ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.01.2024
Просмотров: 427
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
§ 22.
Тригонометрические уравнения и неравенства с параметром
195
x
t
0
t
= 1
Рис. 22.3
x
t
0
t
= −1
Рис. 22.4
x
t
0
t
= 1
t
= −1
Рис. 22.5
x
t
0
t
= 0
Рис. 22.6
x
t
0
t
= 0
t
= −
p
2
/2
t
=
p
2
/2
π/4
Рис. 22.7
x
t
0
t
= −1
t
= 1/2
π/6
Рис. 22.8
x
t
0
t
= −1/2
t
= 1
−π/6
Рис. 22.9
Ответ: Все возможные значения a и b описаны в случаях 1–7.
Пример 22.6. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение cos 2x − 2a sin x − |2a − 1| + 2 = 0 имеет решения и все его положительные решения образуют арифметическую прогрессию.
Решение. Преобразуем исходное уравнение к виду sin
2
x
+ a sin x +
a −
1 2
−
3 2
= 0.
196
Часть 1.
Решение задач
Обозначив t = sin x, получим квадратное уравнение
t
2
+ a · t +
a −
1 2
−
3 2
= 0.
(22.1)
Каждому корню ˜
t этого уравнения соответствует уравнение sin x = ˜t,
решения которого являются решениями исходного уравнения.
В предыдущей задаче (пример
22.5
) выяснено, когда множество решений совокупности двух уравнений вида sin x = ˜
t образует ариф- метическую прогрессию. Множества этих решений изображены на рис.
22.3
–
22.9 1. В первом случае (см. рис.
22.3
) исходное уравнение равносильно уравнению sin x = 1. Оно получается из уравнения (
22.1
) тогда и толь- ко тогда, когда одним из корней уравнения (
22.1
) является число 1,
а другой корень либо меньше −1, либо больше или равен 1. Под- ставляя в уравнение t = 1, получаем 1 + a + |a − 1/2| − 3/2 = 0, от- куда a ¶ 1/2, т. е. a ∈ (−∞; 1/2]. При этом уравнение принимает вид t
2
+ at − a − 1 = 0, и по тереме Виета другой его корень равен
−a − 1. Тогда сформулированное выше условие означает, что либо
−a − 1 ¾ 1 ⇒ a ∈ (−∞; −2], либо −a − 1 < −1 ⇒ a ∈ (0; +∞). Пересекая объединения этих множеств с множеством (−∞; 1/2], получаем часть ответа задачи: (−∞; −2] ∪ (0; 1/2].
2. Во втором случае (см. рис.
22.4
) одним из корней уравнения
(
22.1
) является t = 1, а другой корень должен быть либо меньше или равен −1, либо больше 1. При подстановке t = −1 в уравнение (
22.1
)
получаем 1−a+|a−1/2|−3/2=0, откуда находим a = 0. При этом урав- нение принимает вид t
2
− 1 = 0 и второй его корень t = 1 не удовле- творяет условиям рассматриваемого случая. Поэтому второй случай невозможен.
3. В третьем случае (см. рис.
22.5
) корнями уравнения (
22.1
) яв- ляются числа t = 1, t = −1, откуда по теореме Виета получаем
1 + (−1) = −a,
1 · (−1) =
a −
1 2
−
3 2
,
т. е. a = 0. Это значение является частью ответа задачи.
4. Четвёртый случай (см. рис.
22.6
) означает, что один из корней уравнения (
22.1
) равен 0, а другой либо тоже равен 0, либо меньше
−1, либо больше 1. Подставляя t = 0 в уравнение (
22.1
), получаем
|a − 1/2| = 3/2. Это уравнение имеет два решения: a = −1 и a = 2.
Тренировочные задачи к § 22 197
Если a = −1, то уравнение (
22.1
) принимает вид t
2
− t = 0 и имеет корни t = 0 и t = 1, причём второй корень не удовлетворяет усло- виям рассматриваемого случая. Если a = 2, то получаем уравнение
t
2
+ 2t = 0, второй корень которого t = −2 удовлетворяет условиям данного случая. Итак, a = 2 тоже часть ответа задачи.
