ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 14541
Скачиваний: 146
10.3. Уравнения первого порядка, решаемые в квадратурах
41
2
2
1
2
3
(
3)
(
1)
1 2
1
(
1)
y
y
x
C
x
x
или
2
2
1
2
4
8
(
14)
x
xy
y
x
y
C C
C
. #
Пример 4. Решить уравнение (
1)
(2
2
1)
0
x
y
dx
x
y
dy
.
Система
1 0, 2
2
1 0
m n
m
n
несовместна. Для интег-
рирования уравнения применяем подстановку
,
u x y dy du dx
.
Уравнение примет вид (2
)
(2
1)
0
u dx
u
du
– уравнение с разде-
ляющимися переменными. Разделяя переменные, получаем:
2
1
0
2
u
dx
du
u
, откуда
2
3ln
2
x
u
u
C
. Возвращаясь к пере-
менным x, y, получаем общий интеграл данного уравнения:
2
3ln
2
x
y
x
y
C
. #
10.3.3. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.
УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
1
. Линейные уравнения. Линейным дифференциальным урав-
нением называется линейное относительно неизвестной функции и
ее производной уравнение:
( )
( )
y
p x y
f x
, (10.17)
где ( )
p x и
( )
f x – заданные непрерывные функции от
( , )
x
a b
.
Через каждую точку
0
0
(
,
)
x
y
полосы
a
x
b
,
y
проходит
одна и только одна интегральная кривая уравнения (10.17), опреде-
ленная во всем интервале ( , )
a b . Всякое решение линейного урав-
нения есть частное, так что особых решений оно не имеет.
Если ( ) 0
f x
, то уравнение (10.17) называется линейным од-
нородным:
( )
0
y
p x y
. (10.18)
Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет
общее решение
( )
p x dx
y
Ce
. (10.19)
Все решения линейного однородного уравнения (10.18) содержатся
в формуле (10.19) его общего решения. Общее решение неоднород-
ного линейного уравнения (10.17) может быть найдено несколькими
способами; здесь рассмотрим два из них.
А. Метод подстановки (метод Бернулли). Положим
( )
( ) ( )
y x
u x v x
. Тогда уравнение (10.17) приводится к виду
( )
( )
u v uv
p x uv
f x
. (10.20)
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
42
Выберем функции ( )
u x и ( )
v x так, чтобы сумма uv
puv
обрати-
лась в ноль. Так как ( )
u x не равна тождественно нулю [
0
y
не яв-
ляется решением уравнения (10.17)], то должно быть
0
v
pv
(10.21)
– для определения функции ( )
v x получили уравнение с разделяю-
щимися переменными. Выбрав какое-либо частное решение ( )
v x ,
подставим его в (10.20); для определения функции ( )
u x получим
уравнение с разделяющимися переменными
( )
( )
u v x
f x
. (10.22)
Решая уравнение (10.22), найдем его общее решение
( , )
u
u x c
. Пе-
ремножая найденные функции ( )
v x и ( , )
u x c , получаем общее ре-
шение уравнения (10.17):
( )
( ) ( , )
y x
v x u x c
.
Пример 1. Решить уравнение
2
(
1)
(2
1)
x x
y
y
x
x
. Выде-
лить частное решение, проходящее через точку
0
(2; 4)
M
.
Ищем общее решение уравнения в виде y
uv
. Подстав-
ляя
y
uv
и
y
u v uv
в уравнение, получим:
(
1)(
)
x x
u v uv
+
2
(2
1)
uv
x
x
, или
2
(
1)
[ (
1)
]
(2
1)
x x
vu
x x
v
v u
x
x
. (
*)
Функцию
( )
v
v x
найдем
из
условия
(
1)
0:
x x
v
v
(
1)
dv
x x
v
dx
,
(
1)
dv
dx
v
x x
.
Интегрируем уравнение
1
(
1)
1
1
:
(
1)
(
1)
1
x
x
x x
x x
x
x
ln
ln
1
ln
ln
v
x
x
C
. Возьмем частное решение
1
x
v
x
.
Подставляя его в (*), получаем уравнение
2
1
u
x
, из которого
интегрированием находим функцию
2
( ): ( )
u x
u x
x
x C
. Общее
решение исходного уравнения
2
[
]
1
Cx
y
y
uv
x
x
.
Чтобы выделить нужную интегральную кривую, подставим в
найденное решение
2,
4
x
y
:
2
2
4
2
2 1
С
, откуда С = 0;
решением поставленной задачи Коши служит парабола
2
y
x
. #
10.3. Уравнения первого порядка, решаемые в квадратурах
43
Пример 2. Решить уравнение
2
2
3
y
y
xy
.
Перепишем уравнение в виде
2
2
3
dx
x
dy
y
y
– оно линей-
но относительно x и
dx
dy
. Решим его методом подстановки. Пола-
гаем
x
uv
, тогда
x
u v uv
и после подстановки x и
x
в уравнение, оно приводится к виду:
2
2
3
v
u v u v
y
y
(*).
Функцию
( )
v
v y
определяем из уравнения
2
0
dv
v
dy
y
. Из его об-
щего решения
2
v
y
C
выберем, например, частное решение
2
v
y
и подставим его в (*); получим
2
2
3
du
y
dy
y
или
4
3
du
dy
y
.
