Файл: Mikro_ch2.pdf

Задача № 4

Домашнее хозяйство потребляет два блага в количествах x и y; его предпочтения описываются функцией полезности U(x, y). Найти функцию спроса домашнего хозяйства, если

а) U(x, y) = x3y2; б) U(x, y) = xαyβ.

Задача № 5

Предпочтения двух индивидов описываются функциями полезности

Различаются ли предпочтения этих индивидов?

Задача № 6

Рассмотрим модель, в которой предпочтения потребителя относятся не к продуктам, а к характеристикам, которыми продукты обладают (модель Ланкастера). Допустим, что рассматривается множество продуктов, обладающих двумя характеристиками (X и Y).

Обозначим (xi, yi) количественные меры соответствующих характеристик в единице i-го продукта, причем простоты ради в качестве единицы каждого продукта принимается количество продукта, приобретаемое за одну денежную единицу. Будем считать, что предпочтения в пространстве

характеристик удовлетворяют тем же аксиомам, что и предпочтения в пространстве благ в традиционной теории.

В таблице (см. выше) приведены данные по шести различным продуктам. Какие из них не имеют перспектив быть проданными на рынке?

Задача № 7

Домашнее хозяйство потребляет два блага, X и Y, в количествах x и y; его доход I = 60, а предпочтения опи-

сываются функцией полезности U(x, y) = xxy+ y .

а) Найти объемы спроса на каждое из благ при ценах благ pX = 9, pY = 4.

б) Определить зависимости объемов спроса на каждое из благ от цен и дохода.

в) Определить характер взаимозависимости благ в потреблении.

Задача № 8

Домашнее хозяйство потребляет два блага, X и Y, в количествах x и y; его предпочтения описываются функцией

полезности U(x, y) = x + y . Известен доход: I = 60.

а) Найти объемы спроса на каждое из благ при ценах благ pX = 10, pY = 5.

б) Определить зависимости объемов спроса на каждое из благ от цен и дохода.

в) Определить характер взаимозависимости благ в потреблении.

Задача № 9

Домашнее хозяйство потребляет два блага, X и Y, в количествах x и y; его предпочтения описываются функцией по-

лезности U(x, y) = y − x1 , цены благ равны pX = 16, pY = 25.

а) Найти объемы спроса на каждое из благ при значениях дохода I = 70; I = 15.

б) Определить зависимости от дохода объемов спроса на каждое из благ.

Задача № 10

Индивид потребляет два блага, X и Y, в количествах x и y соответственно. Функция полезности индивида:

U = ax + by + xy, a > 0, b > 0.

а) Пусть a=10, b=25. Определить объемы потребления благ, если цены благ pX = 5, pY = 2 при доходе индивида I = 200;

б) то же при доходе индивида I = 100;

в) при каких соотношениях дохода и цен оптимум потребителя будет внутренним (x > 0, y > 0)?

Задача № 11

Домашнее хозяйство приобретает благо X, производимое естественной монополией, по цене pX = 10 в количестве x = = 5. Государство, регулирующее цену продукта естественной монополии, сочло целесообразным повысить цену до pX′ = = 14 и выплачивать домашнему хозяйству компенсацию в

размере ( pX′ – pX ) ∙ x = 20.

а) Изменилось ли благосостояние домашнего хозяйства, и если да, то в какую сторону?

б) Проверить утверждение на следующем примере: домашнее хозяйство кроме блага X потребляет еще одно благо, Y, цена которого pY = 1 не изменилась; доход домашнего хозяйства I = 100, а функция полезности U(x, y) = xy .

Задача № 12

Классификация благ, основанная на кривых Энгеля, учитывает изменения доли дохода, направленной на покупку рассматриваемого блага, в зависимости от изменения дохода. Докажите следующие утверждения:

2.2 Решения

Решение задачи № 1

Из графика видно, что с ростом дохода от нуля до некоторого уровня объем потребления товара возрастает, так что благо является нормальным; при дальнейшем росте дохода данный товар вытесняется некоторым заменителем, объем его потребления снижается и товар становится низшим.

