Файл: Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо Воронежский государственный технический университет.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.01.2024
Просмотров: 341
Скачиваний: 3
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
2. Внутренняя задача. Заданы силы, действующие на жидкость. Требуется определить гидродинамические характеристики потока – скорость, давление и др. Эта задача чаще встречается в технической гидравлике, её мы и будем в основном рассматривать.
В гидравлике движение жидкости рассматривается как движение системы неограниченного множества материальных точек. При этом все частицы жидкости движутся различно, каждая по своей траектории, с различными скоростями и ускорениями. Такое движение представляет собой чрезвычайно сложный процесс, изучение которого связано с большими трудностями.
Целью изучения движения жидкости является определение кинематических характеристик – скоростей и ускорений, а на их основе – динамических характеристик, необходимых для решения практических задач.
Существуют два принципиально отличных метода изучения движения жидкости. Оба метода связаны с именами известных математиков и механиков – Жозефа Луи Лагранжа (1736-1813 г.г.) и Леонарда Эйлера (1707-1783 г.г.).
В обоих методах жидкость (капельная и газообразная) рассматривается как непрерывная среда, сплошь занимающая данное пространство. В качестве мельчайшего элемента жидкости принимается «частица» бесконечно малых размеров, но не отождествляемая с молекулой или атомом.
Метод Лагранжа. Метод Лагранжа основан на исследовании движения отдельных частиц жидкости при их перемещении в пространстве.
В методе Лагранжа положение индивидуальной частицы описывается законом её движения, т.е. тремя уравнениями
; (3.1)
где - координаты частицы; - время; - начальные координаты частиц, т.е. положение частиц в начальный момент времени. Следовательно, текущие координаты некоторой движущейся частицы являются функциями четырёх переменных и . Эти переменные называют переменными Лагранжа.
Совместное решение уравнений (3.1) определяет траекторию MN конкретной частицы с начальными координатами в течение времени (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Траектория частицы жидкости
Из теоретической механики известно, что первые производные этих функций по времени определяют компоненты скорости частицы жидкости:
; ; ,
а вторые производные – ускорения:
; ; ,
где - компоненты вектора скорости .
Таким образом, в методе Лагранжа исследованию подлежит движение отдельных частиц жидкости.
Метод Эйлера. В методе Эйлера исследуют поля векторных и скалярных параметров движущейся жидкости, не рассматривая вопрос о том
, как движется та или иная частица.
При неустановившемся движении каждому моменту времени соответствует своё поле скоростей в рассматриваемой области движения жидкости. Полное описание процесса достигается в том случае, когда определены скорости во всех точках области за весь период наблюдения . Это можно представить как серию последовательных кадров поля скоростей, полученного киносъёмкой. Если для данной системы координат определены функции, описывающие изменение поля скоростей и давления во времени
(3.2)
,
то этим решена одна из основных задач гидродинамики – установлен закон распределения скоростей и давлений в потоке.
Таким образом, исследуют поля векторных и скалярных параметров движущейся жидкости, не рассматривая вопрос о том, как движется та или иная частица.
Оба метода исследования жидкости – и метод Лагранжа и метод Эйлера математически связаны между собой и возможен переход от уравнений (3.1) к уравнениям (3.2). Как показало развитие гидравлики, в большинстве случаев метод Лагранжа более сложен и трудоёмок, чем метод Эйлера. Поэтому далее в основном рассматривается решение задач движения жидкости на основе метода Эйлера.
Однако задача отыскания функций скорости и давления методом Эйлера также является весьма сложной. Даже заменяя реальную жидкость моделью «идеальной жидкости», решить её в большинстве случаев не представляется возможным.
Поэтому в технической гидродинамике идут по иному пути и используют так называемый «гидравлический метод». Гидравлический метод (метод технической гидродинамики) основан на использовании некоторых осреднённых и интегральных характеристик потока.
В основу этого метода полагают уравнения, которые существенно отличаются от системы уравнений в методе Эйлера. К числу таких основных уравнений гидравлики относятся следующие:
- уравнение несжимаемости и неразрывности для потока жидкости (уравнение расхода);
- уравнение кинетической энергии для потока реальной жидкости (уравнение Бернулли);
- уравнение количества движения для потока реальной жидкости;
- эмпирические и полуэмпирические зависимости (Дарси и Вейсбаха) для оценки работы сил трения, возникающих в реальной жидкости.
Используя данные уравнения в сочетании с некоторыми приёмами рассмотрения гидравлических явлений (линия тока, средняя скорость и др.) получаем законченную техническую теорию, позволяющую с приемлемой точностью решать большой круг практических задач, относящихся к механике реальной жидкости.
