ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.01.2024
Просмотров: 424
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
§ 1.
Простейшие уравнения и неравенства с параметром
19
−
+
−
+
a
(a
+ 1)/2 1
x
Рис. 1.6
−
+
1
x
Рис. 1.7
−
+
−
+
1
(a
+ 1)/2
a
x
Рис. 1.8
Ответ: если a < 1, то x ∈ (a; (a + 1)/2) ∪ (1; +∞); если a = 1, то
x
∈ (1; +∞); если a > 1, то x ∈ (1; (a + 1)/2) ∪ (a; +∞).
Пример 1.7. Для каждого значения a решите неравенство
(a + 4)
p
5 − x > a + 3.
Решение. Область допустимых значений задаётся неравенством
5 − x ¾ 0. Следующий шаг — преобразование неравенства к удобному виду. Рассмотрим отдельно случаи a + 4 < 0, a + 4 > 0 и a + 4 = 0.
I. Пусть сначала a + 4 = 0, тогда
0 ·
p
5 − x > −1 ⇔ 0 > −1.
Последнее неравенство справедливо на всей ОДЗ. Получаем частич- ный ответ: если a = −4, то x ¶ 5.
II. Пусть a + 4 < 0, тогда исходное неравенство равносильно нера- венству p
5 − x <
a
+ 3
a
+ 4
Поскольку
a
+ 3
a
+ 4
> 0 при a < −4 (см. рис.
1.9
), получаем, что p
5 − x <
a
+ 3
a
+ 4
⇔ 5 − x <
a
+ 3
a
+ 4
2
⇔ 5 −
a
+ 3
a
+ 4
2
< x.
20
Часть 1.
Решение задач
С учётом ОДЗ получаем частичный ответ:
если a < −4, то x ∈
5 −
a
+ 3
a
+ 4
2
; 5
III. Пусть a + 4 > 0, тогда исходное неравенство равносильно нера- венству p
5 − x >
a
+ 3
a
+ 4
Выражение
a
+ 3
a
+ 4
(см. рис.
1.9
) отрицательно при a ∈ (−4; −3), равно нулю при a = −3 и положительно при a > −3. Рассмотрим несколько случаев.
IIIа. Пусть a ¾ −3. Тогда (см. рис.
1.9
)
a
+ 3
a
+ 4
¾ 0 и, следовательно,
мы получаем p
5 − x >
a
+ 3
a
+ 4
⇔ 5 − x >
a
+ 3
a
+ 4
2
⇔ 5 −
a
+ 3
a
+ 4
2
> x.
+
−
+
−4
−3
a
Рис. 1.9
Все полученные значения входят в ОДЗ. Следовательно, получаем частичный ответ: если a ¾ −3, то x ∈
−∞; 5 −
a
+ 3
a
+ 4
2
IIIб. Пусть a ∈ (−4; −3). Тогда (см. рис.
1.9
)
a
+ 3
a
+ 4
< 0 и, следова- тельно, неравенство p
5 − x >
a
+ 3
a
+ 4
выполнено на всей области допу- стимых значений. Получаем частичный ответ: если a ∈ (−4; −3), то
x
∈ (−∞; 5].
Остаётся собрать все полученные результаты в ответ.
Ответ: если a < −4, то x ∈
5 −
a
+ 3
a
+ 4
2
; 5
; если a ∈ [−4; −3), то
x
∈ (−∞; 5]; если a ¾ −3, то x ∈
−∞; 5 −
a
+ 3
a
+ 4
2
Тренировочные задачи к § 1
1.1. Найдите все значения a, при которых множество решений нера- венства
a
x
− a
> 0
содержит точку x = 1.
Тренировочные задачи к § 1 21
1.2. При каком наименьшем положительном значении b функция
y
= sin
20x +
b
π
150
имеет минимум в точке x
0
= π/2?
1.3. При каких значениях b уравнение
b
4
x
+ b
2
+ (2 +
p
2)b + 2
p
2 = b
2
(b +
p
2) + 4x
имеет бесконечно много корней?
