ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.01.2024
Просмотров: 111
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
II.3.4. Бұрын шешілген есептерге дейін азайту арқылы мәселені шешу жоспарын табу
Атақты кеңес математигі, Мәскеу университетінің профессоры С.Н. Янковская, олимпиада қатысушыларына: «Мәселені шешу дегеніміз не?» деген сұраққа. тыңдаушыларға қарапайым, бірақ күтпеген жауап берді: «Мәселені шешу - оны шешілгенге дейін азайту». Стандартты емес есептерді шешу оларды бұрын шешілген деп санауға болатын стандартты есептерге түрлендіру немесе қайта тұжырымдау арқылы азайтудан тұратынын біз қазірдің өзінде анықтадық. Әрине, бұл кеңес шынайы және қарапайым, бірақ іс жүзінде оны пайдалану оңай емес. Өйткені, бейтаныс мәселелерді таныс, бұрыннан шешілгенге дейін азайтудың нақты ережелері жоқ. Дегенмен, егер сіз мәселені мұқият, ойластырылған талдасаңыз, есептерді шешсеңіз, шешімдерді табудың барлық әдістерін жадқа бекітсеңіз, онда мұндай ақпараттағы дағды біртіндеп дамиды.
Мысалды қарастырайық: еркін дөңес бесбұрышта төбелер мен қабырғалар сағат тілінің бағытымен нөмірленген. Бірінші және үшінші жақтардың, сондай-ақ екінші және төртінші жақтардың ортаңғы нүктелері кесінділер арқылы біріктірілген. Сонда осы екі кесіндінің ортаңғы нүктелері де кесінді арқылы қосылады. Бесінші қабырғасының ұзындығы а болса, соңғы кесіндінің ұзындығын табыңыз.
Шешуі: Схемалық белгілеуді құрастырайық (4-сурет).
4-сурет
Тапсырманың бейтаныс формада екенін көреміз. Оны қандай міндеттерге дейін азайтуға болады? Шартты мұқият оқып отырып, біз тараптардың ортаңғы нүктелері туралы айтып отырғанымызға назар аударыңыз. Қабырғалардың ортаңғы нүктелері үшбұрыштың ортаңғы сызығына, трапецияның ортаңғы сызығына есептер шығарылады. Төртбұрыштың қабырғаларының ортаңғы нүктелерін тізбектей қосу туралы айтатын мәселе де бар. Ал бізге бесбұрыш беріледі. Әрине, бесбұрыштан төртбұрышты кесу идеясы туындайды. Мұны тек жақсы жасау керек. Бұл үшін A1 және A4 шыңдарын қосу ыңғайлы. Алынған A1A2A3A4 төртбұрышында алғашқы үш қабырғасының ортасы В1,В2,В3 нүктелерімен белгіленеді.А1А4 төртінші қабырғасының ортасын С нүктесімен белгілейік (5-сурет).
Күріш. 5
А1А2А3А4 төртбұрышының қабырғаларының осы ортаңғы нүктелерін (В1, В2, В3, С нүктелері) тізбектей қосатын болсақ, онда В1В2В3С параллелограммы шығады. Егер бұрын бұл мәселе (төртбұрыштың ортаңғы нүктелерінің тізбектей қосылуы туралы) шешілмесе, онда алынған фигураның параллелограмм екенін дәлелдеу оңай. A2A4 диагоналы төртбұрышты екі үшбұрышқа бөледі. B2B3 - A2A3A4 үшбұрышының ортаңғы сызығы, сондықтан ол A2A4 диагоналына параллель және оның жартысына тең. Сол сияқты, B1C бірдей диагональға параллель және оның жартысына тең. Демек, В1В2В3С В1 төртбұрышының В2В3 және В1С қарама-қарсы қабырғалары параллель және тең. Демек, В1В2В3С В1 төртбұрышы параллелограмм болады.
Бұл параллелограммда B1B3 және B2C диагональдары болып табылады және олар қиылысу нүктесінде екіге бөлінген. Бұдан шығатыны, М нүктесі (В1В2 диагоналының ортасы) параллелограммның диагональдарының қиылысу нүктесімен сәйкес келуі керек, сондықтан M да В2С диагоналының ортасы болып табылады. Ал N нүктесі B2B4 ортасы. Сонда MN - CB2B4 үшбұрышының орта сызығы. Бұдан MN = 0,5CB4 болатыны шығады. Ал CB4 - A1A4A5 үшбұрышының ортаңғы сызығы, сондықтан CB4 \u003d 0,5 A1A5 \u003d 0,5a. MN = 0,25a.
