Файл: 1. Особенности развития учащихся среднего школьного возраста (1015 лет).docx
Добавлен: 11.01.2024
Просмотров: 88
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Так, уравнение 2а(а-1) x = a -2, у которого область изменения параметра а является множество А={-1;0;1;2;3}, есть краткая запись следующего семейства уравнений:
Под область изменения параметра обычно подразумевают (если не сделано специальных оговорок) множество всех действительных чисел, а задачу решения с уравнения с параметром формулируют следующим образом: решить уравнение (1) (с переменной x и параметром а) — это значит на множестве действительных чисел решить семейство уравнений, получающихся из уравнения (1) при любых действительных значениях параметра.
Ясно, что выписать каждое слово из бесконечного семейства уравнений невозможно. Тем не менее, каждое уравнение семейства должно быть решено. Сделать это можно, если, например, по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества и решить затем заданное уравнение на каждом из этих подмножеств. Для разбиения множества значений параметра на подимножества удобно воспользоваться теми значениями параметра, при которых при переходе через которые происходят качественные изменения уравнения (например, квадратное уравнение ax 2 -7 x +15=0 при a=0 становится линейным уравнением). Такие значения параметра будем называть контрольными.
Все сказанное выше применимо и для решения неравенств с параметрами.
Опыт показывает, что задачи с параметрами являются наиболее сложным в логическом и техническом планах разделом элементарной математики, хотя с формальной точки зрения математическое содержание таких задач не выходит за пределы программы. Все зависит от того, как понимается параметр. С одной стороны, параметр можно рассматривать как переменную, которая при решении уравнений и неравенств считается постоянной величиной, с другой — параметр это величина, численное значение которой не задано, но должно считаться известным, причем параметр может принимать произвольные значения, т.е. параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность параметра позволяет обращаться с ним как с числом, а во-вторых, степень свободы обращения с параметром ограничивается его неизвестностью.
В каждом из описаний природы параметров имеется неопределенность — на каких этапах решения параметр можно рассматривать как константу и когда он играет роль переменной величины. Все эти противоречивые характеристики параметра могут в самом начале изучения вызвать у учащихся определенные психологические трудности.
В связи с этим на начальном пути знакомства с параметром очень полезно как можно чаще прибегать к наглядно-графической интерпретации полученных результатов. Это не только позволяет преодолеть естественную неуверенность ученика перед параметром, но и дает учителю возможность параллельно, в качестве пропедевтики, приучать учеников при решении задач с параметрами использовать графические приемы доказательства.
Не следует также забывать, что использование хотя бы схематических графических иллюстраций в некоторых случаях помогает определить направления исследований а иногда и позволяет сразу подобрать ключ к решению задачи. Ведь для определенных типов задач даже примитивный рисунок, далекий от настоящего графика, дает возможность избежать различного рода ошибок и более простым способом получить ответ в уравнении или неравенстве. Решение математических задач вообще является наиболее трудной частью деятельности школьника при изучении математики и объясняется это тем, что для решения задач требуется достаточно высокий уровень развития интеллекта высшего уровня, т.е. теоретического, формального и рефлексивного мышления, а такое мышление, как уже отмечалось, еще только развивается в подростковом возрасте.
Вместе с тем трудно переоценить роль задач с параметрами в развитии у школьников пространственных представлений. Они по своей постановке и методам решения не только лучшим образом стимулируют накопление конкретных геометрических представлений, но и развивают способность представлять изображение графика той или иной функции и, более того, уметь мысленно оперировать элементами этого графика. Задачи с параметрами способствуют пониманию учащимися происхождения различных геометрических фигур и графиков функций, возможности их преобразования — все это является важной предпосылкой развития пространственного мышления школьников. Кроме того, эти задачи хорошо развивают логическое мышление, геометрическую интуицию. В процессе решения задач с параметрами учитель может эффективно формировать элементы алгоритмической культуры.
Главная особенность задач с параметрами — ветвления решения в зависимости от значений параметров. Другими словами, процесс решения осуществляется классификаций частных уравнений (неравенств) по типам с последующим поиском решений каждого типа.
Одновременно решение бесконечной совокупности частных уравнений и неравенств с учетом требования равносильности преобразований возможно лишь при развитии достаточного уровня логического мышления. С другой стороны, формирование методов решения уравнений и неравенств с параметрами обеспечивает значительный процесс в развитии математической культуры учащихся. Развивающий характер уравнений и неравенств с параметрами определяется их способностью реализовывать многие виды мыслительной деятельности учащихся:
1. Выработка определенных алгоритмов мышления.
2. Умение определить наличие и количество корней в уравнении.
3. Решение семейств уравнений, являющихся следствием данного.
4. Выражение одной переменной через другую.
5. Нахождение области определения уравнения.
6. Повторение большого объема формул при решении.
7. Значение соответствующих методов решения.
