Файл: Макро и микромоделирование глава 4 Метод конечных элементов.pdf

166
e
r






r
1

i

1

i

i


1 0
2
t


e



Рисунок 4.14 - Перемещение 1-2 точки тела в процессе упругопластиче- ского деформирования при конечных шагах изменения нагрузки
Считая шаг упругим, подсчитываем напряжения в конце шага
   




 
   

  
,
0 1
C
D
i
e
e
i
i


















(4.154)
Естественно, в этом случае
 


0




i
i
f
f

, что является недопусти- мым состоянием. Определим коэффициент r , указывающий, какая часть приращения деформаций упругая. Зенкевичем О. [6] предложена итераци- онная схема для определения коэффициента r . В работе [11] предложен способ односторонней коррекции к поверхности текучести. Все эти спосо- бы требуют от одной до нескольких итераций, что увеличивает расход ма- шинного времени.
В данной работе предложена процедура определения коэффициента r без применения итерационных схем, который основан на критерии текуче- сти Мизеса
)
(T
f
T




(4.155)

167
Подобный подход описан в работе [10]. Однако он реализован при применении метода касательной жесткости.
Правильно подобранный коэффициент должен удовлетворять условию
 


0

c
f

,
(4.156) где
   


e
i
c
r







1
Подстановка значения вектора напряжений
 
c

, выраженного через коэффициент r, в соотношение (4.170) позволяет получить квадратное уравнение относительноr
0 2



C
Br
Ar
(4.157)
Решая уравнение (4.171) и отбрасывая отрицательный корень, получа- ем точное значение коэффициента r без итераций.
При решении трехмерных задач параметры уравнения (4.155) опреде- ляются выражениями (4.156) (таблица 4.4)

, а для случая плоско- напряженного состояния соотношениями (4.157) (таблица 4.4).
Для вычисления полных напряжений используются соотношения
(4.147) и (4.149), которые можно представить в виде
   
 
 
   

  
 
 

















r
ep
e
i
i
dC
d
d
D
r
0 1
(4.158)
Чтобы обеспечить точность подсчета напряжений по уравнению (4.164) независимой от приращения нагрузки, применяем численное интегрирова- ние этого выражения совместно с коррекцией напряжений в конце каждого шага интегрирования [6]. Для этого следует интервал упругопластического деформирования разбить на некоторое число шагов
f
f
m
i



(4.159) на каждом из которых производится коррекция. При вычислении

168 округление делается в большую сторону, а f

имеет величину порядка
(0,05-0,10)
T

Таблица 4.4 - Формулы для определения коэффициентов в выражении
(4.157)
A
)]
(
6
)
(
)
(
)
[(
2 1
2 2
2 2
2 2
zx
yz
xy
x
z
z
y
y
x


























I
I
B
)
(
6
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
zx
zx
yz
yz
xy
xy
x
z
x
z
z
y
z
y
y
x
y
x







































(4.162)
C
)
(
2 2
1
T
T
i




A
2 2
2 3
xy
y
y
x
x













I
II
B
xy
xy
x
y
y
y
x
x















6
)
2
(
)
2
(
(4.163)
C
)
(
2 2
1
T
T
i




Примечания: I - объемное напряженное состояние; II - плоское напря- женное состояние; эти формулы определяются напряженным состоянием
1
}
{

i

и приращением напряжений
}
{
e


Значения напряжений в конце каждого шага определяем как
   
 
   



 

m
r
C
m
r
D
k
ep
k
i
k











1 1
0 1
1 1




,
(4.160) где k - номер шага интегрирования;
 
1

k
ep
D
- означает, что матрица
 
ep
D
рассчитывается на основе значений вектора напряжений
 
1

k
i

Значение напряжений в конце каждого шага интегрирования обозначе- но через
 
k
1

, поскольку это первое приближение, полученное по формуле справедливой для бесконечно малых изменений. Вследствие этого функ- ция текучести
 
 
0 1
1


k
f
f

. В данной работе предложена коррекция напряжений
 
k
1

методом радиального возврата (radial return), основы ко- торого для численного решения упруго-пластических задач изложены в статье [12]. В работе [6] для расчета остаточных напряжений при реализа-

169 ции МНН был применен метод радиального возврата. Существенным пре- имуществом этого метода при определении напряженного состояния явля- ется то, что отпадает необходимость формирования матрицы
 
ep
D
. Одна- ко расчетное исследование, проведенное нами, показало низкую точность метода при вычислении остаточных деформаций. Поэтомуэтот метод ис- пользован нами только длякоррекции напряжений в конце каждого шага интегрирования в виде
     
 


1 1
f
T
T
T
T
k
k
i






(4.161)
Применение выражения (4.161) для коррекции напряжений, в отличие от традиционных схем, дает экономию машинного времени и удовлетворя- ет точности решения поставленных задач.