5. В пятом случае (см. рис.
22.7
) уравнение (
22.1
) имеет корни
t
= −1/
p
2, t = −1/
p
2, и по теореме Виета получаем
1
p
2
+
−
1
p
2
= −a,
1
p
2
·
−
1
p
2
=
a −
1 2
−
3 2
⇔
a
= 0,
−
1 2
=
a −
1 2
−
3 2
Эта система несовместна, и рассматриваемый случай невозможен.
6. Шестой случай (см. рис.
22.8
) означает, что уравнение (
22.1
)
имеет корни t = 1/2, t = −1, и снова по теореме Виета получаем
1 2
+ (−1) = −a,
1 2
· (−1) =
a −
1 2
−
3 2
⇔
a
=
1 2
,
−
1 2
=
a −
1 2
−
3 2
Эта система тоже несовместна, и такой случай снова невозможен.
7. Наконец, в седьмом случае (см. рис.
22.9
) t = −1/2, t = 1, и по теореме Виета
−
1 2
+ 1 = −a,
−
1 2
· 1 =
a −
1 2
−
3 2
Отсюда получаем a = −1/2, что даёт ещё одну часть ответа.
Осталось объединить части ответа, полученные в первом, тре- тьем, четвёртом и седьмом случаях.
Ответ: (−∞; −2] ∪ {−1/2} ∪ [0; 1/2] ∪ {2}.
Тренировочные задачи к § 22
22.1. Найдите все значения параметра k, при которых ровно одна точка графика функции
y
= 2x + (lg k)
p cos(2kπx) + 2 cos(kπx) − 3 + 1
лежит в области (2x − 7)
2
+ 4(y − 3)
2
¶ 25.
198
Часть 1.
Решение задач
22.2. Найдите все значения a, при каждом из которых функция
y(x) = log
25−????
2
(cos x +
p
8 sin x − a)
определена при всех значениях x.
22.3. При каких значениях a неравенство log
(2????−15)/5
sin x +
p
3 cos x + a − 5 5
> 0
выполняется при всех x?
22.4. При каких значениях a уравнение
2 cos
2
(2 2 ????−????
2
) = a +
p
3 sin(2 2 ????−????
2
+1
)
имеет хотя бы одно решение?
22.5. Найдите все значения a, при которых среди корней уравнения sin 2x + 6a cos x − sin x − 3a = 0
найдутся два корня, разница между которыми равна 3π/2.
22.6. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
(a
2
− 6a + 9)(2 + 2 sin x − cos
2
x) + (12a − 18 − 2a
2
) · (1 + sin x) + a + 3 = 0
не имеет решений.
22.7. Найдите все значения параметра a, при которых неравенство
|3 sin
2
x
+ 2a sin x cos x + cos
2
x
+ a| ¶ 3
выполняется для любых значений x.
22.8. Для каждого значения b решите уравнение
3 cos x sin b − sin x cos b − 4 cos b = 3
p
3.
22.9. Найдите все действительные значения параметра a, при каж- дом из которых множество значений функции
y
=
sin x + 2(1 − a)
a
− cos
2
x
содержит отрезок [1; 2].
22.10. При каких значениях параметра a ¾ 1 уравнение sin
4 13
x
· tg x = 0
имеет ровно шесть различных корней на отрезке [2aπ; (a
2
+ 1)π]?
Укажите эти корни.
Тренировочные задачи к § 22 199
22.11. Решите уравнение
3 cos x + 2 sin x
cos x
=
cos 2x
cos
2
x
+
cos x + sin x
cos x
·
Æ
3 + 2x − 2 y + 2xy − x
2
− y
2
22.12. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых любой корень уравнения
a(2a − 1) sin
3
x
+ 3 cos
3
x
− 2a
2
sin x = 0
является корнем уравнения log
1/2
(3 tg x − 1) − log
2
(3 tg x + 1) − log
1/
p
2
(5 − tg x) = 1
и, наоборот, любой корень второго уравнения является корнем пер- вого уравнения.
