Файл: Mikro_ch3.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 08.04.2024

Просмотров: 55

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ЧАСТЬ iii

ПРЕДПРИЯТИЕ, ПРОИЗВОДСТВО, ЗАТРАТЫ

3.1 Задачи

Задача № 1

Технология производства предполагает использование двух ресурсов и характеризуется постоянной отдачей от масштаба. Производство 60 единиц продукта требует затрат ресурсов в количествах x1 = 12 и x2 = 4. Предельный продукт первого ресурса MP1 = 3. Чему равен предельный продукт второго ресурса?

Задача № 2

Найти эластичности замещения ресурсов для следующих производственных функций:

а) q = ax1 + bx2 ; б) q = ax1αx2β;

в) q =

x1x2

.

 

 

ax + bx

 

1

2

 

Задача № 3

Фирма использует два ресурса в количествах x1 и x2; ее производственная функция q = ax1x2 , цены ресурсов p1

и p2. Найти:

а) уравнение пути оптимального роста фирмы; б) функцию общих затрат длительного периода;

в) функцию общих затрат короткого периода, считая первый ресурс переменным, второй — постоянным.

Задача № 4

Фирма использует два ресурса в количествах x1 и x2; известна ее производственная функция:

40 Часть III.

q = 2 ∙ (x

– 5)0.5(x

– 10)0.3,

x > 5,

x > 10

1

 

2

 

1

2

и цены ресурсов p1 =

1;

p2 = 4.

Найти:

 

а) уравнение пути оптимального роста фирмы; б) функции общих, средних и предельных затрат дли-

тельного периода; в) эффективный масштаб производства;

г) функции общих, средних и предельных затрат короткого периода, считая второй ресурс постоянным, x2 = 20.

Задача № 5

В состав фирмы входят два завода, производящие один и тот же продукт в количествах q1 и q2 и имеющие функции затрат

TC1(q1) = 200 +10q1 + 0.5q12;

TC2(q2) = 100 + q2 + 2q22.

Найти функцию затрат фирмы TC(Q), где Q — объем выпуска фирмы.

Задача № 6

Несколько изменим условия задачи. Пусть теперь

TC1(q1) = 200 +10q1 + 0.5q12;

TC2(q2) = 100 + 25q2 + 2q22.

Найти функцию затрат фирмы TC(Q), где Q — объем выпуска фирмы.

3.2 Решения

Решение задачи № 1

Производственная функция q = f(x1, x2) c постоянной отдачей от масштаба обладает следующим свойством: при любом положительном k выполняется равенство

Предприятие, производство, затраты

41

 

 

f(kx1, kx2) = kf(x1, x2).

Почленно дифференцируя это равенство по k, получим:

 

 

 

∂f

x

+

∂f

x

= f(x ,x ),

(1)

 

 

 

∂x

∂x

 

 

 

1

 

2

1 2

 

 

 

1

 

2

 

 

 

или MP1

∙ x1

+ MP2 ∙ x2 = q, откуда MP2 = (q – MP1

∙ x1)/x2.

При данных задачи находим: MP2 = (60 – 3 ∙ 12)/4 = 6.

Комментарий. Равенство (1) есть частный случай урав-

нения Эйлера: если функция f(x1, x2, …, xn) однородна степени α, то

n

∂f

 

∑xi

= αf(x1,x2,...,xn).

 

i=1

∂xi

Производственная функция c постоянной отдачей от масштаба — однородная функция первой степени, или ли- нейно-однородная функция.

Решение задачи № 2

Эластичность замещения ресурсов представляет собой

эластичность отношения количеств ресурсов x2/x1 по пре-

дельной норме технической замены MRTS12.

а) Найдем предельные продукты ресурсов:

MP =

a

;

 

MP =

 

 

b

.

 

 

 

 

 

 

 

1

2 x

 

 

2

 

 

2 x

Отсюда

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MRTS

=

MP1

=

a

 

x2

.

MP

 

 

 

12

 

 

b

x

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

Предельная норма технической замены представляет собой степенную функцию отношения x2/x1; показатель степени равен 1/2. Эластичность степенной функции равна

показателю степени, так что эластичность MRTS12 по x2/x1 равна 1/2, а эластичность обратной зависимости, которая нас интересует, равна 2.

б) MP = a αxα−1xβ; MP = a βxαxβ−1; MRTS

 

=

α

 

x2

.

 

β

 

1

1 2

2

1 2

12

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

42

Часть III.

 

 

В этом случае зависимость также степенная, показатель степени равен 1; соответственно эластичность замещения равна 1.

 

bx2

 

ax2

 

 

b

x2

в) MP =

 

2

; MP =

 

1

; MRTS

=

 

 

2

.

(ax

+bx )2

(ax

+bx )2

 

 

1

2

12

 

a x2

 

1

2

 

1

2

 

 

 

 

1

 

Здесь показатель степени равен 2, эластичность замещения равна 1/2.

