теореме о циркуляции
(1.65)
H E
l dl = 0 интегралами по бесконечно малым сторонам, полу- чим: E
1τ
l−E
2τ
l = 0, откуда следует, что тангенциальная компонента вектора напряженности на границе раздела диэлектриков остается непрерывной:
у
Нике- рова
H
1τ
= H
2τ
E
1τ
= E
2τ
(4.14)
Выразив это соотношение через электрическое смещение, получим, что тангенциальная компонента вектора электрического смещения на границе раздела диэлектриков претер- певает разрыв:
D
1τ
D
2τ
=
ε
1
ε
2
(4.15)
Рис. 4.5
Таким образом, мы получили, что вектора напряженности и элек- трического смещения претерпевают преломление при переходе из од- ной среды в другую. Пусть в первой среде (рис. 4.5) tgα
1
=
E
1τ
E
1n
, а во второй среде tgα
2
=
E
2τ
E
2n
. Тогда из (4.13) и (4.14) получим закон преломления вектора напряженности электрического поля:
tgα
2
tgα
1
=
E
2τ
/E
2n
E
1τ
/E
1n
=
ε
2
ε
1
(4.16)
Аналогично преломляются и силовые линии электрического смеще- ния. Формула показывает, что при переходе в диэлектрик с большей диэлектрической проницаемостью силовые линии напряженности и электрического смещения удаляются от нормали.
44

4.1.4
Неполярные диэлектрики
В отсутствие внешнего электрического поля "центры тяжести" положительных и отрица- тельных зарядов в молекулах этого диэлектрика совпадают (l = 0) и дипольные моменты молекул равны нулю.
Во внешнем электрическом поле происходит деформация электронных оболочек ато- мов и молекул. Центры тяжести положительных и отрицательных зарядов смещаются друг относительно друга
l 6= 0. Соответственно неполярная молекула диэлектрика при- обретает во внешнем электрическом поле индуцированный (наведенный) дипольный электрический момент, пропорциональный напряженности
E внешнего поля.
R
0
ρ < 0
q > 0
q > 0
−q qE
1
qE
l а)
б)
Рис. 4.6.
Покажем это на модели атома , изображенной на рис. 4.6, а. Положительно заряжен- ное ядро атома – точечный заряд q – находится в центре облака электронов, имеющего форму шара, радиус R которого равен размеру атома (R ∼ 10
−10
м). Если атом много- электронный, то приближенно можно считать, что отрицательный заряд электронов рав- номерно "размазан" по всему объему атома – шара с постоянной объемной плотностью
ρ = −3q/ (4πR
3
). Во внешнем электрическом поле напряженностью
E на ядро атома дей- ствует сила q
E, а на объемный заряд – сила −q
E При этом центр О объемного заряда смещается относительно ядра атома на такое расстояние l в сторону, противоположную направлению вектора
E, при котором сила q
E
1
, действующая на ядро со стороны объем- ного заряда, уравновешивает силу q
E, действующую на ядро со стороны внешнего поля
(рис. 4.6 ,б): q
E + q
E
1
= 0 откуда
E
1
= −
Eи E
1
= E. Напряженность поля объемного заряда при l < R можно найти по формуле для напряженности поля внутри равномерно заряженной сферы с объемной плотностью заряда ρ < 0, положив в ней r = l:
E
1
= −
ρl
3ε
0
=
ql
4πε
0
R
3
Так как E
1
= E , то индуцированный дипольный электрический момент атома p = ql = 4πε
0
R
3
E.
(4.17)
Вектор
p , как видно из рис. 4.6, б, совпадает по направлению с вектором
E. Поэтому p = αε
0
E,
(4.18)
где α = 4πR
3
−поляризуемость атома (молекулы), зависящая только от объема атома
(молекулы). Исходя из формулы (4.17), легко показать, что l R при всех возможных значениях напряженности внешнего поля вплоть до 10 7
− 10 8
В/м (при таких значениях происходит электрический пробой электроизоляционных материалов):
l =
4πε
0
R
3
q
E .
10
−30
· 10 8
9 · 10 9
· 2 · 10
−19
м ∼ 10
−13
м.
Неполярная молекула подобна упругому диполю, длина плеча которого пропорцио- нальна растягивающей его силе, т.е. пропорциональна напряженности внешнего электри- ческого поля. Тепловое движение неполярных молекул никак не влияет на возникновение
45

у них индуцированных электрических моментов: векторы
p всегда совпадают по направ- лению с вектором
E, а поляризуемость α не зависит от температуры. Это связано с очень малой инертностью электронов, которые смещаются в молекуле всегда в направлении си- лы −e
E действующей на них со стороны внешнего электрического поля.
Разреженные газы.
В этом случае напряженность ∗ локального поля весьма незначи- тельно отличается от напряженности Е внешнего поля. Поэтому [см. (4.18)] поляризован- ностьравна

P =
1
∆V
X
∆V
αε
0

E = αε
0

E
1
∆V
X
∆V
1 = αε
0
n
E.
(4.19)
Здесь
P
∆V
1 = n∆V, где n – концентрация молекул.
Сравнивая (4.19) с (17.11) заключаем, что диэлектрическая восприимчивость равна
β = αn.
(4.20)
Относительная диэлектрическая проницаемость ε
r
= ε/ε
0
с учетом (17.31) представляется в виде
ε
r
= 1 + αn.
(4.21)
Значение ε
r отличается от единицы на величину αn, которая для газов весьма мала. На- пример, концентрация молекул воздуха при нормальных условиях равна n = 2, 6 · 10 25
м
−3
Считая в соответствии с (4.18) для молекул α ≈ 10
−29
м
3
, находим
αn ≈ 10
−3
(4.22)
С увеличением размеров молекул α и, следовательно, и αn увеличиваются, оставаясь по порядку величины малыми.
Величина ε
r может зависеть от температуры лишь неявно, посредством зависимости n от температуры. Обозначим: N
A
, ρ
m
, m — соответственно постоянная Авогадро, плотность газа, масса молекулы и напишем очевидное равенство n = N
A
ρ
m
/m.
(4.23)
С помощью (4.23) перепишем соотношение (4.21) в виде
(ε
r
− 1) m
ρ
m
= αN
A
(4.24)
Следовательно, (ε
r
− 1) /ρ
m является постоянной, не зависящей от температуры и дав- ления, величиной, если только давление достаточно мало. При увеличении давления плотность растет и возникает необходимость учета отличия локального поля от внешнего.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13