Файл: Металлургия Екатеринбург 2015.pdf

СТЬЮДРАС-
ПОБР(0,05;2)= =4,302655725), то все коэффициенты в уравнении регрессии можно считать значимыми, кроме Следовательно, окончательно уравнение регрессии можно записать в виде

Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 2
1 55
,
0 09
,
0 49
,
0 08
,
0 68
,
0
Х
Х
Х
Х
y










Оценки отклика
^
j y
, полученные поэтому уравнению для точек плана эксперимента, приведены в табл. 6.15. Сопоставляя полученные величины
^
j y
с опытными данными y j
, находим дисперсию адекватности, учитывая, что число значимых коэффициентов в уравнении регрессии равно пяти

 
 



0,00019.
0,296
-
0,310 1,346
-
1,330 0,526
-
0,510 0,366
-
0,360 6
1 5
11
)
y y
(
S
2 2
2 2
11 1
j
2
^
j j
2
ад




















Адекватность уравнения проверяется по критерию Фишера
2
восп
2
ад
S
S
F

= 0,00019/0,0001=1,9. Уравнение адекватно, поскольку составленное таким образом отношение меньше теоретического
19,3
F
F
2 2
m
;
6 1
m
;
05
,
0




(FРАСПОБР(0,05;6;2)=
19,3294909), где m
1
=11–5=6 – число степеней свободы дисперсии адекватности m
2
=3–1=2 – число степеней свободы дисперсии воспроизводимости. В завершение данного примера перепишем полученное уравнение регрессии относительно Хи Х 2
, учтя ранее введенные соотношения для
6
,
0 2
1
'
1


Х
Х
и
6
,
0 2
2
'
2


Х
Х
55
,
0 09
,
0 49
,
0 08
,
0 29
,
0 55
,
0 09
,
0 49
,
0 08
,
0
)
6
,
0 55
,
0 6
,
0 09
,
0 68
,
0
(
)
6
,
0
(
55
,
0
)
6
,
0
(
09
,
0 49
,
0 08
,
0 68
,
0 2
2 2
1 2
1 2
2 2
1 2
1 2
2 2
1 2
1
Х
Х
Х
Х
Х
Х
Х
Х
Х
Х
Х
Х
y




































Проанализируем полученное уравнение на экстремум относительно Хи Х
0 55
,
0 2
49
,
0
;
0 09
,
0 2
08
,
0 2
2 1
1














Х
Х
y
Х
Х
y



Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
215
Решая два последних соотношения, находим, что экстремум будет достигаться в точке с кодированными координатами Хи Х -0,44, при этом натуральные значения факторов могут быть найдены из соотношений
44
,
0 2
5
,
5
;
44
,
0 15
,
0 35
,
0 2
2 1
1








X
х
X
х
Следовательно, при скорости выгорания углерода в период рудного кипения, равной 0,35-0,44

0,15= 0,28 ч, и времени разливки стали 5,5-0,44

2 = 4,6 мин пораженность листов расслоениями будет минимальной, и составит порядка 0,16%.
16
,
0
)
44
,
0
(
55
,
0
)
44
,
0
(
09
,
0
)
44
,
0
(
49
,
0
)
44
,
0
(
08
,
0 29
,
0
y
2 Выполним проверку композиционного плана в пакете Statistica:
1. Необходимо вставить исходные данные на новый лист. Рис. 6.10. Результаты эксперимента в пакете Statistica
2. Выполним анализ результатов эксперимента (как центральный композиционный план

Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
216
Рис. 6.11. Результат расчета коэффициентов уравнения второго порядка в пакете Statistica В результате были получены следующие данные b
0
= 0,299309 b
1
= 0,082543 b
2
= 0,493755 b
12
= 0,0075 b
11
= 0,81075 b
22
= 0,546104 Коэффициент b
12 не значим.
6.5. Планирование экспериментов при поиске оптимальных условий Во многих случаях инженерной практики перед исследователем возникает задача не только выявления характера связи между двумя или несколькими рядами наблюдений, но и нахождения таких численных значений факторов, при которых отклик (выходной параметр) достигает своего экстремального значения (максимума или минимума. Эксперимент, решающий эту задачу, называется экстремальным. В этом случае задача сводится к оптимизационной и формулируется следующим образом требуется определить такие координаты

Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
217
экстремальной точки (x
1
*, x
2
*, ..., x k
*) поверхности отклика y=f(x
1
, x
2
,
..., x k
), в которой она максимальна (минимальна max y(x
1
, x
2
, ..., x k
) = y(x
1
*, x
2
*, ..., x k
*). Графическая интерпретация задачи оптимизации объекта y(x
1
, x
2
) при двух факторах x
1
, x
2
представлена на рис. 6.12 a, б. Рис. 6.12. Поверхность отклика (аи линии равного уровня (б
y=f(x
1
,x
2
)=B=const для n=2 Здесь точка А соответствует оптимальным значениям факторов x
1
* и x
2
*, обеспечивающим максимум функции отклика y max
. Замкнутые линии на рис. 6.12, б характеризуют линии постоянного уровня и описываются уравнением y=f(x
1
, x
2
)=B=const. Необходимость в экстремальных экспериментах довольно часто возникает в инженерной практике. Так, на модели шахтной печи с противоточно движущимся плотным продуваемым слоем, схема которой представлена на рис. 6.13, требуется определить расположение фурмы по высоте печи H, ее диаметр D и высов L, обеспечивающие максимальную степень использования теплового потенциала газового потока. В данном случае факторами являются H, D, L, а в качестве функции отклика y(H, D, L,) в первом приближении можно использовать температуру отходящих из печи газов. а б

Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
218
Заметим, что вид функции отклика в этом случае исследователю заранее неизвестен, те. отсутствует математическая модель, адекватно описывающая данный процесс. Требуется с наименьшими затратами (при минимальном числе опытов) определить оптимальные значения H*, L*, D
*
, при которых температура отходящих газов минимальна. Известный из практики метод проб и ошибок, в котором факторы изменяются на основании опыта, интуиции или наугад, при обычно имеющем место значительном числе факторов при исследовании процессов в металлургии зачастую оказывается малоэффективным вследствие весьма сложной зависимости функции отклика от факторов. Требуют значительно меньшего числа опытов и быстрее приводят к целите поисковые методы оптимизации, где шаговое варьирование факторами производится целенаправленно по определенному плану. Поисковые методы оптимизации относятся к классу итерационных процедур, при этом весь процесс разбивается на шаги, на каждом шаге делается ряд опытов и определяется, каким образом нужно изменить факторы, влияющие на процесс, чтобы получить улучшение результата. При этом на каждом очередном шаге получаемая информация используется для выбора последующего шага. Разработано множество методов пошаговой оптимизации, которые подробно рассматриваются в разделе вычислительной математики Численные методы оптимизации. Мы же рассмотрим только Рис. 6.13. Схема шахтной печи
1-1
– датчик температуры
1-2
– регистрирующий прибор

Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
219
некоторые из них, эффективность использования которых в промышленном и лабораторном эксперименте применительно к металлургическим процессам подтверждена практикой.
6.5.1. Метод покоординатной оптимизации Процесс поиска оптимума методом покоординатной оптимизации в графическом виде для двумерного случая представлен на рис. 6.14. Поэтому методу выбирается произвольная точка Ми определяются ее координаты. Поиск оптимума осуществляется поочередным варьированием каждого их факторов. При этом сначала изменяют один фактор (х) при фиксированных остальных (х
= const) до тех пор, пока не прекращается прирост функции отклика (точка МВ дальнейшем изменяется другой фактор (х) при фиксированных остальных (хи далее процедура повторяется. Данный метод весьма прост, однако при большом числе факторов требуется значительное число опытов, чтобы достичь координат
M
0
M
1
M
2
A

