Файл: Билет математический анализ.pdf

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 

Билет 1. Понятие функции и способы ее задания. Обратная функция. Сложная функция.  

 
Понятие функции состоит из 3 частей: 1) Области определения D (совокупность значений x, для которых 
определяются значения функции у в силу правила f(x)); 2) Множества T, содержащего область значений E; 3) 
Правила, которое для каждого элемента из области D задаёт единственный элемент из области T. 
Таким образом, функция есть зависимость, при которой каждому элементу x (- D соответствует единственный 
элемент y (- E. y=f(x), где х – независимая переменная, y – зависимая.  
Способы задания функции: 1) Аналитический (математическая формула, дающая воз- 
можность вычислить значение функции); 2) Графический (Графиком функции y = f(x)  
называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют  
данному уравнению.); 3) При помощи таблицы; 4) При помощи словесного описания 
Обратная функция: Пусть f: XY и g: Y  X такие функции, что при х

1

 ≠ x

2

  f(x

1

) ≠ f(x

2

). Тогда каждому y 

(- f(X) соответствует единственный элемент x (- X Такие образом g(x) является обратной функцией к f(x) и 
обозначается  x=f

-1

(y) 

Сложная функция: Пусть даны функции f(x): X  Y и g(y): Y  Z. Причём D(g)=E(f). Тогда определена 
сложная функция φ: X  Z: φ=g(f(x))=gof(x) – композиция, т.е.применяй g, затем применяй f. 
 
 

 
Билет 2. Предел функции в конечной точке и на бесконечности. Единственность предела в 
случае его существования.  

 
В конечной точке: Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x

0. 

Число А называется 

пределом f(x) в точке x

0 

и пишут lim f(x)=A (x x

0

), если для любого ε>0 существует δ(ε)>0 такое, что для 

любых х, таких что 0<|x- x

0

|<δ выполняется |f(x)-A| < ε 

На бесконечности: Число А называют пределом f(x) при x  ∞, если для любого ε>0 существует число М(ε)>0 
такое, что для любых х, таких что |x| > M, выполняется |f(x)-A| < ε. Предел функции на бесконечности 
описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим.  
Геометрический смысл: Взяв значение аргумента, принадлежащего интервалу  
((х

0

-δ); (x

0

+δ)), значения функции обязательно попадают в интервал ((А-ε); (A+ε)) 

Примеры вычисления пределов по определению. 
Единственность предела: f(x) определена в некоторой окрестности точки х

0

 и lim f(x)=A, 

lim f(x)=B (х  x

0

). Тогда А=В, т.е.предел может быть только единственным. 

Доказательство:

 Сначала напишем определение для А и В. Возьмём δ как наименьшее из 

2ух чисел, т.е. рассмотрим δ=min(δ

1

, δ

2

) при |x-x

0

|<δ. 

|A-B| = |A-f(x)+f(x)-B| = |f(x)-A| + |f(x)-B| <= ε+ε = 2ε  A-B=0, A=B 
 
 
 

Билет 3. Односторонние пределы. 

 
Определение: Число А называется лево(право)-сторонним пределом функции y=f(x) в точке х

0

, если функция 

определена на интервале (x

0

-γ; x

0

) ((x

0

; x

0

+ γ)) для γ>0 и для всех ε>0 найдётся δ= δ(ε)>0 такая, что 0<x

0

-x< δ 

(0<x-x

0

< δ)  |f(x)-A|< ε. 

Обозначение: A=lim f(x) (xx

0-0

) (A=lim f(x) (xx

0+0

)) 

Для левостороннего предела рассматриваются значения аргумента слева от x

0:

 (x

0

-δ; x

0

) 

Для правостороннего: x (- (x

0

; x

0

+δ) 

Теорема: Для существования конечного предела функции в конечной точке необходимо и достаточно 
существования односторонних пределов функции в этой точке и их равенства друг другу. При этом сам предел 
равен каждому из односторонних.  

Билет 4. Бесконечно малые величины (б.м.)  и бесконечно большие (б.б.) величины. Свойства 
б.м. Связь б.б. и б.м. величин. 
 

