Файл: Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. I. Механика.pdf

18 8. При каком соотношении частот, фаз взаимно перпендикулярных колебаний получается парабола?
Получить уравнение параболы.
9. Как можно получить фигуры Лиссажу? Как по фигуре
Лиссажу определить отношение частот складываемых колебаний?
ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ
Установка (рис.1) для выполнения лабораторной работы № 17 состоит из электронного осциллографа (1) и двух генераторов звуковой частоты (2) и (3). Сигнал с выхода звукового генератора (1) подается на вход х осциллографа (1). Сигнал с
выхода звукового генератора (2) подается на вход у осциллографа (1). Частоту сигнала на выходе генератора можно изменять "Ручкой регулировки частоты".
Вход х
Вход у
Выход
Выход
(1) Осциллограф
(3) Звуковой
генератор
(2) Звуковой
генератор
Ручка
регулировки
частоты
генератора
Ручка
регулировки
частоты
генератора
Экран
осциллографа
Рис. 1. Схема установки для лабораторной работы № 17 75
затухающих колебаний
t
Be
)
t
(
B



1
со временем становится пренебрежимо малой, и в контуре остаются только вынужденные колебания, амплитуда которых не зависит от времени.
Следовательно, установившиеся вынужденные колебания описываются функцией (4). То есть в контуре возникают вынужденные гармонические колебания, с частотой, равной частоте внешнего воздействия, и амплитудой
)
(

A
A 
, зависящей от этой частоты (рис.3а) по закону (5).
При этом по фазе вынужденное колебание отстает на

от вынуждающего воздействия.
Продифференцировав выражение (4) по времени, найдем силу тока в контуре














2
cos
)
(
sin






t
I
t
A
q
i
m
,
где
A
I
m


– амплитуда силы тока.
Запишем это выражение для силы тока в виде






t
I
i
m
cos
, (9) где
2





– сдвиг по фазе между током и внешней
ЭДС.
В соответствии с (6) и рис.2







2 1
2 2
2 0












tg
tg
tg
. (10)
Из этой формулы следует, что сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС зависит, при постоянном сопротивлении
R
, от соотношения между частотой вынуждающей ЭДС

и собственной частотой контура

0
Если
 < 
0
, то сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС

< 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол


74
вертикально вверх (его амплитуда
A

2
), т. к. его фаза на
/2
отстает от фазы первого слагаемого.
Так как сумма трех колебаний слева от знака равно дает гармоническое колебание
t
L
m


cos
, то векторная сумма на диаграмме (диагональ прямоугольника) изображает колебание с амплитудой
L
m

и фазой
t,
которая на

опережает фазу колебаний третьего слагаемого.
Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора можно найти амплитуду
A(
)
2 2
2 2
2 0
4









)
(
L
)
(
A
m
(5) и
tg

как отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
2 2
0 2







tg
. (6)
Следовательно, решение (4) с учетом (5) и (6) примет вид
)
t
(
cos
)
(
L
)
t
cos(
)
(
A
q
m

















2 2
2 2
2 0
2 4
. (7)
Общее решение дифференциального уравнения (1) является суммой q
1
и q
2
)
t
(
cos
)
(
L
)
t
(
cos
Be
q
m
t


















2 2
2 2
2 0
0 1
4
. (8)
Формула (8) показывает, что при воздействии на контур периодической внешней ЭДС в нем возникают колебания двух частот, т.е. незатухающие колебания с частотой внешней ЭДС

и затухающие колебания с частотой
2 2
0 1





. Амплитуда
19
Если генераторы выдают гармонические колебания кратных частот, то на экране осциллографа можно наблюдать фигуры
Лиссажу.
Частоты называются кратными, если они относятся друг к другу как натуральные числа, например 1/1, 1/2, 2/1, 2/3 и т.д.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Ознакомиться с устройством электроннолучевой трубки, смонтированной отдельно от осциллографа, и ясно представить назначение каждой детали.
2. Ознакомиться с расположением ручек управление на передней панели осциллографа.
3. Научиться управлять лучом. Для этого необходимо: а) Включить генератор развертки. С этой целью вывести ручку "диапазоны частот" из положения "выкл". Только после этого можно включать осциллограф в сеть. б) Дождавшись появления на экране горизонтальной линии, вращая ручки "яркость" и "фокусировка" производят фокусировку и выбор необходимой яркости так, чтобы получить четкую линию.
ВНИМАНИЕ!
Нельзя производить фокусировку луча в точку
при отсутствии напряжения развертки,
так как это приводит к порче люминофора экрана.
в) Ручками перемещения изображения по осям "х" и "у" производят установку линии развертки по центру экрана, а ручкой "усиление" горизонтального усилителя, находящейся на правой для экспериментатора стороне панели осциллографа, добиваются того, чтобы горизонтальная линия проходила через весь экран электронно-лучевой трубки.
4. Изучение формы кривой переменного напряжения. а) Включить в сеть звуковой генератор. б) Ручками "ослабление" и "усиление" вертикального усилителя осциллографа, находящимися на одной стороне

