Файл: Аппроксимация функций методом наименьших квадратов.doc

по формулам:



Результаты расчета и средствами Microsoft Excel представлены в таблице 6.

Таблица 6

В
ычисление средних значений X и Y.
В ячейке F49 записана формула =A26/25.

В ячейке F50 записана формула =B26/25.

Для того, чтобы рассчитать коэффициент корреляции и коэффициент детерминированности данные целесообразно расположить в виде таблицы 7, которая является продолжением таблицы 2.

Таблица 7

В
ычисление остаточных сумм.
Поясним как таблица 7 составляется.

Ячейки A2:A27 и B2:B27 уже заполнены (см. табл. 2).

Далее делаем следующие шаги.

Шаг 1. В ячейку J2 вводим формулу =(A2-$F$49)*(B2-$F$50).

Шаг 2. В ячейки J3:J26 эта формула копируется.

Шаг 3. В ячейку K2 вводим формулу =(A2-$F$49)^2.

Шаг 4. В ячейки K3:K26 эта формула копируется.

Шаг 5. В ячейку L2 вводим формулу =(B2-$F$50)^2.

Шаг 6. В ячейки L3:L26 эта формула копируется.

Шаг 7. В ячейку M2 вводим формулу =($D$37+$D$38*A2-B2)^2.

Шаг 8. В ячейки M3:M26 эта формула копируется.

Шаг 9. В ячейку N2 вводим формулу

=($I$38+$I$39*A2+$I$40*A2^2-B2)^2.

Шаг 10. В ячейки N3:N26 эта формула копируется.

Шаг 11. В ячейку O2 вводим формулу

=($G$47*EXP($G$46*A2)-B2)^2.

Шаг 12. В ячейки O3:O26 эта формула копируется.
Последующие шаги делаем с помощью автосуммирования .
Шаг 13. В ячейку J27 вводим формулу =СУММ(J2:J26).

Шаг 14. В ячейку K27 вводим формулу =СУММ(K2:K26).

Шаг 15. В ячейку L27 вводим формулу =СУММ(L2:L26).

Шаг 16. В ячейку M27 вводим формулу =СУММ(M2:M26).

Шаг 17. В ячейку N27 вводим формулу =СУММ(N2:N26).

Шаг 18. В ячейку O27 вводим формулу =СУММ(O2:O26).

Теперь проведем расчеты коэффициента корреляции по формуле

(только для линейной аппроксимации)

и коэффициента детерминированности по формуле . Результаты расчетов средствами Microsoft Excel представлены в таблице 8.

Таблица 8

Р
езультаты расчета.

---

В таблице 8 в ячейке D53 записана формула =J27/(K27*L27)^(1/2).

В ячейке D54 записана формула =1- M27/L27.

В ячейке D55 записана формула =1- N27/L27.

В ячейке D56 записана формула =1- O27/L27.

Анализ результатов расчетов показывает, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом описывает экспериментальные данные.

---

4. Построение графиков в Excel и использование функции ЛИНЕЙН.

Рассмотрим результаты эксперимента, приведенные в исследованном выше примере.

Исследуем характер зависимости в три этапа:

• 
  Построим график зависимости.
  
• 
  Построим линию тренда ( _{, ,} ).
  
• 
  Получим числовые характеристики коэффициентов этого уравнения.
  

Рис.4.1. График зависимости y от x


Рис.4.2. График линейной аппроксимации



Рис.4.3. График квадратичной аппроксимации.



Рис.4.4. График экспоненциальной аппроксимации.
Примечание: Полученное при построении линии тренда значение коэффициента детерминированности для экспоненциальной зависимости не совпадает с истинным значением , поскольку при вычислении коэффициента детерминированности используются не истинные значения , а преобразованные значения с дальнейшей линеаризацией.

Таблица 9

5. Программа на языке Pascal.

5


Аппроксимация функции y=f(x) линейной, квадратичной и экспоненциальной функциями

, , .

---

.1. Схема алгоритма.




