Единицы давления. Как следует из самого определения давления, его размерность совпадает с размерностью напряжения, т.е. представляет собой размерность силы, отнесенную к размерности площади.

За единицу давления в Международной системе единиц (СИ) принят паскаль — давление, вызываемое силой , равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью , т.е. . Наряду с этой единицей давления применяют укрупненные единицы: килопаскаль (кПа) и мегапаскаль (МПа):

; ; .

В технике в настоящее время в некоторых случаях продолжают применять также техническую МКГСС (метр, килограмм-сила, секунда, а) и физическую СГС (сантиметр, грамм, секунда) системы единиц. Используются также внесистемные единицы — техническую атмосферу и бар:

Не следует также смешивать техническую атмосферу с физической , которая все ещё имеет некоторое распространение в качестве единицы давления:


2.1.3. Свойства гидростатического давления

Гидростатическое давление обладает двумя основными свойствами.

1-ое свойство. Силы гидростатического давления в покоящейся жидкости всегда направлены внутрь по нормали к площадке действия, т.е. являются сжимающими.

Это свойство доказывается от противного. Если предположить, что силы направлены по нормали наружу, то это равносильно появлению в жидкости растягивающих напряжений, которых она воспринимать не может (это вытекает из свойств жидкости).

2-ое свойство. Величина гидростатического давления в любой точке жидкости по всем на­правлениям одинаково, т.е. не зависит от ориентации в пространстве площадки, на которую оно действует

,

где - гидростатические давления по направлению координатных осей;

- то же по произвольному направлению .

Для доказательства этого свойства выделим в неподвижной жидкости элементарный объем в форме тетраэдра с ребрами, параллельными координатным осям и соответственно равными , и (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Схема для доказательства свойства

о независимости гидростатического давления от направления
Введем обозначения: -гидростатическое давление, действующее на грань, нормальную к оси ;

- давление на грань, нормальную к оси ;

- давление на грань, нормальную к оси ;

- давление, действующее на наклонную грань;

---

- площадь этой грани;

- плотность жидкости.

Запишем условия равновесия для тетраэдра (как для твердого тела) в виде трех уравнений проекций сил и трех уравнений моментов:

, , ;

, , .

При уменьшении в пределе объема тетраэдра до нуля система действующих сил преобразуется в систему сил проходящих через одну точку, и, таким образом, уравнения моментов теряют смысл.

Таким образом, внутри выделенного объема на жидкость действует единичная массовая сила, проекции ускорений которой равны , ,и . В гидравлике принято массовые силы относить к единице массы, а так как , то проекция единичной массовой силы численно будет равна ускорению.

; ; ,

где , , - проекции единичной массовой силы на оси координат;

- масса жидкости;

- ускорение.

Составим уравнение равновесия выделенного объема жидкости в направлении оси , учитывая при этом, что все силы направлены по нормалям к соответствующим площадкам внутрь объема жидкости:

, (2.4)

где - проекция силы от гидростатического давления ;

- проекция силы от давления ;

- проекция массовой силы, действующей на тетраэдр.

Разделив уравнение (2.2) на площадь , которая равна пло­щади проекции наклонной грани на плоскость , т. е. , получим

.

При стремлении размеров тетраэдра к нулю последний член уравнения, содержащий множитель , также стремится к нулю , а давления и остаются величинами конечными.

Следовательно, в пределе получим

или .

Аналогично составляя уравнения равновесия вдоль осей и , находим

, ,

или .

Так как размеры тетраэдра , и и наклон площадки взяты произвольно, то, следовательно, в пределе при стягивании тетраэдра в точку давление в этой точке по всем направлениям будет одинаково. Что и требовалось доказать.

Рассмотренное свойство давления в неподвижной жидкости имеет место также при движении невязкой (идеальной) жидкости. При движении же реальной жидкости возникают касательные напряжения, вследствие чего давление в реальной жидкости указанным свойством, строго говоря, не обладает.

В общем случае давление в точке зависит от координат рассматриваемой точки, а при неустановившемся движении жидкости может изменяться в каждой данной точке с течением времени: .
2.1.4. Основное уравнение гидростатики.

Закон Паскаля

Основное уравнение гидростатики можно получить двумя способами: 1) из условия равновесия капельной жидкости в поле земного тяготения;

---

2) путем интегрирования основного дифференциального уравнения гидростатики Эйлера.

Рассмотрим первый частный случай равновесия жидкости, когда на нее действует лишь одна массовая сила — сила тяжести. Получим уравнение, позволяющее находить гидростатическое дав­ление в любой точке рассматриваемого объема жидкости. Пусть на свободную поверхность жидкости (рис. 2.4) действует давление . Найдем гидростатическое давление в произвольно взятой точке , расположенной на глубине .

Рис. 2.4. Схема для вывода основного уравнения гидростатики
Выделим около точки элементарную горизонтальную площадку и построим на ней вертикальный цилиндрический объем высотой . Рассмотрим условие равновесия указанного объема жидкости, выделенного из общей массы жидкости. Давление жидкости на нижнее основание цилиндра теперь будет внешним и направлено по нормали внутрь объема, т.е. вверх. Запишем сумму сил, действующих па рассматриваемый объем в проекции на вертикаль:

, (2.5)

где - сила, направленная вверх;

- сила, направленная вниз;

- вес жидкости.

