Добавлен: 12.02.2019
Просмотров: 1031
Скачиваний: 10
Обозначим смешанные стратегии игроков А и В через
и ,
где – вероятность (частота) применения игроком А чистой стратегии , – вероятность (частота) принятия игроком В чистой стратегии .
Причем и
Чистые стратегии игроков А и В, для которых вероятности и отличны от 0 называются активными.
Теорема (основная теорема теории игр) (теорема минимакса).
Любая конечная игра двух лиц с нулевой суммой имеет, по крайней мере, одно решение (т. е. пару оптимальных стратегий, в общем случае смешанных) и соответствующую цену.
Решение игры, не имеющей седловой точки может осуществляться различными методами. Рассмотрим наиболее важные из них.
Графическое решение игр вида и
Этот метод применим только к играм, в которых хотя бы один игрок имеет только две стратегии.
Рассмотрим следующую игру (без седловой точки)
Ожидаемые выигрыши игрока А, соответствующие чистым стратегиям игрока В, представлены в таблице:
В А |
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
Отсюда видно, что
ожидаемый выигрыш игрока А линейно
зависит от
.
В соответствии с критерием минимакса
игрок А должен выбирать
так:
Чистые стратегии игрока В |
Ожидаемые выигрыши игрока А |
1 |
|
2 |
|
… |
… |
N |
|
Пример:
-
Вj
Аi
В1
В2
В3
В4
А1
2
4
8
6
А1 –
доминирующая
одинаковые
А2
1
4
6
4
А3
2
4
8
6
А4
8
6
2
1
Замечания: Стратегии, для которых есть доминирующие и дублирующие стратегии можно отбрасывать.
-
Вj
Аi
В1
В2
В3
В4
А1
2
4
8
6
А4
8
6
2
1
В3
доминирующая
-
Вj
Аi
В1
В2
В4
А1
2
4
6
2
А4
8
6
1
1
8
6
6
2
6
6
4/3 1 8
1
Х1
– цена игры
|
Чистая стратегия Игрок В |
Ожидаемый выигрыш игрока А |
|
|
|||||||
1 |
-6х1 + 8 |
zZ1 |
|
||||||||
2 |
-2х1 + 6 |
zZ2 |
|
||||||||
3 |
5х1 + 1 |
zZ3 |
|
||||||||
z 100 y1 |
|
|
|
||||||||
|
|
Чистая стратегия Игрока А
Ожидаемый выигрыш
Игрока В 1 -4у1+6 2 7у1+1 |
|
|
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
Задачи (для самостоятельной работы):
1. «Семейный спор». Пусть со стороны мужа и жены имеется два взаимоисключающих предложения провести наступающий вечер: муж предлагает остаться дома и смотреть телевизор, жена – пойти в театр. Построить для данной конфликтной ситуации «платежные» матрицы для мужа и жены.
2. «Отгадывание
монет». Пусть у каждого игрока имеется
по 2 монеты:
1 руб. и 2 руб. если при
подбрасывании обоих момент их стороны
совпадают, то деньги забирает первый
игрок, если нет, второй. Построить
платежную матрицу для первого игрока.
Есть ли у данной игры седловая точка?
3. Пусть в двух местных предприятиях в цехах ширпотреба предлагают выпустить оригинальную елочную игрушку к Новому году. У предприятия «Заря» от предыдущих сезонов остались штампы для изготовления «птичек», а у продукции «Луч» – для изготовления «рыбок», что ограничивает планы этих предприятий игрушкой соответствующей формы. Каждое предприятие может выпускать игрушки в одном из вариантов: цветном и серебристом, причем себестоимость и продажная цена всех 4-х видов игрушек одинакова. Одновременно же выпуск предприятием игрушки в цветном и серебристом вариантах с самого начала признан экономически не выгодным и поэтому не рассматривается. За пределы города эта продукция не вывозится. В самом же городе, как установили социологи, найдет сбыт одна тысяча штук игрушек всех видов, причем спрос на них распределяется в соответствии с данными.
