ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 14549
Скачиваний: 146
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
46
Функция ( , )
u x y в (10.27) должна удовлетворять системе урав-
нений
( , )
u
M x y
x
,
( , )
u
N x y
y
. (10.31)
Интегрируя частным образом по x первое из уравнений (10.31), по-
лучаем
( , )
( , )
( )
u x y
M x y dx
y
, (10.32)
где ( )
y
– произвольная (дифференцируемая) функция y. Выберем
ее так, чтобы функция (10.32) была решением и второго из уравне-
ний (10.31). Дифференцируя (10.32) по y и полагая
u
N
y
, для на-
хождения
( )
y
получаем дифференциальное уравнение вида
( )
( )
y
y
, интегрируя которое, найдем функцию ( , )
u x y .
Пример 2. Найти общий интеграл уравнения в полных диффе-
ренциалах:
2
2
2
2
1
1
0
(
)
(
)
y
x
dx
dy
x
y
x
y
x
y
.
Интегрируя по x коэффициент при dx, получим
2
2
1
( , )
( )
(
)
y
u x y
dx
y
x
x
y
или
2
( , )
ln
( )
y
u x y
x
y
x
y
.
Дифференцируя по y и приравнивая коэффициенту при dy, находим
2
2
2
( )
(
)
xy
y
y
x
y
2
2
1
(
)
x
y
x
y
, откуда
1
( ) 1
y
y
, а тогда
( )
ln
y
y
y
. Определив функцию ( , )
u x y и полагая u = C, най-
дем общий интеграл:
ln
x
xy
C
y
x
y
. #
2
. Интегрирующий множитель. Функция
( , )
x y
называ-
ется интегрирующим множителем, если уравнение
(
)
0
Mdx
Ndy
(10.33)
есть уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множи-
тель можно найти из уравнения с частными производными:
M
N
N
M
x
y
y
x
. (10.34)
Уравнение (10.33) имеет интегрирующий множитель, зависящий
только от x , если
( )
M
N
y
x
x
N
. (10.35)
10.3. Уравнения первого порядка, решаемые в квадратурах
47
В этом случае
( )
x
есть решение уравнения
ln
M
N
d
y
x
dx
N
: (10.36)
( )
x dx
e
. Уравнение (10.33) имеет интегрирующий множитель,
зависящий только от y, если
( )
M
N
y
x
y
M
. (10.37)
Множитель
( )
y
ищется из уравнения
ln
M
N
d
y
x
dy
M
: (10.38)
( )
y dy
e
.
Пример 3. Решить уравнение
2
2
(1
)
(
)
0
x y dx
x
y
x dy
.
Условие (10.28) для уравнения не выполняется, оно не явля-
ется уравнением в полных дифференциалах. Проверим, не имеет ли
оно интегрирующего множителя, зависящего только от x. Имеем
2
2
2
2
3
2
( )
(
)
M
N
x
xy
x
y
x
x
N
x
x
y
x
,
т. е условие (10.35) выполнено. Поэтому [из (10.36)]
2
2
1
dx
x
e
x
.
Умножая обе части исходного уравнения на
2
x
, получаем
2
1
(
)
0
y dx
y
x dy
x
– уравнение в полных дифференциалах.
По формуле (10.30) найдем общий интеграл:
2
1
x
dx
x
0
(
)
y
y
x dy
C
,
или
2
1
2
y
xy
C
x
. #
Пример 4. Решить уравнение
2
2
2
2
ln
(
1)
0
xy
ydx
x
y
y
dy
.
Здесь
2
2
2
2
ln ,
1
M
xy
y N
x
y
y
; условие (10.28) не
выполнено. Имеем:
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
48
2
2 (ln
1)
1
( )
2
ln
N
M
x
x
y
x
y
y
M
xy
y
y
,
следовательно, по (10.38),
ln
1
1
,
d
dy
y
y
. Уравнение
2
2
2
1
2
ln
0
x
y
y
xy
ydx
dy
y
y
является уравнением в полных
дифференциалах, общее решение которого (опустим подробности)
2
2
3 / 2
1
ln
(
1)
3
x
y
y
C
. #
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 1–11 решить уравнения с разделяющимися перемен-
ными и приводящиеся к ним и для каждого из них построить не-
сколько интегральных кривых. Найти также решения, удовлетво-
ряющие начальным условиям (в тех задачах, где указаны начальные
условия).
1.
2
2
(
)
(
)
0
xy
x dx
y
x y dy
. 2.
2
xy
y
y
; (1)
0, 5
y
.
3.
2
2
tg
(1
) sec
0
x
x
e
ydx
e
ydy
.
4.
2
2
(
)
(
)
0
xy
x dy
x y
y dx
, (1) 1
y
.
5.
(
1) 1
y
e
y
; 6.
2
2
(1
)(
) (1
)
0
x
y
y
e dx e dy
y dy
.
7.
2
1
0
dx
x dy
, (1)
/ 2
y
.
8.
cos
y
y
x
, (0) 1
y
. 9.
(1
),
(1 / )
y
xy
a
xy
y
a
a
.
10.
sin(
)
y
x
y
. 11.
2
2
(
)
x
y
y
a
.
Проинтегрировать однородные уравнения:
12.
2
2
(
2 )
(
)
0
x x
y dx
x
y dy
. 13.
2
2
(
)
2
0
x
y dx
xydy
.
14.
2
x
y
y
x
. 15.
2
2
2
2
2
2
4
dx
dy
x
xy
y
y
xy
.
16.
2
2
2
2
(
)
x
xy y
x x
y
xy
y
.
Проинтегрировать следующие уравнения и выделить инте-
гральную кривую, проходящую через заданную точку
0
0
0
(
,
)
M
x
y
,
выяснив предварительно вопрос о существовании и единственности
этой интегральной кривой:
17.