Рис.5.1. Блок-схема

program Kramer;

uses CRT;

const

n=25;

type

TArrayXY = array[1..2,1..n] of real;

TArray = array[1..n] of real;

var

SumX,SumY,SumX2,SumXY,SumX3,SumX4,SumX2Y,SumLnY,SumXLnY: real;

OPRlin,OPRkvadr,OPRa1,OPRa2,OPRa3:real;

a1lin,a2lin,a1kvadr,a2kvadr,a3kvadr,a1exp,a2exp,cexp:real;

Xsr,Ysr,S1,S2,S3,Slin,Skvadr,Sexp:real;

Kkor,KdetLin,KdetKvadr,KdetExp:real;

i:byte;

const

ArrayXY:TArrayXY=((12.85,12.32,11.43,10.59,10.21,9.65,9.63,9.22,8.44,8.07,7.74,7.32,7.08,6.87,5.23,5.02,4.65,4.53,3.24,2.55,1.86,1.76,1.11,0.99,0.72) , (154.77

145.59,108.37,100.76,98.32,81.43,80.97,79.04,61.76,60.54,55.86,47.63,48.03,36.85,25.65,24.98,22.87,20.32,9.06,6.23,3.91,3.22,1.22,1.10,0.53));

begin

ClrScr;

SumX:=0.0;

SumY:=0.0;

SumXY:=0.0;

SumX2:=0.0;

SumX3:=0.0;

SumX4:=0.0;

SumX2Y:=0.0;

SumLnY:=0.0;

SumXLnY:=0.0;

{ Вычисление сумм x, y, x*y, x^2, x^3, x^4, (x^2)*y, Ln(y), x*Ln(y) }

for i:=1 to n do

begin

SumX:=SumX+ArrayXY[1,i];

SumY:=SumY+ArrayXY[2,i];

SumXY:=SumXY+ArrayXY[1,i]*ArrayXY[2,i];

SumX2:=SumX2+sqr(ArrayXY[1,i]);

SumX3:=SumX3+ArrayXY[1,i]*ArrayXY[1,i]*ArrayXY[1,i];

SumX4:=SumX4+sqr(ArrayXY[1,i])*sqr(ArrayXY[1,i]);

SumX2Y:=SumX2Y+sqr(ArrayXY[1,i])*ArrayXY[2,i];

SumLnY:=SumLnY+ln(ArrayXY[2,i]);

SumXLnY:=SumXLnY+ArrayXY[1,i]*ln(ArrayXY[2,i])

end;

{ Вычисление коэффициентов }

OPRlin:=0.0;

a1lin:=0.0;

a2lin:=0.0;

a1kvadr:=0.0;

OPRkvadr:=0.0;

a2kvadr:=0.0;

a2kvadr:=0.0;

a1exp:=0.0;

a2exp:=0.0;

OPRlin:=n*SumX2-SumX*SumX;

a1lin:=(SumX2*SumY-SumX*SumXY)/OPRlin;

a2lin:=(n*SumXY-SumX*SumY)/OPRlin;

OPRkvadr:=n*SumX2*SumX4+SumX*SumX3*SumX2+SumX2*SumX*SumX3- SumX2*SumX2*SumX2-n*SumX3*SumX3-SumX*SumX*SumX4;

a1kvadr:=(SumY*SumX2*SumX4+SumX*SumX2Y*SumX3+SumX2*SumXY*SumX3- SumX2*SumX2*SumX2Y-SumY*SumX3*SumX3-SumX*SumXY*SumX4)/OPRkvadr;

a2kvadr:=(n*SumXY*SumX4+SumY*SumX3*SumX2+SumX2*SumX*SumX2Y-SumX2*SumX2*SumXY-n*SumX3*SumX2Y-SumY*SumX*SumX4)/OPRkvadr;

a3kvadr:=(n*SumX2*SumX2Y+SumX*SumXY*SumX2+SumY*SumX*SumX3-SumY*SumX2*SumX2-n*SumXY*SumX3-SumX*SumX*SumX2Y)/OPrkvadr;

a2exp:=(n*SumXLnY-SumX*SumLnY)/OPRlin;

cexp:=(SumX2*SumLnY-SumX*SumXLnY)/OPRlin;

a1exp:=exp(cexp);

{ Вычисление средних арифметических x и y }

Xsr:=SumX/n;

Ysr:=SumY/n;

S1:=0.0;

S2:=0.0;

S3:=0.0;

Slin:=0.0;

Skvadr:=0.0;

Sexp:=0.0;

Kkor:=0.0;

KdetLin:=0.0;

KdetKvadr:=0.0;

KdetExp:=0.0;

for i:=1 to n do

begin

S1:=S1+(ArrayXY[1,i]-Xsr)*(ArrayXY[2,i]-Ysr);

