Файл: Макро и микромоделирование глава 4 Метод конечных элементов.pdf

154
Таблица 4.1 - Основные типы треугольных конечных элементов.
Элементы
Тип
Порядок полинома
Число членов пробной функций
Линейный
1 3
Квадратичный
2 6
Кубичный
3 10
Четвертой сте- пени
4 15
Пятой степени
5 21

155
Таблица 4.2 - Эрмитовые семейства треугольных элементов
Элементы
Полином Количе- ство степеней свободы
Узловой параметр
Узловой вектор
Непре- рывные
Квадра- тичный
6
U
n
U


U
Кубиче- ский
12 y
U
x
U
U




n
U


n
U
U


U несо- гла сован- ное
Связан- ный
Кубиче- ский
9 y
U
x
U
U




x
U
U


U согла- сован- ное
Четвер- той
Степени
15 y
U
x
U
U




n
U
U


U
Четырехугольные и прямоугольные элементы. Прямоугольные элемен- ты сами по себе не очень удобны в применении к нерегулярным границам, но очень часто используются совместно с широко распространенными треугольными элементами.
Они подразделяются на Лагранжевые прямоугольные элементы

156




n
i
m
j
ij
ij
U
N
U
1 1
ˆ
,
(4.130) где
)
(
)
(
y
L
x
L
N
n
i
m
j
ij

Первый элемент- билинейный КЭ - наиболее популярный (таблица 4.3).
Таблица 4.3 - Сирендиповы элементы
Элементы
Тип
Число узлов
Линейный
4
Квадратичный
8
Кубический
12
Для определения базисных функций используются следующие непол- ные полиномиальные функции:




















3 7
2 6
5 2
4 3
2 1
2 8
2 7
2 6
5 2
4 3
2 1
4 3
2 1
ˆ
,
ˆ
,
ˆ




































U
U
U
(4.131)
3 12 3
11 3
10 2
9 2
8

















В этих уравнениях из полного полинома для сохранения геометриче- ской изотропии опущены симметричные пары членов.
Эрмитовы элементы. Параметрами в этих элементах являются значения
y
x
U
y
U
x
U
U







2
,
,
,

157
На рисунке 4.8 представлен эрмитов прямоугольный элемент первого порядка. Пробная функция является неполным полиномом шестого поряд- ка.
Трехмерные элементы. Трехмерные задачи обусловливают большое число степеней свободы. Даже с умеренным числом элементов система может иметь несколько тысяч неизвестных. Поэтому неудивительно, что трехмерные конструкции, даже типа оболочек, которые используются в летательных аппаратах, автомобилях и кораблях, могут содержать десятки тысяч неизвестных.
Далее выгоднее выбирать элементы с узловыми параметрами в верши- нах.
Лагранжевы элементы (рисунок 4.11).
Рисунок 4.11 - Лагранжевы элементы
Эрмитовые элементы (рисунок 4.12).







z
U
y
U
x
U
U
,
,
,
16 степеней свободы
Рисунок 4.12 - Эрмитовые элементы

158
Шестигранные элементы (рисунок 4.13)
Их часто называют "кирпичиками". Большая часть их принадлежит к
Лагранжеву и Сирендипову семейству.
Рисунок 4.13 - Шестигранные элементы
Изопараметрические элементы. При расчете областей, имеющих кри- волинейные границы, для удовлетворительного геометрического пред- ставления этих границ необходимо использовать большое количество гра- ничных элементов с прямыми гранями. Если используются криволинейные элементы то число необходимых элементов может быть заметно сокраще- но и в результате уменьшится общее число переменных в системе. Осо- бенно это может быть полезным для трехмерных задач.
Широко используемый на практике метод основывается на отображе- нии регулярных (прямореберных) элементов. Если известны базисные функции для регулярного порождающего элемента в локальной системе координат, то можно определить и порожденный криволинейный элемент.
Как было показано Айронсом и Зенкевичем, отображение из локальной си- стемы координат ξηζ в декартову XYZ осуществляется посредством соот- ношений
}.
]{
[
},
]{
[
},
]{
[
z
N
z
y
N
y
x
N
x
m
m
m



(4.132)
Элементы в уравнениях (4.132), которые входят в матрицу базисных функций [T], являются функциями от ξ, η, ζ,, а столбцы {X},{Y},{Z}
обра- зуют список значений узловых (естественных) координат по отношению к

159 глобальной системе. В локальной системе координат пробная функция может быть записана в виде
}
]{
[
ˆ
U
N
U

