Файл: Учебник для сопровождения лекций и практических занятий.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.01.2024
Просмотров: 53
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
III. Логические и булевы операции
Мы отождествляем логически эквивалентные высказывания.
Высказывание будем задавать с помощью конкретной фразы, но она может быть заменена любой логически эквивалентной.
Логическая операция (логическая функция) высказыва- нию ???? или упорядоченной паре высказываний (????, ???? ) сопоставля- ющая некоторое высказывание, которое может быть заменено на ло- гически эквивалентное.
Булева функция упорядоченной ????-ке нулей и единиц сопоставля- ет 0 или 1.
По булевой функции восстанавливается соответствующая логи- ческая функция, поскольку высказывание ???? восстанавливается по его логическому значению ????: ???? ∼
(здесь ∼ — символ эквивалентности высказываний)
62
III. Логические и булевы операции
Мы отождествляем логически эквивалентные высказывания.
Высказывание будем задавать с помощью конкретной фразы, но она может быть заменена любой логически эквивалентной.
Логическая операция (логическая функция) высказыва- нию ???? или упорядоченной паре высказываний (????, ???? ) сопоставля- ющая некоторое высказывание, которое может быть заменено на ло- гически эквивалентное.
Булева функция упорядоченной ????-ке нулей и единиц сопоставля- ет 0 или 1.
По булевой функции восстанавливается соответствующая логи- ческая функция, поскольку высказывание ???? восстанавливается по его логическому значению ????: ???? ∼ ???? = 1.
(здесь ∼ — символ эквивалентности высказываний)
63
III.1. Отрицание
Логическая функция отрицание высказыванию ???? сопоставля- ет высказывание ¬????, обозначаемое также ????,
логически экви- валентное высказыванию «не ????».
64
III.1. Отрицание
Логическая функция отрицание высказыванию ???? сопоставля- ет высказывание ¬????, обозначаемое также ????,
логически экви- валентное высказыванию «не ????».
Отметим, что высказывание ¬????
логически эквивалент- но высказываниям «неверно, что ????», «высказывание ???? ложно»,
«высказывание ???? неверно».
65
III.1. Отрицание
Логическая функция отрицание высказыванию ???? сопоставля- ет высказывание ¬????, обозначаемое также ????,
логически экви- валентное высказыванию «не ????».
Логической операции «отрицание» соответствует од- ноименная булева функция отрицание, которую можно задать таблицей истинности:
???? ¬???? = ????
66
III.1. Отрицание
Логическая функция отрицание высказыванию ???? сопоставля- ет высказывание ¬????, обозначаемое также ????,
логически экви- валентное высказыванию «не ????».
Логической операции «отрицание» соответствует од- ноименная булева функция отрицание, которую можно задать таблицей истинности:
???? ¬???? = ????
0 67
III.1. Отрицание
Логическая функция отрицание высказыванию ???? сопоставля- ет высказывание ¬????, обозначаемое также ????,
логически экви- валентное высказыванию «не ????».
Логической операции «отрицание» соответствует од- ноименная булева функция отрицание, которую можно задать таблицей истинности:
???? ¬???? = ????
0
Если высказывание ???? ложно, то высказывание «неверно, что ????»
68
III.1. Отрицание
Логическая функция отрицание высказыванию ???? сопоставля- ет высказывание ¬????, обозначаемое также ????,
логически экви- валентное высказыванию «не ????».
Логической операции «отрицание» соответствует од- ноименная булева функция отрицание, которую можно задать таблицей истинности:
???? ¬???? = ????
0
Если высказывание ???? ложно, то высказывание «неверно, что ????»
Например, если ???? ∼
,
то высказывание ¬???? ∼ ????,
т.е. высказывание «
»
69
III.1. Отрицание
Логическая функция отрицание высказыванию ???? сопоставля- ет высказывание ¬????, обозначаемое также ????,
логически экви- валентное высказыванию «не ????».
Логической операции «отрицание» соответствует од- ноименная булева функция отрицание, которую можно задать таблицей истинности:
???? ¬???? = ????
0
Если высказывание ???? ложно, то высказывание «неверно, что ????»
Например, если ???? ∼
,
то высказывание ¬???? ∼ ????,
т.е. высказывание «
»
Надо какое-нибудь неверное утверждение...
70
III.1. Отрицание
Логическая функция отрицание высказыванию ???? сопоставля- ет высказывание ¬????, обозначаемое также ????,
логически экви- валентное высказыванию «не ????».
Логической операции «отрицание» соответствует од- ноименная булева функция отрицание, которую можно задать таблицей истинности:
???? ¬???? = ????
0
Если высказывание ???? ложно, то высказывание «неверно, что ????»
Например, если ???? ∼ 4 > 5, то высказывание ¬???? ∼ ????,
т.е. высказывание «
»
Надо какое-нибудь неверное утверждение...
