ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 14569
Скачиваний: 146
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
96
303.
,
4
3 .
dx
x
y
dt
dy
x
y
dt
304.
10
3
9 ,
18
7
18 ,
18
6
17 .
dx
x
y
z
dt
dy
x
y
z
dt
dz
x
y
z
dt
305.
5
4 ,
12
5
12 ,
10
3
9 .
dx
x
y
z
dt
dy
x
y
z
dt
dz
x
y
z
dt
306.
3
3 ,
6
2
6 ,
6
2
6 .
dx
x
y
z
dt
dy
x
y
z
dt
dz
x
y
z
dt
307.
,
6
2
6 ,
4
4 .
dx
x
z
dt
dy
x
y
z
dt
dz
x
y
z
dt
Найти общее решение методом вариации произвольных посто-
янных и, где указано, выделить решение, удовлетворяющее постав-
ленным начальным условиям.
308.
2
2
1
1
2
2
1
2
2,
2
4
2
4
7;
y
y
y
x
x
y
y
y
x
x
1
2
(0)
0,
(0)
2.
y
y
309.
2
2
2
,
3
2
6
.
x
x
y
y
z e
z
y
z
e
310.
2
2
,
3
2
4 .
x
x
y
y
z
e
z
y
z
e
311.
4 cos 2 ,
3
2
8 cos 2
5 sin 2 .
dx
x
y
t
dt
dy
x
y
t
t
dt
312.
cos ,
2
sin
cos ;
dx
dy
x y
t
x y
t
t
dt
dt
(0) 1,
(0)
2.
x
y
Ответы к задачам главы 10
97
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ГЛАВЫ 10
1.
2
2
1
(1
).
y
C
x
2. (1
) 1;
0;
y
Cx
y
(1
) 1.
y
x
3.
2
(1
) tg
x
e
y
C
. 4.
2
2
1
(
) ln
1
2
y
x
y
x
.
5.
1
y
x
e
Ce
. 6.
2
2
2
2 arctg
ln(1
)
y
x
e
e
y
y
C
.
7.
arcsin
,
1;
arcsin ,
1
y
x C x
y
x x
.
8.
sin x
y
e
. 9.
1
y
x
. 10.
ctg
.
2
4
y
x
x C
11.
tg(
/ )
x
y
a
C
y a
. 12.
3
2
3
3
x
x y
y
C
. 13.
(
)
y
x C
x
.
14.
2
1
(
0)
3
y
Cx
x
x
. 15.
3
2
2
6
2
3
6
.
y
xy
x y
Cx
16.
2
2
arcsin
ln
x
y
y
x
C
x
x
,
y
x
.
17.
2
1
(
0)
2
2
C
y
x
C
C
;
2
1
1
2
2
y
x
.
18.
1 Cx
y
xe
,
0 (
0)
y
x
,
(
0),
0 (
0);
y
ex
x
x
y
1
0 (
0);
;
0 (0
)
x
x
y
y
xe
y
x
.
19.
.
y
x
20.
ln
(
0),
0 (
0);
y
Cx
x
x
x
x
y
все интегральные кривые.
21.
2
2
.
x
y
xy
x
y
C
22.
2
2
2
x
y
xy
y
C
.
23.
2
3 ln
2
x
y
x
y
C
. 24.
2
(
3)
10
x
y
x
C
.
25.
2
2 arctg
3
2
y
x
y
Ce
. 26.
cos
cos
1
x
y
Ce
x
.
27.
2
(1
)(
)
y
x
C
x
. 28.
2x
x
y
C e
e
. 29.
2
.
y
x
x
30.
sin
cos .
y
x C
x
31.
2
cos
x
y
x
. 32.
2
sin
cos
x
y
x
.
33.
3
2
1
2
.
y
x
x
34.
2
(
1) (
)
x
y
x
e
C
. 35.
3
1
,
0
2
x
Cy
y
y
.
36.
2
1
1
.
2
4
x
x
y
e
e
x
37.
2
1
y
x
x
. 38.
2
3
2
.
y
x Cy
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
98
39.
2
1/
(1
)
y
x
y
Ce
. 40.
1
ln
1
Cx
x
y
;
1
ln
1
x
y
.
41.
2
2
2 2
2 2
2
2
x
y
x y
Cy e
. 42.
2
2
2
2
1
2
x
y
e
C
x
; y = 0.
43.
3
3
2
1
.
cos
3 sin
cos
y
C
x
x
x
44.
3
cos
1
(3 2
) .
x
y
e
45.
2
2
1
(
3
) .
x
y
y
46.
3
3
3
3
3
3
1
2
2
1
2
,
0;
,
0.
9
9
9
9
9
x
x
y
Ce
x
y
y
e
x
y
47.
1
1;
0.
x
Ce
x
y
y
48.
1
(
ln
),
0;
x C
x
x
y
0, (
0),
y
x
0 (
0)
x
y
. 49.
2
sin
2 (sin
1)
y
x
Ce
a
y
.
50.
2
3
3
.
x y
y
C
51.
2
3
2
4
3
.
x
x y
y
C
52.
2
y
xe
y
C
. 53.
4
4 ln
y
x
y
C
. 54.
3
2
5
.
x
x
C
y
y
55.
2
2
3 / 2
2
(
)
.
3
x
x
y
C
56.
2
2
cos
x y
x C
. 57.
3
3
2
ln
.
x
x
y
y
C
58.
2
1 2(
2 ) sin .
x
C
x
y
59.
2
3 3
3x y
x y
C
,
x
.
60.
2
1
,
x
y
C
y
y
. 61.
