ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.02.2024
Просмотров: 369
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
33 40. На продолжении каждой стороны правильного треугольника
ABC последовательно отложены равные отрезки BD, CE, AF.
Докажите, что треугольник DEF тоже правильный.
41. Докажите, что если две стороны и высота, опущенная на одну из них, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте другого треугольника, то эти треугольники равны.
42. Докажите, что если две стороны и высота, опущенная на третью сторону, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте другого треугольника, то эти треугольники равны.
34 43. Докажите, что если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и высота, опущенная на эту сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника, то эти треугольники равны.
44. Докажите, что если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и высота, опущенная из вершины этого угла, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника, то эти треугольники равны.
45. Докажите, что если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на сторону, прилежащую к этому углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника, то эти треугольники равны.
35 46. Докажите, что если два угла и высота, опущенная на прилежащую к ним сторону, одного треугольника соответственно равны двум углам и высоте другого треугольника, то эти треугольники равны.
47. Докажите, что если два угла и высота, проведенная из вершины одного из них, одного треугольника соответственно равны двум углам и высоте другого треугольника, то эти треугольники равны.
48. Докажите, что если угол и две высоты, опущенные на его стороны, одного треугольника соответственно равны углу и двум высотам другого треугольника, то такие треугольники равны.
36 49. Докажите, что если угол и две высоты, одна из которых проведена из вершины этого угла, одного треугольника соответственно равны углу и двум высотам другого треугольника, то такие треугольники равны.
50. Докажите, что если сторона и две высоты, опущенные на другие стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и двум высотам другого треугольника, то такие треугольники равны.
51. Докажите, что если сторона и две высоты, одна из которых опущена на эту сторону, одного треугольника соответственно равны стороне и двум высотам другого треугольника, то такие треугольники равны.
37 52. Докажите, что если две стороны и медиана, проведенная к одной из них, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны.
53. Докажите, что если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и биссектриса, проведенная из вершины этого угла, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и биссектрисе другого треугольника, то эти треугольники равны.
54. Докажите, что если у двух равнобедренных треугольников соответственно равны основания и противолежащие им углы, то такие треугольники равны.
38 55. Докажите, что если у двух равнобедренных треугольников соответственно равны основания и опущенные на них высоты, то такие треугольники равны.
56. Докажите, что если боковая сторона и высота, опущенная на основание, одного равнобедренного треугольника соответственно равны боковой стороне и высоте другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.
57. Докажите, что если основание и высота, опущенная на боковую сторону, одного равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и высоте другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.
39 58. Докажите, что если боковая сторона и проведенная к ней высота одного равнобедренного треугольника соответственно равны боковой стороне и высоте другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.
59. Докажите, что если боковая сторона и проведенная к ней медиана одного равнобедренного треугольника соответственно равны боковой стороне и медиане другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.
60. Докажите, что если катет и проведенная к нему медиана одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и медиане другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
40 61. Докажите, что если катет и медиана, проведенная к другому катету, одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и медиане другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
62. Докажите, что если катет и медиана, проведенная к гипотенузе, одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и медиане другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
41
Уровень С
Выясните, верны ли перечисленные ниже утверждения. Если да, докажите, если нет, приведите контрпример.
1. Два треугольника равны, если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника.
2. Если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, прилежащую к данному углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника, то эти треугольники равны.
3. Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны.
42 4. Если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и медиана, проведенная к этой стороне, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и медиане другого треугольника, то эти треугольники равны.
5. Если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и медиана, проведенная к стороне, противолежащей данному углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и медиане другого треугольника, то эти треугольники равны.
6. Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и медиана, проведенная к другой стороне, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и медиане другого треугольника, то эти треугольники равны.
43 7. Если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и медиана, проведенная к другой стороне, прилежащей к данному углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и медиане другого треугольника, то эти треугольники равны.
8. Два треугольника равны, если два угла и медиана, проведенная из вершины одного из них, соответственно равны двум углам и медиане другого треугольника.
9. Два треугольника равны, если два угла и медиана, проведенная из вершины третьего угла, соответственно равны двум углам и медиане другого треугольника.
44 10. Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника, то такие треугольники равны.
11. Если сторона и две медианы, одна из которых проведена к данной стороне, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника, то такие треугольники равны.
12. Если угол и две медианы, проведенные к его сторонам, одного треугольника соответственно равны углу и двум медианам другого треугольника, то такие треугольники равны.
45 13. Если угол и две медианы, одна из которых проведена из вершины данного угла, одного треугольника соответственно равны углу и двум медианам другого треугольника, то такие треугольники равны.
14. Если две стороны и биссектриса, проведенная к одной из них, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника, то такие треугольники равны.
15. Ели две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника, то такие треугольники равны.
46 16. Если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и биссектриса, проведенная к этой стороне, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и биссектрисе другого треугольника, то эти треугольники равны.
17. Если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и биссектриса, проведенная из вершины этого угла, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и биссектрисе другого треугольника, то эти треугольники равны.
18. Если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и биссектриса, проведенная к другой стороне, прилежащей к данному углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и биссектрисе другого треугольника, то эти треугольники равны.
47 19. Если основание и медиана, проведенная к боковой стороне, одного равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и медиане другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.
20. Если основание и биссектриса, проведенная к боковой стороне, одного равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и биссектрисе другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.
21. Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к этой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.
48 22. Если гипотенуза и опущенная на нее высота одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и высоте другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
23. Если медиана и высота, опущенные на гипотенузу одного прямоугольного треугольника, соответственно равны медиане и высоте другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
24. Два треугольника равны, если сторона, биссектриса и высота, проведенные к этой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, биссектрисе и высоте другого треугольника.
49 25. Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.
26. Два треугольника равны, если сторона, биссектриса и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, биссектрисе и высоте другого треугольника.
27. Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.
50 28. Два треугольника равны, если сторона, биссектриса и высота, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне, биссектрисе и высоте другого треугольника.
29. Два треугольника равны, если угол, медиана и высота, проведенные из вершины этого угла, одного треугольника соответственно равны углу, медиане и высоте другого треугольника.
30. Два треугольника равны, если угол, биссектриса и высота, проведенные из вершины этого угла, одного треугольника соответственно равны углу, биссектрисе и высоте другого треугольника.
51 31. Два треугольника равны, если угол, медиана и высота, проведенные из вершин двух других углов, одного треугольника соответственно равны углу, медиане и высоте другого треугольника.
32. Два треугольника равны, если угол, медиана и высота, проведенные из вершины другого угла, одного треугольника соответственно равны углу, медиане и высоте другого треугольника.
33. Два треугольника равны, если угол, биссектриса и высота, проведенные из вершины другого угла, одного треугольника соответственно равны углу, биссектрисе и высоте другого треугольника.
52 34. Два треугольника равны, если угол, биссектриса, проведенная из его вершины, и высота, опущенная на сторону, прилежащую к этому углу, одного треугольника соответственно равны углу, биссектрисе и высоте другого треугольника.
35. Два треугольника равны, если три высоты одного треугольника соответственно равны трем высотам другого треугольника.
36. Два треугольника равны, если три медианы одного треугольника соответственно равны трем медианам другого треугольника.
53 37. На продолжении стороны AC равностороннего треугольника ABC
построен равносторонний треугольник CDE. Докажите, что треугольник CFG, где F и G – середины отрезков соответственно
AD и BE, равносторонний.
54
3. Соотношения между элементами треугольника
Уровень А
1. Докажите, что в произвольном треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
2. Докажите, что в произвольном треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
3. Докажите, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности.
55 4. Докажите, что сумма углов произвольного треугольника равна
180
5. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
6. Докажите, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.