71
III.1. Отрицание
Логическая функция отрицание высказыванию ???? сопоставля- ет высказывание ¬????, обозначаемое также ????,
логически экви- валентное высказыванию «не ????».
Логической операции «отрицание» соответствует од- ноименная булева функция отрицание, которую можно задать таблицей истинности:
???? ¬???? = ????
0
Если высказывание ???? ложно, то высказывание «неверно, что ????»
Например, если ???? ∼ 4 > 5, то высказывание ¬???? ∼ ????,
т.е. высказывание «неверно, что 4 > 5»
72
III.1. Отрицание
Логическая функция отрицание высказыванию ???? сопоставля- ет высказывание ¬????, обозначаемое также ????,
логически экви- валентное высказыванию «не ????».
Логической операции «отрицание» соответствует од- ноименная булева функция отрицание, которую можно задать таблицей истинности:
???? ¬???? = ????
0
Если высказывание ???? ложно, то высказывание «неверно, что ????»
Например, если ???? ∼ 4 > 5, то высказывание ¬???? ∼ ????,
т.е. высказывание «неверно, что 4 > 5»
Истинно или ложно?
73
III.1. Отрицание
Логическая функция отрицание высказыванию ???? сопоставля- ет высказывание ¬????, обозначаемое также ????,
логически экви- валентное высказыванию «не ????».
Логической операции «отрицание» соответствует од- ноименная булева функция отрицание, которую можно задать таблицей истинности:
???? ¬???? = ????
0
Если высказывание ???? ложно, то высказывание «неверно, что ????»
Например, если ???? ∼ 4 > 5, то высказывание ¬???? ∼ ????,
т.е. высказывание «неверно, что 4 > 5» истинно.
Истинно или ложно?
74
III.1. Отрицание
Логическая функция отрицание высказыванию ???? сопоставля- ет высказывание ¬????, обозначаемое также ????,
логически экви- валентное высказыванию «не ????».
Логической операции «отрицание» соответствует од- ноименная булева функция отрицание, которую можно задать таблицей истинности:
???? ¬???? = ????
0
Если высказывание ???? ложно, то высказывание «неверно, что ????» истинно.
Например, если ???? ∼ 4 > 5, то высказывание ¬???? ∼ ????,
т.е. высказывание «неверно, что 4 > 5» истинно.
Истинно или ложно?
75
III.1. Отрицание
Логическая функция отрицание высказыванию ???? сопоставля- ет высказывание ¬????, обозначаемое также ????,
логически экви- валентное высказыванию «не ????».
Логической операции «отрицание» соответствует од- ноименная булева функция отрицание, которую можно задать таблицей истинности:
???? ¬???? = ????
0 1
Если высказывание ???? ложно, то высказывание «неверно, что ????» истинно.
Например, если ???? ∼ 4 > 5, то высказывание ¬???? ∼ ????,
т.е. высказывание «неверно, что 4 > 5» истинно.
Истинно или ложно?
76
III.1. Отрицание
Логическая функция отрицание высказыванию ???? сопоставля- ет высказывание ¬????, обозначаемое также ????,
логически экви- валентное высказыванию «не ????».
Логической операции «отрицание» соответствует од- ноименная булева функция отрицание, которую можно задать таблицей истинности:
???? ¬???? = ????
0 1
1 77
III.1. Отрицание
Логическая функция отрицание высказыванию ???? сопоставля- ет высказывание ¬????, обозначаемое также ????,
логически экви- валентное высказыванию «не ????».
Логической операции «отрицание» соответствует од- ноименная булева функция отрицание, которую можно задать таблицей истинности:
???? ¬???? = ????
0 1
1
Если высказывание ???? истинно, то высказывание «неверно, что ????»
78
III.1. Отрицание
Логическая функция отрицание высказыванию ???? сопоставля- ет высказывание ¬????, обозначаемое также ????,
логически экви- валентное высказыванию «не ????».
Логической операции «отрицание» соответствует од- ноименная булева функция отрицание, которую можно задать таблицей истинности:
???? ¬???? = ????
0 1
1
Если высказывание ???? истинно, то высказывание «неверно, что ????»
Например, если ???? ∼
,
то высказывание ¬???? ∼ ????,
т.е. высказывание «неверно, что
»
79
III.1. Отрицание
Логическая функция отрицание высказыванию ???? сопоставля- ет высказывание ¬????, обозначаемое также ????,
логически экви- валентное высказыванию «не ????».
Логической операции «отрицание» соответствует од- ноименная булева функция отрицание, которую можно задать таблицей истинности:
???? ¬???? = ????
0 1
1
Если высказывание ???? истинно, то высказывание «неверно, что ????»
Например, если ???? ∼
,
то высказывание ¬???? ∼ ????,
т.е. высказывание «неверно, что
»
Надо какое-нибудь верное утверждение...
80
III.1. Отрицание
Логическая функция отрицание высказыванию ???? сопоставля- ет высказывание ¬????, обозначаемое также ????,
логически экви- валентное высказыванию «не ????».
