ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 14588
Скачиваний: 146
Г л а в а 9. Функции нескольких переменных
26
3. Список точек, полученный в пунктах 1 и 2 дополняем вер-
шинами ломаной Г.
4. Вычисляем значения функции в точках полученного списка
и выбираем среди них наибольшее и наименьшее, которые и будут
искомыми.
Пример 17. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ции
2
2
( , )
4
5
13
f x y
x
xy
y
x
в области D, заданной неравенст-
вами
2
4
y
x
.
Область D ограничена частью
АОВ параболы
2
x
y
и отрезком АВ
прямой x = 4 (рис. 9.3).
1. Находим критические точки из
необходимого условия экстремума функ-
ции:
2
4
13 0,
4
10
0.
x
y
f
x
y
f
x
y
Решение сис-
темы: x = 32,5, y = –13. Найденная кри-
тическая точка
1
(32, 5; 13)
M
не принад-
лежит D.
2. Исследуем функцию на границе. На отрезке АВ :
{
4,
x
[ 2; 2]
y
}
функция
( , )
f x y сводится к функции одной перемен-
ной
2
1
( )
(4, )
5
16
36,
f y
f
y
y
y
[ 2; 2]
y
. Находим критиче-
ские точки функции
1
( )
f y :
1
( ) 10
16 0,
f y
y
1кр
1,6
y
; точка
2
(4; 1, 6)
M
AB
.
На линии АОВ :
2
,
[ 2; 2]
x
y
y
функция ( , )
f x y сводится
к функции
2
4
3
2
2
( )
( , )
4
8
f y
f y
y
y
y
y
,
[ 2; 2]
y
. Находим критиче-
ские точки функции
2
( )
f y :
3
2
2
( )
4
12
16
0
f y
y
y
y
,
2
(
3
4) 0
y y
y
,
2кp
(
0)
[ 2; 2]
y
,
3кр
(
1)
[ 2; 2]
y
,
4кp
(
4) [ 2, 2]
y
; точ-
ки
3
(0; 0)
M
,
4
(1; 1)
M
принадлежат линии АОВ
(
точка М
3
совпадает
с точкой О(0; 0)
)
.
3. Вершины ломаной в точках (4; 2)
А
и (4; 2)
В
.
4. Вычисляем значения функции f в точках
2
4
, ,
M
M
A
2
: (
)
B f M
48, 8
,
3
(
)
0
f M
,
4
(
)
3
f M
,
( )
48
f A
,
( ) 16
f B
.
Итак,
наиб
(4; 2) 16
f
f
,
наим
(4; 1, 6)
48, 8
f
f
.
9.7.5. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Если функция ( , )
f x y дифференцируема n + 1 раз в некото-
рой окрестности
0
(
)
U M
точки
0
0
0
(
,
)
M
x
y
, то для всякой точки
М
4
–2
2
0
у
В
4
М
2
х
А
Рис. 9.3
9.7. Приложения частных производных и дифференциала
27
0
( , )
(
)
M x y
U M
справедлива формула Тейлора
2
0
0
0
0
1
1
1
(
)
(
)
(
)
(
) ...
(
)
(
,
)
1 !
2 !
!
n
n
f M
f M
df M
d f M
d f M
R
x
y
n
или, записав несколько членов в развернутом виде,
0
0
0
0
0
0
1
( , )
(
,
)
(
(
,
)
(
,
)
)
1 !
x
y
f x y
f x
y
f x
y
x
f
x
y
y
+
2
2
0
0
0
0
0
0
1
(
,
)(
)
2
(
,
)
(
,
)(
)
2 !
xx
xy
yy
f
x
y
x
f
x
y
x y
f
x
y
y
+
3
2
0
0
0
0
1
(
,
)(
)
3
(
,
)(
)
3 !
xxx
xxy
f
x
y
x
f
x
y
x
x
2
3
0
0
0
0
3
(
,
)
(
)
(
,
)(
)
xyy
yyy
f
x
y
x
y
f
x
y
y
…+
(
,
)
n
R
x
y
. (9.15)
Здесь
0
0
,
,
(
,
)
n
x
x x
y
y
y
R
x
y
– остаточный член в формуле
Тейлора порядка n. При этом
/ 2
2
2
(
,
)
(
,
) (
)
(
)
n
n
n
R
x
y
x
y
x
y
,
где
n
– бесконечно малая функция при
0
x
и
0
y
, вид ко-
торой зависит от функции f и точки
( , )
M x y . В форме Пеано
(
,
)
(
)
n
n
R
x
y
о
, где
2
2
(
)
(
)
x
y
. При
0
0
0
x
y
формула
(9.15) называется формулой Маклорена.
Пример 18. Функцию
3
2
2
( , )
5
10
5
4
f x y
x
x
xy
y
x
y
разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (2; –1).
Имеем
(2; 1)
2
f
. Вычислим последовательно частные
производные данной функции:
2
( , )
3
10
10,
( , )
2
5
x
y
f x y
x
x
y
f
x y
x
y
,
( , )
6
10,
( , )
1,
( , )
2,
( , )
6
xx
xy
yy
xxx
f
x y
x
f
x y
f
x y
f
x y
.
