Файл: Металлургия Екатеринбург 2015.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 12.01.2024

Просмотров: 185

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА графический анализ данных
 прогнозирование данных
 регрессионный анализ и др. Рис. 7.1. Установка пакета анализа в Microsoft Excel Рис. 7.2. Окно анализа данных, вызываемое изменю
«Сервис/Анализ данных
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
241
В табл. 7.2 приведены в алфавитном порядке некоторые статистические функции, позволяющие пользователю реализовать обработку данных непосредственно на листе электронной таблицы. Таблица Статистические функции пакета Microsoft Excel Функция Назначение функции и ее аргументы ВЕРОЯТНОСТЬ Возвращает вероятность того, что значение из интервала находится внутри заданных пределов. Если верхний_предел не задан, то возвращается вероятность того, что значения в аргументе интервал равняются значению аргумента нижний предел.
ВЕРОЯТНОСТЬ
(x_интервал; интервал_вероятностей; нижний предел верхний_предел).
ДИСП.В Оценивает дисперсию по выборке. Логические значения и текст игнорируются.
ДИСП.В
(число1; число …)
ДИСП.Г Вычисляет дисперсию для генеральной совокупности. Логические значения и текст игнорируются.
ДИСП.Г
(число1; число …)
ДИСПА Оценивает дисперсию по выборке. Предполагается, что аргументы являются только выборкой из генеральной совокупности.
ДИСПА
(число1; число …)
ДОВЕ-_РИТ.НОРМ'>ДИСПРА Вычисляет дисперсию для генеральной совокупности.
ДИСПРА
(число1; число ...)
ДОВЕ-
РИТ.НОРМ Возвращает доверительный интервал для среднего генеральной совокупности с нормальным распределением.
ДОВЕРИТ.НОРМ
(альфа; станд_откл;размер)
ДОВЕ-
РИТ.СТЬЮ-
ДЕНТ Возвращает доверительный интервал для среднего генеральной совокупности, используя распределение Стьюдента.
ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ
(альфа; станд_откл;размер)
КВАДРОТКЛ Возвращает сумму квадратов отклонений точек данных от их среднего.
КВАДРОТКЛ
(число1; число)
КВПИРСОН Возвращает квадрат коэффициента корреляции Пирсона для точек данных в аргументах известные_значения_y и известные значения
КВПИРСОН
(известные_значения_y; известные_значения_x)
КОРРЕЛ Возвращает коэффициент корреляции между интервалами ячеек массив и массив
КОРРЕЛ
(массив1; массив)
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
242
П род о л жени е таблицы. 2
ЛИНЕЙН'>ЛГРФПРИБЛ В регрессионном анализе вычисляет экспоненциальную кривую, аппроксимирующую данные, и возвращает массив значений, описывающий эту кривую. Поскольку данная функция возвращает массив значений, она должна вводиться как формула для работы с массивами. Уравнение кривой следующее или y = (b

(m
1
x1
)

(m
2
x2
)