-
УП
УР
СП
СР
УП
Х
40 %
70 %
90 %
УР
60 %
Х
30 %
50 %
СП
30 %
70 %
Х
20 %
СР
10 %
50 %
80 %
Х
Определить оптимальную стратегию предприятий в следующих двух предложениях:
а) будем считать, что руководство «Луча», своевременно узнает какую игрушку решила выпустить «Заря», а когда «Заря» узнает, какую игрушки выпустил «Луч», перестраиваться ей уже будет поздно;
б) информация о выпуске продукции неизвестна, ни той, ни другой стороне.
4. Дана платежная матрица.
В А |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
А1 |
1 |
5 |
5 |
2 |
А2 |
4 |
2 |
1 |
5 |
А3 |
5 |
0 |
-1 |
5 |
А4 |
-3 |
6 |
6 |
-1 |
Определить оптимальную стратегию игроков.
Тема 6. БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ
В основе этих моделей лежит балансовый метод, т. е. метод взаимного сопоставления имеющихся ресурсов, например, трудовых, и потребностей в них.
Как отмечено выше, балансовые модели строятся в виде числовых матриц. Такую структуру имеют межотраслевой и межрайонный баланс производства и распределения продукции в народном хозяйстве, модели развития отраслей, межотраслевые балансы производства и распределения продукции отдельных регионов, модели промфинпланов предприятий, фирм и т. д. Несмотря на специфику этих моделей, их объединяет не только общий формальный (матричный) принцип построения и единства системы расчетов, но и аналогичность ряда экономических характеристик. Это позволяет рассматривать структуру, содержание и основные зависимости матричных моделей на примере одной из них, а именно, на примере межотраслевого баланса производства и распределения продукции в народном хозяйстве.
Принципиальная схема межотраслевого баланса (МОБ) производства и распределения совокупного общественного продукта в стоимостном выражении приведена в таблице.
Первый квадрант МОБ – это шахматная таблица межотраслевых связей. Представляет собой квадратную матрицу порядка n, сумма всех элементов которой равняется годовому фонду возмещения затрат средств производства в материальной сфере.
Во втором квадранте представленная конечная продукция всех отраслей материального производства, направленная на потребление и накопление (характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода).
Производящие отрасли |
Потребляющие отрасли |
Конечная продукция |
Валовая продукция |
|||||
1 |
2 |
3 |
… |
… |
n |
|||
1 2 3 . . . n |
x11 x21 x31
xn1 |
x12 x22 x32
xn2 |
x13 x23 x33
xn3 |
… …
… |
… …
… |
x1n x2n x3n
xnn |
Y1 Y2 Y3
Yn |
X1 X2 X3 … … … Xn |
Амортизация
Оплата труда
Чистый доход
|
С1
V1 |
С2
V2 |
С3
V3 |
… |
…
… |
Cn
Vn |
|
|
Валовая продукция |
X1 |
X2 |
X3 |
… |
… |
Xn |
|
Третий квадрант МОБ тоже характеризует национальный доход, но со стороны его стоимостного состава как сумму чистой продукции и амортизации. Сумма амортизации (Сj) и чистой продукции (Vj+mj) некоторой отрасли будем называть чистой продукцией этой отрасли и обозначить Zj.
Четвертый квадрант баланса отражает конечное распределение и использование национального дохода. Общий итог этого квадранта, как второго и третьего должен быть равен созданному за год национальному доходу. Рассмотрим два важнейших соотношения, отражающих сущность МОБ и являющихся основой его экономико-математической модели.
Во-первых, рассматривая схему баланса по столбцам можно сделать очевидный вывод, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли:
, (6.1)
Во-вторых, рассматривая схему МОБ по строкам для каждой производящей отрасли, можно видеть, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли.
, (6.2)
Просуммируем по всем отраслям уравнение (6.1), в результате чего получим
Аналогичное суммирование уравнений (6.2) дает:
Отсюда следует соблюдение соотношения
(6.3)
Величины называются коэффициентами прямых материальных затрат и рассчитываются следующим образом:
, (6.4)
Определение 1. Коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции i-ой отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j-ой отрасли.
С учетом формулы (6.4) систему баланса (6.2) можно переписать в виде
, (6.5)
или в матричной форме
(6.6)
Система уравнений (6.5) или в матричной форме (6.6) называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса (моделью Леонтьева).