,
(4.133) где элементы [N] зависят от ξ, η, ζ,.
Для любой точки с координатами ξ η ζ, по уравнению могут быть полу- чены соответствующие точки в Х, У, Z (рисунок 4.16).
Значение пробной функции в точке (X, У, Z) совпадает со значением функции в соответствующей точке (ξ, η, ζ,) и его можно вычислить с по- мощью уравнения (4.133).
Удобно выбирать матрицы базисных функций [N
m
] и [N]одинакового вида. В этом случае порожденный элемент называется изопараметриче- ским. Если [N
m
] имеет меньший порядок, чем [N], то полученный элемент называется субпараметрическим. Если наоборот, то суперпараметриче- ским.
Если в уравнениях (4.132) и (4.133) используют базисные функции, то двумерный прямоугольный отображается на произвольный четырехуголь- ник, а трехмерные кирпичики станут шестигранниками с плоскими, но не параллельными гранями. Для получения криволинейных элементов можно использовать отображения более высокого порядка, такие как квадратич- ные или кубичные.
Преобразования из локальных координат в глобальные осуществляется с использованиями матриц преобразования между [T]. Например, элемент- ная матрица [K]
e в системе глобальных координат записывается как
},
]{
[
}
{
],
[
]
[
]
[
]
[
U
T
U
T
K
T
K
L
e
L
T
e


(4.134) где
 
e
L
K
–элементная матрица в местной системе координат.

160 4.6.7 Выбор конечных элементов
Сформулируем несколько рекомендаций, помогающих выбору элемен- та.
1) Для пробной функции должны существовать все производные, появ- ляющиеся в функционале. Поэтому желательно применять элементы, ос- нованные на полном полиноме.
2) Для задач с регулярными границами обычно выбирают элементы простой геометрии, тогда как для криволинейных границ выбор более сложен (изопараметрический элемент ).
3) Следует в первую очередь выбирать элементы, у которых узловые параметры концентрируются в вершинах. Элементы с производными представляют интерес тогда, когда решение включает производные, по- скольку в этом случае нет необходимости вычислять их последующей ин- терполяцией.
4.7 МКЭ в задачах теории пластичности
Охватить все термопластические свойства, проявляющиеся при сварке, в рамках единой теории - задача трудно осуществимая [10,11]. Поэтому для ее решения при определении сварочных напряжений и деформаций использовались, как теория малых упругопластических деформаций [10], так и теория пластического течения [11]. Уравнения теории малых упруго- пластических деформаций устанавливают связь между напряжениями и деформациями, уравнения теории течения - между бесконечно малыми приращениями этих величин. Как известно, в случае простого нагружения обе теории дают одинаковый результат. Однако при сварке процесс нагру- жения изделия имеет сложный характер [10,11]. Поэтому дифференциаль- ная форма уравнений теории течения позволяет более полно отразить ис- торию нarpyжения тела.
Теория неизотермического пластического течения базируется на сле- дующих основных положениях [11].
1. Приращения полной деформации представляются в виде суммы

161
   
 
 
0




d
d
d
d
p
e



,
(4.135) где
 
e
d

- приращения упругой деформации,
 
0

d
- приращения терми- ческой деформацией.
2. Накопленная пластическая деформация
 
p

при активном нагруже- нии для любых напряженных состояний и постоянной температуры опре- деляется одной и той же функцией текучести
   


0
,
,
,




T
f
(4.136)
Здесь под
 

подразумевается текущий вектор напряжений,

- па- раметр упрочнения.
Функция текучести характеризует переход материала из упругого со- стояния в пластическое. В частности, при f<0 материал деформируется по упругому закону, при f=0 наступает состояние текучести. Принято, что со- стояниеf>0 не может быть реализовано.
При использовании критерия Губера-Мизеса функция текучести имеет вид
 
0



T
f
T


,
(4.137) где

- интенсивность напряжений,
)
(T
T

- мгновенный предел текуче- сти, заданный в виде билинейной функции.
В случае плоского напряженного состояния интенсивность напряжений вычисляется как
2 2
2 3
xy
y
y
x
x










,
(4.138) а в случае объемного напряженного состояния

 







2 2
2 2
2 2
3 2
zx
yz
xy
z
x
z
y
y
x



















(4.139)

162 3. В ассоциированном законе течения приращение вектора пластиче- ских деформаций
 
p
d

пропорционально вектору производных функций текучести по напряжениям:
 
 
a
f
d
p













,
(4.140) где

- некоторый неотрицательный скалярный множитель.
Соотношение (4.140) означает, что пластическое течение развивается по нормали к поверхности текучести.
Перейдем к выводу физического уравнения связи между приращения- ми напряжений и приращениями деформаций в неизотермической теории течения. Используя формулу (4.140), можно переписать соотношение
(4.135) в виде
 
 
 
 
 
   
a
d
dT
T
D
d
D
d













0 1
1
(4.142)
Умножим обе части этого равенства на величину
 
 
D
a
T
. В результате получим
 
 
       
   
 
 
 
   
 