2
2
0
(
)
0;
(1; 0)
y
x
y dx xdy
M
. 18.
0
ln
;
(1; 1)
y
y
y
M
x
x
.
19.
2
2
2
2
2
;
2
y
xy x
y
y
xy x
0
(1; 1)
M
. 20.
0
(
)
0;
(0; 0)
xdy
x
y dx
M
.
10.3. Уравнения первого порядка, решаемые в квадратурах
49
Следующие уравнения соответствующей подстановкой свести
к однородным и проинтегрировать их.
21.
(2
1)
(2
1)
0
x y
dx
y x
dy
. 22.
(
)
(2
1)
0
x y dx
y x
dy
.
23.
(
1)
(2
2
1)
0
x y
dx
x
y
dy
. 24.
(
2)
(
3)
0
x y
dx
y x
dy
.
25.
2
2
2
1
y
y
x
y
.
Проинтегрировать линейные уравнения; решить, где указано,
задачу Коши.
26.
sin
sin
cos
y
y
x
x
x
. 27.
2
2 2
(1
)
2
(1
)
x
y
xy
x
.
28.
2
x
y
y
e
. 29.
2
,
(1)
0
x
xy
y y
. 30.
1
tg
cos
y
y
x
x
.
31.
cos
sin
2 , (0) 0
y
x y
x
x y
. 32.
3
1
tg
,
(0) 0
cos
y
y x
y
x
.
33.
3
3
2
,
(1) 1
y
y
y
x
x
. 34.
2
2
(
1)
1
x
y
y
e x
x
.
35. .
3
y
y
x
y
. 36.
2
,
(0) 1 / 4
x
y
y e
x y
.
37.
2
(1
)
1,
(0) 1
x
y
xy
y
. 38.
2
(
6 )
2
0
y
x y
y
.
39.
2
2
(
2
)
0
x
xy
y
y
y
.
Проинтегрировать уравнения Бернулли; решить, где указано,
задачу Коши.
40.
2
ln ,
(1) 1
xy
y
y
x y
. 41.
3 3
2
2
y
xy
x y
.
42.
2
4
2
x
y
xy
xe
y
. 43.
3
(
cos
tg )
y
y y
x
x
.
44.
3
3
(1 3
) sin
dy
y y
xdx
, ( / 2) 1
y
.
45.
3
1
0,
(1 / 2) 1
2
ydx
x
x y dy
y
.
46.
2
5
2
2 / 3
9
(
)
,
(0)
0
y
x y
x
x
y
y
.
47.
2
y
y
xy
, (0)
0
y
. 48.
2
,
(0)
0
xy
y
xy
y
.
49.
2
2
cos
sin 2
x
y
x
y
a
y
.
В задачах 50–58 проверить, что данные уравнения являются
уравнениями в полных дифференциалах, и проинтегрировать их.
50.
2
2
2
(
)
0
xydx
x
y dy
. 51.
2
2
3
(2 9
)
(4
6 )
0
xy xdx
y
x ydy
.
52.
(2
)
0
y
y
e dx
y
xe
dy
. 53.
3
(
ln )
0
y
dx
y
x dy
x
.
54.
2
2
3
2
3
3
2
5
0
x
y
x
y
dx
dy
y
y
. 55.
2
2
2 (1
)
x
x
y dx
x
ydy
.
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
50
56.
2
2
1
sin 2
(2 cos
)
y
x
y
y
x
. 57.
3
2
2
3
2
3
ln
x
x dx
ydy
x
ydx
dy
y
.
58.
2
(
1) cos
2
sin
1 cos 2
x
x
y
dx
dy
y
y
.
Проинтегрировать следующие уравнения, для которых интег-
рирующий множитель
( )
x
или
( )
y
:
59.
3
2
2
(2
)
(
)
0
y
xy dx
x
x y dy
. 60.
2
(
)
0
ydx
x
y dy
.
61.
2
2
(
)
0
xydx
x
y dy
. 62.
2
3
(2
2
5)
(2
2 )
0
x y
y
dx
x
x dy
.
63.
4
3
2
2
(
ln
2
)
3
0
x
x
xy dx
x y dy
.
64. (
sin
sin )
cos
0
x
x
y dx
ydy
.
65.
2
3
2
(2
3
)
(7 3
)
0
xy
y dx
xy dy
.
10.4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ,
ПРИВОДЯЩИЕ К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1
. Геометрические задачи. В задачах геометрии, в которых
требуется найти уравнение кривой по заданному свойству ее каса-
тельной, нормали или площади криволинейной трапеции, исполь-
зуются геометрическое истолкование производной – угловой коэф-
фициент касательной – и интеграла с переменным верхним преде-
лом – площадь криволинейной трапеции с подвижной границей
const
x
, а также общие формулы для определения длин отрезка t
касательной и отрезка n нормали от точки кривой, в которой они
проведены, до пересечения их с осью Ox и длин подкасательной
t
S
и поднормали
n
S – проекций этих отрезков на ось Ox:
2
2
1
,
1
,
,
t
n
y
y
t
y
n
y
y
S
S
yy
y
y
. (10.39)
Пример 1. Найти уравнение кривой, проходящей через начало
координат, если в каждой ее точке
( , )
M x y подкасательная
t
S
в k
раз меньше поднормали
n
S .
Пусть
( )
y
f x
– уравнение искомой кривой. Используя
выражения подкасательной и поднормали из (10.39), получаем диф-
ференциальное уравнение
y
yy
k
y
или
2
( )
y
k
. Интегрируя
это уравнение и учитывая начальное условие (0) 0
y
, получаем ис-
комые уравнения:
y
k x
(две прямые). #