ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 14538
Скачиваний: 146
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
36
Найти частное решение, удовлетворяющее условию (1) 1
y
(найти
интегральную кривую, проходящую через точку
0
(1; 1)
M
).
Производная
2
3
y
Cx
. Подставляя y и y
в уравнение, по-
лучаем тождество
3
3
3
3
0
Cx
Cx
. Это означает, что функция
3
y
Cx
является решением данного уравнения. Положив в нем
1,
1
x
y
, найдем значение параметра C:
3
1
1
1
C
C
. Подста-
вив C = 1 в решение, получим частное решение
3
y
x
: интеграль-
ной кривой, проходящей через точку
0
(1; 1)
M
является кубическая
парабола
3
y
x
. #
10.3. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В НОРМАЛЬНОЙ
ИЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМАХ,
РЕШАЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ
10.3.1. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Уравнение (10.4) или (10.5) называется уравнением с разде-
ляющимися переменными, если функция ( , )
f x y или коэффициенты
( , )
M x y ,
( , )
N x y могут быть разложены на множители, каждый из
которых зависит только от одной переменной:
1
2
( , )
( )
( )
f x y
f x
f
y
или
1
2
( , )
( )
( )
M x y
M x M
y
,
1
2
( , )
( )
( )
N x y
N x N
y
. Путем деления
на
2
( )
f
y и на
2
1
( )
( )
M
y N x эти уравнения приводятся соответствен-
но к виду
1
2
1
2
1
2
1
( )
( )
( )
,
( )
( )
( )
M x
N
y
f x dx
dy
dx
dy
f
y
N x
M
y
(10.8)
– к уравнениям с разделенными переменными. При этом уравнения
(10.4) и (10.5) имеют также решения
0
y
y
и
0
x
x
, если
0
0
,
y x –
корни знаменателей
2
( )
f
y
или
2
( )
M
y ,
1
( )
N x
.
Теорема. Общим интегралом дифференциального уравнения с
разделенными переменными
( )
( )
0
X x dx Y y dy
(10.9)
является
( )
( )
X x dx
Y y dy
C
, (10.10)
или
0
0
( )
( )
y
x
x
y
X x dx
Y y dy
C
. (10.11)
Особых решений нет.
10.3. Уравнения первого порядка, решаемые в квадратурах
37
Пример 1. Решить уравнение
2
2
1
x y y
y
.
Приводим уравнение к виду (10.8). Имеем:
2
2
1;
dy
x y
y
dx
2 2
(
1)
x y dy
y
dx
. Делим обе части уравнения на
2
2
(
1) :
1
y
x y
dy
y
2
dx
x
– приходим к уравнению с разделенными переменными.
Интегрируем обе части уравнения [применяем формулу (10.10)]:
2
2
;
1
y
dx
dy
С
y
x
2
1
ln
1
2
y
y
y
C
x
. При делении на
2
(
1)
x
y
могли быть потеряны решения
0
x
и
1
y
. Очевидно,
1
y
– решение уравнения (частное), а
0
x
– нет. #
З а м е ч а н и е. Уравнение вида
(
)
y
f ax by
с
приводится
к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой
z
ax by
с
(при этом z
a by
).
Пример 2. Найти частное решение уравнения
(1
)
x
x
e
yy
e
,
удовлетворяющее начальному условию y(0)=1.
Имеем
(1
)
x
x
dy
e
y
e
dx
. Разделяя переменные, полу-
чаем
1
x
x
e dx
ydy
e
. Интегрируя, находим общий интеграл
2
ln(1
)
2
x
y
e
C
. Полагая в нем x = 0, y = 1, будем иметь
1
ln 2
2
С
, откуда
1/ 2 ln 2
С
. Подставляя в общий интеграл
найденное
значение
С,
получаем
частное
решение:
2
2
1
1 ln
2
x
e
y
, откуда
2
1
1 ln
2
x
e
y
. Из начального ус-
ловия следует, что
0, ( (0) 1 0)
y
y
, поэтому перед корнем берем
знак плюс; искомое частное решение:
2
1 ln (1
) / 2
x
y
e
. #
Пример 3. Проинтегрировать уравнение
2
2 y by
y dx
2
2
(
)
0
b
x dy
и выделить интегральную кривую, проходящую че-
рез точку (0; b).
