Файл: Макро и микромоделирование глава 4 Метод конечных элементов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.01.2024
Просмотров: 85
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
, соответствующих четырем узлам элемента.
Пробная функция
U
ˆ
может быть получена отбрасыванием двух членов из полного полинома 2-го порядка, который содержит шесть членов. От- брасывание симметричной пары
2 2
, y
x
с целью сохранения геометрической изотропии дает простую пробную функцию
xy
y
x
U
4 3
2 1
ˆ
,
(4.83) которая линейно меняется вдоль границы элемента. Здесь
1
-
4 явля- ются обобщенными координатами элемента. Поочередно используя (4.83) для четырех узлов, получим следующие уравнения:
4 4
4 4
3 4
2 1
1 3
3 4
3 3
3 2
1 3
2 2
4 2
3 2
2 1
2 1
1 4
1 3
1 2
1 1
y
x
y
x
U
y
x
y
x
U
y
x
y
x
U
y
x
y
x
U
(4.84)
В матричном обозначении система (4.84) может быть записана как
144
A
U
e
,
(4.85) где
T
e
U
U
U
U
U
4 3
2 1
- узловой вектор элемента
4 4
4 4
3 3
3 3
2 2
2 2
1 1
1 1
1 1
1 1
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
A
(4.86)
T
4 3
2 1
Равенство (4.83) позволяет записать
x
U
ˆ
,
(4.87) где
xy
y
x
x
1
Матрица [A] может быть обращена, если ее определитель отличен от нуля. Можно показать, что
2
det
A
,
(4.88) где
- площадь прямоугольника. Следовательно, det Aне равен нулю, если матрица [А] не вырождена. Обращая [ А ], получим
e
U
A
1
(4.89)
Подставляя (4.89) в (4.87), получим равенство
e
U
A
x
U
1
ˆ
,
(4.90) которое переписано в виде
e
U
N
U
ˆ
,
(4.91)
145 где матрица формы [N] есть
1
A
x
N
(4.92)
Описанная процедура может быть записана и в терминах локальной си- стемы - координат 0
, где например 0 совпадает c узлом - I, а оси
и
параллельны осям X и Y(рисунок 4.8). Последующие действия упрощают- ся благодаря обозначениям
,
2 3
1 4
4 3
1 2
y
y
y
y
b
x
x
x
x
a
(4.93)
Для лагранжевых элементов с известной в явном виде формой аппрок- симирующего полинома базисные функции в принципе всегда могут быть вычислены согласно описанной процедуре. В случае больших алгебраиче- ских выражений можно прибегнуть к численному расчету базисных функ- ций. Для эрмитовых элементов приведенный подход требует модифика- ций.
4.6.2 Получение базисных функций интерполяцией
Рассмотрим тот же элемент, но представим, что пробная функция, за- данная равенством (4.83), неизвестна. Однако связь базисной функции с пробной Uˆ всегда известна
e
e
U
U
U
U
N
N
N
N
U
N
U
4 3
2 1
4 3
2 1
]
[
}
]{
[
ˆ
(4.94)
Базисная функция должна иметь значение I в узле K и нулевое значе- ние во всех других узлах; при этом Uˆ сводится к
k
U
, когда уравнение
(4.94) рассматривается в узле K. Как показано будет ниже, применение этих свойств позволяет использовать интерполяционные формулы для по- лучения базисной функции.
146 4.6.3 Лагранжевые элементы
Рассмотрим аппроксимацию функции U(x) полином n-го порядка, где значение U(x) заданы как U
1
,...,U
R+1
в (R+1) точках X
1
,....,X
R+1
Из численного анализа известно, что функция U(X) может быть запи- сана как полином n-го порядка
1 1
)
(
)
(
R
i
i
i
U
x
L
x
U
,
(4.95) где L
i
(X) полином Лагранжа, определяемый равенством
1
,
1
)
(
R
i
j
i
j
i
j
i
x
x
x
x
x
L
(4.96)
Следует отметить, что так называемые базовые точки X
1
,…,X
R+1
не обязательно расположены равномерно, хотя это часто бывает удобным.
