Файл: Учебное пособие Липецк Липецкий государственный технический университет 2019 2 Оглавление.pdf

92 идентичности решетки в направлении оси вращения промеряют расстояния между слоевыми линиями одного порядка (+1 и -1, +2 и -2 и т.д.). Из полученных результатов определяют среднее значение l
n
─ расстояние от n-ой слоевой линии до нулевой слоевой линии.
Рассмотрим вывод формулы
,
позволяющей определить период идентичности в направлении [uvw]. Угол между дифракционным лучом и нулевой плоскостью обратной решетки будет

n
. Расстояние ОК = R ─ радиус камеры. Из рис. 35 видно, что sin(

n
) = nd*/ (1/

), где d* – расстояние между двумя соседними узловыми плоскостями обратной решетки, перпендикулярными оси вращения; 1/

– радиус сфер распростране- ния. Из теории обратной решетки следует, что
d* = 1/I
uvw
, где I
uvw
– период идентичности в направлении оси вращения.
Тогда I
uvw
= n

/ sin(

n
).
Кроме того, из рис. 35 видно, что tg(

n
) = l
n
/R. Выразив sin через tg, получим
I
n
R
l
uvw
n



( / )
2 1
0 1
-1
nd*
nd*

n
0

Ф
Ф
K
R
l
n
Рис. 35. Определение периода идентичности по рентгенограмме вращения
Определение периода идентичности этим методом не обладает большой точностью, удовлетворительной считается точность 0,2-0,5%.
При исследовании атомной структуры вещества часто необходимо определить, является ли решетка примитивной или сложной (объемно-, базо-

93 или гранецентрированной). Особенно просто это делается для кубической решетки. Для этого получают три рентгенограммы с вращением кристалла вдоль направлений [100], [110] и [111] и сравнивают рассчитанные по рентгенограммам периоды идентичности для этих направлений. Для примитивной решетки отношение периодов идентичности будет
I
[100]
:I
[110]
:I
[111]
=1:

2:

3; для ОЦК 1:

2:

2/3; для ГЦК 1:

2/2:

3.
При определении типа решетки других кристаллографических систем этим методом нужно снимать большое число рентгенограмм. Например, для ромбической – семь, и в этих случаях он не используется.
Число атомов в элементарной ячейке нетрудно определить, если известен объем элементарной ячейки v
яч
, плотность кристалла

и химическая формула вещества. Действительно,

= m / v = М / v
яч
= 1,66

10
-24
An / v
яч
, где m – масса; v – объем вещества М – масса атомов входящих в элементарную ячейку; A – атомная масса; 1,66

10
-24
– атомная единица массы; n – число атомов в элементарной ячейке. После преобразования получим
n =

v
яч
/ (1,66

10
-24
A).
В случае химического соединения определяется число весовых частиц
(молекул), приходящихся на ячейку. Тогда в формулу вместо относительной атомной массы А подставляется относительная молекулярная масса соединения.
7.3. Метод порошков (поликристалла)
7.3.1. Условия возникновения дифракционных максимумов
Метод порошков (поликристалла) является основным методом исследования технических материалов. При исследовании применяются образцы из поликристаллических веществ или порошка, состоящего из большого числа мелких (< 10
-2
мм) кристаллитов. Вследствие произвольной ориентации кристаллитов и их большого числа обратная решетка поликристалла представляет собой ряд концентрических сфер с радиусами,

94 характеризующими все возможные значения векторов обратной решетки.
Рассмотрим условия отражения характеристических рентгеновских лучей с длиной волны

от плоскости (HKL) двух различных кристаллитов одного образца, повернутых относительно друг друга на угол

. Обратные решетки имеют общий нулевой узел. Концы векторов обратной решетки r
HKL
* = Ha*+Kb*+Lc* выходят на сферическую поверхность радиуса, равного |r
HKL
*|. Иногда говорят, что в случае поликристаллического образца узел обратной решетки, характеризующийся вектором r*, “размывается” в сферическую поверхность радиуса |r*|. Эта сферическая поверхность пересекает сферы распространения по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной первичному пучку
(прямая MN). К разным точкам этой окружности пойдут лучи, отраженные от одной и той же плоскости разных кристаллитов. Совокупность отраженных лучей образует конус, ось которого совпадает с направлением первичного пучка. Угол при вершине конуса равен 2

, где

– угол между отраженным и первичным лучом, поскольку

= 2

,

– угол между первичным луч о
м и отражающей плоскостью HKL, имеем 4

. В случае

> 90
о получится
“вывернутый” конус.
Число интерференционных. конусов ограничено, так как сфера распространения пересечет только те сферы обратной решетки, радиусы кото- рых |r*| < 2/

, что отвечает условию d >

/2. Сферу с радиусом 2/

называют
сферой ограничения. Очевидно, что на рентгенограмме поликристалла могут получиться только те интерференционные линии, которые соответствуют узлам обратной решетки, лежащим внутри сферы ограничения. Уменьшая длины волны, можно увеличить радиус сфер ограничения.
7.3.2. Способы регистрации дифракционной картины
Для регистрации дифракционной картины используется несколько способов расположения пленки по отношению к образцу и первичному пучку рентгеновских лучей.
Регистрация осуществляется на плоскую, цилиндрическую или конусную фотопленку или при помощи счетчиков. В