Функция α(х) называется бесконечно малой при х  x0 (б.м.), если lim α(х)=0 (xx0). 
Если lim α(х)/β(x) = 0 (xx0), то α(х) называется б.м. более высокого порядка чем β(x), и пишут α(х)=oβ(x), 
xx0. 
Если lim α(х)/β(x) = C (xx0, c<∞), то α(х) и β(x) называются б.м. одного порядка малости. 
Если lim α(х)/β(x) = 1 (xx0), то α(х) и β(x) называются называются эквивалентными и это обозначается 
α(х) ~ β(x) при хx0. 
Если существует число k, такое что lim α(х)/(β(x))

k

 = C ≠ 0, то α(х) называется б.м. порядка k относительно β(x). 

Y=F(x) называется бесконечно большой при xx0, если lim F(x)= ∞ (xx0) 
Теорема о взаимосвязи: Пусть α =α(х) – б.м. в точке х0 (на ∞). Тогда β=1/ α(х) – б.б. в точке х0 (на ∞). И 
наоборот, если β= β(х) –б.б. в точке х0 (на ∞), то α(х)=1/ β(х) – б.м. в точке х0 (на ∞). 

Доказательство: 

Пусть α(х) определена в некторой точке х0 и б.м. в точке х0. Таким образом, для любого ε>0 найдётся δ =δ(ε) 
такая, что 0<|x-x0|< δ  | α(х)|< ε. Возьмём М=1/ε и найдётся δ =δ(ε)=δ(М) такая, что 0<|x-x0|< δ  |β(x)| = 
|1/ α(х)| > 1/ ε = M  β(x) по опр. б.б. 
1ый замечательный предел: это равенство lim sinx/x = 1 (x0) 
x~sinx~tgx~arcsinx~arctgx~(e

x

-1)~ln(1+x) 

1-cosx~x

2

/2 

a

x

-1~xlna 

Свойства б.м.: 

1)  Сумма конечного числа б.м. величин также является б.м. величиной 
2)  Произведение бесконечно малых – б.м. 
3)  Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как 

следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая. 

Билет 5. Алгебраические свойства предела.  

 
Пусть lim f(x)=A (xx0), lim g(x) = B (xx0), C-единственное число, тогда: 
 
1) Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической 
сумме пределов этих функций, т.е. 

. 

Доказательство:

 Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно 

проводится так же. Пусть 

.Тогда f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α и β – бесконечно малые 

функции. Следовательно,  f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)). 

Так как b + c есть постоянная величина, а α(x) + β(x) – функция бесконечно малая, то 

. 

2) Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих 
функций: 

. 

Доказательство:

 Пусть 

. Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x) и  

fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ). 

Произведение bc есть величина постоянная. Функция bβ + c α + αβ на основании свойств бесконечно малых 

функций есть величина бесконечно малая. Поэтому 

. 

3) Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от 
нуля, т.е. 

. 

Доказательство:

 Пусть 

. Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α, β – 

бесконечно малые. Рассмотрим частное 

. 

Дробь 

является бесконечно малой функцией, так как числитель есть бесконечно малая функция, а 

знаменатель имеет предел c

2

≠0. 

4)  lim (C*f(x)) (xx0) = C*A 
5)  lim C (xx0) = C 

Билет 6. Предельные переходы в неравенствах. 

1)  Пусть в некоторой проколотой окрестности точки х0 f(x) определена, удовлетворяет неравенству 

f(x)<=A и существует lim f(x)=f0 (xx0). Тогда f0<=A. 

Доказательство:  

Докажем от противного. Пусть существует lim f(x) (xx0) = f0 = A+γ (γ-пол.число). Тогда для любого ε>0 
найдётся δ>0 такая, что 0<|x-x0|< δ  |f(x)-f0|<ε. 
Возьмём ε = γ/2>0. Тогда, с одной стороны |f(x)-f0|< γ/2 при 0<|x-x0|< D(γ). 
С другой стороны |f(x)-f0|>= γ, т.к. f(x)<=A, a f0=A+ γ. 
Полученное противоречие доказывает утверждение: 
 

2)  Лемма о 2ух милиционерах: 

Пусть для всех х (- Х выполняется неравенство f(x)<=φ(x)<=g(x) и существует lim f(x) = lim g(x) = A (x (- X). 
Тогда существует lim φ(x) = A.  
 

