ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 14621
Скачиваний: 146
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
172
2
cos
sin
r
r
drd d
2
/ 4
3
0
0
0
cos sin
R
d
d
r dr
= (повторный
интеграл «расщепился» в произведение определенных интегралов) =
=
/ 4
2
4
4
2
0
0
0
sin
2
4
8
R
r
R
.
Пример 13. Вычислить тройной интеграл
2
2
(
)
V
I
z x
y dxdydz
,
где V ограничена полусферой
2
2
2
z
R
x
y
, цилиндром
2
2
2
x
y
R
и плоскостью
(
0)
z
a a
.
Тело V и проекция его на плоскость Oxy
2
2
2
:
S
x
y
R
–
круг радиуса R изображены на рис. 14.19 и 14.20. Для вычисления I
перейдем к цилиндрическим координатам
, , z
по формулам
cos ,
sin ,
,
x
y
z
z dxdydz
d d dz
. Поверхности, ограни-
чивающие V , преобразуются: а)
2
2
2
2
2
z
R
x
y
z
R
;
б)
2
2
2
x
y
R
R
; в) z = a . Так как нет ограничений на ко-
ординату
, то 0
2
(или
)
. Область интегрирова-
ния в цилиндрических координатах есть
: 0
2 ,
0
,
R
2
2
R
z
a
.
Рис. 14.20
Рис. 14.19
x
y
z
0
0
y
x
Тогда по формуле (14.17)
2
2
(
)
V
I
z x
y dxdydz
3
z
d d dz
=
=
2
2
2
3
0
0
R
a
R
d
d
zdz
=
2
2
2
2
3
0
0
2
a
R
R
z
d
d
=
14.3. Тройные интегралы
173
=
2
0
1
2
d
2
2
3
5
0
(
)
R
a
R
d
=
=
2
2
2
4
6
0
0
1
(
)
/ 4
/ 6
2
R
a
R
=
4
2
2
(3
) /12
R
a
R
.
Задачи для самостоятельного решения
Перейти в тройном интеграле
( , , )
V
f x y z dxdydz
к цилиндри-
ческим координатам , , z
или сферическим координатам
, ,
r
и расставить пределы интегрирования.
52. V – область, находящаяся в первом октанте и ограниченная
поверхностями
2
2
2
x
y
R
,
0,
1,
,
3
z
z
y
x y
x
.
53. V – область, ограниченная поверхностями
2
2
2 ,
x
y
x
2
2
0,
z
z
x
y
.
54.
2
2
2
2
:
;
0;
0;
0
V
x
y
z
R
x
y
z
.
55.
2
2
2
2
2
2
2
2
:
;
(
)
V
x
y
z
R
x
y
z
R
R
.
Перейдя к цилиндрическим или сферическим координатам,
вычислить интегралы.
56.
2
2
2
2
2
0
0
0
x x
a
dx
dy z x
y dz
. 57.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
(
)
R
x
y
R
R
x
R
R
x
dx
dy
x
y dz
.
58.
2
2
2
2
(
) /
/ 2
2
2
0
0
a
y
x
y
a
a
y
dy
dx
x
y dz
. 59.
2
2
2
2
2
2
2
2
(
) /
a
a
x
a
a
h x
y
a
a
x
dz
dx
dy
x
y
.
60.
2
2
(
)
V
x
y dxdydz
, где
2
2
2
2
2
1
2
:{
0,
}
V
z
R
x
y
z
R
.
61.
2
2
2
(
2)
V
dxdydz
x
y
z
, где
2
2
:{
1; 1
1}
V
x
y
z
.
62.
2
2
2
V
x
y
z dxdydz
, где область V ограничена поверх-
ностью
2
2
2
x
y
z
z
.
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
174
14.4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНЫХ
И ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1. Площадь фигуры. а) Для плоской фигуры S
Oxy
S
S
s
dS
dxdy
. (14.19)
б) Площадь части искривленной поверхности рассматривается
в разделе 14.6 этой главы.
2. Объем тела V:
1
2
( , )
;
( , )
( , )
xy
x y
S
f x y
z
f x y
(
xy
S
–
проекция V на плоскость Oxy):
2
1
( , )
( , )
xy
S
v
f x y
f x y
dxdy
(14.20)
или
V
V
v
dV
dxdydz
. (14.21)
3. Масса. а) Если
( , )
x y
– поверхностная плотность мас-
сы плоской фигуры S
Oxy
, то
( , )
S
m
x y dS
. (14.22)
б) если
( , , )
x y z
– объемная плотность массы тела
V
Oxyz
, то
( , , )
V
m
x y z dV
. (14.23)
Для однородных фигур и тел плотность
примем равной единице.
4. Статические моменты и координаты центра тяжести.