II.4. Мәселені шешу процестеріндегі модельдеу
Модельдеу әдісі ғылымда кеңінен қолданылады. Ол қандай да бір объектіні немесе құбылысты зерттеу үшін зерттелетін объектіге белгілі бір жағынан ұқсас басқа объектінің таңдалуынан немесе салынуынан тұрады. Құрылған немесе таңдалған объект зерттеледі және осы көмек арқылы зерттеу мәселелері шешіледі, содан кейін бұл есептерді шешу нәтижелері бастапқы құбылысқа немесе объектіге беріледі. Көптеген есептерді шешу процесінде осы есептерді модельдеу кеңінен қолданылады. Мысалмен көрсетейік:
Конустың көлемі оған сызылған шардың көлемінен екі есе үлкен. Генератрица мен конус табанының жазықтығы арасындағы бұрышты табыңыз.
Шешуі: Есептің схемалық бейнесін – конус үлгісін құрастырайық. Ол үшін конус осі арқылы өтетін жазықтықпен іші шар сызылған конустың қимасын саламыз. Бөлімде шеңбер сызылған тең қабырғалы үшбұрышты аламыз (6-сурет). Өйткені бұл үшбұрыштың қабырғасы конустың генератриксі, ал үшбұрыштың биіктігі - конус осі, табан жазықтығына перпендикуляр, содан кейін үшбұрыштың қабырғасы мен табаны арасындағы бұрыш - үшбұрыштың арасындағы қажетті бұрыш генератрикс және негіз жазықтығы.
Күріш. 6
Берілген: АВМ – конустың осьтік қимасы; AM = VM; MK┴AB; шеңбер (O, OK) - шардың осьтік қимасы; Vk: Vsh = 2.
Табу:
Белгілі формулаларды пайдалана отырып, конус пен шардың көлемдерін табамыз:
Vk \u003d 1/3ּπAK2 MK; Vsh = 4/3πOK3. Шарт бойынша бізде Vk:Vsh =1/3πAK2 MK: 4/3πOK3 = 2. Біз аламыз: AK2 MK:4OK3 = 2. (1)
(1) теңдігіне кіретін барлық кесінділерді
AMK үшбұрышынан мынаны табамыз: MK = AK tg
AOK үшбұрышынан табамыз: ОК = АК tg
Әлбетте, OA MAC бұрышының биссектрисасы, сондықтан OK = ytgx/2. (3)
Табылған (2) және (3) өрнектерді (1) орнына қойайық:
y2 ytgx:( ytgx/2)3 = 2, аламыз: tgx = 8 tg3x/2.
Бұл тригонометриялық теңдеу 00<х<900 болған жағдайда есептің бастапқы шартының үлгісі болып табылады. Бұл теңдеуді осы шарт бойынша шешіп, есептің жауабын табамыз
III. Тапсырма түрлері
Геометриялық есептердің жалпы түрлерін шешудің негізгі әдістерін қарастырыңыз.
III. 1. Құрылысқа арналған тапсырмалар
Құрылыс есептері геометрия курсындағы дәстүрлі есептер болып табылады. Ғасырлар бойы математиктер құрылыс есептеріне қызу қызығушылық танытты. Бұл мәселелерге қызығушылық олардың әдемілігі мен шешу әдістерінің өзіндік ерекшелігімен ғана емес, сонымен қатар олардың үлкен практикалық құндылығымен де байланысты. Құрылысты жобалау, сәулет, әртүрлі жабдықтарды жобалау геометриялық конструкцияларға негізделген.
Әдетте, құрылыс тапсырмасы берілген элементтерден белгілі бір шарттарға сәйкес белгілі бір құралдардың көмегімен фигураны немесе көрсетілген қасиеттерді қанағаттандыратын олардың комбинациясын салу талабы ретінде қойылады. Осылайша, кез келген құрылыс мәселесінде мыналарды ажырату керек:
-
Берілген элементтер және олардың сипаттамалары (проблемалық жағдайлар); -
Қажетті талапты орындауға болатын құралдар; -
Көрсетілген қасиеттері бар қажетті фигура (немесе олардың комбинациясы).
