Файл: Л. В. Горчаков в в в в е е д д е е н н и и е е в в к к о о м м п п ь ь ю ю т т е е р р н н о о е е м м о о д д е е л л и и р р о о в в а а н н и и е е учебное пособие.pdf

61 что генерируемая случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием, равным 0, и среднеквадратическим отклонением 1. Переход к требуемому нормальному распределе- нию осуществляется с использованием соотношения
 
X
    
Для получения нормального распределения используют цен- тральную предельную теорему теории вероятностей. Если взять выборку объемом в n значений из совокупности распределенной с параметрами

и

, то сумма этих n значений будет асимптотиче- ски стремиться к нормальному распределению с математическим ожиданием n

и дисперсией n

при большом n. Если взять те же n значений из совокупности равномерно распределенной на интерва- ле [0, 1], то

= 1/2 и

= 12 и из суммы наших n величин мы мо- жем получить величину х, распределенную нормально с математи- ческим ожиданием n/2 и дисперсией n/12. Таким образом, если взять n = 12, то получим дисперсию х равную 1. Если из суммы вы- честь число 6, то математическое ожидание окажется равным 0.
Поэтому, если r
i
есть нормально распределенные случайные числа на интервале [0, 1], то можно вычислить значение случайной пере- менной, распределенной нормально с

= 0 и

= 1, по формуле
12 1
6
i
i
x
r




(46)
Тогда программа расчета такой величины будет иметь вид
10 INPUT “ВВЕДИТЕ МАТОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЮ”;EX,ST
20 S=0.0 30FOR I=1 TO 12 40A=RND(1)
50 S=S+A
60 X=ST*(S-6)+EX
70 PRINT X
Формулы и программы для других видов распределений (гео- метрического, биномиального, гипергеометрического) приведены в монографии [3].
Общий метод, пригодный для имитации 1) любого эмпириче- ского распределения, 2) любого дискретного распределения, 3) лю- бого непрерывного распределения, которое можно аппроксимиро- вать дискретным, может быть следующим. Пусть Х – дискретная

62 случайная величина, заданная формулой


i
i
P X
b
p


. Предпо- ложим, что Х можно описать при помощи распределения из табл. 8.
Таблица 8
b
i


i
i
p X
b
p


b
1 0,273 b
2 0,037 b
3 0,195 b
4 0,009 b
5 0,124 b
6 0,058 b
7 0,062 b
8 0,151 b
9 0,047 b
10 0,044
В памяти машины в ячейках с 1 по 1000 располагаем 273 величины
b
1
, 37 величин b
2
, 195 величин b
3
,..., 44 величины b
10
, Генерируем состоящее из трех цифр случайное число
1 2 3
r
d d d

,
причем
0 1000
r
 
. Число, расположенное в ячейке с номером r, присваи- вается переменной Х.
Задачи для самостоятельного решения
1. Размеры предприятия 60

150 метров. Бомбардировщик захо- дит на цель по середине длинной стороны. Точка прицеливания – центр. Фактическая точка попадания по горизонтали и по вертика- ли имеет отклонения х и у, которые распределены нормально с ну- левым средним значением. Среднеквадратичное отклонение 60 метров по х и 30 метров по у. При каждом заходе выпускается 6 ракет. Взяв объем выборки в 10 заходов, оцените среднее число попаданий при каждой атаке.
2. Число пожаров в сутки следует распределению Пуассона со средним значением 4 пожара в сутки. Данные представлены в табл. 9.

