,

или . (3.11)

Это и есть сила воздействия потока жидкости на преграду. При другом угле установке стенки или других её форме и размерах в правую формулы (3.11) вводится безразмерный коэффициент, отличный от единицы, но пропорциональность силы произведению сохранится.


3.7. Дифференциальные уравнения движения

идеальной жидкости в форме уравнений Эйлера

Рассмотрим вопрос о распределении давления в потоке идеальной жидкости. Обратимся к методу, применённому ранее для покоящейся жидкости.

Выделим в потоке жидкости точку А с координатами в осях, связанных с границами потока (например, со стенками трубопровода (рис. 3.9).

Рис. 3.9. К выводу уравнений Эйлера
Около этой точки выделим элементарный объём жидкости в виде прямоугольного параллелепипеда с боковыми рёбрами , как это было сделано в гидростатике.

На движущуюся жидкость действуют массовые силы – силы тяжести и силы инерции, а также силы давления, действующие на грани и направленные внутрь рассматриваемого объёма.

Пусть давление в этой точке , плотность . Скорость движения частицы жидкости обозначим через , а её проекции на оси - . Тогда проекции ускорения, с которым движется выделенный объём, будут равны . Масса выделенного объёма - . Будем считать, что внутри этого объёма на жидкость действует результирующая массовая сила, единичные проекции которой на оси координат равны

Составим уравнение движения выделенного объёма жидкости. Для этого спроектируем силы, действующие на него, в направлении оси .

. (3.12)

После деления на и преобразования, получим

.

Рассматривая аналогичным образом условия равновесия этого объёма относительно и , приходим к системе дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости Эйлера (3.13).

(уравнения Эйлера) (3.13)
Эти уравнения аналогичны уравнениям гидростатики, с тем, однако существенным отличием, что они, в соответствии с принципом Даламбера, содержат в правой части производную от соответствующей проекции скорости по времени.

Члены этих уравнений представляют собой ускорения, а физический смысл каждого уравнения состоит в следующем: полное ускорение частицы вдоль координатной оси складывается из ускорений от массовых сил и ускорений от сил давления.

Уравнения Эйлера справедливы как для несжимаемой жидкости, так и сжимаемой. Поскольку при выводе уравнений не

---

накладывались условия стационарности движения, то они справедливы также и для неустановившегося движения.

Эти уравнения, как и уравнения гидростатики, были впервые выведены Леонардом Эйлером в 1755 году.
3.8. Основное дифференциальное уравнение

установившегося движения идеальной жидкости

Умножая левую и правую части первого из уравнений Эйлера (3.8) на , второго на - , третьего на - и складывая почленно эти уравнения, получаем

. (3.14)

Наложим на полученное уравнение два ограничения:

1) будем считать движение жидкости установившимся, т.е. . Тогда трёхчлен во вторых скобках есть не что иное, как полный дифференциал давления

;

2) будем считать приращения проекциями действительно малого перемещения жидкой частицы. Введение этого ограничения означает, что

.

В результате уравнение (3.14) принимает вид

. (3.15)

Преобразуя выражение во вторых скобках, получим

.

Тогда уравнение (3.15) можно переписать в виде

. (3.16)

Таким образом, мы получили основное дифференциальное уравнение установившегося движения идеальной жидкости при отсутствии инерционных сил переносного движения системы.
3.9. Уравнение Бернулли для струйки идеальной

несжимаемой жидкости
3.9.1. Геометрический смысл уравнения Бернулли.

Трубка Пито

3.9.2. Энергетический смысл уравнения Бернулли
Рассмотрим частный случай установившегося движения жидкости, когда на неё действует лишь одна массовая сила – сила тяжести. Проекции единичных массовых сил на оси координат будут равны:

, , .

Подставив эти значения в уравнение (3.16), после преобразования получим

.

Проведём интегрирование этого уравнения, наложив на него третье ограничение - будем считать, что жидкость несжимаема, т.е. .

, (3.17)

или, подставив ,

, (3.18)

где - гидродинамический напор.

Уравнение в формах (3.17) и (3.18) обычно называют уравнением Бернулли, отдавая дань заслугам Даниила Бернулли, который первым установил эту закономерность и обосновал её в капитальном труде «Гидродинамика». Как известно, эту монографию, вышедшую в 1738 году, он посвятил Петербургской Академии наук.

---

Это уравнение показывает, что приращение трёх членов при перемещении частицы жидкости вдоль линии тока равно нулю, т.е. есть величина постоянная.

При установившемся течении траектория жидкой частицы совпадает с линией тока. Поэтому полученное уравнение справедливо для частицы идеальной жидкости, движущейся вдоль линии тока. Учитывая малость сечения струйки, можно считать его справедливым и для элементарной струйки, осевая линия которой совпадает с линией тока.

---

3.9.1. Геометрический смысл уравнения Бернулли.

Трубка Пито

В гидравлике уравнение Бернулли чаще всего используется в форме (3.18)

.