Использование равенств (4.95) и (4.96) по стороне 1-2 прямоугольника
е позволяет определить
U
ˆ
на этой стороне
2 2
1 1
2 1
)
(
)
(
ˆ
U
x
L
U
x
L
U
,
(4.97) где
2 1
2 1
x
x
x
x
L
,
1 2
1 2
x
x
x
x
L
(4.98)
Аналогично для строки 4-3 получим
4 2
3 1
3 4
)
(
)
(
ˆ
U
x
L
U
x
L
U
,
(4.99) где L
1
(x) и L
2
(x) - определены равенством (4.98).
Представление типа (4.97) и (4.99) используется при постоянных (y=y
1
и y=y
4
). Снова может быть применена интерполяционная формула Ла- гранжа, на этот раз в направлении оси у
147 3
4 2
2 1
1
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
U
y
L
U
y
L
U
,
(4.100)
4 1
4 1
y
y
y
y
L
,
1 4
1 2
y
y
y
y
L
(4.101)
Подстановка равенств (4.97) и (4.99) в (4.100) позволяет окончательно записать пробную функцию
U
ˆ
элемента е в виде:
4 2
2 3
2 1
2 1
2 1
1 1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ˆ
U
y
L
x
L
U
y
L
x
L
U
y
L
x
L
U
y
L
x
L
U
(4.102)
Рисунок 4.8 - Четырехугольный элемент
Сравнивая выражение (4.102) и (4.94), получим базисные функции в виде
),
(
)
(
),
(
)
(
2 1
3 1
1 1
y
L
x
L
N
y
L
x
L
N
).
(
)
(
),
(
)
(
2 2
4 1
2 2
y
L
x
L
N
y
L
x
L
N
(4.103)
Можно показать, что базисные функции, полученные подстановкой ра- венств (4.98) и (4.101) в (4.103), идентичны базисным функциям, следую- щим из (4.91), что свидетельствует об эквивалентности обоих подходов.
Проверка этого факта предоставляется вам в качестве упражнения.
h
ξ
0
1
4
3
2
148 4.6.4 Эрмитовые элементы
Базисные функции для эрмитовых элементов могут быть получены аналогичным образом, но с использованием эрмитовых полиномов вместо полиномов Лагранжа. При этом узловой вектор будет включать не только узловые значения функции, но и ее производные.
Для иллюстрации рассмотрим одномерный элемент е с sузлами, при- чем узлы не обязательно расположены равномерно. Пусть у каждого узла имеются две степени свободы - функция U и ее производная
x
U
. Сле- довательно, пробная функция для элемента e может быть записана в виде
S
i
i
i
i
i
x
U
x
N
U
x
N
U
1 1
0
)
(
)
(
ˆ
(4.111)
У базисной функции в равенстве (4.111) первый индекс обозначает по- рядок дифференцирования соответствующей узловой переменной, а вто- рой - номер узла.
Для того, чтобы (4.111) в узле k: U давало U
k и
x
U
k
, функции
)
(
0
x
N
i
и
)
(
1
x
N
i
должны (i
j) удовлетворять соотношениям
,
0
)
(
,
0
)
(
,
0
)
(
,
)
(
0 0
0 0
xj
N
xj
N
x
N
I
x
N
i
i
i
i
i
i
0
)
(
,
0
)
(
,
)
(
,
0
)
(
1 1
1 1
xj
N
xj
N
I
x
N
x
N
i
i
i
i
i
i
(4.112)
Равенствам (4.112) удовлетворяют эрмитовы полиномы
S
i
j
j
S
i
j
j
j
i
j
j
i
j
i
x
x
x
x
x
x
x
x
N
,
1
,
1 2
2 0
2 1
)
(
)
(
,
(4.113)
149
S
i
j
j
i
j
i
j
i
x
x
x
x
x
x
N
,
1 2
2 1
)
(
)
(
,
(4.114)
Рассмотрим случай S=2. Равенство (4.111) при этом примет вид
x
U
x
N
U
x
N
x
U
x
N
U
x
N
U
2 12 2
02 1
11 1
01
)
(
)
(
)
(
)
(
ˆ
,
(4.115) где базисные функции
),
(
)
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
,
2 1
)
(
)
(
)
(
,
2 1
)
(
)
(
)
(
2 2
1 2
2 1
12 1
2 1
2 2
2 11 1
2 2
2 1
2 2
1 02 1
2 1
2 1
2 2
2 01
x
x
x
x
x
x
x
N
x
x
x
x
x
x
x
N
x
x
x
x
x
x
x
x
x
N
x
x
x
x
x
x
x
x
x
N
,
(4.116) полученные из (4.113), (4.114) и (4.115). В случае использования локаль- ных координат
=(x-x
1
)/L, где L=x
2
-x
1
, равенство (4.115) и (4.116) прини- мают вид
x
U
N
U
N
x
U
N
U
N
U
2 12 02 1
11 01
)
(
)
(
)
(
)
(
ˆ
,
(4.117) где
;
)
1
(
)
(
;
2 3
1
)
(
2 11 3
2 01
L
N
N
).