Разделяем переменные в уравнении и интегрируем:
2
2
2
2
0
dx
dy
b
x
y by
y
2
0?
y by
y
,
arctg
x
b
y
C
b
y
(
*).
Далее из
2
0
y by
y
находим решения уравнения: y = 0, y = b.
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
38
Первое из этих решений частное, второе – особое, так как для любо-
го
0
x
через точку
0
(
, )
x b , кроме решения y
b
, проходит также ре-
шение, получаемое из общего интеграла при
0
arctg
x
C
b
. Полагая в
общем интеграле (*)
0,
x
y
b
, находим C = 0, так что через за-
данную точку проходит интегральная кривая
arctg
0
x
b
y
b
y
и,
кроме того, y b
. #
10.3.2. ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И ПРИВОДЯЩИЕСЯ К НИМ
1
. Однородные уравнения
Уравнения (10.4) или (10.5) называются однородными, если
( , )
f x y есть однородная функция нулевого измерения:
( ,
)
( , )
f tx ty
f x y
, (10.12)
или функции
( , )
M x y и
( , )
N x y являются однородными одного из-
мерения:
( ,
)
( , )
m
M tx ty
t M x y
,
( ,
)
( , )
m
N tx ty
t N x y
. (10.13)
Однородное уравнение (10.4) всегда можно представить в виде
y
y
x
. (10.14)
Любой из подстановок:
( )
y
u x x
или
( )
x
t y y
– однородное урав-
нение сводится к уравнению с разделяющимися переменными. На-
пример, вводя новую искомую функцию
y
u
x
(т.е.
y
ux
,
y
u x u
), сведем (10.14) к уравнению
( )
du
x
u
u
dx
, (10.15)
в котором переменные разделяются. Если
0
u
u
есть корень урав-
нения ( )
0
u
u
, то уравнение (10.14) будет также иметь решение
0
y
u x
(прямая, проходящая через начало координат).
З а м е ч а н и е. При решении однородных уравнений не обяза-
тельно приводить их к виду (10.14). Можно сразу выполнять под-
становку
y
ux
(или
)
x
ty
.
Пример 1. Решить уравнение
2
2
xy
x
y
y
.
Имеем однородное уравнение (заменяя в уравнении x и y на
tx, ty, приходим к исходному уравнению:
2
2
( )
( )
tx y
tx
ty
ty
xy
10.3. Уравнения первого порядка, решаемые в квадратурах
39
2
2
x
y
y
; иначе, уравнение приводится к виду
2
1
y
y
x
y
x
y
y
x
. Положим y ux
, тогда y
u x u
, подставим
в уравнение, получим:
2
1
du
x
u
dx
. Разделим переменные:
2
1
du
dx
x
u
. Отсюда интегрированием функций находим
arcsin
ln
ln
u
x
C
или
arcsin
ln
u
xC
. Подставляя
y
u
x
, по-
сле преобразования получаем общее решение
sin ln
y
x
C x
. При
разделении переменных обе части уравнения делили на произведе-
ние
2
1
x
u
, поэтому могли потерять решения, которые обращают в
нуль это произведение. Положим
2
1
0
u
(
0
x
– см. область
определения уравнения). Из этого уравнения находим
y
x
. Про-
верка показывает, что и
y
x
и
y
x
– решения данного уравне-
ния (особые, так как через каждую точку
0
0
(
,
)
x
x
проходит также
решение, получаемое из общего решения при
/ 2
0
e
C
x
; графики
особых решений лежат на границе области определения. #
Пример 2. Проинтегрировать уравнение
2
2
(
2
)
x
xy
y
dx
+
2
2
(
2
)
0
y
xy
x dy
и выделить интегральную кривую, проходя-
щую через точки: а) (2; 2); б) (1; –1); в) (0; 0).