63
Таблица 9
Число пожаров
0 1
2 3
4 5
6 7
8 9
Вероятность
0,02 0,07 0,15 0,20 0,20 0,16 0,10 0,06 0,03 0,02
В 75% случаев для тушения потребовалась 1 машина, а время не- обходимое для ликвидации пожара имеет нормальное распределе- ние с

= 3 часов и

= 0.5 часа. В остальных 25% требовалось две машины и время – с

= 4 часа и

= 1час. Определите, сколько ча- сов в среднем они бывают нужны каждые сутки. Объем выборки 10 суток.
3. Задача о продавце
Продавец газет покупает оптом в типографии газеты по 2 рубля за штуку и продает их по 3 рубля, непроданные в течение дня газе- ты пропадают. Из опыта продавец установил, что в среднем имеет- ся 10 покупателей в день и число их колеблется случайным обра- зом. Если вероятность покупки одинакова, то, сколько газет выгод- но покупать продавцу? Допустим, продавец приобретает k газет и имеется m покупателей. Если m k

, то будет продано m газет и доход будет 3 2
m
k

рублей. Если m
k

, то продается только k газет и доход будет k рублей. В общем случае для случайного про- цесса доход определяется по формуле


10 10 0
1 3
2 10
!
10
!
k
m
m
k
m
m k
E
m
k
e
m
k
e
m




 





(47)
Можно показать, что
 
10 10 1
0 1
2 10
!
10
!
k
m
m
k
k
m
m k
E
E
e
m
e
m





 






(48)
Используя
10 0
10
! 1
m
m
e
m





,
(49) можно преобразовать его к виду
10 1
0 1 3 10
!
k
m
k
k
m
E
E
e
m




 

(50)
Очевидно, что продавец будет покупать k + 1 газету, если
1 0
k
k
E
E



Поэтому число газет, которые он приобретает должно быть наименьшим значением k из всех k, при которых
1 0
k
k
E
E



Построим табл. 10 вида

64
Таблица 10
k
10 10
!
k
e
k

10 0
10
!
k
m
m
e
m



1
k
k
E
E


k
E
0 0,00005 0,00005 0,99985 0
1 0,00005 0,00005 0,9985 0,9999 7
0,0901 0,2203 0,3394 6,2784 8
0,1126 0,3329 0,0013 6,6088 9
0,1251 0,4580
-0,3737 6,6195 10 0,1251 0,5831
-0,7490 6,2485
Из таблицы видно, что продавец должен покупать только 9 газет и его доход ожидается равным 6,6 рубля. При покупке 10 газет доход меньше на 6% и убытки больше, если он не найдет 10 покупателей.
Проверьте с помощью Mathcad данные табл. 10.
7.
И
МИТАЦИОННОЕ СТОХАСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
При моделировании процессов не обязательно преобразовывать математическую модель в специальную систему уравнений отно- сительно искомых величин. Достаточно имитировать сами явления, описываемые математической моделью, с сохранением их логиче- ской структуры, последовательности чередования во времени, фи- зическое содержание. «Имитировать» значит вообразить, постичь суть явления, не прибегая к экспериментам на реальном объекте.
По существу, каждая модель или представление вещи есть форма имитации. Когда имитационная модель строится для системы, вхо- ды и (или) функциональные соотношения между различными ком- понентами которой содержат элементы случайности, подчиняющи- еся вероятностным законам, то она называется имитационной сто- хастической моделью.
Имитационное моделирование полезно при наличии следующих условий:
1) не существует законченной математической задачи, либо еще не разработаны аналитические методы сформулированной ма- тематической задачи;
2) аналитические методы имеются, но математические про- цедуры столь сложны и трудоемки, что имитационная модель дает более простой способ решения;