…

(m n
xn
)) (при наличии нескольких значений x), где зависимые значения y являются функцией независимых значений x. Значения m являются основанием для возведения в степень x, а значения b постоянны. Отметим, что y, x и m могут быть векторами. Функция
ЛГРФПРИБЛ
возвращает массив {m n
;m n-1
; ... ;m
1
; b}.
ЛГРФПРИБЛ
(известные_значения_y; известные значения конст; статистика)
ЛИНЕЙН Рассчитывает статистику для ряда с применением метода наименьших квадратов, чтобы вычислить прямую линию, которая наилучшим образом аппроксимирует имеющиеся данные. Функция возвращает массив, который описывает полученную прямую. Поскольку возвращается массив значений, функция должна задаваться в виде формулы массива.
ЛИНЕЙН
(известные_значения_y; известные_значения_x; конст; статистика) МАКС Возвращает наибольшее значение из набора значений.
МАКС
(число1;число2; ...)
МАКСА Возвращает наибольшее значение в списке аргументов.
МАКСА
(значение1;[значение2];...)
МЕДИАНА Возвращает медиану заданных чисел.
МЕДИАНА
(число1; число ...) МИН Возвращает наименьшее значение в списке аргументов.
МИН
(число1; число ...) МИН Возвращает наименьшее значение в списке аргументов.
МИНА
(число1; число ...)
МОДА.НСК Возвращает вертикальный массив из наиболее часто встречающихся (повторяющихся) значений в массиве или диапазоне данных.
МОДА.НСК
((число1;[число2];...)
МОДА.ОДН Возвращает наиболее часто встречающееся или повторяющееся значение в массиве или интервале данных.
МОДА.ОДН
(число1;[число2];...)
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
243
П род о л жени е таблицы. НАКЛОН Возвращает наклон линии линейной регрессии для точек данных в аргументах известные_значения_y и известные значения. Наклон определяется как частное отделения расстояния по вертикали на расстояние по горизонтали между двумя любыми точками прямой, то есть наклон — это скорость изменения значений вдоль прямой.
НАКЛОН
(известные_значения_y; известные_значения_x) НОРМАЛИЗАЦИЯ Возвращает нормализованное значение для распределения, характеризуемого средними стандартным отклонением. НОРМАЛИЗАЦИЯ среднее стандартное_откл)
НОРМ.ОБР Возвращает обратное нормальное распределение для указанного среднего и стандартного отклонения.
НОРМ.ОБР
(вероятность; среднее стандартное_откл)
НОРМ.РАСП Возвращает значение нормальной функции распределения для указанного среднего и стандартного отклонения.
НОРМ.РАСП
(x; среднее стандартное_откл; интегральная)
НОРМ.СТ.ОБР Возвращает обратное значение стандартного нормального распределения u
НОРМ.СТ.ОБР
(вероятность)
НОРМ.СТ.РАСП Возвращает стандартное нормальное интегральное распределение. Это распределение имеет среднее, равное нулю, и стандартное отклонение, равное единице. Эта функция используется вместо таблицы для стандартной нормальной кривой.
НОРМ.СТ.РАСП
(u) ОТРЕЗОК Вычисляет точку пересечения линии с осью y, используя известные_значения_x и известные_значения_y
ОТРЕЗОК
(известные_значения_x;известные_значения_y)
СРГЕОМ Возвращает среднее геометрическое значений массива или интервала положительных чисел.
СРГЕОМ
(число1; число ...)
СРЗНАЧ Возвращает среднее арифметическое своих аргументов.
СРЗНАЧ
(число1; число ...)
СРЗНАЧА Вычисляет среднее арифметическое для значений заданных в списке аргументов.
СРЗНАЧА
(значение1;[значение2];...)
СРОТКЛ Среднее абсолютных значений отклонений точек данных от среднего
1   ...   12   13   14   15   16   17   18   19   20
СРОТКЛ
(число1; число ...)
СТАНДОТ-
КЛОН.В Оценивает стандартное отклонение по выборке.
СТАНДОТКЛОН.В
(число1;[число2];…)
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
244
П род о л жени е таблицы. 2
СТАНДОТ-
КЛОН.Г Вычисляет стандартное отклонение по генеральной совокупности, заданной аргументами. При этом логические значения и текст игнорируются.
СТАНДОТКЛОН.Г
(число1;[число2];…)
СТАНДОТ-
КЛОНА Оценивает стандартное отклонение по выборке.
СТАНДОТКЛОНА
(значение1;[значение2];…)"
СТАНДОТ-
КЛОНПА Вычисляет стандартное отклонение по генеральной совокупности, заданной аргументами, которые могут включать текст и логические значения.
СТАНДОТКЛОНПА
(значение1;[значение2];…)
СТЬЮ-
ДЕНТ.ОБР Возвращает левостороннее обратное распределение
Стьюдента.
СТЬЮДЕНТ.ОБР
(вероятность;степени_свободы)
СТЬЮ-
ДЕНТ.ОБР.2Х Возвращает двустороннее обратное распределение
Стьюдента.
СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х
(вероятность;степени_свободы)
СТЬЮ-
ДЕНТ.РАСП Возвращает левостороннее распределение Стьюдента.
СТЬЮДЕНТ.РАСП
(x;степени_свободы;интегральная)
СТЬЮ-
ДЕНТ.РАСП.2Х Возвращает двустороннее распределение Стьюдента.
СТЬЮДЕНТ.РАСП.2Х
(x;степени_свободы)
СТЬЮ-
ДЕНТ.РАСП.ПХ Возвращает правостороннее распределение Стьюдента.
СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ
(x;степени_свободы)
СТЬЮ-
ДЕНТ.ТЕСТ Возвращает вероятность, соответствующую тесту
Стьюдента. Функция
СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ
позволяет определить вероятность того, что две выборки взяты из генеральных совокупностей, которые имеют одно и тоже среднее.
СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ
(массив1;массив2;хвосты;тип) ТЕНДЕНЦИЯ Определяет предсказанные значения в соответствии с линейным трендом для заданного массива (методом наименьших квадратов)
ТЕНДЕНЦИЯ
(известные_значения_y; известные значения новые_значения_x; конст)
ФИШЕР Возвращает преобразование Фишера для аргумента x
ФИШЕР
(x)
ФИШЕРОБР Возвращает обратное преобразование Фишера
ФИШЕРОБР
(y) ЧАСТОТА Вычисляет частоту появления значений в интервале значений и возвращает массив цифр
ЧАСТОТА
(массив_данных; массив_карманов) ЭКСЦЕСС Возвращает эксцесс множества данных
ЭКСЦЕСС
(число1; число ...)
ХИ2.ОБР Возвращает значение, обратное левосторонней вероятности распределения хи-квадрат.
ХИ2.ОБР
(вероятность;степени_свободы)
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
245
П род о л жени е таблицы. 2
ХИ2.ОБР.ПХ Возвращает значение, обратное правосторонней вероятности распределения хи-квадрат.
ХИ2.ОБР.ПХ
(вероятность;степени_свободы)
ХИ2.РАСП Возвращает распределение хи-квадрат.
ХИ2.РАСП
(x;степени_свободы;интегральная)
ХИ2.РАСП.ПХ Возвращает правостороннюю вероятность распределения хи-квадрат.
ХИ2.РАСП.ПХ
(x;степени_свободы)
ХИ2.ТЕСТ Возвращает критерий независимости. Функция ХИ2.ТЕСТ возвращает значение статистики для распределения хи-квадрат (χ2) и соответствующее число степеней свободы. Критерий χ2 можно использовать для определения того, подтверждается ли гипотеза экспериментом.
ХИ2.ТЕСТ
(фактический_интервал;ожидаемый_интервал)
F.ОБР Возвращает значение, обратное распределению вероятности.
F.ОБР
(вероятность;степени_свободы1;степени_свободы2)
F.ОБР.ПХ Возвращает значение, обратное (правостороннему) распределению вероятности.
F.ОБР.ПХ
(вероятность;степени_свободы1;степени_свободы
2)
F.РАСП Возвращает распределение вероятности.
F.РАСП
(x;степени_свободы1;степени_свободы2; интегральная)
F.РАСП.ПХ Возвращает правый хвост распределения вероятности для двух наборов данных.
F.РАСП.ПХ
(x;степени_свободы1;степени_свободы2) ТЕСТ Возвращает результат теста, двустороннюю вероятность того, что разница между дисперсиями аргументов "массив" и "массив" несущественна.
F.ТЕСТ
(массив1;массив2)
7.3. Краткое описание системы STATISTICA
STATISTICA — это универсальная компьютерная интегрированная система, предназначенная для статистического анализа и визуализации данных, а также разработки пользовательских приложений, содержащая широкий набор процедур анализа для применения в научных исследованиях, технике и бизнесе. Отличительной чертой системы STATISTICA является то, что в ней реализован так называемый графически-ориентированный подход к анализу данных. Смысл
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
246
подхода состоит в том, чтобы получать всестороннее визуальное представление данных на всех этапах статистической обработки и на основе этого представления выбирать следующий шаг анализа. Детальное рассмотрение примеров поможет читателю овладеть основными приемами работы в этой системе и успешно использовать ее в своей инженерной практике. Среди возможностей пакета отметим те задачи, с решением которых приходится сталкиваться в своей практической деятельности инженеру-металлургу: описательные статистики, анализ многомерных таблиц, подгонка распределений, многомерная регрессия, нелинейная регрессия, дисперсионный и ковариационный анализ. Для отображения результатов статистической обработки используются разнообразные графики гистограммы, диаграммы рассеяния, круговые диаграммы, вероятностные графики, графики поверхностей и многие другие. Помимо общих статистических и графических средств, в системе имеются специализированные модули, например, для решения инженерно-технических ив частности, промышленных задач карты контроля качества, анализ процессов и планирование эксперимента. Работа со всеми модулями происходит в рамках единого программного пакета, для которого можно выбирать один из нескольких предложенных интерфейсов пользователя. С помощью реализованных в системе STATISTICA мощных языков программирования и языка макрокоманд, снабженных специальными средствами поддержки, пользователь может создать законченные статистические модули (процедуры) и встраивать их враз- личные другие приложения или вычислительные среды. Программа использует стандартный интерфейс электронных таблиц. Предусмотрены возможность обмена данными со всеми популярными СУБД (в том числе си, работа с удаленными базами данных, поддержка технологий OLE,
