Файл: Системы автоматического управления.pdf

Частотные критерии устойчивости

 
Критерий Найквиста:  Формулировка та же, что и для непрерывных систем. Разница состоит лишь 

в  том,  что  частота  изменяется  в  пределах  первого  периода 

(

;

)

− +

π π

 или от 0 до 

π

. Поэтому АФЧХ не стягиваются в начало 

координат, а кончаются на действительной оси. 

 
1 – устойчива; 
2 – неустойчива; 
3 – на границе устойчивости. 
 
 
 
 

Re

Рис.193

Im

ω=0

ω=π

-1;j0

1

Комплексная плоскость

W (z)=W (e )

p

p

*

*

j

ω

2

3

Критерий  Михайлова:    Для  устойчивости  импульсной  САУ  необходимо  и  достаточно,  чтобы 

годограф  Михайлова 

M e

j

*

(

ω

)

  представляющий  собой 

знаменатель 

W e

З

j

*

ω

начинаясь 

на 

положительной 

действительной  оси  комплексной  плоскости 

,  охватывал 

начало координат, проходя последовательно 

 квадрантов, где 

 – порядок системы. (

2n

n

0

≤

≤

ω π

) 

(

)

, 

q

Re

n=4

n=

2

Рис.194

Im

ω=0

ω=π

Точность  и  качество  переходных  процессов  импульсных  систем  исследуются  теми  же  методами, 

что  и  в  случае  непрерывных  САУ.  Для  синтеза  импульсных  САУ  часто  используют  логарифмические 
частотные характеристики, причем удобно применять подстановку (5). 

Корректировка импульсных систем осуществляется либо включением корректирующих устройств в 

непрерывную  часть  САУ,  либо  корректирующих  устройств  импульсного  действия,  включаемых  после 
ИЭ, они называются импульсными фильтрами. 

В  заключение  отметим,  что  нелинейные  импульсные  системы  исследуются  с  помощью  общих 

методов исследования нелинейных САУ, ранее нами рассмотренных. 

СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ С ЦИФРОВЫМИ 

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫМИ МАШИНАМИ

 
Для  современной  техники  управления  производственными  процессами  широкое  применение 

находят  ЦВМ,  которые  используются  не  только  для  сбора  и  обработки  информации,  но  и  для 
непосредственного управления процессами. 

Большинство САУ с ЦВМ можно представить в виде следующей блок-схемы (рис.195). 
Преобразователи  связывают  ЦВМ,  у  которой  входная  и  выходная  величины  представлены  в 

цифровой форме, с НЧ САУ. Преобразование Н.– Ц. заключается в квантовании непрерывной величины 
в  цифровой  код.  Любой  преобразователь  Н-Ц  независимо  от  принципа  действия  и  конструктивного 
исполнения осуществляет три основные функции: 

1.  квантование по времени; 
2.  квантование по амплитуде; 
3.  кодирование. 
 

135

Перечисленные  этапы  выполняются  либо  последовательно,  либо  сразу  в  виде  одной  операции. 

Такое преобразование называется  кодо-импульсной модуляцией. Поэтому САУ с ЦВМ иногда называют 
кодо-импульсными системами. 

g

П.Н-Ц

ЦВМ

П.Ц-Н

НЧ

x

y

F

Здесь: 

НЧ       – непрерывная часть САУ, обычно это объект управления (ОУ); 

 ЦВМ   – цифровая вычислительная машина; 
П.Н-Ц, П.Ц-Н  – соответственно, преобразователи непрерывной величины в цифровую и наоборот. 

Рис.195 

Преобразование  Н-Ц называют кодированием. 
Преобразование  Ц-Н называют декодированием. 
Отметим, что каждое значение преобразуемой входной величины представляется не одним, а серией 

импульсов  в  определенной  комбинации  модулируемого  параметра  (амплитуда,  ширина,  фаза)  этих 
импульсов. 

Наибольшее  распространение,  как  известно,  получил  двоичный  код,  соответствующий  системе 

счисления с основанием 2. Каждый разряд двоичного числа может иметь только одно из двух значений: 
0  или  1,  и  соответственно,  моделируемому  параметру  каждого  импульса,  представляющего  значение 
одного  из  разрядов,  тоже  придается  одно  из  двух  крайних  значений.  Знак  величины  передается  с 
помощью отдельного импульса тоже с двумя возможными значениями модулируемого параметра. 