Все последующие производные тождественно равны нулю.
Значения производных в точке (2; –1):
(2; 1)
3,
(2; 1) 1,
x
y
f
f
(2; 1)
2,
(2; 1)
1,
(2; 1)
2,
xx
xy
yy
f
f
f
(2; 1)
6
xxx
f
. По фор-
муле (9.15) получаем искомое разложение
2
2
3
( , )
2 3(
2) (
1) (
2)
(
2)(
1) (
1)
(
2)
f x y
x
y
x
x
y
y
x
.
Пример 19. Функцию ( , ) arctg( / )
f x y
y x
разложить по фор-
муле Тейлора в окрестности точки (1; 1) до членов второго порядка
включительно.
Имеем
(1; 1)
arctg 1
/ 4
f
. В соответствии с формулой
(9.15) вычислим производные 1-го и 2-го порядков данной функции
Г л а в а 9. Функции нескольких переменных
28
и их значения в точке (1; 1).
2
2
2
2
2
2 2
/(
),
/(
),
2
/(
)
x
y
xx
f
y x
y
f
x x
y
f
xy x
y
,
2
2
2
2 2
2(
)/(
)
xy
f
y
x
x
y
,
2
2 2
2
/(
)
y
f
xy x
y
,
(1; 1)
1/ 2
x
f
,
(1; 1) 1/ 2
y
f
,
(1; 1) 1/ 2,
xx
f
(1; 1)
0,
xy
f
(1; 1)
1/ 2
yy
f
.
По формуле (9.15) имеем
2
2
2
arctg( / )
/ 4 (
1) / 2 (
1) / 2 (
1) / 4 (
1) / 4
(
)
y x
x
y
x
y
o
,
где
2
2
(
1)
(
1)
x
y
.
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить приближенно:
50.
3, 03
(2, 01)
. 51.
3
3
(1, 02)
(1, 97)
. 52.
sin 28 ; cos 61
.
53.
3
4
ln( 1, 03
0, 98 1)
.
54. Цилиндрический стакан имеет внутренние размеры: радиус
основания R = 2,5 м, высоту H = 4 м и толщину стенок l = 1 дм.
Найти приближенно объем материала, затраченного на изготовле-
ние стакана.
55. В усеченном конусе радиусы оснований R = 20 см, r = 10 см,
высота h = 30 см. Как приближенно изменится объем конуса, если R
увеличить на 2 мм, r – на 3 мм и h уменьшить на 1 мм?
56. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к сле-
дующим поверхностям в указанных точках:
а)
sin
cos
z
x
y
в точке
/ 4; / 4; 1/ 2
;
б)
cos
x
y
z
e
в точке (1; ; 1/ )
e
;
в) (
)(
) 8
0
x y
z xy
z
в точке (2; 1; 3);
г)
/
/
2
2
8
x z
y z
в точке (2; 2; 1);
д)
2
2
4
0
z
z
x
в точках пересечения с осью Oz.
57. Найти углы, которые образует нормаль к поверхности
arctg( / )
z
x y
в точке (1; 1;
/ 4 ) c осями координат.
Найти экстремумы функций двух переменных:
58.
2
2
3
6
z
x
xy
y
x
y
.
59.
2
(1
)
(
0,
0)
z
xy
x
y
x
y
.
60.
50/
20/ (
0,
0)
z
xy
x
y
x
y
.
61.
3
2
3
15
12
z
x
xy
x
y
.
62.
2
2
2
2
(
)
(2
)
x
y
z
x
y e
.
63. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
2
2
z
x
y
xy
x
y
в области
0,
0,
3
x
y
x
y
.
Ответы к задачам главы 9
29
64. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z
xy
в области
2
2
1
x
y
.
65. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
2
2
(
)
2
2
(2
3
)
x
y
z
e
x
y
в круге
2
2
4
x
y
.
66. Определить длины сторон прямоугольного параллелепипе-
да наибольшего объема, вписанного в прямой круговой конус с ра-
диусом основания R и высотой H.
67. Определить наружные размеры закрытого ящика с заданной
толщиной стенок
и внутренней емкостью V так, чтобы на его из-
готовление было затрачено наименьшее количество материала.
68. Функцию
3
3
( , )
2
3
f x y
x
y
xy
разложить по формуле
Тейлора в окрестности точки (2; 1).
69. Разложить по формуле Маклорена до членов 3-го порядка
включительно функцию
( , )
cos
y
f x y
e
x
.
70. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1; 1)
до членов 3-го порядка включительно функцию ( , )
/
f x y
y x
.
71. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1; 1)
до членов 2-го порядка включительно неявную функцию ( , )
z x y ,
определяемую уравнением
3
3
4
0
z
yz
x
, если (1; 1) 1
z
.
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ГЛАВЫ 9
1.
2
2
2
2
/
/
1
x
a
y
b
. 2.
2
4
8
y
x
. 3.