DDE и ODBC. Встроенные графический и текстовый редакторы позволяют публиковать полученные материалы на страницах.
7.3.1. Общая структура системы Система STATISTICA состоит из следующих основных компонент
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА многофункциональной системы для работы сданными, которая включает в себя электронные таблицы (Spreadsheet) для ввода и задания исходных данных, а также специальных таблиц) для вывода численных результатов анализа. Для сложной (специализированной) обработки данных в
STATISTICA имеется модульУправление данными Для статистической обработки чрезвычайно больших массивов данных имеется специальный инструментМенеджер мегафайлов, который может быть использован и для предварительной обработки данных перед вводом их непосредственно в электронную таблицу STATISTICA;
 мощной графической системы для визуализации данных и результатов статистического анализа
 набора статистических модулей, в которых собраны группы логически связанных между собой статистических процедур. В любом конкретном модуле можно выполнить определенный способ статистической обработки, не обращаясь к процедурам из других модулей. Каждый модуль является полноценным
WINDOWS приложением. Поэтому пользователь имеет возможность одновременной работы как с одним, таки сне- сколькими модулями. Переключаться между ними можно как между обычными WINDOWS приложениями, например, при помощи комбинации клавиш [ALT]+[TAB] или выбирая их на панели задач. Все основные операции при работе сданными и графические возможности доступны в любом статистическом модуле и на любом шаге анализа
 специального инструментария для подготовки отчетов. При помощи текстового редактора, встроенного в систему, можно готовить полноценные отчеты. В STATISTICA также имеется возможность автоматического создания отчетов
 встроенных языков SCL и STATISTICA BASIC, которые позволяют автоматизировать рутинные процессы обработки данных в системе. Все структурные компоненты STATISTICA настолько тесно интегрированы между собой, что разделение на различные компоненты во многом условно и является полезным лишь для изучения системы с методической точки зрения. Система STАТISТIСА работает с четырьмя различными типами
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
248
документов, которые соответствуют основным структурным компонентам системы
 электронная таблица Spreadsheet, которая предназначена для ввода исходных данных и их преобразования
 электронная таблица Scrollsheet для вывода численных и текстовых результатов анализа
 график — документ в специальном графическом формате для визуализации графического представления численной информации отчет — документ в формате Т (Расширенный текстовой формат для вывода текстовой и графической информации. В соответствии со стандартами среды WINDOWS каждый тип документа выводится в своем собственном окне в рабочей области системы STАТISТIСА. Как только это окно становится активным, изменяется панель инструментов и меню. В них появляются команды и кнопки, доступные для активного документа. Имеется несколько различных способов работы с системой STАТISТIСА.
7.3.2. Возможные способы взаимодействия с системой Статистический анализ данных может быть проведен пользователем водном из следующих режимов. Интерактивный режим работы. В этом случае взаимодействие с системой осуществляется при помощи последовательного выбора различных команд изменю. Этот способ работы применяется обычно на этапе предварительного анализа данных. Интерактивный режим работы с системой удобен на этапе выбора математической модели явления и метода статистического анализа. После того как выбор сделан, рекомендуется использовать для автоматизации выполнения рутинных задач обработки специальные макрокоманды различных типов и встроенные в систему языки (SCL и STATISTICA BASIC). Использование макрокоманд В системе STATISTICA имеется возможность записи последовательности команд в одну макрокоманду. При этом можно записывать как последовательности нажатий клавиш на клавиатуре, таки движения мыши. Это удобное средство позволяет автоматизировать выполнение часто повторяющихся шагов статистического анализа.
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
249
При помощи встроенного командного языка системы
STATISTICA (язык SCL – STATISTICA Command Language) пользователь имеет возможность выполнять статистическую обработку данных в пакетном режиме. При помощи встроенного процедурного языка STATISTICA
BASIC пользователь может написать свои собственные процедуры обработки данных. Это мощный язык, ориентированный на структуру данных системы STATISTICA, содержит большое количество специальных математических и статистических функций (например, вычисление всевозможных статистических распределений и т.д.).
7.3.3. Ввод данных Данные в STATISTICA организованы в виде электронной таблицы Они могут содержать как численную, таки текстовую информацию. Данные в электронной таблице могут иметь различные форматы (например, даты, времени и др. Электронные таблицы в STATISTICA поддерживают различные типы операций сданными, такие как операции с использованием буфера обмена WINDOWS, операции с выделенными блоками значений аналогично MS Excel). Ввести данные в электронную таблицу можно одним из следующих способов. Непосредственно ввести их в электронную таблицу с клавиатуры. Для автоматизации ручного ввода данных в STATISTICA имеются развитые инструментальные средства. Вычислить новые данные на основе уже введенных данных при помощи формул, которые можно задать в электронной таблице. При этом имеется возможность быстрого доступа к большому количеству специализированных статистических функций, допускается использование логических операторов. Воспользоваться данными, подготовленными в другом приложении. При этом доступны следующие способы ввода данных из других приложений STATISTICA:
 операции копирования данных через буфер обмена
WINDOWS;
 импорт данных из наиболее популярных приложений, напри-
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
250
мер электронных таблиц, систем управления базами данных и др
 использование механизма динамической связи DDE между данными в STATISTICA и другим WINDOWS приложением. В этом случае все изменения данных, внесенные позднее вис- точник (WINDOWS приложение, будут автоматически (динамически) отражены в файле исходных данных для системы
STATISTICA. На любом этапе ввода данных система STATISTICA позволяет быстро вычислить основные статистические характеристики данных, отобразить их графически и перейти к статистическому анализу.
7.3.4. Вывод численных и текстовых результатов анализа Численные результаты статистического анализа в системе
STATISTICA выводятся в виде специальных электронных таблиц, которые называются таблицами вывода результатов — Scrollsheet. Таблицы могут содержать любую информацию (как численную, таки текстовую) размером от короткой строчки до нескольких мегабайтов. STATISTICA содержит большое количество инструментов для просмотра результатов статистического анализа и их визуализации. Они включают в себя стандартные операции по редактированию таблицы (вставка, удаление, операции над блоками автозапол- нение блоков и др, операции просмотра (подвижные границы столбцов, разделение прокрутки в таблице и др, доступ к основным статистиками графическим возможностям системы STATISTICA. При выводе целого ряда результатов (например, корреляционной матрицы) STATISTICA отмечает значимые коэффициенты корреляции цветом. Пользователь имеет возможность выделить при помощи цвета необходимые значения в таблице Scrollsheet. Если пользователю необходимо провести детальный статистический анализ промежуточных результатов, то можно сохранить таблицу Scrollsheet в формате файла STATISTICA и далее работать с ним, как с обычными данными. Кроме вывода результатов анализа в виде отдельных окон с графиками и таблицами Scrollsheet, в системе имеется возможность
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
251
создания отчета, в окно которого может быть выведена вся эта информация — это документ (в формате RTF), который может содержать любую текстовую или графическую информацию. В STATISTICA имеется возможность автоматического создания отчета, так называемого автоотчета. При этом любая таблица Scrollsheet или график могут автоматически быть направлены в отчет.
7.3.5. Статистические процедуры системы STATISTICA Статистические процедуры системы STATISTICA, как уже было отмечено, сгруппированы в нескольких специализированных статистических модулях (рис. 7.3). Рис. 7.3. Основные статистические модули системы STATISTICA В каждом модуле можно выполнить определенный способ обработки, не обращаясь к процедурам из других модулей. Ниже приводится краткое описание отдельных статистических модулей, знакомство с которыми поможет инженеру-исследователю в его практике для профессиональной обработки, анализа и представ
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
252
ления результатов эксперимента (промышленного, лабораторного, вычислительного и др. Модуль Основные статистики и таблицы
(Basic
Statistics/Tables) включает в себя следующие группы статистических процедур
