Файл: Магические квадраты Работа Аристеева Сергея, ученика 5 класса мкоу.pptx

Магические квадраты

Работа Аристеева Сергея,

ученика 5 класса МКОУ

"Камышовская ООШ" Лиманского района Астраханской области

Руководитель Горяева Зоя Эрднигоряевна, учителя математики

с.Камышово, 2013 г.

Цель проекта:

ответить на вопрос: что такое магический квадрат и как его построить.

• Изучить литературу по данному вопросу.
• Узнать историю магических квадратов.
• Научиться строить магические квадраты различными способами.

Содержание

• Постановка проблемы
• Легенда о магическом квадрате
• Как составлять магические квадраты
• Правило «ло-шу»
• Метод Рауз- Болла
• Метод террас
• Метод квадратных рамок
• Метод Делаира или метод латинских квадратов
• Заключение.
• Литература

Постановка проблемы

Расставьте натуральные числа от 1 до 9

так, чтобы сумма чисел столбцов и строчек была одинаковой. Чтобы решить эту задачу обратимся к истории.

Легенда о магическом квадрате

В китайской древней книге «Же-ким» («Книга перестановок») приводится легенда о том, что император Ню, живший 4 тысячи лет назад, увидел на берегу реки священную черепаху.

На ее панцире был изображен

рисунок из белых и черных

кружков .

Если заменить каждую фигуру

числом, показывающим,

сколько в ней кружков,

получится такая таблица:

• У этой таблицы есть замечательное свойство. Сложим числа первого столбца: 4 +3 + 8=15. Тот же результат получится при сложении чисел второго, а также третьего столбцов. Он же получается при сложении чисел любой из трех строк.
• Тот же ответ 15 получается, если сложить числа каждой из двух диагоналей: 4+5+6=8+5+2=15.
• Наверное, эту легенду китайцы придумали, когда нашли расположение чисел от 1 до 9 со столь замечательным свойством. Рисунок они назвали «Ло-шу» и стали считать его магическим символом и употреблять при заклинаниях. Поэтому сейчас любую квадратную таблицу, составленную из чисел и обладающую таким свойством, называют магическим квадратом.

Что называется магическим квадратом?

• Числовой квадрат называют магическим, если суммы S каждого горизонтального ряда, каждого вертикального ряда и обеих диагоналей одинаковы.
• Числовым квадратом порядка n, где n – натуральное число, будем называть квадрат разбитый на клеток, на которых размещается натуральные числа от 1 до

Как составляют магические квадраты?

• Квадраты можно получить из «ло-шу», либо поворачивая квадрат вокруг центра на 90°, 180° или 270°, либо зеркально отражая его.
• Если уже найден какой-нибудь магический квадрат, то из него можно описанными выше методами (поворотами и зеркальными отражениями) получить еще 7 магических квадратов.
• Новые магические квадраты получают:
• методом террас
• методом квадратных рамок
• методом Делаира, или методом латинских квадратов

Правило «ло-шу»

• Магический квадрат «ло-шу» можно найти, не прибегая к перебору одной за другой всех расстановок 9 цифр в 9 клетках (число таких расстановок равно 362 880). Будем рассуждать так. Сумма всех чисел от 1 до 9 равна: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Значит, в каждой строке и в каждом столбце сумма чисел должна равняться: 45:3=15. Но если просуммировать все числа во вторых столбце и строке и в обеих диагоналях, то каждое число войдет один раз, за исключением центрального, которое войдет четырежды. Значит, если обозначить центральное число через х, то должно выполняться равенство 4-15= = Зх + 3-15. Отсюда х=5, то есть в центре таблицы должно стоять число 5.

Метод Рауз-Болла

Несложно написать магический квадрат четвертого порядка:

• для этого запишем числа от 1 до 16 в квадрат по порядку.
• теперь поменяем местами числа, стоящие в противоположных углах всего квадрата и внутреннего квадратика:

Построение методом Рауз-Болла магического квадрата восьмого порядка

Инструкция

• При диагонали соединяют не только углы квадрата, но и середины его сторон, то есть диагонали проводятся в четырёх угловых квадратах 4х4 (см. рис. );
• взаимно симметричных пар чисел, которые надо поменять местами, будет шестнадцать: 1-64, 10-55, 19-46, 28-37, 8-57, 15-50, 22-43, 29-36, 4-61, 5-60, 11-54, 14-51, 18-47, 23-42, 25-40, 32-33.

Готовый магический квадрат восьмого порядка, построенный методом Рауз-Болла

МЕТОД ТЕРРАС

• Математики изобрели несколько методов построения магических квадратов
• Построение магического квадрата методом террас, который применяется для построения магических квадратов нечётного порядка: пятого, седьмого и т. д.
• Рассмотрим его на примере магического квадрата 3 порядка.
• Алгоритм
• С четырёх сторон к исходному квадрату 3х3 добавляются террасы.
• В полученной фигуре располагают числа от 1 до 9 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх.
• Числа в террасах, не попавшие в квадрат, перемещаются как бы вместе с террасами внутрь него так, чтобы они примкнули к противоположным сторонам квадрата (числа, не попавшие в заштрихованный квадрат, сдвигаем на n=3 единицы: 1 – вниз, 3 – влево, 9 – вверх, 7 – вправо).
• Итак, рассмотрим метод террас, заполнения магического квадрата нечётного порядка на примере квадратов порядка 3 . Записываем числа следующим образом: числа, не попавшие в заштрихованный квадрат, сдвигаем на n=3 единицы: 1 – вниз, 3 – влево, 9 – вверх, 7 – вправо.
• Получаем магический квадрат 33. Сумма чисел = 15

.

Построение магического квадрата n=5

Сейчас построим с вами магический квадрат пятого порядка, используя метод террас.

Будем заполнять квадрат по шагам, по алгоритму.

2. Числа, не попавшие в выделенный квадрат, сдвигаем на n=5 единиц: 1,2,6 – вниз, 4,5,10– влево, 24,25,20 – вверх, 16,21,20 – вправо. Получаем:

Практическая работа.

• методом террас можно построить не только традиционный магический квадрат нечётного порядка, но и квадрат, заполненный любыми другими числами, лишь бы разность между каждым последующим и предыдущим числом была постоянной. Так, на рисунке вы видите нетрадиционный магический квадрат пятого порядка, заполненный чётными числами от 2 до 50, построенный методом террас.

На рисунке вы видите нетрадиционный магический квадрат пятого порядка, заполненный чётными числами от 2 до 50, построенный методом террас.

Метод квадратных рамок.

• Магическим квадратом чётно-чётного порядка называется квадрат порядка n=4·m (m=1,2,3…), то есть порядок такого квадрата делится на 4.
• Для магических квадратов четно-четного порядка применяется метод квадратных рамок .
• Алгоритм
• На матричное поле (с изображённым на нём исходным квадратом 8х8) наносятся квадратные рамки со стороной в два раза меньшего размера, чем сторона исходного квадрата (см. рис ) с шагом в одну клетку по диагонали (или две клетки по строкам и столбцам).
• Затем по линиям рамок расставляются числа от 1 до 2n по порядку, начиная с левого верхнего угла исходного квадрата, причём первая рамка обходится по часовой стрелке, вторая рамка начинается с верхней свободной справа клетки квадрата и обходится против часовой стрелки и т. д.
• Числа, не попавшие в квадрат, переносятся внутрь его так, чтобы они примкнули к противолежащим сторонам квадрата. Готовый магический квадрат изображён на рис.