(
)
(
;
2 3
)
(
2 3
12 3
2 02
L
N
N
,
(4.118)
Узловые производные
x
U
1
и
x
U
2
могут быть заменены
1
U
и
2
U
ра- венствами
150
L
x
1
,
(4.119)
Описанная процедура обобщена включением дополнительно к функци- ям и ее первым производным также производных от U более высокого по- рядка. Для двумерных элементов интерполяция применяется дважды: пер- вая - в направленииоси Xи вторая -в направлении оси Y , что дает базис- ные функции в виде произведения одномерных базисных функций.
4.6.5 Естественные координаты
Когда используется произвольная глобальная система координат, зна- чения узловых координат ограничены только границами области. Было бы полезным упрощением, если бы экстремальные значения этих координат принимали значение - 1,0 или 1. Этого можно достичь выбором локальной системы координат, привязанной к элементу так, чтобы координаты меня- лись линейно между нормированными узловыми координатами. Система координат такого типа называется системой естественных координат.
Преимущество естественных координат состоит в том, что интегриро- вание по элементу для МКЭ зачастую проводится в стандартном аналити- ческом виде.
В качестве примера рассмотрим естественные координаты в одномер- ном случае (рисунок 4.9). Вводя локальную систему координат
1
O
, с нача- лом в X
1
и с осью ξ
1
, направленной вдоль оси Х, получим систему есте- ственных координат.
Рисунок 4.9 - Одномерный элемент
Û
x
0
1
x
1
x
2
е
151
Преимущество естественных координат состоит в том, что интегриро- вание по элементу для МКЭ зачастую проводится в стандартном аналити- ческом виде.
В качестве примера рассмотрим естественные координаты в одномер- ном случае (рисунок 4.9). Вводя локальную систему координат
1
О
, с началом в X
1
и с осью ξ
1
, направленной, вдоль оси X, получим
1 1
x
x
(4.120) или, разделив на длину элемента (x
2
-x
1
),
1 2
1
x
x
x
x
(4.121)
Черта сверху используется для нормированной координаты Если вы- брана локальная система
2
О
с началом в осях, то получим
1 2
2 2
x
x
x
x
(4.122)
Из равенства (4.121) можно заметить, что ξ
1
=0 при x=x
1
и
1
=1 при x=x
2
. Аналогично из (4.122) следует, что
2
=1 при x=x
1
и
2
=0 при x=x
2
Легко удостовериться, что
1
и
2
совпадают с L
2
(X)и L
1
(X) - полиномами
Лагранжа, ранее определенными. Отметим, что обе координаты изменяют- ся линейно и независимой является одна из координат
1
)
(
)
(
2 2
2 1
x
L
x
L
,
(4.123) которая легко доказывается.
Таким образом, естественные координаты
1
и
2
или L2 и L1, являют- ся функциями независимой переменной x узловых координат x1 и x2 при- нимают значения 1 в одном узле и 0 - в другом. Поэтому аппроксимацией для
Uˆ
на элементе е будет
152 2
1 1
2
ˆ
U
U
U
(4.124) или
2 2
1 1
)
(
)
(
ˆ
U
x
L
U
x
L
U
(4.125)
Сравнение показывает, что пробная функция
),
(
1 1
x
L
N
)
(
2 2
x
L
N
(4.126)
Для рассмотрения элемента можно показать, что пробная функция
x
U
2 1
ˆ
(4.127) дает те же базисные функции, что и в уравнении (4.126); хотя оба мето- да довольно просты, интерполяционный метод обычно более выгоднее для элементов более сложного вида.
