ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 1379
Скачиваний: 7
Связь критерия Попова с критерием Найквиста
f(x)
x
Рис.159
arctg h
arc
tg k
Если для нелинейности, лежащей в секторе
произведем
линеаризацию в виде
( ; )
0 k
y hx
=
(рис.159), то введя такое звено в
частотную характеристику Попова, получим точный аналог критерия
Найквиста. Только критической точкой, которую не должна
охватывать частотная характеристика Попова будет точка с
координатами
(
;
.
)
−
1
0
h
j
Приближенные методы исследования нелинейных систем
1. Метод гармонической линеаризации
(гармонического баланса, описывающих функций, малого параметра)
Наиболее широкое применение для исследования нелинейных САУ, порядок которых выше второго
, получил приближенный метод гармонической линеаризации основанный на частотных методах
(как в линейных системах).
(n
> 2)
Метод гармонического баланса был развит Н.М.Крыловым и Н.Н.Боголюбовым в 1934 году для
механических систем. Применительно к САУ этот метод разработан Л.С.Гольдфарбом, Е.П.Поповым и
др в 1940 году.
Основная идея метода сводится к следующему:
Пусть замкнутая нелинейная система состоит из последовательно включенных нелинейного звена
(НЗ) и устойчивой или нейтральной линейной части (ЛЧ) (рис.160).
К такой структуре сводятся большинство
нелинейных систем, включающих в себя один
нелинейный элемент.
Полагаем, что в системе существуют
автоколебания, амплитуду и частоту которых
необходимо определить.
Полагая
g t
( )
= 0
, будем искать выходную
величину системы (входная величина нелинейности) в виде:
x(t)
рис. 160
g(t)
НЗ
ε
(t)
y(t)
Φ
(
ε
)
ЛЗ
x
A
t
= ⋅ sin
ω
,
(1)
где – амплитуда автоколебаний;
A
ω
– частота автоколебаний.
Отметим, что в действительности автоколебания в нелинейных системах всегда несинусоидальны,
т.к. их форма искажается нелинейным звеном. Поэтому область применения метода ограничивается
теми системами, где автоколебания на выходе нелинейного звена достаточно близки (1). Для того, чтобы
это условие выполнялось, линейная часть системы должна практически являться фильтром низких
частот и не пропускать высшие гармоники автоколебаний.
Действительно, если амплитудно-частотная характеристика ЛЧ системы имеет вид (рис.161).
A
ЛЧ
A
1
ω
1
2ω
1
ω
Рис.161
Если частота автоколебаний равна
ω
1
, то как видно из рисунка,
ЛЧ является фильтром НЧ, т.к. уже вторая гармоника частоты
2
1
ω
практически не проходит на вход НЗ.
Последнее предположение носит название гипотезы фильтра
и выполнение этой гипотезы является необходимым условием
гармонической линеаризации.
Допустим, для определенности, что НЗ – есть реле с зоной
нечувствительности и гистерезисом (рис.162).
115
y
x px
=
Φ
( ,
)
, такая запись нелинейной функции пока-
зывает, что при
px
dx
dt
=
> 0
изменяется по линии 1.
y
Если на входе нелинейности имеем гармоническую
функцию вида (1) (рис.162), то на выходе получим сигнал
y
A
t A
t
=
Φ
( sin
,
cos )
ω
ω
ω
,
(2)
представляющий собой прямоугольные импульсы (рис.163).
Разложим уравнение (2) в ряд Фурье. Так как
линейная часть системы пропускает только основную
гармонику, то и ограничиваемся первыми членами ряда
Фурье:
y a
t b
t
=
+
sin
cos
ω
ω
,
(3)
где
a
A
t A
t
t
=
∫
1
0
2
π
ω
ω
ω
ω ω
π
Φ
( sin
,
cos ) sin
,
d t
b
A
t A
t
=
∫
1
0
2
π
ω
ω
ω
ω ω
π
Φ
( sin
,
cos ) cos td t
–
соответствующие коэффициенты ряда Фурье для периодической функции без постоянной
составляющей.
y
t
ε(-x)
1
2
1
2
Риc.162
y
t
Риc.163
Из выражения (1)
sin
ω
t
x
A
=
.
(4)
Дифференцируя (1)
px
A
=
t
ω
ω
cos
, получим
cos
ω
ω
t
A
px
=
1
.
(5)
Подставляя (4) и (5) в уравнение (3), получим
y
a
A
x
b
A
px q A x q A px
=
+
=
+ ′
ω
( )
( )
,
(6)
где
q A
a
A
q A
b
A
( )
;
( )
=
′
=
ω
– гармонические коэффициенты усиления нелинейного звена.
