Файл: Цифровое моделирование оптических отражательных характеристик целей.pdf

200
В итоге последовательное дифференцирование левой части ра- венства (П.1) с учетом формулы (П.4) дает


( { ( )})
2 2 ( ) 1
( ) (
1, 2, ).
n
B
B
n
n
d F
u
f
u
C u
n
dA






(П.5)
Первые пять функций
( )
n
C u
имеют вид


2 1
1 2
1 1
2
( )
( );
( )
2 2 ( ) 1
( )
( );
C u
u
C u
W
u
u
u
 


 
 




3 3
2 1
1 1
2 3
( )
4 2 ( ) 1
( ) 6 2 ( ) 1
( )
( )
( );
C u
W
u
u
W
u
u
u
u


 


 

 








4 2
4 3
1 2
1 2
2 1
2 1
1 3
4
( ) 8 2 ( ) 1
( ) 24 2 ( ) 1
( )
( )
6 2 ( ) 1
( ) 8 2 ( ) 1
( )
( )
( );
C u
W
u
u
W
u
u
u
W
u
u
W
u
u
u
u


 


 




 


 

 












5 3
5 4
1 3
1 2
2 2
2 1
3 2
1 2
1 1
4 1
2 3
5
( ) 16 2 ( ) 1
( ) 80 2 ( ) 1
( )
( )
40 2 ( ) 1
( )
( ) 60 2 ( ) 1
( )
( )
10 2 ( ) 1
( )
( ) 20 2 ( ) 1
( )
( )
( ).
C u
W
u
u
W
u
u
u
W
u
u
u
W
u
u
u
W
u
u
u
W
u
u
u
u


 


 




 



 




 



 

 
Здесь ( )
n
u

— n-я производная формирующей функции. Диффе- ренцируя отрезок ряда Фурье — Чебышева (2.4), получим
(1)
1
max min max min
( )
max min
1 2
(2 1)
,
1;
{ ( )}
( )
(
)
2
(2 1)
, 2
,
(
)
K
k
k
k
n
n
n
n
K
n
n
k
k
k n
n
h p
u
n
A
A
d
u
du
u
A
A
h p
u
n
K
A
A














 





 




где


( )
( )
( )
n
n
n
k
k
p
x
d
q x
dx

— n-я производная ортонормированно- го полинома Чебышева. Ясно, что ( )
0
n
u

 при n > K. Кроме того, из рекуррентной формулы для полиномов Чебышева и теоремы

Лейбница непосредственно следует пошаговая рекуррентная проце- дура вычисления производных.

202
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Модифицированный EM-алгоритм
Шаг 0.
Инициализация: i = 0. Для заданного числа N областей интенсивного отражения выбрать начальные приближения
( )
( )
( )
( )
2 1
2 2
2 1
,
,
0 1
[0]
;
[0]
;
2 2
6 [0]
[0] 3 [0];
;
[0]
(
);
;
[0]
[0]
(
1,
, )
[0]
n
S
S
S
S
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
M
n
n m
n m
n
m
n
n
N
k
k
T
t
T
M
t
w
f t
t
t
m t
w
W
n
N
w





 

 





 



  

 


для компонентов вектора параметров [0]
p

модели (3.16) разрывной составляющей импульсной ЭПР цели. Здесь отсчеты времени t
n
со- гласованы с исходной сеткой дискретизации m
t, m = 0, …, M, вре- менного профиля ЭПР (см. разд. 1).
В качестве цели обучения выбрать правдоподобие (3.17) или расстояние (3.18). Оценить качество модели по критериям правдо- подобия


0
( [0])
ln
(
| [0])
(
)
M
m
L p
t
f m t p
f m t

 






и расстояния
0
( [0])
ln
(
| [0]) (
) .
M
m
D p
t
f m t p
f m t





 














203
Шаг 1.
Оценивание:
1
i
i
  . Вычислить элементы матрицы апостериорных весов
(
| [
1],
[
1])
( ,
| [
1])
[
1]
(
| [
1])
(
1,
;
0,
,
)
n
n
n
n
f m t T i
i
W n m p i
W i
f m t p i
n
N
m
M









 
 