8. Широкое применение словесной и графической аргументации.
9. Развитие графической культуры учащихся.
Все вышесказанное позволяет говорить о необходимости изучения решений задач с параметрами.
2. Тематический анализ учебников А.Г. Мордковича «Алгебра. Задачник 8,9»
8 класс
В учебнике для 8 класса по теме «квадратичная функция», помещены сравнительно простые задания № 483 — № 488, связанные с графиком квадратичной функции. Например:
№ 483. Найдите значение коэффициента с, если известно, что график функции y=x2 +4x+c пересекает ось ординат в точке А(0;2).
Далее следует более сложные задания с похожим содержанием (№ 498 — № 503). Например:
№ 500. При каких значениях коэффициента b и c точка А(1;-2) является вершиной параболы y=x2 +bx+c?
После данной темы рассмтривается графическое решение квадратного уравнения, и даются упражнения, где параметр является правой частью уравнения (№ 518 — № 522). Например:
№ 518. При каком значении p уравнение x2 -2x+1=p имеет один корень?
№ 522. При каких значениях p уравнение x2 +6x+8=p:
а) не имеет корней;
б) имеет один корень;
в) имеет два корня?
Считаю, что одним из заданий с параметром может служить следующее задание, которое способствует навыку нахождения множества допустимых значений параметра (или переменной).
№ 543. При каких значениях а имеет смысл выражение:
а); б); в) -; г) ?
В главе 4 «Квадратные уравнения» понятие параметра впервые появляется в условии заданий №792-795. Например:
№ 793. При каких значениях параметра p уравнение (2p — 3)x2 + (3p — 6)x +p2 — 9 = 0 является:
а) приведенным квадратным уравнением;
б) неполным неприведенным квадратным уравнением;
в) неполным приведенным квадратным уравнением;
г) линейным уравнением?
Затем в §20 «Формулы корней квадратного уравнения» в теоретической части дается определение параметра и уравнения с параметром на примере следующего уравнения: x2 — (2p + 1)x + (p2 + p — 2) =0.
Это уравнение отличается от всех рассмотренных до этих пор квадратных уравнений тем, что в роли коэффициентов выступают не конкретные числа, а буквенные выражения и считаются уравнениями с параметрами. В данном случае параметр (буква) p входит в состав второго коэффициента и свободного члена уравнения.
Когда учащиеся решают квадратные уравнения с вычислением дискриминанта, им предлагаются упражнения 820, 821, 838 — 841. Например:
№ 838. ИЗ данных уравнений укажите те, которые имеют два различных корня при любом значении параметра p:
а) x2 + px = 0; в) x2 + px + 5 = 0;
б) x2 — px — 5 = 0г) px2 — 2 = 0.
Эти задания сопровождаются заданиями на доказательство (№ 821, 842), например:
№ 842. Докажите, что не существует такого значения параметра p, при котором уравнение x2 — px + p — 2 = 0 имело бы только один корень.
При прохождении квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом решается упражнение:
№ 953. Решите уравнение:
а) x2 — 2(a — 1)x + a2 — 2a — 3 = 0
б) x2 + 2(a + 1)x + a2 + 2a — 8
Когда учащися знакомятся с теоремой Виета, выполняются упражнения № 971 и № 972.
№ 971. При каких значениях параметра p сумма корней квадратного уравнения x2 + (p2 + 4p — 5)x — p = 0 равно нулю?
В упражнениях № 999 — 1005 помещены похожие задачи:
№ 1000. Дано уравнение x2 — (p + 1)x + (2p2 + — 9p — 12) = 0. Известно, что произведение его корней равно -21. Найдите значение параметра p.
Заметим, что задания с параметрами встречаются и в помещенной в учебник контрольной работе №4, а именно:
· докажите, что не существует такого значения k, при котором уравнение x2 — 2kx + k — 3 = 0 имеет только один корень.
· дано уравнение x2 + (p2 — 3p — 11)x + 6p = 0. Известно, что сумма его корней равна 1. Найдите значение параметра p и корни уравнения.
В§35. «Решение квадратных неравенств» помещены упражнения № 1360 — 1365 с заданием решить квадратное уравнение, которое сводится к решению неравенств.
№ 1360. При каких значениях параметра p квадратное уравнение 3x2 — 2px — p + 6 = 0:
а) имеет два различных корня;
б) имеет один корень;
в) не имеет корней?
А в № 1366 и № 1367 задания связаны непосредственно с решением неравенств.
№ 1366. При каких целочисленных значениях параметра p неравенство
(x2 — 2)(x — p) < 0 имеет три целочисленных решения?
9 класс
В учебнике для 9 класса упражнения с параметрами приводятся сначала в § 1 «Линейные и квадратные неравенства», в № 11, 17 — 19.
№ 11. При каких значениях параметра p квадратное уравнение