Отметим, что:
1. Для однозначных нелинейных характеристик
′
=
q A
( ) 0
и уравнение (6) принимает вид:
y q A x
=
( )
;
(7)
2. Для петлевых характеристик гистерезисного типа величина
′
q A
( )
всегда отрицательна, что
эквивалентно запаздыванию при работе этого НЗ.
Физический смысл гармонической линеаризации [уравнение (6) и (7)] заключается в том, что
нелинейное уравнение (2), ограничиваясь первой гармоникой на выходе НЗ при гармоническом сигнале
на входе можно заменить уравнениями (6) или (7).
Графически однозначные нелинейные зависимости
y
x
=
Φ
( )
заменяются
прямыми
линиями
с
углом
наклона,
пропорциональным амплитуде входного сигнала A (рис.164).
В результате гармонической линеаризации получаем не
чисто линейное звено (как после линеаризации при методе
малых отклонений), а своеобразное линейное звено,
коэффициент усиления которого в общем случае зависит от
амплитуды
и частоты
A
ω
входного сигнала. Для
однозначных характеристик НЗ коэффициент усиления
зависит от амплитуды входного сигнала.
A
Передаточная функция гармонически линеаризованного
звена тогда может быть определена как
a
arctg
q
Φ(x)
A
x
Риc.164
116
W
y p
x p
q A
q A
H
=
=
+ ′
( )
( )
( )
( )
.
(8)
Если передаточная функция линейной части системы
W p
Л
( )
,
H
то передаточная функция всей
системы в разомкнутом состоянии по правилам линейной теории имеет выражение
W p A
W p W A
p
Л
( , )
( )
( )
=
,
(9)
а характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы на основании (9) можно
записать
1
1
+
0
= +
=
W p A
W p W A
p
Л
H
( , )
( )
( )
.
(10)
По уравнению (10), подставляя в него
p
j
=
ω
, можно определить параметры автоколебаний
и
A
0
ω
0
.
Подставим в (9)
p
j
=
ω
и запишем его в виде комплексного числа
U A
jV
A
( , )
( , )
ω
ω
+
= 0
.
(11)
Комплексное число равно нулю, когда и вещественная и мнимая части равны нулю.
Из (11) получим систему
U A
V A
( , )
,
( , )
.
ω
ω
=
=
0
0
(12)
Решая (12) находим параметры автоколебаний (если они существуют): амплитуду
и частоту
A
0
ω
0
.
По уравнению (10) можно, применяя любой из известных методов линейной теории, исследовать
устойчивость автоколебаний нелинейной системы. Наиболее широкое распространение в ТАУ имеют
методы Л.С.Гольдфарба и Е.П.Попова.
Критерий Гольдфарба
Л.С.Гольдфарб предложил графическое решение характеристического уравнения гармонически
линеаризованной нелинейной системы частотными методами.
Подставляя в (10)
p
j
=
ω
, перепишем его (рис.165)
W
j
W A
Л
H
(
)
( )
ω
= −
1
.
(13)
.
,
1
2
3
4
1
2
3
4
A
A
A
A
>
>
>
>
>
>
ω
ω
ω
ω
При этом возможно:
Re
ω=0
ω=∞
ω
4
ω
3
Α
2
Α
1
Α
Α
3
Α
4
ω
1
ω
2
Рис.165
Im
1
2
W (j )
Л
ω
W (A)
Н
1
1. Кривые
W
j
Л
(
)
ω
и
−
1
W A
H
( )
не пересекаются – автоколебания в системе не возможны.
)
2. Кривые
W
j
Л
(
ω
и
−
1
W A
H
( )
)
касаются, – параметры системы имеют критические
(бифуркационные) значения.
3. Кривые
W
j
Л
(
ω
и
−
1
W A
H
( )
пересекаются, – точки пересечения соответствуют
автоколебаниям, параметры которых
и частоту
A
0
ω
0
, определяются непосредственно из
графика. Однако автоколебания будут иметь место в реальной системе, если они устойчивы.
117
Определение: Если частотная характеристика линейной части системы
W
j
Л
(
)
ω
с ростом
ω
охватывает
точку пересечения
W
j
Л
(
)
ω
и
−
1
W A
H
( )
с отрицательным приращением амплитуды характеристики
−
1
W A
H
( )
и не охватывает с положительным приращением, то найденные автоколебания будут
устойчивыми.
В нашем примере (рис.165) в точке 2 будут устойчивые автоколебания – по кривой
W
j
Л
(
)
ω
определяется
ω
0
, а по кривой
−
1
W A
H
( )
определяется
t
A
0
.
