Файл: Металлургия Екатеринбург 2015.pdf

Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
202
П род о л жени е таблицы 1,819 7
1,369 1,575 1,772 1,868 8
1,414 1,623 1,819 1,913 9
1,454 1,668 1,868 1,957 10 1,498 1,711 1,913 2,000
*
)
В ядре полуреплики В частности, ортогональный план второго порядка для k = 2 и n
0
=1 представлен в табл. 6.10, а его геометрическая интерпретация — на риса. Таблица Ортогональный план второго порядка Номер опыта Факторы Результат Ядро 2
+1
+1
-1
-1
+1/3
+1/3 плана 3
+1
-1
+1
-1
+1/3
+1/3 y
3 4
+1
+1
+1
+1
+1/3
+1/3 y
4 5
+1

=+1 0
0
+1/3
-2/3 Звездные 6 +1

=-1 0
0
+1/3
-2/3 точки 7 +1 0

=+1 0
-2/3
+1/3 y
7 8
+1 0

=-1 0
-2/3
+1/3 Центр 9 плана
+1 0
0 0
-2/3
-2/3 В этой таблице 2
9
'
2 9
1 Представленный на риса ив табл. 6.10 прямоугольный квадратный) план эксперимента для модели второго порядка работоспособен, хотя и несколько избыточен (9 опытов для определения 6 коэффициентов. Благодаря трем избыточным опытам, он позволяет усреднить случайные погрешности и оценить их характер.

Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
203
В силу ортогональности матрицы планирования все коэффициенты уравнения регрессии b определяются независимо один от другого по формулам Здесь i — номер столбца в матрице планирования j — номер строки суммы в знаменателях различны для линейных, квадратичных эффектов и взаимодействий. Дисперсии коэффициентов уравнения регрессии следующие
)
x x
(
S
S
;
x
S
'
S
;
x
S
S
n
1
j
2
j u
j i
восп
2 2
biu n
1
j
2
j i
'
восп
2 2
bii n
1
j
2
j i
восп
2 2
bi









(6.28) Следует особо отметить, что коэффициенты уравнения регрессии, получаемые с помощью ортогональных планов второго порядка, определяются с разной точностью (см. уравнение (6.28)), в то время как ортогональные планы первого порядка обеспечивают одинаковую точность коэффициентов, те. план, представленный в табл. 6.10, являющийся ортогональными обеспечивающий независимость определения коэффициентов b, не является ротатабельным. В результате расчетов по матрице с преобразованными столбцами для квадратичных эффектов получим уравнение регрессии в виде
)
(
'
'
1 2
2 1
,
u
1 0











k
i
i
i
i
i
u
k
u
i
i
i
k
i
i
i
x
x
b
x
x
b
x
b
b
y

(6.29) Для преобразования к обычной форме записи следует перейти от коэффициента b
0
’ к коэффициенту b
0
, используя выражение
'
'
1 2
0 0




k
i
i
i
i
x
b
b
b
(6.30)
)
(
)
(
;
'
'
'
;
2 1
1
u
1 2
1 1
2 1
u
i
n
j
j
i
n
j
j
j
u
j
i
i
n
j
j
i
n
j
j
j
i
i
i
n
j
j
i
n
j
j
j
i
i
x
x
y
x
x
b
x
y
x
b
x
y
x
b
















(6.27)

Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
204
При этом дисперсия этого коэффициента рассчитывается последующему соотношению
2
'
1 2
2 0
'
2 0
ii
b
k
i
i
b
b
S
x
S
S





(6.31) В дальнейшем, зная дисперсию воспроизводимости, проверяют значимость коэффициентов и адекватность уравнения
1 2
1
,
1 0










k
i
i
ii
u
k
u
i
i
iu
k
i
i
i
x
b
x
x
b
x
b
b
y

(6.32) Значимость коэффициентов проверяется по критерию Стьюден- та
bi
i
i
S
b
t

. Коэффициент значим, если m
,
t i
t


, где m — число степеней свободы дисперсии воспроизводимости. Адекватность уравнения проверяется по критерию Фишера
2
восп
S
2
ад
S
F

Уравнение адекватно, если составленное таким образом отношение меньше теоретического
2
m
;
1
m
;
F
F