1.4. Найдите все значения a, при которых неравенство log
????
(x
2
+ 2) > 1
выполняется для всех значений x.
1.5. Известно, что x = 1, y = −1 — одно из решений системы
(
2ax + by =
p
3 tg
1111π
6
,
ax
2
+ by
2
= 2.
Найдите все решения данной системы.
1.6. Найдите все значения a, при которых уравнение
ax
2
+ (a + 1)x + 1 = 0
имеет единственное решение.
1.7. Для каждого значения c решите уравнение 4
????
+ c · 25
????
= 3 · 10
????
1.8. Для каждого значения b¶0 решите неравенство (относительно x).
p
x
2
− 1
x
¾ b.
1.9. Для любого допустимого значения a решите неравенство log
2????
(log
3
x
2
) > 1
и найдите, значение a, при котором множество точек x, не являющих- ся решением неравенства, представляет собой промежуток, длина которого равна 6.
1.10. Для каждого значения c решите неравенство p
c
2
− x
2
¾ 2 − c.
1.11. Для каждого значения a решите неравенство a−2<(a−1)
p
x
+1.
1.12. Для каких значений p отношение суммы коэффициентов мно- гочлена (px
2
− 7)
18
к его свободному члену минимально?
22
Часть 1.
Решение задач
1.13. Для каждого допустимого значения b решите неравенство
Æ
7 + log
????
x
2
+ (log
????
|x|)(1 + 2 log
????
b) > 0.
1.14. Для каждого значения a решите уравнение p|x| + 1 − p|x| = a.
1.15. Для каждого значения a решите неравенство log
1 9
(x
2
− 6x − a
2
− 5a + 12) < −1
и найдите все значения a, при которых множество чисел, не явля- ющихся решениями этого неравенства, представляет собой отрезок числовой оси, длина которого меньше 2
p
3.
1.16. При каждом значении a решите уравнение 2
????????
+3
????2
+3
+ 2 4????2 −????????+9
????2
+3
= 10.
1.17. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение log
????
−6,5
(x
2
+ 1) = log
????
−6,5
((a − 5)x)
имеет ровно два различных решения.
1.18. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(x
3
− 1)(x
2
− 16)
lg(15a − x) − lg(x − a)
= 0
имеет единственное решение.
1.19. При каких значениях p уравнение
4(x −
p p · 7
????
)x + p + 7(7
????
− 1) = 0
имеет корни и каковы знаки корней при различных значениях p?
1.20. При каких значениях b уравнение
25
????
− (2b + 5)5
????
−1/????
+ 10b · 5
−2/????
= 0
имеет ровно два различных решения?
1.21. Найдите все значения a, при которых множество решений нера- венства x(x − 2) ¶ (a + 1)(|x − 1| − 1) содержит все члены некоторой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым чле- ном, равным 1,7, и положительным знаменателем.
1.22. Найдите все значения a, при которых неравенство x
2
+ a ¶ 0
имеет решения и все его решения удовлетворяют неравенству
(x + 2a)
p
3 − x ¶ 0.
Тренировочные задачи к § 1 23
1.23. Найдите все значения p, при каждом из которых множество решений неравенства (p − x
2
)(p + x − 2) < 0 не содержит ни одного решения неравенства x
2
¶ 1.
1.24. Пусть
f (x) =
p
x
2
− 4x + 4 − 3,
g(x) =
p
x
− a.
При каждом a решите неравенство f (g(x)) ¶ 0.
1.25. Найдите все значения a, при каждом из которых система урав- нений
¨ x
+ a(y + 1) = 2a,
x
3
+ a(2y
3
+ 1) = ay
3
+ 2a
имеет не более двух решений.
1.26. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение log
????
+1
x
+ log
????
(19 − 8a) = 2
имеет по крайней мере два корня и при этом произведение всех его корней не менее 0,01.
