Файл: Л. В. Горчаков в в в в е е д д е е н н и и е е в в к к о о м м п п ь ь ю ю т т е е р р н н о о е е м м о о д д е е л л и и р р о о в в а а н н и и е е учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.01.2024
Просмотров: 166
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
51
Так как значения для больших k невелики, то мы скомбинируем четные и нечетные случаи и будем рассматривать их отдельно, так как четное k соответствует конечному ответу а, а нечетное – b.
Сравнение результатов предсказания с экспериментом дано в табл. 5.
Таблица 5
K
Количество испытуемых изменивших ответ k раз
Предсказанное число
0 10 5,22 1
1 2,61 2 или 4 5
7,01 3 или 5 4
3,51 6,8 или 10 2
5,41 7,9 или 11 1
2,71
Большие четные
5 4,30
Большие нечетные
5 2,15
Задачи на самостоятельную работу
1. Эксперимент с 30 участниками дал
120,
140
aa
ab
n
n
,
120,
114
ba
bb
n
n
. Оцените матрицу Р и определите, какова веро- ятность конформизма испытуемого в конце опыта.
2. Решите ту же задачу для
150
ab
n
3. В эксперименте с 40 участниками получена матрица Р вида
1 0
0 0
7 136 10 17 49 136 0
0 24 49 3 7 4 49 0
0 0
1
P
Каковы наблюдаемые значения
,
,
,
,
,
ab
aa
ba
bb
a
b
n
n
n
n
t t ?
5.4. Численная имитация марковского процесса
Рассмотрим простой способ численной имитации марковского процесса с использованием строк переходной матрицы Р. Считает- ся, что за один такт процесс переходит из состояния i в другое со- стояние j, если
52 1
1 1
j
j
k
ik
k
ik
p
r
p
,
(33) где через r обозначено псевдослучайное число из интервала [0,1].
Таким образом, последовательность псевдослучайных чисел, гене- рируемая в машине с помощью датчика, порождает реализацию марковской цепи. Ниже представлена программа машинной имита- ции марковского процесса, где М – число состояний, N –
моделируемое число переходов, I – начальное состояние процесса.
Матрица Q получается элементарным преобразованием матрицы Р.
Ее строки задают распределение кумулятивных вероятностей. Про- грамма определяет и выводит на печать номер состояния процесса в каждый из N рассматриваемых моментов времени.
10 INPUT «введите M,N,I»; M, N, I
20 FOR I=1 TO M
30 FOR J=1 TO M
40 READ Q(I,J)
50 DATA элементы матрицы Q
60 FOR L=1 TO N
70 A=RND(1)
80 FOR J=1 TO M
90 IF Q(I,J)-A>=0 THEN 110 100 NEXT J
110 I=J
120 PRINT I
130 NEXT L
6.
С
ТАНДАРТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
И ИХ ПОЛУЧЕНИЕ
[3]
При рассмотрении дискретных или непрерывных случайных процессов вводят функцию F(x) , называемую кумулятивной функ- цией распределения величины X. Эта функция задает вероятность того, что случайная величина X принимает значение, не превосхо- дящее числа х. Если случайная величина дискретна, т.е. X прини- мает конечное число значений, то функция F(x) является ступенча- той. Если F(x) непрерывна, то ее можно продифференцировать и получить функцию
f x
dF x dx
. Функция f(x) называется
53 функцией плотности вероятностей. Кумулятивную функцию рас- пределения можно определить как
x
F x
P X
x
f t dt
,
(34) где F(x) изменяется на отрезке (0,1), а f(t) представляет собой зна- чение функции плотности вероятностей случайной величины Х при
X = t. Кумулятивная функция распределения дискретной случайной величины Х задается аналогично F(x) в виде
0
x
t
F x
P X
x
f t
,
(35) где f(t) – частота или функция вероятностей, которая определяется для целых значений аргумента t по формуле
,
0,1, 2,
f t
P X
t
t
(36)
При генерировании случайных величин, имеющих различные функции распределения, в качестве исходного используются рав- номерно распределенные случайные величины. Их будем обозна- чить через r,
0 1,
r
F r
r
. Методы генерирования случайных величин равномерно распределенных на [0, 1] даны нами ранее в разделе 3.
Если требуется генерировать случайные числа x i из некоторой статистической совокупности с функцией плотности вероятностей
f(x), то сначала строят кумулятивную функцию распределения F(x)
(рис. 14).