Комментарий. В рассмотренных задачах пропорция затрачиваемых ресурсов и предельная норма технической замены были связаны степенными зависимостями. Эластичность степенной функции — постоянная величина; производственные функции, обладающие подобными свойствами, получили название функций с постоянной эластичностью замещения, или ПЭЗ-функций. Они служат удобными моделями и широко используются в микроэкономическом анализе. В частности, они позволяют оценивать взаимозависимость ресурсов в производстве: если эластичность замещения ресурсов больше 1, то ресурсы являются взаимно заменяющими, а если меньше, то — дополняющими. В случае а) ресурсы были взаимными заменителями, в случае в) — дополнителями. В случае б) ресурсы были взаимно независимыми.

Решение задачи № 3

а) Путь оптимального роста фирмы — это множество экономически эффективных способов производства, т. е. таких способов, которые позволяют произвести любое возможное количество продукта с минимальной стоимостью используемых ресурсов. Для каждого экономически эффективного способа предельная норма технического замещения ресурсов равна соотношению их цен.

Предельные производительности ресурсов

 

∂q

 

 

 

 

 

 

∂q

 

 

 

 

 

MP =

=

a

 

x2

;

MP =

=

a

 

x1

;

∂x

 

 

x

∂x

 

 

x

1

2

 

 

2

2

 

 

 

1

 

 

1

 

 

2

 

 

2

 

предельная норма технической замены

Предприятие, производство, затраты

43

 

 

MP x

MRTS12 = MP1 = x2 .

2 1

Таким образом, путь оптимального роста — прямая,

описываемая уравнением

p

x2 = p1 x1.

б) Используем полученное2уравнение для определения экономически эффективного набора ресурсов, необходимого для производства продукта в количестве q. Подставим выражение для x2 в производственную функцию:

 

 

 

q = a

 

p1

 

x ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

q

 

 

p2

;

 

 

 

 

 

x =

q

 

 

 

p1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

1

a p

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

p

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

LTC(q) = p x

+ p x

 

 

 

=

 

2q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p p .

 

 

 

 

a

 

1 1

 

2 2

 

 

 

 

 

1 2

 

в) В случае, когда x2 = const, изменение объема выпуска

достигается выбором соответствующей величины x1, так что

в коротком периоде

 

 

 

 

 

 

 

 

q2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

=

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p q2

 

 

 

 

 

 

 

STC(q) = p x + p x

=

 

+ p x .

 

 

1

 

 

 

a2x

 

1 1

 

2 2

 

 

 

 

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Комментарий. Поскольку LTC(q) — это минимальные

затраты на производство объема

 

 

q при условии, что все

ресурсы — переменные, а STC(q) — минимальные затраты при условии, что некоторые ресурсы — постоянные, можно утверждать, что STC(q) ≥ LTC(q) при любом q. Выражения для затрат короткого и длительного периодов, полученные при решении задачи, иллюстрируют это общее положение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

p1q

2

 

2q

 

 

p1

 

 

STC(q)−LTC(q)=

 

+ p x −

 

p p

=

q

−

p x

 

≥0.

a2x2

 

 

 

 

2 2

a

1 2

a x

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

44 Часть III.

Равенство достигается при значении q, обращающем в нуль выражение в круглых скобках:

q = a

 

p2

 

x ,

p

 

 

2

 

 

1

 

т. е. при том объеме выпуска, для которого в условиях длительного периода второй ресурс использовался бы в данном объеме x2 (проверьте!).

Решение задачи № 4

а) Пользуясь методами, примененными при решении предыдущей задачи, находим:

MP

=

 

∂q

= (x −5)−0.5

(x

−10)0.3;

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

∂x

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

∂q

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MP =

 

= 0.6 (x −5)0.5 (x −10)−0.7;

∂x

2

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

−10

 

 

 

 

 

MRTS

 

=

 

MP1

=

 

1

 

x2

=

p1

=

1

.

 

 

MP

0.6

x −5

 

4

12

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

Отсюда получаем уравнение пути оптимального роста:

x2 = 10 + 0.15 ∙ (x1 – 5).

б) Используем полученное уравнение для определения экономически эффективного набора ресурсов, необходимого

для производства заданного объема q продукта. Подставим

выражение для x2 в производственную функцию:

q = 2 ∙ (x – 5)0.5 ∙ [0.15 ∙ (x

– 5)]0.3 = 1.1320(x – 5)0.8,

1

 

 

1

1

откуда определяются

 

 

 

 

x = 5 + 0.8564 q1.25;

 

x = 10 + 0.12846 q1.25

1

 

 

 

2

и функции затрат

 

 

 

 

LTC(q) = p x

+ p x = 45 + 1.3702 q1.25;

1

1

2

2

 

LAC(q) = 45q + 1.3702 q0.25; LMC(q) = 3.6025 ∙ 10–3 q0.25.

в) Эффективный масштаб производства qe определяется объемом выпуска, при котором средние затраты принимают

Смотрите также файлы