Файл: Смирнов В. А., Смирнова И. М.pdf

287 36.
Пусть центр O окружности, описанной около треугольника
ABC, лежит вне этого треугольника. Тогда, по отношению к некоторой стороне треугольника, точка O и вершина, противолежащая этой стороне, лежат по разные стороны. Пусть, например, это будет сторона
AB. В этом случае угол C опирается на дугу окружности, большую
180
о
, следовательно, является тупым. Значит, треугольник ABC – тупоугольный.
37.
Пусть окружность с центром O описана около остроугольного треугольника ABC. Тогда угол C опирается на дугу окружности, меньшую 180
о
, следовательно, точка O и вершина C лежат по одну сторону от прямой AB. Аналогично точка O и вершина A лежат по одну сторону от прямой BC, точка O и вершина B лежат по одну сторону от прямой AC.Значит, центр O лежит внутри треугольника
ABC.
38.
Пусть центр O окружности, описанной около треугольника
ABC, лежит внутри этого треугольника. Тогда точки O и С лежат по одну сторону от прямой AB, следовательно, угол C – острый.
Аналогично углы A и B также являются острыми, т.е. треугольник ABC
– остроугольный.

288 39.
Пусть центр O вписанной окружности треугольника ABC
совпадает с точкой пересечения высот. Так как центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника, то биссектрисы треугольника являются его высотами, следовательно, треугольник ABC – равносторонний.
40.
Пусть центр O вписанной окружности треугольника ABC
совпадает с точкой пересечения медиан. Так как центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника, то биссектрисы треугольника являются его медианами и, в силу задачи
С26 параграфа 3, треугольник ABC – равносторонний.

289 41.
Пусть O - центр вписанной и описанной окружностей треугольника ABC. Соединим его с вершинами треугольника ABC и опустим из него перпендикуляры на стороны.Треугольник ABC
разобьется на шесть равных треугольников, следовательно, он будет равносторонним.
42.
Пусть на стороне AB равностороннего треугольника, как на диаметре, построена полуокружность. D, E – точки ее пересечения с двумя другими сторонами треугольника. Угол ADB опирается на диаметр окружности, следовательно, равен 90
о
. Значит, BD – высота и, следовательно, биссектриса треугольника. Так как вписанный угол
ABD равен 30
о
, то дуга AD составляет 60
о
. Аналогично дуга BE
составляет 60
о
. Следовательно, вся полуокружность делится на три равные части точками ее пересечения со сторонами треугольника.
43.
Пусть окружность радиуса r вписана в прямоугольный треугольник ABC, A
1
, B
1
, C
1
– точки касания. Имеем AB
1
= AC
1
, BC
1
=
BA
1
, CA
1
= CB
1
. Откуда AC + BC – AB = CA
1
+ CB
1
= 2r.Таким образом, диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен разности суммы катетов и гипотенузы.

290 44.
Пусть в прямоугольный треугольник ABC вписана окружность и около него описана окружность. По предыдущей задаче сумма катетов равна сумме гипотенузы и диаметра вписанной окружности. Так как гипотенуза равна диаметру описанной окружности, то сумма катетов будет равна сумме диаметров окружностей, вписанной в прямоугольный треугольник и описанной около него.
45. Пусть окружность с центром O и радиусом r вписана в треугольник ABC со сторонами AB = c, AC = b и BC = a. В треугольниках AOB, AOC и BOC высоты равны радиусу r и, следовательно, площадь S треугольника ABC равна половине произведения a + b + c и r. Откуда
2S
r
a
b
c

 

291 46.
Пусть ABCD – четырехугольник, вписанный в окружность.
Углы BAD и BCD опираются на дуги, в сумме составляющие 360
о
. Так как они измеряются половинами этих дуг, то сумма данных углов равна 180
о
. Аналогично сумма углов ABC и ADC равна 180
о
47.
Пусть ABCD – прямоугольник, O – точка пересечения его диагоналей. Так как диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам, то окружность с центром O и радиусом, равным половине диагонали, будет описанной окружностью.
48.
Пусть ABCD – параллелограмм, около которого можно описать окружность. В силу задачи 16, сумма его противоположных углов равна 180
о
, следовательно, данный параллелограмм является прямоугольником.

292 49.
Пусть ABCD – ромб, около которого можно описать окружность. В силу задачи 16, сумма его противоположных углов равна 180
о
, следовательно, данный ромб является квадратом.
50.
Пусть ABCD – равнобедренная трапеция, AB = CD. Через середины E и F сторон соответственно AB и AD проведем к ним серединные перпендикуляры и их точку пересечения обозначим O. Из точки O опустим перпендикуляр OG на CD. Тогда углы OAF и ODF
равны. Углы BAF и CDF равны. Следовательно, углы OAE и ODG
равны. Прямоугольные треугольники OAE и ODG равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, AE = DG и, значит, OG – серединный перпендикуляр к стороне CD. Таким образом, точка O является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам AB, AD и CD.
Следовательно, она равноудалена от вершин трапеции, значит, является центром описанной окружности.

293 51.
Пусть ABCD – трапеция, около которой можно описать окружность. В силу задачи 16, сумма ее противоположных углов равна
180
о
. Следовательно, углы при основании трапеции равны, значит, она является равнобедренной.
52.
Пусть в четырехугольник ABCD вписана в окружность, E,
F, G, H – точки касания.Тогда AE = AH как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки. Аналогично BE = BF, CF =
CG, DG = DH, следовательно, AB + CD = AD + BC.