95 последнем случае используют рентгеновские дифрактометры.
Плоская пленка. Используется два способа расположения плоской фотопленки: передняя (прямая) и задняя (обратная) съемка. При передней съемке образец по отношению к направлению первичного пучка располагается перед фотопленкой. На фотопленку регистрируется ряд концентрических окружностей, которые соответствуют пересечению с плоскостью пленки интерференционных конусов с углом при вершине 2

< 60
о
. Измерив диаметр колец, можно определить угол

для соответствующих интерференционных конусов из соотношения: tg(2

) = r / D, где r – радиус кольца; D – расстояние от образца до фотопленки. Недостатком этого метода является регистрация небольшого числа дифракционных колец.
Метод очень часто используется для исследования текстур.
При задней съемке образец располагается за пленкой, в которой делается небольшое отверстие для прохода рентгеновских лучей. Регистрируются максимумы, для которых

> 60
о
; угол определяется из соотношения: tg(180-2

) = r / D.
Обратную съемку применяют для точного определения периодов решетки и измерения внутренних напряжений.
7.3.3. Индицирование порошковых рентгенограмм
Под индицированием понимают определение индексов интерференции
(HKL) каждой линии на рентгенограмме. Индексы интерференции (HKL) равны произведению индексов семейства плоскостей (hkl) на порядок отражения n.
H = nh; K = nk; L = nl.
HKL=(200) hkl = 100 n = 2
HKL=(400) hkl = 100 n = 4
HKL=(420) hkl = 210 n = 2
Поскольку индексы плоскостей hkl не могут иметь общего делителя, то зная индексы HKL для данной линии, можно определить за счет какого порядка

96 отражения получилась данная линия.

97
Таблица 18
Индексы интерференции первых десяти линий рентгенограммы
№
Простая
ОЦК
ГЦК тип алмаза
H
2
+K
2
+L
2
HKL
H
2
+K
2
+L
2
HKL
H
2
+K
2
+L
2
HKL
H
2
+K
2
+L
2
HKL
1 1
100 2
110 3
111 3
111 2
2 110 4
200 4
200 8
220 3
3 111 6
211 8
220 11 311 4
4 200 8
220 11 311 16 400 5
5 210 10 310 12 222 19 331 6
6 211 12 222 16 400 24 422 7
8 220 14 321 19 311 27 333,
511 8
9 300,
221 16 400 20 420 32 440 9
10 310 18 410,
330 24 422 35 531 10 11 311 20 420 27 333,
511 40 620
Исходной формулой для определения HKL является формула Вульфа-
Брегга:
2d
HKL
sin

=

n
Подставляя в эту формулу значения d
HKL
для разных сингоний, получают так называемые квадратичные формулы. Например, для кубической решетки:
1/d
2
HKL
= (H
2
+ K
2
+ L
2
) / a
2
; sin
2

= (

/4a
2
)(H
2
+ K
2
+ L
2
).
Таким образом, каждому значению sin

(удовлетворяющему уравнению
Вульфа-Брегга), а, следовательно, и d
HKL
соответствуют определенные значения индексов интерференции HKL. Обратное утверждение верно только для некоторых простых решеток, поскольку в случае сложных решеток некоторые отражения гасятся и соответствующие линии на рентгенограмме отсутствуют.
Законы погасания зависят от симметрии решетки и расположения атомов в элементарной ячейке и определяются из условия равенства нулю структурного фактора интенсивности. Для ОЦК, если h+k+l четная, то S

0. Для ГЦК
,
если все индексы одной четности , то S

0.
В случае если

-излучение не отфильтровано, необходимо выяснить какие линии возникли за его счет. Для этого используют то обстоятельство, при котором отношение синусов углов пары линий, полученных в результате

98 отражения лучей

и

от одной и той же плоскости, равно отношению соответствующих длин волн


и


: sin(


) / sin(


) =


/



1,09.

-линии должны быть слабее по интенсивности, чем

-линии, образовавшиеся от тех же плоскостей, кроме того
,
они должны расположиться под меньшими углами

(поскольку


<


).
Практически в ряду sin

находят значения, соответствующие наиболее интенсивным линиям. По формуле sin



sin


/ 1,09 находят значения sin


Если найдется линия, для которой sin

окажется равным вычисленному значению, и если интенсивность ее значительно меньше (в 4-5 раз)
,
то эти линии получены благодаря отражению K

и K

лучей от одной и той же плоскости. Если такая линия не выявлена, то значит она не была зафиксирована на рентгенограмме вследствие малой интенсивности.

