ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.04.2024
Просмотров: 56
Скачиваний: 0
Предприятие, производство, затраты |
45 |
|
|
минимальное значение; при этом выполняется равенство MC(qe) = AC(qe), из которого находим qe = 49.520. При этом min LAC(q) = 4.544, ресурсы используются в количествах x1 = 117.5, x2 = 26.875.
г) В коротком периоде зависимость объема выпуска от использования единственного переменного ресурса описывается равенством
q = 2 ∙ (x1 – 5)0.5(20 – 10)0.3 = 3.9905 ∙ (x1 – 5)0.5,
так что количество первого ресурса для выпуска q единиц продукта равно
|
|
|
x = 5 + 0.062797q2, |
||
и функции затрат |
1 |
|
|||
|
|
||||
STC(q) = 1 ∙ (5 + 0.062797q2) + 4 ∙ 20 = 85 + 0.062797q2 |
|||||
SAC(q) = |
85 |
|
+ 0.062797q; |
SMC(q) = 0.12559q. |
|
q |
|||||
|
|
|
Решение задачи № 5
Любой объем выпуска фирмы Q = q1 + q2 должен быть распределен между заводами таким образом, чтобы суммарные затраты TC(Q) = TC1(q1)+ TC2(q2) были минимальными. Таким образом, функция затрат фирмы определяется условием:
TC(Q) = min(TC1(q1) + TC2(q2)) при условии Q = q1 + q2.
В рассматриваемом случае двух заводов эффективное распределение объема производства легко найти подстановкой q2 = Q – q1 и последующей минимизацией суммы функций затрат обоих заводов:
TC1(q1) + TC2(Q – q1) =
= 200 + 10q1 + 0.5q12 + 100 + 10(Q – q1) + 2(Q – q1)2.
Минимум достигается при q1 = 0.8Q, так что q2 = 0.2Q. Подстановка в полученное выражение найденного значения q1 дает выражение для искомой функции затрат:
TC(Q) = 300 + 10Q + 0.4Q2.
Комментарий. Отметим одно свойство эффективного распределения. Подстановка найденных выражений для q1 и
46 Часть III.
q2 в выражения для предельных затрат заводов показывает, что значения предельных затрат заводов одинаковы:
MC1(q1) = 10 + q1 = 10 + 0.8Q; MC2(q2) = 10 + 4q2 = 10 + 0.8Q. Кроме того, эти значения совпадают с предельными
затратами фирмы в целом:
MC(Q) = 10 + 0.8Q.
Этот результат справедлив для любых функций затрат заводов (с некоторыми оговорками, обсуждаемыми в комментарии к задаче № 6). Воспользовавшись подстановкой, примененной выше при решении задачи, сформулируем требование к распределению объема производства в виде минимизации суммы TC1(q1) + TC2(Q – q1). Дифференцируя по q1, найдем, что MC1(q1) – MC2(Q – q1) = 0, т. е. при эффективном распределении MC1(q1) = MC2(q2).
Равенство предельных затрат имеет ясный экономический смысл. Если при некотором распределении предельные затраты оказываются неравными, например MC2(q2) > MC1(q1), то уменьшение объема q2 на малую величину ε > 0 с одновременным увеличением на такую же величину объема q1 не изменит общего объема выпуска фирмы Q, но сократит общие затраты фирмы, так как сокращение затрат второго завода (MC2 ∙ ε) превысит увеличение затрат первого завода (MC1 ∙ ε).
Кроме того, результат будет тем же при произвольном числе заводов. Покажем это, воспользовавшись методом множителей Лагранжа. Если в состав фирмы входят n заводов, то функция общих затрат фирмы при эффективном распределении объема производства между заводами определяется условием
|
|
n |
|
n |
|
TC(Q) =∑TCi(qi) при условии ∑qi = Q. |
|||||
|
|
i=1 |
|
i=1 |
|
Функция Лагранжа для рассматриваемой задачи услов- |
|||||
ной минимизации: |
n |
n |
|
||
|
|
|
|||
L(q1, q2, …, qn, λ) =∑TCi |
(qi) − λ ∑qi − Q |
, |
|||
|
|
|
i=1 |
i=1 |
|
где λ — множитель Лагранжа. Условие минимума: |
|||||
|
∂L |
= MC |
(q ) − λ = 0, |
i = 1, 2, ..., n, |
|
|
|
|
|||
|
|
i |
i |
|
|
|
∂qi |
|
|
|
Предприятие, производство, затраты |
47 |
|
|
так что при эффективном распределении общего объема производства
MCi(qi) = λ, i = 1, 2, ..., n,
т. е. предельные затраты всех заводов равны одной и той же величине λ. В свою очередь множитель Лагранжа равен производной минимизируемой функции (TC(Q)) по ограничивающему параметру (Q), следовательно, MC(Q) = λ.
Решение задачи № 6
Воспользовавшись рассмотренным выше свойством эффективного распределения, приравняем предельные затраты
первого завода MC1(q1) = 10 + q1 |
предельным затратам второго |
MC2(q2) = 25 + 4q2 и получим соотношение q1 = 15 + 4q2. Так |
|
как Q = q1 + q2 = 15 + 5q2, находим: |
|
q2 = 0.2Q – 3; |
q1 = 0.8Q + 3. |
Такое распределение возможно лишь при Q ≥ 15: в про-
тивном случае оказалось бы q2 < 0, что невозможно, и q1 > > Q, что также невозможно. Не учитывая условие неотрицательности q1 и q2, мы пришли к результату, верному лишь при достаточно больших общих объемах. При Q < 15 эффективным окажется «распределение», при котором весь объем выпуска фирмы будет осуществляться первым заводом. Итак,
q1 |
= Q, |
q2 |
= 0 |
при Q < 15; |
q1 |
= 0.8Q + 3, |
q2 |
= 0.2Q – 3 |
при Q ≥ 15. |
Комментарий. Методы дифференциального исчисления
позволяют найти внутренние экстремумы. В первой части задачи при любых значениях Q существовали внутренние решения: и q1, и q2 можно было как увеличить, так и уменьшить на достаточно малую величину. Во второй части такая возможность для распределения при Q < 15 отсутствует. В
этом случае MC1(q1) = 10 + Q, MC2(q2)= 25, так что MC2 > MC1,
но «исправить» распределение, увеличив на q1 величину ε и соответственно уменьшив q2, невозможно. Здесь мы имеем дело с граничным оптимумом.
48 |
Часть III. |
|
|