22.13. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
cos x = sin x
p
4 − 7a
2
,
sin x =
3a −
1 2
cos x
p
4 − 7a
2
имеет ровно одно решение на отрезке [π/2; 5π/2].
22.14. Пусть t
1
и t
2
— корни квадратного уравнения
t
2
− (5b − 2)
2
t
− 3b
2
− 7b + 1 = 0.
Найдите все значения b, при каждом из которых для любого значения параметра a функция
f (x) = cos(aπx) · cos((t
3 1
+ t
3 2
) · πx).
является периодической.
22.15. Найдите все значения a, для которых неравенство log
5
a cos 2x − (1 + a
2
− cos
2
x) sin x + 4 − a
¶ 1
выполняется при всех x.
22.16. Найдите все значения a, при которых на отрезке [π/2; 3π/2]
существует ровно шесть корней уравнения cos 6x + a = (2a + 1) cos 3x.
22.17. Найдите все значения a, при которых уравнение
(|a| − 1) cos 2x + (1 − |a − 2|) sin 2x + (1 − |2 − a|) cos x + (1 − |a|) sin x = 0
имеет нечётное число различных решений на интервале (−π; π).
200
Часть 1.
Решение задач
22.18. При всех значениях параметра p ¶ 9 найдите решения урав- нения
3
p
3 tg
π
15
sin x −
3π
5
·sin
2π
7
sin
2
x
+
3π
14
+cos
2
5π
14
−
π
7
cos(2x)
=
= 6 tg
2
π
15
sin x +
2π
5
− p
на отрезке [0; 2π].
22.19. Найдите все значения a, при которых для любого корня урав- нения
3 tg a cos 2x + 3
p
2 cos 3a cos x + 3 tg a − ctg a = 0
найдётся другой корень на расстоянии не более чем π/2 от него.
22.20. Найдите все значения a, при каждом из которых расстояние между любыми двумя соседними корнями уравнения cos α cos 3x − sin 3α cos x + 2 sin 2α cos 2x = 3 sin α − cos 3x
не превосходит π/3.
22.21. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение cos 2x + 2a cos x + |2a + 1| − 2 = 0
имеет решения и все его положительные решения образуют арифме- тическую прогрессию.
Ответы
22.1
. k
∈ [1; 2) ∪ (2; 3).
22.2
. a
∈ (−5; −
p
24) ∪ (−
p
24; −3).
22.3
. a
∈ (15/2; 8) ∪ (12; +∞).
22.4
. a
∈ [−1; 2).
22.5
. a
∈ {±1/6; ±
p
2/6}.
22.6
. a
∈ (−∞; −3) ∪ (1; 6).
22.7
. a
∈ [−12/5; 0].
22.8
. Если b = 5π/6 + 2πl, l ∈ Z, то x = π/6 + 2πk, k ∈ Z; если b = −5π/6 + 2πm,
m
∈ Z, то x = 5π/6 + 2πn, n ∈ Z; при других значениях параметра b решений нет.
22.9
. a
∈ [1/3; 3/4) ∪ (3/4; 33/32]. Указание. Перепишите условие в виде неравенств.
22.10
. a
∈ {3} ∪ [
p
10;
p
11).
22.11
. (πn; πn − 1), n ∈ Z. Указание. Перейдите к переменной t = tg x и ис- следуйте подкоренное выражение.
22.12
. a
= 1. Указание. Решите второе уравнение.
22.13
. a
∈ {−1/6; −1/2; ±3/4; ±1/4;
p
39/7}.
22.14
. b
= 2/5.
22.15
. a
∈ [0; 1).
22.16
. a
∈ (−2/3; 0).
22.17
. a
∈ [0; 1) ∪ (1; 2] ∪ {3}. Указание. Представьте уравнение в виде A cos 2x + B sin 2x = −B cos x + A sin x и решите при помо- щи введения вспомогательного аргумента (одного угла ϕ для выражений в разных частях уравнения).