294 53.
Пусть ABCD – ромб, O – точка пересечения его диагоналей. Так как диагонали ромба лежат на биссектрисах его углов, то точка O одинаково удалена от сторон ромба, следовательно, является центром вписанной окружности.
54.
Пусть ABCD – параллелограмм, в который можно вписать окружность. В силу задачи 22, суммы его противоположных сторон равны, следовательно, данный параллелограмм является ромбом.
55.
Пусть ABCD – прямоугольник, в который можно вписать окружность. В силу задачи 22, суммы его противоположных сторон равны, следовательно, данный прямоугольник является квадратом.

295 56.
Пусть ABCD – прямоугольник, вписанный в окружность.
EFGH – четырехугольник, образованный касательными к этой окружности, проведенными через вершины прямоугольника. Так как диагонали прямоугольника являются диаметрами окружности, то противоположные стороны четырехугольника EFGH перпендикулярны диагоналям, следовательно, параллельны. Значит, четырехугольник
EFGH – параллелограмм. Используя задачу 24, получаем, что EFGH – ромб.
57.
Пусть ABCD – ромб, в который вписана окружность. EFGH
– точки касания. Диагонали четырехугольника EFGH являются диаметрами окружности, следовательно, равны и в точке пересечения делятся пополам. Значит, четырехугольник EFGH – прямоугольник.
58.
Пусть A
1
…A
n
– многоугольник, вписанный в окружность.
Из равенства его сторон следует равенство дуг, ими стягиваемыми, следовательно, и равенство углов данного многоугольника. Значит, многоугольник A
1
…A
n
– правильный.

296 59.
Пусть A
1
…A
n
– многоугольник, описанный около окружности. B
1
, …, B
n
– точки касания.Из равенства углов многоугольника A
1
…A
n
следует равенство дуг, ими стягиваемыми, следовательно, и равенство сторон многоугольника B
1
…B
n
Равнобедренные треугольники, основаниями которых служат стороны многоугольника B
1
…B
n
, а противоположными вершинами – вершины многоугольника A
1
…A
n
равны по основанию и противоположному углу. Следовательно, стороны многоугольника A
1
…A
n
равны, значит, многоугольник A
1
…A
n
– правильный.
60.
Пусть O – центр вписанной окружности многоугольника
A
1
…A
n
. Соединим O с вершинами многоугольника. Многоугольник разобьется на треугольники, площадь каждого из которых равна половине произведения стороны многоугольника на радиус вписанной окружности. Следовательно, сумма площадей этих треугольников равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

297

298

Уровень С
1. Пусть окружность описана около треугольника ABC, O – ее центр, т.е. точка пересечения серединных перпендикуляров OA’, OB’,
OC’ к сторонам треугольника. Предположим, что AB > AC. Тогда в прямоугольных треугольниках AOB’ и AOC’ гипотенуза AO – общая,
AB’ < AC’. Следовательно, OC’ < OB’, т.е. точка O расположена ближе к стороне AB, чем к AC.
2. Пусть окружность вписана в треугольник ABC, O – ее центр, т.е. точка пересечения биссектрис треугольника. Опустим из точки O
перпендикуляры OA’, OB’, OC’ на стороны треугольника.
Предположим, что AB > AC. Тогда в прямоугольных треугольниках
OBC’ и OCB’ катеты OC’ и OB’ равны, а катет B’C меньше катета C’B.
Следовательно, OC < OB, т.е. точка O расположена ближе к вершине C, чем к B.
3. Пусть окружность с центром O вписана в треугольник ABC, D, E,
F – точки касания, AC + BC – AB = 2r. Тогда CE + CF = 2r. В четырехугольнике OECF

E =

F = 90
о
, CE = CF и OE = OF.
Следовательно,

C = 90
о
, т.е. треугольник ABC – прямоугольный.

299 4. Пусть
AA
1
,
BB
1
,
CC
1
– высоты треугольника ABC, пересекающиеся в точке H. A’, B’, C’ – точки пересечения продолжения высот с описанной окружностью. Опишем окружность с диаметром AB.
Точки A
1
и B
1
будут принадлежать этой окружности, значит, углы
A
1
AB
1
и A
1
BB
1
равны, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.
Следовательно, дуги A’C и B’C описанной окружности равны. Откуда равны углы A’AC и B’AC. Прямоугольные треугольники AHB
1
и AB’B
1
равны по катету и острому углу. Следовательно, точка B’ симметрична точке H относительно стороны AC. Аналогично доказывается симметричность точек A’ и C’ точке H относительно сторон BC и AB.
5. Пусть окружность описана около треугольника ABC. Биссектриса угла C пересекает окружность в точке C
1
, являющейся серединой дуги
AB. Серединный перпендикуляр к отрезку AB также пересекает окружность в середине дуги AB. Следовательно, биссектриса угла C и серединный перпендикуляр к отрезку AB пересекаются в точке, принадлежащей описанной окружности.
6. Пусть ABC – треугольник, вписанный в окружность с центром O.
CH – высота, CG – диаметр. Продолжим высоту CH до пересечения с окружностью в точке E. Проведем диаметр EF и диаметр PQ, перпендикулярный AB. Тогда угол POF равен углу POC и равен половине дуги СF. Дуги AP и BP равны, следовательно, равны дуги BC
и AF. Разность углов B и A данного треугольника измеряется