A
1
x
*
1
x
1
x
2
x
2
x
*
2
x
B
1
B
2
B
3
B
4
B
5
B
6 Рис. 6.14. К методу покоординатной оптимизации

Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
220
оптимума. Более того, при некоторых зависимостях y = f(x
1
,...,x k
) этот метод может привести к ложному результату. На рис. 6.6 показан один из таких частных случаев, когда поочередное изменение каждого из факторов в любую сторону вдоль координатных осей x
1 ивы- зывает уменьшение y. В результате решения находится ложный экстремум, находящийся в точке Ас координатами
2
x
;
1
x
, в то время как действительное значение максимума y max находится в точке Ас координатами x
1
* и x
2
*. В дальнейшем рассмотрим более совершенные методы. Метод крутого восхождения Известно, что кратчайший, наиболее короткий путь — это движение по градиенту, те. перпендикулярно линиям равного уровня, на которых функция отклика принимает постоянные значения y(x
1,
x
2
, ..., x
k
) = B. В связи с этим при оптимизации процесса рабочее движение целесообразно совершать в направлении наиболее быстрого возрастания функции отклика, те. в направлении градиента функции y. Существуют различные модификации градиентного метода, одним из них является метод крутого восхождения. Сущность этого метода также рассмотрим на примере двухфакторной задачи (рис. 6.15).
1
x
2
x Рис. 6.15. Процедура оптимизации методом крутого восхождения
13 11 10 12 9
8 7
6 1
3 4
2
M
0
M
1
N
5

Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
221
В этом случае шаговое движение осуществляется в направлении наискорейшего возрастания функции отклика, те. grad y(x
1
,x
2
). Однако направление корректируют не после каждого следующего шага, а при достижении в некоторой точке на данном направлении частного экстремума функции отклика. Пусть в окрестности точки М как центра плана поставлен ПФЭ
2 2
. Координаты отдельных опытов соответствуют точкам 1–4. Поре- зультатам ПФЭ можно рассчитать коэффициенты линейного уравнения регрессии.
2
x
2
b
1
x
1
b
0
b Градиент функции отклика в этой точке определяется как
,j
2
x y
i
1
x y
=
y grad









(6.37) где j
,
i


— единичные векторы в направлении координатных осей. Следовательно, для движения по градиенту необходимо изменять факторы пропорционально их коэффициентам регрессии ив сторону, соответствующую знаку коэффициента. В процессе поиска двигаются в этом направлении до тех пор, пока не будет обнаружен локальный максимум (точка М на рис. 6.15). В точке последнего находят новое направление градиента (направление М, осуществляя опять же ПФЭ, и далее процедура повторяется. Стрелками на рис. 6.15 показана траектория движения к оптимуму. Практически алгоритм сводится к следующей последовательности операций.
1. Планирование и постановка ПФЭ (или ДФЭ) в окрестности точки начального состояния x i0
. Расчет коэффициентов b i
линейной математической модели с целью определения направления градиента. Расчет произведений b i

x i
, где

x i
— интервалы варьирования факторов при ПФЭ (ДФЭ).
3. Выбор базового фактора x i
= x i0
, у которого max a
i x
i b



4. Выбор шага крутого восхождения для базового фактора h Этот выбор производится на основании имеющейся априорной информации или с учетом опыта исследователя, технологических

Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
222
соображений или других критериев. Относительно выбора шага заметим, что слишком малый шаг потребует значительного числа опытов при движении к оптимуму, а большой шаг создает опасность проскакивания области оптимума.
5. Расчет шагов изменения других факторов по формуле a
/
a h
)
i x
i b
(
i h