0,
0
x
y
x
y
–
внутренняя часть правого вертикального угла, образованного
биссектрисами координатных углов. 4.
1
1
(
0),
x
y
x
x
1
1
(
0)
x
y
x
x
(при x = 0 функция не определена).
5.
2
0,
0,
x
y
x
y
. 6. Вся плоскость за исключением прямых
(
0, 1, 2, ...)
x
y
n n
. 7.
0; 2
2(
1)
x
n
y
n
(n – це-
лое число). 8. Часть пространства, заключенная между сферами
2
2
2
2
x
y
z
r
и
2
2
2
2
x
y
z
R
, включая поверхность внеш-
ней сферы и исключая поверхность внутренней сферы.
9. 0. 10. 0. 11. 0. 12. а) 1) 1, 2) –1, 3) не существует; б) 1) 0,
2) 0, 3) не существует; в) 1) 0, 2) не существует, 3) 0; г) 1) 0,
2) 1, 3) не существует; 13. а) 1) 0, 2) 1, 3) 0; б) 1)
3 / 2
, 2) 0, 3) не
существует; в) 1) 0, 2) 0, 3) 0. 14. (1; –1). 15. Линии разрыва –
прямые x
k
и
y
m
, где
,
k m
Z
. 16. О(0; 0) – точка
бесконечного разрыва; точки прямой
0 (
0)
x
y
x
– уст-
ранимые точки разрыва. 17. Поверхности разрыва – координат-
ные плоскости
0,
0,
0
x
y
z
. 18. Поверхность разрыва –
эллипсоид
2
2
2
2
2
2
/
/
/
1
x
a
y
b
z
c
.
Г л а в а 9. Функции нескольких переменных
30
19. 1) непрерывна; 2) разрывна; непрерывна по x и y в отдельности;
3) непрерывна. Перейти к полярным координатам.
20.
4
2 3
5
15
x
z
x
x y
,
4
3
2
5
15
y
z
y
x y
,
3
3
20
30
xx
z
x
xy
,
2
2
45
xy
z
x y
,
3
3
20
30
yy
z
y
x y
. 21.
2
/
x
z
y
y x
,
1/
y
z
x
x
,
3
2 /
xx
z
y x
,
2
1 1/
xy
z
x
,
0
yy
z
.
22. а)
(1
)
xy
x
z
xy e
,
2
xy
y
z
x e
,
(
2)
xy
xx
z
y xy
e
,
(
2)
xy
xy
z
x xy
e
,
3
xy
yy
z
x e
;
б)
2
2
(cos
)/
x
z
y
x
,
2
2( sin
)/
y
z
y
y
x
,
2
3
2(cos
)/
xx
z
y
x
,
2
2
2( sin
)/
xy
z
y
y
x
,
2
2
2
(2sin
4
cos
)/
yy
z
y
y
y
x
;
в)
ln
x
x
z
y
y
,
1
x
y
z
xy
,
2
ln
x
xx
z
y
y
,
1
( ln
1)
x
xy
z
y
x
y
,
2
(
1)
x
yy
z
x x
y
.
23.
(3; 2)
56,
(3; 2)
42,
(3; 2)
36,
(3; 2)
31,
(3; 2)
6
x
y
xx
xy
yy
f
f
f
f
f
.
24. 1)
2
xx
f
,
0
xy
f
,
1
yy
f
. 2)
3
/16
xx
f
,
2
/ 8
xy
f
,
/ 4
yy
f
. 3)
1/ 2
xx
f
,
0
xy
f
,
1/ 2
yy
f
. 4)
4
xx
yy
f
f
,
6
xy
f
.
25.
2 / 9
xx
yy
zz
f
f
f
,
4 / 9
xy
xz
yz
f
f
f
2)
0
xx
zz
xy
f
f
f
,
yy
yz
f
f
e
,
2
xy
f
.
26. а)
= 0,33, dz = 0,3; б)
z = 0,0187, dz = 0,0174.
27.
2
2
1 / 2
2
2
1
2
2
1 / 2
(
)
(
)
(
)
dz
x
y
y
x
y
xdx
x
y
dy
.
28.
2
2
2
cos (
/ ) (2
).
dz
x
y
x y
xdy
ydx
29.
2
tg( / )(
)
dz
y
x y xdy
ydx
.
30.
(1; 2; 1)
5
2(
2
) / 25
df
dz
dx
dy
.
31.
2
2
3 (
2 )
3(
)
,
dz
x x
y dx
x
y dy
2
2
2
6
2
(
)
d z
x
y
dx
xdxdy
y dy
.
32.
2
2
(1 /
1 /
)(
),
dz
x
y
xdy
ydx
2
2
3
2
2
2
2
2
(
) /
(1/
1/
)
(
) /
d z
y dx
x
y
x dxdy
x dy
y
.
33.
2
1 / 2
(
2
)
((
)
)
dz
x
xy
x
y dx
xdy
,
2
2
3 / 2
2
2
2
2
(
2
)
(
)
2
(
)
d z
x
xy
y dx
xydxdy
x dy
.