ассоциации текущего отсчета
(
)
f m t
 нормированной разрывной составляющей импульсной ЭПР с n-й областью интенсивного отра- жения на поверхности 3D-объекта.
Обнулить погрешности вычислений парциальных нормирован- ных ЭПР: если
2
( ,
| [
1]) (
)
,
W n m p i
f m t

  

то ( ,
| [
1])
0
W n m p i



, где
1 0
  — выбранный пользователем уровень значимости.
Шаг 2.
Максимизация. Вычислить весовую функцию
(
) для правдоподобия;
(
| [
1])
(
| [
1]) (
) для расстояния
(
0,
,
);
f m t
r m t p i
f m t p i
f m t
m
M











 




0 1 для правдоподобия;
( [
1])
(
| [
1]) для расстояния.
M
m
R p i
t
r m t p i




 






Обновить оценки параметров модели конечной смеси парци- альных ЭПР:
 
0 2
0 3
2 2
2 0
[ ]
( ,
| [
1]) (
| [
1]);
( [
1])
( )
[ ]
( ,
| [
1]) (
| [
1]);
[ ] ( [
1])
[ ]
( ,
| [
1]) (
| [
1])
[ ]
[ ] ( [
1])
(
1,
, ).
M
n
m
M
n
n
m
M
n
n
n
m
t
W i
W n m p i
r m t p i
R p i
t
T i
mW n m p i
r m t p i
W i R p i
t
i
m W n m p i
r m t p i
T i
W i R p i
n
N























 













204
Оценить качество модели по критериям правдоподобия


0
( [ ])
ln
(
| [ ])
(
)
M
m
L p i
t
f m t p i
f m t

 






и расстояния
0
( [ ])
ln
(
| [ ]) (
) .
M
m
D p i
t
f m t p i f m t





 













Шаг 3.
Критерии продолжения итераций. Если выполняется хотя бы одно из условий
 






 








2 3
max
1
;
1
,
L p i
L p i
D p i
D p i
i
I


 


 





то перейти к шагу 1. В противном случае закончить обучение моде- ли. Здесь max
I
и
2,3 0
  — наибольшее число итераций и выбран- ные пользователем уровни значимости критериев сходимости алго- ритма.

205
ЛИТЕРАТУРА
1. Лабунец Л.В. Цифровые модели изображений целей и реализаций сигналов в оптических локационных системах: Учеб. пособие.
М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. 216 с.
2. Гливенко В.И. Интеграл Стильтьеса. М.; Л.: ОНТИ НКТП СССР,
1936. 216 с.
3. Лабунец Л.В. Математическое и физическое моделирование пере- ходных характеристик 3D-объектов в однопозиционной системе оптической локации // Радиотехника и электроника. 2002. Т. 47.
№ 3. С. 308−321.
4. Анищенко Н.Н., Лабунец Л.В. Цифровое моделирование и обра- ботка переходных характеристик объектов в оптической локаци- онной системе наведения // Электромагнитные волны и электрон- ные системы. 2002. Т. 7. № 8. С. 60−77.
5. Грязнов М.И. Интегральный метод измерения импульсов.
М.: Сов. радио, 1975. 280 с.
6. Cooper P.A., Holloway P.F. The Shuttle Tile Story // Astronautics and
Aeronautics. 1981. Vol. 19. No 1. P. 24−34.
7. Исследование эффективной площади рассеяния аэрокосмического корабля в однопозиционной оптической локации / Л.В. Лабунец,
В.В. Федотов, М.Н. Шашлов и др. // Вопросы специального маши- ностроения. 1989. Сер. 4. Вып. 7 (187). С. 11−23.
8. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2 кн.
Кн. 1 / Пер. с англ. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Финансы и стати- стика, 1986. 366 с.
9. Зигель Р., Хауэлл Дж. Теплообмен излучением / Пoд ред.
Б.А. Хрусталева: Пер. с англ. М.: Мир, 1975. 934 с.
10. Миснар А. Теплопроводность твердых тел, жидкостей, газов и их композиций / Пер. с франц. М.Г. Беды и др. М.: Мир, 1968. 464 с.
11. Сапожников Р.А. Теоретическая фотометрия. Л.: Энергия, 1967.
203 с.
12. Тымкул Л.В., Тымкул В.М., Алеев Р.М. Метод и результаты расчета пространственного распределения силы света излучающих тел ламп накаливания // Оптико-механическая промышленность. 1981.
№ 2. С. 36−39.
13. Гуревич М.М. Введение в фотометрию. Л.: Энергия, 1968. 244 с.
14. Kubelka P. Theory of Diffuse Reflectance // Journal Optical Society of
America. 1948. Vol. 38. No 5. P. 448−457.