S2:=S2+sqr(ArrayXY[1,i]-Xsr);

S3:=S3+sqr(ArrayXY[2,i]-Ysr);

Slin:=Slin+sqr(a1lin+a2lin*ArrayXY[1,i]-ArrayXY[2,i]);

Skvadr:=Skvadr+sqr(a1kvadr+a2kvadr*ArrayXY[1,i]+a3kvadr*ArrayXY[1,i]*ArrayXY[1,i]-ArrayXY[2,i]);

Sexp:=Sexp+sqr(a1exp*exp(a2exp*ArrayXY[1,i])-ArrayXY[2,i]);

end;

{ Вычисление коэффициентов корреляции и детерминированности }

Kkor:=S1/sqrt(S2*S3);

KdetLin:=1-Slin/S3;

KdetKvadr:=1-Skvadr/S3;

KdetExp:=1-Sexp/S3;

{ Вывод результатов }

WriteLn('Линейная функция');

WriteLn('a1=',a1lin:8:5);

WriteLn('a2=',a2lin:8:5);

WriteLn('Квадратичная функция');

WriteLn('a1=',a1kvadr:8:5);

WriteLn('a2=',a2kvadr:8:5);

WriteLn('a3=',a3kvadr:8:5);

WriteLn('Экспоненциальная функция');

WriteLn('a1=',a1exp:8:5);

---

WriteLn('a2=',a2exp:8:5);

WriteLn('c=',cexp:8:5);

WriteLn('Xcp=',Xsr:8:5);

WriteLn('Ycp=',Ysr:8:5);

WriteLn('Коэффициент корреляции ',Kkor:8:5);

WriteLn('Коэффициент детерминированности (линейная аппроксимация) ',KdetLin:2:5);

WriteLn('Коэффициент детерминированности (квадратическая аппроксимация) ',KdetKvadr:2:5);

WriteLn('Коэффициент детерминированности (экспоненциальная аппроксимация) ',KdetExp:2:5);

end.

5.2. Результаты расчета Pascal.

Коэффициенты линейной функции

a1=-24.73516

a2=11.63471
Коэффициенты квадратичной функции

a1= 1.59678

a2=-0.62145

a3= 0.95543
Коэффициенты экспоненциальной функции

a1= 1.65885

a2= 0.40987

c= 0.50613

Xcp= 6.52320

Ycp=51.16040
Коэффициент корреляции 0.96196

Коэффициент детерминированности (линейная аппроксимация) 0.92537

Коэффициент детерминированности (квадратическая аппроксимация) 0.99409

Коэффициент детерминированности (экспоненциальная аппроксимация) 0.02691

Заключение.

Сделаем заключение по результатам полученных данных:

1. Анализ результатов расчетов показывает, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом описывает экспериментальные данные т.к. согласно таблице 8 коэффициент корреляции - 0,9620; Коэффициенты детерминированности линейной аппроксимации - 0,9253; квадратической аппроксимации – 0,994; экспоненциальной аппроксимация – 0,0269.

2. Сравнивая результаты, полученные при помощи функции ЛИНЕЙН видим что они полностью совпадают с вычислениями, проведенными выше. Это указывает на то, что вычисления верны.

3. Полученное при построении линии тренда значение коэффициента детерминированности для экспоненциальной зависимости не совпадает с истинным значением поскольку при вычислении коэффициента детерминированности используются не истинные значения y, а преобразованные значения ln(y) с дальнейшей линеаризацией.

4. Результаты полученные с помощью программы на языке PASCAL полностью совпадают со значениями приведенными выше. Это говорит о верности вычислений.

Список литературы.

1. 
   Ахметов К.С. Windows 95 для всех. - М.:ТОО "КомпьютерПресс", 1995.
   
2. 
   Вычислительная техника и программирование. Под ред. А.В. Петрова. М.: Высшая школа, 1991.
   
3. 
   Гончаров A., Excel 97 в примерах. — СПб: Питер, 1997.
   
4. 
   Левин А., Самоучитель работы на компьютере. - М.: Международное агентство А.Д.Т., 1996.
   
5. 
   Информатика: Методические указания к курсовой работе. Санкт-Петербургский горный институт. Сост. Д.Е. Гусев, Г.Н. Журов. СПб, 1999
   

---