3.2. Виды движения жидкости
Всякое движение жидкости характеризуется следующими основными параметрами: форма потока, плотность жидкости, скорость, ускорение, давление. В зависимости от изменения основных параметров рассматривают различные виды движения жидкости: установившееся и неустановившееся, равномерное и неравномерное.
Неустановившимся (нестационарным) называется движение, когда скорость течения и давление зависят от координат точки и изменяются во времени:
,
.
Примерами неустановившегося движения жидкости могут служить, например: истечение жидкости через отверстие из резервуара, если уровень в нём меняется; истечение жидкости из аккумулятора при изменении давления газа в нём; течение жидкости в трубопроводе с включённым в гидросистему поршневым насосом.
Неустановившиеся процессы происходят в магистралях жидкостного ракетного двигателя (ЖРД) при запуске и остановке или при переходе с одного режима тяги на другой.
Установившимся (стационарным) называется движение жидкости, при котором скорость и давление являются функциями только координат и не зависят от времени.
,
.
Параметры жидкости при установившемся движении будут функцией только трёх переменных, а именно координат рассматриваемой точки.
Установившееся движение может бытьравномерным и неравномерным.
При равномерном движении скорость и давление в соответствующих точках сечения по длине остаются постоянными, т.е. поле скоростей остаётся неизменным вдоль потока.
Примером равномерного движения жидкости может служить установившееся течение в цилиндрическом трубопроводе на достаточном удалении от входа в него (рис. 3.2,а).
Рис. 3.2. Равномерное (а) и неравномерное (б) движение
При неравномерном движении скорость, давление и плотность могут изменяться с изменением координат движущейся частицы жидкости. Примером неравномерного течения жидкости может служить установившийся поток в конической трубе, а также движение жидкости на входном участке потока с меняющимся (нестабилизированным) от сечения к сечению профилем местных скоростей (рис. 3.2,б).
Исследование установившихся течений значительно проще, чем неустановившихся. В дальнейшем мы будем рассматривать, главным образом, установившиеся течения и лишь некоторые частные случаи неустановившегося движения.
Кроме рассмотренных видов движения жидкости различают также движение безнапорное и напорное.
Безнапорное движение происходит в открытых системах и осуществляется за счёт сил тяжести. Например, движение воды в реках, каналах, трубах при неполном их заполнении.
Напорное движение происходит в закрытых системах (трубопроводах), когда поток со всех сторон окружён твёрдыми стенками и движение осуществляется за счёт разности давлений по длине потока. Например, например движение жидкости в трубопроводе от насоса.
Гидродинамическое давление. При движении вязкой жидкости обязательно возникают касательные напряжения. Согласно законам механики, в общем случае это приводит к возникновению в данной точке нормальных напряжений по трём взаимно ортогональным направлениям. Напряжения сжатия по разным направлениям могут быть разными, в отличие от условий покоя, когда они по всем направлениям одинаковы, о чём говорит одно из свойств гидростатического давления.
В гидродинамике по аналогии с гидростатикой вводится понятие гидродинамического давления с тем же свойством быть постоянным по всем направлениям в данной точке. Для него сохраняется то же обозначение . Таким свойством обладает среднее арифметическое значение нормальных напряжений в рассматриваемой точке по трём взаимно ортогональных площадкам, взятое с обратным знаком
.
3.3. Линия тока и траектория частицы,
элементарная струйка
Через любую точку А потока (рис.3.3) всегда можно провести линию, в каждой точке которой вектор местной скорости в данный момент времени направлен по касательной к ней.
Линией тока называется линия, в каждой точке которой вектор скорости в данный момент времени направлен по касательной. Это понятие является центральным в методе Эйлера.
Рис. 3.3. Линия тока и траектория частицы жидкости
Траекторией называется путь, который описывает точка при своём движении. При установившемся движении линия тока и траектория частицы совпадают. В общем случае неустановившегося движения в следующий момент времени через ту же точку А может проходить уже другая линия тока.
Вектор скорости с компонентами касателен к линии тока, т.е. совпадает по направлению с элементами линии тока , имеющего проекции на оси координат. Воспользуемся известным условием параллельности двух векторов – их проекции на оси координат должны быть пропорциональны друг другу
.
Полученное условие является уравнением линии тока в дифференциальной форме.
В частном случае при установившемся движении
каждая линия тока сохраняет своё положение в пространстве и одновременно становится линией, по которой перемещаются частицы, т.е. совпадает с траекторией.