Обычно элементные вклады в функционал могут быть выражены инте- гралами вида
e
e
h
b
a
b
a
dx
x
L
x
L
)!
1
(
!
!
)
(
)
(
3 2
0 1
,
(4.128) где h e
- длина элемента, a и b - целочисленные показатели. Естественные координаты имеют место в дву- и трехмерных случаях.
4.6.6 Семейства конечных элементов
Одномерные элементы. Можно ограничиться элементами, рассмотрен- ными нами ранее, - линейными и квадратичными (рисунок 4.10).
153
1 2
1 2
3
Рисунок1.12
Рисунок 4.10 - Одномерные элементы
Двумерные элементы. Наиболее простыми являются треугольные эле- менты. Следующий возможный тип, который широко распространен,- это прямоугольные или в общем случае, четырехугольные элементы.
Лагранжевые семейства треугольных элементов. Эти элементы могут быть сформулированы просто выбором достаточного числа узлов, обеспе- чивающих единственное решение для коэффициентов выбранной полино- миальной пробной функции. Полный полином порядка n содержит
)
2
)(
1
(
2 1
n
n
S
коэффициентов: S-узловой лагранжевый элемент, осно- ванный на этом полиноме, должен содержать такое же число узлов.
)
2
)(
1
(
2 1
n
n
S
(4.129)
Все эти элементы характеризуются непрерывностью пробных функций при переходе через границу между элементами, и, следовательно, по всей области, где решается задача.
В таблице 4.1 приведены основные типы треугольных конечных эле- ментов.
Эрмитовые семейства треугольных элементов приведены в таблице 4.2.
Термин “связанный” в таблице 4.2 означает следующее: связанный поли- ном - это полный полином, коэффициенты которого подчиняются одному или нескольким уравнениям связи.
Пробная функция
U
ˆ
может быть получена отбрасыванием двух членов из полного полинома 2-го порядка, который содержит шесть членов. От- брасывание симметричной пары
2 2
, y
x
с целью сохранения геометрической изотропии дает простую пробную функцию
xy
y
x
U
4 3
2 1
ˆ
,
(4.83) которая линейно меняется вдоль границы элемента. Здесь
1
-
4 явля- ются обобщенными координатами элемента. Поочередно используя (4.83) для четырех узлов, получим следующие уравнения:
4 4
4 4
3 4
2 1
1 3
3 4
3 3
3 2
1 3
2 2
4 2
3 2
2 1
2 1
1 4
1 3
1 2
1 1
y
x
y
x
U
y
x
y
x
U
y
x
y
x
U
y
x
y
x
U
(4.84)
В матричном обозначении система (4.84) может быть записана как
144
A
U
e
,
(4.85) где
T
e
U
U
U
U
U
4 3
2 1
- узловой вектор элемента
4 4
4 4
3 3
3 3
2 2
2 2
1 1
1 1
1 1
1 1
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
A
(4.86)
T
4 3
2 1
Равенство (4.83) позволяет записать
x
U
ˆ
,
(4.87) где
xy
y
x
x
1
Матрица [A] может быть обращена, если ее определитель отличен от нуля. Можно показать, что
2
det
A
,
(4.88) где
- площадь прямоугольника. Следовательно, det Aне равен нулю, если матрица [А] не вырождена. Обращая [ А ], получим
e
U
A
1
(4.89)
Подставляя (4.89) в (4.87), получим равенство
e
U
A
x
U
1
ˆ
,
(4.90) которое переписано в виде
e
U
N
U
ˆ
,
(4.91)
145 где матрица формы [N] есть
1
A
x
N
(4.92)
Описанная процедура может быть записана и в терминах локальной си- стемы - координат 0
, где например 0 совпадает c узлом - I, а оси
и
параллельны осям X и Y(рисунок 4.8). Последующие действия упрощают- ся благодаря обозначениям
,
2 3
1 4
4 3
1 2
y
y
y
y
b
x
x
x
x
a
(4.93)
Для лагранжевых элементов с известной в явном виде формой аппрок- симирующего полинома базисные функции в принципе всегда могут быть вычислены согласно описанной процедуре. В случае больших алгебраиче- ских выражений можно прибегнуть к численному расчету базисных функ- ций. Для эрмитовых элементов приведенный подход требует модифика- ций.