Записав уравнение в форме (10.4) и (10.4
), заметим, что ус-
ловия теоремы существования и единственности решения не выпол-
нены лишь в точке (0,0), принадлежащей, однако, области опреде-
ления уравнения. Положим
y
ux
. Тогда
dy
xdu
udx
, так что
2
2
2 2
2 2
2
2
(
2
)
(
2
)(
)
0
x
ux
u x dx
u x
x u
x
xdu udx
. Разделим пе-
ременные:
2
2
2
1
0
(
1)(
1)
dx
u
u
du
x
u
u
(
1 0
u
?,
0
x
не является
решением уравнения). Интегрируя, получаем
ln
ln
1
x
u
2
1
ln(
1)
ln
u
C
или
2
1
(
1)
(
)
1
x u
C C
C
u
. Заменив здесь u на
y
x
, получим общий интеграл уравнения в виде
2
2
x
y
C
x
y
. Это есть
семейство окружностей
2
2
(
)
x
y
C x
y
, проходящих через нача-
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
40
ло координат, с центрами на прямой
y
x
, из которых нужно ис-
ключить начало координат; это частные решения. Полупрямые
0 (
0)
x
y
x
, определяемые равенством
1 0
u
, также соответ-
ствуют частным решениям уравнения. Решим поставленную задачу
Коши: а) полагая в
2
2
(
)
2,
2
x
y
C x
y
x
y
, находим С = 2,
так что искомое решение:
2
2
2(
)
x
y
x
y
. Решение
0
x
y
не
проходит через точку (2, 2); б) ни одна из окружностей
2
2
(
)
x
y
C x
y
не проходит через точку (1; –1), зато полупрямая
(0
)
y
x
x
проходит через эту точку и дает искомое реше-
ние; в) через точку (0,0) проходят все вышеуказанные решения,
продолженные по непрерывности. Решение задачи Коши не единст-
венно.#
2
. Уравнения, приводящиеся к однородным. Дифференци-
альные уравнения вида
1
1
1
2
2
2
a x b y
с
y
f
a x b y
с
(10.16)
в случае
2
2
1
1
a
b
a
b
приводятся к однородным уравнениям с помощью
замены переменных
,
x
u m y
v n
, где m и n находятся из сис-
темы уравнений
1
1
1
0,
a m b n с
2
2
2
0
a m b n с
.
Если в уравнении (10.16)
2
2
1
1
a
b
a
b
и, следовательно,
2
2
1
1
(
)
a x b y
a x b y
, то оно примет вид
1
1
1
1
1
1
1
2
(
)
a x b y
с
y
f
a x b y
a x b y
с
.
Подстановкой
1
1
u
a x b y
это уравнение преобразуется к уравне-
нию с разделяющимися переменными (см. замечание в п. 10.3.1).
Пример 3. Решить уравнение (
2)
(
4)
0
x
y
dx
x
y
dy
.
Система
2
0;
4
0
m n
m n
имеет единственное реше-
ние
1,
3
m
n
. Замена
1,
3
x
u
y
v
приводит уравнение к
виду (
)
(
)
0
u
v du
u v dv
– это однородное уравнение. Полагаем
v
tu
, получим (
)
(
)(
)
u ut du
u ut udt
tdu
, откуда
2
(1 2
)
t t du
(1
)
0
u
t dt
. Разделяем переменные:
2
(1
)
0
1 2
du
t dt
u
t t
. Интегри-
руя, находим
2
1
ln
ln 1 2
ln
2
u
t t
C
, или
2
2
(1 2
)
u
t t
C
. Возвра-
щаясь к «старым переменным» x и y, получаем