Все члены этого уравнения имеют линейную размерность - [м, см]. Подобно тому, как первый член этого уравнения представляет собой некоторую высоту можно и остальные слагаемые представить как высоты. Не следует думать, что речь идёт о каких-то воображаемых высотах. Все эти высоты можно воспроизвести реально. Выделим элементарную струйку, возвышающуюся над горизонтальной плоскостью (рис. 3.10).

Рис. 3.10. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли

(схема трубки полного давления - Пито)
Каждая из этих высот получила определённое название:

- геометрическая или нивелирная высота, т.е. высота центра тяжести поперечного сечения струйки, измеренная относительно некоторой произвольной плоскости сравнения ;

- пьезометрическая высота, т.е. высота столба жидкости в трубке пьезометра 1;

- высота скоростного напора, т.е. дополнительная высота, на которую жидкость поднялась бы в пьезометре при полном торможении потока в данной точке А;

- высота полного гидродинамического напора, т.е. сумма указанных трёх высот.

Высота столба жидкости в пьезометре, измеренная относительно точки А, равна пьезометрической высоте в этой точке потока.

Во второй же трубке жидкость поднимется на высоту, поскольку скорость в точке А упала до нуля и удельная кинетическая энергия полностью перешла в энергию давления.

Разность высот в этих двух трубках, таким образом, равна удельной кинетической энергии, или то же самое, высоте скоростного напора .

Полный гидродинамический напор равен сумме трёх указанных высот.

Закон, выражаемый уравнением Бернулли, может быть наглядно представлен для элементарной струйки в виде диаграммы (рис. 3.11).

Отнесём струйку к системе координат и напишем уравнение Бернулли для трёх произвольных сечений струйки

.

Рис. 3.11. Линии полных напоров Н-Н и пьезометрических

высот П-П вдоль струйки идеальной жидкости
Выбрав произвольно горизонтальную плоскость сравнения отложим от неё геометрическую высоту поперечного сечения 1-1 струйки. Затем надстроим в том же масштабе последовательно пьезометрическую высоту и высоту скоростного напора . Сумма этих высот равна высоте полного гидродинамического напора

---

, которая по всей длине струйки идеальной жидкости остаётся одинаковой. На высоте расположена горизонтальная линия , которую принято называть линией полного гидродинамического напора или сокращённо напорной линией.

Теперь в любом другом произвольном сечении струйки (например, в сечении 2-2) можно не зная даже величины давления в этом сечении, построить все три высоты, входящие в уравнение Бернулли. Удобнее всего построение начать с высоты скоростного напора, величина которой может быть легко найдена из геометрии струйки с помощью уравнения расхода , . Полученную таким образом высоту отложим вниз от плоскости полного напора. Дополнительный вертикальный отрезок до центра тяжести сечения струйки и будет представлять искомую пьезометрическую высоту , а вертикальный отрезок до центра тяжести сечения до плоскости сравнения - геометрическую высоту .

Соединяя плавными кривыми вершины всех трёх высот, получаем характерные элементы «диаграммы Бернулли»:

- линию геометрических высот (осевую линию струйки);

- пьезометрическую линию (геометрическое место вершин пьезометрических высот);

- напорную линию (геометрическое место вершин высот полного гидродинамического напора).

Итак, рисунок 3.11 даёт геометрическое истолкование уравнения Бернулли:

1) При установившемся движении идеальной жидкости сумма трёх высот есть величина постоянная, и называется полным напором;

2) Если сечение расширяется и, следовательно, скорость уменьшается, то уменьшается скоростной напор, но возрастает сумма .

Закономерности, найденные для струйки, справедливы и для одномерных потоков конечного сечения.
3.9.2. Энергетический смысл уравнения Бернулли

Если рассматривать уравнение Бернулли как уравнение энергии, то каждое из слагаемых должно измеряться в единицах работы. Чтобы перевести уравнение (3.18) в уравнение работы надо умножить его на единицу силу, например, на 1Н, тогда размерность каждого слагаемого будет выражена в Нм (Дж).

Условимся называть удельной энергией жидкости энергию, отнесённую к единице массы. Тогда:

- удельная потенциальная энергия положения, т.к. частица жидкости массой , находясь на высоте , обладает энергией положения ;

- удельная потенциальная энергия давления движущейся жидкости, т.к. частица жидкости массой при давлении обладает способностью подняться на высоту и приобрести потенциальную энергию;

---

Смотрите также файлы

• Российская федерация федеральный закон.docx

• Введение Целью курсового проекта является проектирование части системы внутреннего электроснабжения предприятия.docx

• Задание для самостоятельной работы к теме 1 Основы государственной политики в сфере воспитания. Базовые ценности российского общества.doc

• Учебная программа по учебному предмету Математика для 56 классов уровня основного среднего образования по обновленному содержанию.pdf

• 10 сыныпа арналан Web бадарламалау бліміне арналан тест тапсырмалары.docx