 Описательные статистики (Descriptive statistics). Группа производит вычисление практически всех описательных статистик, среднее арифметическое, выборочную дисперсию, стандартное отклонение, медиану, моду, максимальное и минимальное значения, размах, доверительные интервалы для среднего и многие другие описательные статистики. Здесь же предусмотрен широкий выбор критериев для тестирования нормальности распределения. Практически все описательные статистики могут быть вычислены для данных, разделенных на группы с помощью одной или нескольких группирующих переменных. Имеется возможность интерактивного удаления выбросов на графике, выделение и маркировка необходимых подмножеств на графике, сглаживание данных и другие возможности.
 Корреляционные матрицы (Correlation matrices). Данная группа включает большое количество средств, позволяющих исследовать зависимости между переменными путем вычисления практически всех общих мер зависимости (коэффициентов корреляции.
 критерии для зависимых и независимых выборок (t-test for independent and dependent samples). Эта группа процедур позволяет осуществить проверку истинности статистических гипотез относительно наблюдаемых случайных величин путем выполнения специальных тестов.
 Таблицы частот (Frequency tables). Группа позволяют строить таблицы частот и гистограммы выбранных переменных. При этом значения переменных можно разбивать на классы и группировать произвольным образом.
 Калькулятор вероятностных распределений (Probability calculator). Данная группа позволяет вычислить характеристики многих стандартных вероятностных распределений нормального, хи-квадрат, Стьюдента, распределения и др. Модуль Множественная регрессия (Multiple regression) включает в себя исчерпывающий набор средств множественной линейной
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
253
и фиксированной нелинейной (в частности, полиномиальной, экспоненциальной, логарифмической и др) регрессий, позволяющих вычислять неизвестные коэффициенты в заранее заданных пользователем регрессионных моделях. Модуль Нелинейное оценивание (Nonlinear estimation) дает возможность оценить практически любые определенные пользователем нелинейные модели, осуществить подгонку к наблюдаемым данным кривой, по существу, любого типа. Важным преимуществом данного модуля, в отличие от других программ нелинейного оцени- вания, является то, что в нем не накладывается ограничения на размер обрабатываемого файла данных. Оценки коэффициентов нелинейной модели могут быть построены с помощью оценок метода наименьших квадратов, метода максимального правдоподобия или заданной пользователем функции потерь. Пользователь может выбрать одну из нескольких вычислительных процедур квазиньюто- новский метод, симплекс-метод и др. Кроме того, пользователь может сам определить любой тип нелинейной модели, набрав соответствующее уравнение в редакторе системы. Модуль Дисперсионный анализ (ANOVA/MANOVA) дает возможность оценить степень воздействия различных факторов на измеряемые данные и выделить среди них наиболее значимые (существенные. Для проверки основных предположений дисперсионного анализа имеется широкий выбор статистических процедур, в частности критерии Фишера, Кохрена, Бартлета и др. Модуль Факторный анализ (Factor analysis) позволяет проводить факторный анализ, основная цель которого заключается в том, чтобы выделить скрытые общие факторы, те. воздействующие на все параметры объекта, а не на какой-то один параметр или группу. Выделяемые общие факторы определяют связи между наблюдаемыми параметрами объекта. Модуль Непараметрическая статистика и подгонка распределения (Nonparametrics/Distribution) дает возможность сравнить распределение наблюдаемых величин с большим количеством различных теоретических распределений. Имеется возможность подо
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
254
гнать к данным нормальное, логнормальное, экспоненциальное, хи-квадрат, пуассоновское и др. распределения. Точность подгонки оценивается с помощью различных критериев (хи-квадрат, Колмогорова Смирнова и др. Модуль Анализ временных рядов и прогнозирование (Time
Series/Forecasting) позволяет строить модель, описывающую ряд данных, сгладить его, спрогнозировать будущие значения временного ряда на основе наблюдаемых доданного момента, построить регрессионные зависимости одного ряда от другого, провести спектральный или Фурье-анализ ряда и т.д. Модуль также включает процедуры автокорреляционного анализа. Возможности системы STATISTICA далеко не исчерпываются перечисленными выше модулями. Кроме них, система содержит ряд модулей, предназначенных для более детального статистического анализа данных и необходимость в которых на практике возникает крайне редко.
1   ...   12   13   14   15   16   17   18   19   20
7.3.6. Структура диалога пользователя в системе STATISTICA Структура диалога пользователя в каждом статистическом модуле имеет общие черты
1) необходимо ввести, либо импортировать исходные данные на новый лист пакета Statistica (spreadsheet). Здесь можно указать число факторов и опытов (рис. 7.4);
2) далее изменю необходимо выбрать интересуемый раздел анализа
3) затем выбираются метод анализа и конкретная вычислительная процедура с соответствующими параметрами расчета изменю в стартовой панели модуля
4) далее запускается вычислительная процедура. Если процедура итерационная, то система дает возможность на каждом шаге просмотреть результаты в появившемся на экране окне и при необходимости добавить число итераций для увеличения точности оценок
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА 5) используя графические возможности и специальные таблицы вывода с вычисленными разнообразными статистиками, можно осуществить всесторонний просмотри анализ результатов) выбирается следующий шаг анализа. Рис. 7.4. Создание нового документа в пакете Statistica В сложном проекте следует работать с различными модулями, последовательно переключаясь между ними.
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА. Примеры использования системы STATISTICA Расчет основных характеристик случайных величин. Запускаем систему STATISTICA и создаем новый файл исходных данных, выбирая изменю пункт File/New data, и присваиваем ему произвольное имя, например exampl1.sta. Исходные данные для анализа возьмем из примера 3.8, в котором приведены результаты обработки 50 проб передельного чугуна на предмет содержания в них кремния (табл. 3.7). Заполним таблицу в системе STATISTICA с исходными данными, как показано на рис. 7.5. Рис. 7.5. В рабочем окне системы STATISTICA расположен файл с исходными данными содержания кремния в чугуне Для этого создаем две переменные первая содержит номер пробы чугуна («№»), вторая — процентное содержание кремния в чугуне для соответствующей пробы («[Si], %»). Размер таблицы в системе по умолчанию принят 10 на 10 (10 переменных с именами VAR1, VAR2,
…, VAR10 и 10 случаев. Чтобы изменить имя переменной, необходимо выбрать пункт меню Edit/Variables/Current Specs или нажать комбинацию клавиша затем в диалоге указать нужное имя.
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
257
После того как подготовлен файл исходных данных, выбираем пункт меню Statistics — Basic Statistics/Tables – Descriptive Statistics Описательная статистика. В появившемся диалоговом окне, вид которого показан на рис. 7.6, следует выбрать переменную для анализа нажатием кнопки Variables. Мы выбрали переменную, содержащую данные о процентном содержании кремния в чугуне, имя выбранной переменной отражается рядом с кнопкой Variables. Диалог Описательная статистика позволяет
 вычислить разнообразные выборочные характеристики
(Statistics): Median&quartiles — медиана и квартили, Conf.
Limits for means — доверительные границы для среднего. В строке Alpha error можно задать требуемый уровень значимости. Напомним, что уровень значимости — это вероятность неправильного отвержения гипотезы, когда она верна (подробнее см. п. 3.3). Более расширенный набор статистик для расчета можно выбрать с помощью вкладки «Advanced» рис. 7.7): Mean — среднее арифметическое, Sum — сумма,
Median — медиана, Standard Deviation — стандартное отклонение дисперсия, Minimum&maximum — минимум и максимум, Range — размах, те. разность между максимумом и минимумом, Skewness — коэффициент асимметрии,
Kurtosis — коэффициент эксцесса Рис. 7.6. Вид экрана меню Descriptive Statistics (Описательные статистики)
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА построить для выборки таблицу частот (Frequency Tables) и гистограмму частот (Histograms); отметив пункт Normal expected frequencies, можно нанести на гистограмму кривую нормального распределения и визуально оценить соответствие исходных данных нормальному закону распределения
 проверить гипотезу о нормальности распределения наблюдаемых случайных величин с использованием критерия Колмогорова Смирнова, выбирая его в разделе Distribution Для визуализации результатов имеется возможность построения разнообразных графиков (вкладка Prob. & Scatterplots) Результаты статистического анализа выводятся в специальное окно. Для данных из примера вид окна с результатами показан на рис. 7.8, из которых следует, что среднее арифметическое (математическое ожидание) содержания кремния в чугуне составляет 0,6504%; выборочная дисперсия 0,0185%; максимальное и минимальное значения равны соответственно 0,32 и 0,95%; действительное содержание кремния в чугуне с вероятностью 95% лежит в интервале от 0,6117 до
0,6891%. Заметим, что эти данные близки к результатам, полученным ранее в примере 3.8 с помощью пакета Microsoft Excel, небольшие расхождения объясняются точностью представления результатов. Рис. 7.7. Вид вкладки Advanced функции Descriptive Statistics Описательные статистики)