2
2
1
ln
,
.
x
y
y
Cy
y
62.
2
1
5 arctg
2
;
0;
1
x
xy
C x
x
.
63.
3
3
2
4
1
(ln
1)
;
.
y
x
x
Cx
x
64.
2
sin
2
(
1)
(sin
cos )
x
x
x
e
y
e x
e
x
x
C
,
.
x
e
65.
2
2
7
1
3
, =
x
xy
C
y
y
. 66.
2
ln
1
y
x
.
67. 1)
2
4
y
x
, 2)
2
4
xy
. 68.
1
x
y
x
. 69.
2
2
2
(
)
x C
y
a
.
70.
2
2 (
)
y
a x C
. 71.
2 ch
2
x
y
. 72.
2
2
2
3
x
y
x
.
Ответы к задачам главы 10
99
73.
2
6
9
y
x
. 74. 1)
2
4(
1)
y
x
, 2)
2
2
(
1)
1
4
8
x
y
.
75.
2
2
3
y
x
. 76.
2
a
r
e
. 77.
2
2
2
x
y
y
. 78.
(3 ln )
x
y
y
.
79.
2
2
2
1
x
y
x
e
. 80.
2
1
y
x
x
. 81.
1
x
y
y
.
82.
2
5
1
y
x
x
. 83.
2
r
. 84.
0
(
)
kt
T
a
T
a e
.
85. Через 40 мин. 86.
/ 120
5 (3 / 5)
t
(об/c); через 6 мин 18 с.
Уравнение имеет вид
d
k
dt
. 87. Через 1575 лет.
88. За 6 мин 5 с. Уравнение имеет вид
( )
( )
wv h dt
S h dh
,
где w – площадь отверстия, ( )
v h – скорость истечения воды,
h – уровень жидкости, ( )
S h – площадь поперечного сечения
сосуда, t – время.
89. 0,0878. Уравнение имеет вид dQ
kQdh
. 90.
50
с;
15
мин.
91.
0, 0011
t
с. Уравнение имеет вид
2
dv
m
kv
dt
. 92. 0,5 кг.
93. а) 56,5 г; б) 7,84 г. 94. 0,06 %. Уравнение имеет вид
(0, 01
0, 0004)1500
10800 0, 01
x
dt
dx
, где x – объемная
доля (в %) углекислоты в воздухе в момент времени t.
95.
2
2
2
sin
cos
R
t
L
E
t
R
t
L
t
L e
R
L
.
96.
2
y
x
x
. 97.
0
y
. 103.
3
1
2
1
sin
6
y
x
x C x C
.
104.
2
2
1
2
arctg
(
1)
ln(1
)
2
2
x
x
y
x
x
C x C
.
105.
2
1
2
3
sin 2
8
x
y
C x
C x C
.
106.
2
3
2
1
2
3
3
ln
2
3
x
x
x
y
C x
C x C
.
107.
2
3
x
x
y
xe
e
x
. 108.
2 ln
1 1
y
x
x
.
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
100
109.
2
1
1
1
2
ln
1
C x C y
C x
C
,
2
2 y
x
C
, y
C
.
110.
2
2
3
1
2
1
9
(
)
4(
1) ;
C
y C
C x
y
x C
. 111.
2
2
2
5
y
x
x
.
112.
1
2
1
sin
sin 2
2
y C
x C
x
x
. 113.
1
2
3
(
2)
x
y
C x
e
C x C
.
114.
5
3
2
1
2
3
4
5
y
C x
C x
C x
C x C
. 115.
2
1
1
2
4
4 (
)
C y
C x C
.
116.
2
4
y
x
. 117.
ln tg
2(
1)
2
6
y
x
.
118.
1
1
2
ln
tg(
)
y
C
C x C
,
1
1
1
2
ln ln
/(ln
)
2
y C
y C
C x C
,
(
) ln
1,
C x
y
y C
.
119.
2
3
1
2
1
3
ln
,
2
;
x
C t
C t y
C t
t
y
C
.
120.
1
2
ln
2
x
t
C t C
,
2
1
3
;
y
t
C t
C
1
2
y
C x C
.
121.
2
1
1
2
1
ch(
);
C y
C x C
2
1
1
2
1 sin(
)
C y
C x C
;
2
2
(
)
y
x C
;
0.
y
122.
1 sin
y
x
. 123. Решения можно записать в трех формах:
1
2
3
sin(
)
y
C
C x C
, или
1
2
3
sh(
),
y
C
C x C
или
1
2
3
ch(
)
y
С
C x C
.
124. Линейно независима. 125. Линейно зависима.
126. Линейно независима. 127. Линейно зависима.
128. Линейно независима. 129. Линейно зависима.
130. Линейно зависима. 131. Линейно зависима.
132. Линейно зависима. 133. Линейно зависима.
134. 1. 135. 0. 136.
2
.
x
e
137. 0. 138.
3
8 sin x
.
139.
2
.
x
e
140.
0
y
y
. 141.
4
5
0.
y
y
y
142.
2
6
12
0.
y
y
y
x
x
143.
0.
y
y
144.
0
y
y
.
145.
0
y
y
. 146.
8
15
0.
y
y
y
147.
2
2
0
y
y
y
y
.
148.
5
1
2
x
x
y
C e
C e
. 149.
3
1
2
x
x
y
C e
C e
.
150.
1
2
cos
sin
x
x
y
C
C
x
x
. 151.
1
2
1
1
ln
1
2
1
x
C
x
C x
x
.
152.
1
2
ln
y
C x C
x
. 153.
2
1
2
sin
sin
y
C
x C
x
.