4.6.2 Получение базисных функций интерполяцией
Рассмотрим тот же элемент, но представим, что пробная функция, за- данная равенством (4.83), неизвестна. Однако связь базисной функции с пробной Uˆ всегда известна
e
e
U
U
U
U
N
N
N
N
U
N
U
4 3
2 1
4 3
2 1
]
[
}
]{
[
ˆ
(4.94)
Базисная функция должна иметь значение I в узле K и нулевое значе- ние во всех других узлах; при этом Uˆ сводится к
k
U
, когда уравнение
(4.94) рассматривается в узле K. Как показано будет ниже, применение этих свойств позволяет использовать интерполяционные формулы для по- лучения базисной функции.
146 4.6.3 Лагранжевые элементы
Рассмотрим аппроксимацию функции U(x) полином n-го порядка, где значение U(x) заданы как U
1
,...,U
R+1
в (R+1) точках X
1
,....,X
R+1
Из численного анализа известно, что функция U(X) может быть запи- сана как полином n-го порядка
1 1
)
(
)
(
R
i
i
i
U
x
L
x
U
,
(4.95) где L
i
(X) полином Лагранжа, определяемый равенством
1
,
1
)
(
R
i
j
i
j
i
j
i
x
x
x
x
x
L
(4.96)
Следует отметить, что так называемые базовые точки X
1
,…,X
R+1
не обязательно расположены равномерно, хотя это часто бывает удобным.
Использование равенств (4.95) и (4.96) по стороне 1-2 прямоугольника
е позволяет определить
U
ˆ
на этой стороне
2 2
1 1
2 1
)
(
)
(
ˆ
U
x
L
U
x
L
U
,
(4.97) где
2 1
2 1
x
x
x
x
L
,
1 2
1 2
x
x
x
x
L
(4.98)
Аналогично для строки 4-3 получим
4 2
3 1
3 4
)
(
)
(
ˆ
U
x
L
U
x
L
U
,
(4.99) где L
1
(x) и L
2
(x) - определены равенством (4.98).
Представление типа (4.97) и (4.99) используется при постоянных (y=y
1
и y=y
4
). Снова может быть применена интерполяционная формула Ла- гранжа, на этот раз в направлении оси у
147 3
4 2
2 1
1
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
U
y
L
U
y
L
U
,
(4.100)
4 1
4 1
y
y
y
y
L
,
1 4
1 2
y
y
y
y
L
(4.101)
Подстановка равенств (4.97) и (4.99) в (4.100) позволяет окончательно записать пробную функцию
U
ˆ
элемента е в виде:
4 2
2 3
2 1
2 1
2 1
1 1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ˆ
U
y
L
x
L
U
y
L
x
L
U
y
L
x
L
U
y
L
x
L
U
(4.102)
Рисунок 4.8 - Четырехугольный элемент
Сравнивая выражение (4.102) и (4.94), получим базисные функции в виде
),
(
)
(
),
(
)
(
2 1
3 1
1 1
y
L
x
L
N
y
L
x
L
N
).
(
)
(
),
(
)
(
2 2
4 1
2 2
y
L
x
L
N
y
L
x
L
N
(4.103)
Можно показать, что базисные функции, полученные подстановкой ра- венств (4.98) и (4.101) в (4.103), идентичны базисным функциям, следую- щим из (4.91), что свидетельствует об эквивалентности обоих подходов.
Проверка этого факта предоставляется вам в качестве упражнения.
h
ξ
0
1
4
3
2
148 4.6.4 Эрмитовые элементы
Базисные функции для эрмитовых элементов могут быть получены аналогичным образом, но с использованием эрмитовых полиномов вместо полиномов Лагранжа. При этом узловой вектор будет включать не только узловые значения функции, но и ее производные.