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
259
Рис. 7.8. Вид окна с результатами расчета статистик из примера 3.8 Проверка нормальности распределения Проверим гипотезу о нормальности распределения данных из примера. Для этого в окне диалога Описательные статистики, показанного на рис. 7.6, перейдем на вкладку Normality и отметим мышью пункт Kolmogorov-Smirnov test and Lilliefors test for normality Тест
Колмогорова-Смирнова для проверки нормальности и нажмем кнопку. В результате на экране появится окно (рис. 7.9), на котором изображена гистограмма переменной SI_% и дополнительно нанесена линия нормального распределения. Рис. 7.9. Гистограмма распределения содержания кремния в чугуне с результатами проверки гипотезы о нормальности распределения
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
260
В верхней части гистограммы показан рассчитанный параметр теста Колмогорова-Смирнова — критерий D (см. п. 3.6). Напомним, что критерий D называется критерием согласия, поскольку он проверяет, в какой степени наблюдаемые значения случайной величины согласуются с функцией нормального распределения чем меньше величина, тем в меньшей степени эмпирическая функция распределения случайной величины отличается от нормальной функции распределения. В нашем случае критерий D=0,03559, следовательно, гипотеза о нормальности распределения данных о содержании кремния в чугуне подтверждается. В противном случае система выдала бы соответствующее сообщение и выделила бы данный критерий отличительным цветом. Регрессионный анализ Применение системы STATISTICA для регрессионного анализа рассмотрим на примере исследования взаимосвязи среднемесячного удельного расхода кокса и соответствующей величины удельного выхода шлака поданным работы одной из доменных печей ОАО Магнитогорский металлургический комбинат (ОАО ММК), которые отражены в табл. 7.3. Напомним, что задача регрессионного анализа состоит в том, чтобы по наблюдениям входных (X) и выходных (Y) параметров
 построить регрессионную модель (уравнение регрессии, те. оценить параметры модели (коэффициенты уравнения) наилучшим образом
 построить доверительные интервалы для коэффициентов модели
 проверить гипотезу о значимости регрессии
 оценить степень адекватности модели и т.д. Из теории доменного процесса известно, что величина расхода кокса зависит от выхода шлака, а не наоборот. Поэтому зависимой переменной Y будет являться величина удельного расхода кокса, а независимой переменной X — величина удельного выхода шлака. Регрессионный анализ будем проводить в несколько этапов.
1. Создадим новый файл exampl2.sta и занесем в него данные из табл. 7.3. На рис. 7.10 показан файл с исходными данными. Пере
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
261
менные, содержащие данные об удельном расходе кокса и выходе шлака, которые обозначены соответственно KOKS и SLAG. Таблица Фактические данные о расходе кокса (К) и выходе шлака (Ш) на одной из доменных печей ОАО ММК
№ п/п К, кг/т чугуна Ш, кг/т чугуна
№ п/п К, кг/т чугуна Ш, кг/т чугуна
№ п/п К, кг/т чугуна Ш, кг/т чугуна
1 2
3 1
2 3
1 2
3 1
391 250 31 403 241 61 393 251 2
438 268 32 440 277 62 418 252 3
408 260 33 416 253 63 426 270 4
399 244 34 445 294 64 412 260 5
424 272 35 384 249 65 419 277 6
425 279 36 435 263 66 433 274 7
395 243 37 389 254 67 387 245 8
408 269 38 406 252 68 451 291 9
425 262 39 384 238 69 398 253 10 384 241 40 399 240 70 403 244 11 424 267 41 419 256 71 425 259 12 403 239 42 418 261 72 382 225 13 409 242 43 398 262 73 397 244 14 416 270 44 421 270 74 449 280 15 410 254 45 398 257 75 385 256 16 392 256 46 398 250 76 385 228 17 403 244 47 438 271 77 386 218 18 377 239 48 437 280 78 418 253 19 419 262 49 411 264 79 408 256 20 382 251 50 406 250 80 442 270 21 430 267 51 409 269 81 406 243 22 406 258 52 391 242 82 413 259 23 379 240 53 399 252 83 436 266 24 420 251 54 435 273 84 384 242 25 389 256 55 420 260 85 429 275 26 411 253 56 416 261 86 392 237 27 419 275 57 420 276 87 390 259 28 413 272 58 386 242 88 427 262 29 392 235 59 390 220 89 398 242 30 418 257 60 427 258 90 445 280
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
262
Рис. 7.10. Фрагмент файла исходных данных для регрессионного анализа
2. Последовательность регрессионного анализа в системе
STATISTICA лучше всего начинать с визуальной оценки положения данных при помощи различных графических средств. Поскольку в нашем случае изучается зависимость типа Y = f(X), то для этой цели подойдет двумерный график Scatterplots изменю. В появившемся диалоговом окне (рис.
7.11) выбираем переменные X и Y нажатием кнопки Variables. Имена выбранных переменных Var X (SLAG) и Var Y (KOKS) отображаются в окне диалога. В этом окне дополнительно можно отметить тип графика (Graph Type) — Regular, модель оценивания
(FIT) первоначально выберем Off, стиль графика (Style) —
Normal, величину доверительного интервала и т.д. После нажатия кнопки OK на экране в отдельном окне появляется построенный график.
3. Из анализа наблюдений положения данных на графике делаем вывод о пригодности для оценивания полиномиальной регрессион-
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
263
ной модели. Отметим в диалоговом окне (рис. 7.11) модель оцени- вания Polynomial и нажмем кнопку ОК. В результате появится отдельное окно с графиком, в котором на точечные данные нанесена кривая, подобранная по методу наименьших квадратов и описываемая многочленом го порядка (рис. 7.12). Уравнение многочлена представлено в заголовке графика и имеет следующий вид
KOKS = Абсолютная величина каждого коэффициента в уравнении регрессии характеризует вклад соответствующей степенной составляющей на параметр отклика y. Рис. 7.11. Окно построения графиков для подгонки модели оценивания
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
264
Рис. 7.12. Полиномиальная кривая го порядка, рассчитанная по методу наименьших квадратов
4. Воспользуемся статистическим модулем Nonlinear estimation Нелинейное оценивание). Для этого следует выбрать меню
Statistics — Advanced Linear/Nonlinear Models – Nonlinear Estima-
tion. Для того чтобы проанализировать регрессионную модель, из диалогового окна выбираем пункт regression, custom loss function Определяемая пользователем регрессия. На экране появляется начальное диалоговое окно (рис. 7.13), в котором нажатием кнопки Function to be estimated & loss function функция
оценивания и функция потерь можно с помощью формул задать функцию, которую необходимо оценить, а также определить функцию потерь. Рассмотрим в качестве примера в дальнейшем зависимость между удельным расходом кокса (KOKS) и удельным выходом шлака (SLAG) в виде полинома й степени
KOKS=b
0
+b
1
*SLAG+b
2
*SLAG
2
+ Функция потерь по умолчанию задается в виде квадрата откло-
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
265
нения наблюдаемых от предсказанных с помощью регрессионной модели значений (Рис. 7.13. Начальное окно диалога по оценке параметров определяемой пользователем регрессионной кривой
5. Нажатие клавиши ОК приводит к появлению окна Model
Estimation (Оценивание модели для выбора метода и начальных установок для пользовательской регрессии (рис. 7.14). В качестве метода оценивания выберем квазиньютоновский. В методах нелинейного оценивания важно правильно подобрать начальные приближения. Неизвестными параметрами модели являются коэффициенты и b
3
. Нажатие клавиши ОК приводит к появлению окна оценок параметров модели на каждом шаге итерации. После того как оценивание завершится, внизу окна появится сообщение
Parameter estimation process converged (Процесс оценивания параметров сошелся.
6. Далее нажимаем кнопку ОК, после чего открывается окно Results Результаты, показанное на рис. 7.15. Окно результатов имеет следующую структуру верхняя часть окна — информационная, нижняя содержит функциональные кнопки, позволяющие всесторонне просмотреть результаты анализа.
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
266
Рис. 7.14. Окно выбора метода и начальных установок для пользовательской регрессии Рис. 7.15. Окно результатов оценивания параметров пользовательской регрессии
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
267
Информационная часть содержит краткую информацию о проведенном анализе, а именно
 Model is — вид модели оценивания. В нашем случае
KOKS=b
0
+b
1
*SLAG+b
2
*SLAG
2
+ b
3
*SLAG
3
;
 Dependent variable — зависимая переменная. В нашем примере это удельный расход кокса (KOKS);
 Independent variables — количество независимых переменных. В примере независимая переменная одна — удельный выход шлака
 Loss function — вид функции потерь
 Final value — последнее значение параметра, по которому система проводила подгонку модели. Функциональные кнопки позволяют представить результаты в виде таблиц и графиков. Выберем кнопку Parameter estimates Параметры оценивания), и на экране появится окно, в котором отражены численные значения коэффициентов модели (рис. 7.16). Рис. 7.16. Результаты расчета коэффициентов регрессионной модели Нажатие кнопки Fitted 2D function & observed vals Подогнанная функция и наблюдаемые значения выводит на экран график результирующей кривой, наложенной на наблюдаемые значения исходных данных (рис. 7.17). Таким образом, уравнение регрессионной модели окончательно примет вид x
000265
,
0
x
210403
,
0
x
4188
,
54 231
,
4998
y
3 2