С помощью этой модели можно выполнить 3 варианта расчетов:
А) Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (), можно определить объемы конечной продукции каждой отдельной отрасли ():
(6.7)
В) Задав величины конечной продукции всех отраслей (), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли ():
(6.8)
С) Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых, в этом варианте расчета удобнее пользоваться не матричной формой модели (6.6), а системой линейных уравнений (6.5).
Пусть , то (6.9)
или , (6.10)
Коэффициенты называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков.
Определение 2. Коэффициенты полных материальных затрат показывают, какое количество продукции i-ой отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-ой отрасли.
Анализ модели МБ приводит к следующим выводам:
а) – по определению;
б) , т. к. процесс воспроизводства нельзя было бы осуществлять, если бы для собственного воспроизводства в отрасли затрачивалось большее количество продуктов, чем создавалось;
в) – из содержательных систем .
Определение 3. Матрица называется продуктивной, если существует такой , что (6.11). Отсюда следует, что для продуктивной матрицы из (6.6) существует положительный вектор конечной продукции .
Для того, чтобы матрица была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий.
1) матрица неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица .
2) матричный ряд сходится, причем его сумма равна .
3) наибольшее по модулю собственное значение матрицы , т. е. решения характеристического уравнения
строго меньше единицы
4) все главные миноры матрицы , порядка от 1 до n положительны.
Замечание. Более простым, но только достаточным признаком продуктивности матрицы является следующий признак , т. е. если величина наибольшего из сумм ее элементов в каждом столбце < 1, то матрица продуктивна.
Пример 1. Для трехотраслевой эконономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции:
.
Найти коэффициенты полных материальных затрат и вектор валовой продукции, заполнить схему межотраслевого материального баланса.
-
Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц:
а) находим матрицу (Е-А)
б) вычисляем определитель этой матрицы:
в) транспортируем матрицу (Е-А):
г ) находим алгебраические дополнения для элементов матрицы
Таким образом, присоединенная к матрице матрица имеет вид:
д) используя формулу (6.9), находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:
Найдем величины валовой продукции трех отраслей (вектор Х), используя формулу (6.8):
-
Для определения элементов первого квадранта материального межотраслевого баланса воспользуемся формулой, вытекающей из формулы: . Из этой формулы следует, что для получения первого столбца первого квадранта нужно элементы первого столбца заданной матрицы А умножить на величину ; элементы второго столбца матрицы А умножить на ; элементы третьего столбца матрицы А умножить на .
Составляющие третьего квадранта (условно чистая продукция) находятся с учетом формулы (6.1) как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.
Четвертый квадрант в нашем примере состоит из одного показателя и служит, в частности, для контроля правильности расчета: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квадранта. Результаты расчета представлены в таблице.
Таблица 6.1
Производящие отрасли |
Потребляющие отрасли |
Конечная продукция |
Валовая продукция |
||
1 |
2 |
3 |
|||
1 2 3 |
232,6 155,1 232,6 |
51,0 255,0 51,0 |
291,8 0,0 145,9 |
200,0 100,0 300,0 |
775,3 510,1 729,6 |
Условно чистая продукция |
155,0 |
153,1 |
291,9 |
600,0 |
|
Валовая продукция |
775,3 |
510,1 |
729,6 |
|
2015,0 |
Задачи (для самостоятельного решения):
-
Дана структурная схема взаимодействия двух отраслей:
Определить матрицу прямых затрат. Проверить ее продуктивность.
-
Дана матрица прямых затрат А и вектор конечной продукции Y. Проверить продуктивность матрицы А. Найти матрицу полных материальных затрат, валовую продукцию каждой из отраслей. Построить балансовую таблицу.
-
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Анфилатов В.С. Системный анализ в управлении, 2003.
2. Антонов А.В. Системный анализ, М.: Высш. шк., 2004.
3. Губанов В.А. и др. Введение в системный анализ: Изд-во ЛГУ, 1988.
4. Захарченко Н.Н., Минеева Н.В. Основы системного анализа: Часть I. – СПб: Изд-во Санкт–Петербургского университета экономики и финансов, 1992. – 78 с.