Найдем границы области возрастания объема потребления; для этого продифференцируем объем потребления по доходу:

Производная обращается в нуль при I = 20; при меньших значениях дохода производная положительна, и объем возрастает, при бόльших — убывает. Таким образом, товар является нормальным при I < 20 и низшим — при I > 20.

Для того чтобы выяснить, при каких уровнях дохода товар является необходимым благом, а при каких — роскошным, целесообразно воспользоваться эластичностью объема потребления по доходу:

Для роскошного блага эластичность объема потребления по доходу больше единицы. Последнее равенство показывает, что EI[q] > 1 при 0 < I < 5. Если 5 < I < 20, то потребление растет с доходом, но медленнее, чем доход, EI[q] < 1, и рассматриваемый товар является необходимым благом.

Итак, рассматриваемый товар является низшим благом при I > 20 и нормальным — при I < 20; при 0 < I < 5 он является роскошным благом, при 5 < I < 20 — необходимым.

Комментарии.

1.Знак производной всегда совпадает со знаком эластичности. Поэтому ответы на все вопросы задачи можно было по-

лучить, рассматривая диапазоны уровней дохода, в пределах

которых значения EI[q] превышают единицу, лежат между нулем и единицей и оказываются отрицательными.

2.Современная классификация потребляемых благ берет начало с исследований Э. Энгеля, выполненных в середине XIX в. и, естественно, не использовавших понятия эластичности функций. Проанализировав структуру потребительских бюджетов, Энгель установил, что с ростом дохода сумма расходов на питание возрастает, но их доля в распределении дохода падает. Если мы рассматриваем определенный товар, потребляемый в количестве q и покупаемый по цене p (которую мы считаем здесь неизменной), то расходы равны pq. Доля, приходящаяся на данный товар, равна pq/I; если она

сростом дохода убывает, то EI[pq/I] < 0. Воспользовавшись свойствами эластичности (см. Приложение) и учитывая неизмен-

ность цены, представим это соотношение в виде EI[q] – 1 < 0, или EI[q] < 1. При этом абсолютная сумма расходов возрастает, EI[pq] = EI[q] > 0. Таким образом, закон Энгеля применительно к необходимому благу (подобно продуктам питания) формулируется в виде двойного неравенства 0 < EI[q] < 1.

Решение задачи № 2

Аксиомы потребительских предпочтений:

1)полнота (сопоставимость любых потребительских наборов);

2)транзитивность;

3)ненасыщаемость («больше — лучше, чем меньше», предпочтительность набора, содержащего больший объем любого блага без уменьшения объемов остальных);

4)непрерывность;

5)выпуклость множества наборов, предпочтительных по отношению к любому данному.

Если система предпочтений потребителя задана функцией полезности, то аксиомы 1 и 2 тем самым выполняются. Аксиома 4 выполняется, если функция полезности непрерывна. Во всех вариантах а) — в) функции полезности непрерывны, так что требования аксиом 1, 2 и 4 можно считать выполненными.

Аксиома 3 выполняется, если функция полезности возрастает по каждому аргументу. Функция варианта а), очевидно, удовлетворяет этому требованию, варианта в) — нет, она является убывающей по каждому аргументу. Так как

x1 + 1y = xxy+ y ,

т. е. значения функций б) и в) — взаимно обратные величины, функция б) является возрастающей (в чем можно убедиться и любым иным способом).

Аксиома 5 требует, чтобы каждая кривая безразличия ограничивала снизу выпуклую область. Это означает, что предельная норма замены MRSxy должна убывать с ростом x и возрастать с ростом y. Функция а) этому требованию не отвечает: соответствующие кривые безразличия — 90-гра- дусные дуги окружностей с центром в начале координат.