1. Строим график или таблицу интегральной функции распреде- ления на основе ряда чисел, отражающих исследуемый процесс, значения случайной переменной откладываются по оси х, а значе- ние вероятности (от 0 до 1) по оси у.
2. С помощью генератора случайных чисел выбираем случайное число в пределах от 0 до 1.
3. Проводим прямую до пересечения с кривой F(x) и снимаем значение х по оси х – оно берется как выбранное.
4. Повторяем процесс столько раз, сколько необходимо.
54
Рис. 14. Кумулятивная функция распределения
Пусть имеем систему, в которой за каждый 10-минутный период число клиентов нуждающихся в обслуживании соответствует рас- пределению, приведенному в табл. 6.
Таблица 6
Число клиентов
Вероятность
Кумулятивная вероятность
0 0,40 0,40 1
0,25 0,65 2
0,20 0,85 3
0,15 1,00
Рис. 15. Распределение кумулятивных вероятностей
Предположим, что мы хотим провести эксперимент для 5 пери- одов времени. Строим график распределения кумулятивной веро- ятности (рис. 15).
55
Генерируем 5 двузначных целых чисел из интервала 00–99 и делим их на 100. Каждое из получившихся чисел используем для опреде- ления числа клиентов, появляющихся в данный момент времени.
Если эти числа, например, равны 09, 54, 42, 80 и 20, то получаем следующую табл. 7.
Таблица 7
Период времени
Случайное число
Число клиентов
1 0,09 0
2 0,54 1
3 0,42 1
4 0,80 2
5 0,20 0
Для непрерывной функции F(x), так как F(x) изменяется на проме- жутке [0,1], как показано на рис. 15, то чтобы получить случайные числа с этим распределением, можно также генерировать равно- мерно распределенные числа r и полагать F(х) = r. Величина х од- нозначно определяется из этого соотношения. Следовательно, для конкретного значения r, скажем
0
r , можно найти величину х, в данном случае
0
x , связанную с
0
r обратной функцией к F
1 0
0
x
F
r
,
(37) где
1
F
r
– братное отображение величины r, заданной на еди- ничном интервале, в область изменения х. Математически этот ме- тод можно выразить следующим образом: если мы генерируем равномерно распределенные случайные числа и ставим их в соот- ветствие данной функции F(x), т.е.
x
r
F x
f t dt
, то
1
P X
x
F x
P r
F x
P F
r
x
(38) и, следовательно,
1
F
r
есть случайная величина с функцией плотности вероятностей
f x
. Это равносильно выражению вели- чины х через значение r с помощью (37). Такая процедура называ- ется методом обратного преобразования.
56
6.1 Равномерное распределение
Функция плотности вероятностей равномерного распределения на промежутке [a, b] имеет вид
1
f x
b a
,
(39) для
a
x
b
и 0 иначе.
График равномерного распределения изображен на рис. 16.
Рис. 16. Равномерное распределение
Здесь х – случайная величина, определенная на интервале [a, b].
Это самое простое непрерывное распределение с функцией плот- ности вероятностей постоянной на интервале [a, b] и равной нулю вне его. Оно часто применяется в имитационных методах, так как простое и используется для получения других распределений. Ку- мулятивная функция распределения F(x) равномерно распределен- ной случайной величины X есть
1
, 0 1
x
a
F x
b a dx
x a b a
F x
(40)
Для имитации равномерного распределения на интервале [a, b] сначала генерируются случайные числа r, равномерно распреде- ленные в [0, 1], затем вычисляют х по формуле
, 0 1
x
a
b a r
r
(41)
Каждое случайное число однозначно определяет реализацию рав- номерно распределенной случайной величины Х.
Программа генерирования равномерного распределения, задан- ного на интервале [a, b], имеет вид
57 10 INPUT A,B
20 FOR I=1 TO 100 30 R=RND(1)
40 X=A+(B-A)*R
50 PRINT X
60 NEXT
Методы генерирования других вероятностных распределений основаны на обратном преобразовании и на использовании цен- тральной предельной теоремы.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
6.2. Экспоненциальное распределение
Когда вероятность наступления события в малом интервале времени
t очень мала и не зависит от наступления других собы- тий, то интервалы времени между последовательными событиями распределены по экспоненциальному закону (рис. 17). Оно имеет плотность вероятности
ax
f x
e
с математическим ожидани- ем
1
и дисперсией
2 1
Рис. 17. Экспоненциальное распределение
Если в какой-либо ситуации с очередями появление клиентов име- ет пуассоновское распределение с параметром
, то интервалы времени между их появлениями имеют экспоненциальное распре- деление с параметром 1/
. Этому закону распределения подчиня- ются многие явления. Например, длительность телефонных пере- говоров, срок службы многих электронных деталей, время поступ- ления заказов на предприятие, время прибытия самолета в аэро- дром и т.д. Для генерирования случайных чисел, распределенных
58 по экспоненциальному закону, используем обратное преобразова- ние. Если случайная величина
имеет плотность распределения
f
x
, то распределение случайной величины
f
x dx
(42) является равномерным в [0, 1]. Следовательно нам нужно найти функциональную зависимость исходной случайной величины
и равномерно распределенной в [0, 1] величины
, т.е.