, где m
1
=n-l — число степеней свободы дисперсии адекватности m
2
— число степеней свободы дисперсии воспроизводимости l — число коэффициентов в уравнении регрессии второго порядка, равное числу сочетаний из k+2 поте. а)
6.4.2. Ротатабельные планы второго порядка Как мы установили, план второго порядка, представленный в табл. 6.10, не обладает свойством ротатабельности. Ротатабельным называют планирование, для которого дисперсия отклика (выходного параметра)
y

, предсказанного уравнением регрессии, постоянна для всех точек, находящихся на равном расстоянии от центра эксперимента. Экспериментатору заранее неизвестно, где находится та часть

Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
205
поверхности отклика, которая представляет для него особый интерес, поэтому следует стремиться к тому, чтобы количество информации, содержащееся в уравнении регрессии, было одинаково для всех равноотстоящих от центра эксперимента точек. Действительно, удаление от центра точек 5,6,7,8 в
2
=1,414 раза меньше, чем удаление точек
1, 2, 3, 4 (см. риса, и следовательно, коэффициенты уравнения регрессии определяются с различной дисперсией. Бокс и Хантер предложили ротатабельные планы го порядка. Для того чтобы композиционный план был ротатабельным, величину звездного плеча выбирают из условия
4 2
k


при k


и
4 1
2


k

прибили в общем случае
4 2
p
k



, где k — число факторов р — дробность реплики (для ПФЭ р = 0, для полуреплики р = 1, для четвертьреплики р и т.д.). Число точек в центре плана n
0
увеличивают. В табл. 6.11 приведены значения

и n
0
для различного числа независимых факторов. Таблица Значения звездных плечи числа точек в центре ротатабельных планов Параметр плана Значения параметров при числе независимых факторов
2 3
4 5
6 6
6 7
7 Ядро плана
2 2
2 3
2 4
2 5
2 5-1 2
6 2
6-1 2
7 Звездное плечо
1,414 1,682 2,00 2,378 2,00 2,828 2,378 3,333 2,828 Число точек в центре плана n
0 5
6 7
10 6
15 9
21 14 Поясним идею выбора значения звездного плеча

на примере матрицы ротатабельного планирования второго порядка для k=2, представленной в табл. 6.12. Размещение точек этого плана показано на рис. 6.3 б. Для обес-

Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
206
печения ротатабельности точек 5, 6, 7, 8 необходимо удалить их от центра плана на расстояние

враз большее, чем удаление точек 1, 2, 3, 4 от осей хи х. В результате этого все точки плана табл. 6.12) оказываются лежащими на окружности. Учитывая существенно большее влияние на функцию отклика случайной ошибки в точке 9, рекомендуется ставить в этой точке плана не один, а несколько дублирующих опытов (в данном случае опыты с 9 до 13) для усреднения полученных результатов и для осуществления статистического анализа результатов всего эксперимента в целом. Таблица
Ротатабельный план второго порядка Номер опыта Факторы Результат y
j x
0
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1 2
x
2 2
1
+1
-1
-1
+1
+1
+1 Ядро 2
+1
+1
-1
-1
+1
+1 плана 3
+1
-1
+1
-1
+1
+1 y
3 4
+1
+1
+1
+1
+1
+1 Звездные 5
+1
+1,414 0
0 2
0 точки 6
+1
-1,414 0
0 2
0 y
6 7
+1 0
+1,414 0
0 2 y
7 8
+1 0
-1,414 0
0 2 Центр 9
+1 0
0 0
0 0 плана 10
+1 0
0 0
0 0 y
10 11
+1 0
0 0
0 0 y
11 12
+1 0
0 0
0 0 y
12 13
+1 0
0 0
0 0 Учитывая специфический характер ротатабельного плана в общем виде, можно также получить формулы для расчета коэффициентов уравнения регрессии и их дисперсий

 
 
;
iiy c
2
oy
2
k
2
n
A
b k
1
i
2 0













(I)
  
;
iy n
/
c b
i

(II)




 

  
 
;
oy c
2
iiy
1
c iiy k
2
k c
n
A
b k
1
i
2 2
ii

















(III)

Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 
;
iuy n
c b
2
iu


(IV)


;
S
n
2
k
A
2
S
2
восп
2 2
b
0



(V)