1.27. Найдите все пары a и b, при которых найдутся два различных корня уравнения x
3
− 5x
2
+ 7x = a, также являющиеся корнями урав- нения x
3
− 8x + b = 0.
1.28. Из трёх значений a: −1,2; −0,67; −0,66 — найдите все те зна- чения, при каждом из которых уравнение
2
????
+4
+ 15(x + a)
1 + 2 cos
πa +
x
2
= 0
имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию 0 ¶ x ¶ 1.
1.29. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнения
(2a − 1)x
2
+ 6ax + 1 = 0 и ax
2
− x + 1 = 0
имеют общий корень.
1.30. Считая известным, что при любом a > 0 уравнение
2x
3
+ x
2
− x − a − 1 = 0
имеет единственный положительный корень x
0
(зависящий от a),
найдите все a > 0, при которых выполнено неравенство
12x
3 0
− 7x
0
> 6a + 1.
24
Часть 1.
Решение задач
Ответы
1.1
. a
∈ (0; 1).
1.2
. b
=225.
1.3
. b
=−
p
2.
1.4
. a
∈ (1; 2).
1.5
. (1; −1); (−0,2; 1,4).
1.6
. a
= 0; a = 1.
1.7
. Если c ¶ 0, то x =log
2/5 3 +
p
9 − 4c
2
; если 0 < c ¶ 2,25, то x = log
2/5 3 ±
p
9 − 4c
2
;
при c > 2,25 решений нет.
1.8
. Если b ¶ −1, то x ∈ (−∞; −1] ∪ [1; +∞); если −1 < b < 0,
то x ∈
−
1
p
1 − b
2
; −1
∪ [1; +∞); если b = 0, то x ∈ {−1} ∪ [1; +∞).
1.9
. 1. Если a ∈ (0; 1/2), то x ∈ (−3
????
; −1) ∪ (1; 3
????
); если a > 1/2, то x ∈
∈ (−∞; −3
????
) ∪ (3
????
; +∞). 2. При a = 1.
1.10
. При c ∈ (−∞; 1) решений нет; если c = 1, то x = 0; если c ∈ (1; 2), то
x
∈ [−2
p
c
− 1; 2
p
c
− 1]; если c ∈ [2; +∞), то x ∈ [−c; c].
1.11
. Если a < 1, то x ∈
−1;
a
− 2
a
− 1
2
− 1
; если a ∈ [1; 2), то x ∈ [−1; +∞);
если a ¾ 2, то x ∈
a
− 2
a
− 1
2
− 1; +∞
1.12
. p
= 7. Указание. Сумма коэффициентов любого многочлена равна его значению в точке 1.
1.13
. Если b ∈ (0; 1), то x ∈ (0; 1) ∪ (1; b
−3
); если b ∈ (1; +∞), то x ∈ (b
−3
; 1) ∪
∪ (1; +∞).
1.14
. Если a ∈ (0; 1], то x = ±
1 − a
2 2a
2
; при других a решений нет.
1.15
. 1. Если a ∈ (−2; −3), то x ∈ R; если a ∈ (−∞; −2] ∪ [−3; +∞),
то x ∈ (−∞; 3 −
p
a
2
+ 5a + 6) ∪ (3 +
p
a
2
+ 5a + 6; +∞).
2. a ∈
−5 −
p
13 2
; −3
∪
−2;
−5 +
p
13 2
1.16
. Если |a| < 6
p
2, то x = 0; a; если |a| ¾ 6
p
2, то x = 0; a;
a
±
p
a
2
− 72 6
1.17
. a
∈ (7; 7,5) ∪ (7,5; +∞).
1.18
. a
∈ (1/15; 1/8) ∪ (1/8; 4/15] ∪ {1/2} ∪ [1; 4).
1.19
. При p = 0 корень один: x = 0; при p = 7 корень один: x = 7 4
/2; при p > 7
два положительных корня.
1.20
. b
∈ (0; 1/50) ∪ (25/2; +∞).
1.21
. a
∈ (−∞; 0,7].
