Файл: metod_Lin-Algebra_zo.pdf

ФГБОУ ВПО Вологодская государственная молочнохозяйственная

академия им. Н. В. Верещагина Кафедра высшей математики и физики

"ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА"

методическое пособие для студентов экономического факультета (заочная и очно-заочная формы обучения,

направления подготовки 080100 "Экономика", 080200 "Менеджмент")

Вологда Молочное

2012

3

4. Задачи для контрольной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.1. Действия над матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2. Ранг матрицы и его нахождение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.3. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса . . . . . . . . . . . 46 4.4. Векторные пространства. Базис. Разложение вектора по базису.

Решение невырожденных систем линейных уравнений методами Крамера и обратной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.5. Элементы аналитической геометрии на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.6. Системы линейных неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.7. Собственные значения и векторы матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5. Решения типовых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.1. Действия над матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.2. Ранг матрицы и его нахождение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.3. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса . . . . . . . . . . . 53

5.4.Векторные пространства. Базис. Разложение вектора по базису. Решение невырожденных систем линейных уравнений метода-

ми Крамера и обратной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.5. Элементы аналитической геометрии на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.6. Системы линейных неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.7. Собственные значения и векторы матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6. Материалы для подготовки к экзамену . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.1. Список экзаменационных вопросов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.2. Примерные темы практических задач для экзамена . . . . . . . . . . . . . 68 6.3. Пример экзаменационного билета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7. Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.1. Нахождение корней квадратного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 8. Глоссарий (словарь терминов) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4

Введение1. Краткий курс лекций

1.1. Лекция 1.

1.1.1. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости.

Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости состоит из двух взаимно перпендикулярных осей (ось Ox ось абсцисс è îñü Oy îñü îð-

динат), точки O начала координат, в которой пересекаются оси, а также масштаба. Положение любой точки плоскости однозначно определяется парой чисел (x, y), которые называются координатами точки. На рис. 1 изображены

îñü Ox, îñü Oy, точка O(0, 0), масштаб, точки A(4, 2), B(−1, 3), (6, 0).

Ðèñ. 1.

Пусть на плоскости заданы точки A(x1, y1) è B(x2, y2). Тогда расстояние между точками A è B находится по следующей формуле:

1.1.2. Уравнение линии на плоскости.

на плоскости называется уравнение, связывающее переменные x è y и такое, что координаты точек этой линии и

только они удовлетворяют этому уравнению. В общем случае уравнение линии на плоскости имеет вид

F (x, y) = 0.

Выведем уравнение окружности радиуса R с центром в точке

Пусть M(x, y) произвольная точка окружности. Тогда расстояние от точки M до точки M0 постоянно и равно R:

|MM0| = R.

5

Выражая |MM0| через координаты точек M è M0 с помощью формулы (1), получим:

p

(x − x0)2 + (y − y0)2 = R,

(x − x0)2 + (y − y0)2 = R2

уравнение искомой окружности (см. рис. 2).

Ðèñ. 2.

1.1.3. Уравнение прямой на плоскости.

Рассмотрим различные формы записи уравнения простейшей линии на плоскости прямой линии. Уравнение прямой, проходящей через две заданные

точки (x1, y1) è (x2, y2), может быть записано в виде

Общее уравнение прямой можно записать так:

Ax + By + C = 0,

ãäå A, B, C константы, причем A è B не равны нулю одновременно. Подробнее изучим уравнение прямой с угловым коэффициентом

Постоянная k называется угловым коэффициентом прямой и совпадает с тангенсом угла α между прямой и положительным направлением оси Ox (ñì. ðèñ. 3):

Величина b в уравнении (4) совпадает с ординатой точки пересечения данной прямой и оси Oy (ñì. ðèñ. 3).

Ðèñ. 3.

6

Рассмотрим частные случаи расположения прямой, заданной уравнением (4), на плоскости.

1.Пусть k > 0, тогда (см. формулу (5)) tg α > 0 è óãîë α острый. Схематически такая прямая изображена на рис. 4.

2.Пусть k < 0, тогда (см. формулу (5)) tg α < 0 è óãîë α тупой. Схематически такая прямая изображена на рис. 5.

3.Пусть k = 0, тогда (см. формулу (5)) tg α = 0 è α = 0, то есть прямая параллельна оси Ox (схематически такая прямая изображена на рис. 6).

4.Пусть b = 0, тогда прямая проходит через начало координат (схемати- чески такая прямая изображена на рис. 7).

5.Пусть k = 1, b = 0, то есть уравнение этой прямой имеет вид y = x. Эта прямая проходит через начало координат ( b = 0) под углом α = 45◦ ê положительному направлению оси Ox (k = tg α = 1), то есть является биссектрисой первого и третьего координатных углов (см. рис. 8).

6.Пусть k = −1, b = 0, то есть уравнение этой прямой имеет вид y = −x.

Эта прямая проходит через начало координат ( b = 0) под углом α = 135◦ к положительному направлению оси Ox (k = tg α = −1), òî åñòü

является биссектрисой второго и четвертого координатных углов (см. рис. 9).

7

Если прямая с угловым коэффициентом k проходит через точку (x1, y1) то ее уравнение можно записать так:

y − y1 = k(x − x1)

уравнение пучка прямых .

1.1.4.Тангенс угла между двумя прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Пусть прямые l1 è l2 заданы уравнениями вида (5):

l1 : y = k1x + b1, l2 : y = k2x + b2.

8

Çíàÿ tg ϕ, с помощью таблиц, калькуляторов и т.п. можно найти сам угол

ϕ.

Выведем условие параллельности l1 k l2 и перпендикулярности l1 l2 ïðÿ- ìûõ l1 è l2.

Пусть l1 k l2. Тогда ϕ = 0, tg ϕ = 0, и, согласно формуле (6),

k1 − k2

= 0

1 + k1k2

èk1 = k2. При этом возможны 2 случая. Если k1 = k2 è b1 = b2, то прямые l1

èl2 совпадают. Если k1 = k2, íî b1 6= b2, то прямые l1 è l2 строго параллельны.

Обратное тоже верно. Итак,

k1 = k2, b1 6= b2

условие параллельности прямых l1 è l2.

Пусть l1 l2. Тогда ϕ = 90◦, è tg ϕ не существует. Это означает, согласно формуле (6), что знаменатель дроби в правой части (6) равен нулю:

1+ k1k2 = 0,

èk1 · k2 = −1. Обратное тоже верно: если k1 · k2 = −1, òî l1 l2. Èòàê,

k1 · k2 = −1

условие перпендикулярности прямых l1 è l2.

1.2. Лекция 2.

1.2.1. Матрицы и их основные виды.

Одним из основных понятий линейной алгебры является понятие матрицы.

Определение 2. Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются е¼ элементами.

9