Преобразователь  Ц-Н  цифровой  величины  в  непрерывную  преобразует  выходной  сигнал  ЦВМ  в 

ступенчатую функцию 

Y nT

П

(

)

. 

Достоинства цифровых САУ: 
1.  высокая точность; 
2.  высокая помехозащищенность; 
3.  возможность реализации очень сложных алгоритмов управления (и простая их замена); 
4.  возможность многоточечного управления. 

Следует  помнить,  что    эти  достоинства  достигаются  ценой  значительно  большей  стоимости  и 

сложности цифровых систем. 

Однако область применения цифровых систем в настоящее время быстро расширяется. (Примеры: 

САУ  судами,  самолетами  и  ракетами;  системы  управления  химическими  и  другими  производствами: 
домны, энергосистемы, целые заводы и т.д.). 

Особенности динамики цифровых САУ

 
Как  уже  говорилось,  важнейшим  элементом  цифровых  САУ  являются  преобразователи  Н-Ц. 

Следовательно квантование по времени делает САУ дискретной, а квантование по амплитуде приводит 
систему к нелинейной. 

ЦВМ  в  САУ  имеет  значительное  количество  нелинейных  элементов  и  обладает    переменной 

структурой,  изменяющейся  по  командам  управляющих  устройств.  Для  упрощения  расчетов  полагают, 
что входные данные ЦВМ связаны однозначной зависимостью и поэтому заменяют ЦВМ эквивалентной 
схемой,  которая  включает  в  себя  дискретный  фильтр,  изменяющий  вид  модуляции  входной 
последовательности  импульсов  и  звено  чистого  запаздывания  с  ПФ,  равной 

,  где 

e

p

−

τ

τ

  –  время 

прохождения  сигнала  через  дискретный  фильтр.  Основным  элементом  выходного  устройства  ЦВМ 
является преобразователь кода, который решает задачу преобразования кода в амплитудно-импульсный 
код в дискретные моменты времени 

t

T T T

= 0

2 3

, ,

,

,...

 и т.д., где 

T

 – период повторения ЦВМ. 

При таких допущениях можно САУ с ЦВМ считать линейной импульсной системой и для расчетов 

использовать уже рассмотренный нами математический аппарат. 

136

Методы исследования цифровых САУ

 
Математическое  описание  цифровых  САУ,  аналогично  импульсным,  осуществляется  с  помощью 

разностных уравнений и дискретного преобразования Лапласа. Однако, в отличие от импульсных систем 
в САУ с ЦВМ имеется еще квантование по уровню. Структурная схема САУ с ЦВМ тогда принимает 
вид (рис.196). 

X Z

*

( )

Y Z

*

( )

рис. 196

ИЭ

2

W

Z

ЦВМ

*

( )

ФЭ

К

2

К

1

ИЭ

1

W

Z

НП

*

( )

F Z

*

( )

Ц-Н

Н-Ц

В  ней  преобразователь  Н-Ц  представлен  идеальным  импульсным  элементом  ИЭ

1

  с  квантователем 

К

1

, статическая характеристика которого показана на рис.196. 

Преобразователь  Ц-Н  состоит  из  квантователя  К

2

,  статическая  характеристика  которого  в  общем 

случае по числу ступенек, отличается от К

1

;  ИЭ

2

 и формирующим элементом ФЭ. 

ИЭ

2

 и ФЭ преобразуют решетчатую функцию на выходе К

2

 в П-образные импульсы с 

γ

= 1

. 

Передаточная функция формирующего элемента, как и ранее для импульсных систем, имеет вид: 

[

]

W p

L y t

K

e

p

Ф

u

u

pT

( )

( )

(

)

=

=

−

−

1

, 

где 

y t

u

( )

 – импу

z

льс единичной высоты на выходе ИЭ

2

. 

Дискретная ПФ непрерывной части системы будет определяться 

{

}

W

z

Z K

n

K

n z

НП

u

u

u

u

n

n

*

( )

[ ]

[ ]

=

=

−

=

∞

∑

ω

ω

0

. 

ПФ  ЦВМ  имеет  вид 

W

ЦВМ

*

( )

,  её  выражение  определяется  алгоритмом  работы  ЦВМ  и  имеет  вид 

линейных разностных уравнений, следовательно дискретной ПФ. 

ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

 
Системы, в которых обеспечено оптимальное значение какого-либо основного показателя качества 

работы системы – критерия оптимальности, называется оптимальными САУ. 

В качестве критерия эффективности оптимальных САУ может быть: один из показателей качества 

переходного  процесса,  точность  в  установившихся  режимах,  потребляемая  мощность,  себестоимость 
продукции и т.п. 

Примеры оптимальных САУ: 
1.    СУ полетом самолета, обеспечивающая минимальный расход горючего на заданном маршруте. 
2.    СУ  курсом  корабля,  осуществляющая  максимально  быстрое  изменение  курса  при  наличии 

ограничений угла поворота и скорости перекидки руля. 

Рассмотрим методику синтеза оптимальной САУ. 
Наиболее  важной  задачей  при  осуществлении  синтеза,  является  получение  количественного 

критерия оптимальности. Критерий оптимальности, как правило, является функционалом (функционал – 
это  величина,  значение  которой  определяется  заданием  функции.  Например,  интегральные  критерии 
качества в линейных САУ определяются всей кривой ПП, т.е. функцией 

x t

( )

). 

137

Если  критерий  оптимальности  найден,  то  задача  синтеза  оптимальной  САУ  сводится  к  синтезу 

устройства управления, обеспечивающего  минимум (максимум) выбранного критерия оптимальности. 

Формулировка математической постановки задачи синтеза оптимального УУ: 
Имеется  ОУ, выходная величина которого описывается зависимостью 

X

A U F t

=

0

( , , )

, 

(1) 

где 

U

 – управляющее воздействие, 

F

 – внешнее возмущение. 

В  общем  случае 

U F X

, ,

  –  векторы,  содержащие  произвольное  число  составляющих,  а 

  – 

оператор ОУ, в общем случае нелинейный. Время   – присутствует в (1), если объект нестационарный. 

A

0

t

Зависимость (1) для САУ обычно имеет вид системы дифференциальных уравнений: 

dx

dt

x

x u

u F

F t

dx

dt

x

x u

u F

F t

n

r

l

n

n

n

r

l

1

1

1

1

1

1

1

1

=

=















ϕ

ϕ

( ,..., , ,..., , ,..., , );

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( ,..., , ,..., , ,..., , ),

(2) 

где 

ϕ

i

i

n

(

,

= 1 )

 – в общем случае нелинейные функции. 

Система (2) перепишется в векторной форме, как 

dX

dt

X U F t

=

ϕ

( , , , )

, 

(3) 

где 

ϕ

ϕ

ϕ

= ( ,..., )

1

n

 –  -мерный вектор. 

n

В реальных условиях на управляющие воздействия 

U

 и на координаты объекта 

X

 накладываются 

различного  рода  ограничения.  Такими  ограничениями,  например,  являются:  насыщение  в  УУ, 
ограничение  скорости,  угловых  расстояний  и  т.п.  Эти  ограничения  можно  выразить  следующими 
неравенствами: 

B X U

m

m

(

)

(

, , , ...)

−

≤

=

0

1 2 3

, 

(4) 

где 

 – функции или функционалы. 

B

m

В простейшем случае ограничение величины отдельной координаты, неравенство (4) принимает вид 

u

u

x

x

i

i ПР

j

j ПР

−

≤

−

≤

0

0

;

,

где 

 – предельно допустимые значения соответствующих координат. 

u

x

i ПР

j ПР

,

В самом общем случае критерий оптимальности зависит как от 

X U F

, ,

 и  , так и от задающего 

воздействия 

t

x

З

, обычно он представляет интегральную зависимость: 

Q

G X X U F t d

З

t

П

=

∫

( ,

, , , )

0

t

, 

(5) 

где 

 – длительность всего процесса. 

t

П

Зависимостями  вида  (5),  в  частности,  являются  интегральные  критерии  качества  ПП  и 

среднеквадратичное отклонение случайных процессов. В простейшем, но важном случае, когда 

G

≡ 1

, 

критерий оптимальности принимает вид 

Q

dt t

t

П

П

=

=

∫

0

, 

т.е.  минимизируется  время  процесса  управления,  такие  САУ  называются  оптимальными  по 

быстродействию. 

Итак,  задача  получения  оптимального  управления 

U t

( )

,  при  котором  обеспечивается  минимум 

функционала 

Q X X U F t

З

( ,

, , , )

min

→

 и выполняются условия – ограничения (4). 