Следовательно на входе нелинейного звена (выход системы) имеем устойчивые автоколебания в
виде
x
A
=
0
0
sin
ω
.
(14)
Выходную координату ( ) нелинейного звена легко построить графически по виду нелинейной
характеристики
y
y
x
=
Φ
( )
.
Критерий Гольдфарба нельзя применять, когда под знаком нелинейной функции имеется две или
более переменных, во первых, и во-вторых, когда несколько нелинейных элементов нельзя заменить
одним эквивалентным нелинейным звеном.
Определение устойчивости автоколебаний по алгебраическим критериям
(метод Е.П.Попова)
Алгебраические критерии используются в тех случаях, когда аналитически или графически удается
решить систему уравнений (12), т.е. определить
и
A
0
ω
0
.
После этого задаваясь амплитудой
A
A
1
0
=
+
∆
A
, где
∆
A
– малое приращение амплитуды, по
характеристическому уравнению гармонически линеаризованной нелинейной системы (10) проверяется
устойчивость по любому известному критерию на устойчивость.
При этом возможно:
1. Система неустойчива – следовательно амплитуда сигнала возрастает
A A
>
1
.
2. Система устойчива – следовательно амплитуда сигнала уменьшается
A A
A
<
→
1
0
.
−
Задаемся
A
A
2
0
=
∆
A
, тогда:
1. система устойчива, следовательно амплитуда сигнала уменьшается
A
A
<
→
2
0
.
2. система неустойчива, следовательно амплитуда сигнала возрастает
A
A
A
>
→
2
0
.
0
Таким образом, если при
система устойчива, а при
система неустойчива, то автоколебания в
системе с
A
1
A
2
A
0
,
ω
устойчивы (рис.166).
A
t
0
Рис.166
+
∆
A
A
0
A
1
A
2
−
∆
A
неусто
йчиво
устойчиво
неустойчи
во
устойчиво
Пример нахождения автоколебания релейной САУ
118
W
k
T p
1
1
1
1
=
+
W
k
T p
p
З
=
+
2
2
1
(
)
рис. 167
x
1
k
ос
g(t)
x
2
x
3
Φ
( )
x
1
3
2
x
x
ос
x
4
При
g t
( )
= 0
,
x
1
= −x
4
, тогда из рис.167:
=
+
−
=
Φ
=
−
=
+
.
)
1
(
:
3
,
),
(
:
2
,
)
1
(
:
1
3
2
4
2
4
2
3
4
4
2
1
x
k
px
p
T
‚‰Њ’”
x
k
x
x
x
x
‚‰Њ’”
x
k
x
p
T
‚‰Њ’”
oc
(1)
Ищем решение системы относительно входной координаты нелинейного звена
x
в виде (рис.168)
x
A
t
= sin
ω
,
(2)
-C
C
2
π
x
3
t
Риc.169
-C
C
0
Φ(x)
x
t
Риc.168
тогда
на
выходе
нелинейного
элемента будем иметь периодическую
прямоугольную функцию (рис.169).
Разложим эту функцию в ряд
Фурье, тогда получим
x
x
B
i t
i
i
3
1
1
=
=
+
=
∞
∑
Φ
( )
sin(
)
ω β
,
(3)
где
и
B
i
β
i
амплитуда и фаза -й гармоники.
i
Отметим, т.к.
Φ
( )
x
– нечетна и однозначна, то гармоники – нечетны (
i
).
i
= 1 3 5
, , ,...
Сигнал (3), проходя через линейное звено 3, получает вид
x
W B
i t
зi
i
i
i
4
1
1
=
+
=
∞
∑
sin(
)
ω
β
ϕ
(4)
+
,
где
W
k
p T p
k
i
T i
зi
p ji
=
+
=
+
=
2
2
2
2
2 2
2
1
1
(
)
;
ω
ω
ω
ϕ
π
ω
i
arctgT i
= − −
2
2
.
Из формулы (4) видно, что амплитуды гармоник выше первой не пропускаются линейным звеном 3,
т.е. линейное звено 3 является фильтром НЧ. Поэтому координату
можно считать практически
близкой к синусойде, частота которой равна частоте 1-й гармоники
x
4
x
W B
t
з
4
1
1
1
≈
+
sin(
)
ω β ϕ
(5)
1
+
.
следовательно, координаты
и
x
2
x
из уравнений (1) тоже будут близки к синусойде.
Таким образом, берется только первая гармоника выражения (3)
x
x
B
3
1
t
=
≈
Φ
( )
sin
ω
,
(6)
(
β
1
0
=
, т.к.
Φ
( )
x
–нечетна и однозначна),
где
119