Логической операции «отрицание» соответствует од- ноименная булева функция отрицание, которую можно задать таблицей истинности:
???? ¬???? = ????
0 1
1
Если высказывание ???? истинно, то высказывание «неверно, что ????»
Например, если ???? ∼ 4 < 5, то высказывание ¬???? ∼ ????,
т.е. высказывание «неверно, что
»
Надо какое-нибудь верное утверждение...
81
III.1. Отрицание
Логическая функция отрицание высказыванию ???? сопоставля- ет высказывание ¬????, обозначаемое также ????,
логически экви- валентное высказыванию «не ????».
Логической операции «отрицание» соответствует од- ноименная булева функция отрицание, которую можно задать таблицей истинности:
???? ¬???? = ????
0 1
1
Если высказывание ???? истинно, то высказывание «неверно, что ????»
Например, если ???? ∼ 4 < 5, то высказывание ¬???? ∼ ????,
т.е. высказывание «неверно, что 4 < 5»
Надо какое-нибудь верное утверждение...
82
III.1. Отрицание
Логическая функция отрицание высказыванию ???? сопоставля- ет высказывание ¬????, обозначаемое также ????,
логически экви- валентное высказыванию «не ????».
Логической операции «отрицание» соответствует од- ноименная булева функция отрицание, которую можно задать таблицей истинности:
???? ¬???? = ????
0 1
1
Если высказывание ???? истинно, то высказывание «неверно, что ????»
Например, если ???? ∼ 4 < 5, то высказывание ¬???? ∼ ????,
т.е. высказывание «неверно, что 4 < 5»
Истинно или ложно?
83
III.1. Отрицание
Логическая функция отрицание высказыванию ???? сопоставля- ет высказывание ¬????, обозначаемое также ????,
логически экви- валентное высказыванию «не ????».
Логической операции «отрицание» соответствует од- ноименная булева функция отрицание, которую можно задать таблицей истинности:
???? ¬???? = ????
0 1
1
Если высказывание ???? истинно, то высказывание «неверно, что ????»
Например, если ???? ∼ 4 < 5, то высказывание ¬???? ∼ ????,
т.е. высказывание «неверно, что 4 < 5» ложно.
Истинно или ложно?
84
III.1. Отрицание
Логическая функция отрицание высказыванию ???? сопоставля- ет высказывание ¬????, обозначаемое также ????,
логически экви- валентное высказыванию «не ????».
Логической операции «отрицание» соответствует од- ноименная булева функция отрицание, которую можно задать таблицей истинности:
???? ¬???? = ????
0 1
1
Если высказывание ???? истинно, то высказывание «неверно, что ????» ложно.
Например, если ???? ∼ 4 < 5, то высказывание ¬???? ∼ ????,
т.е. высказывание «неверно, что 4 < 5» ложно.
Истинно или ложно?
85
III.1. Отрицание
Логическая функция отрицание высказыванию ???? сопоставля- ет высказывание ¬????, обозначаемое также ????,
логически экви- валентное высказыванию «не ????».
Логической операции «отрицание» соответствует од- ноименная булева функция отрицание, которую можно задать таблицей истинности:
???? ¬???? = ????
0 1
1 0
Если высказывание ???? истинно, то высказывание «неверно, что ????» ложно.
Например, если ???? ∼ 4 < 5, то высказывание ¬???? ∼ ????,
т.е. высказывание «неверно, что 4 < 5» ложно.
Истинно или ложно?
86
III.1. Отрицание
Логическая функция отрицание высказыванию ???? сопоставля- ет высказывание ¬????, обозначаемое также ????,
логически экви- валентное высказыванию «не ????».
Логической операции «отрицание» соответствует од- ноименная булева функция отрицание, которую можно задать таблицей истинности:
???? ¬???? = ????
0 1
1 0
Это стоит записать и запомнить!
87
III.2. Конъюнкция
Логическая функция конъюнкция паре высказываний ???? и ????
сопоставляет высказывание ????&???? , обозначаемое также ???? ∧ ???? ,
логически эквивалентное высказыванию «???? и ???? ».
88
III.2. Конъюнкция
Логическая функция конъюнкция паре высказываний ???? и ????
сопоставляет высказывание ????&???? , обозначаемое также ???? ∧ ???? ,
логически эквивалентное высказыванию «???? и ???? ».
Отметим, что высказывание ???? ∨????
логически эквивалентно вы- сказываниям «????, а ???? », «????, но ???? », «и ????, и ???? ».
89
III.2. Конъюнкция
Логическая функция конъюнкция паре высказываний ???? и ????
сопоставляет высказывание ????&???? , обозначаемое также ???? ∧ ???? ,
логически эквивалентное высказыванию «???? и ???? ».
Логической операции «конъюнкция» соответ- ствует одноименная булева функция конъ- юнкция, которую можно задать таблицей истин- ности:
???? ???? ????&???? = ???? ∧ ????
90