Задача  оптимального  управления,  в  которой  заданы  начальные  и  конечные  точки  траектории 

называется задачей с фиксированными концами. 

Следует  отметить,  что  определение  оптимального  управления 

U t

( )

  и  самого  процесса 

X t

( )

  не 

завершает решение задачи синтеза САУ.  

138

 Конечной целью синтеза является определение оператора УУ – 

A

УУ

U

A

X X F t

УУ

З

=

( ,

, , )

. 

(6) 

Если  одно  из  внешних  воздействий 

X

З

  или 

F

  является  случайным,  то  критерий  оптимальности 

будет статистическим, отсюда, при синтезе оптимальных САУ различают две группы синтеза: 

1.  Оптимальные САУ, находящиеся под воздействием детерминированных сигналов; 
2.  Оптимальные САУ, находящиеся под случайными воздействиями. 

Методы нахождения экстремумов функционалов 
Общим  математическим  аппаратом,  применяемым  при  синтезе  оптимальных  САУ,  является 

вариационное  исчисление,  как  классическое,  основанное  на  применении  уравнений  Эйлера-Лагранжа, 
так  и созданные в 50-е годы нашего столетия динамическое программирование Р.Беллмана и принцип 
максимума  Л.С.Понтрягина.  Последние  два  метода  наиболее  удобны  для  задач  оптимального 
управления,  т.к.  в  них  присутствуют  ограничения  вида  (4),  и  они  удобны  для  численного  решения  на 
ЭВМ. 

В  простых  случаях  с  одним  -  двумя  управляющими  воздействиями,  определение  оптимального 

управления  возможно  методом  простого  перебора  вариантов  управления  с  помощью  ЭВМ.  Для  целей 
нахождения  оптимального  управления  также  находят  широкое  применение  вычислительные  машины 
непрерывного действия – АВМ. 

Для  систем  второго  порядка  оптимальное  управление  может  быть  найдено  с  помощью  метода 

фазовой плоскости. 

На  названных  методах  мы  останавливаться  не  будем,  т.к.  они  Вами  изучены  в  различных 

дисциплинах учебного плана специальности 2202. 

Квазиоптимальные САУ 
Если управляющее устройство упрощено в отличие от оптимального, то в результате получаем САУ 

близкую к оптимальной или квазиоптимальную. 

Возможны два пути синтеза квазиоптимальных САУ: 
1.  Упрощается  предварительно  найденный  строго  оптимальный  оператор  УУ  до  его  простой 

технической реализации. 

2.  Упрощается предварительно ОУ и затем синтезируется оптимальный оператор УУ. 
 
 
 
 
 
 

АДАПТИВНЫЕ  СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Общие понятия и классификация адаптивных САУ

 
Определение:   Системы,  которые  автоматически  приспосабливаются  к  изменению  внешних 

условий  и  свойств  ОУ,  обеспечивая  при  этом  необходимое  качество  управления 
путем изменения схемы и параметров УУ называются адаптивными САУ. 

Качество  управления  численно  определяется  критерием  качества 

J

,  который  оценивает  заранее 

выбранный, наиболее важный показатель работы САУ. 

Критерием  качества 

J

  может  быть:  показатель  точности  работы  САУ,  производительность, 

экономичность и т.п. 

В  общем  случае  критерий  качества  ,  так  же  как  и  критерий  оптимальности  в  оптимальных  САУ, 

представляет собой  функционал, зависящий от входных и выходных координат системы. В простейших 
случаях 

J

  может  быть  просто  функцией.  Примером  изменяющихся  внешних  условий,  требующих 

применения  адаптивной  САУ,  являются  нестационарные  случайные  внешние  воздействия  на  систему, 
характеристики  которых  (например,  спектральная  плотность)  изменяются  в  широких  пределах. 
Примером объекта с переменными параметрами, тоже требующего адаптивной САУ, является самолет 
или  ракета.  Действительно,  на  разных  участках  полета  изменяются  динамические  характеристики 
самого  объекта  в  очень  широких  пределах,  т.к.  изменяется  масса  объекта  из-за  уменьшения  запаса 
горючего,  изменяется  форма  ОУ  и  т.п.  Поэтому  обычная САУ не может выполнить свои функции без 

139