Мысалды қарастырайық: l түзуі және оның сыртында А нүктесі берілген. Бір циркульді пайдаланып, l осіне қатысты А нүктесіне симметриялы А1 нүктесін салыңыз.
Бұл есепте екі элемент бар: l түзуі және А нүктесі. Олардың сипаттамасы (шарты) А нүктесінің l түзуінен тыс болуы. Қажетті фигура А1 нүктесі. Оның келесі қасиеті болуы керек: A1 l түзуіне қатысты А нүктесіне симметриялы. Құралдар көрсетілген - компастар.
Құрылыс жұмыстарының өзіндік ерекшеліктері бар:
-
Қажетті фигураның көрсетілген элементтері негізінен көрсетілмейді, тек көрсетілген. Жоғарыда келтірілген есепте l түзуі мен оның сыртындағы А нүктесі берілгені айтылады, бірақ шын мәнінде l түзуі де, А нүктесі де берілмейді. Біз оларды кез келген жерде және кез келген уақытта жасай аламыз. Қарастырылып отырған мәселеде, әрине, бұл маңызды емес. Бірақ мұнда үш жағынан үшбұрыш салу мәселесінде. Бұл жақтар (берілген элементтер) бізге табиғи сегменттер түрінде берілгенде, бұл бір нәрсе. Содан кейін біз осы кесінділерге үшбұрыш салуымыз керек. Бұл үшбұрышты салуға болады және мұны істеу мүмкін емес болуы мүмкін. Екі жағдайда да мәселені шешу осы сәтте аяқталады. Ал бұл аспектілер біз үшін деректер ретінде ғана аталса, іс жүзінде олар табиғи түрде берілмесе, бұл мүлдем басқа мәселе. Содан кейін сіз үш ерікті кесіндіні өзіңіз алып, олардан үшбұрыш салуға тырысыңыз. Бұл жағдайда сәттілік немесе сәтсіздік әлі шешімді аяқтамайды: біз сондай-ақ қандай жағдайда үшбұрышты салуды жүзеге асыра алатынымызды және қай жағдайда болмайтынымызды анықтауымыз керек. Сонымен, құрылыс есебінде берілген элементтер табиғи түрде берілуі мүмкін немесе оларды тек сипаттамаларын көрсете отырып атауға болады. Бірінші жағдайда шешім қажетті фигураның құрылысымен аяқталады; екінші жағдайда, бұл құрылыс мүмкін болатын жағдайларды белгілеу қажет. Демек, құрылыс есептерін шешудің міндетті кезеңі аяқталған шешімнің талдау кезеңі (зерттеу кезеңі) – қалаған фигураны салу болып табылады. ал қайсысы жоқ. Сонымен, құрылыс есебінде берілген элементтер табиғи түрде берілуі мүмкін немесе оларды тек сипаттамаларын көрсете отырып атауға болады. Бірінші жағдайда шешім қажетті фигураның құрылысымен аяқталады; екінші жағдайда, бұл құрылыс мүмкін болатын жағдайларды белгілеу қажет. Демек, құрылыс есептерін шешудің міндетті кезеңі аяқталған шешімнің талдау кезеңі (зерттеу кезеңі) – қалаған фигураны салу болып табылады. ал қайсысы жоқ. Сонымен, құрылыс есебінде берілген элементтер табиғи түрде берілуі мүмкін немесе оларды тек сипаттамаларын көрсете отырып атауға болады. Бірінші жағдайда шешім қажетті фигураның құрылысымен аяқталады; екінші жағдайда, бұл құрылыс мүмкін болатын жағдайларды белгілеу қажет. Демек, құрылыс есептерін шешудің міндетті кезеңі аяқталған шешімнің талдау кезеңі (зерттеу кезеңі) – қалаған фигураны салу болып табылады. -
Кез келген құрылыс есептерінде қандай да бір геометриялық фигураны салу ғана емес, есепте көрсетілген қасиеттерге ие геометриялық фигураны салу талап етіледі. Сондықтан, қажетті фигураны құрастырғаннан кейін, оның шын мәнінде барлық көрсетілген қасиеттерге ие екеніне көз жеткізу керек екендігі табиғи нәрсе. Құрылыс мәселелерін шешу процесінің бұл кезеңі әдетте дәлелдеу деп аталады, бірақ шын мәнінде бұл шешімді тексерудің әдеттегі кезеңі. -
Жоғарыда талқыланған тапсырмада конструкцияларды орындау қажет құрал көрсетілген. Дегенмен, әдетте құрылыс тапсырмаларында құралдар көрсетілмейді. Бұл жағдайда құрылысты классикалық деп аталатын құралдарды - бір жақты сызғыш пен циркульді қолдану арқылы жүргізу керек деп болжанады.