3)  Обобщение леммы: 

Пусть для любого х (- Х f(x)<=φ(x)<=g(x) и существует lim f(x) = А, lim g(x) = B. 
При этом, A<=B. Тогда, если существует lim φ(x) = С, то A<=C<=B 
 

4)  Теорема о существовании предела монотонной ограниченной функции: 

Пусть f(x) монотонно возрастает (убывает) на [A; +∞). A – некоторое действительное число, f(x)<=M (f(x)>=m) 
для всех x (-[A; +∞). Тогда существует lim f(x) (x+∞) <= M  (lim f(x) (x+∞) >= m). Аналогичные результаты 
верны для промежутка (-∞; B], где B-некоторое действительное число 
 

5)  Теорема о пределе сложной функции: 

Пусть y=f(U(x)) – сложная функция. lim U(x) = U

0

. lim f(U) (UU

0

) = f

0

. Тогда lim f(U(x)) = f

0

. 

Билет 7. Теорема о существовании предела ограниченной монотонной функции.  

 
Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда 

неотрицательно, либо всегда неположительно. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция 
называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же 

направлении.

Теорема: Пусть f(x) монотонно возрастает (убывает) на [A; +∞). A – некоторое действительное число, f(x)<=M 
(f(x)>=m) для всех x (-[A; +∞). Тогда существует lim f(x) (x+∞) <= M  (lim f(x) (x+∞) >= m). Аналогичные 
результаты верны для промежутка (-∞; B], где B-некоторое действительное число. 

Билет 8. Теорема о пределе сложной функции. 

 
Сложная функция: Пусть даны функции f(x): X  Y и g(y): Y  Z. Причём D(g)=E(f). Тогда определена 
сложная функция φ: X  Z: φ=g(f(x))=gof(x) – композиция, т.е.применяй g, затем применяй f. 
 
Теорема: Пусть y=f(U(x)) – сложная функция. lim U(x) = U

0

. lim f(U) (UU

0

) = f

0

. Тогда lim f(U(x)) = f

0

. 

Билет 9. Первый замечательный предел.  
 

1ый замечательный предел: это равенство lim sinx/x = 1 (x0) 
x~sinx~tgx~arcsinx~arctgx~(e

x

-1)~ln(1+x) 

1-cosx~x

2

/2 

a

x

-1~xlna 

Доказательство: 

Рассмотрим односторонние пределы

и 

и докажем, что они равны 1.

Пусть 

. Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1). 

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке 
(1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX. 

Очевидно, что: 

(1) 

(где S

sectOKA

 — площадь сектора OKA) 

(из 

: | LA | = tgx) 

Подставляя в (1), получим: 

Так как при 

: 

Умножаем на sinx: 

Перейдём к пределу: 

Найдём левый односторонний предел: 

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1. 

Билет 10. Предел последовательности. Второй замечательный предел для последовательностей 
и функций.  
 

Последовательность: Если каждому числу n натурального ряда чисел 1, 2, ..., n, ... ставится в соответствие по 
определенному закону некоторое вещественное число x

n

, то множество вещественных чисел x

1

, x

2

, x

3

, ..., x

n

 мы 

назовем числовой последовательностью или просто последовательностью. Сокращенно последовательность 
обозначается - {x

n

}. 

Число А называется пределом последовательности {x

n

}, если для любой ε-окре

стности точки А найдётся 

натуральное число N, что все значения x

n

, для которых n>N, попадут в ε-окрестн

ость точки А.

2ой замечательный предел. Как известно, предел числовой последовательност

и

x

n

=(1+1/n)

n

, n (- N, имеет предел равный e: lim (1+1/n)

n 

= e (n ∞). 

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, дока

жем второй замечательный 

предел для вещественных x, то есть докажем, что 

. Рассмотрим два случая: 

1. Пусть 

. Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: 

, где 

 — это целая часть x. 

Отсюда следует: 

, поэтому 

.