а) Для плоской фигуры S
Oxy
c плотностью
( , )
x y
и массой
m статические моменты относительно координатных осей Oy и Ox
соответственно:
y
S
M
x dS
,
x
S
M
y dS
;
координаты центра тяжести:
/
c
y
x
M
m
,
/
c
x
y
M
m
.
б) Для тела V с плотностью
( , , )
x y z
и массой m статичес-
кие моменты относительно координатных плоскостей Oyz, Oxz, Oxy:
yz
V
M
x dV
,
xz
V
M
y dV
,
xy
V
M
z dV
;
координаты центра тяжести:
/
c
yz
x
M
m
,
/
c
xz
y
M
m
,
/
c
xy
z
M
m
.
14.4. Некоторые приложения двойных и тройных интегралов
175
Пример 14. Найти массу пластинки
2
2
:{1
/ 9
/ 4
2;
D
x
y
0,
2 / 3}
y
y
x
с поверхностной плотностью
/
y x
.
По формуле (14.22)
( , )
( / )
D
D
m
x y dxdy
y
x dxdy
.
Область D и подынтегральная функция совпадают с областью ин-
тегрирования и функцией из примера 9 в разд. 14.2.4 при
3,
2
a
b
; там же вычислен этот двойной интеграл, поэтому
2
(
ln 2) / 4
m
b
и при
2
ln 2
b
m
.
Пример 15. Найти массу тела.
2
2
2
2
2
:
;
V
x
y
z
R z
x
y
,
если объемная плотность
(
0)
az
a
.
По формуле (14.23)
( , , )
V
V
m
x y z dV
a
zdxdydz
aI
.
Тройной интеграл I по данной области V вычислен в примере 12 из
разд. 14.3.3,
4
/ 8
I
R
, и потому
4
/ 8
m
a R
.
Пример 16. Найти объем тела
2
2
2
2
2
1
2
:
;
V
r
x
y
z
r
2
2
2
(
) /
x
y
a
z
2
2
2
(
) /
x
y
b
;
1
2
k x
y
k x
,
1
2
( , ,
,
0)
a b k k
.
Из формулы (14.21)
V
v
dxdydz
. Тело V ограничено сфе-
рами, полуконусами и плоскостями (рис. 14.21).
б
z
2
2
2
x
y
z
b
y
x
2
2
2
x
y
z
a
Рис. 14.21
z
y = k
2
x
y = –k
1
x
y
x
в
а
z
х
2
+
у
2
+
z
2
=
r
2
2
х
2
+
у
2
+
z
2
=
r
1
2
y
x
Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
176
Из анализа уравнений и вида поверхностей следует целесо-
образность перехода к сферическим координатам
, ,
r
по фор-
мулам:
cos sin
x
r
,
sin sin
y
r
,
cos
z
r
. Поверхности,
ограничивающие V, преобразуются:
1)
2
2
2
2
1
1
x
y
z
r
r
r
;
2)
2
2
2
2
2
2
x
y
z
r
r
r
;
3)
2
2
2
(
)
tg
z
x
y a
a
или
arctga
;
4)
2
2
2
(
)
tg
,
arctg
z
x
y b
b
b
;
5)
1
1
arctg
y
k x
k
; 6)
2
2
arctg
y
k x
k
.
Область изменения сферических координат точек области V
есть
1
2
1
2
:
;
arctg
arctg ; arctg
arctg
r
r
r
k
k
b
a
.
Тогда в силу формулы (14.18)
2
sin
V
v
dxdydz
r
drd d
=
=
2
2
1
1
arctg
arctg
2
arctg
arctg
sin
k
r
a
k
r
b
d
r dr
d
3
3
2
1
2
1
1
(
)(arctg
arctg
)(cos(arctg )
cos(arctg ))
3
r
r
k
k
a
b
.
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить объемы тел, ограниченных заданными поверхно-
стями.
63.
2
2
1,
4,
4
z x
y
x
y
,
0
z
.
64.
,
2
,
0,
6
y
x y
x z
x z
.
65.
2
9
,
0,
0,
0, 3
4
12 (
0)
z
y
x
y
z
x
y
y
.
66.
2
2
,
/ 4
/ 2
/ 4 1,
0
y
x x
y
z
z
.
67.
2
2
/ 4
1,
12 3
4 ,
1.
x
y
z
x
y z
68.
2
2
z
x
y
– гиперболический параболоид,
0,
3
z
x
.
69.
2
2
(
1)
,
2
2
z
x
y
z
x
. 70.
2
2
,
z
x
y
z
x
y
.
71.
2
2
2
2
2
4,
3
x
y
z
x
y
z
. 72.
2
2
2
2
2
2
1,
16,
x
y
z
x
y
z
2
2
2
,
0,
0,
0
x
y
z
x
y
z
(
0,
0,
0)
x
y
z
.