7. Далее следует оценить поведение остатков (residuals) модели, те. разностей между исходными (наблюдаемыми) значениями зависимой переменной и предсказанными с помощью модели. Исследуя остатки модели, можно оценить степень ее адекватности. С помощью функциональных кнопок в данном окне (см. рис. 7.15) можно проанализировать остатки, как в графическом виде, таки в электронных таблицах.
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
268
Рис. 7.17. График результирующей регрессионной кривой, наложенной на наблюдаемые исходные данные Рис. 7.18. График остатков на нормальной вероятностной бумаге
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
269
Рис. 7.19. Распределение остатков на плоскости Сначала для оценки адекватности модели лучше всего использовать визуальные методы и затем, если потребуется, перейти к статистическим. Нажмем кнопку Normal Probability plot of residuals График остатков на нормальной вероятностной бумаге, и выбранная зависимость появится на экране в отдельном окне (рис. 7.18). Из графика остатков на нормальной вероятностной бумаге видно, что они достаточно хорошо ложатся напрямую, которая соответствует нормальному закону распределения. Поэтому гипотеза о нормальном распределении ошибок принимается. Далее нажмем кнопку Predicted vs. residual values Распределение остатков, и на экране появится график следующего вида рис. 7.19). Из этого графика видно, что остатки хаотично разбросаны на плоскости ив их поведении нет закономерностей. Нет основания говорить, что остатки коррелированы между собой. Следовательно, можно заключить, что регрессионная модель достаточно адекватно описывает данные
Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА. Контрольные вопросы
1. Какие преимущества дает экспериментатору использование средств вычислительной техники
2. Каковы возможности современных программ по обработке экспериментальных данных
3. На каких принципах основана организация современных статистических пакетов
4. Каким образом решается задача по оценке статистических характеристик с помощью пакета Microsoft Excel?
5. Как организовано взаимодействие пользователя с пакетом Statis- tica? Какие основные модули он в себя включает
6. Как определить коэффициенты уравнения регрессии, используя пакет Statistica?
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕОЙ ЛИТЕРАТУРЫ СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Белай Г.Е., Дембовский В.В., Саценко О.В. Организация металлургического эксперимента Учеб. пособие для вузов / Под ред.
В.В. Дембовского. — М Металлургия, 1993. — 256 с.
2. Теория и техника теплофизического эксперимента Учеб. пособие для вузов
/
1   ...   12   13   14   15   16   17   18   19   20
Ю.Ф. Гортышов,
Ф.Н. Дресвянников, НС. Идиатуллин и др Под ред. В.К. Щукина. — М Энергоато- миздат, 1985. — 360 с.
3. Кафаров В.В., Глебов М.Б. Математическое моделирование основных процессов химических производств Учеб. для вузов. — М Высшая школа, 1991. — 400 с.
4. Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул Учеб. пособие для вузов. — М Высшая школа,
1988. — 239 с.
5. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. — Л Энергоатомиздат, 1991. — 354 с.
6. Шинк Х. Теория инженерного эксперимента Перс англ. — М Мир, 1972. — 381 с.
7. Налимов В.В, Голикова Т.И. Логические основы планирования эксперимента. — М Металлургия, 1980. — 152 с.
8. Горский В.Г., Адлер Ю.П. Планирование промышленных экспериментов М Металлургия, 1974. — 264 с.
9. Степнов МН Статистические методы обработки результатов механических испытаний Справочник. — М Машиностроение,
1985. — 232 с.
10. Математическая статистика Учеб. для вузов / В.Б. Горяинов, ИВ. Павлов, ГМ. Цветкова, О.И. Тескин; Под ред. В.С. Зарубина,
А.П. Крищенко. — М МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001. — 424 с.
11. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики М Наука, 1983. — 416 с.
12. Тюрин ЮН, Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере. — М ИНФРА-М, 1998. — 528 с.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
272 13. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика
Учеб. пособие для вузов. — М Высшая школа, 2006 . — 479 с.
14. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. — М Наука, 1988. —
448 с.
15. Венцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. — М Наука, 1988. — 480 с.
16. Венцель Е.С. Теория вероятностей. — М Высшая школа,
1998. — 576 с.
17. Бендат Дж, Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных.
— М Мир, 1989. — 540 с.
18. Барский Л.А., Козин В.З. Системный анализ в обогащении полезных ископаемых. — М Недра, 1978. — 486 с.
19. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика
Учеб. для вузов. — М ЮНИТИ-ДАНА, 2000. — 541 с.
20. Гайдышев И. Анализ и обработка данных Специальный справочник СПб.: Питер, 2001. — 752 с.
21. Боровиков
В.П. Популярное введение в программу
STATISTICA. — М КомпьютерПресс, 1998. — 267 с.
22. Боровиков В.П., Боровиков И.П. Statistica. Статистический анализ и обработка данных в среде Windows. е изд. — М Информа- ционно-издательский дом ФИЛИНЪ. — 608 с.
23. Чекотовкий ЭВ. Графический анализ статистических данных в Microsoft Excel 2000. — М СПб; Киев Диалектика, 2002. —
462 с.
24. Бородин АН. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики Учеб. для вузов. е изд, испр. и доп. —
СПб.: Издательство Лань, 2002. — 356 с.
25. Боровков А.А. Математическая статистика. Оценка параметров, проверка гипотез. — М Наука, 1984. — 312 с.
26. Куликов Е.И. Прикладной статистический анализ. — М Горячая Линия – Телеком, 2008. — 464 с. Елена Горяинова, Алексей Панков, Евгений Платонов.Приклад- ные методы анализа статистических данных. — М Высшая Школа Экономики (Государственный Университет, 2012. —
312 с. Александр Халафян Statistica 6. Статистический анализ данных. — М Бином-Пресс, 2007. — 512 с.
29. Мельниченко АС. Статистический анализ в металлургии и мате
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
273
риаловедении : Учеб. — М Изд. Дом МИСиС, 2009. — 268 с.
30. Эдуард Вуколов. Основы статистического анализа. Практикум по статистическим методами исследованию операций с использованием пакетов Statistica и Excel. — М Форум, 2010. — 464 с.
31. Александр Халафян.Промышленная статистика. Контроль качества, анализ процессов, планирование экспериментов в пакете
STATISTICA. — М Либроком, 2013. — 384 с.
32. Сидняев НИ. Теория планирования эксперимента и анализ статистических данных. Учебное пособие. — М Юрайт, 2015. — с
ПРИЛОЖЕНИЕ ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица П . 1 Нормированная функция нормального распределения (функции Лапласа) Ф z e
du u
z
( )