;
S
n
]
c
1
k
)
1
k
[
A
S
2
восп
2 2
b ii





(VI)
,
S
n c
S
2
восп
2 2
b iu


(VII) где
 



n
1
j j
j
0
;
y x
oy
 



n
1
j j
uj ij
;
y x
x iuy
(VIII)
 



n
1
j j
ij
;
y x
iy
 



n
1
j j
2
ij
;
y x
iiy
(IX)
;
x n
C
n
1
j
2
ij







;
k
2
k
2 1
A





(X)






n
2
k n
n k
n
2
k nk
1 0
1 1






(XI) Здесь n
0
— число опытов в центре плана n
1
— число остальных опытов. Матрица ротатабельного планирования, оказывается неортогональной, так как u.
i
;
0
x x
;
0
x x
2
uj n
1
j
2
ij
2
uj n
1
j j
0









(6.33) Следовательно, если какой-либо из квадратичных эффектов оказался незначимым, то после его исключения коэффициенты уравнения регрессии необходимо пересчитать заново. При использовании ротатабельных планов второго порядка дисперсию воспроизводимости можно определить по опытам в центре плана. В связи с этим при проверке адекватности уравнения регрес-

Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
208
сии, полученного по ротатабельному плану второго порядка, поступают следующим образом. Находят остаточную сумму квадратов
2 1
2 1
)
(




n
j
j
j
y
y
S

(6.34) с числом степеней свободы По опытам в центре плана определяют сумму квадратов воспроизводимости) с числом степеней свободы m
2
= n
0
-1. Далее находят сумму квадратов, характеризующих неадекватность, число степеней свободы которой
).
1
(
2
)
1
)(
2
(
0 2
1 Проверяют адекватность по критерию
2
m
/
2 2
S
3
m
/
2 3
S
F

(6.36) Уравнение адекватно, если Если модель второго порядка оказалась неадекватной, следует повторить эксперименты на меньшем интервале варьирования факторов или перенести центр плана в другую точку факторного пространства. В тех случаях, когда адекватность модели по-прежнему не достигается, рекомендуется перейти к планам третьего порядка.

Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ. Исследование причин образования расслоений в горячекатаных листах В качестве примера планирования эксперимента второго порядка рассмотрим задачу исследования причин образования расслоений в горячекатаных листах (за основу числового материала взяты данные из книги
1)
Известно, что при прокатке листов толщиной более 12 мм появление брака связано большей частью с дефектами, унаследованными от слитка. Наиболее серьезными дефектами толстого листа являются расслоения, трещины и рванины. Существует достаточно тесная связь между некоторыми параметрами выплавки стали и пораженностью листов расслоениями. По результатам ультразвуковой дефектоскопии было установлено, что на пораженность листов расслоениями (которая количественно может быть выражена в относительных единицах по площади расслоений, отнесенной к площади всего раската — Y %) наиболее существенно влияют такие два фактора, как скорость выгорания углерода в период рудного кипения — x
1
, ч, и время разливки стали — x
2
, мин. Уровни варьирования факторов представлены в табл. 6.13. Для проведения эксперимента использовался ортогональный план второго порядка стремя опытами в центре плана. Таблица Уровни варьирования факторов Уровни факторов Факторы x
1
, ч x
2
, мин Основной (нулевой)
0,35 5,5 Нижний
0,20 3,5 Верхний
0,50 7,5 Интервал варьирования
0,15 2,0 По табл. 6.9 при числе факторов k=2 и n
0
= 3 величина звездного плеча составляет

= 1,148

1,15, поэтому матрица планирования выглядит (табл. 6.14) следующим образом
1
Паршин В.А, Зудов Е.Г., Колмогоров В.Л. Деформируемость и качество. – М Металлургия, 1979.

Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
210
Т а блица Ортогональный план второго порядка для двух факторов и стремя опытами в центре плана Факторы кодированные значения) Факторы натуральные значения) Отклик
X
1
X
2
x
1
, ч x
2
, мин y
j
, %
1
-1
-1 0,20 3,5 0,36 Ядро 2
+1
-1 0,50 3,5 0,51 плана 3
-1
+1 0,20 7,5 1,33 4
+1
+1 0,50 7,5 1,51 5