 
0 1
a
D
a
d
D
a
dT
T
D
D
a
d
a
d
D
a
T
T
T
T
T













(4.143)
Для того чтобы найти величину
   

d
a
T
, продифференцируем условие текучести (4.137). Если при этом не учитывается деформационная анизо- тропия, считая
0

p
f



, то получим
 
0










dx
f
dT
T
f
d
f
df







(4.144)
Отсюда
   




A
dT
T
f
d
a
T



, где




d
f
A
1



163
Можно показать, что при изотропном упрочнении величина Aесть наклон кривой деформирования материала для текущего состояния, то есть
T
E
A

, где
T
E - тангенс угла наклона кривой деформирования в билиней- ном законе упрочнения.
Тогда равенство (4.137) с учетом этого выражения запишется в виде
 
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
0 1
a
D
a
d
D
a
A
dT
T
D
D
a
dT
T
f
d
D
a
T
T
T
T

















(4.145)
Отсюда находим выражение для определения

:
 
 
   
 
   
   
 
 
 
 
A
a
D
a
dT
T
f
dT
T
D
D
a
d
D
a
d
D
a
T
T
T














1 0
(4.146)
Когда элемент находится в пластической зоне, нагружение или раз- грузка его контролируется знаком множителя

. При соблюдении условии
(4.143) возможны следующие случаи: а)
0


- элемент находится в пластической зоне; б)
0


- элемент разгружается, находясь в пластическом состоянии.
Подставляя значение

в уравнение (4.142) и решая его относительно
 

d , имеем
 
 
 


   

  
dC
d
d
D
D
d
p




0



или
 
 
   

  
dC
d
d
D
d
ep



0



(4.147)
Матрица
 
ep
D
занимает место матрицы упругости, связывая прираще- ния напряжений и деформаций в упругопластической области. Она сим- метрична и имеет смысл независимо от того, равен ли нулю наклон кривой

164 деформирования (случай идеального упругопластического тела). Впервые эта матрица была введена в работе [6]:
 
   
  
 
 
 
 


A
a
D
a
D
a
a
D
D
D
T
T
ep



(4.148)
Вектор-столбец
 
dC
учитывает суммарное влияние изменения темпе- ратуры и параметров упругости и выглядит в виде
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dT
a
D
a
T
f
a
D
T
D
D
dC
T
ep














1
(4.149)
Таким образом, уравнение (4.141) выражает связь между приращения- ми напряжений и деформаций в неизотермической теории течения для идеального упругопластического материала с учетом зависимости от тем- пературы модуля упругости и предела текучести.
Аналогичное выражение для случая объемного напряженного состоя- ния выглядит следующим образом:
 
 
   


 
 
S
d
E
dE
E
dE
d
d
D
d
T
T
ep

















0
,
(4.150) где
 


 


;
;
T
zx
yz
xy
z
y
x
T
zx
yz
xy
z
y
x
S
d
d
d
d
d
d
d


















 
 




























2 2
2
'
'
'
2
'
'
'
'
'
2
'
'
'
'
'
'
'
2 1
zx
zx
yz
yz
zx
xy
yz
xy
xy
zx
z
yz
z
xy
z
z
zx
y
yz
y
xy
y
z
y
y
zx
x
yz
x
xy
x
z
x
y
x
x
ep
сим
Q
E
D
D





































;
(4.151)


A
Q
zx
yz
xy
z
y
x










2 2
2 2
2 2
2






;
(4.152)

165


0 0
0 0
;
;
;
3

























z
z
y
y
x
x
z
y
x
(4.153)
При разгрузке элементов, находящихся в пластической области, вели- чина

в уравнении (4.149) принимает отрицательное значение, то есть
0


. Тогда связь между приращениями напряжений и деформаций будет определяться не соотношением (4.150), а уравнением неизотермической теории упругости
 
 
   


 




E
dE
d
d
D
d



0
Отметим, что уравнение связи для трехмерной задачи (4.150) и для плоско-напряженного случая одинаково по структуре. Сравнивая выраже- ния для матриц упругости и упруго-пластичности, можно отметить, что диагональные элементы
 
ep
D
меньше соответствующих диагональных элементов
 
D . Это снижает жесткость или усилия сдвига, вызывающие текучесть. Следует особо отметить, что матрица
 
ep
D
учитывает сжимае- мость материала в упругой области и несжимаемость в пластической обла- сти.
Соотношения, полученные выше, между приращениями напряжений и приращениями деформаций справедливы только для бесконечно малых изменений этих величин.
Рассмотрим напряженное состояние точки тела после того, как тело получило приращение вектора перемещений
 
i


вследствие термической нагрузки (рисунок 4.14). Пусть до приращения точка находилась в поло- жении 1, имела накопленные значения интенсивности напряжений
1

i

и интенсивности деформаций
1

i

и находилась в упругом состоянии, а по- сле приращения нагрузки перешла в пластическую область. Значение функции текучести в начале шага меньше нуля:
 


0 1
1




i
i
f
f