1.22
. a
∈ {0} ∪ [−9; −1/4].
1.23
. p
∈ (−∞; 0] ∪ [3; +∞).
1.24
. Если a ∈ (−∞; −5), то решений нет; если a = −5, то x = 0; если a ∈ (−5; 1),
то x ∈ [0; (a + 5)
2
]; если a ∈ [1; +∞), то x ∈ [(a − 1)
2
; (a + 5)
2
].
1.25
. a
∈ {−1} ∪ [−1/2; 0) ∪ (0; 1/2] ∪ {1}.
1.26
. a
∈ [−9/10; 0) ∪ (2; 9/4) ∪ (9/4; 19/8).
1.27
. a
= 2, b = 3.
1.28
. a
= −1,2;
a
= −0,67.
1.29
. a
∈ {−3/4; 0; 2/9}.
1.30
. a
∈ (0; 1/54).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 21
§ 2. Задачи с модулем
Напомним полезные неравенства:
|x + y| ¶ |x| + | y|,
x, y ∈ R,
|x| − | y| ¶ |x − y|,
x, y ∈ R.
§ 2.
Задачи с модулем
25
Следует отметить, что в первом из них равенство достигается тогда и только тогда, когда оба числа имеют одинаковый знак, а во вто- ром — когда оба числа имеют одинаковый знак и |x| ¾ | y|.
Отметим одно полезное преобразование, позволяющее в некото- рых случаях избавиться от модуля:
|x| < | y| ⇔ x
2
< y
2
⇔ (x − y)(x + y) < 0,
x, y ∈ R.
Пример 2.1. При каждом a решите неравенство |x − a| < |x + a|.
Решение. Согласно приведённой выше формуле
|x − a| < |x + a| ⇔ (x − a)
2
< (x + a)
2
⇔ ax > 0.
Таким образом, при a < 0 получаем x ∈ (−∞; 0), при a = 0 решений нет, при a > 0 получаем x ∈ (0; +∞).
Ответ: если a < 0, то x ∈ (−∞; 0); при a = 0 решений нет; если
a
> 0, то x ∈ (0; +∞).
Пример 2.2. При каждом a решите неравенство |x + a| > a.
Решение. Вновь отметим, что при каждом конкретном значе- нии a получается вполне стандартная задача, поэтому можно при- менить метод интервалов для модулей.
Заметим сначала, что при a < 0 это неравенство верное (так как модуль числа — неотрицательная величина) при любом x. Поэтому получаем часть ответа: если a < 0, то x ∈ (−∞; +∞).
Если a = 0, то |x| > 0 и x ∈ (−∞; 0) ∪ (0; +∞).
Если a > 0, то следует рассмотреть два случая: x < −a и x ¾ −a.
В первом из них исходное неравенство равносильно следующему:
−x − a > a ⇔ −x > 2a ⇔ x < −2a.
Так как a > 0, число −2a меньше, чем −a. Поэтому x ∈ (−∞; −2a) ⊂
⊂ (−∞; −a) и пересечение этих областей совпадает с (−∞; −2a).
Во втором случае, т. е. при x + a ¾ 0, получаем x + a > a, x > 0,
x
∈ (0; +∞). Так как −a < 0, множество [−a; +∞) содержит множество
(0; +∞), а их пересечение равно (0; +∞). Поэтому при a > 0 решением неравенства будет объединение (−∞; −2a) ∪ (0; +∞).
Объединим части ответа: если a < 0, то x ∈ (−∞; +∞); если a = 0,
то x ∈ (−∞; 0) ∪ (0; +∞); если a > 0, то x ∈ (−∞; −2a) ∪ (0; +∞).
Заметим, что при a = 0 число −2a равно 0, поэтому последние две части ответа можно объединить так: если a ¾ 0, то x ∈ (−∞; −2a) ∪
∪ (0; +∞).
26
Часть 1.
Решение задач
Ответ: если a < 0, то x ∈ (−∞; +∞); если a ¾ 0, то x ∈ (−∞; −2a) ∪
∪ (0; +∞).