1 2
2 Сотые доли Z
Z
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 Примечание Ф) = Ф)
ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица П . 2 Квантили нормированного нормального распределения z p
порядка P
1 2
2 2

e du Р z




P Тысячные доли Р
0 1
2 3
4 5
6 7
8 9
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10 11 0,50 0,000 0,003 0,005 0,008 0,010 0,013 0,015 0,018 0,020 0,023 0,51 0,025 0,028 0,030 0,033 0,035 0,038 0,040 0,043 0,045 0,048 0,52 0,050 0,053 0,055 0,058 0,060 0,063 0,065 0,068 0,070 0,073 0,53 0,075 0,078 0,080 0,083 0,085 0,088 0,090 0,093 0,095 0,098 0,54 0,100 0,103 0,105 0,108 0,111 0,113 0,116 0,118 0,121 0,123 0,55 0,126 0,128 0,131 0,133 0,136 0,138 0,141 0,143 0,146 0,148 0,56 0,151 0,154 0,156 0,159 0,161 0,164 0,166 0,169 0,171 0,174 0,57 0,176 0,179 0,181 0,184 0,187 0,189 0,192 0,194 0,197 0,199 0,58 0,202 0,204 0,207 0,210 0,212 0,215 0,217 0,220 0,222 0,225 0,59 0,228 0,230 0,233 0,235 0,238 0,240 0,243 0,246 0,248 0,251 0,60 0,253 0,256 0,259 0,261 0,264 0,266 0,269 0,272 0,274 0,277 0,61 0,279 0,282 0,285 0,287 0,290 0,292 0,295 0,298 0,300 0,303 0,62 0,305 0,308 0,311 0,313 0,316 0,319 0,321 0,324 0,327 0,329 0,63 0,332 0,335 0,337 0,340 0,342 0,345 0,348 0,350 0,353 0,356 0,64 0,358 0,361 0,364 0,366 0,369 0,372 0,375 0,377 0,380 0,383 0,65 0,385 0,388 0,391 0,393 0,396 0,399 0,402 0,404 0,407 0,410 0,66 0,412 0,415 0,418 0,421 0,423 0,426 0,429 0,432 0,434 0,437 0,67 0,440 0,443 0,445 0,448 0,451 0,454 0,457 0,459 0,462 0,465 0,68 0,468 0,470 0,473 0,476 0,479 0,482 0,485 0,487 0,490 0,493 0,69 0,496 0,499 0,502 0,504 0,507 0,510 0,513 0,516 0,519 0,522 0,70 0,524 0,527 0,530 0,533 0,536 0,539 0,542 0,545 0,548 0,550 0,71 0,553 0,556 0,559 0,562 0,565 0,568 0,571 0,574 0,577 0,580 0,72 0,583 0,586 0,589 0,592 0,595 0,598 0,601 0,604 0,607 0,610 0,73 0,613 0,616 0,619 0,622 0,625 0,628 0,631 0,634 0,637 0,640 0,74 0,643 0,646 0,650 0,653 0,656 0,659 0,662 0,665 0,668 0,671 0,75 0,674 0,678 0,681 0,684 0,687 0,690 0,693 0,697 0,700 0,703 0,76 0,706 0,710 0,713 0,716 0,719 0,722 0,726 0,729 0,732 0,736 0,77 0,739 0,742 0,745 0,749 0,752 0,755 0,759 0,762 0,765 0,769 0,78 0,772 0,776 0,779 0,782 0,786 0,789 0,793 0,796 0,800 0,803 0,79 0,806 0,810 0,813 0,817 0,820 0,824 0,827 0,831 0,834 0,838
ПРИЛОЖЕНИЕ Окончание табл. П . 2 1
2 3
4 5
6 7
8 9
10 11 0,80 0,842 0,845 0,849 0,852 0,856 0,860 0,863 0,867 0,871 0,874 0,81 0,878 0,882 0,885 0,889 0,893 0,896 0,900 0,904 0,908 0,912 0,82 0,915 0,919 0,923 0,927 0,931 0,935 0,938 0,942 0,946 0,950 0,83 0,954 0,958 0,962 0,966 0,970 0,974 0,978 0,982 0,986 0,990 0,84 0,994 0,999 1,003 1,007 1,011 1,015 1,019 1,024 1,028 1,032 0,85 1,036 1,041 1,045 1,049 1,054 1,058 1,063 1,067 1,071 1,076 0,86 1,080 1,085 1,089 1,094 1,098 1,103 1,108 1,112 1,117 1,122 0,87 1,126 1,131 1,136 1,141 1,146 1,150 1,155 1,160 1,165 1,170 0,88 1,175 1,180 1,185 1,190 1,195 1,200 1,206 1,211 1,216 1,221 0,89 1,227 1,232 1,237 1,243 1,248 1,254 1,259 1,265 1,270 1,276 0,90 1,282 1,287 1,293 1,299 1,305 1,311 1,317 1,323 1,329 1,335 0,91 1,341 1,347 1,353 1,359 1,366 1,372 1,379 1,385 1,392 1,398 0,92 1,405 1,412 1,419 1,426 1,433 1,440 1,447 1,454 1,461 1,468 0,93 1,476 1,483 1,491 1,499 1,506 1,514 1,522 1,530 1,538 1,546 0,94 1,555 1,563 1,572 1,580 1,589 1,598 1,607 1,616 1,626 1,635 0,95 1,645 1,655 1,665 1,675 1,685 1,695 1,706 1,717 1,728 1,739 0,96 1,751 1,762 1,774 1,787 1,799 1,812 1,825 1,838 1,852 1,866 0,97 1,881 1,896 1,911 1,927 1,943 1,960 1,977 1,995 2,014 2,034 0,98 2,054 2,075 2,097 2,120 2,144 2,170 2,197 2,226 2,257 2,290 0,99 2,326 2,366 2,409 2,457 2,512 2,576 2,652 2,748 2,878 3,090 Примечание Z
1-P
= –Z
P
ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица П . 3 Квантили
2
,m


распределения Пирсона (

2
распределения) в зависимости от уровня значимости

и числа степеней свободы m
m

0,995 0,99 0,975 0,95 0,9 0,5 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 1 0,0000 4
0,0001 6
0,0009 8
0,0039 0,016 0,455 2,706 3,841 5,024 6,635 7,879 2
0,010 0,020 0,051 0,103 0,211 1,386 4,605 5,991 7,378 9,210 10,60 3
0,072 0,115 0,216 0,352 0,584 2,366 6,251 7,815 9,348 11,34 12,84 4
0,207 0,297 0,484 0,711 1,064 3,357 7,779 9,488 11,14 13,28 14,86 5
0,412 0,554 0,831 1,145 1,610 4,351 9,236 11,07 12,83 15,09 16,75 6
0,676 0,872 1,237 1,635 2,204 5,348 10,64 12,59 14,45 16,81 18,55 7
0,989 1,239 1,690 2,167 2,833 6,346 12,02 14,07 16,01 18,48 20,28 8
1,344 1,647 2,180 2,733 3,490 7,344 13,36 15,51 17,53 20,09 21,95 9
1,735 2,088 2,700 3,325 4,168 8,343 14,68 16,92 19,02 21,67 23,59 10 2,156 2,558 3,247 3,940 4,865 9,342 15,99 18,31 20,48 23,21 25,19 11 2,603 3,053 3,816 4,575 5,578 10,34 17,28 19,68 21,92 24,73 26,76 12 3,074 3,571 4,404 5,226 6,304 11,34 18,55 21,03 23,34 26,22 28,30 13 3,565 4,107 5,009 5,892 7,041 12,34 19,81 22,36 24,74 27,69 29,82 14 4,075 4,660 5,629 6,571 7,790 13,34 21,06 23,68 26,12 29,14 31,32 15 4,601 5,229 6,262 7,261 8,547 14,34 22,31 25,00 27,49 30,58 32,80 16 5,142 5,812 6,908 7,962 9,312 15,34 23,54 26,30 28,85 32,00 34,27 17 5,697 6,408 7,564 8,672 10,09 16,34 24,77 27,59 30,19 33,41 35,72 18 6,265 7,015 8,231 9,390 10,86 17,34 25,99 28,87 31,53 34,81 37,16 19 6,844 7,633 8,907 10,12 11,65 18,34 27,20 30,14 32,85 36,19 38,58 20 7,434 8,260 9,591 10,85 12,44 19,34 28,41 31,41 34,17 37,57 40,00 21 8,034 8,897 10,28 11,59 13,24 20,34 29,62 32,67 35,48 38,93 41,40 22 8,643 9,542 10,98 12,34 14,04 21,34 30,81 33,92 36,78 40,29 42,80 23 9,260 10,196 11,69 13,09 14,85 22,34 32,01 35,17 38,08 41,64 44,18 24 9,886 10,856 12,40 13,85 15,66 23,34 33,20 36,42 39,36 42,98 45,56 25 10,520 11,524 13,12 14,61 16,47 24,34 34,38 37,65 40,65 44,31 46,93 26 11,160 12,198 13,84 15,38 17,29 25,34 35,56 38,89 41,92 45,64 48,29 27 11,808 12,878 14,57 16,15 18,11 26,34 36,74 40,11 43,19 46,96 49,65 28 12,461 13,565 15,31 16,93 18,94 27,34 37,92 41,34 44,46 48,28 50,99 29 13,121 14,256 16,05 17,71 19,77 28,34 39,09 42,56 45,72 49,59 52,34 30 13,787 14,953 16,79 18,49 20,60 29,34 40,26 43,77 46,98 50,89 53,67 40 20,707 22,164 24,43 26,51 29,05 39,34 51,81 55,76 59,34 63,69 66,77 50 27,991 29,707 32,36 34,76 37,69 49,33 63,17 67,50 71,42 76,15 79,49 60 35,534 37,485 40,48 43,19 46,46 59,33 74,40 79,08 83,30 88,38 91,95 70 43,275 45,442 48,76 51,74 55,33 69,33 85,53 90,53 95,02 100,4 104,2 80 51,172 53,540 57,15 60,39 64,28 79,33 96,58 101,9 106,6 112,3 116,3 90 59,196 61,754 65,65 69,13 73,29 89,33 107,6 113,1 118,1 124,1 128,3 100 67,328 70,065 74,22 77,93 82,36 99,33 118,5 124,3 129,6 135,8 140,2 Примечание для m > 100 2
)
1
(
2
,
)
1 2
(
2 1




m
Z
m



ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица П . 4 Квантили
2 1
,
,
m
m
F