Для иллюстрации рассмотрим одномерный элемент е с sузлами, при- чем узлы не обязательно расположены равномерно. Пусть у каждого узла имеются две степени свободы - функция U и ее производная
x
U
. Сле- довательно, пробная функция для элемента e может быть записана в виде
S
i
i
i
i
i
x
U
x
N
U
x
N
U
1 1
0
)
(
)
(
ˆ
(4.111)
У базисной функции в равенстве (4.111) первый индекс обозначает по- рядок дифференцирования соответствующей узловой переменной, а вто- рой - номер узла.
Для того, чтобы (4.111) в узле k: U давало U
k и
x
U
k
, функции
)
(
0
x
N
i
и
)
(
1
x
N
i
должны (i
j) удовлетворять соотношениям
,
0
)
(
,
0
)
(
,
0
)
(
,
)
(
0 0
0 0
xj
N
xj
N
x
N
I
x
N
i
i
i
i
i
i
0
)
(
,
0
)
(
,
)
(
,
0
)
(
1 1
1 1
xj
N
xj
N
I
x
N
x
N
i
i
i
i
i
i
(4.112)
Равенствам (4.112) удовлетворяют эрмитовы полиномы
S
i
j
j
S
i
j
j
j
i
j
j
i
j
i
x
x
x
x
x
x
x
x
N
,
1
,
1 2
2 0
2 1
)
(
)
(
,
(4.113)
149
S
i
j
j
i
j
i
j
i
x
x
x
x
x
x
N
,
1 2
2 1
)
(
)
(
,
(4.114)
Рассмотрим случай S=2. Равенство (4.111) при этом примет вид
x
U
x
N
U
x
N
x
U
x
N
U
x
N
U
2 12 2
02 1
11 1
01
)
(
)
(
)
(
)
(
ˆ
,
(4.115) где базисные функции
),
(
)
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
,
2 1
)
(
)
(
)
(
,
2 1
)
(
)
(
)
(
2 2
1 2
2 1
12 1
2 1
2 2
2 11 1
2 2
2 1
2 2
1 02 1
2 1
2 1
2 2
2 01
x
x
x
x
x
x
x
N
x
x
x
x
x
x
x
N
x
x
x
x
x
x
x
x
x
N
x
x
x
x
x
x
x
x
x
N
,
(4.116) полученные из (4.113), (4.114) и (4.115). В случае использования локаль- ных координат
=(x-x
1
)/L, где L=x
2
-x
1
, равенство (4.115) и (4.116) прини- мают вид
x
U
N
U
N
x
U
N
U
N
U
2 12 02 1
11 01
)
(
)
(
)
(
)
(
ˆ
,
(4.117) где
;
)
1
(
)
(
;
2 3
1
)
(
2 11 3
2 01
L
N
N
).
(
)
(
;
2 3
)
(
2 3
12 3
2 02
L
N
N
,
(4.118)
Узловые производные
x
U
1
и
x
U
2
могут быть заменены
1
U
и
2
U
ра- венствами
150
L
x
1
,
(4.119)
Описанная процедура обобщена включением дополнительно к функци- ям и ее первым производным также производных от U более высокого по- рядка. Для двумерных элементов интерполяция применяется дважды: пер- вая - в направленииоси Xи вторая -в направлении оси Y , что дает базис- ные функции в виде произведения одномерных базисных функций.
4.6.5 Естественные координаты
Когда используется произвольная глобальная система координат, зна- чения узловых координат ограничены только границами области. Было бы полезным упрощением, если бы экстремальные значения этих координат принимали значение - 1,0 или 1. Этого можно достичь выбором локальной системы координат, привязанной к элементу так, чтобы координаты меня- лись линейно между нормированными узловыми координатами. Система координат такого типа называется системой естественных координат.
Преимущество естественных координат состоит в том, что интегриро- вание по элементу для МКЭ зачастую проводится в стандартном аналити- ческом виде.
