Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.	В результате изучения темы студент должен: - знать геометрическое изображение выборки: полигон и гистограмма, эмпирическую функцию распределения выборки, числовые характеристики выборки	[1], [3], [4]
Статистические оценки параметров распределения	В результате изучения темы студент должен: - знать понятие точечной оценки - знать понятие интервальной оценки	[1], [3], [4]

Перечень информационного обеспечения:

основной и дополнительной литературы, учебно-методических пособий,

электронных ресурсов

№ п/п.	Автор	Наименование	Издательство	Год издания
1	И. И. Валуцэ, Г. Д. Дилигул	Математика для техникумов	М. : Наука	1989
2	Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.	Высшая математика в задачах и упражнениях	М. : «Высшая школа»	1999
3	А. Г. Мякишев	Теория вероятностей. Элективный курс	М. :Издательство: Илекса	2012
4	М. С. Спирина, П. А. Спирин	Теория вероятностей и математическая статистика: учебник	М. : ИЦ "Академия"	2014
5	М. С. Спирина, П. А. Спирин	Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник задач: учебное пособие	М. : ИЦ "Академия"	2014

Тема лекции: Математическая статистика
План:

1. 
   Основные понятия математической статистики
   
2. 
   Графическое изображение выборки
   
3. 
   Точечные оценки параметров распределения
   

---

1. 
   Основные понятия математической статистики
   

На практике функция распределения случайной величины бывает неизвестна и ее определяют по результатам наблюдений или, как говорят, по выборке. Выборкой объема n для случайной величины называется последовательность независимых наблюдений этой величины, где – совокупность значений, принятых независимыми случайными величинами , имеющими тот же закон распределения , что и величина X. В этом случае говорят, что выборка взята из генеральной совокупности величины X, а под законом распределения генеральной совокупности понимают закон распределения случайной величины X. Значения называют выборочными значениями или вариантами. Последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом. Число, указывающее, сколько раз наблюдается данная варианта, называется частотой варианты, а отношение частоты варианты к объему выборки – относительной частотой.
Если – вариационный ряд, а x – произвольное число, и n_x – количество выборочных значений, меньших x, то – частота попадания выборочных значений левее точки x в данной выбоке объема n, т. е. частота события .
Эта частота является функцией от x и называется эмпирической функцией распределения случайной величины X, полученной по данной выборке. Если обозначить эту функцию через , то по определению

.

Эмпирическая функция распределения обладает всеми свойствами функции распределения . Так как частота события в 

---

n независимых опытах является оценкой вероятности этого события, то значение эмпирической функции распределения в точке x есть оценка вероятности события , то есть оценка теоретической функции распределения :

.

Статистическим рядом распределения называется таблица, которая содержит вариационный ряд и соответствующие частоты или относительные частоты членов этого ряда (табл. 1).

,

, .

Таблица 1 Таблица 2

x1	x2	...	xk				...
n1	n2	...	nk		n1	n2	...	nk
w1	w2	...	wk		w1	w2	...	wk

В случае непрерывного распределения величины X статистический ряд распределения представляет собой таблицу, в которой заданы интервалы значений величины X и соответствующие им частоты или относительные частоты, причем интервалы располагаются в порядке возрастания величины X (табл. 2).

Второй случай легко сводится к первому, если в качестве вариант брать середины интервалов:

---

, .

2. 
   Графическое изображение выборки
   

Графически табл. 1 изображается полигоном частот, представляющим собой ломаную, отрезки которой соединяют на плоскости соседние точки и или и , если строится полигон относительных частот.

В случае табл. 2 исходный интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на определенное количество равных интервалов длины . После этого строится гистограмма частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основания которых равны h, а высоты равны отношению (или для гистограммы относительных частот).

Гистограмма относительных частот является аналогом функции плотности, так как площадь под ней равна единице. Число интервалов разбиения находят по формуле , где n – объем выборки. Тогда длина каждого интервала , где и – максимальное и минимальное значение выборки соответственно.

2. 
   Точечные оценки параметров распределения
   

По аналогии с такими числовыми характеристиками случайной величины, как математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, для выборки случайной величины X и для статистического ряда определяются следующие числовые характеристики:

выборочная средняя ,

где k – число вариант и

---

;

выборочная дисперсия

или , ;

выборочное среднее квадратическое отклонение
Во многих случаях бывает заранее известно, что функция распределения принадлежит к определенному классу функций распределения, зависящих от одного или нескольких параметров: . В этом случае определение неизвестной функции распределения сводится к оценке неизвестных параметров по результатам выборки. Следует заметить, что ни при каких n нельзя определить по выборке точное значение неизвестного параметра, а можно найти его приближенное значение, которое называется оценкой по выборке неизвестного параметра. Всякая оценка по выборке является функцией от выборочных значений , так как она меняется от выборки к выборке. Функцию подбирают так, чтобы случайная величина по возможности более точно аппроксимировала неслучайное неизвестное число a.
Для выполнения данного условия накладывают следующие требования на оценку: несмещенность оценки, ее эффективность и состоятельность. Наиболее часто применяемыми метода получения оценок являются метод моментов и метод максимального правдоподобия.
Несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания является выборочная средняя .
Несмещенная и состоятельная оценка дисперсии вычисляется по формуле:

---

Смотрите также файлы

• Справка о наличии основных средств по состоянию на 13. 03. 2023 год Государственное бюджетное учреждение здравоохранения Московской области.docx

• Общие условия договора потребительского займа с лимитом кредитования.pdf

• Отчет по учебной практике уп. 04 Выполнение работ по профессии рабочего.docx

• Арман Марлен тмо 212 Психология сро10 Восприятие окружающих в процессе общения.docx

• Программа среднего профессионального образования 44. 02. 02 Преподавание в начальных классах Дисциплина Теоретические и прикладные аспекты методической работы учителя начальных классов Практическое занятие 2.pdf