65 3) аналитическое решение существует, но их реализация не- возможна из-за недостаточной компетенции персонала;
4) кроме оценки определенных параметров, желательно осуществить наблюдение за ходом процесса в течение определен- ного периода;
5) имитационное моделирование единственно возможное из-за трудностей постановки эксперимента и наблюдений явлений в реальных условиях;
6) для долговременного действия систем или процессов мо- жет понадобиться замедление или ускорение явления в ходе экспе- римента (сжатие временной шкалы).
К достоинствам имитационной модели относят то, что она
1) позволяет экспериментально исследовать сложные внут- ренние взаимодействия в системе;
2) позволяет изучить воздействие на функционирование си- стемы внутренней и внешней обстановки;
3) позволяет лучше понять систему и изучить ее;
4) как педагогический прием для обучения студентов основ- ным навыкам теоретического анализа;
5) знания, полученные во время разработки модели, часто становятся источником изменений в самой имитируемой системе;
6) дает представление о том, какие из переменных системы наиболее существенны и как они взаимодействуют;
7) использовать для изучения новых ситуаций (подготовка к будущему);
8) служит предварительной проверкой новых стратегий и правил принятия решений;
9) позволяет сменить последовательность событий в систе- ме;
10) может служить для проверки аналитических решений;
11) позволяет изучить динамические системы в реальном времени;
12) использовать для предсказания узких мест и других труд- ностей, появляющихся в поведении системы при введении в нее новых элементов.
Все имитационные системы модели являются по существу чер- ным ящиком. Они обеспечивают выдачу входного сигнала, если на ее взаимодействующие подсистемы поступает входной сигнал. По-

66 этому для получения необходимой информации необходимо осу- ществлять «прогон» моделей, а не решать их. Имитационные моде- ли не способны формировать свое собственное решение в том виде, в каком это имеет место в аналитической модели, а могут лишь служить в качестве средства для анализа поведения системы в условиях, которые определяются экспериментатором. Следова- тельно, имитационное моделирование это не теория, а методология решения проблемы.
Является ли имитационное моделирование наиболее эффектив- ным способом решения задач? Ответ является отрицательным по следующим причинам:
1) разработка хорошей имитационной модели очень дорога, длительна и требует высококвалифицированных специалистов;
2) полученная имитационная модель может не отражать ре- альное положение вещей;
3) имитационная модель в принципе не точна, и мы не в со- стоянии измерить степень этой неточности. Анализ чувствительно- сти модели к изменению определенных параметров лишь частично преодолевает это затруднение;
4) результаты, которые дает имитационная модель, обычно являются численными, а их точность определяется количеством знаков после запятой, выбранным экспериментатором.
Машинная имитация позволяет исследовать модель, как в опре- деленные моменты времени, так и в течение продолжительных пе- риодов времени (т.е. статическое и динамическое моделирование).
В первом случае необходимо ответить на вопрос, сколько раз надо повторить один частный имитационный эксперимент, чтобы до- стичь данного уровня статистической точности. Во втором случае необходимо ответить на вопрос, как долго надо проводить динами- ческую имитацию, чтобы любой статистический вывод относи- тельно поведения системы не был подвержен воздействию началь- ных условий или исходного состояния.
Большинство имитационных экспериментов с моделями явля- ются стохастической имитацией. Так как результаты, полученные при воспроизведении на имитационной стохастической модели, являются реализациями случайных процессов, то для нахождения устойчивых характеристик требуется его многократное воспроиз- ведение с последующей статистической обработкой. При реализа-

67 ции процессов в таких моделях необходимо имитировать воздей- ствие многочисленных случайных факторов сложной природы на различные элементы модели. Каждое такое воздействие на процесс в модели представляется «розыгрышем» случайного явления с по- мощью процедуры, дающей случайный результат. Множество та- ких реализаций в ходе одного варианта имитации дает одну реали- зацию процесса. Затем следует статистическая обработка для полу- чения характеристик процесса. Для построения имитационных мо- делей необходимо знать сущность метода статистических испыта- ний, способы расчета необходимого числа реализаций, алгоритмы имитации псевдослучайных чисел, имеющих типовые распределе- ния.
При имитационном эксперименте на ЭВМ с моделями следуют процедуре, состоящей из следующих этапов:
1) формулировка проблемы;
2) формулировка математической модели;
3) составление программы для ЭВМ;
4) оценка пригодности модели;
5) планирование эксперимента;
6) обработка результатов эксперимента.
Формулировка проблемы обычно состоит из формулировки целей эксперимента, которые формулируются либо в виде 1) вопросов, на которые надо ответить, либо 2) гипотез, которые нужно проверить, либо 3) воздействий, которые нужно оценить. При формулировке подготавливают не только вопросы, но и формулируют критерий оценки возможных ответов на них.
При формулировке математической модели
1) выбирают переменные модели (входные и выходные);
2) определяют степень сложности модели и связи.
Для оценки пригодности модели (адекватности) следует ответить на следующие вопросы:
1) нет ли в модели несущественных переменных, которые не улучшают нашу способность предсказывать поведение системы;
2) все ли существенные переменные включены в модель;
3) правильно ли сформулированы функциональные связи между входными и выходными переменными систем;
4) верно ли оценены параметры модели и уравнений;