(6.38)
Это соотношение между величинами шагов изменения отдельных факторов обеспечивает движение по градиенту в факторном пространстве.
6. Составление плана движения по градиенту. Для этого в соответствии с определенными значениями шагов изменения факторов и их последовательным алгебраическим суммированием с основным уровнем в точке
1,2,...
=
k
,
i kh
0
i x
ik находят координаты опытов 5, 6, 7, 8, 9, 10 (см. рис. 6.15). Часть этих опытов полагают мысленными. Мысленный опыт заключается в получении предсказанных (расчетных) значений функции отклика по линейному уравнению регрессии, что позволяет сократить объем реальных опытов, те. увеличить скорость продвижения к экстремуму. При мысленном эксперименте перевод координат в кодированную форму и подстановка их в уравнение модели объекта должна подтвердить действительное возрастание y. Обычно реальные опыты вначале движения из базовой точки вдоль направления градиента ставятся через 2–4 мысленных опыта. Другие опыты реализуют на практике, определяя последовательность значений y в направлении градиента. Из опытных данных находят положение локального экстремума точка М на рис. 6.15).
7. В окрестности локального экстремума ставят новую серию опытов (ПФЭ или ДФЭ) для определения новых значений коэффициентов уравнения регрессии и нового направления градиента направление М на рис. 6.15). В дальнейшем процедура повто-

Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
223
ряется до достижения следующего локального экстремума итак далее вплоть до определения окрестности координат максимума функции отклика, которая носит название почти стационарной области. Признаком достижения этой области является статистическая незначимость коэффициентов b i
. В почти стационарной области становятся значимы эффекты взаимодействия и квадратичные эффекты. Здесь требуется переходить от ДФЭ (если он использовался ранее) к ПФЭ, а если и этого окажется недостаточно, перейти от планов эксперимента первого порядка к планам второго порядка. Очевидно, что в задачах, где требуется определить координаты не максимума, а минимума функции отклика, знаки коэффициентов b следует поменять на обратные. В этом случае движение в факторном пространстве осуществляется по направлению, противоположному вектору градиента.
6.5.3. Симплексный метод планирования Метод симплексного планирования позволяет без предварительного изучения влияния факторов найти область оптимума. В этом методе не требуется вычисления градиента функции отклика, поэтому он относится к безградиентным методам поиска оптимума. Для этого используется специальный план эксперимента в виде симплекса. Симплекс — это простейший выпуклый многогранник, образованный вершинами в мерном пространстве, которые соединены между собой прямыми линиями. При этом координаты вершин симплекса являются значениями факторов в отдельных опытах. Так, например, в двухфакторном пространстве (на плоскости) k=2 симплекс любой треугольник, в трехфакторном (трехмерном) k=3 пространстве тетраэдр и т.д. Симплекс называется правильным или регулярным, если все расстояния между образующими его вершинами равны (равносторонний треугольник, правильный тетраэдр и др. После построения исходного симплекса и проведения опытов при значениях факторов, соответствующих координатам его вершин, анализируют результаты и выбирают вершину симплекса, в которой

Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
224
получено наименьшее (наихудшее) значение функции отклика. Для движения к оптимуму необходимо поставить опыт в новой точке, являющейся зеркальным отображением точки с наихудшим (минимальным) результатом относительно противоположной грани симплекса. На рис. 6.16 представлено геометрическое изображение сим- плекс-метода для двумерного случая k = 2. По итогам проведения опытов 1, 2 и 3 худшим оказался опыт 3. Следующий опыт ставится в точке 4, которая образует с точками 1 и 2 новый правильный симплекс. Далее сопоставляются результаты опытов и 4. Наихудший результат получен в точке 1, поэтому она в новом симплексе заменяется зеркальным отображением (точкой 5) и т.д., пока не будет достигнута почти стационарная область. Следует заметить, что хотя этот путь и зигзагообразен, общее число опытов, необходимых для достижения области оптимума, может быть небольшим за счет того, что проводить k+1 опыт приходится лишь вначале, а в дальнейшем каждый шаг сопровождается проведением только одного дополнительного опыта, условия которого выбираются на основе предшествующих результатов. После изложения основных идей симплексного метода планирования оптимальных экспериментов остановимся на некоторых его Рис. 6.16. Схема движения к оптимальной области симплексным методом
1 2
3 4
5 6
7 8
9 60%
70 80 90

Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
225
деталях. Выбор размеров симплекса и его начального положения в известной степени произволен. Для построения начального симплекса значения в каждом опыте исходного симплекса определяются по формуле
,
i x
ij
C
0
i x
ij x



(6.39) где x i0
— координаты центра начального симплекса

x i
— интервал варьирования го фактора С — кодированное значение го фактора для го опыта, выбираемые из числовой матрицы для симплексного планирования, приведенные в табл. 6.18. Таблица Коэффициенты С для выбора координат симплекса * Номер Факторы (

i) опыта (

j) x
1
x
2
x
3
X k-1
X
k
1 k
1
k
2
k
3
K k-1
K
k
2
-R
1
K
k
3 0
-R
2
K
k
4 0
0
-R
3
K
k
K
k k
0 0
0 0
R k-1
K
k k+1 0
0 0
0 0
R
k
*
) k,
1,2,...,
=
i
;
)
1
(
2
R
;
)
1
(
2 1
2 1
1 где k — число факторов Если, например, необходимо составить симплекс-план для двух факторов, то вначале ставят три опыта со следующими координатами й опыт
2
x
2
k
20
x
21
x
;
1
x
1
k
10
x
11
x






й опыт
2
x
2
k
20
x
22
x
;
1
x
1
R
10
x
12
x







Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ й опыт
2
x
2
R
20
x
23
x
;
0 Симплекс, рассчитанный по этим формулам, представлен на рис. 6.17. Рис. 6.17. Схема построения начального симплекса Так, если x
10
=0 и x
20
=0, а

x
1
=

x
2
=1, то координаты опытов будут равны (см. рис. 6.18): опыт 1 (0,5;0,289), опыт 2 (-0,5; 0,289) и опыт 3 (0;-0,577), что соответствует координатам вершин равностороннего треугольника с длиной стороны, равной 1. Начало координат в этом случае находится в точке пересечения медиан (биссектрис. Для определения условий проведения опыта в отраженной точке координат новой вершины симплекса) используется формула
,
j
,
2 1
1
з
iз
k
j
ij
iн
i
x
x
k
x






(6.40) где x н — координата новой точки (новой вершины) симплекса для й переменной x з — координата заменяемой точки (координата вершины симплекса с наихудшим откликом перед ее отбрасыванием



1 1
1
k
j
ij
x
k
— среднее значение из координат всех вершин симплекса, кроме заменяемой.

Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
227
Известны следующие критерии окончания процесса последовательного отражения наихудших вершин и постановки очередных опытов в новы вершинах
1. Разность значений функции отклика в вершинах симплекса становится меньше ранее заданной величины. Это означает либо выход в почти стационарную область вблизи оптимума, либо достижение участка поверхности
const
x
x
f
y
k


)
;...;
(
1

в виде плато. В этом случае дополнительными опытами в стороне от симплекса следует удостовериться в отсутствии других участков с более существенной кривизной поверхности
)
;...;
(
1
k
x
x
f
y

и принять величину с экстремальным значением функции отклика заточку оптимума.
2. Отражение любой из вершин симплекса после однократного качания приводит к его возврату в прежнее положение. При этом есть основания утверждать накрытие симплексом точки оптимума.
3. Циклическое движение симплекса вокруг одной из его вершин на протяжении более чем нескольких шагов. Подобная ситуация имеет место, когда искомый оптимум располагается внутри области, охватываемой циркулирующим симплексом. В случаях 2 и 3 рекомендуется уменьшить размеры симплекса, те. расстояния между вершинами, и продолжить поиск до желаемого уточнения координат искомого оптимума. Изложенный алгоритм симплексного метода сравнительно прост, он достаточно эффективен, однако работает недостаточно быстро. Существует его модификация, известная под названием метод деформируемого симплекса, которая ускоряет процесс поиска Рис. 6.18. Координаты вершин симплекса при x
i0
=0,

x
i
=1 и n=2

Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
228
оптимума за счет использования на данном шаге информации, накопленной на предыдущих шагах. Сущность метода поиска по деформированному симплексу заключается в том, что при отражении наихудшей вершины относительно центра тяжести противоположной грани размер симплекса не остается постоянным, а осуществляется его деформация (растяжение или сжатие. Для пояснения существа метода введем координату центра тяжести i
x остальных (за исключением наихудшей) вершин симплекса з Тогда формула (6.40) может быть преобразована к виду з x
i н или з x
i x
(
i н При