Силы давления по боковой поверхности цилиндра в уравнение не входят, так как они нормальны к вертикали. Сократив выражение (2.5) на , получим

, (2.6)

где - плотность; - удельный вес жидкости.

Полученное уравнение называют основным уравнением гидростатики. По нему можно подсчитать давление в любой точке покоящейся жидкости. Это давление, как видно из уравнения, складывается из двух величин: давления на внешней поверхности жидкости и давления , обусловленного весом вышележащих слоёв жидкости. Вес столба жидкости, высота которого равна глубине погружения точки, а площадь основания равна единице, численно равен .

Закона Паскаля. Давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости и по всем направлениям одинаково, т.е. внешнее давление является одинаковым для всех точек объема жидкости. Это положение известно под названием закона Паскаля.
2.1.5. Поверхности уровня

Давление жидкости, как видно из формулы (2.6), возрастает с увеличением глубины прямолинейно (по закону треугольника) и на данной глубине есть величина постоянная (рис.2.5).

Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня. В данном случае поверхностями уровня являются горизонтальные плоскости, а свободная поверхность является одной из поверхностей уровня.

---

Рис. 2.5. Закон распределения

давления

Представим уравнение (2.6) в другой форме. Возьмем на произвольной высоте горизонтальную плоскость сравнения , от которой вертикально вверх будем отсчитывать координаты . Обозначив через координату точки , через — координату свободной поверхности жидкости и заменив в уравнении (2.6) , получим

.

После деления на и перегруппировки членов, уравнение примет вид

.

Так как точка М взята произвольно, можно утверждать, что для всего рассматриваемого неподвижного объема жидкости

, (2.7)

где все члены имеют линейную размерность и названия:

координата -геометрическая высота;

- пьезометрическая высота;

- гидростатический напор.

Уравнение (2.7) является основным уравнением гидростатики, записанным в другой форме. Таким образом, гидростатический напор есть величина постоянная для всего объема неподвижной жидкости.

Далее те же основные уравнения гидростатики (2.6) и (2.7) будут получены путём интегрирования основного дифференциального уравнений гидростатики Эйлера.

Отступление: Б. Паскаль (1623 —1662 гг.) — известный французский математик, физик и философ. Уже в возрасте 16 лет он написал трактат о теории конических сечений. Около 1642 года он разработал арифметическую машину для автоматизации вычислений. Далее опубликовал работы по теории чисел, теории вероятностей, анализу бесконечно малых и др. К концу 1640 – началу 1650 г.г. относится увлечение Паскаля проблемами гидро- и аэростатики, после того как он узнал об опытах Торричелли. Результаты работ были изложены в «Трактате о равновесии жидкостей…», где он исследовал атмосферное давление и заложил основы гидростатики. Это сочинение явилось продолжением работ С. Стевина, Г. Галлилея, Э. Торричелли.


2.2. Дифференциальные уравнения гидростатики

---

2.2.1. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

Эйлера

2.2.2. Основное дифференциальное уравнение гидростатики

2.2.3. Дифференциальное уравнение поверхности

2.2.1. Дифференциальные уравнения

равновесия жидкости Эйлера

Рассмотрим состояние равновесия жидкости в общем случае, т.е. когда на неё действует сила тяжести и сила инерции переносного движения при относительном покое.

Выделим в покоящейся жидкости элементарный объем в форме прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными координатным осям и соответственно равными , и (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Схема для вывода дифференциальных

уравнений равновесия жидкости
Введём обозначения:

- среднее гидростатическое давление на площадку ;

- среднее гидростатическое давление на площадку ;

- дифференциал, который выражает изменение давления от точки к точке вдоль оси при расстоянии между точками ;

- сила гидростатического давления на площадку ;

- сила гидростатического давления на площадку ;

- масса параллелепипеда;

- проекции ускорений единичной массовой силы;

- проекция единичной массовой силы на ось .

На параллелепипед действуют силы гидростатического давления от окружающей жидкости и массовые силы.

Запишем уравнение равновесия в направлении оси

.

После преобразования и деления на уравнение примет вид

,

или

.

Аналогичным образом получим уравнения в направлении осей и :

(уравнения Эйлера) (2.8)

Полученная система уравнений равновесия жидкости называется уравнениями Эйлер. Они выведены Л.Эйлером в 1755 г.

Слагаемые, входящие в полученные уравнения, являются проекциями единичных массовых и поверхностных сил. Эти уравнения показывают, что поверхностные и массовые силы, действующие на жидкость, взаимно уравновешиваются.
2.2.2. Основное дифференциальное уравнение

гидростатики

На практике удобнее пользоваться не системой уравнений, а одним уравнением, не содержащим частных производных. Умножим каждое уравнение (2.8), соответственно, на и, сложив их, получим

. (2.9)

Трехчлен, заключенный в скобки, представляет собой полный дифференциал давления , т.е. приращение давления при изменении координат на величины

---

Смотрите также файлы

• Российская федерация федеральный закон.docx

• Введение Целью курсового проекта является проектирование части системы внутреннего электроснабжения предприятия.docx

• Задание для самостоятельной работы к теме 1 Основы государственной политики в сфере воспитания. Базовые ценности российского общества.doc

• Учебная программа по учебному предмету Математика для 56 классов уровня основного среднего образования по обновленному содержанию.pdf

• 10 сыныпа арналан Web бадарламалау бліміне арналан тест тапсырмалары.docx