68 5) являются ли оценки параметров модели статистически значи- мыми;
6) в какой степени совпадают теоретические величины, полу- ченные на основе ручного счета, с фактическими значениями.
При построении стохастических имитационных моделей необ- ходимо обеспечить возможность генерирования случайных вели- чин либо с помощью таблиц, либо по теоретическим законам рас- пределения вероятностей с требуемыми параметрами. Для этой це- ли используются случайные числа. Если имитационная модель просчитывается на ЭВМ, мы должны иметь возможность 1) полу- чать равномерно распределенные случайные числа, 2) использовать эти случайные для генерации случайных величин с требуемыми характеристиками. До появления ЭВМ в качестве генераторов слу- чайных чисел использовались механические устройства – колесо рулетки, специальные игральные кости и устройства, перемешива- ющие фишки с номерами. Недостатками таких устройств является
1) трудность построения таких устройств, из которых ЭВМ в лю- бое время могла бы случайное число, 2) невозможность повторного воспроизведения той же самой последовательности чисел для по- вторных прогонов. С помощью рекуррентных математических ме- тодов реализовано несколько алгоритмов генерирования псевдо- случайных чисел, которые мы рассмотрели в разделе 3. Краткое изложение необходимых сведений из теории вероятностей и мате- матической статистики представлено в приложении.
0>

69 чтобы взять под контроль количественные показатели функциони- рования системы массового обслуживания, например, среднего времени пребывания в очереди, времени простоя системы обслу- живания из-за отсутствия заявок на обслуживание. Чем дольше ожидание, тем меньше простой и наоборот. Варьируя их, можно достигнуть компромисса. Рассматриваемые модели основаны на теории вероятности и теории случайных процессов. Взаимодей- ствие заявки с обслуживающей системой рассматривается только с точки зрения регистрации продолжительности интервала времени, требуемого для полного обслуживания заявки с момента ее по- ступления в обслуживающую систему. Т.е. интерес представляют отрезки времени, разделяющие последовательные поступления за- явок на обслуживание. При описании потока входящих требований используется распределение вероятностей моментов поступления требований и распределение времени обслуживания требований.
При фиксированных параметрах потока требований, заявок, клиен- тов и заданном объеме обслуживающего оборудования длина оче- реди является функцией времени. Поэтому процесс образования очереди будет стохастическим, так как он состоит из случайных событий. При построении функции распределения вероятностей для длины очереди нужно учесть особенности, присущие процессу образования очередей:
1) порядок, в соответствии с которым заказы поступают и за- нимают свое место в очереди;
2) количество обслуживающих единиц, исполняющих заказы и стратегию обслуживания, т.е. ограничения, наложенные на воз- можности и потребности обслуживания;
3) последовательность обслуживания – порядок очереди;
4) характер обслуживания и его длительность.
Cистемы массового обслуживания классифицируются с исполь- зованием обозначений Кендалла-Ли вида

 

/ /
:
/ /
a b c
d e f
, где символы a, b, c, d, e, f связаны с существенными элементами модельного представления процессов массового обслуживания. а –
распределение моментов поступления заявок на обслуживание, b – распределение времени обслуживания (или выбытий обслуженных клиентов), с – число параллельных узлов обслуживания, d – дисци-