ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 08.04.2024

Просмотров: 56

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Предприятие, производство, затраты

45

 

 

минимальное значение; при этом выполняется равенство MC(qe) = AC(qe), из которого находим qe = 49.520. При этом min LAC(q) = 4.544, ресурсы используются в количествах x1 = 117.5, x2 = 26.875.

г) В коротком периоде зависимость объема выпуска от использования единственного переменного ресурса описывается равенством

q = 2 ∙ (x1 – 5)0.5(20 – 10)0.3 = 3.9905 ∙ (x1 – 5)0.5,

так что количество первого ресурса для выпуска q единиц продукта равно

 

 

 

x = 5 + 0.062797q2,

и функции затрат

1

 

 

 

STC(q) = 1 ∙ (5 + 0.062797q2) + 4 ∙ 20 = 85 + 0.062797q2

SAC(q) =

85

 

+ 0.062797q;

SMC(q) = 0.12559q.

q

 

 

 

Решение задачи № 5

Любой объем выпуска фирмы Q = q1 + q2 должен быть распределен между заводами таким образом, чтобы суммарные затраты TC(Q) = TC1(q1)+ TC2(q2) были минимальными. Таким образом, функция затрат фирмы определяется условием:

TC(Q) = min(TC1(q1) + TC2(q2)) при условии Q = q1 + q2.

В рассматриваемом случае двух заводов эффективное распределение объема производства легко найти подстановкой q2 = Q – q1 и последующей минимизацией суммы функций затрат обоих заводов:

TC1(q1) + TC2(Q – q1) =

= 200 + 10q1 + 0.5q12 + 100 + 10(Q – q1) + 2(Q – q1)2.

Минимум достигается при q1 = 0.8Q, так что q2 = 0.2Q. Подстановка в полученное выражение найденного значения q1 дает выражение для искомой функции затрат:

TC(Q) = 300 + 10Q + 0.4Q2.

Комментарий. Отметим одно свойство эффективного распределения. Подстановка найденных выражений для q1 и


46 Часть III.

q2 в выражения для предельных затрат заводов показывает, что значения предельных затрат заводов одинаковы:

MC1(q1) = 10 + q1 = 10 + 0.8Q; MC2(q2) = 10 + 4q2 = 10 + 0.8Q. Кроме того, эти значения совпадают с предельными

затратами фирмы в целом:

MC(Q) = 10 + 0.8Q.

Этот результат справедлив для любых функций затрат заводов (с некоторыми оговорками, обсуждаемыми в комментарии к задаче № 6). Воспользовавшись подстановкой, примененной выше при решении задачи, сформулируем требование к распределению объема производства в виде минимизации суммы TC1(q1) + TC2(Q – q1). Дифференцируя по q1, найдем, что MC1(q1) – MC2(Q – q1) = 0, т. е. при эффективном распределении MC1(q1) = MC2(q2).

Равенство предельных затрат имеет ясный экономический смысл. Если при некотором распределении предельные затраты оказываются неравными, например MC2(q2) > MC1(q1), то уменьшение объема q2 на малую величину ε > 0 с одновременным увеличением на такую же величину объема q1 не изменит общего объема выпуска фирмы Q, но сократит общие затраты фирмы, так как сокращение затрат второго завода (MC2 ∙ ε) превысит увеличение затрат первого завода (MC1 ∙ ε).

Кроме того, результат будет тем же при произвольном числе заводов. Покажем это, воспользовавшись методом множителей Лагранжа. Если в состав фирмы входят n заводов, то функция общих затрат фирмы при эффективном распределении объема производства между заводами определяется условием

 

 

n

 

n

 

TC(Q) =TCi(qi) при условии qi = Q.

 

 

i=1

 

i=1

 

Функция Лагранжа для рассматриваемой задачи услов-

ной минимизации:

n

n

 

 

 

 

L(q1, q2, …, qn, λ) =TCi

(qi) − λ qi Q

,

 

 

 

i=1

i=1

 

где λ — множитель Лагранжа. Условие минимума:

 

L

= MC

(q ) − λ = 0,

i = 1, 2, ..., n,

 

 

 

 

 

 

i

i

 

 

 

qi

 

 

 


Предприятие, производство, затраты

47

 

 

так что при эффективном распределении общего объема производства

MCi(qi) = λ, i = 1, 2, ..., n,

т. е. предельные затраты всех заводов равны одной и той же величине λ. В свою очередь множитель Лагранжа равен производной минимизируемой функции (TC(Q)) по ограничивающему параметру (Q), следовательно, MC(Q) = λ.

Решение задачи № 6

Воспользовавшись рассмотренным выше свойством эффективного распределения, приравняем предельные затраты

первого завода MC1(q1) = 10 + q1

предельным затратам второго

MC2(q2) = 25 + 4q2 и получим соотношение q1 = 15 + 4q2. Так

как Q = q1 + q2 = 15 + 5q2, находим:

q2 = 0.2Q – 3;

q1 = 0.8Q + 3.

Такое распределение возможно лишь при Q ≥ 15: в про-

тивном случае оказалось бы q2 < 0, что невозможно, и q1 > > Q, что также невозможно. Не учитывая условие неотрицательности q1 и q2, мы пришли к результату, верному лишь при достаточно больших общих объемах. При Q < 15 эффективным окажется «распределение», при котором весь объем выпуска фирмы будет осуществляться первым заводом. Итак,

q1

= Q,

q2

= 0

при Q < 15;

q1

= 0.8Q + 3,

q2

= 0.2Q – 3

при Q ≥ 15.

Комментарий. Методы дифференциального исчисления

позволяют найти внутренние экстремумы. В первой части задачи при любых значениях Q существовали внутренние решения: и q1, и q2 можно было как увеличить, так и уменьшить на достаточно малую величину. Во второй части такая возможность для распределения при Q < 15 отсутствует. В

этом случае MC1(q1) = 10 + Q, MC2(q2)= 25, так что MC2 > MC1,

но «исправить» распределение, увеличив на q1 величину ε и соответственно уменьшив q2, невозможно. Здесь мы имеем дело с граничным оптимумом.


48

Часть III.