206 15. Середенко М.М. Влияние подложки и толщины лакокрасочного покрытия на его коэффициент излучения // Оптико-механическая промышленность. 1979. № 5. С. 10−11.
16. Морозова Л.Н., Середенко М.М. Характеристики поглощения и рассеяния теплоизолирующих тканей в инфракрасной области спектра // Оптико-механическая промышленность. 1983. № 3.
С. 10−11.
17. Войшвилло Н.А. Теория Гуревича — Кубелки — Мунка для рассе- ивающих слоев с двумя отражающими границами // Оптика и спектроскопия. 1974. Т. 37. Вып. 1. С. 136−143.
18. Непогодин И.А., Козенко А.А. Статистическая модель эффективной площади рассеяния тел в оптическом диапазоне // Импульсная фо- тометрия. Л.: Машиностроение, 1984. Вып. 8. С. 21−25.
19. Вероятностное распределение эффективной площади рассеяния летательных аппаратов в однопозиционной лазерной локации /
Л.В. Лабунец, М.П. Мусьяков, В.В. Федотов и др. // Вопросы спе- циального машиностроения. 1987. Сер. 4. Вып. 9 (165). С. 36−43.
20. Лабунец Л.В. Цифровая обработка переходных характеристик
3D-объектов в однопозиционной системе оптической локации //
Радиотехника и электроника. 2002. Т. 47. № 4. С. 452−460.
21. Лабунец Л.В. Обобщенная статистическая модель характеристик заметности целей в одно- и двухпозиционных локационных си- стемах // Электромагнитные волны и электронные системы. 2002.
Т. 7. № 8. С. 14−25.
22. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Радио и связь, 1982. 624 с.
23. Химмельблау
Д. Прикладное нелинейное программирование: Пер. с англ. М.: Мир, 1975. 534 с.
24. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы ма- тематических вычислений / Пер. с англ. Х.Д. Икрамова М.: Мир,
1980. 279 с.
25. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. 2-е изд., доп. М.: Наука, 1979. 416 с.
26. Beckmann P. Scattering by Non-Gaussian Surface // IEEE Transac- tions. 1973. Vol. AP-21. No 2. P. 169−175.
27. Мартынов Г.В. Вычисление функций нормального распределе- ния // Итоги науки и техники. Сер. Теория вероятностей. Мате- матическая статистика. Теоретическая кибернетика / Под ред.
Р.В. Гамкрелидзе. М.: ВИНИТИ. 1979. Т. 17. С. 23−37.
28. Chambers M. On Methods of Asymptotic Approximation for Multi- variate Distributions // Biometrika. 1967. Vol. 54. P. 367−383.