Әрбір құралдың көмегімен сіз негізгі құрылыстардың шектеулі санын орындай аласыз. Бір жақты сызғышты пайдаланып келесі негізгі құрылыстарды орындауға болады:
Ә.1. Берілген (немесе салынған) екі нүктені қосатын кесіндіні тұрғызыңыз.
900>
Ә.2.Берілген (немесе салынған) екі нүкте арқылы өтетін түзуді тұрғызыңыз.
Ә.3.Берілген нүктеден басталып, басқа берілген нүкте арқылы өтетін сәулені тұрғызыңыз.
Бір компастың көмегімен келесі негізгі құрылыстарды орындауға болады:
C 1. Оның центрі берілген шеңберді және шеңбердің радиусына тең кесіндіні сал.
C.2. Шеңбердің центрі мен доғаның ұштарын ескере отырып, шеңбердің қосымша екі доғасының кез келгенін сал.
Негізгі құрылыстардан басқа келесі құрылыстар да мүмкін болып саналады:
P.1. Берілген екі түзудің қиылысу нүктесін сал.
А.2.Берілген түзудің берілген шеңбермен қиылысу нүктесін тұрғыз.
Б.3.Берілген екі шеңбердің қиылысу нүктесін сал.
P.4. Жазықтықта ерікті түзу сызыңыз.
Классикалық құралдардың көмегімен кез келген құрылыс мәселесін шешу қажет болса, онда бұл мәселені шешуді жоғарыда аталған негізгі конструкциялардың реттілігіне дейін азайту жеткілікті.
Негізгі конструкциялардан басқа қарапайым геометриялық конструкциялар деп аталатындар да қарастырылады, оларға күрделі конструкциялар қысқарады, яғни. бұл қарапайым құрылыстарды әрқашан жүзеге асыруға болады деп есептеледі және олардың іс жүзінде қалай жүзеге асырылатынын түсіндіру әдеттегідей емес. Элементарлы геометриялық конструкцияларға мыналар жатады:
E.1. Бұл кесіндіні екі тең кесіндіге бөліңіз.
Е.2.Берілген бұрышты екі тең бұрышқа бөліңіз немесе бұрыштың биссектрисасын салыңыз.
Е.3.Берілген түзуде берілген нүктеден берілген бағытта берілгенге тең кесінді сал.
Е.4.Берілген нүктеде төбесі бар бұрышты оның берілген жағындағы бұрыштың берілген жағымен және берілген бұрышқа тең етіп тұрғыз.
Е.5.Берілген нүкте арқылы және берілген түзуге параллель түзу салу.
Е.6.Берілген нүкте арқылы өтетін және берілген түзуге перпендикуляр түзуді салу.
Е.7.Үш қабырғасы берілген үшбұрышты тұрғыз.
Е.8. Екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрыш берілген үшбұрышты тұрғыз.
Е.9.Қабырғасы және оған іргелес екі бұрышы берілген үшбұрышты тұрғыз.
Е.10.Берілген шеңберге және берілген нүкте арқылы өтетін жанама салу.
Е.11.Екі катеті немесе гипотенузасы мен катеті, немесе катеті мен сүйір бұрышы немесе гипотенузасы мен сүйір бұрышы берілген тікбұрышты үшбұрышты сал.
Геометриялық құрылыс есептерін шешудің көптеген әртүрлі арнайы әдістері бар. Олардың мәні берілген есептің шешімін негізгі және элементарлық конструкциялар тізбегіне келтіру болып табылады. Мысалдар қарастырыңыз.