20
панели, добиться того, чтобы изображение занимало примерно
2/3 экрана. в) Изменяя частоту генератора развертки с помощью ручек "диапазоны
частот" и "частота
плавно", получить неподвижную кривую исследуемого напряжения (синусоиду) и
зарисовать ее в отчет по лабораторной работе.
5. Не изменяя амплитуды колебаний и частоты развертки, увеличить вдвое частоту звукового генератора. Уяснить, что изменилось в картине гармонического колебания, зарисовать кривую в отчет по лабораторной работе.
6. Наблюдение фигур Лиссажу. Чтобы наблюдать фигуры
Лиссажу: а) Отключают генератор развертки, для чего надо поставить ручку "диапазон частот" в положение "выкл". б) Подают напряжение от двух звуковых генераторов на "Вход х" и на "Вход у" осциллографа (рис.1). в)
На обоих звуковых генераторах устанавливают одинаковые частоты не менее 50 Гц. Плавно изменяя частоту одного из генераторов, добиваются наиболее медленного изменения фигур Лиссажу. г) С помощью ручки "усиление" на осциллографе или регулятора "выхода" на генераторе добиваются того, чтобы амплитуда колебаний занимала 2/3 экрана. д) Пронаблюдать сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты. Зарисовать (рис. 2) фигуры, получающиеся при разности фаз


=
0,

/2,

73
t
L
t
A
t
A
t
A
m












cos
)
cos(
)
sin(
2
)
cos(
2 0
2








Чтобы сравнить фазы колебаний, используем тригонометрические формулы приведения
)
cos(
)
cos(










t
t
,











2
cos
)
(
sin





t
t
Тогда наше уравнение перепишется в виде
t
L
t
A
t
A
t
A
m














cos
)
(
cos
2
cos
2
)
(
cos
2 0
2















Представим колебания в левой части полученного тождества в виде векторной диаграммы (рис.2).
Третье слагаемое, соответствующее колебаниям на емкости
С
, имеющее фазу
(
t – )
и амплитуду
A
2 0

,
изобразим горизонтальным вектором, направленным вправо.
Первое слагаемое левой части, соответствующие колебаниям на индуктивности L, изобразится на векторной диаграмме вектором, направленным горизонтально влево (его амплитуда
A
2

).
Второе слагаемое, соответствующие колебаниям на сопротивлении
R
, изобразим вектором, направленным

72
Уравнение
(1) является
неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Такого типа уравнения описывают поведение широкого класса колебательных систем (электрических, механических) под влиянием внешнего периодического воздействия (внешней ЭДС или внешней силы).
Общее решение уравнения (1) складывается из общего решения
q
1
однородного дифференциального уравнения (2)
0 2
1 2
0 1
1





q
q
q


(2) и любого частного решения
q
2
неоднородного уравнения (1)
2 1
q
q
q


Вид общего решения однородного уравнения (2) зависит от величины коэффициента затухания
.
Нас будет интересовать случай слабого затухания
 << 
0
. При этом общее решение уравнения (2) имеет вид
)
cos(
0 1
1






t
Be
q
t
, (3) где
B
и

0
– постоянные, задаваемые начальными условиями.
Решение (3) описывает затухающие колебания в контуре.
Входящие в (3) величины:
2 2
0 1





– циклическая частота затухающих колебаний;
t
Be
t
B



)
(
1
– амплитуда затухающих колебаний;
)
(
0 1
1





t
– фаза затухающих колебаний.
Частное решение уравнения (1) ищем в виде гармонического колебания, происходящего с частотой, равной частоте
 внешнего периодического воздействия – ЭДС, и отстающего по фазе на

от него
)
cos(
)
(
2





t
A
q
, (4) где
)
(

A
– амплитуда вынужденных колебаний, зависящая от частоты.
Подставим (4) в (1) и получим тождество
21
е) Пронаблюдать сложение взаимно перпендикулярных колебаний кратных частот и зарисовать фигуры Лиссажу при следующих соотношениях частот и при разности фаз 

= 0,

/2,

2 1

y
x


и
1 2

y
x


3 1

y
x


и
1 3

y
x


3 2

y
x


и
2 3

y
x


7. Оформить отчет по лабораторной работе. В отчете должно быть: а) графики гармонических колебаний при частотах развертки
ν и 2ν, указанием осей координат, амплитуды и периода колебаний. б) зарисовки семи троек фигур Лиссажу (всего 21 рис.) Около каждого рисунка записать уравнения складываемых колебаний с указанием конкретно выбранных частот и начальных фаз. в) Сделать вывод.
ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ
ЭЛЕКТРОННОГО ОСЦИЛЛОГРАФА
Электронный осциллограф используют для исследования быстропеременных периодических процессов. Например, с помощью осциллографа можно измерить силу тока и напряжение, рассмотреть их изменение во времени. Можно измерять и сравнивать частоты и амплитуды различных переменных напряжений. Кроме того, осциллограф при применении соответствующих преобразователей позволяет исследовать неэлектрические процессы, например, измерять малые промежутки времени, периоды колебаний и т. д.
Достоинствами электроннолучевого осциллографа является его высокая чувствительность и безинерционность действия, что