В качестве примера рассмотрим естественные координаты в одномер- ном случае (рисунок 4.9). Вводя локальную систему координат
1
O
, с нача- лом в X
1
и с осью ξ
1
, направленной вдоль оси Х, получим систему есте- ственных координат.
Рисунок 4.9 - Одномерный элемент
Û
x
0
1
x
1
x
2
е
151
Преимущество естественных координат состоит в том, что интегриро- вание по элементу для МКЭ зачастую проводится в стандартном аналити- ческом виде.
В качестве примера рассмотрим естественные координаты в одномер- ном случае (рисунок 4.9). Вводя локальную систему координат
1
О
, с началом в X
1
и с осью ξ
1
, направленной, вдоль оси X, получим
1 1
x
x
(4.120) или, разделив на длину элемента (x
2
-x
1
),
1 2
1
x
x
x
x
(4.121)
Черта сверху используется для нормированной координаты Если вы- брана локальная система
2
О
с началом в осях, то получим
1 2
2 2
x
x
x
x
(4.122)
Из равенства (4.121) можно заметить, что ξ
1
=0 при x=x
1
и
1
=1 при x=x
2
. Аналогично из (4.122) следует, что
2
=1 при x=x
1
и
2
=0 при x=x
2
Легко удостовериться, что
1
и
2
совпадают с L
2
(X)и L
1
(X) - полиномами
Лагранжа, ранее определенными. Отметим, что обе координаты изменяют- ся линейно и независимой является одна из координат
1
)
(
)
(
2 2
2 1
x
L
x
L
,
(4.123) которая легко доказывается.
Таким образом, естественные координаты
1
и
2
или L2 и L1, являют- ся функциями независимой переменной x узловых координат x1 и x2 при- нимают значения 1 в одном узле и 0 - в другом. Поэтому аппроксимацией для
Uˆ
на элементе е будет
152 2
1 1
2
ˆ
U
U
U
(4.124) или
2 2
1 1
)
(
)
(
ˆ
U
x
L
U
x
L
U
(4.125)
Сравнение показывает, что пробная функция
),
(
1 1
x
L
N
)
(
2 2
x
L
N
(4.126)
Для рассмотрения элемента можно показать, что пробная функция
x
U
2 1
ˆ
(4.127) дает те же базисные функции, что и в уравнении (4.126); хотя оба мето- да довольно просты, интерполяционный метод обычно более выгоднее для элементов более сложного вида.
Обычно элементные вклады в функционал могут быть выражены инте- гралами вида
e
e
h
b
a
b
a
dx
x
L
x
L
)!
1
(
!
!
)
(
)
(
3 2
0 1
,
(4.128) где h e
- длина элемента, a и b - целочисленные показатели. Естественные координаты имеют место в дву- и трехмерных случаях.
4.6.6 Семейства конечных элементов
Одномерные элементы. Можно ограничиться элементами, рассмотрен- ными нами ранее, - линейными и квадратичными (рисунок 4.10).
153
1 2
1 2
3
Рисунок1.12
Рисунок 4.10 - Одномерные элементы
Двумерные элементы. Наиболее простыми являются треугольные эле- менты. Следующий возможный тип, который широко распространен,- это прямоугольные или в общем случае, четырехугольные элементы.
Лагранжевые семейства треугольных элементов. Эти элементы могут быть сформулированы просто выбором достаточного числа узлов, обеспе- чивающих единственное решение для коэффициентов выбранной полино- миальной пробной функции. Полный полином порядка n содержит
)
2
)(
1
(
2 1
n
n
S
коэффициентов: S-узловой лагранжевый элемент, осно- ванный на этом полиноме, должен содержать такое же число узлов.
)
2
)(
1
(
2 1
n
n
S
(4.129)
Все эти элементы характеризуются непрерывностью пробных функций при переходе через границу между элементами, и, следовательно, по всей области, где решается задача.
В таблице 4.1 приведены основные типы треугольных конечных эле- ментов.
Эрмитовые семейства треугольных элементов приведены в таблице 4.2.
Термин “связанный” в таблице 4.2 означает следующее: связанный поли- ном - это полный полином, коэффициенты которого подчиняются одному или нескольким уравнениям связи.