99
H
i
2
+ K
i
2
+ L
i
2
= Q
i
(H
1 2
+ K
1 2
+ L
1 2
), где (H
1 2
+ K
1 2
+ L
1 2
) для различных решеток определяется из соответствующих законов погасания и имеет следующие значения:
Примитивная ОЦК ГЦК Типа алмаза
1 2 3 3
Существует некоторая неопределенность для примитивной и ОЦК решеток, поскольку начало ряда Q
i у них совпадают. Эту неопределенность можно разрешить одним из двух способов.
Таблица 19 1. У примитивной решетки из первых двух линий на рентгенограмме более интенсивной должна быть вторая, а у ОЦК – первая. Это связано с различием во множителях повторяемости для плоскостей (100), (200) – P = 6 и
(110) – P = 12.
2. Если для седьмой линии Q
7
= 7, то решетка будет ОЦК.
Необходимо помнить, что среди чистых металлов примитивная решетка не встречается.
После индицирования рентгенограммы вещества с кубической решеткой период последней легко определить по формуле
a
H
K
L
d
H
K
L
HKL








2 2
2 2
2 2
2
sin
Для определения периода в кубической решетке достаточно одной линии, но желательно вести расчет по нескольким линиям с большими углами

Ряд Q
i
для кубических решеток (первые десять линий)
Тип решетки sin
2
(

i
) (H
i
2
+ K
i
2
+ L
i
2
)
------- = --------------------- = Q
i sin
2
(

1
) (H
1 2
+ K
1 2
+ L
1 2
)
Примитивная
1 2 3 4 5 6 8 9 10 11
ОЦК
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ГЦК
1 1.33 2.66 3.67 4 5.33 6.33 6.67 8 9
Тип алмаза
1 2.66 3.67 5.33 6.33 8 9 10.67 11.67 13.33

100
Индицирование рентгенограмм тетрагональной и гексагональной
сингоний.Аналитическое индицирование веществ с решетками средних сингоний невозможно, так как в общем случае отношение sin
2
(

i
) / sin
2
(

1
) не равно отношению целых чисел (равно отношению целых чисел только для плоскостей вида HK0 и 00L). Поэтому индицирование проводят графически.
Для построения номограмм графического индицирования квадратичные формулы необходимо преобразовать так, чтобы величина Q
HKL
= 1 / d
HKL
2
являлась функцией отношения с/а. Так для тетрагональной решетки квадратичная формула
1 / d
HKL
2
= (H
2
+ K
2
) / a
2
+ L
2
/ c
и после соответствующих преобразований




















1
)
/
(
1
)
(
1 1
1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
a
c
L
K
H
K
H
Lg
c
a
Lg
d
Lg
HKL
|| || ||
Q
HKL
const D
HKL
или можно записать: lg Q
HKL
= const + D
HKL
Так как индексы интерференции – целые числа, то при данном отношении с/а функция Q
HKL
дискретна. Eе значения могут быть вычислены и нанесены на координатную плоскость как точки с абсциссой D
HKL
и ординатой
с/а или lg с/а. Для одних и тех же значений HKL и разных с/а функция непрерывна. Таким образом можно построить кривые для всех плоскостей с индексами HKL и различным отношением с/а. Данные номограммы называют
графиками Бьернстрема, и они построены для тетрагональной и гексагональной систем в интервале отношения с/а от 0,2 до 5,0.
Для работы с номограммой необходимо найти по рентгенограмме значения d/n (d
HKL
)и, используя приложенную к номограмме логарифмическую масштабную шкалу, нанести эти значения на специальную линейку (полоску плотной бумаги). Наложить линейку на номограмму горизонтально так, чтобы отметка lg(d/n
max
) совпала с кривой с наименьшими индексами, двигать линейку

101 вдоль избранной кривой (сохраняя горизонтальность) до совмещения всех отметок с кривыми на номограмме. Добившись совпадения, каждой отметке приписываются соответствующие индексы HKL. Если совпадения достигнуть не удалось, необходимо выбрать другую кривую и т.д.
Для гексагональной сингонии меняется лишь вид функции D
HKL
, а методика индицирования остается без изменения.
Периоды решетки определяются из решения системы из двух квадратичных формул для линий, расположенных на возможно больших углах.
Для тетрагональной сингонии
a
2
=(A
1
B
2
- A
2
B
1
)/(B
2
/ d
1 2
- B
1
/ d
2 2
); c
2
=(A
1
B
2
-A
2
B
1
)/(A
1
/ d
2 2
- A
2
/ d
1 2
); где A = H
2
+ K
2
и B = L
2
Для гексагональной сингонии
a
2
=
(
4 A
1
B
2
- A
2
B
1
)/(
3B
2
/ d
1 2
- B
1
/ d
2 2
) c
2
=
(
A
1
B
2
- A
2
B
1
)/(
A
1
/ d
2 2
- A
2
/ d
1 2
)
где A = H
2
+ HK + K
2
и B = L
2
7.3.4. Прецизионное определение периодов кристаллической решетки
Обычный метод порошков позволяет определять периоды решетки с невысокой точностью (до 0,1%). В то же время существует большой круг задач
,
для решения которых требуется предельно точное его определение. К ним можно отнести определение характеристик твердых растворов, изучение влияния облучения на материалы, измерение остаточных внутренних напряжений и т.д.
Высокой точности определения периодов решетки (с погрешностью
< 0,01%) достигают применением особых методов съемки и обработки результатов измерения рентгенограмм, называемых прецизионными методами.
1. Использованием значений межплоскостных расстояний, определенных