= +1,15 0
0,52 5,5 0,50 Звездные точки 8 0

= -1,15 0,35 3,2 0,45 Центр 9 0
0 0,35 5,5 0,30 плана 10 0
0 0,35 5,5 0,29 11 0
0 0,35 5,5 0,31 Для обработки результатов эксперимента используем методику, изложенную ранее в параграфе 6.4.1. Начнем с того, что к кодированным значениями в исходную таблицу плана (см. табл. 6.14) добавим фиктивный столбец x
0
=1, а также дополнительные столбцы x
12
=x
1
x
2 11 11 1
2 1
2 и 11 1
2 2
2 Поскольку
,
636
,
6
)
0
(
)
0
(
)
15
,
1
(
)
15
,
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
Х
Х
2 2
2 2
2 2
2 2
11 1
j
2
j
2 11 то
6
,
0 11 636
,
6 2
1 2
1
'
1




j
j
j
Х
Х
Х
, аналогично
6
,
0 2
2
'
2


j
j
Х
Х

Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
211
В итоге матрица плана эксперимента с фактическими результатами эксперимента y j
, полученными входе проведения опытов, выглядит следующим образом (табл. 6.15): Таблица Матрица ортогонального плана второго порядка в кодированных значениях Номер опыта Факторы Результат
X
0
X
1
X
2
X
12
X
1
'
X
2
' y
j
^
j y
1
+1
-1
-1
+1
+0,4
+0,4 0,36 0,366 Ядро 2
+1
+1
-1
-1
+0,4
+0,4 0,51 0,526 плана 3
+1
-1
+1
-1
+0,4
+0,4 1,33 1,346 4
+1
+1
+1
+1
+0,4
+0,4 1,51 1,506 5
+1
+1,15 0
0
+0,7225
-0,6 0,50 0,507 Звездные точки 8
+1 0
-1,15 0
-0,6
+0,7225 0,45 0,46 Центр 9
+1 0
0 0
-0,6
-0,6 0,30 0,296 плана 10
+1 0
0 0
-0,6
-0,6 0,29 0,296 11
+1 0
0 0
-0,6
-0,6 0,31 0,296 В табл. 6.15 также приведены значения оценок отклика
^
j
y
, найденные по модели, построенной после обработки экспериментальных данных. Для оценки коэффициентов в уравнение регрессии '
22
'
22
'
11
'
11 12 12 2
2 1
1 0
'
Х
b
Х
b
Х
b
Х
b
Х
b
b
y







по зависимостям (6.27) сформируем еще две дополнительные таблицы (табл. 6.16, 6.17), в которых представим результаты всех необходимых промежуточных расчетов. Используя значения из строк сумма в этих двух таблицах, находим оценки коэффициентов регрессии
0,678182 7,46/11
'
b
0


;
0,082543 45 0,5485/6,6
b
1


;
0,493755 5
3,281/6,64
b
2


;

Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 0,0075 0,03/4
b
12


;
0,087607
,484013 0,305225/3
'
b
11


;
0,554504 84013 Таблица Таблица произведений кодированных значений факторов назначения отклика Номер опыта Произведения факторов на отклик
X
0

y
X
1

y
X
2

y
X
12

y
X
1
'

y
X
2
'

y
1 0,36
-0,36
-0,36 0,36 0,144 0,144 2
0,51 0,51
-0,51
-0,51 0,204 0,204 3
1,33
-1,33 1,33
-1,33 0,532 0,532 4
1,51 1,51 1,51 1,51 0,604 0,604 5
0,5 0,575 0
0 0,36125
-0,3 6
0,31
-0,3565 0
0 0,223975
-0,186 7
1,59 0
1,8285 0
-0,954 1,148775 8
0,45 0
-0,5175 0
-0,27 0,325125 9
0,3 0
0 0
-0,18
-0,18 10 0,29 0
0 0
-0,174
-0,174 11 0,31 0
0 0
-0,186
-0,186 сумма
7,46 0,5485 3,281 0,03 0,305225 1,9319 Таблица Величина квадратов кодированных значений факторов Номер опыта Квадраты факторов
(Х
0
)
2
(Х
1
)
2
(Х
2
)
2
(Х
12
)
2
(Х
1
')
2
(Х
2
')
2 1
1 1
1 1
0,16 0,16 2
1 1
1 1
0,16 0,16 3
1 1
1 1
0,16 0,16 4
1 1
1 1
0,16 0,16 5
1 1,3225 0
0 0,522006 0,36 6
1 1,3225 0
0 0,522006 0,36 7
1 0
1,3225 0
0,36 0,522006 8
1 0
1,3225 0
0,36 0,522006 9
1 0
0 0
0,36 0,36 10 1
0 0
0 0,36 0,36 11 1
0 0
0 0,36 0,36 сумма
11 6,645 6,645 4
3,484013 3,484013