§ 23.
Геометрические задачи с элементами алгебры
201
22.18
. Если p = 9, то x = 3π/2; при p < 9 решений нет. Указание. Рассмотрите аргументы тангенсов и синуса с косинусом.
22.19
. a
= ±π/6 + πn, n ∈ Z.
22.20
.
α = πn, n ∈ Z. Указание. Уравнение по cos x является кубическим,
поэтому расположение корней задаётся однозначно.
22.21
. a
∈ {−2} ∪ [−1/2; 0] ∪ {1/2} ∪ [2; +∞).
1 ... 13 14 15 16 17 18 19 20 21
§ 23. Геометрические задачи с элементами алгебры
Пример 23.1. В сферу радиуса p
3 вписан параллелепипед, объём которого равен 8. Найдите площадь полной поверхности параллеле- пипеда.
Решение. Так как грани данного параллелепипеда — вписанные параллелограммы, они могут быть только прямоугольниками. Это означает, что параллелепипед прямоугольный, центр описанной сфе- ры совпадает с центром параллелепипеда, а её диаметр равен глав- ной диагонали параллелепипеда. Пусть a, b, c — длина, ширина и вы- сота параллелепипеда.
Таким образом,
12 = a
2
+ b
2
+ c
2
¾ 3 3
p
a
2
b
2
c
2
= 3(abc)
2/3
= 3 · 8 2/3
= 12,
где мы воспользовались неравенством
6
между средним арифметиче- ским и средним геометрическим чисел a
2
, b
2
, c
2
. Но поскольку знак равенства может достигаться лишь в том случае, когда a = b = c, полу- чаем, что a = b = c = 4. Таким образом, искомая площадь S = 6a
2
= 24.
Ответ: 24.
Пример 23.2. В четырёхугольной пирамиде SABCD основание
ABCD — прямоугольник, SA = 2, SB = 3, SC = 4. Найдите SD.
Решение. Обозначим апофемы через SA
1
, SB
1
, SC
1
, SD
1
. Обозна- чим b = AA
1
= C
1
D, d = A
1
B
= CC
1
, a = BB
1
= D
1
A, c = B
1
C
= DD
1
(см.
рис.
23.1
). Тогда
a
2
+ b
2
+ h
2
= 2 2
,
d
2
+ a
2
+ h
2
= 3 2
,
c
2
+ d
2
+ h
2
= 4 2
,
c
2
+ b
2
+ h
2
= x
2 6
Доказательство неравенства x
3
+ y
3
+ z
3
¾ 3xyz, x, y, z > 0; см. в §
10
202
Часть 1.
Решение задач
A
A
1
B
B
1
C
C
1
D
D
1
S
a
a
b
b
c
c
d
d
x
h
Рис. 23.1
Складывая первое уравнение с третьим, а второе с четвёртым, полу- чаем
¨ a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ 2h
2
= 2 2
+ 4 2
,
a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ 2h
2
= 3 2
+ x
2
⇒ 2 2
+ 4 2
= 3 2
+ x
2
⇔ x
2
= 11.
Ответ:
p
11.
Тренировочные задачи к § 23
23.1. В треугольнике PQR сторона PQ не больше чем 9, сторона PR
не больше чем 12. Площадь треугольника не меньше 54. Найдите длину его медианы, проведённой из вершины P.
23.2. В треугольной пирамиде SKLM угол KLM прямой, SK =5, SL =6,
SM
= 7. Найдите расстояние от вершины S до такой точки N, что
KLMN — прямоугольник.
23.3. Углы треугольника ABC удовлетворяют равенству cos
2
α + cos
2
β + cos
2
γ = 1.
Найдите площадь треугольника, если радиусы вписанной и описан- ной окружностей равны p
3 и 3
p
2 соответственно.
23.4. Площадь треугольника ABC равна 10 см
2
. Какое наименьшее значение может принимать длина окружности, описанной около тре- угольника ABC, если известно, что середины высот этого треугольни- ка лежат на одной прямой?