Файл: Аппроксимация функций методом наименьших квадратов.doc

, который показывает, насколько хорошо уравнение, полученное с помощью регрессионного анализа, объясняет взаимосвязи между переменными. Если он равен 1, то имеет место полная корреляция с моделью, т.е. нет различия между фактическим и оценочным значениями y. В противоположном случае, если коэффициент детерминированности равен 0, то уравнение регрессии неудачно для предсказания значений y.

Коэффициент детерминированности всегда не превосходит корреляционное отношение. В случае когда выполняется равенство то можно считать, что построенная эмпирическая формула наиболее точно отражает эмпирические данные.

---

3. Расчет коэффициентов аппроксимации в Microsoft Excel.

Вариант №22
Функция y=f(x) задана таблицей 1

Таблица 1

Исходные данные.

12.85	154.77	9.65	81.43	7.74	55.86	5.02	24.98	1.86	3.91
12.32	145.59	9.63	80.97	7.32	47.63	4.65	22.87	1.76	3.22
11.43	108.37	9.22	79.04	7.08	48.03	4.53	20.32	1.11	1.22
10.59	100.76	8.44	61.76	6.87	36.85	3.24	9.06	0.99	1.10
10.21	98.32	8.07	60.54	5.23	25.65	2.55	6.23	0.72	0.53

Требуется выяснить - какая из функций - линейная

---

, квадратичная или экспоненциальная наилучшим образом аппроксимирует функцию заданную таблицей 1.

Решение.

Поскольку в данном примере каждая пара значений встречается один раз, то между и существует функциональная зависимость.

Для проведения расчетов данные целесообразно расположить в виде таблицы 2, используя средства табличного процессора Microsoft Excel.

Таблица 2

Р
асчет сумм.
Поясним как таблица 2 составляется.
Шаг 1. В ячейки A2:A26 заносим значения .

Шаг 2. В ячейки B2:B26 заносим значения .

Шаг 3. В ячейку C2 вводим формулу =A2^2.

Шаг 4. В ячейки C3:C26 эта формула копируется.

Шаг 5. В ячейку D2 вводим формулу =A2*B2.

Шаг 6. В ячейки D3:D26 эта формула копируется.

Шаг 7. В ячейку F2 вводим формулу =A2^4.

Шаг 8. В ячейки F3:F26 эта формула копируется.

Шаг 9. В ячейку G2 вводим формулу =A2^2*B2.

Шаг 10. В ячейки G3:G26 эта формула копируется.

Шаг 11. В ячейку H2 вводим формулу =LN(B2).

Шаг 12. В ячейки H3:H26 эта формула копируется.

Шаг 13. В ячейку I2 вводим формулу =A2*LN(B2).

Шаг 14. В ячейки I3:I26 эта формула копируется.
Последующие шаги делаем с помощью автосуммирования .
Шаг 15. В ячейку A27 вводим формулу =СУММ(A2:A26).

Шаг 16. В ячейку B27 вводим формулу =СУММ(B2:B26).

Шаг 17. В ячейку C27 вводим формулу =СУММ(C2:C26).

Шаг 18. В ячейку D27 вводим формулу =СУММ(D2:D26).

Шаг 19. В ячейку E27 вводим формулу =СУММ(E2:E26).

Шаг 20. В ячейку F27 вводим формулу =СУММ(F2:F26).

Шаг 21. В ячейку G27 вводим формулу =СУММ(G2:G26).

Шаг 22. В ячейку H27 вводим формулу =СУММ(H2:H26).

Шаг 23. В ячейку I27 вводим формулу =СУММ(I2:I26).

Аппроксимируем функцию линейной функцией . Для определения коэффициентов и

---

воспользуемся системой



Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A27, B27, C27 и D27, запишем систему в виде



решив которую, получим и .

Таким образом, линейная аппроксимация имеет вид .

Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результаты представлены в таблице 3.


Таблица 3

Результаты коэффициентов линейной аппроксимации.

В таблице 3 в ячейках A37:B38 записана формула {=МОБР(A33:B34)}.

В ячейках D37:D38 записана формула {=МУМНОЖ(A37:B38;C33:C34)}.
Далее аппроксимируем функцию квадратичной функцией . Для определения коэффициентов , и воспользуемся системой



Используя итоговые суммы таблицы 2,

расположенные в ячейках A27, B27, C27, D27, E27, F27 и G27 запишем систему в виде



решив которую, получим , и .

Таким образом, квадратичная аппроксимация имеет вид

---

.

Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результаты представлены в таблице 4.

Т
аблица 4

Результаты коэффициентов квадратичной аппроксимации.
В таблице 4 в ячейках E38:G40 записана формула {=МОБР(E33:G35)}.

В ячейках I38:I40 записана формула {=МУМНОЖ(E38:G40;H33:H35)}.

Теперь аппроксимируем функцию экспоненциальной функцией . Для определения коэффициентов и прологарифмируем значения и используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A27, C27, H27 и I27 получим систему



где .

Решив систему, найдем , .

После потенцирования получим .

Таким образом, экспоненциальная аппроксимация имеет вид

.

Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результаты представлены в таблице 5.

Таблица 5

Р
езультаты коэффициентов экспоненциальной аппроксимации.
В таблице 5 в ячейках D45:E46 записана формула {=МОБР(D42:943)}.

В ячейках G45:G46 записана формула {=МУМНОЖ(D45:E46;F42:F43)}.

В ячейке G47 записана формула =EXP(G45).
Вычислим среднее арифметическое и

---