Пример 2.3. При каждом a решите неравенство |x + a| < x.
Решение. Как и в предыдущей задаче, рассмотрим два случая.
1. Пусть x + a < 0. Тогда получаем −x − a < x ⇔ 2x > −a ⇔ x > −a/2.
Рассматриваемая область задана условием x < −a. Часть ответа по- лучается как решение системы неравенств
¨
x
> −
a
2
,
x
< −a.
Если a > 0, то число −a меньше, чем −a/2, и эта система не имеет решений.
Если a = 0, то получаем систему
¨ x
> 0,
x
< 0,
очевидно, не имеющую решений.
Если a < 0, то −a > −a/2 и получаем интервал x ∈ (−a/2; −a).
Итак, получен частичный ответ в первом случае: если a < 0, то
x
∈ (−a/2; −a); если a ¾ 0, то x ∈ ∅.
2. Пусть x + a ¾ 0. Тогда получаем неравенство x + a < x, a < 0
которое верно при a < 0 в рассматриваемой области, т. е. при x ¾ −a,
или x ∈ [−a; +∞). При a ¾ 0 это неверное неравенство, не имеющее решений.
Частичный ответ: если a < 0, то x ∈ [−a; +∞); если a ¾ 0, то x ∈ ∅.
Объединяя части ответа, получаем следующее: если a < 0, то x ∈
∈ (−a/2; −a) ∪ [−a; +∞) = (−a/2; +∞); если a ¾ 0, то x ∈ ∅.
Ответ: если a < 0, то x ∈ (−a/2; +∞); если a ¾ 0, то x ∈ ∅.
Пример 2.4. Найдите все значения a, при которых уравнение
5|x − 3a| + |x − a
2
| + 4x = a
1) имеет бесконечное множество решений; 2) не имеет решений.
Решение. Исходное уравнение можно заменить совокупностью следующих систем:
1)
5(x − 3a) + (x − a
2
) + 4x = a,
x ¾ 3a,
x ¾ a
2
;
2)
5(3a − x) + (x − a
2
) + 4x = a,
x ¶ 3a,
x ¾ a
2
;
§ 2.
Задачи с модулем
27 3)
5(x − 3a) + (a
2
− x) + 4x = a,
x ¾ 3a,
x ¶ a
2
;
4)
5(3a − x) + (a
2
− x) + 4x = a,
x ¶ 3a,
x ¶ a
2
Преобразуем систему 1:
x
=
1 10
· (a
2
+ 16a),
1 10
· (a
2
+ 16a) ¾ 3a,
1 10
· (a
2
+ 16a) ¾ a
2
⇔
⇔
x
=
1 10
· (a
2
+ 16a),
a(a − 14) ¾ 0,
a(−9a + 16) ¾ 0
⇔
x
=
1 10
· (a
2
+ 16a),
a
∈ (−∞; 0] ∪ [14; +∞),
a
∈
0;
16 9
Данная система имеет решения только при a = 0. При этом также
x
= 0. Система 2 равносильна системе
14a − a
2
= 0,
x ¶ 3a,
x ¾ a
2
⇔
a
= 0,
a
= 14,
x ¶ 3a,
x ¾ a
2
,
и она разрешима тоже лишь при a = 0. Её единственное решение
x
= 0. Система 3 сводится к системе
x
=
1 8
· (16a − a
2
),
1 8
· (16a − a
2
) ¾ 3a,
1 8
· (16a − a
2
) ¶ a
2
⇔
x
=
1 8
· (16a − a
2
),
a(a + 8) ¶ 0,
a(9a − 16) ¾ 0
⇔
⇔
x
=
1 8
· (16a − a
2
),
a
∈ [−8; 0],
a
∈ (−∞; 0] ∪
16 9
; +∞
Два последних неравенства этой системы имеют общее множество решений −8 ¶ a ¶ 0. Для каждого a из этого отрезка первое уравнение