207 29. Фомин Я.А. Теория выбросов случайных процессов. М.: Связь,
1980. 216 с.
30. Лабунец Л.В. Корреляционное приближение многомерных вероят- ностных распределений // Вопросы проектирования кибернетиче- ских устройств: Труды МВТУ. 1987. Вып. 493. С. 3−12.
31. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых про- цессов и их преобразований. М.: Сов. радио, 1978. 376 с.
32. Devroye L., Gyorfii L. Nonparametric Density Estimation: The L1
View. New York: John Wiley & Sons, 1985. 408 p.
33. Фукунага К. Введение в статистическую теорию распознавания образов / Пер. с англ. И.Ш. Торговицкого под ред. А.А. Доро- феюка. М.: Наука, 1979. 368 с.
34. Cramer H. Mathematical methods of statistics. Princeton: University
Press, 1946. 427 p.
35. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, ал- горитмы, программы: Справ. пособие. Киев: Наук. думка, 1986.
544 с.
36. Прикладная статистика: Классификация и снижение размерности:
Справ. изд. / С.А. Айвазян, И.С. Енюков, Л.Д. Мешалкин; Под ред.
С.А. Айвазяна. М.: Финансы и статистика, 1989. 607 с.
37. Обработка экспериментальных данных с использованием компью- тера: Пер. с япон. / С. Минами, Т. Утида, С. Кавата и др.; Под ред.
С. Минами. М.: Радио и связь, 1999. 256 с.
38. Scott D.W. Multivariate Density Estimation: Theory, Practice and
Visualization. New York: John Wiley, 1992. 317 p.
39. Кравченко В.Ф., Рвачев В.А. Wavelet-системы и их применение в обработке сигналов // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи со- временной радиоэлектроники. 1996. № 4. С. 3−20.
40. Кравченко В.Ф., Басараб М.А., Перес-Меана Х. Спектральные свойства атомарных функций в задачах цифровой обработки сиг- налов // Радиотехника и электроника. 2001. Т. 46. № 5. С. 534−552.
41. Лабунец Л.В. Распределение длительности выбросов нестационар- ного нормального процесса // Радиотехника. 1985. № 11. С. 47−50.
42. Лабунец Л.В. Оценка распределения длительности выбросов одно- го класса негауссовских случайных процессов // Радиотехника.
1986. № 9. С. 64−67.
43. Лабунец Л.В. Интерполяционное приближение распределения длительности выбросов случайного процесса // Радиотехника и электроника. 2000. Т. 45. № 12. С. 1459−1469.

208 44. Лабунец Л.В. Интерполяционное приближение вероятности зате- нений луча шероховатой поверхностью // Радиотехника и элек- троника. 2001. Т. 46. № 4. С. 464−470.
45. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. М. Абрамовица и
И. Стигана; Пер. с англ. под ред. В.А. Диткина и Л.Н. Кармазиной.
М.: Наука, 1979. 630 с.
46. Статистические характеристики эффективной площади рассеяния аэрокосмического корабля в однопозиционной оптической лока- ции / Л.В. Лабунец, М.П. Мусьяков, М.Н. Шашлов и др. // Вопро- сы специального машиностроения. 1990. Сер. 4. Вып. 9 (193).
С. 21−36.
47. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирова- ния М.: Наука, 1982. 296 с.
48. Быков В.В.Цифровое моделирование в статистической радиотех- нике. М.: Советское радио, 1971. 328 с.
49. Шурыгин А.М. Прикладная стохастика: робастность, оценивание, прогноз. М.: Финансы и статистика, 2000. 224 с.
50. Meshalkin L.D. Some mathematical methods for the study of non- communicable diseases // Proceedings 6-th International Meeting of Uses of Epidemiology in Planning Health Services. Primosten,
Yugoslavia. 1971. Vol. 1. P. 250−256.
51. Шурыгин А.М. Оценка параметров нормального распределения по
«загрязненной» выборке и статистический кластер-критерий //
Теория вероятностей и ее применения. № 1. 1979. С. 233−234.
52. Шурыгин А.М. Оценка параметров нормального распределения с экспоненциальным взвешиванием наблюдений: асимптотическая теория // Ученые записки по статистике. Алгоритмическое и про- граммное обеспечение прикладного статистического анализа.
М.: Наука, 1980. Т. 36. С. 241−259.
53. Лабунец Л.В., Анищенко Н.Н. Структурный анализ переходных ха- рактеристик 3D-объектов в однопозиционной системе оптической локации // Радиотехника и электроника. 2011. Т. 56. № 2.
С. 163−177.
54. Goshtasby A., O’Neill W.D. Curve Fitting by a Sum of Gaussians //
CVGIP: Graphical models and Image Processing. 1994. Vol. 56. No 4.
P. 281−288.
55. McLain D.H. Drawing contours from arbitrary data points // The Com- puter Journal. 1974. Vol. 17. No 4. P. 318−324.
56. Лабунец Л.В. Рандомизация многомерных распределений в метри- ке Махаланобиса // Радиотехника и электроника. 2000. Т. 45.
№ 10. С. 1 214−1225.