Общее решение этого уравнения:
3
1
( ,
)
u y C
C
y
. Перемножая
( )
v y и
( ,
)
u y C , получим общее решение данного уравнения
2
1
x
Cy
y
. #
Б. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагран-
жа). По этому методу решение уравнения (10.17) ищут в виде
(10.19), т.е. в том же виде, в котором найдено решение соответст-
вующего ему однородного уравнения (10.18), считая в этой записи С
некоторой подлежащей определению функцией переменной x:
( )
С С x
. Для определения ( )
C x составляют уравнение
( )
( )
( )
p x dx
C x e
f x
(10.23)
– уравнение с разделяющимися переменными.
Пример 3. Проинтегрировать уравнение
2
2
2
x
y
xy
xe
.
1. Решим соответствующее исходному неоднородному урав-
нению однородное линейное уравнение:
2
0
y
xy
. Это уравнение
с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид:
2
x
y
Ce
. 2. Ищем общее решение линейного неоднородного урав-
нения в виде
2
( )
x
y
C x e
, где
( )
С С x
– подлежащая определению
неизвестная функция от x. Подставляя
2
( )
1
p x dx
x
y
e
e
в (10.23),
для определения
( )
C x получаем уравнение
2
С
x
, откуда
2
( )
C x
x
C
. Итак, общее решение неоднородного уравнения
2
2
x
x
C
y
e
. #
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
44
2
. Уравнение Бернулли. Уравнением Бернулли называется
уравнение
( )
( )
n
y
p x y
f x y
, (10.24)
где
0; 1
n
(при n = 0 имеем линейное, а при n = 1 – уравнение с
разделяющимися переменными). Интегрируется уравнение Бернул-
ли как и линейное.
З а м е ч а н и е. При
1
n
уравнение Бернулли имеет реше-
ние
0
y
.
Пример. Проинтегрировать уравнение
3
2
2
2
y
xy
x y
и найти
интегральную кривую, проходящую через точку
0
(0; 1)
M
.
Заметим, что это уравнение имеет решение
0
y
. Полагаем
далее,
y
uv
. Подставляя
y
uv
и y
u v uv
в уравнение, полу-
чаем:
3 2 2
(
2
)
2
u v u v
xv
x u v
(*). Из
2
0
v
xv
по разделении пе-
ременных:
2
dv
xdx
v
находим
2
x
v
Ce
. Возьмем
2
x
v
e
и подста-
вим в (*); получим уравнение
2
3
2
2
x
u
x e u
. Проинтегри-
руем его
2
3
2
2
x
du
x e dx
u
,
2
2
2
1
x
x e dx
C
u
,
2
2
1
(
1)
x
e
x
C
u
и
2
2
1
1
x
x
Ce
y
. Следовательно, общим решением уравнения
будет
2
2
1
1
x
y
Ce
x
. Решение y = 0 – частное решение. Через
точку (0; 1) проходит кривая
2
1
1
y
x
. #
10.3.4. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ.
ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ
1
. Уравнения в полных дифференциалах. Уравнение (10.5)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая
часть есть полный дифференциал некоторой (однозначной) функции
( , )
u
u x y
:
( , )
( , )
u
u
M x y dx
N x y dy
du
dx
dy
x
y
. (10.25)
С учетом (10.25) уравнение в полных дифференциалах может быть
переписано в виде
0
du
, (10.26)
так что его общий интеграл имеет вид
( , )
u x y
C
. (10.27)
10.3. Уравнения первого порядка, решаемые в квадратурах
45
Теорема, приведенная ниже, позволяет установить, является ли
уравнение (10.5) уравнением (10.26) – уравнением в полных диф-
ференциалах.
Теорема. Пусть функции
( , )
M x y и
( , )
N x y определены и не-
прерывны в некоторой односвязной области D и имеют в ней непре-
рывные частные производные соответственно по y и по x. Тогда для
того чтобы уравнение (10.5) было уравнением в полных дифферен-
циалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество
M
N
y
x
. (10.28)
При выполнении условия (10.28) общий интеграл можно записать в
виде
0
0
0
( , )
(
, )
y
x
x
y
M x y dx
N x
y dy
C
, (10.29)
или
0
0
0
( ,
)
( , )
y
x
x
y
M x y dx
N x y dy
C
, (10.30)
где нижние пределы
0
0
,
x
y
можно выбирать произвольно, лишь бы
точка
0
0
(
,
)
x
y
D
. Особых решений уравнение в полных дифферен-
циалах не имеет.
Пример 1. Проинтегрировать уравнение (sin
cos
)
xy
xy
xy dx
2
cos
0
x
xydy
.
Проверим выполнение условия (10.28) – является ли оно
уравнением в полных дифференциалах? Имеем:
2
(sin
cos
)
2 cos
sin
;
M
xy
xy
xy
x
xy
x y
xy
y
y
2
2
(
cos
)
2 cos
sin
N
x
xy
x
xy
x y
xy
x
x
,
так что
M
N
y
x
– имеем уравнение в полных дифференциалах.
Общее решение определим по формуле (10.30), взяв за началь-
ную точку
0
(0, 0)
M
:
2
0
0
(sin
0
0 cos
0)
cos
y
x
x
x
x
dx
x
xydy
C
;
отсюда sin
x
xy
C
есть общий интеграл данного дифференциаль-
ного уравнения. #
Укажем другой способ нахождения общего интеграла уравне-
ния в полных дифференциалах.