. Если уравнение (42) разрешить относительно
, то найдем
. Если
x
f
x
e
, то
0
i
x
i
e
dx
и интегрируя, получаем
1
ln 1
i
i
Поскольку распределение величины
i имеет тот же вид, что и рас- пределение
1
i
,
то последнее выражение можно записать в виде
1
ln
i
i
(43) и оно может быть использовано для генерации случайной величи- ны
i
. Тогда длина интервала между (i–1)-ым и i-м событиями за- дается формулой (43), а моменты поступления заявок в потоке определяются согласно формуле
1 0
1 2
1 2
1
,
,
,
k
k
k
t
t
t
t
t
t
(44)
Программа, генерирующая такие величины, имеет вид
10 INPUT “Введите параметр
“; L
20 A=RND(1)
30 X=-LN(A)/L
40 PRINT X
6.3. Пуассоновское распределение
Распределением Пуассона можно описать целый ряд реальных процессов. Если взять серию из n независимых испытаний по схеме
Бернулли (да–нет, успех–неудача и т. п.) с малой вероятностью по- явления событий в каждом из них, то с ростом n вероятность того,
59 что мы будем наблюдать появление событий х раз, подчиняется пуассоновскому закону распределения (рис. 18)
Рис. 18. Распределение Пуассона
Распределение Пуассона имеет плотность вероятности
!
x
f x
e
x
с математическим ожиданием
и дисперсией
Этим распределением, например, описываются многие явления на определенном отрезке времени, например, количество пожаров, авиакатастроф, ураганов, крушений морских судов и т. д. Распре- деление Пуассона относится к числу дискретных (т.е. таких, при которых переменная может принимать лишь целочисленные значе- ния, включая нуль) с математическим ожиданием и дисперсией, равными
. В теории вероятностей показано, что если моменты по- явления событий на некотором временном интервале имеют экспо- ненциальное распределение, то число появлений событий, прихо- дящееся на каждый интервал, будет распределено по закону Пуас- сона. Отсюда следует метод вычисления значений переменных, подчиняющихся закону Пуассона – генерируются экспоненциально распределенные моменты наступления событий с математическим ожиданием 1, которые потом суммируются до тех пор, пока итог не превысит величину
. Т.е. производится генерирование случайных значений переменной r
i
, равномерно распределенных в интервале от 0 до 1, до тех пор, пока не станет справедливым соотношение
1 0
0
x
x
i
i
i
i
r
e
r
(45)
Этот метод реализуется следующей программой
10 INPUT “Введите
“; L
20 A=EXP(-L)
30 S=1.0 40 RN=RND(1)
60 50 S=S*RN
60 IF(S-A)<0 THEN 90 70 X=X+1.0 80 GOTO 40 90 PRINT X
Когда вероятность некоторого события для одного временного интервала такая же, как для любого другого, а осуществление како- го-либо события не оказывает влияния на вероятность его повтор- ного появления, имеется веское основание ожидать распределение
Пуассона. Дополнительные основания для этого мы получаем, если в любом интервале времени имеет место высокая вероятность по- явления нулевого числа событий и если среднее число событий в каждом временном интервале мало.
6.4. Нормальное распределение
Нормальное, или гауссово, распределение (рис. 19) – это, несо- мненно, одно из наиболее важных и часто используемых видов распределений. Оно симметрично относительно математического ожидания и характеризуется его величиной
и среднеквадратиче- ским отклонением
. Нормальное распределение имеет плотность вероятность
2 1 2
exp
2
f z
z
c математическим ожидани- ем 0 и дисперсией 1.
Рис. 19. Нормальное распределение
В литературе описывался целый ряд широко используемых ме- тодов генерирования нормального распределенных псевдослучай- ных чисел. Все они основаны на преобразовании
Z
X
, так