=1 получим выражение (6.40) и н н Введем обозначения з — наихудший (минимальный) отклик в симплексе y
max
— наилучший (максимальный) отклик з — отклик, следующий за наихудшим. Следовательно y з
< y max
< y з. В зависимости от значения функции отклика в точке нормального отражения y н при

=1 возможны следующие варианты
1) если y з
< y н
< y max
, те. x н будет нехудшей и нелучшей точкой в новом наборе точек, то x з следует заменить на x нс. В этом случае осуществляется нормальное отражение
2) если y н
> y max
, тон оказывается новой лучшей точкой в новом наборе точек. В этом случае направление растяжения признается весьма удачными симплекс растягивается в нормальном направлении. Для этого случая 1<

<2 и

называется коэффициентом растяжения) если y з
< y н
< y з, то направление отражения признается пра-

Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
229
вильным, но симплекс слишком велики его следует сжать выбором коэффициента сжатия

из диапазона 0 <

< 1;
4) если y н
< y з, то даже направление отражения выбрано неверно и следует осуществить отрицательное сжатие выбором отрицательного значения коэффициента

(-1<

<0). Таким образом, на каждом шаге следует вначале нормально отразить наихудшую вершину симплекса (

=1), поставить в этой точке опыт, определить y на затем поставить следующий опыт в точке факторного пространства н, координаты которой определяются по формуле) с учетом рассмотренных вариантов 1–4. На рис. 6.19 показаны точка 4 очередного опыта при нормальном отражении (

=1) наихудшей вершины 1, точки 5’, 5’’, 5’’’ последующих опытов для случаев соответственно растяжения (

=2), сжатия) и отрицательного сжатия (

=-0,5) симплекса. Таким образом, метод поиска по деформированному симплексу обладает повышенной гибкостью, позволяющей учитывать особенности поверхности отклика. Пример Пусть объект обладает свойствами, соответствующими уравнению x
3
x
30
x x
12 4
y
2 2
2 2
1 Рис. 6.19. К методу деформированного симплекса

Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
230
Найдем экстремум функции симплекс-методом. Выберем основной уровень факторов. Предположим, что по некоторым данным экстремум находится вблизи значений x
1 0
=3 и x
2 0
= -1, которые и принимаем за основной уровень. Интервал варьирования примем равными. Найдем
 
;
5
,
0 1
1 1
2 1
k
1





 
;
5
,
0 1
1 2
1
R
1






;
289
,
0 1
2 2
2 1
k
2







577
,
0 1
2 Находим координаты первых трех опытов, так как m+1=2+1=3. Вершина 1: x
11
= 3+0,5

1=3,5; x
21
= -1+0,289

1,5= -0,565; Вершина 2: x
12
= 3-0,5

1=2,5; x
22
= -1+0,289

1,5= -0,565; Вершина 3: x
13
= 3+0=3; x
23
= -1-0,577

1,5= -1,865. Подставляя найденные координаты вершин в уравнение, получили следующие результаты опыта y
1
=15,84; y
2
=9,78; y
3
= -35,5. Самый худший результат y
3
= -35,5. Следовательно, условия опыта 3 следует заменить. Геометрическая траектория движения показана на рис. 6.12. Вычисляем координаты вершины 4.


;
3 3
2 5
,
2 5
,
3 2
x
14






735
,
0 865
,
1 2
565
,
0 565
,
0 Результат — y
4
=52,1. Сравнивая результаты y
1
, y
2
и y
4
, видим, что худший результат Вычисляем координаты вершины 5: x
15
= 4; x
25
= 0,735; y
5
= 57,1.

Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
231
Вычисляем координаты вершины 6, заменяя вершину 1: x
16
= 3,5; x
26
= 2,035; y
6
= 82,6. Далее получим вершины 7 с координатами
(4,5;2,035); 8 (4;3,3); 9 (5;3,3); 10 (4,5;4,8); 11 (5,5;4,8) и результаты последних трех опытов y
9
= 105; y
10
= 113; y
11
= 112,32. Находим координаты вершины 12:


;
5 5
2 5
,
5 5
,
4 2
x
112






;
9
,
5 3
,
3 2
6
,
4 6
,
4 2
x
212




y
12
= 111. Как видно, координаты вершины 12 соответствуют худшим результатам, чем 10 и 11. Поэтому возвращаемся к предыдущему симплексу с вершинами 9,10, 11 и выбираем худший результат, не обращая внимания на опыт 9. Следовательно, заменить необходимо вершину 7
8 9
13 10 11 12, 17 15 16
* Точка экстремума Рис. 6.20. К решению примера 6.1

Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 5
,
4 2
5
,
5 5
2
x
113






;
3
,
3 6
,
4 2
6
,
4 3
,
5 2
x
213




y
13
= 106. В новом симплексе 9 (5;3,3); 10 (5,5;4,6) и 13 (6;3,3) худший результату опыта 9. Заменим вершину 9:


;
5
,
6 5
2 6
5
,
5 2
x
114






;
6
,
4 3
,
3 2
3
,
3 6
,
4 2
x
214




y
14
= 114,21. Результаты опытов 11, 13 и 14 следующие y
11
= 112,32, y
13
= 106 и y
14
=114,21. Заменим вершину 13:


;
6 6
2 5
,
6 5
,
5 2
x
115






;
9
,
5 3
,
3 2
6
,
4 6
,
4 2
x
215




y
15
= 112. Получен худший результат, чем в опытах 11 и 14. Поэтому заменяем опыт 11:


;
7 5
,
5 2
6 5
,
6 2
x
116






;
9
,
5 6
,
4 2
9
,
5 6
,
4 2
x
216




y
16
= 111. Это также худший результат, поэтому в симплексе 11, 14 и 15 заменяем опыт 14:


;
5 5
,
6 2
6 5
,
5 2
x
117






9
,
5 6
,
4 2
9
,
5 6
,
4 Вершины 17 и 12 совпадают, y
17
= y
12
= 111. Получен снова худший результат. Следовательно, экстремум находится внутри этого симплекса (см. рис. 6.20). Далее можно уменьшить интервал варьирования и от любой вершины двигаться вновь. Если же с точностью до шага варьирования результаты устраивают, можно считать задачу решенной.

Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
233
Следовательно, координаты экстремума x
1

6,5 и x
2

4,6; y=114,21. Истинные координаты экстремума x
1
=6 и x
2
=5; y=115.
6.6. Контрольные вопросы
1. Из каких этапов состоит последовательность проведения активного эксперимента
2. С какой целью используют теорию планирования эксперимента
3. Из каких соображений выбирают основные факторы, их уровни, а также интервалы варьирования факторов при проведении ПФЭ и ДФЭ?
4. В чем заключается основная идея ДФЭ?
5. В чем заключаются причины неадекватности математической модели Как производится оценка адекватности
6. Каковы принципы ротатабельного планирования эксперимента
7. С какой целью композиционные планы приводят к ортогональному виду
8. В чем заключается сущность планирования экспериментов при поиске оптимальных условий Какие методы при этом используют. На чем основан метод покоординатной оптимизации
10. Из каких этапов состоит алгоритм оптимизации методом крутого восхождения
11. В чем заключаются основная идея метода симплексного планирования Глава
7. КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
234
2>

1   ...   12   13   14   15   16   17   18   19   20