распределения Фишера (распределения) для уровня значимости

=0,05 в зависимости от числа степеней свободы m
1 и m
2
m
2
m
1 1
2 3
4 5
6 7
8 9
10 12 15 30 40 60 120 1
161,4 199,5 215,7 224,6 230,2 234,0 236,8 238,9 240,5 241,9 243,9 245,9 250,1 251,1 252,2 253,3 2 18,5 1
19,0 0
19,1 6
19,2 5
19,3 0
19,3 3
19,3 5
19,3 7
19,3 8
19,4 0
19,4 1
19,4 3
19,4 6
19,4 7
19,4 8
19,4 9
3 10,1 3
9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,74 8,70 8,62 8,59 8,57 8,55 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,91 5,86 5,75 5,72 5,69 5,66 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,68 4,62 4,50 4,46 4,43 4,40 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,00 3,94 3,81 3,77 3,74 3,70 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,57 3,51 3,38 3,34 3,30 3,27 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,28 3,22 3,08 3,04 3,01 2,97 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,07 3,01 2,86 2,83 2,79 2,75 10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,91 2,85 2,70 2,66 2,62 2,58 11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 2,79 2,72 2,57 2,53 2,49 2,45 12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,69 2,62 2,47 2,43 2,38 2,34 13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 2,60 2,53 2,38 2,34 2,30 2,25 14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 2,53 2,46 2,31 2,27 2,22 2,18 15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 2,48 2,40 2,25 2,20 2,16 2,11 16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,42 2,35 2,19 2,15 2,11 2,06 17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 2,38 2,31 2,15 2,10 2,06 2,01 18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 2,34 2,27 2,11 2,06 2,02 1,97 19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 2,31 2,23 2,07 2,03 1,98 1,93 20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,28 2,20 2,04 1,99 1,95 1,90 21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 2,25 2,18 2,01 1,96 1,92 1,87 22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 2,23 2,15 1,98 1,94 1,89 1,84 23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 2,27 2,20 2,13 1,96 1,91 1,86 1,81 24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25 2,18 2,11 1,94 1,89 1,84 1,79 25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 2,16 2,09 1,92 1,87 1,82 1,77 26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,22 2,15 2,07 1,90 1,85 1,80 1,75 27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25 2,20 2,13 2,06 1,88 1,84 1,79 1,73 28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 2,19 2,12 2,04 1,87 1,82 1,77 1,71 29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22 2,18 2,10 2,03 1,85 1,81 1,75 1,70 30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 2,09 2,01 1,84 1,79 1,74 1,68 40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 2,00 1,92 1,74 1,69 1,64 1,58 60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 1,92 1,84 1,65 1,59 1,53 1,47 120 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,18 2,09 2,02 1,96 1,91 1,83 1,75 1,55 1,50 1,43 1,35
ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица П . 5 Квантили
2 1
,
,
m
m
F

распределения Фишера (распределения) для уровня значимости

=0,025 в зависимости от числа степеней свободы m
1
и m
2
m
2
m
1 1
2 3
4 5
6 7
8 9
10 12 15 30 40 60 120 1
647,8 799,5 864,2 899,6 921,8 937,1 948,2 956,6 963,3 968,6 976,7 984,9 1001 1006 1010 1014 2
38,5 1
39,0 0
39,1 7
39,2 5
39,3 0
39,3 3
39,3 6
39,3 7
39,3 9
39,4 0
39,4 1
39,4 3
39,4 6
39,4 7
39,4 8
39,4 9
3 17,4 4
16,0 4
15,4 4
15,1 0
14,8 8
14,7 3
14,6 2
14,5 4
14,4 7
14,4 2
14,3 4
14,2 5
14,0 8
14,0 4
13,9 9
13,9 5
4 12,2 2
10,6 5
9,98 9,60 9,36 9,20 9,07 8,98 8,90 8,84 8,75 8,66 8,46 8,41 8,36 8,31 5
10,0 1
8,43 7,76 7,39 7,15 6,98 6,85 6,76 6,68 6,62 6,52 6,43 6,23 6,18 6,12 6,07 6
8,81 7,26 6,60 6,23 5,99 5,82 5,70 5,60 5,52 5,46 5,37 5,27 5,07 5,01 4,96 4,90 7
8,07 6,54 5,89 5,52 5,29 5,12 4,99 4,90 4,82 4,76 4,67 4,57 4,36 4,31 4,25 4,20 8
7,57 6,06 5,42 5,05 4,82 4,65 4,53 4,43 4,36 4,30 4,20 4,10 3,89 3,84 3,78 3,73 9
7,21 5,71 5,08 4,72 4,48 4,32 4,20 4,10 4,03 3,96 3,87 3,77 3,56 3,51 3,45 3,39 10 6,94 5,46 4,83 4,47 4,24 4,07 3,95 3,85 3,78 3,72 3,62 3,52 3,31 3,26 3,20 3,14 11 6,72 5,26 4,63 4,28 4,04 3,88 3,76 3,66 3,59 3,53 3,43 3,33 3,12 3,06 3,00 2,94 12 6,55 5,10 4,47 4,12 3,89 3,73 3,61 3,51 3,44 3,37 3,28 3,18 2,96 2,91 2,85 2,79 13 6,41 4,97 4,35 4,00 3,77 3,60 3,48 3,39 3,31 3,25 3,15 3,05 2,84 2,78 2,72 2,66 14 6,30 4,86 4,24 3,89 3,66 3,50 3,38 3,29 3,21 3,15 3,05 2,95 2,73 2,67 2,61 2,55 15 6,20 4,77 4,15 3,80 3,58 3,41 3,29 3,20 3,12 3,06 2,96 2,86 2,64 2,59 2,52 2,46 16 6,12 4,69 4,08 3,73 3,50 3,34 3,22 3,12 3,05 2,99 2,89 2,79 2,57 2,51 2,45 2,38 17 6,04 4,62 4,01 3,66 3,44 3,28 3,16 3,06 2,98 2,92 2,82 2,72 2,50 2,44 2,38 2,32 18 5,98 4,56 3,95 3,61 3,38 3,22 3,10 3,01 2,93 2,87 2,77 2,67 2,44 2,38 2,32 2,26 19 5,92 4,51 3,90 3,56 3,33 3,17 3,05 2,96 2,88 2,82 2,72 2,62 2,39 2,33 2,27 2,20 20 5,87 4,46 3,86 3,51 3,29 3,13 3,01 2,91 2,84 2,77 2,68 2,57 2,35 2,29 2,22 2,16 21 5,83 4,42 3,82 3,48 3,25 3,09 2,97 2,87 2,80 2,73 2,64 2,53 2,31 2,25 2,18 2,11 22 5,79 4,38 3,78 3,44 3,22 3,05 2,93 2,84 2,76 2,70 2,60 2,50 2,27 2,21 2,14 2,08 23 5,75 4,35 3,75 3,41 3,18 3,02 2,90 2,81 2,73 2,67 2,57 2,47 2,24 2,18 2,11 2,04 24 5,72 4,32 3,72 3,38 3,15 2,99 2,87 2,78 2,70 2,64 2,54 2,44 2,21 2,15 2,08 2,01 25 5,69 4,29 3,69 3,35 3,13 2,97 2,85 2,75 2,68 2,61 2,51 2,41 2,18 2,12 2,05 1,98 26 5,66 4,27 3,67 3,33 3,10 2,94 2,82 2,73 2,65 2,59 2,49 2,39 2,16 2,09 2,03 1,95 27 5,63 4,24 3,65 3,31 3,08 2,92 2,80 2,71 2,63 2,57 2,47 2,36 2,13 2,07 2,00 1,93 28 5,61 4,22 3,63 3,29 3,06 2,90 2,78 2,69 2,61 2,55 2,45 2,34 2,11 2,05 1,98 1,91 29 5,59 4,20 3,61 3,27 3,04 2,88 2,76 2,67 2,59 2,53 2,43 2,32 2,09 2,03 1,96 1,89 30 5,57 4,18 3,59 3,25 3,03 2,87 2,75 2,65 2,57 2,51 2,41 2,31 2,07 2,01 1,94 1,87 40 5,42 4,05 3,46 3,13 2,90 2,74 2,62 2,53 2,45 2,39 2,29 2,18 1,94 1,88 1,80 1,72 60 5,29 3,93 3,34 3,01 2,79 2,63 2,51 2,41 2,33 2,27 2,17 2,06 1,82 1,74 1,67 1,58 120 5,15 3,80 3,23 2,89 2,67 2,52 2,39 2,30 2,22 2,16 2,05 1,94 1,69 1,61 1,53 1,43
ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица П . 6 Двусторонние пределы
1   ...   12   13   14   15   16   17   18   19   20

Смотрите также файлы